Hoàng Minh Kiên
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (268.3 KB, 18 trang )
Sử dụng phơng pháp tọa độ
trong không gian giải các bài toán
hình học không gian
Chuyên đề
Sử dụng phơngpháp tọa độ không gian giải các
bài toán hình học không gian
Kiểm tra
1. Cho hình lập phơng ABCD A'B'C'D'.
CMR AC' vuông góc mp (A'BD)
2. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau
AB = 3, AC = AD = 4. Tính khoảng cách từ A tới mp (BCD).
Đa bài toán vào hệ trục tọa độ OXYZ
z
x
y
A'
D'
B
B'
D
C
A
O
C'
1. Cho hình lập phơng ABCD A'B'C'D'.
CMR: AC' vuông góc mặt phẳng (A'BD)
Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz
sao cho O A; B Ox; D Oy
và A' Oz Giả sử hình lập ph#ơng
ABCD A'B'C'D' có cạnh là 1 đơn vị
A(0;0;0), B (1;0;0), D(0;1;0), A' (0;0;1) C'(1;1;1)
Ph#ơng trình đoạn chắn của mặt phẳng (A'BD):
x + y + z = 1 hay x + y + z 1 = 0
Pháp tuyến của mặt phẳng (A'BC): n
(A'BC)
= (1;1;1) mà AC' = (1;1;1)
Vậy AC' vuông góc (A'BC)
A'
D'
C'
C
B
A
D
B'
I
O
I'
Z
Y
X
2. Tứ diện ABCD: AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau;
AB = 3; AC = AD= 4
Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD)
O
B
y
C
x
D
z
A
Lời giải:
+ Chọn hệ trục Oxyz sao cho A O
D Ox; C Oy và B Oz
A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0)
Ph#ơng trình đoạn chắn của (BCD) là:
1
4 4 3
x y z
+ + =
3x + 3y + 4z 12 = 0
Khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) là:
433
12
0.40.30.3
222
++
++
=
))
(;( BCDA
d
34
12
=
d
))
(;( BCDA
=
17
6
34
II. Phơng pháp giải:
Để giải một bài toán hình học không gian bằng phơng pháp
sử dụng tọa độ Đề các trong không gian ta làm nh sau:
* Bớc 1: Thiết lập hệ tọa độ thích hợp, từ đó suy ra tọa độ các
điểm cần thiết.
* Bớc 2: Chuyển hẳn bài toán sang hình học giải tích trong
không gian. Bằng cách:
+ Thiết lập biểu thức cho giá trị cần xác định.
+ Thiết lập biểu thức cho điều kiện để suy ra kết quả cần
chứng minh.
+ Thiết lập biểu thức cho đối tợng cần tìm cực trị.
+ Thiết lập biểu thức cho đối tợng cần tìm quỹ tích
v.v
III. Luyện tập.
Bài 1: Cho hình chóp SABC, các cạnh đều có độ dài bằng 1, O là
tâm của ABC. I là trung điểm của SO.
1. Mặt phẳng (BIC) cắt SA tại M. Tìm tỉ lệ thể tích của tứ diện
SBCM và tứ diện SABC.
2. H là chân đ#ờng vuông góc hạ từ I xuống cạnh SB. CMR: IH đi
qua trọng tâm G của SAC.
Lời giải:
Chọn hệ trục Oxyz sao cho O là gốc tọa độ
AOx, S Oz, BC//Oy
Tọa độ các điểm:
3
( ;0;0)
3
A
3 1
( ; ;0)
6 2
B
3 1
( ; ;0)
6 2
C
6
(0;0 )
3
S
6
(0;0; )
6
I
z
x
y
I
O
B
A
C
S
M
1. Ta cã
(0;1;0)BC
=
uuur
3 1 6
( ; ; )
6 2 6
IC
= − −
uur
⇒ Ph#¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (IBC) lµ:
6 3
, ( ;0; )
6 6
BC IC
⇒ = −
uuur uur
6 3 6
( 0) 0( 0) ( ) 0
6 6 6
x y z
− − + − + − =
Hay
6
2 0
6
z
− + − =
+L¹i cã:
3 6
( ;0; ) // (1;0; 2)
3 3
SA
SA SA u
= − ⇒ −
uur uur r
Ph#¬ng tr×nh ®#êng th¼ng SA
3
;
3
x t
= +
0; 2y z t
= = −
z
x
y
I
O
B
A
C
S
M
+ Täa ®é ®iÓm M lµ nghiÖm cña hÖ
Thay (1) (2) (3) vµo (4) cã:
⇒ M n»m trªn ®o¹n SA vµ
3
3
x t
= +
0y
=
2z t
= −
(1)
(2)
(3)
3 6 3 6
; 0; ( ;0; )
12 4 12 4
x y z M
⇒ = = = ⇒
3 6
( ;0; ) 4
12 12
SM SA SM
⇒ = − ⇒ =
uuur uur uuur
1
4
SM
SA
=
( )
1
( ) 4
SBCM
SABC
V
V
⇒ =
)4(0
6
6
2
=−+−
zx
0
=
6
6
3
6
−−
2 t
−
2 t
−
⇒
t
=
4
3
−
z
x
y
I
O
B
A
C
S
M
2. Do G lµ träng t©m cña ∆ASC
⇒ SG ®i qua trung ®iÓm N cña AC
⇒ GI ⊂ (SNB) ⇒ GI vµ SB ®ång ph¼ng (1)
Ta l¹i cã täa ®é G
3 1 6
( ; ; )
18 6 18
GI
⇒ = − −
uur
3 1 6
( ; ; )
6 2 3
SB
⇒ = − − −
uur
. 0GI SB GI
⇒ = ⇒
uur uur
SB (2)
Tõ (1) vµ (2) ⇒ GI SB t¹i H
3 1 6
( ; ; )
18 6 9
B
z
x
y
I
O
H
A
C
S
G
N
z
x
y
I
O
B
A
C
S
z
x
y
K
O
B
A
C
S
Bài 2: Cho hình lăng trụ ABCD A
1
B
1
C
1
có đáy là tam giác đều
cạnh a. AA
1
= 2a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi D là trung
điểm của BB
1
; M di động trên cạnh AA
1
. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất của diện tích MC
1
D.
