VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC
———————o0o——————–
PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES
TRONG CÁC KHÔNG GIAN TỚI HẠN
LUẬN VĂN THẠC SỸ
Chuyên ngành: Giải tích
Học viên thực hiện : Lâm Thúy Quyên
Lớp : Cao học K19
Người hướng dẫn khoa học : PGS. TSKH. Nguyễn Minh Trí
HÀ NỘI - 2013
Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Phương trình Navier - Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Nghiệm cổ điển, nghiệm mềm và nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
1.3. Biến đổi Fourier của Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
Chương 2. Kiến thức cơ sở 17
2.1. Các không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh
tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Các không gian Besov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3. Các không gian thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Chương 3. Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm . . . . 27
3.1. Sự tồn tại nghiệm của phương trình Navier - Stokes 29
3.2. Tính duy nhất của nghiệm của phương trình Navier - Stokes . . . . . . . . 46
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1
Lời nói đầu
Phương trình Navier - Stokes lần đầu tiên được nghiên cứu vào năm 1822, cho
đến nay đã có rất nhiều công trình nghiên cứu viết về phương trình này. Tuy

nhiên, những hiểu biết của chúng ta về phương trình này còn rất khiêm tốn,
muốn hiểu được hiện tượng sóng đập vào đuôi con tàu đang chạy trên mặt nước
hoặc hiện tượng không khí nhiễu loạn sau đuôi máy bay khi bay trên bầu trời . . .
chúng ta đều phải tìm cách giải phương trình Navier - Stokes, do nhu cầu của
Khoa học và Công nghệ mà việc nghiên cứu phương trình Navier - Stokes càng
trở nên thời sự và cấp thiết.
Phương trình Navier - Stokes mô tả sự chuyển động của chất lỏng trong R
n
(n = 2 hoặc n = 3). Ta giả thiết rằng chất lỏng không nén được lấp đầy R
n
.
Ta đi tìm hàm vectơ vận tốc u(t, x) = (u
i
(t, x)), i = 1, 2, , n và hàm áp suất p(t, x),
xác định tại vị trí x ∈ R
n
và thời gian t thỏa mãn phương trình Navier - Stokes
như sau:
















∂u
∂t
− νu = −(u · ∇)u −∇p, t > 0,
∇ ·u = 0,
u(0, x) = u
0
(x), x ∈ R
n
.
Ở đây, hàm vectơ u
0
(x) thỏa mãn ∇·u
0
= 0 và ν là một hệ số dương.
Luận văn này sẽ trình bày một vài kết quả nghiên cứu gần đây về nghiệm
2
mềm của phương trình Navier - Stokes trong một số không gian tới hạn với
n = 3, dựa trên bài báo của Carlos E. Kenig và Gabriel S. Koch.
Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương và tài liệu tham khảo. Cụ thể là,
Chương 1 "Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes" trình bày về bài toán
Cauchy của phương trình Navier - Stokes, khái niệm nghiệm và phép biến đổi
Fourier đối với phương trình này. Nội dung của phần này được trình bày dựa
trên [3].
Chương 2 "Kiến thức cơ sở" trình bày kiến thức về các không gian Banach
gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến và các không gian Besov có
liên quan. Nội dung của chương này dựa trên [10].
Chương 3 "Sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm mềm" trình bày sự

tồn tại và duy nhất của nghiệm của phương trình Navier - Stokes với điều kiện
ban đầu trong các không gian
˙
H
1
2
,
˙
H
1
2
∩ L
∞
, L
3
và L
3
∩ L
∞
. Ngoài ra, luận văn
còn trình bày định lý nghiệm mềm của Kato trong
˙
H
s
, s ≥
1
2
và các định lý về
tính duy nhất của nghiệm của hệ phương trình Navier - Stokes. Nội dung của
Chương 3 được trình bày dựa trên [8] và [10].

Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng do thời gian có hạn và những hiểu biết của
bản thân còn hạn chế nên trong bản luận văn này em mới chỉ chứng minh được
rõ ràng hơn một số điểm trình bày trong bài báo của Carlos E. Kenig và Gabriel
S. Koch ở Chương 3.
Cuối cùng, em xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo
PGS. TSKH. Nguyễn Minh Trí, người đã tận tình hướng dẫn và tạo mọi
điều kiện giúp đỡ em hoàn thành luận văn này. Em xin chân thành cảm ơn
ThS. Đào Quang Khải và các thầy cô phòng Phương trình vi phân đã quan tâm,
giúp đỡ em trong quá trình làm luận văn.
3
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô giáo trường THPT Chuyên
Chu Văn An - Lạng sơn và các thầy cô giáo, cán bộ công nhân viên của Viện
Toán học; xin cảm ơn gia đình và các bạn lớp cao học K19 đã giúp đỡ em trong
suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 8 năm 2013
Lâm Thúy Quyên
4
Chương 1
Giới thiệu về phương trình Navier -
Stokes
1.1 Phương trình Navier - Stokes
Chúng ta nghiên cứu bài toán Cauchy cho phương trình Navier - Stokes với
ẩn hàm là vận tốc u(t, x) = (u
1
(t, x), u
2
(t, x), u
3
(t, x)) và áp suất p(t, x) của một
chất lỏng nhớt không nén được (có hệ số nhớt được cho bởi hằng số ν xác định)

lấp đầy R
3
:















∂u
∂t
− νu = −(u · ∇)u −∇p, t > 0,
∇ ·u = 0,
u(0, x) = u
0
(x), x ∈ R
3
.
(1.1)
Ở đây, hàm vectơ u
0

