LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Năm học 2010- 2011

Cách học tốt mơn Tốn là phải làm nhiều , bên cạnh đó


 ( hehe ☺ )

Trang
1/19-LTðH-2010


Bài tập
Bài tậpBài tập
Bài tập

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC










































Sinh viên : Phan Sỹ Tân
Lớp : k16kkt3

GOOD LUCKD
GOOD LUCKDGOOD LUCKD
GOOD LUCKD


1. PHƯONG TRÌNH PHÁP LUỸ THỪA
1. PHƯONG TRÌNH PHÁP LUỸ THỪA1. PHƯONG TRÌNH PHÁP LUỸ THỪA
1. PHƯONG TRÌNH PHÁP LUỸ THỪA


Dạng 1 : Phương trình
0( 0)
A B
A B
A B
≥ ≥

= ⇔

=


Dạng 2: Phương trình
2
0
B

A B
A B
≥

= ⇔

=

Tổng qt:
2
2
0
k
k
B
A B
A B
≥

= ⇔

=


Dạng 3: Phương trình
0
) 0
2
A
A B C B

A B AB C

≥

+ + = ⇔ ≥


+ + =

(chuyển về dạng 2)
+)
(
)
3 3 3 3
3 3
3 .
A B C A B A B A B C
+ = ⇔ + + + =
(1)
và ta sử dụng phép thế :
3 3
A B C
+ =
ta được phương trình :
3
3 . .
A B A B C C
+ + =
(2)
Dạng 4:

3 2 1
3 2 1
;
k
k
A B A B A B A B
+
+
= ⇔ = = ⇔ =

Chú ý:
- Ph
ươ
ng trình (2) là ph
ươ
ng trình h
ệ
qu
ả
c
ủ
a ph tr (1).
-

Phép bình ph
ươ
ng 2 v
ế
c
ủ

a m
ộ
t ph
ươ
ng trình mà khơng có
đ
i
ề
u ki
ệ
n cho 2 v
ế
khơng âm là m
ộ
t phép bi
ế
n
đổ
i h
ệ
qu
ả
. Sau khi tìm
đượ
c nghi
ệ
m ta ph
ả
i th
ử

l
ạ
i.
Giải các phương trình sau:
1)
464
2
+=+− xxx
2)
xxx −=+− 242
2
3)
( )
943
22
−=−− xxx

4)
2193
2
−=+− xxx
5)
0323
2
=−−+− xxx
6) 2193
2
−=+− xxx
7)
51333 =−− xx

8)
xx −=−− 214

9)
333
511 xxx =−++
10)
333
11265 +=+++ xxx 11) 0321
333
=+++++ xxx 12) 321 −=−−− xxx
13) 8273 −=−−+ xxx 14) 012315 =−−−−− xxx 15) xxx 2532 −=−−+

LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
N
ă
m h
ọ
c 2010- 2011

Cách học tốt mơn Tốn là phải làm nhiều , bên cạnh đó


 ( hehe ☺ )

Trang
2/19-LT
ð
H-2010



Bài tập
Bài tậpBài tập
Bài tập


16)
01214 =−−− yy

17)
4x2x2x2x16x6x3
222
++=++++

18)
7925623
222
++=+++++ xxxxxx
19) 291 −+=+ xx

20)
279
22
=−−+ xx

(20)
3 3 1 2 2 2
x x x x
+ + + = + +


 Nhận xét :


N
ế
u ph
ươ
ng trình :
(
)
(
)
(
)
(
)
f x g x h x k x
+ = +
Mà có :
(
)
(
)
(
)
(
)
f x h x g x k x
+ = +
, thì ta bi

ế
n
đổ
i
ph
ươ
ng trình v
ề
d
ạ
ng
(
)
(
)
(
)
(
)
f x h x k x g x
− = −
sau
đ
ó bình ph
ươ
ng ,gi
ả
i ph
ươ
ng trình h

ệ
qu
ả

(21)
3
2
1
1 1 3
3
x
x x x x
x
+
+ + = − + + +
+

 Nhận xét :

N
ế
u ph
ươ
ng trình :
(
)
(
)
(
)

