
CHỈÅNG 11

TI TRNG ÂÄÜNG

Âäúi våïi nhỉỵng bi toạn â kho sạt åí chỉång trỉåïc, ti trng tạc âäüng lãn hãû âãưu l ti trng ténh,
tỉïc l ti trng tạc âäüng tỉì tỉì khäng lm xút hiãûn lỉûc quạn tênh lãn hãû. Nhỉng trong nhiãưu trỉåìng håüp ti
trng tạc dủng âäüt ngäüt hay biãún âäøi theo thåìi gian nãn ỉïng sút v biãún dảng trong hãû cng biãún âäøi âäüt
ngäüt hồûc biãún âäøi theo thåìi gian, do âọ trãn hãû xút hiãûn lỉûc quạn tênh.
Ti trng âäüng l ti trng gáy ra lỉûc quạn tênh trãn hãû âang xẹt.
Trong chỉång ny ta cng nghiãn cỉïu phỉång phạp tênh âäü bãưn ca mäüt thanh chëu ti trng âäüng,
vç âọ l váún âãư thỉåìng gàûp trong k thût.

 11.1 CHUØN ÂÄÜNG THÀĨNG VÅÏI GIA TÄÚC KHÄNG ÂÄØI

Thê dủ tênh sỉïc bãưn ca mäüt dáy cạp åí âáưu treo mäüt váût
nàûng chuøn âäüng våïi gia täúc khäng âäøi (H.11-1).
Gi:
• P: Trng lỉåüng ca váût nàûng.
• γ: Trng lỉåüng riãng ca dáy cạp.
• F: Diãûn têch màût càõt ngang ca dáy cạp.
• a: Gia täúc chuøn âäüng, a>0 nãúu gia täúc cọ chiãưu hỉåïng
lãn v a<0 khi hỉåïng xúng.

Âãø tênh näüi lỉûc åí màût càõt ngang cạch âáưu dáy cạp mäüt
khong z, ta tỉåíng tỉåüng càõt båíi màût càõt 1-1 v kho sạt sỉû cán
bàòng pháưn dỉåïi. Trãn màût càõt ngang âọ chëu tạc dủng ca trng
lỉåüng P ca váût nàûng, trng lỉåüng ca pháưn dáy cạp v lỉûc quạn tênh phạt sinh ra trong quạ trçnh chuøn
âäüng. Trng lỉåüng ca pháưn dáy cạp âang xẹt (H.11-1b) l: γ.F.z
Khäúi lỉåüng ca váût nàûng P, ca pháưn dáy cạp âang xẹt l :


 γ+

trong âọ g l gia täúc trng trỉåìng.
Nhỉ â biãút, lỉûc quạn tênh bàòng têch ca khäúi lỉåüng våïi gia täúc v cọ chiãưu ngỉåüc våïi chiãưu ca
gia täúc, váûy lỉûc quạn tênh bàòng:


 γ+

v cọ chiãưu hỉåïng xúng vç åí âáy ta âang xẹt dáy cạp chuøn âäüng âi lãn nhanh dáưn âãưu (a> 0).
Theo ngun l Âa-lam-be thç åí mäùi thåìi âiãøm váût thãø âỉåüc coi l cán bàòng dỉåïi tạc dủng ca
ngoải lỉûc tạc âäüng trỉûc tiãúp lãn váût thãø v ca lỉûc quạn tênh. Do âọ, nãúu gi N
â
l lỉûc dc âäüng trãn màût
càõt ngang 1-1 thç phỉång trçnh cán bàòng âäüng l :
N
â
-(P + γFz) -


 γ+
= 0

â






Hay N
â
= (P + γ.Fz).(1 +


) (a)
Nãúu váût nàûng P khäng thãø chuøn âäüng (åí trảng thại ténh, a = 0). Thç lỉûc dc ténh N
t
trong dáy cạp
âỉåüc tênh theo phỉång trçnh cán bàòng ténh (khäng cọ lỉûc quạn tênh):
N
t
- (P + γFz) = 0
Hay N
t
= P + γFz (b)
Váûy N
â
= N
t
.(1 +


)
Ta âàût K
â
= 1 +


(11-1)

K
â
âỉåüc gi l hãû säú âäüng. Nhỉ váûy :
N
â
= N
t
. K
â
(c)
Tỉì cäng thỉïc (c) ta nháûn tháúy ràòng lỉûc dc âäüng N
â
(lỉûc dc trong dáy cạp chuøn âäüng våïi gia
täúc khäng âäøi) bàòng lỉûc dc ténh nhán våïi hãû säú âäüng K
â
.
ỈÏng sút trãn màût càõt ngang 1-1 ca dáy cạp bàòng:

â
tâ
â
K.
F
N
F
N
==σ

Nhỉng:
t

t
F
N
σ= (ỉïng sút ténh)
Nãn
âtâ
K
.
σ
=
σ
(11-2)
ỈÏng sút ténh låïn nháút tải âiãøm trãn cng ca dáy cạp, tỉïc l z = l :
max N
t
= P + γ.Fl
v max

σ
=
l.
F
P
F
N
max
t
γ+=

ỈÏng sút âäüng låïn nháút:

max

σ
= max

σ
.K
â

Váûy âiãưu kiãûn bãưn cọ dảng :
max

σ
= max

σ
.K
â

≤
[
σ
]
Chụ : Tỉì (11-1) ta tháúy ràòng K
â
> 1 nãúu a> 0, tỉïc l P chuøn âäüng hỉåïng lãn nhanh dáưn âãưu
hồûc hỉåïng xúng cháûm dáưn âãưu, khi âọ
σ
â
>

σ
t
. Khi K
â
< 1 nãúu a< 0, tỉïc l P chuøn âäüng hỉåïng lãn
cháûm dáưn âãưu hồûc hỉåïng xúng nhanh dáưn âãưu, khi âọ
σ
â
<
σ
t
.
Thê dủ 11-1. Mäüt dáy cạp cọ diãûn têch màût càõt ngang bàòng 1 cm
2
mang mäüt dáưm chỉỵ I 30a, di 10
m, chuøn âäüng hỉåïng lãn våïi gia täúc 5 m/s
2
(H.11-2a). Tênh ỉïng sút låïn nháút trong dáy cạp v trong
dáưm. B qua trng lỉåüng dáy cạp.

Bi gii:
Hãû säú âäüng âäúi våïi dáy cạp v dáưm bàòng nhau vç cng chuøn âäüng våïi gia täúc khäng âäøi a =
5m/s
2
(H.11-2a).
Theo cäng thỉïc (11-1), hãû säú âäüng bàòng :
K
â
= 1 + 



 =+=






H.11-2

a) ọỳi vồùi dỏửm.
Tra baớng theùp õởnh hỗnh chổợ I sọỳ 30a ta coù :
+ Troỹng lổồỹng cuớa dỏửm trón 1m chióửu daỡi : q = 392 N/m
+ Mọmen chọỳng uọỳn õọỳi vồùi truỷc x : w
x
= 60,1 cm
3
( trong baớng laỡ w
y
)
Sồ õọử tờnh dỏửm nhổ trón hỗnh H.11-2b. Dổỷa vaỡo bióứu õọử mọmen uọỳn (H.11-2c) do troỹng lổồỹng baớn
thỏn cuớa dỏửm ta õổồỹc:
M
max
= 2940 Nm = 294000 Ncm
ặẽng suỏỳt tộnh lồùn nhỏỳt trong dỏửm:


t max
=



==
,w
M
x
max
N/cm
2

ặẽng suỏỳt õọỹng lồùn nhỏỳt trong dỏửm õổồỹc tờnh theo cọng thổùc (11-2):




=


t max
= 1,51.4892 = 7387 N/cm
2

b) ọỳi vồùi dỏy caùp.
Vỗ boớ qua troỹng lổồỹng baớn thỏn dỏy caùp nón lổỷc taùc duỷng lón dỏy dỏy caùp laỡ troỹng lổồỹng cuớa dỏửm.
Vỏỷy lổỷc doỹc tộnh trong dỏy caùp :
N
t
= 392.10 = 3920 N
vaỡ ổùng suỏỳt tộnh :




===
F
N
t
t
N/cm
2

ặẽng suỏỳt õọỹng trong dỏy caùp:


õ
= K
õ
.

t
= 1,51.3920 = 5919 N/cm
2


11.2 CHUYỉN ĩNG QUAY VẽI VN TC GOẽC KHNG ỉI.

Thờ duỷ tờnh ổùng suỏỳt trong mọỹt caùi vọ-
lng coù dióỷn tờch mỷt cừt ngang F khọng õọứi
quay vồùi vỏỷn tọỳc goùc khọng õọứi. Vồùi mổùc õọỹ
chờnh nhỏỳt õởnh, ta coùthóứ boớ qua aớnh hổồớng cuớa
caùc nan hoa õọỳi vồùi vaỡnh cuớa vọ-lng, nghộa laỡ

coi vọ-lng nhổ mọỹt vaỡnh troỡn (H.11-3).