(x) thỏa mãn ∇·u
0
= 0, còn  =
3

i=1
∂
2
∂x
2
i
là toán tử Laplace
theo các biến không gian x ∈ R
3
.
Ta sẽ giả thiết rằng độ nhớt ν bằng 1. Điều này có thể thực hiện được, mà
không làm mất tính tổng quát, do cấu trúc bất biến của phương trình Navier -
Stokes.
Cuối cùng, do tính chất phân kỳ tự do ∇·u = 0, thể hiện tính không nén được
5
Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes
của chất lỏng, ta có thể viết (u ·∇)u = ∇·(u ⊗u). Nhận xét này là quan trọng vì
tích của hai hàm suy rộng tăng chậm không luôn được xác định, trong khi đó
chúng ta luôn luôn có thể lấy đạo hàm (theo nghĩa suy rộng) của một hàm L
1
loc
.
Do đó, ta chỉ cần đòi hỏi u ∈ L
2
loc

để làm cho các số hạng bậc hai ∇· (u ⊗u) xác
định tốt.
Từ nay về sau, ta sẽ nói rằng một vectơ a = (a
1
, a
2
, a
3
) thuộc không gian hàm
X nếu a
j
∈ X đối với mỗi j = 1, 2, 3 và ta đặt ||a|| = max
1≤j≤3
||a
j
||.
Để được chính xác hơn, ta nên viết X(R
3
) thay vì viết X (ví dụ
v = (v
1
, v
2
, v
3
) ∈ L
2
loc
nghĩa là v
j

∈ L
2
loc
(R
3
) đối với mỗi j = 1, 2, 3). Để tránh
nhầm lẫn, nếu không gian không phải là R
3
(ví dụ nếu số chiều là hai) ta cũng
sẽ viết nó một cách rõ ràng (nói X(R
2
)). Lý do tại sao chúng ta chủ yếu quan
tâm đến toàn bộ không gian R
3
(hay tổng quát hơn R
n
, n ≥ 2) là do chúng ta sẽ
sử dụng công cụ là phép biến đổi Fourier, nó dễ dàng hơn để xử lý trong toàn bộ
không gian (hay là một không gian bị chặn với điều kiện tuần hoàn, so với một
miền có biên). Sự chú ý của chúng ta sẽ tập trung vào sự tồn tại của nghiệm
u(t, x) của (1.1) trong không gian C([0, T); X) gồm các hàm liên tục mạnh theo
t ∈ [0, T ) với giá trị trong không gian Banach X gồm các hàm vectơ suy rộng.
Tùy thuộc vào việc T sẽ hữu hạn (T < ∞) hay vô hạn (T = ∞) chúng ta sẽ có
được tương ứng nghiệm địa phương hay nghiệm toàn cục (theo thời gian).
Trước khi giới thiệu thiết lập các hàm thích hợp, chúng ta sẽ biến đổi hệ (1.1)
thành phương trình toán tử:








du
dt
− u = −P∇ ·(u ⊗ u), t > 0,
u(0, x) = u
0
(x), x ∈ R
3
,
(1.2)
trong đó, với các vectơ u và v, chúng ta định nghĩa tensor của chúng u ⊗ v bởi
6
Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes
(u ⊗ v)
ij
= u
i
v
j
và P là toán tử chiếu trực giao vào trường vectơ phân kỳ tự do
định nghĩa như sau.
Ta đặt:
D
j
= −i
∂
∂x
j

, j = 1, 2, 3; i
2
= −1, (1.3)
và chúng ta ký hiệu biến đổi Riesz bởi
R
j
= D
j
(−)
−
1
2
, j = 1, 2, 3. (1.4)
Đối với một trường vectơ tùy ý u(x) = (u
1
(x), u
2
(x), u
3
(x)) trên R
3
, ta đặt
z(x) =
3

k=1
(R
k
u
k

)(x) (1.5)
và định nghĩa toán tử P bởi
(Pu)
j
(x) = u
j
(x) −(R
j
z)(x) =
3

k=1

δ
jk
− R
j
R
k

u
k
, j = 1, 2, 3. (1.6)
Một cách tương đương khác để xác định P là việc sử dụng các tính chất của
biến đổi Fourier và viết
(

Pu)
j
(ξ) =

3

k=1

δ
jk
−
ξ
j
ξ
k
|ξ|
2

u
k
(ξ), j = 1, 2, 3. (1.7)
Như vậy, P là một toán tử giả vi phân và là một phép chiếu trực giao vào
hạch của toán tử phân kỳ. Nói cách khác áp suất p trong (1.1) đảm bảo rằng
điều kiện không nén được cho u (∇.u = 0) được thỏa mãn.
Cuối cùng, sử dụng toán tử chiếu P này và nửa nhóm
S(t) = exp(t), (1.8)
ta có thể đưa phương trình toán tử (1.2) thành phương trình tích phân như sau
u(t) = S(t)u
0
−
t

0
S(t −s)P∇ ·(u ⊗ u)(s)ds. (1.9)

7
Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes
Chúng ta sẽ không chứng minh chặt chẽ cho chuyển tiếp hình thức từ
(1.1) → (1.2) → (1.9). Chúng ta sẽ bắt đầu từ (1.9) và chứng minh sự tồn tại và
duy nhất của nghiệm u(t, x) của nó.
Từ nay sự chú ý của chúng ta về cơ bản sẽ dành cho việc nghiên cứu phương
trình tích phân (1.9) và do chúng ta chỉ xem xét trường hợp của cả không gian R
3
nên nửa nhóm S(t) trở thành nửa nhóm của phương trình truyền nhiệt exp(t).
Nghiệm của bài toán là tổng của hai nghiệm sau: số hạng tuyến tính có chứa
giá trị ban đầu
S(t)u
0
:= exp(t)u
0
, (1.10)
và toán tử song tuyến tính biểu thị sự phi tuyến của phương trình
B(u, v)(t) := −
t