(
)
f x g x h x k x
+ = +
Mà có :
(
)
(
)
(
)
(
)
. .
f x h x k x g x
=
thì ta bi
ế
n
đổ
i
(
)
(
)
(
)
(
)
f x h x k x g x

− = −
sau
đ
ó bình ph
ươ
ng ,gi
ả
i ph
ươ
ng trình h
ệ
qu
ả




2. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶT ẨN PHỤ
2. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶT ẨN PHỤ2. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶT ẨN PHỤ
2. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶT ẨN PHỤ



Dạng 1:

Các phương trình có dạng :

∗
∗∗
∗


. . 0
A B A B
α β γ
+ + =
, đặ
t
2
. .
t A B A B t
=
⇒
=


∗
∗∗
∗

. ( ) . ( ) 0
f x f x
α β γ
+ + =
, đặ
t
2
( ) ( )
t f x f x t
= ⇒ =



∗
∗∗
∗

.( )( ) ( ) 0
x b
x a x b x a
x a
α β γ
−
− − + − + =
−

đặ
t
2
( ) ( )( )
x b
t x a x a x b t
x a
−
= − ⇒ − − =
−

Chú ý:

∗
∗∗
∗


N
ế
u khơng có
đ
i
ề
u ki
ệ
n cho t, sau khi tìm
đượ
c x thì ph
ả
i th
ử
l
ạ
i

Bài 1.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau: 7)
xxxx 271105
22
−−=++

1) 2855)4)(1(

2
++=++ xxxx
2)
( )
732233
2
2
+−=−+− xxxx 3) 2252)5(
3 2
−−+=+ xxxx

4)
54224
22
+−=+− xxxx
5)
122)2)(4(4
2
−−=+−− xxxx
6)
122)6)(4(
2
−−=−+ xxxx

Bài 2.
Tìm m
để
ph
ươ
ng trình sau có nghi

ệ
m?
a)
mxxxx ++−=−+ 352)3)(21(
2
b)
(
)
(
)
31342
2
−=+−++− mxxxx

Bài 3.
Cho ph
ươ
ng trình:
2)1)(3(42
2
−=+−++− mxxxx

a. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình khi m = 12 b. Tìm m
để
ph
ươ

ng trình có nghi
ệ
m?
Bài 4.
Cho ph
ươ
ng trình:
m
3x
1x
)3x(4)1x)(3x( =
−
+
−++−

(ð3)

a. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình v
ớ
i m = -3 b. Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m?


Dạng 2:

Các phương trình có dạng:

(
)
0CBABA
2
=+±±±
ðặt
t
A B
= ±


Bài 1.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:

a)
(QGHN-HVNH’00)
xxxx −+=−+ 1
3
2
1
2

b)
35223132
2
+++=+++ xxxxx
- 2
LUYN THI I HC -CHNG VI: PHNG TRèNH CHA CN
N

m h

c 2010- 2011

Cỏch hc tt mụn Toỏn l phi lm nhiu , bờn cnh ủú


( hehe )

Trang
3/19-LT

H-2010


Baứi taọp
Baứi taọpBaứi taọp
Baứi taọp


c)
(AN01)

xxxxx 141814274926777
2
=++++
d)
616xx
2
4x4x
2
+=
++

e)
4
2
1
2
2
5
5 ++=+
x
x
x
x

(36)
g)
(TN- K
A, B
01)


7
2
1
2
2
3
3 +=+
x
x
x
x

h)
zzzzz 24)3)(1(231 =++++
i)
253294123
2
++=+ xxxxx

(KTQS01)

Bi 2.
Cho ph

ng trỡnh:
(
)
(
)
axxxx =+++ 8181


(HKTQD - 1998)

a. Gi

i ph

ng trỡnh khi a = 3. b. Tỡm a
ủ
ph

ng trỡnh
ủ
ó cho cú nghi

m.?
Bi 3.
Cho ph

ng trỡnh:

(
)
(
)
mxxxx =+++ 6363

(59)

a. Gi


i ph

ng trỡnh v

i m = 3. b. Tỡm m
ủ
ph

ng trỡnh cú nghi

m?
Bi 4.
Cho ph

ng trỡnh:
mxxxx =+++ )3)(1(31

(m-tham s

)

