Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang:
37


Chương 4 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH
VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
ROOTS OF NONLINEAR EQUATIONS

4.1 Giải gần đúng phương trình
Để tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0, ta phải tách nghiệm.
Giả sử trong khoảng [a,b] hàm f(x) liên tục cùng với các đạo hàm f’(x), f”(x),
của nó. Các giá trị f(a), f(b) là giá trị của hàm tại các điểm mút của đoạn này f(a).f(b)
< 0 và f’(x) giữ nguyên dấu trên đoạn [a , b].
Đôi khi để cho thuận lợi, viết lại: f(x) = 0 

(x) = (x).
Nghiệm thực của phương trình f(x) = 0 là giao điểm của đồ thị các hàm y =

(x) và y = (x).

4.1.1 Phương pháp dây cung
Thay cung AB của y = f(x) bởi dây cung AB, lấy x
1
tại giao điểm P của dây
cung với trục hoành làm giá trị gần đúng của nghiệm chính xác . Phương trình dây
cung AB:

ab
aX

)a(f)b(f
)a(fY






Tại P ta có: Y = 0, X = x
1
,
nên:
ab
ax
)a(f)b(f
)a(f
1






Suy ra: x
1
= a -
)a(f)b(f
)a(bf)b(af
)a(f)b(f
)a(f)ab(







Sau khi tính được x
1
ta xét được khoảng phân li nghiệm mới là [a,x
1
] hay
[x
1
,b] rồi tiếp tục áp dụng phương pháp dây cung vào khoảng phân li mới, tiếp tục ta
được x
2
, x
3
, x
4
 ngày càng gần đến nghiệm chính xác .
Sai số ước lượng:
3
1
)]x('f[
)x("f
max
2
)b(f).a(f
x 


x

y
O
A

B

a

b

P

X
1

Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang:
38

Ví dụ: Tìm nghiệm trong khoảng (1,1;1,4) của phương trình:
f(x)= x
3
-0,2x
2
-0,2x-1,2 =0
Bằng phương pháp lặp dây cung(Với 2 lần lặp)

Giải:
x
1
= x
0
-
)4,1()(
)4,1)((
0
fxf
xxf
oo


=1,1-
)4,1()1,1(
)4,11,1)(1,1(
ff
f


=1,1-
18254,1
872,0331,0
)3,0)(331,0(






f(x
1
)=f(1,18254)=-0,06252
x
2
= x
1
-
)4,1()(
)4,1)((
1
11
fxf
xxf


=1,18254-
19709,1
872,006252,0
)4,118254,1)(06252,0(





4.1.2 Phương pháp Newton-Raphson
Còn gọi là phương pháp Newton hay phương pháp tiếp tuyến.
Xét phương trình f(x) = 0
Khai triển Taylor hàm f(x) tại lân cận x
0

:
f(x) = f(x
0
) + (x - x
0
) f’(x
0
) +
)(
)!1(
)(
)(
!
)(
)("
!2
)(
1
1
0
0
0
0
2
0
Cf
n
xx
xf
n

xx
xf
xx
n
n
n
n










Với: C = x
0
+ (x - x
0
), với: 0 <  < 1, có nghĩa: x
0
< C < x
Bây giờ ta chỉ lấy số hạng bậc 1 của chuỗi Taylor:
f(x
0
) + ( x - x
0
).f’(x

0
) = 0 (4.1)
Gọi x
1
là nghiệm của (4.1), ta có: x
1
= x
0
-
)x('f
)x(f
0
0

Tương tự: x
2
= x
1
-
)x('f
)x(f
1
1
,…, x
n + 1
= x
n
-
)x('f
)x(f

n
n
, với x
0
 [a,b]
Vì (4.1) dùng thay cho phương trình f(x) = 0, nó tuyến tính đối với x nên
phương pháp Newton cũng gọi là phương pháp tuyến tính hóa, f’(x
0
) chính là hệ số
góc của y = f(x) tại x
0
.
Tại B(x
0
, f(x
0
)).
Y - f(x
0
) = f’(x
0
).(X - x
0
) ,
tại P : x = x
1
; Y = 0 đó chính là phương trình (4.1)


Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật


Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang:
39

Hội tụ và sai số
Người ta sẽ áp dụng phương
pháp lặp Newton nếu nghiệm
x
n
  khi n  
Định lý:
Giả sử [a,b] là khoảng phân ly nghiệm 
của phương trình:f(x) = 0, f có đạo hàm f’,


f” với f’ liên tục trên [a,b], f’ và f” không
đổi dấu trên (a, b). Xấp xỉ đầu x
0
chọn là a
hay b sao cho f(x
0
) cùng dấu với f”.
Khi đó x
n
  khi n  .
Cụ thể hơn x
n
đơn điệu tăng tới  nếu f’.f” < 0, và x
n
đơn điệu giảm tới  nếu

f’.f” > 0 .
Sai số:
n
x

<
m
)x(f
n
, với: 0 < m <
)(
,
n
xf
và   x  b
Trường Hợp Lặp Newton - Raphson Không Có Hiệu Quả (hàm 1 biến)
















Ví dụ:
Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
f(x)= 2
x
-4x
Bằng phương pháp Newton – Raphson với 3 lần lặp (cho x
0
= 0,3)







x
o

x
1

f(x)
f(x)
x
2
x
0
x
1

x
2
x

x
f(x)

X
0

X
1

X
x
f(x)
O

x
0
x
3
x
1
x
4
x
2
x
y

a

b
p

O
M
A
B
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang:
40

4.2 Giải hệ phương trình phi tuyến
Ở đây ta đi giải hệ phương trình phi tuyến theo phương pháp lặp Newton-Raphson
Từ khai triển Taylor cho bài toán một biến:
f(x
i + 1
) = f(x
i
) + f’(x
i
)(x
i + 1
- x
i
) +
2
i1i

)xx(
!
2
)("f





vì f(x
i + 1
) = 0
Tổng quát hoá cho bài toán 2 biến (hàm 2 biến):






















i
i
i1i
i
i
i1ii1i
i
i
i1i
i
i
i1ii1i
y
v
).yy(
x
v
).xx(vv
y
u
).yy(
x
u
).xx(uu

)2.4(

)2.4(
b
a

Từ (4.2a) và (4.2b) ta có:














































x
v
.
y
u
y
v
.
x
u

x
v
u
x
u
v
yy
x
v
.
y
u
y
v
.
x
u
y
u
v
y
v
u
xx
iiii
i
i
i
i
i1i

iiii
i
i
i
i
i1i

)3.4(
)3.4(
b
a

Mẫu số của (4.3a) và (4.3b) gọi là định thức Jacobien (detJ), của hệ thống:

y
v
x
v
y
u
x
u
detJdet
ii
ii











Một cách tổng quát cho phương trình: f(x)=0
Với x = [x
1
,x
2
, ,x
n
]
T
và f = [f
1
,f
2
, ,f
n
]
T

Phương pháp lặp Newton-Raphson cho hệ phương trình n ẩn này là:
x
(k+1)
= x
(k)
-F
x

-1
(x
(k)
).f(x
(k)
)
Với ma trận Jacobi F
x
như sau:
F
x
=





































n
n
2
n
1
n
n
2
2
2
1
2

n
1
2
1
1
1
x
f

x
f
x
f
x
f

x
f
x
f
x
f

x
f
x
f

)x('f
)x(f

xx
i
i
i1i


Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang:
41

Ví dụ:
Hãy tính lặp theo phương pháp Newton- Raphson
1. Cho f(x) = e
-x
- x , với x
0
= 0 (điểm ban đầu)
Giải : Ta có f’(x) = - e
-X
- 1 , x
i + 1
= x
i
-
1e
xe
i
i
x

i
x





Ta lập được bảng tính:
i x
i
(%)
0 0 100
1 0, 5 0 0 0 0 0 0 0 0 11,8
2 0, 5 6 6 3 1 1 0 0 3 0,147
3 0, 5 6 7 1 4 2 1 6 3 0,0000220
4 0, 5 6 7 1 4 3 2 7 0 < 10
-8
2. Cho







057xy3y)y,x(v
010xyx)y,x(u
2
2
cho biết nghiệm (x = 2, y = 3)