0
exp((t −s))P∇ · (u ⊗v)(s)ds. (1.11)
Chúng ta hãy chú ý ở đây rằng có một loại tương tác trong số hạng tích phân
này giữa ảnh hưởng chính quy hóa được biểu diễn bởi nửa nhóm nhiệt S(t − s)
và sự mất tính chính quy đến từ toán tử vi phân ∇ và từ phép nhân từng điểm
u ⊗ v. Sự mất đi tính chính quy này được minh họa bằng ví dụ đơn giản sau:
nếu hai (vô hướng) hàm f và g trong H
1
, tích của chúng chỉ thuộc về H
1/2

và
đạo hàm của chúng ∂(fg) thậm chí còn ít chính quy hơn nếu nó trong H
−1/2
.
1.2 Nghiệm cổ điển, nghiệm mềm và nghiệm yếu
Sự tồn tại của nghiệm toàn cục phụ thuộc theo thời gian vẫn chưa được chứng
minh và cũng không bị bác bỏ cho trường hợp ba chiều với điều kiện ban đầu
đủ tổng quát; nhưng như chúng ta sẽ thấy trong phần tiếp theo, một nghiệm
chính quy, toàn cục sẽ tồn tại khi giá trị ban đầu là dao động cao hay đủ nhỏ
8
Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes
trong một số không gian hàm.
Để bắt đầu, sẽ là cần thiết cần làm rõ ý nghĩa của "nghiệm của phương trình
Navier-stokes", bởi vì, kể từ khi chúng xuất hiện trên bài báo tiên phong của J.
Leray, từ "nghiệm" đã được sử dụng trong một ý nghĩa nhiều hoặc ít tổng quát
hơn. Chúng ta sẽ hiểu nó theo nghĩa chung cổ điển của phương trình vi phân
thường theo t với giá trị trong không gian gồm các hàm suy rộng tăng chậm
S

, để có thể sử dụng các công cụ biến đổi Fuorier. Giải thích này được đề xuất
bởi các khái niệm về nghiệm trong nghĩa suy rộng được sử dụng trong phương
trình. Tiếp theo, chúng ta sẽ yêu cầu không gian hàm X, mà giá trị ban đầu u
0
thuộc vào nó, thỏa mãn X → L
2
loc
, để có thể đưa ra một hàm theo nghĩa suy
rộng đối với số hạng phi tuyến (u · ∇)u = ∇ · (u ⊗ u). Nói chung, ta sẽ yêu cầu
u ∈ L
2

loc
([0, T ); R
3
).
Ta có thể liệt kê được rất nhiều định nghĩa khác nhau của nghiệm chỉ phân
biệt bởi lớp các hàm mà chúng thuộc về cổ điển, mạnh, mềm, yếu, rất yếu, yếu
đều hay nghiệm địa phương Leray của phương trình Navier - Stokes.
Chúng ta sẽ không trình bày tất cả các định nghĩa có thể có ở đây mà tập
trung vào ba trường hợp: nghiệm cổ điển (J. Hadamard), nghiệm yếu (J. Leray)
và nghiệm mềm (K. Yosida).
Định nghĩa 1.2.1. Một nghiệm cổ điển (u(t, x), p(t, x)) của phương trình Navier
- Stokes là một cặp các hàm u : t → u(t) và p : t → p(t) thỏa mãn hệ (1.1), mà
tất cả các số hạng xuất hiện trong phương trình là các hàm liên tục của đối số
của chúng. Chính xác hơn, nghiệm cổ điển là nghiệm của hệ (1.1) thỏa mãn:
u(t, x) ∈ C([0, T); E) ∩ C
1
([0, T ); F ), (1.12)
E → F (nhúng liên tục), (1.13)
9
Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes
u ∈ E ⇒ u ∈ F (toán tử liên tục), (1.14)
u ∈ E ⇒ ∇ · (u ⊗u) ∈ F (toán tử liên tục), (1.15)
trong đó, E và F là hai không gian Banach gồm các hàm suy rộng.
Ví dụ, nếu E là không gian Sobolev H
s
và s > 3/2 (như vậy cho H
s
là một
cấu trúc đại số được trang bị phép nhân với các hàm thông thường), ta có thể
chọn F = H

s−2
, bởi vì u ∈ H
s−2
và ∇ · (u ⊗u) ∈ H
s−1
→ H
s−2
.
Như chúng ta đã biết trong phần giới thiệu, rất khó để đảm bảo sự tồn tại
toàn cục của nghiệm cổ điển, trừ khi chúng ta tìm kiếm nghiệm chính xác trong
một số trường hợp các số hạng phi tuyến biến mất. Cụ thể khi mà chúng ta áp
đặt điều kiện rất hạn chế lên điều kiện ban đầu.
Định nghĩa 1.2.2. Một nghiệm yếu u của phương trình Navier - Stokes trong
nghĩa của Leray và Hopf được cho là thỏa mãn các tính chất sau
u(t, x) ∈ L
∞
([0, T ); PL
2
) ∩L
2
([0, T ); PH
1
), (1.16)
T

0
(−u, ∂
t
ϕ + ∇u, ∇ϕ + (u ·∇)u, ϕ)ds = u
0

, ϕ(0), (1.17)
với ϕ ∈ D([0, T ); PD) tùy ý. Ký hiệu ·, · có nghĩa là tích trong L
2
, trong khi PX
là không gian con của X (ở đây X = L
2
, H
1
hay D) gồm các hàm đặc trưng bởi
điều kiện phân kỳ tự do ∇ ·u = 0. Cuối cùng, nghiệm yếu là giả định thỏa mãn
bất đẳng thức năng lượng sau đây
1
2
||u(t)||
2
2
+
t

0
||∇u(s)||
2
2
ds ≤
1
2
||u(0)||
2
2
, t > 0. (1.18)