(HSP Vinh 2000)

a. Gi

i ph

ng trỡnh khi m = 2. b. Tỡm
ủ

ph

ng trỡnh
ủ
ó cho cú nghi

m.
Bi 5.
Tỡm a
ủ
PT sau cú nghi

m:
(
)
(
)
axxxx =+++ 2222

Tt c bi tp 2, 3, 4, 5 ta cú th sỏng to thờm nhng cõu hi hoc nhng bi tp sau:
a)

Tỡm a
ủ
ph

ng trỡnh
ủ
ó cho cú nghi


m duy nh

t? (

K c

n v
ủ
)
b)
Tỡm a
ủ
ph

ng trỡnh
ủ
ó cho vụ nghi

m?


Dng 3:

t n ph nhng vn cũn n ban ủu. (
Ph

ng phỏp
ủ
t


n ph

khụng hon ton
)


T

nh

ng ph

ng trỡnh tớch
(
)
(
)
1 1 1 2 0
x x x
+ + + =
,
(
)
(
)
2 3 2 3 2 0
x x x x
+ + + =

Khai tri


n v rỳt g

n ta s


ủ
c nh

ng ph

ng trỡnh vụ t

khụng t

m th

ng chỳt no,
ủ
khú c

a ph

ng trỡnh
d

ng ny ph

thu


c vo ph

ng trỡnh tớch m ta xu

t phỏt .
T


ủ
ú chỳng ta m

i
ủ
i tỡm cỏch gi

i ph

ng trỡnh d

ng ny .Ph

ng phỏp gi

i
ủ
c th

hi

n qua cỏc vớ d


sau .
Bi
1.
Gi

i ph

ng trỡnh :
(
)
2 2 2
3 2 1 2 2
x x x x
+ + = + +

Gii:


t
2
2
t x
= +
, ta cú :
( )
2
3
2 3 3 0
1

t
t x t x
t x
=

+ + =

=


Bi 2
. Gi

i ph

ng trỡnh :
( )
2 2
1 2 3 1
x x x x
+ + = +

Gii:

t :
2
2 3, 2
t x x t= +
Khi
ủ

ú ph

ng trỡnh tr

thnh :
(
)
2
1 1
x t x
+ = +
(
)
2
1 1 0
x x t
+ + =

Bõy gi

ta thờm b

t ,
ủ

ủ
c ph

ng trỡnh b


c 2 theo t cú

ch

n
:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
2 3 1 2 1 0 1 2 1 0
1
t
x x x t x t x t x
t x
=

+ + + = + + =

=


T

m

t ph

ng trỡnh
ủ
n gi


n :
(
)
(
)
1 2 1 1 2 1 0
x x x x
+ + + =
, khai tri

n ra ta s


ủ
c pt sau
Bi
3. Gi

i ph

ng trỡnh sau :
2
4 1 1 3 2 1 1
x x x x
+ = + +

Gi

i:

Nh

n xột :
ủ
t
1
t x
=
, pttt:
4 1 3 2 1
x x t t x
+ = + + +
(1)
Ta rỳt
2
1
x t
=
thay vo thỡ
ủ
c pt:
(
)
(
)
2
3 2 1 4 1 1 0
t x t x
+ + + + =


LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
N
ă
m h
ọ
c 2010- 2011

Cách học tốt môn Toán là phải làm nhiều , bên cạnh ñó


 ( hehe ☺ )

Trang
4/19-LT
ð
H-2010


Baøi taäp
Baøi taäpBaøi taäp
Baøi taäp


Nh
ư
ng không có s
ự
may m
ắ
n

ñể
gi
ả
i
ñượ
c ph
ươ
ng trình theo t
(
)
(
)
2
2 1 48 1 1
x x
∆ = + + − + −
không có
d
ạ
ng bình ph
ươ
ng .
Mu
ố
n
ñạ
t
ñượ
c m
ụ

c
ñ
ích trên thì ta ph
ả
i tách 3x theo
(
)
(
)
2 2
1 , 1
x x
− +

C
ụ
th
ể
nh
ư
sau :
(
)
(
)
3 1 2 1
x x x
= − − + +
thay vào pt (1) ta
ñượ

c:
Bài 4
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2
2 2 4 4 2 9 16
x x x
+ + − = +

Giải .

