CHƯƠNG III. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
§1. KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

1.1.

Định nghĩa hàm số nhiều biến số
D là một tập hợp trong

2

, người ta gọi ánh xạ f : D

tương ứng với mỗi cặp số thực x, y

, tức là một quy tắc cho

D một số thực duy nhất z , ký hiệu là f x, y là

hàm số hai biến số, x và y là hai biến số độc lập. Ta ký hiệu
f : x, y

z

f x, y

D được gọi là miền xác định của hàm số f . Tập hợp

f D

z

z

f x, y ,

x, y

D

gọi là miền giá trị của hàm số f .
Chú ý: Theo định nghĩa trên thì miền xác định của f thuộc
thuộc .

2

, cịn miền giá trị của nó

Hàm số n biến số f x 1 , x2 ,..., xn được định nghĩa tương tự.
1.2.

Miền xác định

Nếu người ta cho hàm số hai biến số bởi biểu thức z

f x, y mà khơng nói gì về miền

xác định của nó thì miền xác định của hàm số đó được hiểu là tập hợp những cặp x, y
sao cho biểu thức f x, y có nghĩa.
Ví dụ 1: Hàm số z 2 x 3 y 5 xác định với mọi cặp x, y

2


, miền xác định của nó là

tồn bộ mặt phẳng.
Ví dụ 2: Hàm số z

1 x2

y 2 xác định khi 1 x 2

y2

0 hay x 2

y 2 1 , miền xác định

của nó là hình trịn đóng, tâm O , bán kính I ( hình 1).
Ví dụ 3: Hàm số z ln x y 1 được xác định khi x y 1 0 hay x y 1 , miền xác
định của nó là nửa mặt phẳng mở ở phía trên đường thẳng x y 1 (hình 2).


y

y

1

O

x


1

O

( hình 1)

1.3.

x

1

(hình 2)

Giới hạn của hàm số hai biến số
Ta nói rằng điểm M n xn , yn dần tới diểm M 0 xo , y0 trong

(hay xn , yn

x0 , y0 )khi n

và viết M n

M0

nếu
lim

xn


n

Cho hàm số f M

2

x0

2

yn

y0

2

0

f x, y xác định trong miền D chứa điểm M 0 x0 , y0 , có thể trừ

điểm M 0 . Ta nói rằng L là giới hạn của f x, y khi điểm M x, y dần tới điểm M 0 là
x, y

Ví dụ 4: Tính

lim

x, y


0,0

lim

x0 , y0

f x, y

L hay lim f M
M

xy

f x, y với f x, y

x

Giải:
Hàm số f x, y xác định trên
Vì

x
x2

y2

1,

x, y


2

M0

\ 0, 0 .
0, 0 , nên

2

y2

L.


x

f x, y
x

2

y2

Do đó với mọi dãy
Vậy

lim

x, y


y

y,

x, y

0, 0

dần tới 0, 0 , ta đều có

xn , yn

lim

xn , yn

0,0

0.

0

0,0

Ví dụ 5: Tính

xy

g x, y với g x, y


lim

x, y

0,0

x

2

y2

.

Giải:
2

Hàm số g x, y xác định trên
Ta thấy rằng

g x, y không tồn tại.

lim

x, y

\ 0, 0 .

0,0


Thật vậy, ta có:
+ Với dãy
lim

xn , yn

+

0,0

g xn , yn

Với

dần tới 0, 0 , ta chọn yn

xn , yn

g xn , xn

0,

xn

0 thì

0

dãy
2

xn
2
2 xn

0 , do đó g xn , 0

dần

xn , yn
1
,
2

0 thì

xn

tới
lim

xn , yn

0,0

Vì 0

1
nên khơng tồn tại
2


1.4.

0, 0 ,
g xn , yn

ta

chọn

yn

xn ,

do

đó

1
.
2

Tính liên tục của hàm số hai biến số

lim

x, y

0,0

g x, y .


Cho hàm số f x, y xác định trong miền D . M 0 x0 , y0 là điểm thuộc D . Ta nói rằng
hàm số f x, y liên tục tại M 0 nếu:
i) Tồn tại
ii)

x, y

lim

x0 , y0

x, y

lim

x0 , y0

f x, y ,

f x0 , y0

(1.1)


Hàm số f x, y được gọi là liên tục trong miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm của miền
D.

xy
x


Ví dụ 6: Xét tính liên tục của hàm số G x, y

2

x, y

,

0,

0, 0

x, y

y2

0, 0

Giải:
2

G x, y xác định trên tồn

. Nó liên tục tại mọi điểm x, y

0, 0 vì nó là thương của

hai hàm sơ liên tục với mẫu số khác 0. Chỉ còn phải xét tính liên tục của G x, y tại
0, 0 . Vì khơng tồn tại


xy

lim

x, y

0,0

x

2

y2

(xem ví dụ 5) nên G x, y khơng liên tục tại

0, 0 . Tóm lại G x, y liên tục tại mọi điểm x, y

Chú ý: Nếu đặt x x0

x, y

y , ta có

y0

f x, y

Lại đặt f


f x0

x , y0

0, 0 .

f x0

x, y 0

y

f x0 , y0 . Khi đó cơng thức (1.1) có thể được viết là

y

lim

x, y

0,0

f

0

(1.2)

Nói cách khác, hàm số f x, y liên tục tại M 0 x0 , y0 nếu hệ thức (2) được thỏa mãn.