N
õ


Vỗ boớ qua caùc nan hoa vaỡ troỹng lổồỹng baớn thỏn cuớa vọ-lng nón khi õoù chố coù lổỷc li tỏm taùc duỷng
vọ-lng (H.11-3). Ta seợ tờnh cổồỡng õọỹ cuớa lổỷc li tỏm õoù nhổ sau:
Vọ-lng quay vồùi vỏỷn tọỳc goùc

khọng õọứi nón gia tọỳc goùc :
=

=
dt
d

Vỏỷy gia tọỳc tióỳp tuyóỳn :
a
t
=

.R = 0
Vaỡ gia tọỳc phaùp tuyóỳn bũng:
a
n
=



.R
trong õoù R laỡ baùn kờnh trung bỗnh cuớa vọ-lng.
Xeùt mọỹt phỏn tọỳ coù chióửu daỡi vọ cuỡng beù ds lỏỳy doỹc theo chu vi (H.11-4). Khọỳi lổồng cuớa phỏn tọỳ
naỡy laỡ :
dm =
g
ds
.
F
.


trong õoù g laỡ gia tọỳc troỹng trổồỡng.
Lổỷc li tỏm taùc duỷng lón phỏn tọỳ õoù bũng:
dP = a
n
.dm =
g
ds
.
F
.

.

.R
Vỗ chióửu daỡi ds cuớa phỏn tọỳ laỡ vọ cuỡng beù, nón coù thóứ coi lổỷc dP phỏn bọỳ õóửu , do õoù cổồỡng õọỹ lổỷc
li tỏm laỡ:
q =




= .
g
R
.
F
.
ds
dP
(11-4)
óứ tờnh nọỹi lổỷc mỷt cừt ngang, ta tổồớng tổồỹng cừt vọ-lng bũng mọỹt mỷt cừt xuyón tỏm (H.11-4).
Do tờnh chỏỳt õọỳi xổùng, trón moỹi mỷt cừt ngang chố coù mọỹt thaỡnh phỏửn lổỷc doỹc N
õ
(lổỷc doỹc õọỹng N
õ
do sổỷ
quay cuớa vọ-lng sinh ra) vióỳt õióửu kióỷn cỏn bũng cuớa phỏửn nổợa vọ-lng õang xeùt dổồùi daỷng phổồng trỗnh
tọứng hỗnh chióỳu cuớa caùc lổỷc xuọỳng phổồng y:
2N
õ
- 2





= 0
hay kóứ õóỳn (11-4) :
N

õ
=





ds.sin.q = ds.sin
g
FR








Nhổng : ds = R.d


Nón : N
õ
=




d.sin
g

FR




=
[ ]







cos
g
FR

Hay N
õ
=




.
g
FR
=


v.
g
F


Vỗ bóử daỡy cuớa vọ-lng nhoớ so vồùi baùn kờnh trung bỗnh nón ta coù thóứ coi ổùng suỏỳt phaùp õọỹng

õ
laỡ
phỏn bọỳ õóửu vaỡ bũng :


õ
=
2
õ
v.
gF
N

=

trong õoù v = R.

laỡ vỏỷn tọỳc cuớa vaỡnh.

Âiãưu kiãûn bãưn ca vä-làng l:

σ
â

=
[ ]
σ≤
γ

v.
g

trong âọ [
σ
] l ỉïng sút cho phẹp ca váût liãûu.
Ta nháûn tháúy ràòng ỉïng sút âäüng
σ
â
tàng ráút nhanh khi tàng váûn täúc gọc hay tàng bạn kênh vä-
làng.

Thê dủ 11-2. Trãn dáưm AB cọ gàõng
mäüt thanh CDE (H.11-5a) quay våïi váûn täúc
gọc
ω
khäng âäøi quanh trủc dáưm AB.
V biãøu âäư näüi lỉûc M, N, Q do tạc
dủng ca lỉûc li tám gáy ra.

Bi gii .
Lỉûc li tám tạc dung lãn thanh CDE
âỉåüc tênh nhỉ sau: (H.11-5b)
+ Âäúi våïi thanh DE : vç thanh DE //
AB nãn bạn kênh quay ca mi âiãøm trãn âọ

l khäng âäøi v bàòng l. váûy cỉåìng âäü ca lỉûûc
li tám trãn âån vë di bàòng:
q
DE
=
l
g
F
.

ω
γ
= const
trong âọ F l diãûn têch màût càõt ngang ca âoản thanh DE.
+ Âäúi våïi thanh CD : Vç thanh ny cọ tám quay l C v vng gọc våïi trủc quay AB nãn bạn
kênh quay ca nhỉỵng âiãøm trãn thanh CD s khạc nhau. Gi sỉí xẹt âiãøm M trãn thanh CD våïi bạn kênh r,
cỉåïng âäü lỉûc li tám ca âiãøm M bàòng:
q
M
= r
g
F
.

ω
γ

trong âọ F l diãûn têch màût càõt ngang ca âoản thanh CD. Dãù dng tháúy ràòng lỉûc li tám ny phán bäú báûc
nháút dc theo thanh CD.
Tải âiãøm C : r = 0 nãn q

M
= q
C
= 0
Tải âiãøm D : r =1 nãn q
M
= q
D
=
l
g
F
.

ω
γ

Theo ngun l Âa-làm-be , ta âỉa bi toạn chuøn âäüng quay vãư bi toạn ténh chëu tạc dủng ca
lỉûc li tám (H.11-5b). cạc phn lỉûc A v B âỉåüc tênh nhỉ sau :






=









ω
γ
+








ω
γ
++−=
∑
l.l
g
l.F.
l.l
g
l.F.
.)ll.(VM
BA

Rụt ra: V
B

=

l
g
F
.
ω
γ









=






+









ω
γ
−








ω
γ
−+=
∑
l
l
.l
g
l.F.
l.l
g
l.F.
.)ll.(VM
AB

Rụt ra: V

A
=



l
g
F
.
. ω
γ







Biãøu âäư M, Q v N âỉåüc biãøu diãùn trãn hçnh H.11-6

H.11-6

 11.3 KHẠI NIÃÛM CHUNG VÃƯ DAO ÂÄÜNG.

Báûc tỉû do ca mäüt hãû ân häưi khi dao âäüng l thäng säú
âäüc láûp âãø xạc âënh vë trê ca hãû.
Hçnh H.11-7 biãøu diãùn mäüt khäúi lỉåüng m âàût trãn mäüt
dáưm. Nãúu b qua trng lỉåüng ca dáưm thç hãû cọ mäüt báûc tỉû do, vç
mún xạc âënh vë trê ca khäúi lỉåüng m ta chè cáưn biãút tung âäü y.
Nãúu kãø âãún trng lỉåüng bn thán ca dáưm thç hãû cọ vä säú báûc tỉû do, vç cáưn biãút vä säú tung âäü y âãø

xạc âënh táút c mi âiãøm trãn dáưm.
Dao âäüng ca mäüt hãû ân häưi âỉåüc chia ra: dao âäüng tỉû do v dao âäüng cỉåỵng bỉïc.
Dao âäüng cỉåỵng bỉïc l dao âäüng ca hãû ân häưi dỉåïi tạc dủng ca ngoải lỉûc biãún âäøi theo thåìi
gian. Thê dủ mäüt mä-tå âiãûn âàût trãn mäüt dáưm, pháưn rä-to ca mä-tå cọ trng lỉåüng lãûch tám. Khi quay,
rä-to s gáy ra lỉûc li tám m cạc thnh pháưn ca nọ tạc dủng lãn dáưm biãún âäøi theo thåìi gian. Lỉûc ny
âỉåüc gi l lỉûc kêch thêch, nọ lm cho dáưm dao âäüng.
Dao âäüng tỉû do l dao âäüng khäng cọ lỉûc kêch thêch. Gi sỉí dáưm chëu mäüt xung lỉûc do tạc âäüng
ca mäüt va chảm no âọ, sau khi va chảm, dáưm tiãúp tủc dao âäüng nhỉng khäng chëu tạc dủng ca lỉûc kêch
thêch no trong khi dao âäüng.
Ta gi hãû â thỉûc hiãûn mäüt dao âäüng khi hãû tỉì vë trê cán bàòng ny chuøn âãún vë trê cán bàòng tiãúp
theo sau khi â qua mi vë trê âỉåüc xạc âënh båíi qui lût dao âäüng ca hãû. Khong thåìi gian âãø hãû thỉûc
hiãûn mäüt dao âäüng âỉåüc gi l chu k ca dao âäüng, k hiãûu l T. Chu k âỉåüc âo bàòng giáy (s). Säú dao
âäüng trong mäüt giáy âỉåüc gi l táưn säú ca dao âäüng, k hiãûu l f:
f =
T

(1/s)
Táưn säú âỉåüc âo bàòng Hertz.
Trong k thût thỉåìng dng táưn säú vng, l säú dao âäüng trong 2
π
giáy, k hiãûu l
ω
.