Bình ph
ươ
ng 2 v
ế
ph
ươ
ng trình:
( )
(
)
( )
2 2
4 2 4 16 2 4 16 2 9 16
x x x x
+ + − + − = +


Ta
ñặ
t :
(
)
2
2 4 0
t x
= − ≥
. Ta
ñượ
c:
2
9 16 32 8 0
x t x
− − + =

Ta ph
ả
i tách
(
)
(
)
2 2 2
9 2 4 9 2 8
x x x
α α α
= − + + −
làm sao cho

t
∆
có d
ạ
ng chính ph
ươ
ng .
Nhận xét :
Thông th
ườ
ng ta ch
ỉ
c
ầ
n nhóm sao cho h
ế
t h
ệ
s
ố
t
ự
do thì s
ẽ

ñạ
t
ñượ
c m
ụ

c
ñ
ích
Bài tập ñề nghị:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
1)
( )
122114
22
++=+− xxxx 2)
( )
121212
22
−−=−+− xxxxx
3)
361x12xx
2
=+++

4)
1x21x4x2x1
22
+
−
−
=

−
+
5)
2
113314 xxxx −+−+=−+

6)
1cossinsinsin
2
=+++ xxxx

7)
0
x
1
x3
x
1
1
x
1x
x2 =−−−−
−
+
8)
( ) ( )
yxyx
yx
xx ++=







++
+
−
222
cos413cos2
2
sin4.34

(9)
2 2
2 2
12 12
12
x x
x x
− + − =


Một số dạng khác.
1)
( ) ( )
(
)
2
2

4317319 +−+=+ xxx
2)
1
3
3
13
242
++−=+− xxxx 3)
131
23
−+=− xxx

4)
(
)
638.10
23
+−=+ xxx 5)
211
2
4
2
=−++−− xxxx
6)
0
2
12
2
2
12

2
6
4
=
−
−
−
−
− x
x
x
x
x
x

7)
12
35
1
2
=
−
+
x
x
x
8)
1
1
3

1
1
1
1
3
1
1
2
2
22
2
2
−
−
=
−
+−
⇔−
−
=
−
x
x
x
xx
x
x
x

10)

3
1
2
1
=
+
−
+ x
x
x
x
(ð141)

11)

( )
92
211
4
2
2
+=
+−
x
x
x


Dạng 4:


.
ðặt ẩn phụ ñưa về phương trình thuần nhất bậc 2 ñối với 2 biến :


Chúng ta
ñ
ã bi
ế
t cách gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2 2
0
u uv v
α β
+ + =
(1) b
ằ
ng cách
Xét
0
v
≠
ph
ươ
ng trình tr
ở
thành :

2
0
u u
v v
α β
   
+ + =
   
   

0
v
=
th
ử
tr
ự
c ti
ế
p
Các tr
ườ
ng h
ợ
p sau c
ũ
ng
ñư
a v
ề


ñượ
c (1)

(
)
(
)
(
)
(
)
. .
a A x bB x c A x B x
+ =

LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
N
ă
m h
ọ
c 2010- 2011

Cách học tốt môn Toán là phải làm nhiều , bên cạnh ñó


 ( hehe ☺ )


Trang

5/19-LT
ð
H-2010


Baøi taäp
Baøi taäpBaøi taäp
Baøi taäp



2 2
u v mu nv
α β
+ = +

Chúng ta hãy thay các bi
ể
u th
ứ
c A(x) , B(x) b
ở
i các bi
ể
u th
ứ
c vô t
ỉ
thì s
ẽ

nh
ậ
n
ñượ
c ph
ươ
ng trình vô t
ỉ
theo d
ạ
ng
này .
a) . Phương trình dạng :
(
)
(
)
(
)
(
)
. .
a A x bB x c A x B x
+ =

Nh
ư
v
ậ
y ph

ươ
ng trình
(
)
(
)
Q x P x
α
=
có th
ể
gi
ả
i b
ằ
ng ph
ươ
ng pháp trên n
ế
u
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
.P x A x B x
Q x aA x bB x


