−1 −2 −1
0 0 0
1 2 1
(a)
−1 0 1
−2 0 2
−1 0 1
(b)
H`ınh 7.4: (a) Mˇa
.
tna
.
d¯ u
.
o
.
.
csu
.
˙’
du
.
ng d¯ˆe
˙’
t´ınh G
x
ta
.
i tˆam cu
˙’
av`ung k´ıch thu

.
´o
.
c3× 3;
(b) Mˇa
.
tna
.
d¯ u
.
o
.
.
csu
.
˙’
du
.
ng d¯ˆe
˙’
t´ınh G
y
ta
.
id¯iˆe
˙’
m n`ay. C´ac mˇa
.
tna
.

n`ay thu
.
`o
.
ng go
.
i l`a c´ac
to´an tu
.
˙’
Sobel.
1 1 1
1 −2 1
−1 −1 −1
1 1 1
−1 −2 1
−1 −1 1
−1 1 1
−1 −2 1
−1 1 1
−1 −1 1
−1 −2 1
1 1 1
−1 −1 −1
1 −2 1
1 1 1
1 −1 −1
1 −2 −1
1 1 1
1 1 −1

1 −2 −1
1 1 −1
1 1 1
1 −2 −1
1 −1 −1
H`ınh 7.5: C´ac to´an tu
.
˙’
Prewitt v`ong kiˆe
˙’
u1.
Ch´u´yrˇa
`
ng, v´o
.
i to´an tu
.
˙’
Prewitt kiˆe
˙’
u 2 v`a to´an tu
.
˙’
Sobel, ch´ung ta chı
˙’
cˆa
`
nsu
.
˙’

du
.
ng bˆo
´
nmˇa
.
tna
.
d¯ ˆa
`
u tiˆen do t´ınh d¯ˆo
´
ix´u
.
ng cu
˙’
ach´ung v´o
.
inh˜u
.
ng mˇa
.
tna
.
c`on la
.
i.
D
-
´a p ´u

.
ng R(x, y) v`a g´oc α(x, y)tu
.
o
.
ng ´u
.
ng c´ac mˇa
.
tna
.
v`ong trˆen x´ac d¯i
.
nh bo
.
˙’
i
R(x, y):=
7

i=0
R
i
(x, y) ,
α(x, y) := max{tan
−1

R
i
(x, y)

R
0
(x, y)

,i=0, 1, ,7},
trong d¯´o R
i
(x, y) ,i=0, 1, ,7, l`a d¯´ap ´u
.
ng cu
˙’
amˇa
.
tna
.
th ´u
.
i v´o
.
ia
˙’
nh.
To´an tu
.
˙’
Laplace
To´an tu
.
˙’
Laplace cu

˙’
a f(x, y) x´ac d¯i
.
nh bo
.
˙’
i
∆f := f
xx
+ f
yy
.
200
1 1 1
0 0 0
−1 −1 −1
1 1 0
1 0 −1
0 −1 −1
1 0 −1
1 0 −1
1 0 −1
0 −1 −1
1 0 −1
1 1 0
−1 −1 −1
0 0 0
1 1 1
−1 −1 0
−1 0 1

0 1 1
−1 0 1
−1 0 1
−1 0 1
0 1 1
−1 0 1
−1 −1 0
H`ınh 7.6: C´ac to´an tu
.
˙’
Prewitt v`ong kiˆe
˙’
u2.
1 2 1
0 0 0
−1 −2 −1
2 1 0
1 0 −1
0 −1 −2
1 0 −1
2 0 −2
1 0 −1
0 −1 −2
1 0 −1
2 1 0
−1 −2 −1
0 0 0
1 2 1
−2 −1 0
−1 0 1

0 1 2
−1 0 1
−2 0 2
−1 0 1
0 1 2
−1 0 1
−2 −1 0
H`ınh 7.7: C´ac to´an tu
.
˙’
Sobel v`ong.
5 5 5
−3 0 −3
−3 −3 −3
5 5 −3
5 0 −3
−3 −3 −3
5 −3 −3
5 0 −3
5 −3 −3
−3 −3 −3
5 0 −3
5 5 −3
−3 −3 −3
−3 0 −3
5 5 5
−3 −3 −3
−3 0 5
−3 5 5
−3 −3 5