ω
= 2
π
.f =
T
π

(1/s)

 11.4 DAO ÂÄÜNG CA HÃÛ ÂN HÄƯI CỌ MÄÜT BÁÛC TỈÛ DO.
H.11
-
7


Ta xẹt mäüt dáưm cọ mang khäúi lỉåüng m (H.11-8). Nãúu b qua trng lỉåüng ca dáưm thç ta âỉåüc mäüt
hãû cọ mäüt báûc tỉû do. Gi sỉí lỉûc kêch thêch P(t) biãún âäøi theo
thåìi gian tạc dủng tai màût càõt ngang cọ honh âäü z.
Âãø tçm phỉång trçnh dao âäüng ( phỉång trçnh chuøn
âäüng ca khäúi lỉåüng m) ta dỉûa vo ngun l Âa-lam-be.
Theo ngun l ny, ta cọ thãø viãút phỉång trçnh cán bàòng
âäüng cho mäüt hãû chuøn âäüng cọ gia täúc nãúu kãø âãún lỉûc quạn
tênh tạc dủng lãn hãû âọ.
Gi y(t) l chuøn vë ca khäúi lỉåüng m åí
thåìi âiãøm t. Váûn täúc v gia täúc ca khäúi lỉåüng
ny l

 
v





.
Âäü vng ca dáưm åí vë trê âàût khäúi lỉåüng
m do nhỉỵng lỉûc sau âáy gáy ra:

- Lỉûc kêch thêch P(t): Nãúu gi
δ
z
l
chuøn vë åí màût càõt ngang âàût khäúi lỉåüng m do
lỉûc kêch thêch bàòng mäüt âån vë âàût åí vë trê ca lỉûc
kêch thêch P(t) gáy ra (H.11-9a) thç âäü vng do
P(t) gáy ra s bàòng :

δ
z
.P(t)
- Lỉûc cn ca mäi trỉåìng chung quanh khi khäúi lỉåüng m chuøn âäüng. Lỉûc cn ny tè lãû våìi váûn
täúc chuøn âäüng v cọ chiãưu ngỉåüc våïi chiãưu chuøn âäüng. Giạ trë ca lỉûc cn bàòng :
R =
β
.
dt
)
t
(
dy

Trong âọ
β
l hãû säú tè lãû. Váûy chuøn vë åí màût càõt ngang âàût khäúi lỉåüng m do lỉûc cn gáy ra bàòng :
-
β
.
dt

)
t
(
dy
.
δ
a

trong âọ

δ
l chuøn vë ca màût càõt ngang nåi âàût khäúi lỉåüng m do mäüt lỉûc bàòng mäüt âån vë âàût tai âọ
gáy ra (H.11-9b). Biãøu thỉïc mang dáúu trỉì vç lỉûc cn hỉåïng lãn, ngỉåüc våïi chiãưu chuøn âäüng.
- Lỉûc quạn tênh tạc dủng lãn hãû åí âiãøm âàût khäúi lỉåüng m bàòng m.


dt
)t(yd
. Váûy chuøn vë ca âiãøm
âàût khäúi lỉåüng m do lỉûc quạn tênh gáy ra bàòng:
- m.


dt
)t(yd
.
δ
a

Chuøn âäüng ca khäúi lỉåüng m lục âáưu l nhanh dáưn âãưu, tỉïc l gia täúc hỉåïng xúng theo chiãưu

chuøn âäüng, váûy lỉûc quạn tênh s hỉåïng lãn, nãn chuøn vë do lỉûc quạn tênh gáy ra s mang dáúu (-).
Tọm lải, chuøn vë åí màût càõt ngang âàût khäúi lỉåüng m do cạc lỉûc tạc dủng vo hãû s gáy ra s l :
y(t) =
δ
z
.P(t) -
β
.
dt
)
t
(
dy
.
δ
a
- m.


dt
)t(yd
.
δ
a


hay: m.
δ
a
.



dt
)t(yd
+
β
.
δ
a
.
dt
)
t
(
dy
+ y(t) =
δ
z
.P(t) (a)
H.11
-
8


H.11
-
9


Nóỳu õỷt :









=

=
a
m
m



(11-6)
Thỗ ta coù thóứ vióỳt (a) dổồùi daỷng :



dt
)t(yd
+ 2

.
dt
)
t

(
dy
+


.y(t) =


.

z
.P(t) (11-7)
Phổồng trỗnh (11-7) laỡ phổồng trỗnh vi phỏn cuớa dao õọỹng. Hóỷ sọỳ

bióứu dióựn aớnh hổồớng cuớa lổỷc
caớn cuớa mọi trổồỡng chung quanh õóỳn dao õọỹng vaỡ sọỳ thổù nguyón 1/s . Dổồùi õỏy ta seợ khaớo saùt caùc trổồỡng
hồỹp rióng bióỷt dao õọỹng.

I. DAO ĩNG Tặ DO KHNG COẽ LặC CAN.

Nhổ trón õaợ trỗnh baỡy, dao õọỹng tổỷ do laỡ dao õọỹng khọng coù lổỷc kờch thờch, tổùc laỡ P(t) = 0; vỗ
khọng coù lổỷc caớn nón

= 0. Do õoù, phổồng trỗnh vi phỏn cuớa dao õọỹng (11-7) seợ coù daỷng:



dt
)t(yd
+



.y(t) = 0 (11-8)
Nghióỷm cuớa phổồng trỗnh (11-8) laỡ;
y(t) = C
1
.cos

t + C
2
.sin

t (a)
Caùc hũng sọỳ C
1
vaỡ C
2
õổồỹc xaùc õởnh tổỡ õióửu kióỷn ban õỏửu nghộa laỡ tổỡ vở trờ y
0
vaỡ vỏỷn tọỳc


0
cuớa
khọỳi lổồỹng m ồớ thồỡi õióứm t = 0.
y
0
= C
1
;



0
=

.C
2

Ruùt ra : C
1
= y
0
; C
2
=





Thay chuùng vaỡo (a) ta õổồỹc :
y(t) = y
0
.cos

t +





.sin

t (b)
Khi kyù hióỷu : y
0
= C.sin

vaỡ




= C.cos

thỗ phổồng trỗnh (b) coù thóứ vióỳt dổồùi daỷng:
y(t) = C.sin(

t +

) (11-9)
Trong õoù : C =
















+

y
y
laỡ bión õọỹ dao õọỹng



=


y
.
y
arctg
laỡ õọỹ lóỷch pha.
ổồỡng bióứu dióựn phổồng trỗnh dao õọỹng (11-9) nhổ
trón hỗnh H.11-10. Theo (11-9), ta nhỏỷn thỏỳy rũng chuyóứn
õọỹng cuớa khọỳi lổồỹng m mang tờnh chỏỳt dao õọỹng vỗ sin(

t


+

ϕ
) l mäüt hm säú tưn hon cọ giạ trë làûp âi làûp lải sau mäüt khong thåìi gian T nháút âënh.
      
Xạc âënh chu k T : khi thåìi gian t tàng lãn mäüt lỉåüng T thç chuøn vë åí thåìi âiãøm t v t + T l nhỉ
nhau :
y = C.sin(
ω
t +
ϕ
) = C.sin[
ω
(t +T) +
ϕ
]
Rụt ra : (
ω
t +
ϕ
) + 2
π
=
ω
(t +T) +
ϕ

T =
ω
π



Nhỉ váûy r rng
ω
âàût theo cäng thỉïc (11-6) l táưn säú vng ca dao âäüng tỉû do khäng kãø lỉûc cn
(cn gi tàõc l táưn säú riãng)

a
.m δ
=ω

(1/s) (11-10a)
Gi G l trng lỉåüng ca khäúi lỉåüng m
g l gia täúc trng trỉåìng.
m =



Nãn





∆
==
δ
ω

(11-10b)
Trong âọ



δ

=
∆
l chuøn vë ténh åí màût càõt ngang âàût khäúi lỉåüng m do trng lỉåüng G ca khäúi
lỉåüng m gáy ra.
Tỉì cäng thỉïc (11-10a) hay (11-10b) ta tháúy nãúu khäúi lỉåüng m cng låïn hay chuøn vë ténh
∆
t
cng låïn (tỉïc l dáưm cọ âäü cỉïng cng nh), thç táưn säú dao âäüng riãng (tỉû do) cng nh.
ÅÍ trãn, ta coi hãû kho sạt l hãû cọ mäüt báûc tỉû do vç ta â b qua khäúi lỉåüng ca dáưm (H.11-8), tỉïc
l b qua khäúi lỉåüng ca chi tiãút ân häưi. Nhỉ váûy, kãút qu tênh toạn chè l gáưn âụng. Mún tênh táưn säú
riãng chênh xạc hån ta phi xẹt âãún khäúi lỉåüng ca chi tiãút liãn kãút ân häưi. Nãúu tênh c khäúi lỉåüng chi tiãút
liãn kãút ân häưi thç hãû ân häưi tråí thnh cọ vä säú báûc tỉû do.
Dỉåïi âáy l phỉång phạp Ray-láy (Rayleigh), Ray-láy âãư ra phỉång phạp tênh gáưn âụng bàòng cạch
thay thãú khäúi lỉåüng phán tạn ca chi tiãút liãn kãút ân häưi bàòng mäüt khäúi lỉåüng táûp trung v qui bi toạn vä
säú báûc tỉû do vãư bi toạn mäüt báûc tỉû do.
Âiãøm cå bn ca phỉång phạp ny l gi thiãút mäüt âỉåìng cong biãún dảng trong quạ trçnh dao âäüng
ca chi tiãút liãn kãút ân häưi räưi càn cỉï vo âọ m tênh âäüng nàng v thãú nàng ca hãû. Sau âọ, láûp phỉång
trçnh nàng lỉåüng âãø tênh táưn säú riãng. Hy nghiãn cỉïu phỉång phạp Ray-láy qua trỉåìng håüp sau.
Thê dủ cho mäüt
khäúi lỉåüng m âàût åí âáưu
tỉû do B ca mäüt dáưm
cäng-xän cọ màût càõt
ngang khäng âäøi v
ngm chàût åí âáưu
A.(H.11-11a)










