Thiết kế tối ưu dầm
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (85.34 KB, 6 trang )
Thiết kế tối u dầm BTCT thờng mặt cắt chữ T
I. Đặt vấn đề
Trong công tác thiết kế công trình giao thông thờng hay gặp các bài toán thiết
kế tối u nh cần xác định các tham số của kết cấu xây dựng tối u theo tiêu chuẩn
khối lợng vật liệu, giá thành... Về tổng quát có thể nêu dạng bài toán thiết kế tối
u nh sau:
Xác định giá trị các biến độc lập (Các thông số độc lập của kết cấu): x1,
x2, x3 ... xn
Sao cho khi đó hàm mục tiêu của kết cấu
F = F (x1,x2, x3 ... xn)
là hàm phi tuyến của các biến độc lập có thể đạt giá trị cực tiểu (Hay cực
đại) với điều kiện các biến x1, x2, ... xn chỉ nhận các giá trị dơng, tức là:
xj >0 với j = 1... n
và thoả mãn các điều kiện ràng buộc cho dới dạng phi tuyến của các biến trên:
Ri = R(x1, x2, ... xn) <= 0; i = 1 ... n; n<m
Tổ hợp bao gồm các công thức xác định nên tập hợp các giá trị thông số
thiết kế x1, x2 ... xn và xác định tất cả các đặc tính của chúng, trong đó có giá
trị các ràng buộc và hàm mục tiêu, đợc gọi là mô hình toán học của đối tợng
thiết kế.
II. Bài toán
Đặt bài toán tối u hoá nh sau:
Xác định các thông số kích thớc hình học của dầm BTCT thờng mặt cắt
chữ T, chịu tác dụng của tải trọng tĩnh tải và hoạt tải rải đều, thoả mãn các điều
kiện về cờng độ biến dạng chung và các yêu cầu về cấu tạo, có giá thành vật
liệu nhỏ nhất.
Sơ đồ mặt cắt và mô hình toán học theo hình vẽ.
- Hàm mục tiêu:
F = Vb * Gtb + Ga* Gta ===> min
Trong đó:
Vb: Thể tích Bê tông
Ga: Trọng lợng thép
Vb = Fb * L; Ga = Fa*a*l
1
Thiết kế tối u dầm BTCT thờng mặt cắt chữ T
Fa, Fb: Diện tích tiết diện ngang bê tông và cốt thép.
L: Chiều dài dầm
a: Trọng lợng riêng thép.
Gta, Gtb: Giá thành 1 đơn vị trọng lợng thép và 1 đơn vị thể tích bê
tông.
- Các hàm ràng buộc
M(l/2) <= [M] (Điều kiện về cờng độ)
a <= [a] (Điều kiện về độ mở rộng vết nứt)
f(l/2) <= [f(l/2)] (Điều kiện vè độ võng)
- Các điều kiện của kích thớc hình học theo kinh nghiệm
1.5m <= bc <= 2.4 m
L/15 <= h <= L/7
- Các số liệu đa vào
Ru: Cờng độ chịu nén khi uốn của bê tông
Eb: Mô đuyn đàn hồi bê tông
Ra: Cờng độ của thép.
Qtc: Tải trọng rải đều thay thế tơng đơng tiêu chuẩn
Qr: Tải trọng rải đều tơng đơng tính toán
(và các số liệu khác)
III. Lựa chọn phơng pháp thiết kế tối u bài toán
Để giải quyết đợc bài toán trên, có thể áp dụng nhiều phơng pháp khác
nhau nh phơng pháp Gradient, phơng pháp dò dần theo từng trục toạ độ (Phơng
pháp Gause Zaidel), phơng pháp chia ô....
ở đây lựa chọn và áp dụng phơng pháp Gradient để giải quyết.
1. Giới thiệu phơng pháp Gradient
Phơng pháp Gradient thuộc nhóm các phơng pháp tất định xác định hớng
dịch chuyển đến điểm tối u.
2
Thiết kế tối u dầm BTCT thờng mặt cắt chữ T
Gradient của hàm F(x) với x = (x
1
, x
2
, .... x
n
) là véc tơ mà các toạ độ
của nó là các đạo hàm riêng của hàm F(x) theo các biểu số
F
F F F
x x x
n
= ( , ,....... )
1 2
Về mặt hình học giải tích, gradient của hàm mục tiên chính là véc tơ chỉ h-
ớng tăng nhanh nhất giá trị hàm số đó. Nh vậy véc tơ F gọi là véc tơ ngợc
gradient sẽ chỉ ra hớng giảm nhanh nhất giá trị hàm mục tiêu. Nếu di chuyển
trong không gian n chiều của các biến số theo hớng - F (ở lân cận điểm đang
xét) đi một đoạn x nào đó sẽ giảm nhanh hàm mục tiêu hơn là di chuyển theo
bất kỳ hớng nào khác. Nh vậy có thể lợi dụng tính chất này để đề ra các ph-
ơng pháp giải bài toán tối u hoá.