=


= +



Xu
ấ
t phát t
ừ

ñẳ
ng th
ứ
c :

(
)
(
)
3 2
1 1 1
x x x x
+ = + − +

(
)
(
)

(
)
4 2 4 2 2 2 2
1 2 1 1 1
x x x x x x x x x
+ + = + + − = + + − +

(
)
(
)
4 2 2
1 2 1 2 1
x x x x x
+ = − + + +

(
)
(
)
4 2 2
4 1 2 2 1 2 2 1
x x x x x
+ = − + + +

Hãy t
ạ
o ra nh
ữ
ng ph

ươ
ng trình vô t
ỉ
d
ạ
ng trên ví d
ụ
nh
ư
:
2 4
4 2 2 4 1
x x x
− + = +

ðể
có m
ộ
t ph
ươ
ng trình
ñẹ
p , chúng ta ph
ả
i ch
ọ
n h
ệ
s
ố

a,b,c sao cho ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai
2
0
at bt c
+ − =
gi
ả
i “
nghi
ệ
m
ñẹ
p”
Bài 1.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình :
(
)
2 3
2 2 5 1
x x
+ = +


Giải:

ðặ
t
2
1, 1
u x v x x
= + = − +

Ph
ươ
ng trình tr
ở
thành :
( )
2 2
2
2 5
1
2
u v
u v uv
u v
=


+ = ⇔

=


Tìm
ñượ
c:
5 37
2
x
±
=

Bài 2.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình :
2 4 2
3
3 1 1
3
x x x x
− + = − + +

Bài 3:
gi
ả
i ph
ươ
ng trình sau :
2 3
2 5 1 7 1

x x x
+ − = −

Giải:
ð
k:
1
x
≥

Nh
ậ
n xt : Ta vi
ế
t
( )
(
)
( )
(
)
2 2
1 1 7 1 1
x x x x x x
α β
− + + + = − + +

ðồ
ng nh
ấ

t th
ứ
c ta
ñượ
c:
( )
(
)
( )
(
)
2 2
3 1 2 1 7 1 1
x x x x x x
− + + + = − + +

ðặ
t
2
1 0 , 1 0
u x v x x
= − ≥ = + + >
, ta
ñượ
c:
9
3 2 7
1
4
v u

u v uv
v u
=


+ = ⇔

=


Ta
ñượ
c :
4 6
x = ±

Bài 4.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình :
( )
3
3 2
3 2 2 6 0
x x x x
− + + − =

Gi

ả
i:
LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
N
ă
m h
ọ
c 2010- 2011

Cách học tốt môn Toán là phải làm nhiều , bên cạnh ñó


 ( hehe ☺ )


Trang
6/19-LT
ð
H-2010


Baøi taäp
Baøi taäpBaøi taäp
Baøi taäp


Nh
ậ
n xét :
ðặ

t
2
y x
= +
ta hãy bi
ế
n pt trên v
ề
ph
ươ
ng trình thu
ầ
n nh
ấ
t b
ậ
c 3
ñố
i v
ớ
i x và y :
3 2 3 3 2 3
3 2 6 0 3 2 0
2
x y
x x y x x xy y
x y
=

− + − = ⇔ − + = ⇔


= −


Pt có nghi
ệ
m :
2, 2 2 3
x x= = −

b).Phương trình dạng :
2 2
u v mu nv
α β
+ = +

Ph
ươ
ng trình cho
ở
d
ạ
ng này th
ườ
ng khó “phát hi
ệ
n “ h
ơ
n d
ạ

ng trên , nh
ư
g n
ế
u ta bình ph
ươ
ng hai v
ế
thì
ñư
a
v
ề

ñượ
c d
ạ
ng trên.
Bài 1.
gi
ả
i ph
ươ
ng trình :
2 2 4 2
3 1 1
x x x x
+ − = − +

Giải:

Ta
ñặ
t :
2
2
1
u x
v x

=


= −


khi
ñ
ó ph
ươ
ng trình tr
ở
thành :
2 2
3
u v u v
+ = −

Bài 2.
Gi
ả

i ph
ươ
ng trình sau :
2 2
2 2 1 3 4 1
x x x x x
+ + − = + +

Gi
ả
i
ð
k
1
2
x
≥
. Bình ph
ươ
ng 2 v
ế
ta có :
(
)
( )
(
)
( )
(
)