Đôi khi bất đẳng thức này được coi là thỏa mãn không chỉ trên khoảng (0, t) mà
còn thỏa mãn trên tất cả các khoảng (t
0
, t
1
) ⊂ (0, T ), ngoại trừ, t
0
có thể thuộc
10
Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes
một tập có độ đo không. Tức là
1
2
||u(t)||
2
2
+
t
1

t
0
||∇u(s)||
2
2
ds ≤
1
2
||u(0)||
2

2
, (t
0
, t
1
) ⊂ (0, T ).
Vì vậy, một nghiệm được gọi là "cuộn xoáy" theo nghĩa của Leray.
Cuối cùng, sau bài báo của T. Kato và các cộng sự của ông, chúng ta đã gọi
nghiệm mềm như một phạm trù thứ ba của nghiệm, mà sự tồn tại thu được
từ thuật toán điểm bất động áp dụng cho phương trình tích phân (1.9). Theo
phương án này, phương trình Navier - Stokes được nghiên cứu bởi phương pháp
nửa nhóm như trong các bài báo tiên phong của K. Yosida. Chính xác hơn
nghiệm mềm được định nghĩa theo cách sau.
Định nghĩa 1.2.3. Một nghiệm mềm u của phương trình Navier - Stokes thỏa
mãn phương trình tích phân (1.9) và do đó mà
u(t, x) ∈ C([0, T); PX), (1.19)
trong đó, X là không gian Banach gồm các hàm suy rộng mà trên đó nửa nhóm
của phương trình truyền nhiệt { exp(t); t ≥ 0 } là liên tục mạnh và tích phân
trong (1.9) là xác định tốt theo nghĩa của Bochner.
Trong lịch sử sự ra đời của thuật ngữ "mềm" trong sự liên quan với công thức
tích phân đối với việc nghiên cứu một phương trình tích chập tùy ý xuất phát
từ công trình của F.E. Browder (xem [1]). Chúng ta không muốn sử dụng bất
đẳng thức năng lượng, nhưng chúng ta hy vọng trong cách này sẽ đảm bảo tính
duy nhất của nghiệm. Điều này trái ngược với cách xây dựng nghiệm yếu của
Leray, dựa trên lập luận chặt chẽ và một đánh giá tiên nghiệm. Hơn nữa, thuật
toán điểm bất động được xây dựng và ổn định. Do đó, câu hỏi đặt ra là liệu có
11
Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes
tồn tại nghiệm mềm của bài toán Cauchy đối với phương trình Navier - Stokes
theo nghĩa của Hadamard.

Chúng ta nhớ lại rằng một hàm v(t, ·) lấy giá trị trong một không gian Banach
E, tích phân
T

0
v(t, ·)dt tồn tại hoặc do
T

0
||v(t, ·)||
E
dt < ∞ (trong trường hợp này
ta nói tích phân xác định theo nghĩa Bochner ) hoặc do
T

0
|v(t, ·), y|dt hội tụ với
vectơ y bất kỳ của không gian đối ngẫu E

của E (tích phân này được gọi hội
tụ yếu). Sự hội tụ yếu được đảm bảo bởi dáng điệu dao động của v(t, ·) trong
không gian Banach E.
Mặt khác, tính chất dao động của số hạng song tuyến tính phát sinh từ phương
trình Navier- Stokes được xem xét hệ thống trong tất cả các bài báo dựa trên
cơ sở bất đẳng thức năng lượng, đặc biệt B(u, u), u = 0 miễn là ∇·u = 0. Trong
thực tế, B(u, u) không bao giờ thuộc không gian là không gian đối ngẫu của một
không gian chứa u.
Một cách rõ ràng hơn, trong các tài liệu liên quan đến sự tồn tại và duy nhất
của nghiệm mềm của phương trình Navier - Stokes như theo H. Fujita và các bài
báo nổi tiếng của T. Kato (xem [6], [7]) các dáng điệu dao động của B(u, v) bị

mất từ đầu, bởi vì, theo định nghĩa nghiệm mềm yêu cầu đánh giá mạnh trong
các cấu trúc liên kết mạnh mẽ, do đó B(u, v) có thể được thay thế bằng |B(u, v)|
mà không ảnh hưởng đến sự tồn tại tương ứng và kết quả duy nhất. Mặt khác,
như nghiệm yếu giới thiệu trong các bài báo tiên phong của J. Leray (xem [14]),
các dáng điệu dao động của B(u, v) thường được phân tích bằng đồng nhất thức
nổi tiếng
∇ ·(v ⊗u), u = 0, (1.20)
trong đó ∇·v = 0. Trong trường hợp đó vấn đề là khác nhau, đối với đồng nhất
12
Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes
thức ở trên không cho phép một sự linh hoạt lớn nhất trong việc lựa chọn không
gian hàm, mà buộc phải được xác định trong các số hạng của một chuẩn năng
lượng (ví dụ L
2
, H
1
).
1.3 Biến đổi Fourier của Navier
Tiêu đề của phần này là mượn của một bài báo của P. Federbush "Navier and
Stokes meet the wavelet" (xem [5]). Phương trình Navier - Stokes chưa tồn tại
khi J. Fourier đưa ra nghiệm rõ ràng của phương trình truyền nhiệt







∂v
∂t

− v = f,
v(0) = v
0
.
(1.21)
Với phương trình này, điều khiển sự thay đổi của nhiệt độ v(t, x), trong sự
hiện diện của một nguồn nhiệt bên ngoài f (t, x), tại một điểm x và thời gian
t của một vật giả định lấp đầy không gian R
3
, bởi vì, khi ta xem xét biến đổi
Fourier một phần của nó với đối số x, một phương trình vi phân thường theo t,
có nghiệm được cho bởi
v(t, x) = S(t)v
0
+
t

