68

CHƯƠNG 6
CÁC PHÉP TOÁN
TRÊN ĐIỂM
6.1 GIỚI THIỆU
Phép toán trên điểm tạo thành một lớp các kỹ thuật xử lý ảnh đơn giản nhưng
quan trọng. Chúng cho phép người sử dụng thay đổi cách điền dữ liệu ảnh vào phạm
vi mức xám có sẵn. Điều này đặc biệt ảnh hưởng đến công việc hiện thị ảnh.
Một phép toán trên điểm (point operation) thực hiện một ảnh vào riêng lẻ thành
một ảnh ra riêng lẻ theo cách mỗi mức xám của điểm ảnh ra chỉ phụ thuộc vào mức
xám của điểm ảnh vào tương ứng. Điều này trái ngược với các phép toán cục bộ
(local operations), là thao tác mà trong đó các lân cận của điểm ảnh vào xác định
mức xám của mỗi một điểm ảnh ra. Hơn nữa, trong thao tác điểm, mỗi điểm ảnh ra
tương ứng trực tiếp với điểm ảnh vào có toạ độ tương tự. Vì theês, một thao tác điểm
không thể làm thay đổi các quan hệ không gian bên trong ảnh.
Đôi khi thao tác điểm cũng được gọi bằng một vài tên khác, chẳng hạn như, tăng
cường độ tương phản (contrast enhancement), làm giãn độ tương phản (contrast
stretching), biến đổi tỷ lệ xám (gray-scale transformation). Chúng thường được gắn
liền như một phần không thể thiếu của quá trình số hoá ảnh và phần mềm hiển thị
ảnh.
Những thao điểm thay đổi lược đồ mức xám của ảnh theo cách dự đoán. Chúng có
thể được xem như thao tác sao chép từng điểm ảnh một, ngoại trừ các mức xám được
thay đổi theo hàm biến đổi mức xám đã định trước. Một thao tác điểm biến đổi một
ảnh A(x,y) đầu vào thành một ảnh B(x,y) đầu ra có thể biểu diễn như sau



),(),( yxAfyxB  (1)

Thao tác điểm hoàn toàn được xác định bởi hàm biến đổi tỷ lệ xám (gray-scale
transformation-GST), f(D), chỉ ra phép ánh xạ mức xám đầu vào thành mức xám đầu
ra.
6.1.1 Ứng dụng của thao tác điểm
Thao tác điểm đôi khi được sử dụng để khắc phục những hạn chế của bộ số hoá
ảnh trước khi bắt đầu xử lý thực sự. Tầm quan trọng không kém của thao tác điểm
lad cỉa thiện quá trình hiển thị ảnh.
Điều chỉnh quang trắc (Photometric Calibration). Thường là điều mong muốn
để có được các mức xám của một ảnh số phản ánh một vài tính chất vật lý, như
cường độ ánh sáng hay mật độ quang học. Phép toán trên điểm có thể thực hiện công
việc này bằng cách di chuyển các kết quả của tính phi tuyến bộ cảm biến ảnh. Cho ví
dụ, giả sử một ảnh được số hoá bằng một thiết bị đáp ứng với cường dọ ánh sáng phi
tuyến. Phép toán trên điểm có thể biến đổi tỷ lệ xám để các mức xám biểu diễn sự gia
tăng cường độ ánh sáng. Đây là một ví dụ cho sự điều chỉnh quang trắc (photometric
calibration).
Một chức năng hữu ích khác của phép toán trên điểm là biến đổi khối mức xám.
Giả sử một ảnh hiển vi được số hoá bởi thiết bị, mà thiết bị này có thể tạo ra những
giá trị mức xám tuyến tính với hệ số truyền của mẫu xét nghiệm. Phép toán trên điểm


69

được sử dụng để tạo ra ảnh với các mức xám thể hiện các bậc của mật độ quang học.
Chúng ta có thể xem xét sự điều chỉnh quang trắc dưới khía cạnh phần mềm số hoá
ảnh.
Tăng cường độ tương phản (Contrast Enhancement). Trong một số ảnh số,
những đặc điểm quan trọng chỉ chiếm giữ một phạm vi mức xám hẹp có liên quan
mà thôi. Người ta có thể sử dụng phép toán trên điểm để mở rộng các đặc điểm
tương phản quan trọng nhằm chiếm giữ phần lớn phạm vi mức xám hiển thị. Thỉnh
thoảng điều này cũng được gọi là tăng cường độ tương phản, hay giãn độ tương