Trong trổồỡng hồỹp khọng kóứ õóỳn troỹng lổồỹng baớn thỏn cuớa õỏửm cọng-xọn, dổồùi taùc duỷng cuớa taới
troỹng tỏỷp trung Q (Q = m.g), phổồng trỗnh õổồỡng õaỡn họửi cuớa dỏửm cọng-xọn laỡ:
y(z) =
EJ
Q

.(3lz
2
- z
3
) (a)
Goỹi y(l) laỡ õọỹ voợng ồớ õỏửu B. trong cọng thổùc (a), cho z = l, ta tờnh õổồỹc y(l) bũng:
y(l) =
EJ
l.Q


(b)
So saùnh (a) vaỡ (b) ta thỏỳy :
y(z) = )l(y.
l
2
z

lz
3
3
32

(c)
Giaớ thióỳt troỹng lổồỹng cuớa dỏửm cọng-xọn khọng aớnh hổồớng õaùng kóứ õóỳn bióỳn daỷng cuớa noù, phổồng
trỗnh õổồỡng õaỡn họửi cuớa dỏửm cọng-xọn khi dao õọỹng giọỳng vồùi phổồng trỗnh õổồỡng õaỡn họửi cuớa dỏửm cọng-
xọn chởu lổỷc tỏỷp trung Q ồớ õỏửu B, nghộa laỡ vỏỷn tọỳc ồớ õỏửu B laỡ y(1,t) thỗ vỏỷn tọỳc ồớ mỷt cừt vồùi hoaỡnh õọỹ z
laỡ:


(z,t) = )t,l(y.
l
2
z
lz
3
3
32


(d)
ọỹng nng cuớa mọỹt õoaỷn dỏửm daỡi dz laỡ:











= )t,l(y
l2
zlz3
.
g
dz.q
.
2
1
2
2
3
32









Trong õoù: q laỡ troỹng lổồỹng cuớa dỏửm trón õồn vở chióửu daỡi,
g laỡ gia tọỳc troỹng trổồỡng
ọỹng nng toaỡn dỏửm cọng-xọn laỡ:
T = dz.

l
zlz
).t,l(y.
g
q
.
l





















=
)t,l(y).

g
ql
(






(e)
Tổỡ (e) ta thỏỳy õọỹng nng cuớa dỏửm bũng õọỹng nng cuớa mọỹt khọỳi lổồỹng bũng



=
lỏửn khọỳi
lổồỹng cuớa dỏửm tỏỷp trung ồớ õỏửu B.
Nhổ vỏỷy, hóỷ vỏựn coù thóứ coi laỡ coù mọỹt bỏỷc tổỷ do, khọỳi lổồỹng dao õọỹng laỡ (





+ ), khọỳi lổồỹng
naỡy laỡ tọứng cuớa khọỳi lổồỹng m vaỡ khọỳi lổồỹng cuớa dỏửm


sau khi nhỏn vồùi hóỷ sọỳ



. Hóỷ sọỳ naỡy goỹi laỡ hóỷ
sọỳ thu goỹn cuớa khọỳi lổồỹng, kyù hióỷu laỡ k. ta coù thóứ tờnh hóỷ sọỳ thu goỹn k cho caùc hóỷ sọỳ khaùc, nóỳu thay khọỳi
lổồỹng cuớa dỏửm trón hỗnh H.11-11b bũng khọỳi lổồỹng tỏỷp trung giổợa dỏửm thỗ k =


. Hóỷ sọỳ thu goỹn khọỳi
lổồỹng cuớa loỡ xo trón hỗnh H.11-11c laỡ k =


.

II. DAO ĩNG Tặ DO COẽ Kỉ LặC CAN.

Vỗ dao õọỹng tổỷ do nón lổỷc kờch thờch P(t) = 0, khi õoù phổồng trỗnh vi phỏn (11-7) cuớa dao õọỹng coù
daỷng:




=++ )t(y.
dt
)t(dy
.
dt
)t(yd
(11-11)
Phổồng trỗnh õỷc trổng cuớa phổồng trỗnh vi phỏn cỏỳp hai (11-11) coù daỷng:
k
2
+ 2


.k +


= 0
Nghióỷm cuớa phổồng trỗnh naỡy laỡ:






=
+=




k
k
(a)
coù hai trổồỡng hồỹp xaớy ra:
1 - Trổồỡng hồỹp thổù nhỏỳt :

<

- Hóỷ sọỳ aớnh hổồớng cuớa lổỷc caớn nhoớ hồn tỏửn sọỳ rióng khọng kóứ
õóỳn lổỷc caớn thỗ:
k
1,2

= -



trong õoù


= (11-12)



: laỡ tỏửn sọỳ dao õọỹng rióng coù kóứ õóỳn lổỷc caớn.
Luùc naỡy nghióỷm tọứng quaùt cuớa phổồng trỗnh (11-11) coù daỷng:
y(t) = )tsin.Ctcos.C(e
t

+

(b)
Caùc hũng sọỳ C
1
vaỡ C
2
õổồỹc xaùc õởnh theo õióửu kióỷn ban õỏửu, khi t = 0 thỗ (y)
t=0
= y
0
,
=









=


0
,
tổùc laỡ :
y
0
= C
1
,


0
= -

.C
1
+

1
.C
2


Ruùt ra: C
1
= y
0

C
2
=




+


Phổồng trỗnh cuớa dao õọỹng laỡ :
y(t) =
)tsin.
y.y
tcos.y(e
t






+
+




ỷt : y
0
= Csin

;




+

= C.cos

, ta coù thóứ vióỳt phổồng trỗnh dao õọỹng dổồùi daỷng:
y(t) =



+



(11-13)
trong õoù bión õọỹ dao õọỹng laỡ:


















+
+=


y.y
yeC.e
tt

ọỹ lóỷch pha:


y.y
.
y
arctg
+


=


Chu kyỡ cuớa dao õọỹng : T
1
=







.

So saùnh chu kyỡ T
1
vồùi chu kyỡ T cuớa dao õọỹng tổỷ do khọng kóứ õóỳn lổỷc caớn thỗ chu kyỡ T
1
tng lón (vỗ
coù lổỷc caớn).
Bióứu thổùc (11-13) bióứu dióựn mọỹt dao õọỹng từc dỏửn,
õọử thở cuớa dao õọỹng từt dỏửn õổồỹc bióứu dióựn trón H.11-12.
Qua õọử thở ta thỏỳy bión õọỹ giaớm dỏửn theo thồỡi gian. Lổỷc caớn
caỡng lồùn, tổùc hóỷ sọỳ

caỡng lồùn, thỗ sổỷ từt dỏửn caỡng nhanh.
Sau mọựi chu kyỡ T
1

bión õọỹ dao õọỹng seợ giaớm õi theo tố sọỳ:



T
)Tt(
t
e
e
e

+

= = const
2 - Trổồỡng hồỹp thổù hai:



>

- Hóỷ sọỳ aớnh hổồớng cuớa lổỷc caớn lồùn hồn tỏửn sọỳ rióng khọng kóứ õóỳn lổỷc caớn, hay noùi caùch khaùc laỡ lổỷc
caớn rỏỳt lồùn. Khi õoù theo (a) thỗ k
1
vaỡ k
2
laỡ sọỳ thổỷc, vỏỷy nghióỷm tọứng quaùt cuớa (11-11) laỡ :
y(t) = C
1




+ C
2




Nghióỷm naỡy khọng chổùa haỡm sọỳ tuỏửn hoaỡn, tổùc khọng mang tờnh chỏỳt dao õọỹng. ióửu õoù thỏỳy rũng
lổỷc caớn lồùn õóỳn nọựi khi khọỳi lổồỹng m rồỡi vở trờ cỏn bũng ban õỏửu, noù chố tổỡ tổỡ trồớ laỷi vở trờ õoù maỡ khọng hóử
dao õọỹng.

III - DAO ĩNG CặẻNG BặẽC - HIN TặĩNG CĩNG HặẻNG.

Ta goỹi dao õọỹng cổồợng bổùc laỡ dao õọỹng cuớa hóỷ õaỡn họửi
coù lổỷc kờch thờch taùc duỷng thổồỡng xuyón.