0
S(t −s)f(s)ds, (1.22)
S(t) là toán tử tích chập được định nghĩa như trong (1.10) bởi
e
t
g(x) = [e
−|·|
2
t
g(·)]
∨
(x) = ((4πt)
−3/2

exp{−| ·|
2
/4t} ∗g)(x) (1.23)
Phương trình Navier - Stokes mô tả chuyển động của một chất lỏng nhớt, đã
được giới thiệu bởi C. L. M. H. Navier trong năm 1822 (xem [15]), cũng vào
năm đó, do một sự trùng hợp kỳ lạ, J. Fourier xuất bản chuyên luận nổi tiếng
"Théorie Analytique de la Chaleur" (xem [13]), trong đó, ông đã phát triển một
cách có hệ thống những ý tưởng chứa đựng trong bài báo năm 1807.
13
Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes
Trong phần này, chúng ta trình bày cách vận dụng biến đổi Fourier để nghiên
cứu phương trình Navier - Stokes, theo phương pháp Fourier để giải phương
trình Navier - Stokes cho một chất lỏng nhớt không nén được, chúng ta thu
được phương trình tích phân (1.9), rất giống với (1.22), dẫn đến khái niệm về
một phương trình mềm và một nghiệm mềm.
Nếu chúng ta sử dụng các biến đổi Fourier một lần nữa, ý tưởng thứ hai đến
với chúng ta là viết lại tích phân (1.9) ( j = 1, 2 và 3) theo biến đổi Fourier
u
j
(ξ) = exp(−t|ξ|
2
)u
0j
−

t
0
exp(−(t −s)|ξ|
2
)

3

l,k=1

δ
jk
−
ξ
j
ξ
k
|ξ|
2

(iξ
l
)u
l
(ξ) ∗u
k
(ξ)ds.
Chúng ta sử dụng các ký hiệu được giới thiệu bởi T. Miyakawa trong [12] và ký
hiệu F(t, x) là hạch tensor liên kết với toán tử exp(t)P∇· , ta nói

F
l,k,j
(t, ξ) = exp(−t|ξ|
2
)


δ
jk
−
ξ
j
ξ
k
|ξ|
2

iξ
l
. (1.24)
Dễ dàng thấy rằng hạch F(t, x) = {F
l,k,j
(t, x)} định nghĩa như trên thỏa mãn
|F (t, x)|  |x|
−α
t
−β/2
, α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 4, (1.25)
và
||F (t, x)||
p
 t
−(4−3/p)/2
, 1 ≤ p ≤ ∞. (1.26)
Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ không tận dụng lợi thế của những đánh giá
tổng quát này. Trong thực tế, chúng ta không sử dụng cấu trúc đầy đủ của toán
tử exp(t)P∇· và phân tích của chúng ta sẽ áp dụng cho một lớp tổng quát hơn

của phương trình tiến hóa.
Để được rõ ràng hơn, sự tồn tại và định lí duy nhất của nghiệm mềm đối với
phương trình Navier - Stokes sẽ đạt được bằng cách sử dụng định lí điểm bất
14
Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes
động của Banach. Giá trị ban đầu được xem xét trên các không gian, mà trên
các không gian đó những biến đổi Riesz là liên tục. Hệ quả là đơn giản: chúng
ta sẽ thoát khỏi những biến đổi Riesz từ đầu và giới hạn nghiên cứu trong việc
nghiên cứu một dạng đơn giản hơn của toán tử exp(t)P∇· dẫn đến một dạng
đơn giản hơn của toán tử B. Chúng ta biểu thị các ký hiệu B
s
là toán tử xác
định bởi
B
s
(f, g)(t) := −
t

0
[S(t −s)
˙
Λ](fg)(s)ds, (1.27)
trong đó f = f(t, x), g = g(t, x) là các trường vô hướng có cùng tính chất và
˙
Λ :=

−, (1.28)
biểu thị toán tử giả vi phân thuần nhất Calderón nổi tiếng có biểu trưng là |ξ|.
Chúng ta có thể thu được dạng vectơ đầy đủ của toán tử B từ các dạng vô
hướng và các biến đổi Riesz theo công thức sau

B(u, v)
j
= −i
3

m=1
R
m
B
s
(u
m
, v
j
) + i
3

k=1
3

l=1
R
j
R
k
R
l
B
s
(u

l
, v
k
), j ∈ {1, 2, 3}. (1.29)
Như vậy, các dạng vô hướng của toán tử B có thể được viết dưới dạng tích của
B
s
và các biến đổi Riesz. Bằng cách sử dụng các đơn giản này và các tính chất
cơ bản của biến đổi Fourier, cuối cùng chúng ta nhận được biểu thức đơn giản
hơn của toán tử song tuyến tính (bằng cách lạm dụng ký hiệu sẽ luôn được ký
hiệu bằng chữ cái B):
B(f, g) = −
t

0
(t −s)
−2
Θ(
.
√
t −s
) ∗(fg)(s)ds, (1.30)
trong đó f = f(t, x) và g = g(t, x) là hai trường vô hướng và Θ = Θ(x) là một
hàm của x mà biến đổi Fourier cho bởi

Θ(ξ) = |ξ|e
−|ξ|
2
. (1.31)
15

Chương 1. Giới thiệu về phương trình Navier - Stokes
Như vậy, Θ là giải tích, dáng điệu giống như O(|x|
−4
) ở vô cực (điều này cũng
có thể được suy ra bởi [12] với α = 4 và β = 0) và tích phân của nó bằng không.
16
Chương 2
Kiến Thức Cơ sở
2.1 Các không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất biến
với phép tịnh tiến
Định nghĩa 2.1.1. A) Một không gian Banach bất biến với phép tịnh tiến của
các hàm thử là một không gian Banach E sao cho chúng ta có các phép nhúng
liên tục D(R
3
) ⊂ E ⊂ D

(R
3
) và hơn nữa:
(a) Với mọi x
0
∈ R
3
và với mọi f ∈ E thì f(x−x
0
) ∈ E và ||f||
E
= ||f(x−x
0
)||