phản.
Điều chỉnh hiển thị (Display Calibration). Một vài thiết bị hiển thị có phạm vi
mức xám được ưu tiên, mà với các mức xám đó ảnh trở nên rõ rệt nhất. Các đặc điểm
tối hơn và sáng hơn, có độ tương phản tương tự trong ảnh số, cũng không xuất hiện
đây. Trong trường hợp này, người sử dụng có thể dùng phép toán trên điểm để bảo
đảm rằng những đặc điểm quan trọng rơi vào phạm vi có thể nhìn thấy được tối đa
(maximum -visibility).
Nhiều thiết bị hiển thị không duy trì mối quan hệ tuyến tính giữa mức xám của
một điểm ảnh trong ảnh số với độ chói của điểm tương ứng trên màn hình hiển thị.
Tương tự, nhiều bộ ghi film không thể chuyển đổi các mức xám tuyến tính thành mật
độ quang học. Những thiếu sót này có thể khắc phục bằng cách một phép toán trên
điểm được thiết kế thích hợp trước khi hiển thị ảnh. Cùng được thực hiện, phép toán
trên điểm và các tính chất phi tuyến kết hợp để huỷ bỏ lẫn nhau, và điều này bảo toàn
tính tuyến tính của ảnh hiển thị. Chuỗi hành động này được gọi là sự điều chỉnh hiển
thị.
Đôi khi sự trình bày ảnh chính xác đòi hỏi một quan hệ phi tuyến đặc biệt. Tính
phi tuyến này được định rõ bởi gamma của màn hình TV và CRT. Các phép toán trên
điểm có thể sửa chữa và hiệu chỉnh gamma của những thiết bị hiển thị ảnh.
Thỉnh thoảng, các phép toán trên điểm cũng được xem như là các bước xử lý ảnh
đưa ra chi tiết hay tăng thêm sự tương phản giữa các phần tử thuộc ảnh. Tuy nhiên,
cái gì thực sự đang được thực hiện, đang làm cho các mức xám của các phần ảnh
quan trọng phù hợp với phạm vi tương phản của thiết bị hiển thị, khi thông tin đó
hiện diện trên ảnh số suốt cả một khoảng thời gian dài. Vì thế, chúng ta có thể xem
xét sự điều chỉnh hiển thị và tăng cường độ tương phản dưới khía cạnh phần mềm
hiển thị ảnh số.
Đường bao (Contour Lines). Một phép toán trên điểm có thể thêm các đường
bao vào một ảnh. Ta cũng có thể thực hiện sự chọn ngưỡng với phép toán trên điểm
để dựa trên mức xám mà phân chia ảnh thành các miền rời nhau. Điều này thường
được sử dụng để định nghĩa các đường biên hay làm mặt nạ cho các phép toán tiếp
theo sau.

Sự cắt rời (Clipping). Bởi vì ảnh số thường được lưu trữ dưới dạng số nguyên
(thường là byte), nên phạm vi các mức xám có sẵn tất yếu bị hạn chế. Đối với ảnh 8
bit, mức xám đầu ra phải được cắt rời ra thành mảng 0 – 255 trước khi mỗi giá trị
điểm ảnh được gán vào. trong chương này, chúng ta giả thiết rằng mỗi phép toán trên
điểm theo sau một bước thiết lập các giá trị âm đến không và giới hạn các giá trị
dương đến mức xám cực đại D
m
.
6.1.2 Các kiểu phép toán trên điểm
Để thuận tiện ta chia các phép toán trên điểm thành các loại khác nhau.
6.2.2.1 Phép toán tuyến tính trên điểm (Linear Point Operations)
Đầu tiên, chúng ta xem xét các phép toán trên điểm mà trong đó mức xám đầu ra
là hàm tuyến tính của mức xám đầu vào. trong trường hợp này, hàm chuyển đổi tỷ lệ
xám của biểu thức (1) có dạng


70

baDDfD
AAB
 )( (2)
ở đây D
B
là mức xám của điểm ra tương ứng với điểm vào có mức xám D
A
(Hình
6-1). Rõ ràng nếu a = 1 và b = 0, chúng ta có phép toán giống hệt và chỉ đơn thuần
là sao chép A(x,y) sang B(x,y). Nếu a > 1, độ tương phản của ảnh đầu ra sẽ tăng lên.
Với a < 1, độ tương phản sẽ giảm. Nếu a = 1 và b


0, phép toán chỉ đơn thuần là
dịch chuyển các giá trị mức xám của tất cả các điểm ảnh lên hoặc xuống. Kết quả là
làm cho toàn bộ ảnh tối hơn hoặc sáng hơn khi hiển thị. Nếu a âm (a < 0), các vùng
tối sẽ trở thành sáng, các vùng sáng trở thành tối và ảnh được phép toán bổ sung cho
dầy đủ.
HÌNH 6-1
Hình 6-1 Phép toán tuyến tính trên điểm
6.2.2.2 Phép toán đơn điệu tăng phi tuyến trên điểm (Nonlinear Monotonic
Point Operations)
Tiếp theo chúng ta sẽ xem xét các hàm biến đổi tỷ lệ xám không giảm-hệ số góc
dương của những hàm này bị hạn chế ở khắp nơi. Những hàm này duy trì dáng vẻ
bên ngoài cơ bản của ảnh, nhưng không ràng buộc như phép toán tuyến tính.
Những phép toán phi tuyến có thể được phân loại theo tác dụng đối với các mức
xám tầm trung bình. Hình 6-2 đưa ra một hàm biến đổi tỷ lệ xám để nâng mức xám
của các điểm ảnh trung bình lên trong khi để mặc các điểm ảnh tối và sáng thay đổi
chút ít. Một ví dụ cho hàm biến đổi tỷ lệ xám trên là

)()( xDCxxxf
m

(3)
HÌNH 6-2
Hình 6-2 Phép toán phi tuyến trên điểm


71

trong đó D
m
là mức xám cực đại và tham số C xác định lượng tăng (C > 0) hay

giảm (C < 0) trong phạm vi xám trước khi thực hiện phép toán.
Loại phép toán đơn điệu tăng phi tuyến trên điểm thứ hai làm tăng độ tương phản
bên trong các đối tượng tầm trung bình không có lợi cho những đối tượng sáng và
tối. Hàm biến đổi tỷ lệ xám, ký hiệu là S (shaped), trên đây có hệ số góc lớn hơn 1 ở
giữa và bé hơn 1 trong về phía các đầu mút. Một ví dụ dựa trên hàm sin là

