Cho hàm số y = x
4
+ 8ax
3
+ 3(1 + 2a)x
2
-4.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = 0.
2) Xác định a để hàm số chỉ có một cực tiểu mà không có cực đại.
Câu II. 1) Tam giác ABC có các góc thỏa mãn điều kiện
3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15.
Chứng tỏ rằng ABC là một tam giác vuông.
2) Giải phỷơng trình
sin
2
x+
1
4
sin
2
3x = sinxsin
2
3x.
Câu III.
1) Chứng minh rằng nếu n là một số tự nhiên chẵn, và a là một số lớn hơn 3, thì phỷơng trình
(n + 1)x
n+2
- 3(n + 2)x
n+1
+a
n+2

=0
không có nghiệm.
2) Giải và biện luận theo a hệ bất phỷơng trình
()()
()
xx
xaxaa
2
22
120
31 2 0

++ +



www.khoabang.com.vn
Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
Câu I.
Câu I. 1) Đề nghị bạn hãy tự giải nhé!
2) Ta có : y=4x
3
+ 24ax
2
+ 6(1 + 2a)x = 2x[2x
2
+ 12ax + 3(1 + 2a)].
y luôn có nghiệm x
o

=0với mọi a. Để hàm chỉ có một cực tiểu mà không có cực đại thì:
a) hoặc tam thức f(x) = 2x
2
+ 12ax + 3(1 + 2a) không có nghiệm;
b) hoặc f(x) có nghiệm kép x
1
=x
2
ạ 0;
c) hoặc f(x) có nghiệm x
o
=0.(Đề nghị giải thích !)
D = 6(6a
2
-2a-1)
Trỷờng hợp 1 D < 0
1- 7
6
<a<
1+ 7
6
.
Trỷờng hợp 2
D'
()
()
=
ạ
ỡ
ớ

ù
ù
ợ
ù
ù

=+
+ạ
ỡ
ớ
ù
ù
ù
ợ
ù
ù
ù
0
00
17
6
31 2 0
f
a
a


a=
17
6

.
Trỷờng hợp 3 f(0) = 0 3(1+2a)=0 a=-
1
2
.
Vậy ta đỷợc
1- 7
6
a
1+ 7
6
ÊÊ
hoặc a=
-1
2
.
Câu II. 1) Ta có 3cosB + 4sinB Ê
3+4
22
=5,
dấu = chỉ xảy ra khi cosB=
3
5
,sinB=
4
5
. (1)
Tỷơng tự 6sinC + 8cosC = 2(3sinC + 4cosC) Ê 10, dấu = chỉ xảy ra khi sinC =
3
5

,cosC=
4
5
.(2)
Thành thử đẳng thức 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15
khi ta có đồng thời (1) và (2), mà B và C là hai góc của một tam giác, vậy B=
p
2
-C
và A=
p
2
.
2) Viết lại phỷơng trình:
www.khoabang.com.vn
Luyện thi trên mạng
_______________________________________________________________
sin
2
x+
1
4
sin
2
3x - sinxsin
2
3x=0 (sinx -
1
2
sin

2
3x)
2
+
1
4
sin
2
3x(1 - sin
2
3x)=0.
Thay 1 - sin
2
3x = cos
2
3x vào ta đỷợc :
(sinx -
1
2
sin
2
3x)
2
+
1
16
sin
2
6x=0
sin sin ( )

sin ( )
xx
x
=
=
ỡ
ớ
ù
ù
ù
ợ
ù
ù
ù
1
2
31
602
2
Giải (2) ta đỷợc x=k
p
6
.
Cần chọn k nguyên sao cho :
sin
k
6
=
1
2

sin
3k
6
2
pp
sin
k
6
=
1
2
sin
k
6
2
pp
=
=
=+
ỡ
ớ
ù
ù
ù
ợ
ù
ù
ù
02
1

2
21
nếu k m
nếu k m
Nếuk=2mthì : Sin
sin sin
2
6
0
3
3
mm
mn
pp
= =
. vậy k=6n(nnguyên).
Nếu k=2m+1thì :sin(2m + 1)
p
6
=
1
2
. Khi đó :(2m + 1)
pp
p
6
=
6
+2n
hoặc (2m+1)

pp
p
6
=
5
6
+2n
.
Từ đó sẽ đỷợc k=1+12nhoặck=5+12n.
Kết luận : Phỷơng trình ban đầu có ba họ nghiệm là x
1
=np,x
2
=
p
6
+2np,x
3
=
5
6
p
+2np (n nguyên).
Câu III. 1) Đặt f(x) = (n + 1)x
n+2
- 3(n + 2)x
n+1
+a
n+2
ta có

f(x) = (n + 1)(n + 2)x
n+1
- 3(n + 1)(n + 2)x
n
=(n+1)(n+2)x
n
(x - 3).
Vì n là số tự nhiên chẵn nên f(x) có dấu của (x - 3), trừ khix=0vàx=3thìf(x) = 0, ta có bảng biến thiên của hàm
số f(x) nhỷ sau :
x-Ơ 03+Ơ
f(x) - 0 - 0 +
f(x) a
n+2
m
www.khoabang.com.vn
Luyện thi trên mạng
_______________________________________________________________
với m=a
n+2
-3
n+2
.
Nhỷ vậy, nếu a > 3thì m > 0, do đó f(x) luôn dỷơng, chứng tỏ rằng phỷơng trình f(x) = 0 vô nghiệm.
2) Viết lại hệ nhỷ sau :
(x
2
-1)(x-2) 0 (1)
(x - a)[x - (2a + 1)] Ê 0.(2)
a) Giải (1) sẽ đỷợc nghiệm là : -1 Ê x Ê 1hoặc 2 Ê x < +Ơ.
b) Giải (2) :

