Sở giáo dục và đào tạo Hà nội Kì thi thử Đại học , cao đẳng lần 2 năm 2011
Trờng THPT Liên Hà Môn toán ,Thời gian làm bài : 180 phút
đề chính thức
I-Phần chung cho tất cả thí sinh (7 điểm )
Câu I(2điểm) Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
-
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) .
2. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cắt trục hoành tại A sao cho OA=1 .
Câu II( 2điểm)
1. Giải phơng trình :
15
tan cot 4sin( )
4
x x x

p

- = +
2. Giải hệ phơng trình :
2 2 2
2 2 2
2 4 7
2 6 3

x y y xy
x y y xy
ỡ
+ + =
ù
ớ
+ + =
ù
ợ
Câu III (1 điểm) Tính tích phân :
2
2
1
( 1)ln
( 1)
e
x x x
I dx
x x
+ +
=
+
ũ
Câu IV (1điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC . Tam giác ABC vuông tại A , AB=a ,AC=2a , hai
mặt phẳng (ABB) và (ABC) hợp với nhau góc
0
60
,điểm B cách đều các điểm A,B,C. Tính thể tích
của khối lăng trụ ABC.ABC .
Câu V(1điểm) Cho ba số dơng a,b,c có tích bằng 1 . Chứng minh rằng

1
2 2 2
a b c
b a c b a c
+ +
+ + +
II-Phần tự chọn (3 điểm )
(Học sinh chỉ đợc làm một trong hai phần hoặc A hoặc B)
Phần tự chọn A
Câu VI.a(2điểm)
1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 22 ,đờng thẳng AB có phơng
trình 3x 4y 1 0 + + = , đờng thẳng BD có phơng trình 2 3 0 x y - - = . Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D .
2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đờng thẳng
1
1 2 2
:
3 1 2
x y z
d
- + -
= =
-
và
2
3 1
:
1 2 1
x y z
d
- -

= =
-
. Hãy viết phơng trình đờng thẳng D là đờng vuông góc chung của hai đờng
thẳng
1
d và
2
d .
Câu VII.a(1điểm) Gọi
1
z và
2
z là hai nghiệm phức của phơng trình
2
2 10 0 z z + + = .
Tính giá trị biểu thức
2 2
1 2
A z z = + .
Phần tự chọn B
Câu VI.b(2điểm)
1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho hình thoi ABCD . Đờng thẳng AB có phơng trình 2 3 1 0 x y - + = ,
đờng thẳng BD có phơng trình 2 0 x y + - = , đờng thẳng AD đi qua M(1;3) . Tìm tọa độ các đỉnh của
hình thoi .
2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đờng thẳng
1 2 1
:
2 1 3
x y z
d

- + -
= =
-
,
mf(P):2 3 5 0 x y z + - + = . Viết phơng trình đờng thẳng (d) là hình chiếu vuông góc của (d) trên mf(P).
Câu VII.b (1 điểm) Tìm hệ số của x
8
trong khai triển
n
x
x
)
1
(
5
3
+
biết rằng
)3(7
3
1
4
+ = -
+
+
+
nCC
n
n
n

n
và x>0
Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
p hamducduan76@g mail.comgitiwww.laisac.page. tl
Đáp án thi thử môn toán lần 2 năm 2011
Câu-ý Nội dung Điểm
*Tập xác định : D=R
*
2
2
' 0 x R
( 1)
y
x
-
= < " ẻ
-
*Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định và không có cực trị
0.25
*Giới hạn :
lim 1
x
y
đ+Ơ
= ; lim 1
x
y
đ-Ơ
= ị đồ thị có tiệm cận ngang là đờng thẳng y=1

1
lim
x
y
+
đ
= +Ơ
;
1
lim
x
y
-
đ
= -Ơ ị
đồ thị có tiệm cận đứng là đờng thẳng x=1
0.25
*Bảng biến thiên
x -Ơ 1 +Ơ
y - -
y
1 +Ơ
-Ơ 1
0.25
1.1
*Vẽ đồ thị x=1
Đồ thị giao với trục ox tại (-1;0)
Đồ thị giao với trục oy tại (0;-1)
Đồ thị nhận điểm I(1;1) làm tâm đối xứng
1 y=1