10#)
2
1
(sin
)
2
sin(
1
1
2
0)( 





















m
m
D
x
D
xf
(4)
trong đó lược đồ trong phạm vi mức xám từ 0 đến D
m
là khác không. Tham số 
càng lớn thì ảnh hưởng của các mức xám trung bình càng quan trọng.
Loại phép toán đơn điệu tăng phi tuyến trên điểm thứ ba làm giảm độ tương phản
các đối tượng tầm trung bình và tăng độ tương phản trong những đối tượng sáng và
tối. Hàm biến đổi tỷ lệ xám trên đây có hệ số góc bé hơn 1 ở đoạn giữa và lớn hơn 1
ở phía các đầu mút. Một ví dụ dựa trên hàm tang là

10#)
2
1
(tan
)
2
tan(

1
1
2
)( 




















m
m
D
xD
xf
(5)

tham số  xác định hiệu quả của phép toán trên điểm quan trọng như thế nào.
6.2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN ĐIỂM VÀ LƯỢC ĐỒ MỨC XÁM
Sự thảo luận trước đây đã gợi ý rằng một phép toán trên điểm làm thay đổi lược
đồ mức xám theo cách dự đoán. Bây giờ chúng ta sẽ đưa ra câu hỏi dự đoán lược đồ
ảnh ra, từ lược đồ ảnh vào và dạng hàm biến đổi tỷ lệ xám.
Khả năng này rất hữu ích do hai nguyên nhân. Thứ nhất, người ta có thể mong
muốn thiết kế một phép toán trên điểm để chia tỷ lệ các mức xám đầu ra thành một
phạm vi được định nghĩa trước hay tạo ra lược đồ ra của một dạng đặc biệt. Thứ hai,
bài tập này phát triển sự hiểu biết sâu sắc của con người thành kết quả của các phép
toán có thể có lên trên ảnh. Sự hiểu biết trên chứng tỏ khả năng dự đoán là rất hữu
ích khi ta thiết kế các phép toán trên điểm.
6.2.1 Lược đồ mức xám đầu ra (Output Histogram)
Giả sử một phép toán trên điểm được định nghĩa bởi hàm biến đổi tỷ lệ xám f(D),
biến đổi ảnh đầu vào A(x,y) thành ảnh ra B(x,y). Cho H
A
(D), lược đồ của ảnh đầu
vào, chúng ta sẽ nhận được một biểu thức lược đồ ảnh đầu ra. Mức xám của một
điểm ảnh đầu ra tuỳ ý cho bởi
)(
AB
DfD  (6)
trong đó D
A
là mức xám của điểm ảnh đầu vào tương ứng. Hiện giờ, chúng ta hãy
giả thiết rằng f(D) là hàm không giảm với hệ số giới hạn. Vì thế, tồn tại hàm nghịch
đảo của nó, và chúng ta có thể viết

)(
1
BA

DfD


(7)
Chúng ta sẽ tìm cách vượt qua hạn chế này sau.
Hình 6-3 minh hoạ mối quan hệ giữa lược đồ đầu vào, hàm biến đổi tỷ lệ xám và
lược đồ đầu ra. Mức xám D
A
biến đổi thành mức xám D
B
, tương tự, mức xám D
A
+


72


D
A
biến đổi thành D
B
+

D
B
. Hơn nữa, tất cả cá điểm ảnh với các mức xám giữa D
A

và D

A
+

D
A
đều sẽ biến đổi thành các mức xám giữa D
B
và D
B
+

D
B
. Vì vậy, số
lượng các điểm ảnh đầu ra có các mức xám giữa D
B
+

D
B
bằng số lượng các điểm
ảnh đầu ra có các mức xám giữa D
A
+

D
A
. Điều này ngụ ý rằng khu vực nằm dưới
H
B

(D) giữa D
B
và D
B
+

D
B
tương tự như dưới H
A
(D) giữa D
A
và D
A
+

D
A
, hoặc




AA
A
BB
B
DD
D
A

DD
D
B
dDDHdDDH )()( (8)


HÌNH 6-3
Hình 6-3 Kết quả của phép toán điểm trên lược đồ mức xám
Nếu chọn

D
A
đủ nhỏ,

D
B
cũng sẽ nhỏ và chúng ta có biểu thức xấp xỉ với tích
phân:

AAABBB
DDHDDH  )()( (9)
Bây giờ chúng ta tính giá trị lược đồ đầu ra

AB
AA
BB
DD
DH
DH



/
)(
)( (10)
và lấy giới hạn khi

D
A
tiến đến không. Bởi vì f(D) có hệ số góc luôn khác không
cho nên

DB cũng tiến đến không, cho ta

AB
AA
BB
dDdD
DH
DH
/
)(
)(  (11)
Nhưng vì D
B
được cho bởi biểu thức (6) nên chúng ta có thể thay vào để được

)()/(
)(
)(
AA

AA
BB
DfdDd
DH
DH  (10)
Bây gờ chúng ta có thể kết hợp các biến độc lập trong phương trình này: D
B
bên
trái còn D
A
bên phải. Chúng ta có thể khắc phục điều này bằng cách thay thế hàm
nghịch đảo cho bởi biểu thức (7). Cuối cùng ta được dạng tổng quát

)](['
)]([
)(
1
1
Dff
DfH
DH
A
B


 (13)
trong đó


73


dDdff /'

(14)
và bỏ qua chỉ số dưới.
6.2.2 Một số ví dụ
6.2.2.1 Phép toán tuyến tính trên điểm (Linear Point Operation)
Xem xét phép toán tuyến tính trên điểm cho bởi biểu thức (2). Chúng ta chú ý
rằng đạo hàm của nó là a và nghịch đảo của nó là

abDDfD
BBA
/)()(
1


(15)
Thay vào biểu thức (13) ta được

a
bD
H
a
DH
AB
)(1
)(

 (16)
Lưu ý rằng b > 0 sẽ làm dịch lược đồ sang phải, trong khi b < 0 làm dịch lược đồ

sang trái. Cũng như vậy, a > 1 sẽ mở rộng lược đồ đồng thời làm giảm biên độ, để
giữ khu vực dưới lược đồ không đổi. Với a < 1 cho kết quả ngược lại.
Để làm nổi bật kết quả của phép toán tuyến tính trên điểm, chúng ta hãy giả thiết
rằng lược đồ đầu vào có dạng Gauss, cho bởi