§2. ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN TOÀN PHẦN

2.1. Đạo hàm riêng
2.1.1. Định nghĩa: z

f x, y là một hàm số xác định trong miền D , x0 , y0

một điểm thuộc D . Nếu cho y

y0 , y0 là hằng số, mà hàm số một biến số x

là

f x , y0

có đạo hàm tại x x0 thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng đối với x của hàm số f x, y
tại x0 , y0 và được ký hiệu là: f x x0 , y0 hay

f
x0 , y0 .
x

Vậy theo định nghĩa của đạo hàm hàm số một biến số, ta có:


f x x0 , y0

lim
x


f x0

x, y0

f x0 , y0
x

0

Tương tự, đạo hàm riêng đối với y của hàm số f x, y tại x0 , y0 ký hiệu là
f y x0 , y0

lim
y

f x0 , y0

y
y

0

f x0 , y0

Như vậy khi tính đạo hàm riêng đối với x của f , chỉ việc xem y là hằng số và lấy đạo
hàm của f đối với x ; khi tính đạo hàm riêng đối y của f chỉ việc xem x là hằng số và
lấy đạo của f đối với y .
x 4 5x3 y 2 2 y 4


Ví dụ 1: Tính các đạo hàm riêng của z
Giải:
z
x

4 x3 15 x 2 y 2 ;

z
y

xy

0 .

Ví dụ 2: Tính đạo hàm riêng của z

x

10 x3 y 8 y 3

Giải:
z
x

yx y 1 ;

Ví dụ 3: Tính đạo hàm riêng của z cos

z
y


x
, y
y

x y ln x

0

Giải:
z
x

x
x
sin .
y x y

1
x
.sin
y
y

z
y

x
x
sin .

y y y

x
x
sin
2
y
y

Chú ý 1: Đạo hàm riêng của hàm số n

2 biến số được định nghĩa tương tự. Khi tính

đạo hàm riêng của f đối với một biến số nào đó, ta xem các biến số khác là hằng số và
tính đạo hàm của f đối với biến số ấy.


2

Ví dụ 4: Tính các đạo hàm riêng của hàm số u e x y cos z
Giải:
u
x

u
x

2

e x y .2 x cos z;


u
z

2

e x y x 2 cos z;

2

e x y sin z

2.1.2. Đạo hàm riêng cấp cao
Các đạo hàm riêng f x , f y gọi là đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số z

f x, y . Chúng là

những hàm số của x, y . Vì vậy có thể xét các đạo hàm riêng của chúng: f x x , f x y ,
fy , fy
x

y

gọi là đạo hàm riêng cấp hai của f x, y . Ta dùng các ký hiệu sau:
fx

fx

x


y

x3 y 2

y

y

f yy

2

2

x2

2

f
y

z

2

f
x y

z
x y


2

2

f
x y

z
x y

2

f

2

y

f
y

y

f

x

f
x


x

f yx

fy

x 2e y

x

f xy

x

fy

Ví dụ 5: f x, y

f xx

2

f
x

2

y2


z

y5

Giải:
fx

2 xe y 3 x 2 y 2 ,

fy

x 2e y

f xx

2e y

f xy

2 xe y 6 x 2 y

fyx

2 xe y

f yy

x 2e y

6 xy 2


6x2 y

2 x3 y 5 y 4

2 x 3 20 y 3

Các đạo hàm riêng cấp cao hơn được định nghĩa tương tự. Chẳng hạn:
2

f xyy

f xy

y

y

f
y x

3
2

f

y x


Ta thừa nhận mà không chứng minh định lý quan trọng sau

Định lý 1(Schwarz): Nếu hàm số f x, y có các đạo hàm riêng f xy và f yx trong một
miền D và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tịa điểm x0 , y0
f xy x0 , y0

D thì

f yx x0 , y0

Ta đã thấy kết quả này ở ví dụ 5. Từ định lý Schwarz dễ dàng suy ra rằng f xyy

f yxy

f yyx

nếu chúng liên tục.
Đạo hàm riêng cấp cao của hàm số n
z 2e x

Ví dụ 6: u

2 biến số được định nghĩa tương tự.