E
.
(b) Với mọi λ > 0 tồn tại C
λ
> 0 sao cho với mọi f ∈ E, f(λx) ∈ E và
||f(λx)||
E
≤ C
λ
||f||
E
.
(c) D(R
3
) là trù mật trong E.
B) Một không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến
là một không gian Banach E mà nó là không gian tôpô đối ngẫu của một không
gian Banach bất biến với phép tịnh tiến của các hàm thử E
(∗)
. Không gian E
(0)
gồm các phần tử trơn của E được xác định như là bao đóng của D(R
3
) trong E.
Nhận xét. Một hệ quả đơn giản của giả thuyết (a) đó là một không gian Banach
bất biến với phép tịnh tiến của các hàm thử E thỏa mãn S(R
3
) ⊂ E và một hệ
quả của giả thuyết (b) đó là E ⊂ S


(R
3
). Tương tự, chúng ta có đối với một
17
Chương 2. Kiến Thức Cơ sở
không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến E thì
S(R
3
) ⊂ E
(0)
⊂ E ⊂ S

(R
3
). Đặc biệt, E
(0)
là một không gian Banach bất biến
với phép tịnh tiến của các hàm thử.
Mệnh đề 2.1.1. (Tích chập trong các không gian gồm các hàm suy rộng bất
biến với phép tịnh tiến)
Nếu E là một không gian Banach bất biến với phép tịnh tiến của các hàm
thử hoặc suy rộng và ϕ ∈ S(R
3
), thì với mọi f ∈ E chúng ta có f ∗ ϕ ∈ E và
||f ∗ ϕ||
E
≤ ||f||
E
||ϕ||
1

.
Hơn nữa, tích chập có thể mở rộng thành một toán tử song tuyến tính bị
chặn từ E × L
1
vào E và với mọi f ∈ E, với mọi g ∈ L
1
ta có bất đẳng thức
||f ∗ g||
E
≤ ||f||
E
||g||
1
.
Chứng minh.
Dễ dàng chỉ ra rằng đối với mọi f, g ∈ S(R
3
), tổng Riemann
1
N
3

k∈Z
3
g

k
N

f


x−
k
N

hội tụ đến f ∗ g trong S(R
3
) khi N dần đến ∞.
Định nghĩa 2.1.2. Nếu k ∈ L
1
(R
3
) và m =

k, chúng ta định nghĩa toán tử m(D)
là toán tử tích chập m(D)f = f ∗ k và chúng ta định nghĩa chuẩn |||m(D)|||
1
là
|||m(D)|||
1
= ||k||
1
.
Định nghĩa 2.1.3. Cho hàm thử ϕ ∈ D(R
3
) sao cho |ξ| ≤
1
2
thì ϕ(ξ) = 1 và |ξ| ≥ 1
thì ϕ(ξ) = 0. Hàm ψ được định nghĩa là ψ(ξ) = ϕ(

ξ
2
) − ϕ(ξ). Cho 
j
và S
j
được
định nghĩa có biến đổi Fourier cho bởi F(S
j
f) = ϕ(
ξ
2
j
)Ff và F(
j
f) = ψ(
ξ
2
j
)Ff.
Hàm suy rộng 
j
f được gọi là j - th dyadic block của phép biến đổi Littlewood
- Paley của f.
18
Chương 2. Kiến Thức Cơ sở
Một trường hợp đặc biệt của các toán tử tích chập đó là phép biến đổi
Littlewood - Paley (xem [10]) 
j
f = ψ(D/2

j
)f: chúng ta có được đánh giá
||S
j
f||
E
≤ |||S
0
|||
1
||f||
E
và ||
j
f||
E
≤ |||
0
|||
1
||f||
E
. Do phép biến đổi Littlewood
- Paley, chúng ta có thể dễ dàng so sánh E với một không gian Besov:
Mệnh đề 2.1.2. Cho E là một không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất
biến với phép tịnh tiến. Cho C
1/2
là toán tử có chuẩn trong L(E, E) của toán tử
f → f(x/2). Khi đó, E ⊂ B
−ln

2
(C
1/2
),∞
∞
.
Chứng minh.
Do chuẩn của E là bất biến với phép tịnh tiến và do E ⊂ S

, chúng ta thấy rằng

j
ánh xạ E vào L
∞
. Hơn nữa, do các toán tử trên bị chặn trên E và trên L
∞
,
chúng ta có thể viết D
j
(f) = f(2
j
x) và 
j
f = D
j

0
D
−j
f, nó được cho đối với

j ≥ 0, 
j
ánh xạ E vào L
∞
với một toán tử có chuẩn O((C
1/2
)
j
).
Như đối với trường hợp của chuẩn Lebesgue, chúng ta có bất đẳng thức
Bernstein như sau.
Mệnh đề 2.1.3. Cho E là một không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất
biến với phép tịnh tiến. Khi đó, với mọi α ∈ N
3
và σ ∈ R, với mọi j ∈ Z và mọi
f ∈ S

(R
3
), chúng ta có (vế phải luôn được xác định) :
(a)




∂
α
∂x
α
S

j
f




E
≤




∂
α
∂x
α
F
−1
ϕ




1




S
j

f




E
2
j|α|
,
(b)




∂
α
∂x
α

j
f




E
≤





∂
α
∂x
α
F
−1

ψ




1





j
f




E
2
j|α|
,
(c)






√
−

σ

j
f




E
≤




F
−1
(|ξ|
σ

ψ)





1





j
f




E
2
jσ
,
(d)





j
f





E
≤
3

l=1




F
−1
(
ξ
l
|ξ|
2

ψ)