2
)(
)(
cD
A
eDH


(17)
và được trình bày trong hình 6-4. Thay vào biểu thức (16) ta được

2
)]/(/[
1
)(
abcaD
B
e
a
DH


(18)
như trong hình. Lược đồ đầu ra cũng có dạng Gauss, nhưng đỉnh của nó bị biến
đổi thành c + b/a. Tương tự, chiều rộng (tại điểm 1/e) đi từ 1 đến a, trong khi độ cao

đi từ 1 đến 1/a.
HÌNH 6-4
Hình 6-4 Kết quả của một phép toán tuyến tính điểm trên lược đồ Gauss
6.2.2.2 Phép toán bậc hai trên điểm (Second-Order Point Operation)
Xem xét phép toán định luật bình phương trên điểm như một ví dụ thứ hai

2
)(
AAB
DDfD 
(19)
Tính toán trên một ảnh với lược đồ mức xám của nó

2
)(
A
D
AA
eDH


(20)


74

Là nửa trái của xung Gauss. Cả nửa được thể hiện trong hình 6-5
HÌNH 6-5
Hình 6-5 Một phép toán luật bình phương trên điểm
Dùng biểu thức (13), chúng ta rút ra được lược đồ đầu ra


B
D
BB
D
e
DH
B
2
)(

 (21)
được cho trong hình 6-6
HÌNH 6-6
Hình 6-6 Lược đồ đầu ra từ phép toán luật bình phương trên điểm
6.2.2.3 Phép biến đổi xích ma (Sigmoid Transformation)
Xem xét sự kéo giãn hàm sin của biểu thức (4) hoạt động trên một ảnh với lược đồ
hai phương thức
),,(),,()(
2211 AAAA
DGDGDH

 (16)
đưa ra trong hình 6-7b. Đây là đặc trưng của các đối tượng có mức xám cao của
ảnh trên một nền có mức xám thấp.


75

HÌNH 6-7

Hình 6-7 Ví dụ kéo giãn hàm sin; (a) sự biến đổi; (b) lược đồ và
o;
(c) biến đổi ngược; (d) lược đồ ra
Giải phương trình (4) với nghịch đảo của nó dẫn đến























2
sin1
2

sin
2
)(
11



m
mm
D
D
DD
Df (23)
Trong khi đạo hàm của hàm biến đổi là
























2
1
cos
2
sin2
m
D
x
dx
df




(24)
Thay chúng vào biểu thức (13) ta được lược đồ rs cho trong hình 6-7d. lưu ý rằng
sự khác biệt giữa các đỉnh được tăng bởi phép toán điểm này.
6.2.3 Trường hợp tổng quát
Trong phép đạo hàm để có được biểu thức (13), chúng ta đã giả sử rằng f(D) hữu
hạn, hệ số góc luôn khác không. Nếu, thay vì, f(D) có hệ số góc bằng không, thì khu
vực hữu hạn dưới lược đồ H
A
sẽ được thu gọn lại thành một dải có bề rộng vô cùng

nhỏ trong H
B
, làm thành một xung nhọn, như biểu thức (13) đề xuất. Nói cách khác,
nếu f(D) có hệ số góc hữu hạn, thì trường hợp ngược lại: một dải rất hẹp dưới H
A

được mở rộng từ đầu đến cuối khoảng hữu hạn trong H
B
, tạo ra một giá trị nhỏ xấp xỉ
không cho lược đồ ra. Vì thế, cấu trúc của hình 6-3 có giá trị trong hai trường hợp
đặc biệt kể trên, và các lược đồ ra hoạt động theo biểu thức (13).
Nếu hàm biến đổi tỷ lệ xám f(D) không phải là hàm đơn điệu tăng, thì hàm nghịch
đảo của nó không tồn tại, và biểu thức (13) không được sử dụng một cách trực tiếp.
Tuy nhiên, phạm vi mức xám vào có thể được chia nhỏ thành các khoảng rời nhau,
để có thể sử dụng kỹ thuật được phát triển trước đây. Quá trình trên phân chia ảnh
vào thành các miền giáp nhau và tách rời nhau và lược đồ ra là tổng cộng của các
lược đồ của các miền riêng lẻ.
6.3 ỨNG DỤNG CỦA CÁC PHÉP TOÁN TRÊN ĐIỂM
6.3.1 Cân bằng lược đồ (Histogram Equalization)
Giả sử chúng ta coi rằng một phép toán trên điểm thực hiện một ảnh đầu vào đã
cho thành một ảnh đầu ra với nhiều điểm ảnh bằng nhau tại từng mức xám (lược đồ
bằng phẳng). Phép toán trên có thể sử dụng cho việc định dạng ảnh thích hợp trước
khi so sánh hay phân vùng. Số điểm ảnh tại mỗi mức xám sẽ là A
0
/D
m
, trong đó D
m
là
mức xám cực đại và A

0
là diện tích ảnh. Hình 6-8 cho thấy ba ảnh với lược đồ và
hàm diện tích chuẩn hoá của chúng. Ảnh trái và ảnh giữa minh hoạ quá trình san
phẳng lược đồ.