yz

Giải:
z 2e x

ux

u xxy


yz

z 2e x

z 2e x

u xx
yz

z 3 .e x

z

yz

u xxyz

yz

3z 2e x

yz

z 3e x

yz

3z 2e x


y

yz

yz 3e x

yz

2.2. Vi phân toàn phần
2.2.1. Định nghĩa: Biết rằng nếu hàm số của một biến số f x xác định trong khoảng
và nếu tồn tại đạo hàm f ' x0 , x0 I thì số gia f x0

I

đó x0

x

f x0

f x0

f x0 , trong

x

I , có thể được biểu diễn dưới dạng:

f ' x0


x , trong đó

x

của f x0 khi x

0 khi

x

0 . Biểu thức f ' x0

x ( phần chính

0 ) gọi là vi phân của f x tại x0 . Vậy nếu đạo hàm f ' x0 tồn tịa

thì f x khả vi tại x0 .
Bây giờ, xét hàm số hai biến số f x, y xác định trong miền D
và

M 0 x0

f x0 , y0

x, y0

f x0

là


y

x, y0

hai

điểm

A x B y

x

trong đó A, B là những số không phụ thuộc
0, 0 (tức là M

D.

Nếu

. M 0 x0 , y0
số

gia

f x0 , y0 có thể biểu diễn dưới dạng:

y

f x0 , y0


x, y

thuộc

2

y,

(2.1)

x, y , còn

0 và

0 khi

M 0 ) thì ta nói rằng hà số f x, y khả vi tại M 0 , biểu thức


A x B y gọi là vi phân toàn phần của hàm số f x, y tại x0 , y0

ứng với các số gia

x, y và được ký hiệu là df x0 , y0 .

Nếu hàm số f x, y khả vi tại x0 , y0 thì nó liên tục tại đó, vì từ cơng thức (2.1) suy ra
0 khi

f x0 , y0


0, 0 .

x, y

Hàm số f x, y gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc D .
Chú ý 2: Nếu

f x, y

khả vi tại

x0 , y0

thì nó tồn tại các đạo hàm riêng

f x x0 , y0 , f y x0 , y0 .

Chú ý 3: Khác với hàm số một biến số, nếu hàm số hai biến số f x, y có các đạo hàm
riêng f x x0 , y0 và f y x0 , y0 thì chưa chắc nó đã khả vi tại x0 , y0 . Chẳng hạn như, xét
hàm số sau:
xy
G x, y

x

2

0,

,


x, y

0, 0

x, y

y2

0, 0

Theo định nghĩa của đạo hàm riêng ta có
Gx 0, 0

lim
h

0

G h, 0

G 0, 0
h

Tương tự ta có: Gy 0, 0

G h, 0
0
h


lim
h

0 vì G h, 0

0,

h

0

0.

Vậy tồn tại các đạo hàm riêng Gx 0, 0 , Gy 0, 0 , nhưng hàm số G x, y không liên tục
tại 0, 0 nên không khả vi tại 0, 0 .

2.2.2. Điều kiện khả vi của hàm số nhiều biến số
Định lý 2: Nếu hàm số f x, y có đạo hàm riêng trên một miền D chứa điểm M 0 x0 , y0
và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại M 0 thì hàm số f x, y khả vi tại M 0 , vi phân
toàn phần của f x, y tại M 0 được tính bằng cơng thức:
df x0 , y0

f x x0 , y0 . x

f y x0 , y0

y

(2.2)



Chú ý 4: Cũng như đối với hàm số một biến số, vì x, y là biến số độc lập nên ta có
x dx, y dy , do đó cơng thức (2.2) còn được viết là:
df x0 , y0

f x x0 , y0 .dx

f y x0 , y0 .dy
x2

Ví dụ 7: Tính vi phân tồn phần của hàm số z

y2 .

Giải:
Hàm số xác định trên tồn
Vì các đạo hàm riêng
z khả vi trên

2

2

z
x

.
x

x


2

y

2

xdx

\ 0, 0 và dz

x

Chú ý 5: Đối với hàm số n

z
y

,

2

ydy
y2

y
x

2


y2

là liên tục tại mọi x, y

0, 0 nên

.

2 biến số, định nghĩa hàm số khả vi, điều kiện khả vi của

hàm số, công thức của vi phân toàn phần cũng tương tự như hàm số của hai biến số.
xe yz .