Trong chổồng naỡy ta chố xeùt trổồỡng hồỹp lổỷc kờch thờch
P(t) bióỳn thión tuỏửn hoaỡn theo thồỡi gian.
Thờ duỷ mọỹt mọ-tồ õióỷn õỷt trón mọỹt dỏửm, phỏửn rọ-to
cuớa mọ-tồ coù khọỳi lổồỹng M õỷt lóỷch tỏm quay laỡ e (H.11-13).
Khi quay vồùi vỏỷn tọỳc goùc r, rọ-to sinh ra lổỷc li tỏm:
P = M.e.r
2

thaỡnh phỏửn cuớa P theo phổồng thúng õổùng laỡ:
P(t) = P.sinrt
taùc duỷng lón dỏửm laỡm cho dỏửm dao õọỹng. Lổỷc P(t) goỹi laỡ lổỷc kờch thờch, trong õoù P laỡ bión õọỹ cuớa lổỷc kờch
thờch, r goỹi laỡ tỏửn sọỳ voỡng cuớa lổỷc kờch thờch.
Vồùi lổỷc kờch thờch õoù, phổồng trỗnh vi phỏn (11-7) cuớa dao õọỹng coù daỷng:
rtsin.P.)t(y

dt
)t(dy

dt
)t(yd
z
=++



(11-14)
Nghióỷm tọứng quaùt cuớa phổồng trỗnh (11-14) gọửm hai sọỳ haỷng:
y(t) = y
1
(t) + y
2
(t)
Trong õoù
y
1
(t) - nghióỷm tọứng quaùt cuớa phổồng trỗnh vi phỏn thuỏửn nhỏỳt
y
2
(t) - nghióỷm rióng cuớa phổồng trỗnh vi phỏn coù vóỳ phaới.
Ta thỏỳy ngay rũng nghióỷm tọứng quaùt cuớa phổồng trỗnh vi phỏn thuỏửn nhỏỳt (khọng coù vóỳ phaới) :
H.11-12












=++ )t(y
dt
)t(dy

dt
)t(yd

laỡ bióứu thổùc (11-13):
y
1
(t) = )tsin(.C.e
t
+



noù bióứu dióựn dao õọỹng từc dỏửn.
Nghióỷm rióng cuớa phổồng trỗnh vi phỏn khọng thuỏửn nhỏỳt (coù vóỳ phaới) õổồỹc xaùc õởnh nhổ sau : vỗ
vóỳ phaới cuớa phổồng trỗnh (11-14) laỡ mọỹt haỡm sọỳ tuỏửn hoaỡn, nón ta õỷt nghióỷm rióng daỷng:
y
2
(t) = C
1

sinrt + C
2
cosrt (c)
trong õoù caùc hũng sọỳ C
1
vaỡ C
2
õổồỹc xaùc õởnh bũng caùch thay (c) vaỡo (11-14) vaỡ õọửng nhỏỳt hóỷ sọỳ hai vóỳ, ta
õổồỹc:
(

2
- r
2
).(C
1
sinrt + C
2
cosrt) + 2.

r.(C
1
cosrt - C
2
sinrt) =

2

z
.P.sinrt





=+
=








C).r(C.r.
P.rC.C)r(
z


Ruùt ra : C
1
=
( )





r.r
r

P
z
+


C
2
=
( )






r.r
r
P
z
+



Khi õỷt C
1
=Acos

vaỡ C
2
= - A.sin


, ta coù thóứ vióỳt nghióỷm (c) dổồùi daỷng goỹn hồn:
y
2
(t) = A.sin(rt -

)
Trong õoù : A =




+
=
( )






rr
P.
z
+

=





















+


















rr
P
z




r
r
.
arctg


=
Nghióỷm tọứng quaùt cuớa phổồng trỗnh vi phỏn (11-14) laỡ:
y(t) = y
1
(t) + Asin(rt -

) (d)
Sọỳ haỷng õỏửu bióựu dióựn dao õọỹng tổỷ do từt dỏửn. Sọỳ haỷng thổù hai bióựu dióựn dao õọỹng cổồợng
bổùc do lổỷc kờch thờch gỏy ra. Dao õọỹng tổỷ do seợ mỏỳt õi sau mọỹt thồỡi gian, khi õoù hóỷ seợ dao õọỹng theo tỏửn
sọỳ r cuớa lổỷc kờch thờch vaỡ bión õọỹ cuớa dao õọỹng laỡ:
A =





















+


















rr
P
z

Tờch sọỳ

z
P laỡ chuyóứn vở tộnh taỷi mỷt cừt õỷt khọỳi lổồỹng m do bión õọỹ P cuớa lổỷc kờch thờch taùc
duỷng tộnh lón dỏửm gỏy nón vaỡ õổồỹc õỷt laỡ :
y
t
=
z
P
Vỏỷy y
t
laỡ õọỹ voợng do bión õọỹ cuớa lổỷc kờch thờch taùc duỷng tộnh gỏy ra.

Nóỳu õỷt : k
õ
=






















+

















rr
(11-15)


goỹi laỡ hóỷ sọỳ õọỹng, noù bióứu dióựn sọỳ lỏửn chuyóứn vở õọỹng ( bión õọỹ cuớa dao õọỹng cổồợng bổùc) lồùn
hồn chuyóứn vở tộnh.
Ta õổồỹc: y(t) = y
1
(t) + k
õ
.y
t
.sin(rt -

).
Trong thổỷc tóỳ, khi dao õọỹng luọn luọn coù lổỷc caớn nón sau mọỹt thồỡi gian nhỏỳt õởnh sọỳ haỷng y
1
(t) seợ
mỏỳt õi, vỗ noù bióứu dióựn dao õọỹng tổỷ do từc dỏửn. õỏy ta chố xeùt dao õọỹng cổồợng bổùc do lổỷc kờch thờch gỏy
ra, nón õọỹ voợng õọỹng seợ laỡ:






=



Mỷt khaùc muỷc õờch cuớa sổùc bóửn vỏỷt lióỷu laỡ xaùc õởnh ổùng suỏỳt lồùn nhỏỳt vaỡ õọỹ voợng lồùn nhỏỳt õóứ vióỳt
õióửu kióỷn bóửn vaỡ cổùng, nón khọng cỏửn xac õởnh õọỹ voợng õọỹng ồớ bỏỳt kyỡ thồỡi õióứm naỡo maỡ chuớ yóỳu tỗm giaù
trở tuyủót õọỳi lồùn nhỏỳt cuớa õọỹ voợng õọỹng:



= k
õ
. y
t
= A (11-16)
Qua õoù, ta thỏỳy rũng coù thóứ giaới baỡi toaùn õọỹng bũng caùch giaới baỡi toaùn tộnh rọửi nhỏn vồùi hóỷ sọỳ k
õ
. Vỏỷy
ổùng suỏỳt seợ laỡ:




=
=
tõõ
tõõ
.k
.

k
(11-17)
Trong õoù:



- ổùng suỏỳt õọỹng do taới troỹng õọỹng gỏy ra.





- ổùng suỏỳt tộnh do bión õọỹ cuớa lổỷc kờch thờch taùc duỷng tộnh lón hóỷ gỏy ra.
Nóỳu ngoaỡi lổỷc kờch thờch, trón hóỷ coỡn coù taới troỹng tộnh taùc duỷng thỗ ổùng suỏỳt toaỡn phỏửn trón mọỹt mỷt
cừt naỡo õoù seợ laỡ tọứng ổùng suỏỳt do taới troỹng tộnh õoù gỏy ra vaỡ ổùng suỏỳt õọỹng tờnh theo cọng thổùc ( 11-17 ).
óứ so saùnh aớnh hổồớng cuớa taới troỹng õọỹng vaỡ taới troỹng tộnh, ta seợ khaớo saùt hóỷ sọỳ õọỹ k
õ
tờnh theo
cọng thổùc (11-15).
Hóỷ sọỳ k
õ
phuỷ thuọỹc tố sọỳ


vaỡ




Trón hỗnh 11-14 bióứu dióựn quan hóỷ giổợa hóỷ sọỳ õọỹng k

õ
vồùi


. Ta nhỏỷn thỏỳy:
a) Nóỳu


< 1 khaù nhióửu thỗ hóỷ sọỳ k
õ
1, do õoù, bión õọỹ
cuớa õọỹ voợng õọỹng gỏửn bũng õọỹ voợng tộnh. ióửu õoù coù nghộa laỡ
õọỳi vồùi trổồỡng hồỹp tỏửn sọỳ cuớa lổỷc kờch thờch nhoớ hồn nhióửu so
vồùi tỏửn sọỳ rióng cuớa hóỷ, thỗ coù thóứ coi nhổ lổỷc kờch thich taùc
duỷng mọỹt caùch tộnh lón hóỷ.
b) Nóỳu


> 1 khaù nhióửu, k
õ
seợ nhoớ, vỏỷy bión õọỹ cuớa õọỹ
voợng õọỹng seợ nhoớ hồn õọỹ voợng tộnh. Khi õoù seợ tờnh theo lổỷc
tộnh.