−3 0 5
−3 −3 5
−3 5 5
−3 0 5
−3 −3 −3
H`ınh 7.8: C´ac to´an tu
.
˙’
Kirsh v`ong.
201
Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
pr`o
.
ira
.
c, c´o thˆe
˙’
t´ınh ∆f bˇa
`
ng c´ach t´ınh d¯´ap ´u
.
ng cu
˙’
aa

˙’
nh v´o
.
imˆo
.
t
mˇa
.
tna
.
Laplace, chˇa
˙’
ng ha
.
n c´ac mˇa
.
tna
.
trong H`ınh 7.9.
−1 −1 −1
−1 8 −1
−1 −1 −1
(a)
1 −2 1
−2 4 −2
1 −2 1
(b)
H`ınh 7.9: C´ac mˇa
.
tna

.
d¯ u
.
o
.
.
csu
.
˙’
du
.
ng d¯ˆe
˙’
t´ınh Laplace.
Mˇa
.
cd`u to´an tu
.
˙’
Laplace x´ac d¯i
.
nh su
.
.
thay d¯ˆo
˙’
icu
.
`o
.

ng d¯ˆo
.
s´ang, n´o vˆa
˜
n ´ıt d¯u
.
o
.
.
c
su
.
˙’
du
.
ng trong thu
.
.
ctˆe
´
d¯ ˆe
˙’
t´ach d¯u
.
`o
.
ng biˆen v`ı nhiˆe
`
u l´y do: d¯a
.

o h`am bˆa
.
c hai nha
.
yv´o
.
i
nhiˆe
˜
u; ho
.
nn˜u
.
a to´an tu
.
˙’
Laplace ta
.
o c´ac d¯u
.
`o
.
ng biˆen k´ep gˆay kh´o khˇan trong viˆe
.
c x´ac
d¯ i
.
nh hu
.
´o

.
ng cu
˙’
a biˆen. V`ı c´ac l´y do n`ay m`a to´an tu
.
˙’
Laplace thu
.
`o
.
ng d¯´ong vai tr`o th´u
.
yˆe
´
u trong viˆe
.
c t´ach biˆen, v`a chı
˙’
d¯ ˆe
˙’
x´ac d¯i
.
nh pixel o
.
˙’
ph´ıa tˆo
´
i hay s´ang phˆan c´ach bo
.
˙’

i
d¯ u
.
`o
.
ng biˆen (xem Phˆa
`
n 7.3.5).
Du
.
´o
.
i d¯ˆay ta nghiˆen c´u
.
u to´an tu
.
˙’
LOG (Laplacian of the Gaussian) nhˇa
`
m ph´at
hiˆe
.
nbiˆen v`a gia
˙’
m nhiˆe
˜
utˆo
´
i thiˆe
˙’

ubˇa
`
ng c´ach l`am tro
.
na
˙’
nh tru
.
´o
.
c khi l`am nˆo
˙’
ibiˆen.
To´an tu
.
˙’
LOG thu
.
.
chiˆe
.
n l`am tro
.
na
˙’
nh thˆong qua t´ıch chˆa
.
pa
˙’
nh v´o

.
imˇa
.
tna
.
Gauss, sau
d¯´o ´ap du
.
ng to´an tu
.
˙’
Laplace trˆen a
˙’
nh d¯ˆa
`
u ra. Ch´ınh x´ac ho
.
na
˙’
nh f(x, y)d¯u
.
o
.
.
c l`am
nˆo
˙’
i biˆen x´ac d¯i
.
nh bo

.
˙’
i
g(x, y) := ∆[f(x, y) ∗ h(x, y)],
trong d¯´o h(x, y) l`a h`am Gauss hai biˆe
´
nv´o
.
iphu
.
o
.
ng sai chuˆa
˙’
n σ :
h(x, y):=
1
2πσ
2
exp

−
x
2
+ y
2
2σ
2

.

