hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
TRƯ NG THPT CHUYÊN
THI TH
I H C – CAO
NG L N III - 2011
LÊ Q ƠN
MƠN: TỐN – KH I A, B
T TOÁN – TIN
Th i gian làm bài: 180 phút (không k th i gian giao )
A. PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 i m)
2x + 1
(C)
Câu I. (2,0 i m) Cho hàm s y =
x −2
1. Kh o sát s bi n thiên và v
th (C).
2. Tìm t t c các giá tr c a m
ư ng th ng y = m(x – 2) +2 c t
sao cho o n AB có
dài ng n nh t.
Câu II. (2,0 i m)
2(cos x − s inx)
1
=
t anx + cot 2x
cot x − 1
3
3
(xy + 1) = 2y (9 − 5xy )

2. Gi i h phương trình: 

x, y ∈ R
xy(5y − 1) = 1 + 3y


th (C) t i hai i m phân bi t A,B

1. Gi i phương trình:

(

)

π
2

Câu III. (1,0 i m) Tính tích phân: I = ∫ sinx.(sin 4 x + e cos x )dx
0

Câu IV. (1,0 i m) Cho hình h p

ng ABCDA’B’C’D’ có áy là hình thoi c nh a, ABC = 600 ,góc gi a

m t ph ng (A’BD) và m t áy b ng 600 . Tính th tích hình h p và tính kho ng cách gi a ư ng
th ng CD’ và m t ph ng (A’BD).
Câu V. (1,0 i m)Ch ng minh r ng v i m i s dương x,y,z th a mãn: xy + yz + zx = 3 ta có b t ng th c
1
4
3
+
≥

xyz ( x + y )( y + z )( z + x) 2
B. PH N RI NG (3,0 i m): Thí sinh ch
I. Theo chương trình Chu n
Câu VIa. (2,0 i m)
1. Trong m t ph ng v i h t a

ư c làm m t trong hai ph n (ph n I ho c II )

Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1) và AC = 2BD. i m M(0;

1
)
3

thu c ư ng th ng AB, i m N(0;7) thu c ư ng th ng CD. Tìm t a
nh B bi t B có hồnh
dương.
x −1 y +1 z −1
2. Trong không gian v i h t a
Oxyz cho ư ng th ng (d):
=
=
và m t c u
2
−2
1
(S) : x 2 + y 2 + z 2 − 8x − 4y − 2z + 12 = 0 . L p phương trình m t ph ng (P) i qua (d) và ti p xúc v i
m t c u (S).

Câu VIIa. (1,0 i m) Cho s ph c z th a mãn: z = ( 2 + i )2 (1 − 2.i ) . Tìm mơ un c a s ph c z + iz

II. Theo chương trình Nâng cao
Câu VIb. (2,0 i m)
x 2 y2
1. Trong m t ph ng v i h t a
Oxy, cho elip (E):
+
= 1 . Tính di n tích tam giác u ABC n i
16 4
ti p elip (E), bi t nh A(0;2) và BC vng góc v i tr c tung.
2. Trong không gian v i h t a
Oxyz cho m t ph ng (P):3x + 2y – z + 4 = 0 và i m I(2;2;0). Xác
nh t a
i m K sao cho KI vng góc v i m t ph ng (P), ng th i K cách u g c t a
O và
m t ph ng (P).
Câu VIIb. (1,0 i m) Tính t ng: S = (1 + i )2011 + (1 − i )2011
.....H t…Thí sinh không ư c s d ng tài li u. Cán b coi thi khơng gi i thích gì thêm.


hoc toan va on thi dai hoc mien phi !

ÁP ÁN
Câ
u
I

Ý

THI TH L N 3-KH I A-B
N i dung


i m
2,0

1

Kh o sát s bi n thiên và v
th (C) c a hàm s (1,0 i m)
R\{2}
−5
y' =
< 0 ∀x ≠ 2 . Suy ra hàm s ngh ch bi n trên các kho ng xác
2
( x − 2)
lim y = ±∞ → x = 2 là ti m c n

x → 2±

nh c a hàm s .

