CÂU I (2,0 điểm). Cho hàm số
x 2
y
2x 1



(C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) ,biết khoảng cách từ điểm
1 1
;
2 2
A
 
 
 

đến tiếp tuyến đó là lớn nhất.
CÂU II (2,0 điểm).
1. Giải bất phương trình:
 
2
3 4
10
log log x 2x x 0

 
  
 

2. Giải phương trình:
3 3
x x
sin cos
1
2 2
cosx
2 sin x 3




CÂU III (1,0 điểm).
Tính tích phân:
 
2
10 10 4 4
0
sinI cos x x sin xcos x dx

  


CÂU IV (1,0 điểm).
Cho hình lăng trụ đứng
ABC.A B C
  
có đáy ABC là tam giác vuông với:
AB = BC = a, cạnh bên AA a 2


 . M là điểm trên AA

sao cho
1
AM AA
3


 
.
Tính thể tích khối tứ diện
MA BC
 

CÂU V (1,0 điểm).
Cho các số thực không âm , ,a b c .Chứng minh bất đẳng thức sau:

   
3 3 3
3
3 4
a b c
abc a b b c c a
 
    
CÂU VI (2,0 điểm).
1.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ,cho hai điểm A(5;-2),B(-3;4) và đường thẳng
d có phương trình: x-2y+1=0.Tìm toạ độ điểm C trên đường thẳng d sao cho tam
giác ABC vuông tại C.

2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho mặt phẳng (P) có phương trinh:
2x-y-2z-12=0 và hai điểm A(2;1;4) và B(1;1;3).Tìm tập hợp tất cả các điểm M
trên (P) sao cho diện tích của tam giác MAB có giá trị nhỏ nhất.
CÂU VII (1,0 điểm).
Tìm số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:

1 2 3 4z i z i    
và
2z i
z i


là một số ảo.
Hết
Ghi chú: - Thí sinh không được sử dụng bất cứ tài liệu gì!
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
Vĩnh Phúc

ĐỀ KSCL ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn: TOÁN- KHỐI D-LẦN 4
Thời gian: 150 phút, không kẻ thời gian giao đề

www.VNMATH.com
TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011
Môn: Toán 12. Khối D.

ĐÁP ÁN

Câu

Ý

Nội dung
Điểm

I

2,00


1

1,00



a/ Tập xác định : D R

\






2
1

b/ Sự biến thiên: Dx
x

y 


 0
)12(
5
2
/

+ H/s nghịch biến trên
),
2
1
(;)
2
1
,( 
; H/s không có cực trị
+Giới hạn –tiệm cận :




yLimyLimyLimyLim
xx
xx
2
1
2
1

;;
2
1

+Tiệm cận đứng x=
1
2
,tiệm cận ngang y=
1
2

c/Đồ thị





















0,25





0, 5








0,25


2


1,00



 
0
0

0
2
;
2 1
x
M x C
x
 


 

 
pt tiếp tuyến với (C) tại M
là
 
 
 
   
0
2 0
0
0
2
2
0 0 0
2
5
:
2 1

2 1
:5 2 1 2 8 2 0
x
y x x
x
x
x x y x x

     


      




0,25



o

2
1

-









2
1

-

-




Y
/

Y
x

2
1

y

x
Đề thi khảo sát lần
4
www.VNMATH.com
 

 
 
   
 
 
 
 
2
2
0 0 0
0
4 4
0 0
2
2 0
0
1 1
5. 2 1 . 2 8 2
5 2 1
2 2
;
25 2 1 25 2 1
5 5
; 5
25 5
2 1
2 1
x x x
x
d A

x x
d A
x
x
    

  
   
   
 


theo bdt cô si.Dấu bằng xẩy ra
 
2
0 0 0
1 5
2 1 5 2 1 5
2
x x x

       

từ đó 2 tiếp tuyến là :




1 2
: 1 5 & : 1 5

y x y x         
Vậy k/c từ A đến



lớn nhất bằng
5
khi
đó 2 tiếp tuyến là :




1 2
: 1 5 & : 1 5
y x y x         

0,25




0,25





0,25


II


2,00


1

. Giải bất phương trình:


2
3 4
10
log log x 2x x 0

 
  
 
 
(*)
1,00



(*)





2
2
2
2
2
4
2
2
4
2 0
1
2 0
0
2 0
2
log 2 0
2 4
2 4
og 2 1
x x
x x x
x x
x x
x x x
x x x
x x x
l x x x

 



  


  
 
  
  
  
  
  

 

  


  



 
2
2
2
4
1
1
4 01
4 0

4 0
2
2
2
7 113 7 113
7 16 0
2 4
2 2
x
x x
x x
x x
x x
x x x
x x






   


   
   

  
 
  


   
  

  
  
  








7 113 7 113
2 2
x x
   
  



0,5




0,25





0,25


2


1,00



Phương trình được biến đổi thành :
 