Ví dụ 8: Tính vi phần toàn phần của hàm số u
Giải:
Hàm số xác định trên toàn

3

. Các đạo hàm riêng:
u
x

liên tục trên toàn

3

e yz ;

u

y

u
z

xze yz ,

nên hàm số u khả vi trên toàn
du

e xz dx xze yz dy xye xz dz

3

xye yz

và

e yz dx xzdy xydz

2.2.3. Ứng dụng vi phân tồn phần vào tính gần đúng
Từ định lý 2 ta có cơng thức:
f x0 , y0

f x x0 , y0

x

f y x0 , y0


y

x

y


Ta thấy rằng f x x0 , y0

x

khi

y là vô cùng bé cấp cao đối với

0 , cịn

x

ta có thể xem f x0 , y0

y là vô cùng bé bậc nhất đối với

f y x0 , y0

x, y0

y2

. Vì vậy, khi x, y khá nhỏ,


df x0 , y0 , tức là:
f x0 , y0

Hay f x0

x2

y

f x x0 , y0 . x

f x0 , y0

f x x0 , y0

Ví dụ 9: Cho hàm số

f y x0 , y0

y

(2.3)

y

x 2 2 xy y 2 . Tính

f x, y


x0

x

f y x0 , y0

0.02 .

2, y0

3, x

0.03, y

và df x, y , nếu

f x, y

Giải:
df x, y

2x 2 y . x

df 2,3

2.2 2.3 0.03

f 2,3

2x 2 y


2.2 2.3 . 0.02

f 2.03; 2.98

Ta thấy df 2,3

y

f 2,3

2.03

2

0.34
2.2, 03.2,98

2.98

2

2 2 2.2.3 32

0.3434

f 2,3 nhưng tính df 2,3 dễ hơn.

Ví dụ 10: Tính gần đúng arctg


1.02
0.95

Giải:
Ta cần tính z x0
Ta có

z
x

1
1

y , trong đó z

x, y0

y
x

y
x2

2

acrtg

z
y


y
, x0 1, y0 1, x
x

1

y
x

2

y

2

,

1

y
x

2

.

1
x

0.05, y


0.02

x
x

2

y2

Theo công thức (3)
z 1 0.05;1 0.02

hay arctg

1.02
0.95

z 1,1

arctg1

z x 1,1 x z y 1,1 y

1.0, 05 1.0, 02
2

4

0.35 0.785 0.035 0.82 radian


2.2.4. Điều kiện để biểu thức P x, y dx Q x, y dy là một vi phân toàn phần


Ta biết rằng vi phân toàn phần của hàm số khả vi f x, y là
f
.dx
x

df

f
.dy
y

Bây giờ, cho hai hàm số P x, y , Q x, y . Định lý sau cho ta biết khi nào biểu thức
P x, y dx Q x, y dy là một vi phần toàn phần của một hàm số f x, y nào đó

Định lý 3: Giả sử các hàm số P x, y , Q x, y có các đạo hàm riêng liên tục trong một
miền D nào đó. Biểu thức P x, y dx Q x, y dy là một vi phân toàn phần khi và chỉ khi:
P
y

Q
,
x

x, y

(4)


D

Chú ý 6: Nếu điều kiện (4) được thỏa mãn, ta có thể tìm được hàm số f x, y sao cho
P x, y dx Q x, y dy . Việc tìm hàm số f x, y được trình bày trong ví dụ sau

df

Ví dụ 12: Chứng minh rằng biểu thức sau đây là vi phân toàn phần
a)

1

b)

2

2 x 5 y 2 dx

3x 2 1 ln y dx

6 y 2 10 xy dy ,

2y

x3
dy , với y
y

Tìm các hàm số fi x, y sao cho dfi


i

,

0.

i 1, 2 .

Giải:
Ta có:
2 x 5 y 2 , Q x, y

P x, y

Vậy

1

6 y 2 10 xy , do đó

P
y

10 y

Q
.
x


là một vi phân tồn phần. ta phải tìm hàm số f1 x, y sao cho df1
f1
x

2x 5 y2

(*)

f1
y

6 y 2 10 xy

(**)

1

, do dó:


Lấy nguyên hàm theo x hai vế của (*) ta được
x2 5 y2 x

f1 x, y

Trong đó

(***)

y


y là một hàm số khả vi bất kì của biến số y ,

y được xem là hằng số tùy

ý đối với x , vì x và y là hai biến số độc lập. Lấy đạo hàm đối với y của hai vế của
(***) ta được:
f1
y

10 xy

(****)

' y

So sánh (**) và (****) ta được
ý. Thay

' y

6 y 2 . Do đó

y

2 y 3 C , C là một hằng số tùy

y vào (***) ta được:
x 2 5 xy 2 2 y 3 C


f1 x, y

Lưu ý rằng ta cũng có thể bắt đầu tính bằng cách lấy nguyên hàm theo y hai vế của (**)
như trong phần b) dưới đây
b) Ta có P x, y

x3
2 y . Do đó
y

3x 2 1 ln y , Q x, y

3x 2
y

P
y

Vậy

2

Q
x

là một vi phân toàn phần.