Dˆe
˜
d`ang ch´u
.
ng minh rˇa
`
ng,
g(x, y)=∆[h(x, y)] ∗ f(x, y).
Ch´u´y
∆[h(x, y)] =
1
πσ
4
r
2
− 2σ
2
2σ
2
exp

−
r
2
2σ
2

,
trong d¯´o r :=


x
2
+ y
2
. H`ınh 7.10 l`a nh´at cˇa
´
t ngang cu
˙’
ad¯ˆo
`
thi
.
h`am ∆[h(x, y)]. Ch ´u
´y t´ınh tro
.
ncu
˙’
a h`am, ch´eo khˆong cu
˙’
an´ota
.
i r = ±σ, v`a du
.
o
.
ng (tu
.
o
.
ng ´u

.
ng, ˆam) trong
202

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.
.
−σ
σ
r
∆h
H`ınh 7.10: Nh´at cˇa
´
t ngang cu
˙’
a∆h.
0 −1 0
−1 4 −1
0 −1 0
H`ınh 7.11: Mˇa
.

tna
.
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng ∆[h(x, y)].
(tu
.
o
.
ng ´u
.
ng, ngo`ai) h`ınh tr`on b´an k´ınh σ. Du
.
.
a trˆen h`ınh da
.
ng n`ay, ta d¯u
.
ad¯ˆe
´
nmˇa
.
tna
.
(H`ınh 7.11) tu
.

o
.
ng ´u
.
ng ∆[h(x, y)] trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
pr`o
.
ira
.
c.
C´o thˆe
˙’
ch´u
.
ng minh rˇa
`
ng gi´a tri
.
trung b`ınh cu
˙’
a to´an tu
.
˙’
Laplace ∆[h(x, y)] bˇa

`
ng
khˆong v`a do d¯´o gi´a tri
.
trung b`ınh cu
˙’
a g(x, y)=∆[h(x, y)] ∗ f(x, y)c˜ung bˇa
`
ng khˆong.
Nhˆa
.
n x´et rˇa
`
ng t´ıch chˆa
.
pa
˙’
nh f(x, y)v´o
.
i h`am ∆[h(x, y)] l`am nho`ea
˙’
nh, v´o
.
im´u
.
c
d¯ ˆo
.
nho`etı
˙’

lˆe
.
v´o
.
i σ. Mˇa
.
cd`u t´ınh chˆa
´
t n`ay gia
˙’
m nhiˆe
˜
u trong a
˙’
nh ra, ch´ung ta thu
.
`o
.
ng
quan tˆam d¯ˆe
´
n t´ınh ch´eo khˆong cu
˙’
a∆[h(x, y)]. Ba
˙’
ng 7.1 cho thˆa
´
ysu
.
.

phu
.
thuˆo
.
ccu
˙’
a
k´ıch thu
.
´o
.
cmˇa
.
tna
.
cu
˙’
a to´an tu
.
˙’
LOG v`ao phu
.
o
.
ng sai σ.
Nhˆa
.
nx´et 7.1.2 Viˆe
.
c ph´at hiˆe

.
n biˆen bˇa
`
ng c´ac to´an tu
.
˙’
gradient thu
.
.
chiˆe
.
ntˆo
´
t trong
tru
.
`o
.
ng ho
.
.
pd¯u
.
`o
.
ng biˆen r˜o n´et v`a nhiˆe
˜
utu
.
o

.
ng d¯ˆo
´
i ´ıt. Khi d¯u
.
`o
.
ng biˆen nho`e hoˇa
.
cc´o
nhiˆe
`
u nhiˆe
˜
u xuˆa
´
thiˆe
.
n, ta c´o thˆe
˙’
su
.
˙’
du
.
ng d¯ˇa
.
c tru
.
ng ch´eo khˆong cu