1




∂
∂x
l


j
f




E
2
−j
.
Một ví dụ thú vị của toán tử tích chập sẽ được xem xét tiếp theo là tích chập
với hạch của phương trình truyền nhiệt. Chúng ta có nửa nhóm của toán tử e
t
19
Chương 2. Kiến Thức Cơ sở
với các đánh giá chính quy sau đây.
Mệnh đề 2.1.4. (Hạch của phương trình truyền nhiệt)
Hạch của phương trình truyền nhiệt e
t
thỏa mãn |||e
t
−e
θ
|||
1
≤ C|lnt − lnθ|.
Do đó:
a) Nếu E là một không gian Banach bất biến với phép tịnh tiến của các hàm
thử và nếu f ∈ E, thì e

t
f ∈ C
b
([0, ∞), E), nghĩa là ánh xạ t → e
t
f là liên tục
và bị chặn từ [0, ∞) vào E.
b) Nếu E là một không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất biến với phép
tịnh tiến và nếu f ∈ E, thì e
t
f ∈ C
∗
([0, ∞), E), nghĩa là ánh xạ t → e
t
f là liên
tục từ (0, ∞) vào E và liên tục tại t = 0 đối với tôpô yếu* σ(E, E
∗
) trên E.
Chứng minh.
Chúng ta viết: e
t
− e
θ
=
t

θ
e
s
ds, do đó,

|||e
t
− e
θ
|||
1
≤
t

θ
|||e

|||
1
ds
s
.
Điều này suy ra tính liên tục với t > 0. Đối với tính liên tục tại t = 0, ta chỉ cần
chứng minh rằng với f ∈ S(R
3
) thì t → e
t
f là liên tục từ [0, ∞) vào S.
Đôi khi, chúng ta xem xét một trường hợp đặc biệt của các không gian gồm
các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến, đó là các không gian gồm các hàm
khả tích địa phương, là không gian được yêu cầu bất biến với phép nhân từng
điểm với các hàm liên tục bị chặn.
Định nghĩa 2.1.4. Một không gian Banach gồm các hàm khả tích địa phương
bất biến với phép tịnh tiến là một không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất
biến với phép tịnh tiến E, sao cho đối với mọi f ∈ E và mọi g ∈ S(R

3
) chúng
20
Chương 2. Kiến Thức Cơ sở
ta có fg ∈ E và ||fg||
E
≤ C
E
||f||
E
||g||
∞
, trong đó C
E
là một hằng số dương
(nó không phụ thuộc f và cũng không phụ thuộc g).
Như một vấn đề thực tế, chúng ta có kết quả chính xác hơn về phép nhân
từng điểm:
Bổ đề 2.1.1. Cho E là một không gian Banach gồm các hàm khả tích địa phương
bất biến với phép tịnh tiến. Khi đó:
a) Các phần tử của E là các hàm khả tích địa phương (nghĩa là các hàm suy
rộng bậc 0). Chính xác hơn, chúng thuộc về không gian Morrey M
1
uloc
của các
hàm khả tích đều hữu hạn địa phương.
b) E, đối ngẫu của nó là E
(∗)
và không gian E
(0)

gồm các phần tử trơn trong
E, chúng ổn định dưới phép nhân từng điểm theo các hàm liên tục bị chặn.
Chứng minh.
a) Rõ ràng là: nếu f ∈ E và nếu K là tập con compact của R
3
, thì chúng ta sẽ
xem xét một hàm φ
K
∈ D(R
3
) mà nó nhận giá trị bằng 1 trên K, và với mọi
ω ∈ D(R
3
) có giá chứa trong K, ta viết:
|f | ω| = |f ω | φ
K
| ≤ ||f||
E
||φ
K
||
E
(∗)
||ω||
∞
.
Do vậy, f là một hàm khả tích địa phương theo độ đo dµ. Hơn nữa, lấy
K = x
0
+ [−1, 1]

3
và φ
K
= φ
[−1,1]
3
(x − x
0
), chúng ta nhận thấy rằng
sup
x
0
∈R
3
|µ|(x
0
+ [−1, 1]
3
) < ||φ
[−1,1]
3
||
E
(∗)
||f||
E
, và do đó f ∈ M
1
uloc
.

b) Chúng ta chú ý rằng E
(∗)
là bao đóng của D trong E

. Bây giờ, nếu K
là một tập con compact của R
3
, nếu φ
K
∈ D(R
3
) thỏa mãn 1
K
≤ φ
K
≤ 1, thì
đối với mọi ω ∈ D(R
3
) có giá chứa trong K và với mọi g ∈ C
∞
(R
3
), chúng ta có
21
Chương 2. Kiến Thức Cơ sở
||ωg||
E

= ||ωgφ
K

||
E

≤ ||ω||
E

||g||
∞
. Do vậy, phép nhân từng điểm có thể mở rộng
lên một toán tử song tuyến tính bị chặn từ E
(∗)
× C
b
vào E
(∗)
.
2.2 Các không gian Besov
Trong phần này chúng ta sẽ giới thiệu các không gian thế vị trên một không
gian Banach gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh tiến.
Định nghĩa 2.2.1. Cho E là một không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất
biến với phép tịnh tiến. Khi đó, đối với σ ∈ R, không gian H
σ
E
được định nghĩa
là không gian (Id −)
−σ/2
E, được trang bị chuẩn ||f||
σ,E
= ||(Id − )
σ/2

f||
E
.
Sau đây, chúng ta định nghĩa các không gian Besov trên một không gian
Banach gồm các hàm suy rộng bất biến đối với phép tịnh tiến, theo một cách
tương tự như đối với trường hợp các không gian Besov B
s,q
p
dựa trên cơ sở các
không gian Lebesgue L
p
.
Định nghĩa 2.2.2. Cho E là một không gian Banach gồm các hàm suy rộng
bất biến với phép tịnh tiến. Đối với σ ∈ R, 1 ≤ q ≤ ∞, không gian Besov B
s,q
E
được định nghĩa là B
s,q
E
= [H
σ
0
E
, H
σ
1
E
]
θ,q
trong đó σ