Trong thực tế có thể nhiều hàm F(x) là khả vi nên có thể tính các đạo
hàm riêng F/x
i
. Nh vậy có thể tính gradient tại điểm bất kỳ. Nếu hàm F(x) quá
phức tạp và không thể tính các đạo hàm riêng bằng phơng pháp giải tích thì
có thể dùng phơng pháp sai phân để ớc lợng gần đúng gradient.
Trong trờng hợp tổng quát khi hàm mục tiêu F(x) có n biến số X = (x1,
x2, x3 ... xn) thì đạo hàm riêng theo phơng pháp sai phân có thể theo công thức
sau
F
F x F x
i
i h
i
i
x
F
x
h
=
+
,
( ) ( )
Càng giảm chiều dài bớc h thì độ chính xác của phép tính gần đúng
đạo hàm sẽ tăng nhanh
Ngoài ra có thể tính đạo hàm riêng qua các giá trị hàm mục tiêu theo
công thức:
dF
dx
F x h F x h
h
h
F
=
+
2
2
( ) ( )
2. áp dụng phơng pháp Gradient để giải bài toán
* Sử dụng phơng pháp Gradient để thiết kế tối u dầm BTCT thờng mặt cắt chữ T
theo điều kiện giá thành kết cấu nhỏ nhất, hàm mục tiêu có biến là bc (Chiều
rộng bản cánh) và h (Chiều cao dầm).
* Thuật toán:
- Các công thức áp dụng
M(l/2) = qtt*l
2
/8; [M(l/2)] = Ra*Fa*(ho-a)
3
Thiết kế tối u dầm BTCT thờng mặt cắt chữ T
F(l/2) = (5/384)*(qtc*l
4
/Eb*Itd);[F(l/2)] = L/400
a = 3*(a
tc
/Ea)*2*Rr
1/2
; [a] = 0.02 cm
Vb=Fb*L;
Ga = fa*a; Fa = M/(Ra*ho*)
Xd = (Fa*a*(n-1)+bs*(h-hc)
2
/2+bc*hc*(h-hc/2))/Ftđ
Yt = h-xd
Ftđ = bc*hc+(h-hc)*bs+Fa*(n-1)
Itđ=Ia
(0-0)
+Is
(0-0)
+Ic
(0-0)
Ia
(0-0)
= Fa*(n-1)*(xd-a)
2
Is
(0-0)
= (h-hc)
3
*bs/12 +bs*(h-hc)*((h-hc)/2 - xd)
2
Ic
(0-0)
= bc*hc
2
/12+ bc*hc*(xt-hc/2)
2
Qtc = q
tc
bảnthân
+ q
tc
phủ
+ q
tc
Trong đó
q
tc
bảnthân
= Ftđ*b
q
tc
phủ
= bc*hphủ*phủ
q
tc
sẽ cho với bài toán cụ thể
qtt = q
tcbt
*1.1 + q
tc
phủ
*1.5+q
tc
*(1+à)
- Xét hàm mục tiêu là hàm 2 biến:
F = Vb * Gtb + Ga* Gta = F(x,y)
(Trong đó x=bc, y=h)
Hàm F(x,y) là hàm phi tuyến. Để sử dụng phơng pháp Gradient trên mặt
F(x,y) ta tìm cực tiểu theo hớng có độ dốc lớn nhất, nghĩa là theo hớng ngợc F
.
Nếu F(x,y) có cực tiểu tại (xt,yt) ta có quá trình lặp
Xi+1 = xi - ui*F
(x)
(x,y)
Yi+1 = yi - ui*F
(y)
(x,y)
Giá trị bớc lặp ui trong công thức trên sẽ đợc xác định ở mỗi bớc.
4
Thiết kế tối u dầm BTCT thờng mặt cắt chữ T
Gọi h là bớc lặp Gradient ta có
Deltax = f(x+h,y)-F(x-h,y)
Deltay = f(x,y+h)-F(x,y-h)
Deltaxy = ((deltax)
2
+(deltay)
2
)
1/2
Quá trình lặp theo thuật toán:
Xi+1 = xi - l*deltax/deltaxy
Yi+1 = yi - l*deltay/deltaxy
Trong đó l là khoảng cách cho trớc.
Quá trình lặp lại này dừng lại khi l<ep cho trớc và x1<=x<=x2; y1<=y<=y2 cho
trớc.
5