Ta sẽ tìm hàm số f 2 x, y sao cho df 2

2


, do đó\

f2
x

3 x 2 1 ln y

(i)

f2
y

x3
y

(ii)

2y

Lấy nguyên hàm theo y hai vế của (ii) ta được
f 2 x, y

trong đó,

x 3 .ln y y 2

x ,

(iii)


x là một hàm số khả vi bất kì. Lấy đạo hàm theo x hai vế của (iii) ta được:


f2
x

3x 2 ln y

So sánh (iv) với (i), ta được
Thay

(iv)

' x

3x 2 . Do đó

' x

x 3 C , C là một hằng số tùy ý.

x

x vào (iii) ta được:
x 3 1 ln y

f 2 x, y

y2 C


§3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SÔ HỢP – ĐẠO HÀM CỦA HÀM
SỐ ẨN

3.1. Đạo hàm của hàm số hợp
3.1.1. Cho hàm số z

f u , v trong đó u

rằng z

là hàm số hợp của x qua các biến số trung gian u , v . Định lý sau

f u x ,v x

u x , v v x là những hàm số của x . Ta nói

đây cho ta quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp z
Định lý 1: Nếu z

f u x ,v x .

f u , v là hàm số khả vi của u , v và nếu u

u x , v v x là những

hàm số khả vi của x thì z là hàm số khả vi của x và ta có
dz
dx


Ví dụ 1: Tính

dz
nếu z
dx

f du
u dx

u 2 uv 2v 2 , u

f dv
v dx

e x , v sin x .

Giải:
Theo cơng thức trên ta có:
dz
dx

z du
u dx

z dv
v dx

Chú ý 1: Nếu z
x thì z


f x, y x

2u v

e

x

u 4v cos x

2e

x

f x, y là hàm số khả vi của x, y và nếu y

sin x e

z
x

z dy
y dx

(3.1)

4sin x e

x


cos x

y x là hàm số khả vi của

là hàm số hợp của x , khả vi dối với x và ta có:
dz
dx

x


dz
ở vế trái gọi là đạo hàm toàn phần của z đối với x , còn đạo hàm
dx
phải là đạo hàm riêng của z f x, y đối với x .

Đạo hàm

Ví dụ 2: Tính

dz
nếu z
dx

ln x 2

y2 , y

z
ở vế

x

sin 2 x .

Theo công thức trong chú ý 1 ta có
dz
dx

z
x

z dy
y dx

2x
x2

3.1.2. Bây giờ xét hàm số z

y2

2y
.2sin x cos x
2
x y2

f u , v trong đó u

của hai biến độc lập x, y . Khi đó z


2 x 4sin 3 x cos x
x 2 sin4 x

u x, y , v v x, y là những hàm số

f u x, y , v x, y

là hàm số hợp của x, y thông

qua các biến số trung gian u , v .
Để tính đạo hàm riêng của x đối với hàm số z ta xem y không đổi, khi đó
z

là hàm số hợp của một biến số độc lập x thông qua hai biến số

f u x, y , v x, y

trung gian u , v . Do định lý 1, ta có
z
x

f u
.
u x

z
, ta được định lý sau:
y

Cũng lập luận tương tự như vậy khi tính

Định lý 2: Nếu hàm số z
u

u x , y , v v x, y

riêng

z
,
x

f v, u

f v
. .
v x

là hàm số khả vi của u , v và các hàm số

có các đạo hàm riêng như u x , u y , vx , v y thì tồn tại các đạo hàm

z
và ta có
y
z
x

z
,
x


z
, nếu z
y

f v
.
v x

z
y

Ví dụ 3: Tính

f u
.
u x

f u
.
u y

f v
.
v y

eu cos v,

u


xy, v

x
.
y


Giải:
z
u

eu cos v,

z
x

e xy cos

x
x 1
. y e xy .sin
.
y
y y

z
y

Ta có:


z
v

u
x

e xy cos

x
x
.x e xy .sin
.
y
y

eu sin v,

y,

u
y

v
x

x,

1
,
y


v
y

x
y2

Do đó:
e xy y cos

x
y2

x
y

1
x
sin
y
y

e xy x cos

x
y

x
x
sin

2
y
y

Chú ý 2: Quy tắc tính đạo hàm của ham số hợp cũng được mở rộng cho trường hợp hàm
số f phụ thuộc vào nhiều biến số trung gian hơn và các biến số trung gian phụ thuộc
nhiều biến số độc lập hơn.

3.2. Đạo hàm của hàm số ẩn
3.2.1. Giả sử hai biến số x, y được ràng buộc với nhau bởi phương trình F x, y
Nếu y

f x là một hàm số xác định trong một khoảng nào đó sao cho khi thế y

vào phương trình (3.2) ta được một đồng nhất thức thì ta nói rằng y
xác định bởi phương trình (2). Chẳng hạn phương trình x 2
số ẩn y

a2

phương trình x 2

x 2 và y
y2 a2

a2

x 2 trong khoảng

a


y2 a2
x

0 (3.2)
f x

f x là hàm số ẩn
0 xác định hai hàm

a , vì khi thế chúng vào

0 ta được đồng nhất thức.
x2

a2

x2

a2

0,

x

a, a

Chý ý rằng không phải mọi hàm số ẩn đều có tể biểu diễn được dưới dạng y
Chẳng hạn, hàm số ẩn xác định bởi phương trình:
xy e x e y


không thể biểu diễn dưới dạng y

f x .