0
< σ < σ
1
và σ = (1−θ)σ
0
+θσ
1
.
Ở đây, [H
σ
0
E
, H
σ
1
E
]
θ,q
là nội suy (xem [10]).
Mệnh đề 2.2.1. (Phép biến đổi Littlewood - Paley của các không gian Besov)
Cho E là một không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất biến với phép tịnh
tiến. Đối với σ ∈ R, 1 ≤ q ≤ ∞, N ∈ Z và f ∈ S

(R
3
), các khẳng định sau đây
là tương đương:
(A) f ∈ B
σ,q
E

;
(B) S
N
f ∈ E, với mọi j ≥ N thì 
j
f ∈ E và

2
jσ
||
j
f||
E

j≥N
∈ l
q
.
Hơn nữa, nếu σ > 0, nếu chúng ta định nghĩa đối với k ∈ N không gian
22
Chương 2. Kiến Thức Cơ sở
Sobolev W
k,E
= {f ∈ E | ∀α ∈ N
3
với |α| ≤ k
∂
α
∂x
α

f ∈ E}, nếu k
0
< σ < k
1
,
σ = (1 − θ)k
0
+ θk
1
, thì B
s,q
E
=

W
k
0
,E
, W
k
1
,E

θ,q
.
Chứng minh.
Đây là chứng minh tương tự như đối với không gian B
s,q
p
, do chúng ta chỉ sử dụng

một đánh giá tích chập với hạch khả tích 
j
k
σ
(xem Mệnh đề 3.5, trong [10]).
Chúng ta sẽ chỉ ra một ví dụ ứng dụng của phép biến đổi Littlewood - Paley
đó là nhân từng điểm là một ánh xạ song tuyến tính bị chặn trên các không
gian Besov thường gặp.
Định lý 2.2.1. ( Phép nhân từng điểm trên các không gian Besov)
Cho E là một không gian Banach gồm các hàm khả tích địa phương bất biến
đối với phép tịnh tiến. Khi đó:
(a) E ∩ L
∞
là một đại số đối với phép nhân từng điểm.
(b) Đối với 1 ≤ q ≤ ∞ và σ > 0, B
σ,q
E
∩ L
∞
là một đại số đối với nhân từng
điểm.
(c) Đối với 1 ≤ q ≤ ∞, σ > 0 và τ ∈ (−σ, 0), phép nhân từng điểm là một
toán tử song tuyến tính bị chặn từ

B
σ,q
E
∩ B
τ,∞
∞


×

B
σ,q
E
∩ B
τ,∞
∞

vào B
σ+τ,q
E
.
Chứng minh của định lý dựa trên một bổ đề cơ bản sau đây.
Bổ đề 2.2.1. Cho E là một không gian Banach gồm các hàm suy rộng bất biến
với phép tịnh tiến, σ ∈ R, 1 ≤ q ≤ ∞ và cho

f
j

j∈N
là một dãy các phần tử của
E sao cho

2
jσ
||f
j
||

E

j∈N
∈ l
q
(N). Khi đó:
a) Nếu đối với các hằng số 0 < A < B < ∞ nào đó, chúng ta có với mọi j ∈ N
mà

f
j
được chấp nhận bởi {ξ ∈ R
3
| A2
j
≤ |ξ| ≤ B2
j
}, thì

j∈N
f
j
hội tụ trong S

đến một hàm suy rộng f ∈ B
σ,q
E
.
23
Chương 2. Kiến Thức Cơ sở

b) Nếu đối với hằng số 0 < B < ∞ nào đó, chúng ta có với mọi j ∈ N mà

f
j
được chấp nhận bởi {ξ ∈ R
3
| |ξ| ≤ B2
j
}, và nếu σ > 0, thì

j∈N
f
j
hội tụ trong S

đến một hàm suy rộng f ∈ B
σ,q
E
.
Chứng minh.
Đầu tiên ta chứng minh Bổ đề 2.2.1.
Sự hội tụ của các dãy

j∈N
f
j
là hiển nhiên trong trường hợp b) do

j∈N
||f

j
||
E
< ∞.
Trong trường hợp a), chúng ta có thể viết f
j
= 
N
g
j
với 2N + σ > 0 và ta nhận
thấy rằng

j∈N
||g
j
||
E
< ∞. Hơn nữa, nếu k ∈ N sao cho 2
−k+1
< A < B < 2
k−1
,
nên ta có:
trong a), 
j
f =

j−k≤l≤j+k


j
f
l
, do đó
2
jσ
||
j
f||
E
≤ C

j−k≤l≤j+k
2
lσ
||f
l
||
E
,
trong b), 
j
f =

0≤l≤j+k

j
f
l
, do đó

2
jσ
||
j
f||
E
≤ C

0≤l≤j+k
2
(j−l)σ
2
lσ
||f
l
||
E
,
và trong cả hai trường hợp chúng ta đều suy ra f ∈ B
σ,q
E
.
Tiếp theo chúng ta sẽ chứng minh Định lý 2.2.1.
Ta viết fg = π(f, g) + π(g, f) + R(f, g), trong đó π là một toán tử tích Đêcac thỏa
mãn các điều kiện sau:
π(f, g) =

j∈N
S
j−2

f
j
g,
π(g, f) =

j∈N
S
j−2
g
j
f,
R(f, g) = S
0
fS
0
g + 
−2
f
0
g + 
−1
f
0
g + 
−1
f
1
g + ρ(f, g),
ρ(f, g) =


j∈N

j
f


j−2≤k≤j+2

k
g

.
Áp dụng Bổ đề 1.4.2 với π(f, g), π(g, f ) và ρ(f, g), ta có S
j−2
f
j
g có phổ chứa
trong {ξ ∈ R
3
| |ξ| ≤ 5 · 2
j−1
} và ||S
j−2
f
j
g||
E
≤ C
E
||S

j−2
f||
∞
||
j
g||
E
;
24