0.25

ng
0.25

lim y = 2 → y = 2 là ti m c n ngang

x →±∞

-B ng bi n thiên

x

2

y'

0.25

2

y

2

th

2

i qua (0;-1/2), (-1/2; 0) v

úng

0.25

Tìm m …..(1,0 i m)
t y = m(x-2) + 2 c t (C) t i 2 i m p.bi t

+

⇔ pt


2x + 1
= m( x − 2) + 2 có 2nghi
x−2

⇔ pt mx 2 − 4mx + 4m − 5 = 0(*) có 2 nghi
m ≠ 0

⇔ ∆ ' = 4m 2 − m(4m − 5) > 0 ⇔ m > 0 .
4m − 8m + 4m − 5 ≠ 0


+

m p.bi t

0.25

m p.bi t khác 2.

0.25

+Gi s A(x1;y1),B(x2;y2) trong ó x1,x2 là 2 nghi m c a (*).Khi ó y1= mx1-2m+2; y2= mx2-2m+2. Ta có

AB 2 = ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 )2 = ( x2 − x1 ) 2 (m 2 + 1) = ( x2 + x1 ) 2 − 4 x1 x2  (m 2 + 1) .



0.25


4(4m − 5)  2
20(m 2 + 1) 20.2m

= 16 −
≥
= 40 ∀m > 0 .
 (m + 1) =
m
m
m


+

ng th c x y ra khi và ch khi m = 1 .V y v i m = 1 thì AB ng n nh t b ng

II

40

0.25
2,0

1

Phương trình lư ng giác …(1,00 i m)

2(cos x − s inx)
1
=

t anx + cot 2x
cot x − 1
k: sin 2 x(tan x + cot 2 x) ≠ 0 ;cot x ≠ 1
Bi n

i ta có:

1
s inx cos2 x
+
cos x sin 2 x

=

2(cos x − s inx)
cos x.sin 2 x
⇔
= 2.s inx
cos x
cos x
−1
s inx

0.25
0.25


hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
⇔ 2sin x.cos x = 2.s inx ⇔ cos x =


2
π
⇔ x = ± + k 2π ; k ∈ »
2
4

K t h p v i k ta ư c h nghi m c a PT: x = −

π
4

+ k 2π

0.25

;k ∈ »
0,25

2

Gi i h phương trình….(1,00 i m)
.+ y = 0 không là nghi m c a h .
+ y ≠0 H tương ương v i :

 xy +13
3

 = 2(9 − 5xy) (5xy − 3) = 2(9 − 5xy) (1)
 y 


⇔
xy +1

5xy − 3 =
(2)
xy +1


y
5xy − 3 =


y

Gi i PT(1) .

0.5

t t = 5xy – 3 PT(1) tr thành : t 3 + 2t − 12 = 0 ⇔ (t − 2)(t 2 + 2t + 6) = 0 ⇔ t = 2

V y 5xy – 3 = 2

⇔ xy = 1

0.25

Th xy = 1 vào (2) ta ư c y = 1, x = 1 .V©y hƯ cã nghiƯm (x;y) = (1;1)
III

0.25


Tính tích phân

1,0

π

π

2

∫

2

∫

5

Ta c ó I = sin x.dx + sinx.e
0

cos x

.dx

0.25

0


π

π

2

2

0

0

I1 = ∫ sin 5 x.dx ; I 2 = ∫ sinx.ecos x .dx
π

π

2

2

∫

∫

5

π
2


2

∫

2

2

4

+ I1 = sin x.dx = − (1 − cos x ) .d (cos x ) = − (1 − 2cos x + cos x).d (cos x )
0

0

2
1
= −(cos x − cos3 x + cos5 x)
3
5

0

π
2
0

=

0.25


8
15

π
2

∫

+ I2 = − e

cos x

.d (cos x) = −ecos x

π
2
0

0.25

= e −1

0

V y I= e −
IV

7
15


0.25

Hình khơng gian

1,0

G i O là tâm hình thoi ⇒ AO ⊥ BD ,k t h p v i AA ' ⊥ ( ABCD ) ⇒ A ' O ⊥ BD ⇒ A ' OA là góc