0

f x .


Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số F x, y khả vi trừ một số điểm, hàm số
y

f x khả vi. Lấy đạo hàm hai vế phương trình F x, y

0 theo x , công thức (3.1)

cho ta:
Fx x, y

Do đó Fy x, y

Fy x, y . y ' 0

0 ta có
y'

Fx x, y
Fy x, y


(3.3)

Ví dụ 4: Tính y ' nếu x3 y 3 3axy 0 .
Giải:
Vì F x, y

x3

y 3 3axy khả vi trên toàn
y'

nên theo cơng thức (3.3) ta có

3 x 2 3ay
3 y 2 3ax

Fx x, y
Fy x, y

Ví dụ 5: Tính y ' nếu xy e x e y

2

x 2 ay
nếu y 2 ax
2
y ax

0


0

Giải:
Vì F x, y

xy e x e y khả vi trên tồn
y'

Fx x, y
Fy x, y

3.2.2. Ta nói rằng hàm số hai biến số z
F x, y , z

2

nên
y ex
nếu x e y
y
x e

0

f x, y là hàm số ẩn xác định bởi phương trình:
0

(3.4)

nếu

F x , y , f x, y

0

Với mọi x, y thuộc miền xác định của f . Cũng như trong trường hợp trước, nếu
F x, y, z khả vi thì trừ tại một số điểm đặc biệt hàm số f x, y khả vi. Lấy đạo hàm hai

vế phương trình (3.4) đối với x và đối với y ta được lần lượt


F
x, y , z
x

F
x, y , z
z

0

F
x, y , z
y

Do đó, nếu

F
z
x, y , z .
z

x

F
z
x, y , z .
z
y

0

0 ta có

z
x

z
y

Ví dụ 6: Tính

z
,
x

z
, nếu xyz
y

Fx x, y, z
Fz x, y, z


Fy x, y, z
Fz x, y , z

cos x y z .

Giải:
Vì F x, y, z

3

xyz cos x y z khả vi trên

nên công thức trên cho ta

z
x

Fx x, y, z
Fz x, y, z

yz sin x
xy sin x

z
y

Fy x, y, z

xz sin x y z

xy sin x y z

Fz x, y , z

y z
y z

§4. CỰC TRỊ

4.1. Cực trị của hàm số hai biến số
4.1.1. Định nghĩa: Ta nói rằng hàm số z

f x, y đạt cực trị tại điểm M 0 x0 , y0 nếu với

mọi điểm M x, y khá gần với M 0 nhưng khác M 0 một hiệu f M
không đổi, nếu f M

f M0

0 thì f M 0

là cực tiểu, nếu f M

f M0
f M0

có dấu
0 thì

f M 0 là cực đại. Cực đại và cực tiểu được gọi chung là cực trị và điểm M 0 được gọi là


điểm cực trị.


Ví dụ 1: Hàm số z

x2

y 2 đạt cực tiểu tại 0, 0 vì x 2

y2

0,

x, y

0, 0 .

4.1.2. Điều kiện cần của cực trị
Định lý 1: Nếu hàm số f x, y đạt cực trị tại điểm M 0 x0 , y0 và tại đó các đạo hàm
riêng tồn tại thì:
f x x0 , y0

0;

f y x0 , y0

(4.1)

0


Điều kiện (4.1) là điều kiện cần của cực trị, nó khơng là điều kiện đủ vì tại những điểm
mà các đạo hàm riêng cấp 1 bằng 0 chưa chắc hàm số đạt cực trị. Tuy nhiên định lý 2 sau
đây cho phép ta chỉ tìm cực trị tại những điểm mà ở đó các đạo hàm riêng cấp 1 đều bằng
0, gọi là điểm dừng.
4.1.3. Điều kiện đủ của cực trị
Định lý 2: Giả sử rằng M 0 x0 , y0

là một điểm dừng của hàm số f x, y và hàm số

f x, y có đạo hàm riêng cấp 2 ở lân cận điểm M 0 . Đặt:
r

f xx x0 , y0 , s

f xy x0 , y0 , t

f yy x0 , y0

Khi đó:
1) Nếu s 2 rt 0 thì f x, y đạt cực trị tại điểm M 0 . Đó là điểm cực tiểu nếu r 0 ,
là cực đại nếu r 0 .
2) Nếu s 2 rt 0 thì f x, y khơng đạt cực trị tại M 0 .
3) Nếu s 2 rt 0 thì chưa kết luận được f x, y đạt cực trị hay không đạt cực trị tại
M 0 (trường hợp nghi ngờ).
x2

Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số z

y2


4x 2 y 8

Giải:
Ta có:
zx

2 x 4; z y

Tọa độ của điểm dừng là nghiệm của hệ

2y 2


2x 4 0
2y 2 0

Vậy điểm dừng duy nhất là điểm
Vì z xx

2;

tại điểm

z xy

0;

Nếu viết lại z
và chỉ khi x


x 2

2 nên s 2 rt

z yy

2, 1 và zmin
2

2, y

2, 1 .