˙’
a to´an tu
.
˙’
Laplace.
T´ınh chˆa
´
t ch´eo khˆong cho ph´ep x´ac d¯i
.
nh biˆen mˆo
.
t c´ach d¯´ang tin cˆa
.
y v`a t´ınh tro
.
ncu
˙’
a
203
σ K´ıch thu
.
´o
.
cmˇa
.
tna
.
0.5 5 × 5
1 9 × 9
2 17 × 17

3 26 × 26
4 34 × 34
5 43 × 43
Ba
˙’
ng 7.1: Ba
˙’
ng c´ac gi´a tri
.
σ v`a k´ıch thu
.
´o
.
cmˇa
.
tna
.
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng.
∆[h(x, y)] l`am gia
˙’
m nhiˆe
˜
u. Phu
.

o
.
ng ph´ap n`ay d¯`oi ho
˙’
i t´ınh to´an nhiˆe
`
uho
.
n.
7.1.4 T´ach tˆo
˙’
ho
.
.
p
Su
.
˙’
du
.
ng nhiˆe
`
umˇa
.
tna
.
c`ung l´uc c´o thˆe
˙’
x´ac d¯i
.

nh mˆo
.
t pixel l`a cˆo lˆa
.
p hoˇa
.
cmˆo
.
t phˆa
`
ncu
˙’
a
d`ong hay biˆen. Chˇa
˙’
ng ha
.
n, x´et c´ac mˇa
.
tna
.
trong H`ınh 7.12 d¯u
.
o
.
.
cd¯u
.
arabo
.

˙’
i W. Frei
v`a C. C. Chen. Dˆe
˜
d`ang thˆa
´
yrˇa
`
ng, c´ac vector w
i
,i =1, 2, ,9, tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i c´ac
mˇa
.
tna
.
trˆen l`a tru
.
.
c giao v`a ta
.
o th`anh mˆo
.

tco
.
so
.
˙’
cu
˙’
a khˆong gian vector R
9
. C´ac mˇa
.
t
na
.
W
1
,W
2
,W
3
,W
4
th´ıch ho
.
.
p cho viˆe
.
c ph´at hiˆe
.
n biˆen; W

5
,W
6
,W
7
,W
8
th´ıch ho
.
.
pcho
viˆe
.
c ph´at hiˆe
.
n d`ong; W
9
(d¯u
.
o
.
.
c thˆem d¯ˆe
˙’
ta
.
o th`anh co
.
so
.

˙’
)tı
˙’
lˆe
.
v´o
.
i trung b`ınh cu
˙’
a c´ac
gi´a tri
.
x´am trong v`ung m`a mˇa
.
tna
.
d¯ ˇa
.
t trong a
˙’
nh.
X´et v`ung 3×3d¯u
.
o
.
.
cbiˆe
˙’
udiˆe
˜

nbo
.
˙’
i vector z ∈ R
9
, v`a v
i
:= w
i
/w
i
,i=1, 2, ,9.
D
-
ˇa
.
t
p
e
:=




4

i=1
v
i
,z

2
,p
l
:=




8

i=5
v
i
,z
2
,p
a
:= v
9
,z.
Ta c´o p
e
,p
l
,p
a
l`a chiˆe
`
u d`ai tu
.

o
.
ng ´u
.
ng cu
˙’
a h`ınh chiˆe
´
ucu
˙’
a vector z lˆen c´ac khˆong gian
con biˆen, d`ong v`a trung b`ınh.
G´oc gi˜u
.
a vector z v`a c´ac khˆong gian biˆen, d`ong v`a trung b`ınh tu
.
o
.
ng ´u
.
ng x´ac
d¯ i
.
nh bo
.
˙’
i
θ
e
:= cos

−1

p
e
z

,θ
l
:= cos
−1

p
l
z

,θ
a
:= cos
−1

p
a
z

.
Ta n´oi v`ung d¯u
.
o
.
.

cbiˆe
˙’
udiˆe
˜
nbo
.
˙’
i vector z gˆa
`
nv´o
.
id¯ˇa
.
c tru
.
ng biˆen (tu
.
o
.
ng ´u
.
ng,
204