0.5

0

gi a m t (A’BD) v i m t áy ⇒ A ' OA = 60 .
0

Do ABC = 60 nên tam giác ABC

u ⇒ AO =

a
.
2


hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
D'

A'
C'


B'

H
A
D
O

3
Trong tam giác vng A’AO ,ta có AA ' = AO.tan 60 = a
2
2
a 3 a 3 3a 3
Do ó th tích hình h p : V=S ABCD .AA ' =
.
=
2
2
4
0

C

B

Theo c/m trên ta có : BD ⊥ ( A ' AO ) ⇒ ( A ' BD) ⊥ ( A ' AO )
Trong tam giác vuông A’AO, d ng ư ng cao AH, ta có AH ⊥ ( A ' BD ) ,hay AH = d(A,(A’BD)).
Do CD’// BA’ nên CD’// (A’BD) suy ra d(CD’,(A’BD)) = d(C,(A’BD)) = d(A,(A’BD))
(vì AO=CO)
= AH

0

= AO.sin 60 =
V

t P=

1
4
+
xyz ( x + y )( y + z )( z + x)
1
4
+
≥
2 xyz ( x + y )( y + z )( z + x)

2 2

xyz ( x + y )( y + z )( z + x)
2( xy + yz + zx)
Mà 3 ( xy + yz )( yz + zx)( zx + xy ) ≤
= 2 ⇒ xyz ( x + y )( y + z )( z + x) ≤ 8
3
1
3
Nên Q ≥ 1 ⇒ P = Q +
≥
2 xyz 2
D u “=” x y ra khi x = y = z = 1 .


Theo chương trình Chu n
VI
a

a 3
4
1,0

Áp d ng B T Cauchy cho 3 s dương ta có: 3 = xy + yz + zx ≥ 3 3 ( xyz ) 2 ⇒ xyz ≤ 1 .
Ta có : Q =

0,5

0.25
0.25
0.25
0.25

2.0


hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
1 G i N’ là i m i x ng c a N qua I thì N’ thu c AB, ta có
0,25

B
M

N'


A

C
I

 x N ' = 2 xI − x N = 4

 y N ' = 2 y I − y N = −5
PT c a ư ng th ng AB: 4x + 3y -1 = 0
Kho ng cách t I

D

4.2 + 3.1 − 1

=2
4 2 + 32
t BI = x, AI = 2x ,Trong tam giác vuông ABI có:

n ư ng th ng AB: d =

AC = 2.BD nên AI = 2 BI,
1
1
1
= 2 + 2 ⇒ x = 5 ⇒ BI = 5
2
d
x

4x
i m B là giao i m c a ư ng th ng 4x + 3y – 1 = 0 v i ư ng tròn tâm I bán kính
4 x + 3 y − 1 = 0
B là nghi m c a h : 
T a
2
2
( x − 2) + ( y − 1) = 5
B có hồnh
dương nên B(1;-1)

2

N

0.25
0.25
5

M t c u (S) có tâm I(4;2;1),bán kính R= 3;có ud = ( 2; −2;1) .Gi s
n p = ( a; b; c ) ;(a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0) n p ⊥ ud ⇒ 2a − 2b + c = 0 (1)
i m A(1;-1;1) ∈ d ⇒ A ∈ ( P ) do ó PT (P): a(x-1) + b(y+1) +c(z-1) = 0
(P) ti p xúc v i (S) khi d(I;(P)) = 3 ⇔ 2ab = c 2

(2)

a = 1 a = 2
T (1) và (2) ta ư c PT : 2a 2 − 5ab + 2b 2 = 0 , ch n ư c 2 c p nghi m c a PT : 
; 
b = 2 b = 1


VI
Ia

0.25

Có 2 m t ph ng t/mãn ycbt : (P1): 2x + y -2z + 1 = 0 ; (P2): x + 2y + 2z – 1 = 0
.