76

Lưu ý từ biểu thức (13) rằng lược đồ ra tỷ lệ với hai hàm của cùng một đối số
(argument). Rõ ràng tỷ lệ này sẽ là hằng số nếu tử số và mẫu số là cùng một hàm,
nếu

)()(
0
1
DH
A
D
Df
m


(25)
Tích phân hai vế biểu thức (25), ta sẽ đáp ứng được điều kiện trên



D
m
duuH

A
D
Df
0
0
)()( (26)
HÌNH 6-8
Hình 6-8 Cân bằng lược đồ và phù hợp lược đồ
Nhớ lại ở chương 5 là hàm mật độ xác suất (probability density function-PDF) của
một ảnh là lược đồ của nó chuẩn hoá thành đơn vị diện tích; đó là
)(
1
)(
0
DH
A
Dp  (27)
Trong đó H(D) là lược đồ và A
0
là diện tích ảnh. Cũng cần nhớ lại rằng hàm phân bố
tích luỹ (cumulative distribution function-CDF) của ảnh là diện tích của nó-hàm
ngưỡng diện tích đã chuẩn hoá:



DD
duuH
A
duupDP
0

0
0
)(
1
)()(
(28)
Vì thế, CDF là phép toán san phẳng lược đồ, chẳng hạn,
)()( DPDDf
m
 (29)
Và hàm cân bằng lược đồ GST cho hình 6-8 là
)],([)],([),( yxAPDyxAfyxB
m
 (30)
CDF là hàm đặc biệt tối ưu, vì nó luôn luôn hữu hạn và không âm, hệ số góc
không âm.
Sau một phép toán cân bằng lược đồ trên điểm, lược đồ thực sự thường sẽ biểu
hiện khá rời rạc do số lượng hạn chế các mức xám có sẵn. Một vài mức xám nào đó
sẽ bị bỏ trống và các mức khác sẽ có mật độ cao. Tuy nhiên, trung bình lược đồ sẽ
xấp xỉ ằng phẳng. Hình 6-9 cho thấy một ví dụ về cân bằng lược đồ.


77

6.3.2 Làm phù hợp lược đồ (Histogram Matching)
Thỉnh thoảng nó cần thiết để biến đổi một ảnh để cho lược đồ của nó phù hợp với
ảnh khác hay một dạng hàm đã được định rõ. Ví dụ, điều này có thể được sử dụng
trước khi so sánh hai ảnh của cùng một cảnh khi chúng đã được số hoá dưới những
điều kiện ánh sáng khác nhau.
Trong hình 6-8, giả sử chúng ta muốn biến đổi A(x,y) thành C(x,y) với lược đồ

H
3
(D) định trước. Chúng ta có thể thực hiện việc này theo hai bước, trước hết dùng
f(D) biến đổi A(x,y) thành B(x,y) với lược đồ bằng phẳng như trước đây, sau đó tác
động lên B(x,y) thông qua phép toán trên điểm thứ hai, g(D), để tạo ra C(x,y), đó là
)],([),( yxBgyxC

(31)
Từ biểu thức (31), chúng ta đã biết điều gì được yêu cầu để tạo ra B(x,y). Hơn
nữa, chúng ta biết rằng phép toán trên điểm
)],([),(
3
yxCPDyxB
m
 (32)
sẽ biến C(x,y) thành một ảnh với một lược đồ bằng phẳng và vì thế trái ngược với
điều mà chúng ta yêu cầu.
Việc biểu diễn B(x,y) như trong biểu thức (32), chúng ta có thể viết phép toán trên
điểm thứ hai, biểu thức (31), như sau



)],([),(
3
yxCPDgyxC
m

(33)
Điều này có nghĩa là tiếp theo ứng dụng liên tiếp của D
m

P
3
(D) thì hàm g(D)
không tạo ra kết quả cuối cùng. Vì thế, g(D) là hàm nghịch đảo của D
m
P
3
(D); đó là
)/()(
1
3 m
DDPDg

 (34)
Bây giờ, nếu chúng ta muốn biến đổi A(x,y) thành C(x,y) theo bước một, chúng ta
có thể ràng buộc hai phép toán trên điểm vào nhau, và sau đó







)],([),(),(
1
1
3
yxAPPyxAfgyxC



(35)
Lưu ý rằng thay thế các biểu thức (30) và (34) vào biểu thức (35), thì sẽ loại bỏ
được D
m
.
6.3.3 Điều chỉnh quang trắc (Photometric Calibration)
Về phương diện lịch sử, một trong những công dụng quan trọng nhất của các phép
toán trên điểm là việc loại bỏ tính phi tuyến quang trắc vốn có của bộ số hoá. Giả sử
một bộ số hoá film nào đó có mối quan hệ phi tuyến giữa mật độ film đầu vào và
mức xám đầu ra của nó. Chúng ta có thể xem điều này như một bộ số hoá lý tưởng
theo sau bởi một phép toán phi tuyến trên điểm. Chúng ta muốn thiết kế một phép
toán phụ trên điểm để khôi phục tính tuyến tính bằng cách tái tạo lại ảnh như khi nó
vừa đươchất lượng lấy từ bộ số hoá lý tưởng. Quá trình này được trình bày trong
hình 6-10. Phép biến đổi tỷ lệ xám của bộ số hoá có trong một dạng hàm hay có thể
đo được. Chúng ta chọn g(D) sao cho kết quả cuối cùng của hai phép toán trên điểm
đã sắp xếp bằng 0; tức là,





),(),(),( yxAyxAfgyxC  (36)
Điều trên có được là nhờ
)()(
1
DfDg

 (37)