H.11
-
14



c) Nóỳu


1, hay r tổùc laỡ tỏửn sọỳ cuớa lổỷc kờch thờch gỏửn bũng tỏửn sọỳ rióng cuớa hóỷ va ỡnóỳu
khọng coù lổỷc caớn ( = 0 ) thỗ k
õ
seợ lồùn vọ cuỡng; nóỳu coù lổỷc caớn ( 0 ) thỗ k
õ
coù trở sọỳ lồùn nhỏỳt hổợu haỷn.
Hióỷn tổồỹng naỡy goỹi laỡ hióỷn tổồỹng cọỹng hổồớng .
Thỏỷt ra khi tỏửn sọỳ lổỷc kờch thờch vaỡ tỏửn sọỳ rióng cuớa hóỷ maỡ khọng khaùc nhau nhióửu thỗ bión õọỹ dao
õọỹng õaợ tng roợ róỷt, vỗ vỏỷy hỗnh thaỡnh mọỹt mióửn cọỹng hổồớng. Mióửn cọỹng hổồớng thổồỡng õổồỹc quy õởnh :
0,75 <


< 1,25 . Nhổợng õổồỡng cong cuớa hóỷ sọỳ õọỹng k
õ
khaùc nhau nhióửu trong mióửn cọỹng hổồớng,
nhổng nóỳu tố sọỳ


coù trở sọỳ ồớ ngoaỡi khoaớng tổỡ 0,5 õóỳn 2 thỗ nhổợng õổồỡng cong k
õ
gỏửn truỡng nhau. Khi õoù
ta coù thóứ tờnh k
õ
theo cọng thổùc (15-11) vồùi = 0
k
õ

=











r
2


(11-18)
Trong kyợ thuỏỷt, khi tờnh dao õọỹng ta cỏửn chuù yù õóỳn hióỷn tổồỹng cọỹng hổồớng. óứ traùnh hióỷn tổồỹng
cọỹng hổồớng, phaới tờnh sao cho tỏửn sọỳ lổỷc kờch thờch khaùc nhau nhióửu so vồùi tỏửn sọỳ rióng cuớa hóỷ.
Thờ duỷ 11-3: Mọỹt mọ-tồ õióỷn troỹng lổồỹng G = 940 N õỷt ồớ giổợa dỏửm ngang cuớa mọỹt khung bióứu
dióựn trón hỗnh H.11-15a. Truỷc mọ-tồ mang mọỹt troỹng lổồỹng lóỷch tỏm G
1
= 39,2 N vaỡ quay vồùi sọỳ voỡng n=
1500
V
/ph. ọỹ lóỷch tỏm cuớa troỹng lổồỹng G
1
laỡ e = 4 cm. Tờnh bión õọỹ dao õọỹng cổồợng bổùc cuớa khung , bióỳt
rũng l
1

= 1m, mọ men quaùn tờnh cuớa mỷt cừt ngang khung Jx = 400 cm
4
vaỡ mọdun õaỡn họửi E = 2.10
5

MN/m
2
.
Baỡi giaới :

Tờnh chuyóứn vở thúng õổùng t cuớa dỏửm ngang taỷi mỷt cừt õỷt mọ-tồ do troỹng lổồỹng G cuớa noù gỏy ra :
Trổồùc hóỳt ta tờnh khung sióu tộnh bióứu dióựn trón hỗnh H.11-15b, vồùi hóỷ cồ baớn choỹn trón hỗnh H.11-
15c vaỡ bióứu õọử mọmen uọỳn trong hóỷ cồ baớn trón hỗnh H.11-15d,e.
Phổồng trỗnh chờnh từc :
11
X
1
+
1
p = 0


δ
11
=
EJx3
l
8
1.l.11.
3

2
.l.1.
2
1
EJx
2
=






+

∆
1
p = -
EJx6
Gl
5
1.l.
2
Gl
2
1
1.
3
2
.l.

2
Gl
.
2
1
EJx
2
2
−=






+

X
1
= -






=
∆
δ


Trãn hçnh H.11-15g biãøu diãùn biãøu âäư mämen ún do X
1
gáy ra trong hãû cå bn. Ta dng cäng
thỉïc Mo v cạch nhán biãøu âäư âãø tênh chuøn vë :

( )
cm.,m.,

.
EJ
G
G G
G

G
EJ
XMMM
EJ
X
X
t
G
k
t































−−
−
==⋅=⋅=







−−+⋅=∆
+=∆
l
l
ll
l
ll
l
l
ll
l
l

Táưn säú riãng ca khung:







==
∆
=
−
ω


Khi quay, trng lỉåüng lãûch tám G
1
gáy ra lỉûc quạn tênh :








= .e

Trong âo ï

r - táưn säú vng ca lỉûc kêch thêch :


 




===
π
π

Biãn âäü ca lỉûc kêch thêch :
N394010.4.157.
81,9

2
,
39
p
22
0
==
−

Hãû säú âäüng :








=






−
=







−
=
ω




Chuøn vë thàóng âỉïng åí âiãøm giỉỵa ca dáưm ngang do P
0
tạc dủng
ténh s l :
m.,
.
.
.
.
EJx
.p
.y
t













−
−
===
l


Váûy biãn âäü dao âäüng cỉåỵng bỉïc bàòng :
cm,cm.,.,.,y.k
tâ


====∆
−−


IV- DAO ÂÄÜNG XỒÕN
Xẹt mäüt thanh trn, mäüt âáưu bë ngm chàût v mäüt âáưu cọ gàõn mäüt âéa trn cọ trng lỉåüng ca
thanh khäng âạng kãø so våïi trng lỉåüng ca âéa . Mäüt momen xồõn M(t) biãún âäøi theo thåìi gian tạc dủng
vo thanh trn tải màût càõt ngang cọ honh âäü z (H.11-16), khi âọ thanh s bë dao âäüng xồõn. Vë trê ca âéa
H.11
-
16


åí mäüt thåìi âiãøm báút k âỉåüc xạc âënh båíi gọc xồõn ϕ(t).


Khi âéa chuøn âäüng quay trn thç mäi trỉåìng chung quanh s gáy ra mäüt mämen cn m ta gi
thiãút tè lãû våïi váûn täúc gọc ca âi v ngỉåüc chiãưu våïi chuøn âäüng :
M
cn
=
dt
d
ϕ
β
Trong âọ: β : hãû säú tè lãû .
Màût khạc, khi quay khäúi lỉåüng ca âi cng gáy ra mämen ca lỉûc quạn tênh ngỉåüc chiãưu våïi gia
täúc :
M
qt
=





ϕ

Trong âọ : J - mämen quạn tênh khäúi lỉåüng ca âéa âäúi våïi trủc ca nọ :
J =
∫∫
ρρ=ρ
Vm
dvdm.





trong âọ :ρ
0
- khäúi lỉåüng riãng v ρ - khong cạch tỉì phán täú dv âãún trủc quay.
Gi θ
a
l gọc xồõn âån vë ca âéa do momen xồõn âån vë tạc dủng vo âéa gáy ra θ
z
l gọc xồõn
âån vë ca âéa do momen xồõn âån vë tạc dủng tải màût càõt ngang z gáy ra . Váûy gọc xồõn ϕ(t) ca âéa s
l :
ϕ(t) = θ
z
.M(t) -θ
a
β









ϕ
θ
ϕ

−

Hay : )t(M
J
)t(
Jdt
)t(d
.
J
dt
)t(d
a
z
a
θ
θ
=ϕ
θ
+
ϕβ
+
ϕ 



Âàût : 2

β
α =





θ
ω


=
Ta âỉåüc phỉång trçnh vi phán ca dao âäüng xồõn nhỉ sau :
)t(M)t(
dt
)t(d
.
dt
)t(d
z
θω=ϕω+
ϕ
α+
ϕ



 (11-20)
Phỉång trçnh (11-20) hon ton giäúng nhỉ phỉång trçnh (11-7). Vç váûy, mi kãút qu thu âỉåüc våïi
phỉång trçnh (11-7) âãưu cọ thãø ạp dủng cho dao âäüng xồõn, chè cáưn chụ thay âäøi khäúi lỉåüng m bàòng
momen quạn tênh khäúi lỉåüng J, våïi cạc chuøn vë âån vë δ
a
, δ
z

bàòng cạc gọc xồõn âån vë θ
a,
θ
z
v âäü vng
y(t) bàòng gọc xồõn ϕ(t).

 11.5 TÄÚC ÂÄÜ QUAY TÅÏI HẢN CA TRỦC.

Khi thiãút kãú nhỉỵng chi tiãút mạy cọ täúc âäü quay låïn, cáưn phi
chụ âãún tạc dủng ca lỉûc li tám sinh ra do sỉû lãûch tám ca cạc khäúi
lỉåüng âàût trãn trủc quay. Sỉû lãûch tám cọ thãø do váût liãûu khäng âäưng
cháút hồûc do chãú tảo.
Xẹt mäüt trc quay mang mäüt bạnh xe cọ khäúi lỉåüng m âàût lãûch
tám trủc mäüt âoản . Vç lỉûc li tám do bn thán khäúi khäúi lỉåüng ca trủc


l ráút nh, cọ thãø b qua, nãn trủc chè cn chëu tạc dủng ca lỉûc li tám do khäúi lỉåüng ca bạnh xe âàût lãûch
tám gáy ra ( H.11-17). Lỉûc li tám âọ bàòng :
P
1
= m( y + e) Ω
2
trong âọ : Ω - täúc âäü quay ca trủc.
y - âäü vng ca trủc tải màût càõt ngang cọ mang bạnh xe.
Nãúu gi δ l âäü vng tải màût càõt ngang cọ mang bạnh xe do lỉûc âån vë âàût tải âọ gáy ra ( âàût
vng gọc våïi trủc ) thç :
y = δP
1
= mδ ( y + e) Ω

2

Rụt ra : y =



Ω−
Ω
δ



Ta tháúy ràòng nãúu :

th
m


Ω=
δ
=Ω

thç âäü vng s ráút låïn. Âiãưu âọ cho phẹp kãút lûn ràòng nãúu täúc âäü quay ca trủc âảt giạ trë tåïi hản :

δ


=Ω
(11-21)
thç âäü vng ca trủc s ráút låïn. Ω

th
= ω l táưn säú riãng ca dao âäüng ngang ca hãû. Nhỉng nãúu tiãúp tủc
tàng giạ trë ca Ω thç âäü vng ca trủc s gim. ta gi täúc âäü quay tênh theo (11-21) l täúc âäü quay tåïi hản
ca trủc v k hiãûu l Ω
th
.
Nãúu Ω >> ω, táưn säú quay låïn hån táưn säú riãng ca dao âäüng ngang nhiãưu thç y ≈ -e, lục âọ tám ca
bạnh xe s nàòm trãn trủc quay. Âiãưu ny cọ nghéa quan trng trong chãú tảo túc-bin v mạy li tám.