0.25
0.25
0.5

1.0

Ta có z = (1 + 2 2.i )(1 − 2.i ) = 5 + 2.i ⇒ z = 5 − 2.i

0.5

z + iz = 5 + 2 + (5 + 2)i

0.25

V y

z + iz

=2+5 2

0.25



hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
Theo chương trình Nâng cao
VI
b
1 T gt suy ra tam giác u ABC nh n tr c Oy làm tr c i x ng.Gi s B(m;n) ⇒ C(-m;n)
⇒ AB 2 = m 2 + (n − 2)2 ; BC 2 = 4m 2
m 2 n 2
2
 2
+
=1

m + 4n = 16
Tam giác u ABC n i ti p elip (E) khi và ch khi :  16
⇔ 2
4
2
4m 2 = m 2 + (n − 2)2
3m = n − 4n + 4


22
Gi i h trên ta ư c : n = −
(n = 2 loai ) vì A trùng B và C.
13
⇒m =

2


16 3
13

hoac m = −

16 3
3 768 3
⇒ S ABC = (2m )2 .
=
. ( vdt)
13
4
169

x−2 y−2
z
=
=
3
2
−1
chân ư ng vng góc h t I xu ng m t ph ng (P) là H(-1;0;1)

2.0
0.25

0.25

0.25

0.25

Phương trình c a ư ng th ng KI :

0.25

T a

0.25

Gi s K(x0;y0;z0) .Khi ó KH = KH = ( x0 + 1)2 + y0 2 + ( z0 − 1)2 ; KO = x0 2 + y0 2 + z0 2
Ta có h :
1

 x0 = − 4
 x0 − 2 y0 − 2 z0

1
1 1 3
 3 = 2 = −1

⇔  y0 =
⇒ K (− ; ; )

2
4 2 4
 ( x + 1) 2 + y 2 + ( z − 1)2 = x 2 + y 2 + z 2

0
0

0
0
0
0

3

 z0 = 4

VI
Ib

0.25

0.25
1.0

Ta có
1 + i = 2(cos

π

π

+ i sin ) ⇒ (1 + i )2011 = ( 2) 2011 (cos
4
4

2011.π
2011.π

3π
3π
+ i sin
) = ( 2) 2011 (cos
+ i sin )
4
4
4
4

π
π
3π
3π
1 − i = 2(cos(- ) + i sin(− )) ⇒ (1 − i ) 2011 = ( 2)2011 (cos(- ) + i sin(− ))
4
4
4
4
3π
Do ó S = ( 2) 2011 .2cos
= −21006
4

0,5
0,5


hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
TRƯ NG THPT CHUYÊN

THI TH
I H C – CAO
NG L N III - 2011
LÊ Q ƠN
MƠN: TỐN – KH I D
T TOÁN – TIN
Th i gian làm bài: 180 phút (không k th i gian giao )

A. PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 i m)
2x + 1
(C)
Câu I. (2,0 i m) Cho hàm s y =
x −2
1. Kh o sát s bi n thiên và v
th (C).
2. Tìm t t c các giá tr c a m
ư ng th ng y = m(x – 2) +2 c t
sao cho AB = 2 10 .
Câu II. (2,0 i m)
2(cos x − s inx)
1
=
t anx + cot 2x
cot x − 1
 x 2 + 6y = y + 3

2. Gi i h phương trình: 
x, y ∈ R
x +y + x −y = 4




th (C) t i hai i m phân bi t A,B

1. Gi i phương trình:

(

)

π
2

Câu III. (1,0 i m) Tính tích phân: I = ∫ sinx.(sin 4 x + e cos x )dx
0

Câu IV. (1,0 i m) Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình thang, ABC = BAD = 900 , BA = BC = a ,
AD = 2a . C nh bên SA vng góc v i áy và SA = a 2 . G i H là hình chi u vng góc c a A
trên SB. Ch ng minh tam giác SCD vng và tính (theo a) kho ng cách t H n m t ph ng (SCD).
Câu V. (1,0 i m) Ch ng minh r ng v i m i s dương x, y, z th a mãn : xy + yz + zx = 3 ta có b t ng
th c
1
4
3
+
≥
xyz ( x + y )( y + z )( z + x) 2