22 12 4. 2
y 1

2

4 0 , còn r

2 0 , vậy ham số đạt cực tiểu

2.1 8 3 .

3 , ta thấy z

2

3 tại mọi x, y


, đẳng thức xảy ra khi

1 ta đã thấy kết quả trên.

x3

Ví dụ 3:Tìm cực trị của hàm số z

y 3 3xy

Giải:
Ta có:
3 x 2 3 y;

zx

3 y 2 3x

zy

Tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệ:
x2

y

0

y2


x

0

Đó là một hệ phương trình đối xứng. Thế y x 2 từ phương trình đầu vào phương trình
sau ta được
0

x4

x

x x3 1

Phương trình này có hai nghiệm x 0;

x x 1 x2

x 1

x 1.

Vậy ta có hai điểm dừng M 0 0, 0 và M 1 1, 1 .
Vì z xx

6 x, z xy

3, z yy

6 y nên:


Tại M 0 0, 0 ta có s 2 rt 9 0 , điểm M 0 không là điểm cực trị.
Tại

M 1 1,1

ta có

zmin

1 1 3

1.

s 2 rt

9 36

27 0 ,

r

6 0,

M1

là điểm cực tiểu,


x3


y3 .

zx

Ví dụ 4: Tìm cực trị của hàm số z

3x 2 , z y

Giải:
Ta có:
3y2

Vậy chỉ có một điểm dừng là M 0 0, 0 .
Vì z xx

6 x,

z xy

0,

z yy

được. Chú ý rằng z M 0

6 y , nên tại M 0 ta có s 2 rt

z 0, 0


0,

z x, y

x3

z 0, 0

0 . Vậy chưa kết luận ngay

y 3 . Hiệu ấy là dương nếu

điểm M x, y nằm trong góc phần tư thứ nhất, là âm nếu M x, y nằm trong góc phần tư
thứ ba. Do đó dấu của hiệu z M

z M 0 thay đổi ở lân cận điểm M 0 nên M 0 khơng là

điểm cực trị.
Ví dụ 5: Tìm khoảng cách ngắn nhất từ điểm 1,

2, 0 đến mặt phẳng 3 x 2 y z 1 .

Giải:
Khoảng cách từ điểm 1,

2, 0 đến điểm x, y, z bằng:
d

2


x 1

y 2

2

z2

Vì điểm cực trị của d trùng với điểm cực trị của d 2 , ta tìm cực trị của:
d2

x 1

2

y 2

2

z 2 : f x, y , z

(*)

Vì điểm x, y, z nằm trên mặt phẳng 3x 2 y z 1 nên các biến số x, y, z trong (*) thỏa
mãn điều kiện
3x 2 y z 1

(**)

Thế z 1 3 x 2 y trong (**) vào (*) ta được:

d2

x 1

2

y 2

2

2

1 3 x 2 y : F x, y

Bài toán trở thành tìm cực tiểu của hàm số hai biến số F x, y . Ta có:


Fx
Fy

2 x 1

6 1 3x 2 y

4 5x 3 y 2

2 y 2

4 1 3x 2 y


2

6x 5 y 4

Tọa độ của điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình
5x 3 y 2 0
6x 5 y 4 0

Giải hệ trên, ta được một điểm dừng duy nhất là
Vì Fxx

20, Fxy

12, Fyy

2
8
.
,
7
7

10 , nên s 2 rt 144 200

56 0 , r

20 0 nên M 0 là điểm

cực tiểu. Hơn nữa ta biết rằng trên mặt phẳng 3x 2 y z 1 có một điểm mà khoảng cách
tới điểm A 1,


2, 0 bé nhất, đó là chân của đường vng góc hạ từ A xuống mặt phẳng

đó. Khoảng cách đó là:
d

x 1

2

y 2

2

1 3x 2 y

2

9
7

2

6
7

2

3
7


2

6
14

Chú ý: Cực trị của hàm số 3 biến số (*) trong đó các biến số x, y, z thỏa mãn điều kiện
(**) gọi là cực trị có điều kiện (hay cực trị tương đối). Trong ví dụ 5, ta đã thấy bài tốn
x, y được
tìm cực trị có điều kiện của hàm số 3 biến số f x, y, z vào điều kiện z
đưa về bài tốn tìm cực trị của hàm số hai biến số f x, y,

x , y : F x, y .