Nếu a> 2a + 1(a < -1)thì nghiệm của (2) là :2a+1Ê x Ê a(< -1).
Nếu a Ê 2a+1(a -1) thì nghiệm của (2) là a Ê x Ê 2a+1.
c) Kết hợp nghiệm :
Nếu a < -1 thì dễ thấy hệ vô nghiệm.
Nếu a 2thì nghiệm của hệ là a Ê x Ê 2a+1.
Nếu 1 < a < 2 thì nghiệm của hệ là 2 Ê x Ê 2a+1(vì khi đó : 3 < 2a+1< 5).
Nếu
1
2
Ê a Ê 1 thì nghiệm của hệ là :a Ê x Ê 1 hoặc
2 Ê x Ê 2a + 1 (vì lúc đó :2Ê 2a+1Ê 3).
Nếu 0 Ê a <
1
2
thì nghiệm của hệ là :aÊ x Ê 1
(lúc đó : 1 Ê 2a+1< 2).
Nếu -1 Ê a < 0 thì nghiệm của hệ là :
a Ê x Ê 2a+1(lúc đó - 1 Ê 2a+1< 1).
www.khoabang.com.vn
Luyện thi trên mạng
_______________________________________________________________
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng
________________________________________________________________

Câu IVa. Trong mặt phẳng, các đờng thẳng
=+


=
=


1
1
xx mt
(d)
yy nt
, (d')
2
2
xx pt'
yy qt'
=
+


=
+


theo thứ tự có vectơ chỉ phơng u(m;n)
G
, v(p;q)
G
.
1) Để (d) và (d') cắt nhau : u
G
không song song với v
G
mp np 0.
2) Để (d) // (d')

u//v
GG
mq np = 0.
3) Để (d) trùng với (d') : trớc hết phải có (d) // (d'), tức là mp np = 0.
Sau đó phải tồn tại
o
t sao cho
1o2
1o2
xmt x
ynt y.
+=


+=


Khử
o
t ra khỏi hệ này, ta đợc :
12 12
m(y y ) n(x x ).=
Vậy điều kiện phải tìm là
12 12
mq np 0
m(y y ) n(x x )
=


=


hoặc cũng vậy
12 12
mq np 0
p(y y ) q(x x ) 0
=



=


4) Để (d) (d') uv
GG
ta cần có mp + nq = 0.
Câu IVb.
1) Gọi là góc tạo bởi mặt phẳng (BDM) với đáy. Để xác định ,
kẻ AK BD. Theo định lí ba đờng vuông góc, MK BD,
vậy
n
AKM= . Vì
22222
11111
AK AB AD a b
=+=+

nên
22
ab
AK

ab
=
+
,
22
AM x a b
tg
AK ab
+
= =

Tơng tự, nếu là góc tạo bởi mặt phẳng (BDN) với đáy,
thì
22
ya b
tg
ab
+
=

Để các mặt phẳng (BDM) và (BDN) vuông góc với nhau, điều kiện cần và đủ là
o
90+= hay
22
22
xy(a b )
1tgtg
ab
+
==


22
22
ab
xy
ab
=
+
.
2) Từ giả thiết suy ra MK (BDN), vậy
BDMN
1
VV MK.dt(BDN)
3
==
.
Ta có
22 22 2 2 2
2222
22 22
ab ab x(a b)
MK AM AK x
ab ab
++
=+=+ =
++
,
dt(BDC)
dt(BDN)
cos

=

,
mà
22 2 22 22 2
2
22222
1 y(a b) ab y(a b)
1tg 1
cos a b a b
+++
=+ =+ =


vậy dt (BDN)
22 2 2 2
1
ab y(a b)
2
=++
, thành thử :
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng
________________________________________________________________


2222222222
22
1 [a b x (a b )][a b y (a b )]
V
6

ab
++ ++
==
+
44 22 2 2 2 2
22
12ab ab(a b)(x y)
6
ab
+++
=
+

do hệ thức ở phần 1).
V nhỏ nhất nếu
22
xy+ nhỏ nhất, mà ta có
22
22
22
2a b
xy2xy
ab
+ =
+
,
dấu = xảy ra khi
22
ab
xy

ab
==
+
, khi đó
22
min
22
ab
V
3a b
=
+


Câu IVa. Trong mặt phẳng, cho 2 đỷờng thẳng
xx mt
yy nt
=+
=+



1
1
xx pt
yy qt
=+
=+




2
2
'
'
(x
1
,y
1
,x
2
,y
2
là 4 số cố định). Tìm điều kiện cần và đủ (viết theo m, n, p, q) để các đỷờng thẳng ấy :
1) cắt nhau ;
2) song song với nhau ;
3) trùng với nhau ;
4) vuông góc với nhau.
Câu IVb.
Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD với AB = a, AD = b. Trên các nửa đỷờng thẳng Ax, Cy vuông góc với
(P) và ở về cùng một phía đối với (P), lấy các điểm M và N. Đặt AM = x, CN = y.
1) Tính tang các góc nhị diện do các mặt phẳng (BDM), (BDN) tạo với (P). Từ đó suy ra rằng để các mặt phẳng
(BDM), (BDN) vuông góc với nhau, điều kiện cần và đủ là
xy =
ab
a+b
22
22
.
2) Với giả thiết các mặt phẳng (BDM), (BDN) vuông góc với nhau, hãy tính thể tích tứ diện BDMN. Khi nào thì thể

tích ấy nhỏ nhất?
www.khoabang.com.vn
Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________