B. PH N RI NG (3,0 i m): Thí sinh ch ư c làm m t trong hai ph n (ph n I ho c II )
I. Theo chương trình Chu n

Câu VIa. (2,0 i m)
1. Trong m t ph ng v i h to
Oxy,cho tam giác ABC có C(1;2), hai ư ng cao xu t phát t A và B
l n lư t có phương trình là x + y = 0 và 2x – y + 1 = 0 . Tính di n tích tam giác ABC.
x −1 y +1 z −1
2. Trong không gian v i h t a
Oxyz cho ư ng th ng (d):
=
=
và m t c u
2
−2
1
(S) : x 2 + y 2 + z 2 − 8x − 4y − 2z + 12 = 0 . L p phương trình m t ph ng (P) i qua (d) và ti p xúc v i
m t c u (S).
Câu VIIa. (1,0 i m) Cho s ph c z th a mãn: z = ( 2 + i )2 (1 − 2.i ) .Tìm mơ un c a s ph c z + iz
II. Theo chương trình Nâng cao
Câu VIb. (2,0 i m)
x 2 y2
1. Trong m t ph ng v i h t a
Oxy, cho elip (E):
+
= 1 . Tính di n tích tam giác u ABC n i
16 4
ti p elip (E), bi t nh A(0;2) và BC vng góc v i tr c tung.
2. Trong không gian v i h t a
Oxyz cho m t ph ng (P):3x + 2y – z + 4 = 0 và i m I(2;2;0). Xác
nh t a
i m K sao cho KI vuông góc v i m t ph ng (P), ng th i K cách u g c t a
O và

m t ph ng (P).
1
2
3
2011
Câu VIIb. (1,0 i m) Tính t ng: S = 1.C 2011 .22010 + 2.C 2011 .22009 + 3.C 2011 .22008 + ... + 2011.C 2011 .20
.....H t….
Thí sinh không ư c s d ng tài li u. Cán b coi thi khơng gi i thích gì thêm.


hoc toan va on thi dai hoc mien phi !

ÁP ÁN
Câu
I

THI TH L N 3-KH I D
N i dung

Ý

1 Kh o sát s bi n thiên và v
th (C) c a hàm s (1,0 i m)
R\{2}
−5
y' =
< 0 ∀x ≠ 2 . Suy ra hàm s ngh ch bi n trên các kho ng xác
2
( x − 2)
lim y = ±∞ → x = 2 là ti m c n


x → 2±

i m
2,0

nh c a hàm s .

0.25

ng
0.25

lim y = 2 → y = 2 là ti m c n ngang

x →±∞

-B ng bi n thiên
x

2

y'

0.25

2

y


2

-

th

i qua (0;-1/2), (-1/2; 0) v

úng

0.25

2 Tìm m …..(1,0 i m)
t y = m(x-2) + 2 c t (C) t i 2 i m p.bi t

+

⇔ pt

2x + 1
= m( x − 2) + 2 có 2nghi
x−2

⇔ pt mx 2 − 4mx + 4m − 5 = 0(*) có 2 nghi
m ≠ 0

⇔ ∆ ' = 4m 2 − m(4m − 5) > 0 ⇔ m > 0 .
4m − 8m + 4m − 5 ≠ 0



+

m p.bi t

0.25

m p.bi t khác 2.

0.25

+Gi s A(x1;y1),B(x2;y2) trong ó x1,x2 là 2 nghi m c a (*).Khi ó y1= mx1-2m+2; y2= mx2-2m+2. Ta
có

AB 2 = ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 )2 = ( x2 − x1 ) 2 (m 2 + 1) = ( x2 + x1 ) 2 − 4 x1 x2  (m 2 + 1) .