1 x
0
0.25
*Tiếp tuyến của đồ thị (C) có phơng trình dạng
0 0 0
'( )( ) ( ) y f x x x f x = - +
0
0
2
0 0
1
2
( )
( 1) 1
x
y x x
x x
+
-
= - +
- -
2 2
0 0 0
2 ( 1) 2 1 0 x x y x x + - - - + =
(*) với
0
1 x ạ
0.25
*Tiếp tuyến (*) cắt trục ox tại điểm
2

0 0
2 1
( ;0)
2
x x
A
+ -
0.25
*Ta có
2
0 0
0
2 1
1 1 1
2
x x
OA x
+ -
= = = (loại) ,
0 0
3; 1 x x = - = -
0.25
1.2
*Kết luận : các tiếp tuyến cần tìm là :
2 1 0 x y + + = và 8 1 0 x y + - = 0.25
*Điều kiện :
.
2
x k


p

ạ
*Với điều kiện trên , phơng trình đã cho tơng đơng với
2 2
sin cos
2 2(sin cos )
sin .cos
x x
x x
x x
-
= -
(sin cos )(sin cos 2 2 sin .cos ) 0 x x x x x x - + - =
0.25
2.1
sin cos 0 (1)
sin cos 2 2 sin .cos 0 (2)
x x
x x x x
- =
ộ

ờ
+ - =
ở
*Phơng trình (1)
tan 1
4
x x k


p
p
= = +
(tmđk)
0.25
*Phơng trình (2)
2 sin( ) 2 sin 2
4
x x

p

+ =
sin( ) sin 2
4
x x

p

+ =
2 2 2
4 4
2
2 2
4 4 3
x x k x k
x x k x k

p p

p p
p p p
p p

ộ ộ
+ = + = -
ờ ờ

ờ ờ
ờ ờ
+ = - + = +
ờ ờ
ở ở
(tmđk)
0.25
*Kết luận : nghiệm của phơng trình là
4
x k

p
p
= + và
2
4 3
x k

p p

= +
0.25

*Xét 0 y = hệ vô nghiệm
*Xét 0 y ạ , hệ đã cho tơng đơng với
2 2
2
2 2
4 2
7 2 0 ( ) 3 2 0
6 2
( ) 2 3 0 ( ) 3( ) 2 0
x x
x x
y y y y
x x
x x
y y y y
ỡ ỡ
+ - + = - - + =
ù ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
+ - + = - - + =
ù ù
ợ ợ
0.25
*Đặt ẩn phụ
2
x a
y

x
b
y
ỡ
- =
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ợ
, hệ trở thành
2
2
3 2 0 (1)
3 2 0 (2)
a b
b a
ỡ
- + =
ù
ớ
- + =
ù
ợ
Trừ theo từng vế các phơng trình (1) cho (2) ta đợc
( )( 3) 0
3
b a

a b a b
b a
=
ộ
- + + =
ờ
= - -
ở
0.25
*Với b=a thay vào (1) đợc
2
3 2 0 1; 2 a a a a - + = = =
a=1 =>b=1 =>
2
1
1
x
y
x
y
ỡ
- =
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ợ
giải hệ này đợc nghiệm (x;y) là (-1;-1) và (2;2)

a=2
2
2
2
2
x
y
b
x
y
ỡ
- =
ù
ù
ị = ị
ớ
ù
=
ù
ợ
giải hệ này đợc nghiệm (x;y) là
1 5
(1 5; )
2
-
- và
1 5
(1 5; )
2
+

+
0.25
2.2
*Với b=-a-3 thay vào (1) đợc
2
3 11 0 a a + + =
phơng trình này vô nghiệm
*Kết luận : hệ có 4 nghiệm (x;y) là :
(-1;-1) , (2;2) ,
1 5
(1 5; )
2
-
- ,
1 5
(1 5; )
2
+
+
0.25
*Biến đổi
2
1 1
ln ln
( 1)
e e
x x
I dx dx
x x
= -

+
ũ ũ
0.25
3
*Tính
2
1
1 1
ln ln 1
ln (ln )
2 1 2
e e
e
x x
I dx xd x
x
= = = =
ũ ũ
0.25
*Tính
2
2
1
ln
( 1)
e
x
I dx
x
=

+
ũ
đặt
2
ln
1
( 1)
u x
dv dx
x
=
ỡ
ù
ớ
=
ù
+
ợ
ta có
1
1
1
dx dx
x
v
x
ỡ
=
ù
ù

ớ
-
ù
=
ù
ợ +
2
1 1 1
ln 1
1 1 ( 1) 1 1
e e e
e
x dx dx dx
I
x x x e x x
ị = - + = - + -
+ + + +
ũ ũ ũ
1 1 1
ln ln 1 1 ln( )
1 1 1 1 2
e e
e
x x
e e
- +
= - + - + = + -
+ +
0.25
*Kết quả :