Nghiệm ban đầu cho ( x = 1,5 , y = 3,5 )
Giải:
5,1x
y
u
25,3)5,3)(5,1(61xy61
y
v
0
0
0
0







Vậy định thức Jacobien: det J = 6,5(32,5) - 1,5(36,75) = 156,125
và u
0
= (1,5)
2
+ 1,5(3,5) - 10 = - 2,5
v
0
= 3,5 + 3(1,5)(3,5)
2
- 57 = 1,625

Từ đó có:













84387
,2
125,156
)75,36)(5,3()5,6(625,1
5,3y
03603,2
125,156
)5,3(625,1)5,32(5,2
5,1x

Tiếp tục các phần xấp xỉ bị dư  (x = 2 , y = 3)
3. Cho hàm: f(x) = - 0,9x
2
+ 1,7x + 2,5, điểm ban đầu x
0
= 5, chọn 

0
= 0,01%.



5,65,3)5,1(2yx2
x
u
75,36)5,3(3y2
x
v
0
0
22
0
0






Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang:
42

Câu hỏi:
1. Phương trình (hoặc hệ phương trình) phi tuyến thông thường có nhiều nghiệm;
để giải nó (hoặc chúng nó), bước đầu tiên ta phải làm gì ?

2. Trình bày cách giải hệ phương trình phi tuyến theo công thức lặp Newton-
Raphson?
3. Tại sao phương pháp lặp Newton – Raphson còn được gọi là phương pháp tiếp
tuyến ?
4. Ưu nhược điểm của các phương pháp lặp để giải phương trình phi tuyến ?
Bài tập:
1) Dùng phương pháp dây cung, tìm nghiệm gần đúng với độ chính xác 10
-2

của:
a) x
3
+ 3x + 5=0
b) x
4
-3x +1=0
2) Áp dụng hai lần phương pháp đây cung, tìm nghiệm thực gần đúng của
phương trình x
3
-10x+5 trong khoảng phân ly(0;0,6). Đánh giá sai số của
nghệm gần đúng x
2
.
3) Cho phương trình x=sin3x, có khoảng phân ly nghiệm là(
3
,
6


). Tìm

nghiệm gần đúng trong khoảng đã cho bằng phương pháp dây cung, tính đến
phép lặp thứ 3 là x
3
.
4) Tìm nghiệm gần đúng của hệ







022
02
2
23
yxx
yxyx

Bằng phương pháp Newton, cho x
0
=0,7; y
0
=1,0.
5) Tìm nghiệm gần đúng của hệ bằng phương pháp lặp Newton.






85,0cos
32,1
yx
ySinx

Với xấp xỉ đầu(x
0,
y
0
)=(1,80; -0,33).
Đáp số: 2)

51,0


3) x
3
75649,0


4)


)087387,1;704402,0(, 


5)


)34,0;79,1(, 



Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang:
43


TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Phạm Kỳ Anh, Giải tích số, NXB ĐHQG, Hà Nội 1996
2. Phan Văn Hạp và các tác giả khác, Cơ sở phương pháp tính, NXB ĐH-THCN,
Hà Nội 1970.
3. Nguyễn Thế Hùng, Giáo trình Phương pháp số, Đại học Đà Nẵng 1996.
4. Đinh Văn Phong, Phương pháp số trong cơ học, NXB KHKT, Hà Nội 1999.
5. Lê Đình Thịnh, Phương pháp tính, NXB KHKT, Hà Nội 1995.
6. Lê Trọng Vinh, Giải tích số, NXB KHKT, Hà Nội 2000.
7. BURDEN, RL, & FAIRES, JD, Numerical Analysis, 5th ed., PWS Publishing,
Boston 1993.
8. CHAPRA S.C, Numerical Methods for Engineers, McGraw Hill, 1998.
9. GURMUND & all, Numerical Methods, Dover Publications, 2003.
10. JAAN KIUSAALAS, Numerical Methods in Engineering with Matlab,
Cambridge University Press, 2005.
11. STEVEN T. KARRIS, Numerical Analysis, Using Matlab and Excel, Orchard
Publications, 2007.

Website tham khảo:










The end