78

HÌNH 6-9
Hình 6-9 Cân bằng lược đồ
HÌNH 6-10
Hình 6-10 Điều chỉnh quang trắc
Bởi vì kết quả của một phép toán trên điểm là hàm nghịch đảo của nó.
Đồ thị truyền đạt tỷ lệ xám của bộ số hoá f(D) có thể xác định bởi quá trình số
hoá. Hàm này thường không giảm và dễ dàng đảo số lượng để tạo ra phép biến đổi tỷ
lệ xám yêu cầu. Có thể gặp phải khó khăn nếu sự bão hoà của bộ số hoá khiến cho hệ
số góc của f(D) bằng 0.
Xem xét đồ thị truyền đạt của bộ số hoá như một ví dụ về điều chỉnh quang trắc

baDDfD
AAB

2
)(
(38)
Giải biểu thức (38) theo D
A
, ta được phép biến đổi yêu cầu là

a
bD
Dg
B
B

)( (39)

Thay biểu thức (38) vào biểu thức (39) cho ta

ABC
DDgD  )( (40)
như mong muốn.
Sự biến đổi về không gian (Spactial Variation). Các bộ số hoá xác định từng
điểm ảnh với cùng một thiết bị cảm nhận, nói chung là có một hàm nhậy cảm với tỷ
lệ xám không đổi trong toàn bộ ảnh. Các bộ số hoá khác, như vidicon hay CCD, có
thể có độ nhậy cảm biến thiên theo không gian, từng điểm ảnh đều khác nhau. Trong
trường hợp này, một phép toán trêm điểm đơn giản không đủ khả năng, và có thể đòi
hỏi một phép toán đại số, sẽ được đề cập trong chương tiếp theo. Có thể cần đến một
phép toán trên điểm biến thiên theo không gian, được thực hiện bằng cách chia ảnh
thành các miền và thực hiện từng phép toán trên điểm riêng biệt cho từng miền. Nó
phải thiết thực đẻ định rõ dạng hàm của một phép biến đổi tỷ lệ xám biến thiên theo
không gian. Mặc dù một phép toán trên điểm biến thiên theo không gian không thích


79

hợp định nghĩa đã nêu ở đầu chương này, nhưng chúng ta có thể coi nó như một sự
suy rộng khái niệm ban đầu.
Hình 6-11(a) cho thấy ảnh một cánh đồng được chụp bởi camera B của Mariner
10, sau khi tăng cường độ tương phản bằng cách nhân với hệ số 10. Mô hình độ mờ
chiếm độ 25 trong 256 mức xám. Sau khi điều chỉnh mô hình độ mờ chỉ còn khoảng
5 mức xám. Hình 6-11(b) đưa ra ảnh đông bằng đã điều chỉnh sau khi tăng cường độ
tương phản với hệ số 50.
HÌNH 6-11
Hình 6-11 Ví dụ điều chỉnh quang trắc MVM'73; (a) ảnh đồng bằng trước khi
điều chỉnh, độ tương phản  10; (b) sau khi điều chỉnh, độ tương phản  50
6.3.4 Điều chỉnh hiển thị

Người ta có thể sử dụng mộttiếp cận tương tự với cách trước đây để thiết kế một
phép toán trên điểm mà có thể bổ sung cho tính phi tuyến hiển thị. Trong trường hợp
này, người ta sẽ coi quá trình hiển thị chưa hoàn hảo như một quá trình hiển thị lý
tưởng theo sau một phép toán trên điểm phi tuyến, như trình bày trong hình 6-12.
Phép biến đổi g(D) được cho trước, và f(D) phải được xác định. Bởi vì chúng ta
muốn xoa bỏ g(D) trước, nên phép biến đổi tỷ lệ xám yêu cầu được cho bởi

)()(
1
DgDf


(41)
HÌNH 6-12
Hình 6-12 Điều chỉnh hiển thị
6.4 TỔNG KẾT NHỮNG ĐIỂM QUAN TRỌNG
1. Phép toán trên điểm biến đổi tỷ lệ xám của một ảnh.


80

2. Phép toán trên điểm thường được sử dụng đối với điều chỉnh quang trắc, điều
chỉnh hiển thị, tăng cường và thay đổi lược đồ.
3. Hàm biến đổi tỷ lệ xám biểu diễn ánh xạ giữa các giá trị mức xám đầu vào và
đầu ra sẽ định rõ phép toán trên điểm.
4. Lược đồ của một ảnh được xác định bởi một phép toán trên điểm có thể tính
từ biểu thức (13).
5. Phép toán tuyến tính trên điểm chỉ có thể kéo giãn hay nén lược đồ và dịch nó
sang trái hay sang phải.
6. Hàm phân bố tích luỹ (CDF) (hàm diện tích đã chuẩn hoá) là phép toán trên

điểm san phẳng ls.
7. Lược đồ của một ảnh có thể biến đổi thành dạng mong muốn bằng cách ghép
một phép toán trên điểm san phẳng lược đồ ban đầu với phép toán nghịch đảo
san phẳng lược đồ mong muốn (biểu thức (35)).
8. Điều chỉnh quang trắc của một ảnh số hoá được thực hiện bởi một phép biến
đổi tỷ lệ xám, phép biến đổi này nghịch đảo với đồ thị độ nhậy phi tuyến của
bộ số hoá (biểu thức (35)).
9. Điều chỉnh hiển thị đối với ảnh số được thực hiện bởi một phép biến đổi tỷ lệ
xám, phép biến đổi này nghịch đảo với đồ thị đáp ứng phi tuyến của thiết bị
hiển thị (biểu thức (41)).
BÀI TẬP
1. Với giá trị nào của a và b trong phép giãn tuyến tính sẽ di chuyển hai đỉnh
của một lược đồ hai phương thức (bimodal) từ 23 và 155 sang 16 và 240
tương ứng? Phác hoạ hàm biến đổi tỷ lệ xám (gray-scale transformation -
GST) và hai lược đồ.
2. Với giá trị nào của a và b trong phép giãn tuyến tính sẽ di chuyển A và B,
trong đó 0