2

4(4m − 5)  2
20(m + 1)

= 16 −
(m + 1) =
= 40 ⇔ m 2 − 2m + 1 = 0 ⇔ m = 1 .

m
m


II


0.5

2,0
1 Phương trình lư ng giác …(1,00 i m)

2(cos x − s inx)
1
=
t anx + cot 2x
cot x − 1
k: sin 2 x(tan x + cot 2 x) ≠ 0 ;cot x ≠ 1
Bi n

i ta có:

1
s inx cos2 x
+
cos x sin 2 x

=

2(cos x − s inx)
cos x.sin 2 x
⇔
= 2.s inx
cos x
cos x
−1

s inx

0.25
0.25


hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
⇔ 2sin x.cos x = 2.s inx ⇔ cos x =

2
π
⇔ x = ± + k 2π ; k ∈ »
2
4

K t h p v i k ta ư c h nghi m c a PT: x = −

π
4

+ k 2π

0.25
0,25

;k ∈ »

2 Gi i h phương trình….(1,00 i m)

H PT ã cho tương ương v i


y ≥ −3
y ≥ −3
2

2
x + 6y = ( y + 3) ⇔ (x + y)(x − y) = 9


 x+ y + x− y =4  x+ y + x− y =4

0.25

t u = x + y ; v = x − y (u, v ≥ 0)
 u = 3
 x = 5


u .v = 9
uv = 3
 v = 1 ⇔   y = 4
Ta ư c h
⇔
⇔

 u = 1
 x = 5
u + v = 4
u + v = 4



 v = 3
  y = −4


t h p v i k: y ≥ −3 h ã cho có nghi m (x;y) = (5;4)
Tính tích phân
2

III

0.5

2

π

0.25
1,0

π

2

∫

2

∫


5

Ta c ó I = sin x.dx + sinx.e
0

cos x

0.25

.dx

0

π

π

2

2

I1 = ∫ sin x.dx ; I 2 = ∫ sinx.ecos x .dx
5

0

0

π


π

2

2

∫

∫

5

π
2

2

∫

2

2

4

+ I1 = sin x.dx = − (1 − cos x ) .d (cos x ) = − (1 − 2cos x + cos x).d (cos x )
0

0


2
1
= −(cos x − cos3 x + cos5 x)
3
5

0.25

0

π
2
0

=

8
15

π
2

∫

+ I2 = − e

cos x

.d (cos x) = −ecos x


π
2
0

= e −1

0.25

0

V y I= e −
IV

7
15

0.25

Hình khơng gian

1,0

G i I là trung i m c a AD.Ta có IA=ID=IC=a ⇒ CD ⊥ AC .M tkhác CD ⊥ SA .Suy ra
CD ⊥ SC nên tam giác SCD vuông t i C.

0.5


hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
S


H
I

A

B

D

C

SH SA2
SA2
2a 2
2
= 2 = 2
= 2
=
2
2
SB SB
SA + AB
2a + a
3
d
SH 2
2
G i d1,d2 l n lư t là kho ng cách t B và H n m t ph ng (SCD) thì 2 =
= ⇒ d 2 = d1

d1 SB 3
3
3V
SA.S BCD
1
1
d1 = B.SCD =
; S BCD = AB.BC = a 2
S SCD
S SCD
2
2

Trong tam giác vuông SAB ta có :

Ta có

S SCD
Suy ra d1=

1
1
= SC.CD =
SA2 + AB 2 + BC 2 . IC 2 + ID 2 = a 2 2
2
2
a
.V y kho ng cách t H
2


0,5

n m t ph ng (SCD) là

2
a
d1 =
3
3
1
4
t P=
+
xyz ( x + y )( y + z )( z + x)

d2 =
V

1,0

Áp d ng B T Cauchy cho 3 s dương ta có: 3 = xy + yz + zx ≥ 3 3 ( xyz ) 2 ⇒ xyz ≤ 1 .
Ta có : Q =

1
4
+
≥
2 xyz ( x + y )( y + z )( z + x)

2 2


xyz ( x + y )( y + z )( z + x)
2( xy + yz + zx)
Mà 3 ( xy + yz )( yz + zx)( zx + xy ) ≤
= 2 ⇒ xyz ( x + y )( y + z )( z + x) ≤ 8
3
1
3
Nên Q ≥ 1 ⇒ P = Q +
≥
2 xyz 2
D u “=” x y ra khi x = y = z = 1 .