 
1
sin 1 sin 2 sin cos
2 2 2 2 3
1
sin 1 sin 2 sin sin sin
2 2 2 2 3 2 2 2 2
x x x x
cos cos x x
x x x x x x x x
cos cos x cos cos
  
   
  
  

     
     
     
     

*
sin 0 tan 1 2
2 2 2 2 4 2
x x x x
cos k x k
 
 
         
*
 
1 1 3
1 sin 2 sin sin sin
2 3 2 2 2 2 2
x x x x
x x cos cos
 
        
 
 
(vn)
vậy pt có 1 họ nghiệm là :
2
2
x k



  (k


)
0,25



0,25



0,25


0,25

www.VNMATH.com
III

 
2
10 10 4 4
0
sin
I cos x x sin xcos x dx

  



1,00



Rút gọn T
 
  
10 10 4 4
10 10 4 4 2 2
6 6 4 4
sin
sin sin
sin sin
T cos x x sin xcos x
cos x x sin xcos x cos x x
cos x x cos x x
  
   
  


 
2 2 2 2
1 1
2 1 sin 2 2 sin 4
4 16
1 cos4 1 15 1 1
1 8 cos4 cos8
2 32 32 2 32

cos x x cos x x
x
cos x x x
 
  
 
 

     

2
2
0
0
15 1 1 15 1 1
cos4 cos8 sin 4 sin8
32 2 32 32 8 256
15
64
I x x dx x x x
I



   
     
   
   
 




0,25



0,25



0,25



0,25

IV

Cho hình lăng trụ đứng
ABC.A B C
  
có đáy ABC là tam giác vuông với….
1,00



Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông cân tại B.Gọi H là trung điểm AC thì


' '

BH AC BH ACC A
   .Do đó BH là đường cao của hình chóp
' '
2
.
2
B MAC BH a
 
.Từ giả thiết suy ra
' ' '
2 2
, 2
3
MA a AC a
 

Ta có
' '
' ' ' 3
.
1 1 1 2 1 2 2 2
. . . . . 2
3 2 3 2 2 3 9
B MAC
V BH MA AC a a a a
  
0,25


0,5


0,25

V

Cho
, , 0.
a b c

chứng minh bđt sau…
1,00



ycbt
     
 
 
3 3 3
3 3 3 2 2 2
9
3 . .
4
3
a b c abc a b b c c a
a b c abc a b c a b c ab bc ca
       
          

           

2 2 2
2 2 2 2 2 2
3
1 3
2 2
M a b c ab bc ca
M a b b c c a a b b c c a
     
 
         
 

 
3
1 3
2 2
N a b c a b b c c a a b b c c a
            

Vậy VT=
   
3 3 3
3
9 9
. .
4 4
M N a b b c c a a b b c c a VP
        
dấu đẳng thức xẩy ra khi a=b=c
0,25





0,25


0,25


0,25

VI


2,00


1

….A(5;-2),B(-3;4)……(d):x-2y+1=0…….
1,00



Giả sử điểm









2 1; 2 6; 2 & 2 2; 4
C d C t t AC t t BC t t
         
 

Góc









0
90 . 0 2 6 2 2 2 4 0
ACB AC BC t t t t
         
 

2
2 4 0 1 5
t t t       . Vậy có hai điểm C tren (d) thoả mãn ycbt
0,25


0,5

www.VNMATH.com




1 2
1 2 5;1 5 ; 1 2 5;1 5
C C   


0,25


2

…2x-y-2z-12=0 và hai điểm A(2;1;4) và B(1;1;3)….
1,00



Ta có




1;0; 1 ; 2; 1; 2 . 0 / /( )
P P
AB n ABn AB P

        
 
 

       
min
1
; ; ; . ; .
2
MAB MAB
M P MH d A P S MH AB S MH P
 
    

Gọi (Q) là mặt phẳng qua AB và








1;4; 1 ; 4 2 0
Q
Q P n Q x y z
       

.
Suy ra tập hợp điểm M là đường thẳng giao tuyến Của ( P) và (Q) Trong đó

(P):2x-y-2z-12=0 và (Q):x+4y-z-1=0
0,25


0,25


0,5
VII

Tìm số phức
z
thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:

1 2 3 4
z i z i
    
và
2
z i
z i


là một số ảo.

1,00



Giả sử:



,z x iy x y  

theo gt




1 2 3 4
x y i x y i
      
       
2 2 2 2
1 2 3 4 5
x y x y y x
         



 






 
2
2

2
2 2 1 2 3
2
1
1
x y i x y y x y i
z i
u
z i x y i
x y
      

  
  
 
u là số ảo
      


2
2 2
5; 2 1 0; 2 3 0, 1 0
y x x y y x y x y
           

Giải điều kiện :
12 23
7 7
z i
  

0,25

0,25


0,25


0,25


www.VNMATH.com