A < B

255, thành 0 và Dm tương ứng? Phác hoạ hàm biến đổi
tỷ lệ xám (GST) với A = 32, B = 200 và D
m
= 255.
3. Phát triển một hàm trên cơ sở hàm tang hyperbol (tanh). Biểu diễn nó trong
dạng tương tự với biểu thức (4). Giả thiết rằng D
max
= 63. Nếu lược đồ của
ảnh đầu vào là 5G[2,20,D] + G[5,35,D], phác hoạ lược đồ ảnh ra khi


=
1.0. G[

,

,x] = Gauss.
4. Phát triển một hàm GST trên cơ sở hàm sin hyperbol (sinh). Biểu diễn nó
trong dạng tương tự với biểu thức (4). Giả thiết rằng D
max
= 63. Nếu lược đồ
của ảnh đầu vào là 5G[2,20,D] + G[5,35,D], phác hoạ lược đồ ảnh ra khi

=
1.0.
5. Một ảnh 8 bit có lược đồ cho bởi H(D) = 1,704sin(

D/255). Xuất phát từ một
biểu thức đối với hàm GST mà sẽ san phẳng lược đồ. Phác hoạ lược đồ và
hàm GST. Sử dụng biểu thức (13) để chứng minh rằng hàm GST nhận được
trong bài tập này thực sự tạo ra một lược đồ bằng phẳng.
6. Nếu H
1
= 12 A
0
[(D/Dm)
2
- (D/Dm)
3
], phác hoạ hàm GST san phẳng H
1

.
7. Giả sử bạn có hai bức ảnh một toà nhà được chụp bởi những người khác nhau
đứng cùng một vị trí cách nhau bốn tiếng đồng hồ trong cùng một ngày.
Trong khoảng thời gian giữa các lần chụp, ba phát súng được bắn đi từ một
trong những cửa sổ. Các thám tử đang điều tra về vụ này không biết được
những phát súng đực bắn đi từ phòng nào. Nghiên cứu kỹ lưỡng tấm film
bằng mắt cũng không phát hiện được có cửa sổ nào đó mở hay đóng trong
khoảng thời gian xảy ra vụ việc hay không. Tuy nihên, các thám tử muốn biết


81

có vị trí của một cửa sổ nào đó bị thay đổi trong khoảng thời gian kể trên hay
không.
Bạn hãy số hoá, sắp xếp và trừ hai ảnh cẩn thận (hơn cả trong chương 7 đã
làm). Tuy nhiên, sự khác nhau của các camera, film và sự chiéu sáng sẽ
không đem lại cho bạn kết quả ảnh hiệu cuối cùng.
Với phép xấp xỉ đúng, lược đồ của hai ảnh được cho bởi phân bố beta

!!
)!1(
1)(
0























 C
D
D
D
D
CADH
mm


trong đó D
m
= 63,

=1 và


= 1 đối với ảnh thứ nhất,

= 2 và

= 1 đối với
ảnh thứ hai. Hàm GST sẽ như thế nào để: (a) san phẳng lược đồ của ảnh thứ
nhất? Phác hoạ hàm. (b) san phẳng lược đồ của ảnh thứ hai? Phác hoạ hàm.
(c) làm cho lược đồ của ảnh thứ nhất phù hợp với lược đồ của ảnh thứ hai?
Phác hoạ hàm. (d) làm cho lược đồ của ảnh thứ hai phù hợp với lược đồ của
ảnh thứ nhất? Phác hoạ hàm. Nếu kết quả là đáng thuyết phục, bạn nghĩ FBI
sẽ trả bao nhiêu cho công việc của bạn? Nếu kết quả là đáng không thuyết
phục, bạn nghĩ một tờ báo nhỏ sẽ trả bao nhiêu cho ảnh đã xử lý của bạn?
8. Giả sử bạn có hai tấm film X-quang chụp ngay trước và sau khi tiêm môi chất
tương phản (thuốc nhuộm) vào động mạch tim của một bệnh nhân. Các bác sĩ
X-quang đang nghiên cứu các tấm film để xác định nên phẫu thuật vòng qua
vành tim hay yêu cầu thay thế van tim. Bình thường họ sử dụng ảnh số để
nhìn thấy thuốc nhuộm khi nó nằm đầy trong các tia động mạch. Tuy nhiên,
trong trường hợp này, vấn đề phơi sáng và hiện ảnh của hai fim khiến cho
việc so sánh không đạt được kết quả cuối cùng. Bệnh nhân quá yếu để chịu
đựng thủ tục chụp X-quang mạch thêm một lần nữa. Chỉ có phép trừ (chương
7) hai ảnh số mới phát hiện ra quy mô căn bệnh này.
Với phép xấp xỉ đúng, lược đồ của hai ảnh được cho bởi phân bố Rayleigh