1 1 1
ln( )
2 1 2
e
I
e
+
= + -
+
0.25
B C
*Hình vẽ
A
B H C
K
A
*Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên mf(ABC)
*Ta có BA=BB=BC
' ' ' B AH B BH B CH ị D = D = D
HA HB HC ị = =
ị
H là trung điểm của BC
0.25
*
. ' ' '
' .
ABC A B C ABC
V B H S
D
=

*
2
1
.
2
ABC
S AB AC a
D
= =
0.25
*Gọi K là trung điểm AB
Ta có , ' ( ') AB KH AB B H AB KHB ^ ^ ị ^
' AB KB ị ^
[( ' );( )] ( ; ') ' B AB ABC KH KB B KH ị = =
Theo giả thiết
0
' 60 B KH ị =
0.25
4
*Trong tam giác BKH có
0
' .tan 60 . 3 3
2
AC
B H KH a = = =
*
3
. ' ' '
' . . 3
ABC A B C ABC

V B H S a
D
= =
0.25
*Biến đổi
2 2
a a
b a a ab
=
+ +
*áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng ta có 1 2 a a +
1 1
2 2
a a a a
a ab a ab
a ab b a
ị ị
+ + + +
+ +
(1)
0.5
5
*Chứng minh tơng tự đợc
1
2
b b
b cb
c b

+ +

+
(2)
1
2
c c
c ac
c c

+ +
+
(3)
Công theo từng vế các bđt (1) ,(2) và (3) đợc
0.25
1 1 1
2 2 2
a b c a b c
a ab b cb c ac
b a c b a c
+ + + +
+ + + + + +
+ + +
(I)
*Chứng minh 1
1 1 1
a b c
a ab b cb c ac
+ + =
+ + + + + +
(II)
Ta có VT(II)=

1
abc b bc
bc abc abbc b cb b bc bac
+ +
+ + + + + +
=
1
1
1 1 1
b bc
bc b b cb b bc
+ + =
+ + + + + +
*Từ (I) và (II) suy ra đpcm
Dấu = xảy ra khi và chi khi a=b=c=1
0.25
*Điểm B là giao của AB và BD => B(1;-1)
*
1
.
2
1
11
2
ABD
ABD ABCD
S AB AD
S S
ỡ
=

ù
ù
ớ
ù
= =
ù
ợ
. 22 AB AD ị =
(1) D C
*Đờng thẳng AB có vtpt
1
(3;4) n =
uur
,
AC có vtpt
2
(2; 1) n = -
uur
1 2
2
cos cos( ; )
5 5
ABD n n = =
uur uur
A B
11 11
tan
2 2
AD
ABD

AB
ị = ị = (2)
Từ (1) và (2) 11 AD ị = (3)
0.25
*D thuộc BD ( ;2 3) D x x ị -
*
11 11
( ; )
5
x
AD d D AB
-
= =
(4)
*Từ (3) và (4)
11 11 55 6; 4 x x x ị - = = = -
0.25
*Với x=6 (6;9) D ị
đờng thẳng AD đi qua D và vuông góc AB
AD ị
có pt : 4x-3y+3=0
Điểm A là giao của AD và AB
3 1
( ; )
5 5
A ị -
Gọi I là trung điểm BD
7
( ;4)
2

I ị
C đối xứng với A qua I
38 39
( ; )
5 5
C ị
0.25
6a.1
*Với x=-4 ( 4; 11) D ị - -
đờng thẳng AD đi qua D và vuông góc AB
AD ị
có pt : 4x-3y-17=0
Điểm A là giao của AD và AB
13 11
( ; )
5 5
A ị -
Gọi I là trung điểm BD
3
( ; 6)
2
I ị - -
C đối xứng với A qua I
28 49
( ; )
5 5
C ị - -
0.25
6a.2
*(d

1
) có vtcp
1
(3; 1;2) u = -
ur
,
2
( ) d có
2
(1;2; 1) vtcp u = -
uur
*
1
2
d
d
D ^
ỡ
ị D
ớ
D ^
ợ
có
1 2
[ , ] ( 3;5;7) vtcp u u u
D
= = -
uur ur uur
0.25
*Giả sử

