Chuong IIIBai 5- Bai 6Ung dung hinh hoc va vat ly cua tich phan
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (104.27 KB, 14 trang )
ζ
4 – Ứng Dụng Hình Học & Vật
Lý
Của Tích Phân
A – Diện Tích Hình
Phẳng
Diện Tích Hình Phẳng
Phần 1: Kiểm Tra Bài Cũ
2)Công thức:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng
x = a; x = b và đồ thò của hai hàm số
Liên tục trên được tính theo công thức
1 2
( ); ( )y f x y f x= =
[ ]
,a b
1 2
( ) ( ) (1)
b
a
S f x f x dx= −
∫
Phần 2: Nội Dung Bài Mới
Diện Tích Hình Phẳng
3.Tính diện tích hình phẳng theo cơng thức :
1 2
( ) ( ) (1)
b
a
S f x f x dx= −
∫
4) Các Ví Dụ:
a)
Ví Dụ 1:
Tính diện tích hình phẳng nằm giữa (c) : y = x3 ;
y = 0 ; x = - 1 ; x = 2
Diện Tích Hình Phẳng
Giaûi
Ñaët f
1
(x) = x3
f
2
(x) =0
f
1
(x) – f
2
(x) =0
x3 – 0 = 0
x = 0
( ) ( )
0 2
3 3
1 0
0 2
4 4
1 0
0 0
4 4
1 16 17
4 4 4
S x dx x dx
x x
−
−
= − + −
= +
÷ ÷
= − + =
∫ ∫
⇔
⇔
∈
[ ]
1;2−
ñvdt
b) Ví dụ 2 :
Tính diện tích hình phẳng nằm giữa hai đường
f
1
(x) = x3 -3x và f
2
(x) = x
Diện Tích Hình Phẳng
Giaûi
3
1 2
3
( ) ( ) 0 3 0
2
4 0 0
2
f x f x x x x
x
x x x
x
− = ⇔ − − =
= −
⇔ − = ⇔ =
=
( ) ( )
2
3
2
0 2
3 3
2 0
0 2
4 4
2 2
2 0
4
4 4
2 2
4 4
4 8 4 8 4 4 8
S x x dx
x x dx x x dx
x x
x x
−
−
−
= −
= − + −
= − + −
÷ ÷
= − + + − = + =
∫
∫ ∫
ñvdt
5 ) Chú ý :
a) Chú ý 1 : Diện tích hình phẳng giới hạn
bởi nhiều đường
Vẽ các đường lên một hệ trục tọa độ
Chia diện tích ra nhiều vùng nhỏ và sử
dụng công thức (3)
Diện Tích Hình Phẳng
Ví dụ :
Cho (c) : y = -x2 + 4x – 3
a) Vẽ (c) trong mặt phẳng oxy
b) Viết phương trình tiếp tuyến (T
1
) và (T
2
) với (c) lần lượt tại các điểm M (0 ; -3 ) và N (3 ; 0)
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (c) và (T
1
), (T
2
)
Diện Tích Hình Phẳng
a) Ñænh S ( 2 , 1 )
0 3
0
3
4
x y
x
y
x
= ⇒ = −
=
= − ⇒
=
2
1
0 4 3 0
3
x
y x x
x
=
= ⇔ − + − = ⇔
=
Giaûi
b) Ta coù y’= -2x + 4
Tieáp tuyeán (T1) vôùi (c) taïi
M coù phöông trình :
Tieáp tuyeán (T2) vôùi (c) taïi N
coù phöông trình :
3 4( 0) 4 3y x y x+ = − ⇔ = −
0 2( 3) 2 6y x y x− = − − ⇔ = − +
c)
3
2
3
2
3
3 3
0
3 9
3 3
9
4
x x
x x
= − + − +
÷ ÷
=
( ) ( )
3
2
3
2
3
2 2
0
4 3 4 3 2 6 4 3S x x x dx x x x dx
= − − − + − + − + − − + −
∫ ∫
( )
3
2
3
2
3
2 2
0
6 9x dx x x dx= − + − +
∫ ∫
ñvdt
b) Chú ý 2 :
Khi diện tích S ở vò trí phức tạp ta dùng tính chất:
Diện tích S bất biến qua một phép dời hình
Ví dụ :
Tính diện tích hình tròn tâm tùy ý và bán kính R
Diện Tích Hình Phẳng
Mọi đường tròn có tâm tùy ý và bán kính R đều có cùng
diện tích. Nên ta cần tính diện tích của đường tròn (c)
tâm O bán kính R là đủ
(c) : x2 +y2 =R2 (1)
( )
2 2
1 1
2 2
2 2
( ) ( )
(1)
( ) ( )
y f x R x c
R x R
y f x R x c
= = −
⇔ − ≤ ≤
= = − −
1 2
( ) ( ) ( )c c c= ∪
1 2
( ) ( ) 0
x R
f x f x
x R
= −
− = ⇔
=
(
)
2 2 2 2
2 2
2
R
R
R
R
S R x R x dx
R x dx
−
−
= − + −
= −
∫
∫
sin 1
2
sin 1
2
x R t t
x R t t
π
π
= − ⇒ = − ⇒ = −
= ⇒ = ⇒ =
Đặt x = R sint; Với
,
2 2
t
π π
∈ −
cosdx R tdt=
Ta Có
( )
2
2
2 2
2 1 sin cosS R t R tdt
π
π
−
= −
∫
2 2
2 2
2
2
2 2 2
2 2
1 cos2
2 cos 2
2
sin2
2
t
R tdt R dt
t
R t R dvdt
π π
π π
π
π
π
− −
−
+
= =
= + =
÷
∫ ∫
Giải