 11.6 VA CHẢM ÂỈÏNG CA HÃÛ MÄÜT BÁÛC TỈÛ DO

Hiãûn tỉåüng va chảm l hiãûn tỉåüng lỉûc tạc dủng tỉïc thåìi lm váûn täúc ca hãû ân häưi thay âäøi âäüt
ngäüt.
Thê dủ mäüt váût nàûng Q råi tỉì âäü cao h xúng dáưm ( H.11-18 ).
Khi va chảm váûn täúc ca khäúi lỉåüng trãn dáưm thay âäøi âäüt ngäüt, nãn
dáưm cọ gia täúc låïn. Vç khäng thãø xạc âënh âỉåüc gia täúc ca hãû khi va
chảm nãn ta khäng thãø ạp dủng ngun l Âa-lam-be âãø xạc âënh âäü
vng låïn nháút khi va chảm m phi dỉûa vo ngun l bo ton nàng
lỉåüng
Âãø âån gin bi toạn, ta thỉìa nháûn cạc gi thuút sau :
1- Khi va chảm váût liãûu váùn tn theo âënh lût Hooke.
2- Moduyn ân häưi E ca váût liãûu khi chëu ti trng ténh v khi chëu va chảm l nhỉ nhau.
Gi Q - trng lỉåüng ca váût råi.
P - trng lỉåüng ca váût âàût trãn hãû ân häưi.
Coi trng lỉåüng ca dáưm ân häưi khäng âạng kãø so våïi trng lỉåüng P. Nhỉ váûy ta âỉåüc hãû mäüt báûc
tỉû do.
Chia quạ trçnh va chảm thnh 2 giai âoản:
a) Giai âoản thỉï nháút: Giai âoản trng lỉåüng Q cu váût råi vỉìa chảm trng lỉåüng P âàût trãn hãû ân
häưi.
H.11

-
18


Goỹi v - vỏỷn tọỳc cuớa troỹng lổồỹng Q trổồùc khi va chaỷm vaỡo troỹng lổồỹng P. Khi Q vổỡa chaỷm P thỗ vỏỷn
tọỳc v õoù giaớm õi õọỹt ngọỹt cho õóỳ luùc Q vaỡ P cuỡng chuyóứn õọỹng vồùi vỏỷn tọỳc c. Xem sổỷ mỏỳt maùt nng lổồỹng
khi va chaỷm ( do phaùt sinh nhióỷt, do bióỳn daỷng ồớ chọự tióỳp xuùc giổợa Q vaỡ P ) laỡ khọng õaùng kóứ. Nóỳu hióỷn
tổồỹng va chaỷm laỡ tổùc thồỡi thỗ theo õởnh luỏỷt baớo toaỡn õọỹng lổồỹng ồớ thồỡi õióứm va chaỷm :






+
=




+
= (a)
b) Giai õoaỷn thổù hai : giai õoaỷn caớ hai troỹng lổồỹng P vaỡ Q cuỡng chuyóứn õọỹng vồùi vỏỷn tọỳc c õóỳn luùc
caớ hai troỹng lổồỹng õoù dổỡng laỷi do sổùc caớn cuớa hóỷ õaỡn họửi. oaỷn õổồỡng maỡ Q vaỡ P vổỡa thổỷc hióỷn chờnh laỡ
chuyóứn vở y
õ
lồùn nhỏỳt taỷi mỷt cừt va chaỷm ( chuyóứn vở õọỹng) . Trong giai õoaỷn naỡy õọỹng nng cuớa hóỷ laỡ :










+
= (b)
Hay kóứ õóỳn (a) :









V.
Q
P
g
Q
PQ
Q
.V
g
PQ
.k









+
=








+
+
=
(c)
Khi Q vaỡ P cuỡng di chuyóứn mọỹt õoaỷn y
õ
( dỏửm bở voợng ), thóỳ nng cuớa hóỷ giaớm laỡ :
T= ( Q + P )y
õ
(d)
Nóỳu goỹi U laỡ thóỳ nng bióỳn daỷng õaỡn họửi cuớa hóỷ nhỏỷn õổồỹc do va chaỷm, thỗ theo õởnh luỏỷt baớo toaỡn
nng lổồỹng, ta õổồỹc :
U = K + T (e)

tổùc laỡ thóỳ nng bióỳn daỷng õaỡn họửi cuớa hóỷ bũng nng lổồỹng maỡ hóỷ nhỏỷn õổồỹc tổỡ bón ngoaỡi.
Thóỳ nng bióỳn daỷng õaỡn họửi õổồỹc U tờnh nhổ sau: luùc õỏửu trón dỏửm coù sụn troỹng lổồỹng, thóỳ nng
bióỳn daỷng õaỡn họửi luùc õoù bũng :
U
1
=
t
y.P



Trong õoù y
t
laỡ chuyóứn vở tộnh taỷi mỷt cừt va
chaỷm do P gỏy ra (H.11-19a). Nóỳu goi laỡ chuyóứn vở
tộnh do lổỷc õồn vở õỷt ồớ mỷt cừt va chaỷm gỏy ra thỗ
(H.11-19b):
y
t
= P. (f)
Hay:

=
t
y
P

Vỏỷy: U
1
=


t
y





Khi va chaỷm, chuyóứn vở toaỡn phỏửn ồớ mỷt cừt va
chaỷm laỡ y
t
+ y
1
. Theo caùc giaớ thuyóỳt trón, thóỳ nng bióỳn
daỷng õaỡn họửi luùc õoù seợ laỡ :

(
)

+
=




õt
yy
U




Nhổ vỏỷy, thóỳ nng bióỳn daỷng õaỡn họửi do va chaỷm bũng :

(
)

+

=



+
==
õtõtõt
y.yyyyy
UUU









hay kóứ õóỳn (b) : U =
õ
2
õ

y.P
2
y
+

(g)
Mang (b), (c), (g) vaỡo (d) ta õổồỹc :
õõ
õ
y)PQ(v
)
Q
P
(g
Q
y.P
y
++
+
=+








Hay :





=








+


Q
P
g
v.Q.
y.Qy
õõ
(h)
Nóỳu goỹi
t
laỡ chuyóứn vở tộnh do troỹng lổồỹng Q õổồỹc õỷt mọỹt caùch tộnh lón hóỷ gỏy ra, thỗ ta coù :

t
= Q. (11-22)
Vỏỷy phổồng trỗnh (h) seợ laỡ :





=








+








(1)
Nghióỷm cuớa (1) laỡ :



















+

++=
Vỗ y
õ
khọng thóứ laỡ mọỹt sọỳ ỏm, nón ta chố lỏỳy nghióỷm dổồng. Sau khi thu goỹn ta õổồỹc :























+
++=
Q
P
g
v
y
t
tõ




Hóỷ sọỳ õọỹng k
õ
, tổùc laỡ sọỳ lỏửn chuyóứn vở õọỹng ( do va chaỷm ) lồùn hồn chuyóứn vở tộnh do troỹng lổồỹng
rồi Q õỷt mọỹt caùch tộnh gỏy ra, bũng :







=
Do õoù :








+
++=
Q
P
g
v
k
t
õ



(11-23)

Caùc trổồỡng hồỹp õỷt bióỷt:
1- Nóỳu troỹng lổồỹng Q rồi tổỡ õọỹ cao H : v
2
= 2gH thỗ :










+
++=









(11-24)

2- Nãúu trng lỉåüng Q âàût âäüt ngäüt vo hãû, tỉïc l H = 0. Khi âọ tỉì (11-24) ta cọ :
k
â
= 2

ỈÏng sút phạp v tiãúp do ti trng va chảm bàòng têch hãû säú âäüng våïi ỉïng sút phạp v tiãúp do
trng lỉåüng Q âàût mäüt cạch ténh lãn hãû gáy ra :
δ

â
= k
â
.σ
â
(11-25)



τ
τ

=

Nãúu trãn hãû cn cọ ti trng ténh ( thê dủ trng lỉåüng P ) thç ỉïng sút täøng cäüng s bàòng täøng ỉïng
sút âäüng ( ỉïng sút do ti trng va chảm ) σ
â
v ỉïng sút do ti trng ténh âọ .
Tỉì cäng thỉïc (11-23), (11-24) cho tháúy ràòng nãúu chuøn vë ténh ∆
t
cng låïn, tỉïc hãû cọ âäü cỉïng
cng nh, thç hãû säú âäüng cng nh. Váûy mún gim hãû säú âäüng ta phi gim âäü cỉïng ca hãû hay âàût tải
màût càõt va chảm ca hãû nhỉỵng bäü pháûn cọ âäü cỉïng nh nhỉ l
xo v.v âãø tàng 
∆
.
Thê dủ 11-4. Mäüt váût nàûng trng lỉåüng Q = 4 kN khi råi
åí âäü cao H = 4cm xúng giỉỵa nhëp mäüt dáưm âàût trãn hai gäúi tỉûa
nhỉ trãn hçnh H.11-20. Xạc âënh ỉïng sút låïn nháút åí màût càõt
ngang ca dáưm ngay chäø va chảm. Biãút: chiãưu di ca dáưm l =