1
(1 3 ; 2 ;2 2 ) d A A a a a D ầ = ị + - - +
2
(3 ;1 2 ; ) d B B b b b D ầ = ị + + -
*
(2 3 ;3 2 ; 2 2) AB b a b a b a = + - + + - - -
uuur
0.25
*véc tơ AB
uuur
cùng phơng với
u
D
uur
2 3 3 2 2 2
3 5 7
b a b a b a + - + + - - -
ị = =
-
4 139
;
83 83
a b = = -
0.25
*Đờng thẳng D đi qua
95 170 174
( ; ; )
83 83 83
A -
và có

( 3;5;7) vtcp u
D
= -
uur
ị D
có phơng trình
95 170 174
83 83 83
3 5 7
x y z - + -
= =
-
0.25
*Phơng trình có
' 9 ' D = - ị D
có căn bậc hai là
3i
d
=
ị
có hai nghiệm phân biệt là
1
1 3 z i = - +
và
2
1 3 z i = - -
0.5
7a
*Ta có
2

2
1 1
10 z z = =
2
2
2 2
10 z z = =
20 A ị =
0.5
*Điểm B là giao của AB và BD (1;1) B ị D
A I C
B
0.25
*Đờng thẳng BD có vtpt
1
(1;1) n =
uur
, đờng thẳng AB có
2
(2; 3) vtpt n = -
uur
Giả sử AD có vtpt
2 2
3
( ; ) (a 0) n a b b = + >
uur
Ta có ( ; ) ( ; ) DA DB BA BD =
1 3 1 2
cos( ; ) cos( ; ) n n n n ị =
uur uur uur uur

1 3 1 2
1 3 1 2
. .
. .
n n n n
n n n n
=
uur uur uur uur
uur uur uur uur
2 2
1
13
a b
a b
+
=
+
2 2
2 3
6 13 6 0
3 2
a ab b a b a b + + = = - = -
0.25
*Với
2
3
a b = - chọn a=2 ; b=-3
3
(2; 3) n ị -
uur

cùng phơng
2
(2; 3) n = -
uur
/ / AD AB ị => loại
*Với
3
2
a b = - chọn a=3 ; b=-2
3
(3; 2) n ị -
uur
Đơng thẳng AD đi qua M(1;3) và có vtpt
3
(3; 2) n -
uur
AD ị
có phơng trình 3 2 3 0 x y - + =
0.25
6b.1
*Điểm A là giao của AB và AD
7 3
( ; )
5 5
A ị - -
*Điểm D là giao của AD và BD
1 9
( ; )
5 5
D ị

*Gọi I là trung điểm BD
3 7
( ; )
5 5
I ị
0.25
*C đối xứng với A qua I
13 17
( ; )
5 5
C ị
*Gọi (Q) là mặt phẳng chứa (d) và vuông góc với (P)
*(d) đi qua
0
(1; 2;1) M -
và có vtcp
(2; 1;3)
d
u = -
uur
mf(P) có vtpt
(2;1; 3)
P
n = -
uur
( ) Q ị có vtpt
, (0;12;4)
Q d P
n u n
ộ ự

= =
ở ỷ
uur uur uur
và đi qua
0
(1; 2;1) M -
( ) Q ị có phơng trình 3y+z+5=0
0.25
*Ta có ' ( ) ( ) d P Q = ầ
' d ị có vtcp
, ( 10;2; 6)
Q P
u n n
ộ ự
= = - -
ở ỷ
r uur uur
0.25
*Giả sử ( ; ; ) ' M x y z d ẻ
3 5 0
2 3 5 0
y z
x y z
+ + =
ỡ
ị
ớ
+ - + =
ợ
Chọn y=0 => z=-5, x=-10

ị
d đi qua
( 10;0; 5) M - -
0.25
6b.2
*Vậy d có phơng trình
10 5
5 1 3
x y z + +
= =
-
0.25
*Ta có
1
4 3
7( 3)
n n
n n
C C n
+
+ +
- = +
( 4)! ( 3)!
7( 3)
( 1)!3! ( )!3!
n n
n
n n
+ +
- = +

+
12 n =
0.25
*Với n=12 ta có
12
5 12 12 5
12
3 3
0
1 1
( ) ( ) .( )
k k k
k
x C x
x x
-
=
+ =
ồ
11
12
36
2
12
0
.
k
k
k
C x

-
=
=
ồ
0.25
*Số hạng chứa
8
x ứng với
11
36 0 8
2
k
k - = =
0.25
7b
*Vậy hệ số của
8
x là
8
12
495 C =
0.25