Cũng vậy, bài tốn tìm cực trị tương đối của hàm số hai biến số f x, y với điều kiện
y

x được đưa về bài tốn tìm cực trị của hàm số một biến số f x,

x : F x .

Ví dụ 6: Trong các hình chữ nhật nội tiếp trong hình trịn bán kính R , hình nào có diện
tích lớn nhất.
Giải:
Gọi x, y là chiều dài hai cạnh của hình chữ nhật. Diện tích của hình chữ nhật là S xy .
Vì hình chữ nhật nội tiếp trong hình trịn bán kính R nên theo định lý Pytago, ta có
x 2 y 2 4 R 2 . Vậy ta cần tìm cực đại của hàm số S xy (i)
Với điều kiện: x 2

y2


4R 2 .

(ii)


Vì x 0, y 0 nên từ (ii) rút ra y
4 R 2 x 2 , y có nghĩa khi x 2
cần tìm cực đại của hàm số một biến số:
x 4R 2

S

x2 , 0

x

4R2

x

2 R . Vậy ta

2R

Ta có:
dS
dx
dS
dx


0 khi x

4R

2

x

2 2R2

x2

2

4R2

x2

4R2

x2

x2

R 2 . Từ bảng biến thiên

x

0


2R

R 2

dS

+

dx

-

0

2R2

S

0

0

Ta thấy S đạt cực đại khi x R 2 . Vậy hình chữ nhật nội tiếp trong hình trịn có diện
tích lớn nhất khi nó là hình vng.
Chú ý:
Ta
x

có


thể

2 R cos t , y

tham

số

2 R sin t , 0 t
S

hóa
2

điều

(ii)

bằng

cách

đặt:

. Vì x 0, y 0 . Khi đó:

4 R 2 sin t cos t

Nó đạt giá trị lớn nhất khi sin 2t 1


Theo bất đẳng thức Cauchy, xy

kiện

t

x2

4

y2
2

2 R 2 sin 2t

x

y . Ta đi đến kết quả nhanh hơn.

, dấu bằng xảy ra khi x

y . Do đó nếu

dùng bất đẳng thức ấy ta được ngay kết quả.

4.2. Giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số hai biến số trong một miền giới nội


Cực trị mà chúng ta định nghĩa ở mục trước chỉ có tính chất địa phương. Chúng

lớn hơn hay bé hơn những giá trị khác của hàm số ở lân cận điểm cực trị. Người ta
thường gọi đó là những cực trị địa phương. Bây giờ người ta muốn tìm giá trị lớn nhất và
bé nhất của hàm số trong tồn bộ một miền nào đó. Ta biết rằng nếu hàm số f x, y liên
tục trong một miền đóng giới nội D thì nó đạt giá trị lớn nhất và bé nhất trong miền ấy.
Nếu các giá trị ấy đạt được tại những điểm bên trong miền D thì những điểm ấy phải là
điểm cực trị, do đó là điểm dừng của hàm số. Nhưng các giá trị ấy cũng có thể đạt được
trên biên của miền D . Do đó muốn tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của hàm số
f x, y trong miền đóng giới nội D ta thực hiện các bước:
1) Tính giá trị của f tại các điểm dừng của f nằm trong miền D .
2) Tính giá trị lớn nhất và bé nhất của f trên biên của miền D .
3) Số lớn (bé) nhất trong các giá trị được tính ở 1) và 2) là giá trị lớn (bé) nhất phải
tìm.
Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số f x, y
đóng hình tam giác có các đỉnh A 1, 1 , B 2, 1 , C

1,

x 2 2 xy 2 y 2 trong miền D
2 .

Giải:
Hàm số f x, y liên tục trong miền D . Để tìm điểm dừng ta giải hệ

fx

2x 2 y

0

fy


2x 6 y

0

Đó là một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có định thức khác 0, nên nó chỉ có
nghiệm tầm thường, vậy chỉ có một điểm dừng là điểm 0, 0 nằm trong D , f 0, 0 0 .
Trên cạnh AB :
y 1,
f

f x,1

x 2 2 x 3,

2 còn f 2, 1

1, 1

2 . Tam thức bậc hai ấy đạt cực tiểu tại x

1 x

1,

11 .

Trên cạnh AC :
x


1,

f

1,

f
1
3

3 y 2 2 y 1,

1, y
2
,
3

f

1, 2

17,

2
f

y 1,
1,1

2.


nó

đạt

cực

tiểu

tại

y

1
,
3


Trên cạnh BC :
x y 1 do đó y

x 1,

f x, x 1

nó đạt cực tiểu tại x

2
,
3


trị đã tính ta thấy f min

0, f max

f

2 1
,
3 3

17 .

x2 2x x 1

1
,
3

f

1, 2

3 x 1

17,

2

6 x 2 8 x 3,


f 2,1

1 x

2,

11 . So sánh các giá