2m, dáưm cọ màût càõt ngang hçnh chỉỵ I säú 20a. Moduyn ân häưi
ca dáưm E 2.10
4
kN/Cm
2
.
Bi gii.
Âäü vng ténh ∆
t
åí giỉỵa nhëp dáưm do ti trng va chảm Q tạc dủng ténh gáy ra bàòng:
Cm,
.
.
.
.
EJ
Q
t






===∆
l

Vç trng lỉåüng Q råi tỉì âäü cao H = 4Cm , nãn theo cäng thỉïc (11-24) ta âỉåüc hãû säú âäüng :

2,23

0164.0
4.2
11
H2
11k
t
â
=++=
∆
++=

Vç trng lỉåüng P = 0.
ỈÏng sút phạp ténh åí màût càõt ngang giỉỵa nhëp do trng lỉåüng Q tạc dủng ténh
lãn dáưm bàòng :







Cm/KN,
.
.
W
Q
W
M
t
====σ

l

ỈÏng sút âäüng do va chảm .


 Cm/KN,,.,.k
tââ
==σ=σ

 11.7 VA CHẢM NGANG CA HÃÛ MÄÜT BÁÛC TỈÛ DO .

Xẹt mäüt dáưm chëu ti trng va chảm ngang nhỉ trãn hçnh H.11-21.
Gi Q - Trng lỉåüng váût va chảm
P - Trng lỉåüng âàût trỉåïc trãn dáưm.
Quạ trçnh va chảm váùn thỉûc hiãûn qua hai giai âan nhỉ trong va chảm âỉïng .
Giai âoản thỉï nháút: khi vỉìa va chảm, theo âënh lût bo ton âäüng lỉåüng :
H.11
-
20

H.11
-
21


v
PQ
Q
c :ruùt rac
g

P
Q
v
g
Q
+
=
+
=
Trong õoù : v - Tọỳc õọỹ cuớa Q trổồùc khi va chaỷm
c - tọỳc õọỹ chung cuớa Q vaỡ P khi vổỡa va chaỷm.
Giai õoaỷn thổù hai: tổỡ khi Q vaỡ P chuyóứn õọỹng cuỡng mọỹt tọỳc õọỹ c õóỳn luùc dổỡng. ọỹng nng cuớa hóỷ
luùc naỡy :






v
)Q/P(g
Q
c
g
P
Q
K
+
=
+

= (a)
Vỗ Q vaỡ P õóửu di chuyóứn theo phổồng ngang nón thóỳ nng T= 0 (vỗ phổồng cuớa troỹng lổồỹng thúng
õổùng , phổồng cuớa chuyóứn vở nũm ngang, chuùng vuọng goùc vồùi nhau).
Theo õởnh luỏỷt baớo toaỡn nng lổồỹng :
U = K (b)
Trong õoù : U - thóỳ nng bióỳn daỷng õaỡn họửi cuớa hóỷ khi va chaỷm .
Tờnh U nhổ sau: Tuy P õỷt trổồùc trón dỏửm, nhổng P khọng laỡm dỏửm bióỳn daỷng theo phổồng ngang,
nón U
1
= 0. Khi va chaỷm chuyóứn vở taỷi mỷt cừt va chaỷm laỡ y
õ
nón luùc õoù thóỳ nng bióỳn daỷng õaỡn họửi:
U
2
=





õ
y
(c)
Trong õoù - chuyóứn vở ngang ồớ mỷt cừt va chaỷm do lổỷc õồn vở taùc duỷng theo phổồng ngang taỷi õoù
gỏy ra.
U = U
2
- U
1
=






õ
y
(d)
Mang (a) , (d) vaỡo (b) :




v
)Q/P(g
Q
+
=





õ
y
(g)
Nóỳu goỹi
t
- chuyóứn vở tộnh theo phổồng ngang taỷi mỷt cừt va chaỷm do Q taùc duỷng tộnh theo
phổồng ngang cuợng taỷi õoù gỏy ra :


t
= Q. (11-26)
Do õoù (g) coù thóứ vióỳt :



v
)Q/P(g
t
y
õ
+

=
hay chố lỏỳy dỏỳu dổồng :
)Q/P(g.t
v
y
tõ
+
=



ọỳi vồùi trổồỡng hồỹp naỡy, hóỷ sọỳ õọỹng K
õ
bũng :

)Q/P(g.t

v
t
y
K
õ
õ
+
=

=


(11-27)
Thờ duỷ :11-5 . Xaùc õởnh ổùng suỏỳt phaùp õọỹng , ổùng suỏỳt tióỳp õọỹng vaỡ
chuyóứn vở õọỹng lồùn nhỏỳt trong thanh gaợy khuùc bióứu dióựn trón hỗnh H.11-22 .
Bióỳt : m = 1 kg, v
0
= 4 m/s, m
1
= 20kg, d = 2 cm,
l = 0,4 m, E = (5/2).G = 2.10
5
MN/m
2

Baỡi giaới :
ỏy laỡ baỡi toaùn va chaỷm ngang nón hóỷ sọỳ õọỹỹng tờnh theo cọng thổùc (11-27) :
H.11
-
22




t)m/m(g
v
K
õ
+
=




Trong õoù : t - chuyóứn vở cuớa õióứm õỷt khọỳi lổồỹng m
1
do troỹng lổồỹng mg cuớa khọỳi lổồỹng va chaỷm
taùc duỷng mọỹt caùch tộnh theo phổồng vuọng goùc vồùi truỷc thanh gỏy ra:


cm,m.,
,.,
.
,.,.
d
G
.mg
d
G
.mg
d

E
.mg
t























=













+=












+

=

+

=


l
l
lll

Vỏỷy :








,
.,)(,
K
õ

+
=


Thanh bở uọỳn, nón ổùng suỏỳt phaùp lồùn nhỏỳt trong õoù bũng :






m/MN

,.,
,
.
,
,
W
mg
.kmax.kmax
a
õtõõ
====
l

Thanh õổùng bở xoừn nón ổùng suỏỳt tióỳp lồùn nhỏỳt bũng :






m/MN
,.,
,
.
,
,
W
mg
.kmax.kmax
õtõõ

====

l

Chuyóứn vở cuớa õióứm õỷt khọỳi lổồỹng m
1
:
y
õ
= k
õ
.y
t
=11,2.0,0613 = 0,69 Cm .


CU HOI N TP

11.1 Thióỳt lỏỷp cọng thổùc tờnh ổùng suỏỳt trong trổồỡng hồỹp chuyóứn õọỹng thúng vồùi gia tọỳc khọng õọứi.
11-2. Thióỳt lỏỷp cọng thổùc tờnh ổùng suỏỳt trong trổồỡng hồỹp chuyóứn õọỹng quay vồùi vỏỷn tọỳc goùc khọng õọứi.
11-3. Thióỳt lỏỷp phổồng trỗnh vi phỏn dao õọỹng tọứng quaùt cuớa hóỷ õaỡn họửi mọỹt bỏỷc tổỷ do. Yẽ nghộa cuớa caùc hóỷ
sọỳ trong phổồng trỗnh.
11-4. Cọng thổùc xaùc õởnh tỏửng sọỳ dao õọỹng tổỷ do khọng coù lổỷc caớn cuớa hóỷ õaỡn họửi mọỹt bỏỷc tổỷ d. Cho vờ duỷ
minh hoỹa.
11-5. Vióỳt cọng thổùc tờnh bión õọỹ dao õọỹng cổồợng bổùc cuớa hóỷ õaỡn họửi mọỹt bỏỷc tổỷ do. Yẽ nghộa vaỡ caùch xaùc
õởnh caùc thaỡnh phỏửn trong cọng thổùc.
11-6. Hióỷn tổồỹng cọỹng hổồớng. Bióỷn phaùp traùnh hióỷn tổồỹng cọỹng hổồớng. Cho vờ duỷ minh hoỹa.
11-7. Vióỳt cọng thổùc xaùc õởnh hóỷ sọỳ õọỹng k
õ
trong trổồỡng hồỹp dao õọỹng cổồợng bổùc coù kóứ õóỳn lổỷc caớn cuớa

hóỷ õaỡn họửi mọỹt bỏỷc tổỷ do. Caùch xaùc õởnh noù.
11-8. Phổồng hổồùng giaới baỡi toaùn va chaỷm õổùng.
11-9. Thióỳt lỏỷp cọng thổùc hóỷ sọỳ õọỹng k
õ
trong trổồỡng hồỹp va chaỷm õổùng cuớa hóỷ õaỡn họửi mọỹt bỏỷc tổỷ do.
11-10. Thióỳt lỏỷp cọng thổùc hóỷ sọỳ õọỹng k
õ
trong trổồỡng hồỹp va chaỷm ngang cuớa hóỷ õaỡn họửi, mọỹt bỏỷc tổỷ do .