Theo chương trình Chu n
VIa

0.25
0.25
0.25
0.25

2.0


hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
1 ư ng th ng BC có véc tơ ch phương u là véc tơ pháp tuy n c a t’ x + y =0, nên u =(1;1).
x = 1 + t
Phương trình c a BC: 
Suy ra B(1+t;2+t). B thu c /cao xu t phát t B nên t a th a
y = 2 + t

mãn PT: 2(1+t) – 2 – t +1 = 0 ⇒ t = -1.V y B(0;1).
 x = 1 + 2t
và A(-5;5)
Tương t , PT c a AC: 
y = 2 − t

Ta có BC = 2
ư ng th ng BC vi t d ng t ng quát : x – y + 1 = 0
−5 − 5 + 1
9
=
G i AH là /cao ,ta có AH =
2
2
1
9
V y S ABC = AH .BC =
2
2

0.5

0.5

2 M t c u (S) có tâm I(4;2;1),bán kính R= 3;có u = ( 2; −2;1) .Gi s
d
n p = ( a; b; c ) ;(a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0) n p ⊥ ud ⇒ 2a − 2b + c = 0 (1)
i m A(1;-1;1) ∈ d ⇒ A ∈ ( P ) do ó PT (P): a(x-1) + b(y+1) +c(z-1) = 0
(P) ti p xúc v i (S) khi d(I;(P)) = 3 ⇔ 2ab = c 2


0.25

(2)

a = 1 a = 2
T (1) và (2) ta ư c PT : 2a 2 − 5ab + 2b 2 = 0 , ch n ư c 2 c p nghi m c a PT : 
; 
b = 2 b = 1

VIIa

0.25

Có 2 m t ph ng t/mãn ycbt : (P1): 2x + y -2z + 1 = 0 ; (P2): x + 2y + 2z – 1 = 0
.

0.5

Ta có z = (1 + 2 2.i )(1 − 2.i ) = 5 + 2.i ⇒ z = 5 − 2.i

1.0
0.5

z + iz = 5 + 2 + (5 + 2)i

0.25

V y

z + iz


=2+5 2

0.25

Theo chương trình Nâng cao
VIb
1 T gt suy ra tam giác u ABC nh n tr c Oy làm tr c
⇒ AB 2 = m 2 + (n − 2)2 ; BC 2 = 4m 2

i x ng.Gi s B(m;n) ⇒ C(-m;n)

m 2 n 2
2
 2
+
=1

m + 4n = 16
Tam giác u ABC n i ti p elip (E) khi và ch khi :  16
⇔ 2
4
2
4m 2 = m 2 + (n − 2)2
3m = n − 4n + 4


22
Gi i h trên ta ư c : n = −
(n = 2 loai ) vì A trùng B và C.

13

2.0
0.25

0.25

0.25


hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
⇒m =
2

16 3
13

hoac m = −

16 3
3 768 3
⇒ S ABC = (2m )2 .
=
. ( vdt)
13
4
169

x−2 y−2
z

=
=
3
2
−1
chân ư ng vng góc h t I xu ng m t ph ng (P) là H(-1;0;1)

0.25

Phương trình c a ư ng th ng KI :

0.25

T a

0.25

Gi s K(x0;y0;z0) .Khi ó KH = KH = ( x0 + 1)2 + y0 2 + ( z0 − 1)2 ; KO = x0 2 + y0 2 + z0 2
Ta có h :
1

 x0 = − 4
 x0 − 2 y0 − 2 z0

1
1 1 3
 3 = 2 = −1

⇔  y0 =
⇒ K (− ; ; )


2
4 2 4
 ( x + 1) 2 + y 2 + ( z − 1)2 = x 2 + y 2 + z 2

0
0
0
0
0
0

3

 z0 = 4

VIIb
2011

0
2011

2011

1
2011

2010

2011

2011

2011

Ta th y (2 + x)
= C .2 + C .2 .x + ... + C .x
L y o hàm theo x ta ư c
1
2
2011
2011(2 + x) 2010 = 1.C2011 .22010 + 2.C2011 .2 2009.x + ... + 2011.C2011 .x 2010 (*)
Thay x = 1 vào (*) ta ư c t ng S = .2011.32010

0.25

0.25
1.0
0.25
0.5
0.25