A(0;0;0), B(0;a;0); A
1
(0;0;2a)
Lời giải:
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A O; B Oy; A
1
Oz.
Khi đó.
1
3
( ; ; 2 )
2 2
a a
C a
và D(0;a;a)
Do M di động trên AA
1
, tọa độ M (0;0;t)
với t [0;2a]
Ta có
1
1
1
,
2
DC M
S DC DM
=
uuur uuuur
z
y
C
1
x
M
A
A
1
B
1
B
D
C
Ta cã:
1
3
( ; ; )
2 2
(0; ; )
a a
DC a
DM a t a
= −
= − −
uuur
uuuur
,
2
a
DG DM
a
−
⇒ =
−
uuur uuuur
a
t a
−
;
2
a
ta
−
3
0
a
3
;
2
0
a
2
a
a
−
÷
÷
÷
−
( 3 ; 3( ); 3)
2
a
t a t a a
−
= − −
2 2 2
, ( 3 ) 3( ) 3
2
a
DG DM t a t a a
⇒ = − + − +
uuur uuuur
2 2
4 12 15
2
a
t at a= − +
1
2 2
1
. . 4 12 15
2 2
DC M
a
S t at a
∆
= − +
z
y
C
1
x
M
A
A
1
B1
B
D
C
z
y
C
1
x
M
A
A
1
B
1
B
D
C
Gi¸ trÞ lín nhÊt hay nhá nhÊt cña S
∆DC1M
tïy thuéc vµo gi¸ trÞ hµm sè
f(f) = 4t
2
– 12at + 15a
2
XÐt f(t) = 4t
2
– 12at + 15a
2
(t ∈[0;2a])
f'(t) = 8t – 12a
f'(t) = 0 ⇔ t =
3
2
a
VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña = khi t =0 hay M≡ A
Gi¸ trÞ lín nhÊt cña = khi t = hay
2
6
4
a
1
3
4
MA
AA
=
t -∞ 0 2a + ∞
f'(t) - 0 +
f(t) 15a
2
2
3a
2
15
4
a
3
2
a
7a
2
6a
2
1
DC M
S
∆
1
DC M
S
∆
z
y
C
1
x
M
A
A
1
B
1
B
D
C
O
z
y
C
1
x
M
A
A
1
B
1
B
D
C
O
Bài 3: Cho mặt phẳng (P) và 2 điểm A và B cố định có hình chiếu trên
(P) là A
1
và B
1.
Giả sử AA
1
= BB
1
= A
1
B
1
= a. Điểm M thay đổi trong mặt phẳng
(P) sao cho MA và MB tạo những góc bằng nhau với mặt phẳng (P).
Tìm quỹ tích điểm M.
2a
2
a
Lời giải: Chọn hệ trục Oxyz sao cho O A
1
B
1
Oy, A Oz, (P) (Oxy)
A
1
(0;0;0), A(0;0; ); B
1
(0;a;0)
Và B( 0;a;a)
Vì M(P) M(x;y;0)
x
y
z
A
B
B
1
M
A
1
(P)
Theo đề bài ta có:
ã ã
1 1
AMA BMB
=
ã ã
1 1
1 1
1 1
2 2 2 2
2
( )
tg AMA tg BMB
AA BB
MA MB
a a
x y x y a
=
=
=
+ +
2 2 2 2
2 2 2
2 2( )
( 2 ) 2
x y a x y
x y a a
+ = +
+ =
Vậy: Quỹ tích điểm M là đ#ờng tròn (C) trong mặt phẳng (P) có tâm
I (I là điềm đối xứng của A qua B
1
) và bán kính R =
2a
z
x
y
A
B
B
1
M
A
1
(P)
IV. Bài tập về nhà:
- Thành thạo việc xác định hệ trục tọa độ cho bài toán.
- Xem lại các bài tập đã chữa trên lớp.
- Bài tập: 9(103), 6,7 (112) SGK.
Bài tập làm thêm:
1. Cho tứ diện đều ABCD có O là trọng tâm ABC; G là trọng tâm
ABC; I là trung điềm của OD; K là chân đ#ờng góc hạ từ I xuống
DC. CMR: I là trung điểm của KG.
2. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình thang vuông, đ#ờng cao
AB = a; BC = 2a; SA = a và vuông góc với đáy, SC vuông góc BD.
a. Tính AD.
b. Gọi M trên SA, đặt AM = t (o t a). Tính độ dài đ#ờng cao DE
của BDM theo a và t. Xác định để DE có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
- Tham khảo đề thi Đại học: (Không bắt buộc).
Câu III. Khối B 2004 CâuIII. Khối (A,B,D) 2003
Câu IV. Khối (A,B,D) - 2002
