Dạng toán: Dùng định nghĩa khảo sát sự có đạo hàm của hàm số tại điểm x0 doc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (193.15 KB, 3 trang )
GV: Trần Thiện Khải
ĐẠO HÀM:
: Dùng định nghĩa khảo sát sự có đạo hàm của hàm số tại điểm x
0
Bài 1: Tìm f’(1), f’(2), f’(3), nếu f(x) = (x – 1)(x – 2)
2
(x – 3)
3
Bài 2: Khảo sát sự có đạo hàm của hàm:
a.) f(x) = (x – 1)
2
)1( −x tại điểm x
0
= 1.
b.) f(x) =
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠
−
1,0
1,
1
sin
2
x
x
x
x
π
tại điểm x
0
= 1.
c.) f(x) =
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠
0x,0
0x,
x
1
sin.x
tại điểm x
0
= 0.
Bài 3: Cho hàm số f(x) =
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠+
0,1
0,
2
x
x
x
x
x
. Khảo sát sự liên tục và có đạo hàm của f
tại x
0
= 0.
Bài 4: Dùng định nghĩa tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) y =
x . b) y =
3
x . c) y=
1e
1
x
+
d) y =
2
x
2
Bài 5: Giả sử y =
ϕ
(x) là hàm số liên tục tại x
0
= a và
ϕ
(a) ≠ 0. Chứng minh rằng
hàm số: y = f(x) =
ϕ
.ax −
(x) không có đạo hàm tại x
0
= a.
Bài 6: Tìm n để hàm số: f(x) =
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠
0,0
0,
1
sin
x
x
x
x
n
a.) Liên tục tại x
0
= 0.
b.) Có đạo hàm hữu hạn tại x
0
= 0.
c.) Có đạo hàm liên tục tại x
0
= 0.
BÀI 2: Tính đ
ạ
o hàm của hàm số
Bài 1: Dùng các công thức và quy tắc tính đạo hàm, tìm đạo hàm của các hàm sau
đây:
a.) y = 2x
3
– 5x
2
+ 7x + 4. b) y = x
2
e
x
. c) y =
x
xarcsin
.
d) y = (3 + 2x
2
)
4
. e) y = ln(arcsin5x). f) y = cos{cos(cosx)}.
GV: Trần Thiện Khải
g) y =
4
2
1
2
arcsin
x
x
+
,
x
< 1. h) y =
x
x
x
x
cos
sin1
ln
cos
sin
2
+
+
Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm sau đây:
a.) y = (sinx)
x
. b) y = . c) y = .
x
x
x
12
2
)(ln
+x
x
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm sau đây:
a.) y = x
3
. .sin2x b) y =
2
x
e
3
3
2
)5(
1.)2(
−
+−
x
xx
.
Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm sau đây:
a.) y =
32
)1()1( +− xx
b) y =
x
3
sin
.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
−−
−
=
2
)2)(1(
1
.)
x
xx
x
yc
khi -∞ < x < 1
khi 1 ≤ x ≤ 2
khi 2< x < +∞
khi x ngoài đoạn [a, b]
⎩
⎨
⎧
≤≤−−
=
0
,)()(
.)
22
bxabxax
yd
A. VI PHÂN CỦA HÀM SỐ:
BÀI 3: Tìm vi
p
hân của hàm số
Bài 1:
a.) y = arctgx. b) y = .
3
t
e
c) y = ln
axx ++
2
. d) y = arctg
v
u
.
BÀI 4: Tìm giá trị gần đúng nhờ vi phân
1.
3
02,1
. 2. sin29
0
B. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO:
BÀI 5: Tìm đạo hàm riêng và vi phân cấp cao
Bài 1:
a.) y = x
5
+2x
4
– 3x
3
- x
2
-
2
1
x + 6, tìm y’, y’’, y’’’…
b.) y = x
2
1 x+
. Tìm y’’.
c.) y = x
2
e
x
. Tìm y
(20)
(0).
Bài 2:
a.) y = (2x-3)
3
. Tìm dy, d
2
y, d
3
y.
GV: Trần Thiện Khải
b.) y =
2
1 x+
. Tìm d
2
y.
c.) y = u
2
. Tìm d
10
y, nếu u là hàm của x, khả vi đến 10 lần.
d.) y = xcos2x. Tìm d
10
y.
BÀI 6: Ứng dụng các định lý về giá trị trung bình
Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức:
a.)
yx sinsin −
≤
yx−
∀
x, y
∈
R.
b.) ln(1 + x) < x,
∀ x > 0.
c.)
a
ba
−
< ln
b
a
<
b
ba
−
nếu 0 < b < a.
Bài 2: Giả sử hàm f(x) xác định, liên tục, dương trên [a, b] và khả vi trên (a, b).
Chứng minh rằng tồn tại c
∈(a, b), sao cho
)(
)(
af
bf
=
)(
)('
)(
cf
cf
ab
e
−
.
Bài 3: Chứng minh rằng phương trình x + ln(x
2
– 1) = 0 có một nghiệm duy
nhất
∈(1, +∞).
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trên D.
a.) f(x) = x
4
– 4x
3
+ 3 trên đoạn [-1, 4].
b.) f(x) = x
2
3
2
)1( −x
trên đoạn [-1, 1].
c.) f(x) = cosx +
2
1
cos2x trên đoạn [0, π].
BÀI 7: Khai triển Taylor – Mac Lorin của hàm, tính gần đúng.
Bài 1: Biểu diễn f(x) =
3
x dưới dạng đa thức bậc 5 đối với x – 1.
Bài 2: Biểu diễn f(x) = a
x
dưới dạng đa thức bậc 3 đối với x.
Bài 3: Tính
e chính xác đến 0,0001.
BÀI 8: Khử dạng vô định nhờ quy tắc L’.Hospital
Bài 1: Tìm:
a)
ee
xx
x
x
−
+−
→
ln1
lim
2
1
. b)
3
0
sin
lim
x
xx
x
−
→
. c)
x
n
x
e
x
+∞→
lim . d)
x
x
x
e
x
ex
+
∞→
2
.
lim
.
e)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
→
)1(
11
lim
0
x
x
ex
. f) . g)
x
x
x)(sinlim
0→
x
x
tgx
cos2
)(lim
2
π
→
. h)
x
x
x
ln
0
)1(lim +
→