2
2
2
2
)(



D
m
e
DD
DH



trong đó D
m
= 63,

=16 đối với ảnh thứ nhất,

= 24 đối với ảnh thứ hai.
Hàm GST sẽ như thế nào để: (a) san phẳng lược đồ của ảnh trước khi tiêm
thuốc? Phác hoạ hàm. (b) san phẳng lược đồ của ảnh sau khi tiêm thuốc?
Phác hoạ hàm. (c) làm cho lược đồ của ảnh sau khi tiêm thuốc phù hợp với
lược đồ của ảnh trước khi tiêm thuốc? Phác hoạ hàm. (d) làm cho lược đồ của
ảnh trước khi tiêm thuốc phù hợp với lược đồ của ảnh sau khi tiêm thuốc?
Phác hoạ hàm.
9. Giả sử bạn có hai bức ảnh không thám (aeriaj reconnaissance) chụp ngay
trước và sau khi một máy bay cường kích tấn công một trạm tên lửa đất đối
không. Các nhà phân tích chiến lược đang nghiên cứu các tấm film để xác
định mức độ thiệt hại đối với phương tiện điều khiển ra đa của đối phương.
Đám mây di chuyển bên trên trận địa, kết hợp với việc phơi sáng film phụ
thuộc vào ánh sáng trong phòng tối (darkroom), khiến cho việc so sánh trực
tiếp không đạt được kết quả cuói cùng. Thật nguy hiểm để tiến hành một
chuyến bay thăm dò khác bởi vì có thể tên lửa vẫn còn hiện diện. Chỉ có phép
trừ hai ảnh số (chương 7) mới phát hiện ra mức độ thiệt hại.

Với phép xấp xỉ đúng, lược đồ của hai ảnh được cho bởi phân bố gamma



D
m
e
DD
DH


2
)(



82

trong đó D
m
= 63,

=8 đối với ảnh thứ nhất,

= 12 đối với ảnh thứ hai.
Hàm GST sẽ như thế nào để: (a) san phẳng lược đồ của ảnh trước khi tấn
công? Phác hoạ hàm. (b) san phẳng lược đồ của ảnh sau khi tấn công? Phác
hoạ hàm. (c) làm cho lược đồ của ảnh sau khi tấn công phù hợp với lược đồ
của ảnh trước khi tấn công? Phác hoạ hàm. (d) làm cho lược đồ của ảnh trước
khi tấn công phù hợp với lược đồ của ảnh sau khi tấn công? Phác hoạ hàm.

10. Một bộ số hoá tạo ra các mức xám có quan hệ với độ sáng của một cảnh theo
















m
m
D
x
D
xf

cos1
2
)(

Tìm biểu thức đối với hàm GST của một phép toán trên điểm mà sẽ tuyến
tính hoá quan hệ giữa độ sáng và mức xám.

11. Một camera CCD lắp trên một khung kính hiển vi tạo ra, trong ảnh số hoá,
các mức xám tỷ lệ với độ sáng của ảnh. Tìm biểu thức đối với hàm GST của
một phép toán trên điểm mà sẽ tuyến tính hoá quan hệ giữa độ sáng và mật độ
quang học (Phàn 2.7.1) của mẫu xét nghiệm.
12. Một màn hình hiển thị ảnh có gamma = 0.8. Tìm biểu thức đối với hàm GST
của một phép toán trên điểm mà sẽ hiển thị các ảnh (trên cùng một màn hình)
sao cho nó xuát hiện với gamma = 1.4. Chú ý f(D) = D
m
(x/D
m
)

.
13. Nếu H
1
(D) = 5G[2,10,D] + G[5,45,D], D
m
= 63 và f(D) đượcc cho bởi biểu
thức (5), hãy pác hoạ H
1
(D), f(D), f’(D), f
-1
, và lược đồ ra H
2
(D) với

= 0.7.
Với giá trị nào của  thì sẽ làm dịch chuyển đỉnh trái sang mức xám 15?
DỰ ÁN
1. Thực hiện một chương trình máy tính, cho một lược đồ như một ma trận, mà

sẽ đưa ra, trong thời gian thực, biểu đồ của phép kéo giãn tuyến tính lược đồ
đầu ra khi bạn điều chỉnh tham số A và B (Xem bài tập 2).
2. Thực hiện một chương trình máy tính, cho một lược đồ như một ma trận, mà
sẽ đưa ra , trong thời gian thực, biểu đồ của phép kéo giãn phi tuyến lược đồ
đầu ra khi bạn điều chỉnh tham số

. Xây dựng hàm GSTcăn cứ vào hàm sin,
arcsin, tang, arctang, sin hyperbol (sinh) hay tang hyperbol (tanh).
3. Thực hiện một chương trình máy tính mà (1) cho phép bạn thiết kế một hàm
GST bằng đồ thị, (2) thực hiện phép toán trên điểm và (3) hiển thị đồng thời
ảnh đầu vào, đầu ra và các lược đồ. Sử dụng dạng hàm đơn điệu tăng (chẳng
hạn, tuyến tính, sin, tanh, ) đối với phép biến đổi, cho phép ít nhất một tham
số có thể điều chỉnh.
4. Lập chương trình thực hiện một phép toán trên điểm để san phẳng lược đồ và
kiểm tra chương trình trên vài ảnh. Sử dụng phương pháp số học thay vì thừa
nhận một dạng hàm đối với lược đồ đầu vào.
5. Lập chương trình thực hiện một phép toán trên điểm để đưa ra một ảnh với
lược đồ hàm Gauss đã định rõ

và

, và kiểm tra chương trình trên vài ảnh.
Sử dụng phương pháp số học trên lược đồ đầu vào thực tế thay vì thừa nhận
một dạng hàm.
6. Lập chương trình thực hiện một phép toán trên điểm để kéo giãn một ảnh cho
phù hợp lược đồ của ảnh khác, và kiểm tra chương trình trên vài ảnh. Sử dụng
phương pháp số học dựa trên các lược đồ thực tế thay vì thừa nhận một dạng
hàm đối với hai lược đồ trên.