( )
2 2 2 2
2 2 1 1 2 2 1 2 2 1
x x x x x x x x x x
+ − = + ⇔ + − = + − −

Ta có th
ể

ñặ
t :
2
2
2 1
u x x
v x

= +

= −

khi
ñ
ó ta có h
ệ
:
2 2
1 5
2
1 5

2
u v
uv u v
u v

−
=


= − ⇔

+
=



Do
, 0
u v
≥
.
( )
2
1 5 1 5
2 2 1
2 2
u v x x x
+ +
= ⇔ + = −


Bài 3.
gi
ả
i ph
ươ
ng trình :
2 2
5 14 9 20 5 1
x x x x x
− + − − − = +

Gi
ả
i:
ð
k
5
x
≥
. Chuy
ể
n v
ế
bình ph
ươ
ng ta
ñượ
c:
(
)

( )
2 2
2 5 2 5 20 1
x x x x x
− + = − − +

Nhận xét :
không t
ồ
n t
ạ
i s
ố

,
α β

ñể
:
(
)
(
)
2 2
2 5 2 20 1
x x x x x
α β
− + = − − + +
v
ậ

y ta không th
ể

ñặ
t
2
20
1
u x x
v x

= − −

= +

.
Nh
ư
ng may m
ắ
n ta có :
(
)
(
)
(
)
(
)
(

)
(
)
(
)
2 2
20 1 4 5 1 4 4 5
x x x x x x x x x
− − + = + − + = + − −
. Ta vi
ế
t l
ạ
i ph
ươ
ng
trình:
(
)
( )
2 2
2 4 5 3 4 5 ( 4 5)( 4)
x x x x x x
− − + + = − − +
.
ðế
n
ñ
ây bài toán
ñượ

c gi
ả
i quy
ế
t .

Dạng 5:

ðặt nhiều ẩn phụ ñưa về tích


Xu
ấ
t phát t
ừ
m
ộ
t s
ố
h
ệ
“
ñạ
i s
ố
“
ñẹ
p chúng ta có th
ể
t

ạ
o ra
ñượ
c nh
ữ
ng ph
ươ
ng trình vô t
ỉ
mà khi gi
ả
i nó chúng
ta l
ạ
i
ñặ
t nhi
ề
u
ẩ
n ph
ụ
và tìm m
ố
i quan h
ệ
gi
ữ
a các
ẩ

n ph
ụ

ñể

ñư
a v
ề
h
ệ

Xu
ấ
t phát t
ừ

ñẳ
ng th
ứ
c
(
)
(
)
(
)
(
)
3
3 3 3

3
a b c a b c a b b c c a
+ + = + + + + + +
, Ta có
LUYN THI I HC -CHNG VI: PHNG TRèNH CHA CN
N

m h

c 2010- 2011

Cỏch hc tt mụn Toỏn l phi lm nhiu , bờn cnh ủú


( hehe )


Trang
7/19-LT

H-2010


Baứi taọp
Baứi taọpBaứi taọp
Baứi taọp


(
)

(
)
(
)
(
)
3
3 3 3
0
a b c a b c a b a c b c
+ + = + + + + + =

T

nh

n xột ny ta cú th

t

o ra nh

ng ph

ng trỡnh vụ t

cú ch

a c


n b

c ba .
2 2
3 3
3
7 1 8 8 1 2
x x x x x
+ + + =

3 3 3 3
3 1 5 2 9 4 3 0
x x x x
+ + + =

Bi 1.
Gi

i ph

ng trỡnh :
2 . 3 3 . 5 5 . 2
x x x x x x x
= + +

Gi

i :
2
3

5
u x
v x
w x

=


=


=


, ta cú :
(
)
(
)
( )( )
( )( )
2
2
2
2
2
3 3
5
5
u v u w

u uv vw wu
v uv vw wu u v v w
w uv vw wu
v w u w
+ + =

= + +

= + + + + =


= + +
+ + =


, gi

i h

ta
ủ
c:
30 239
60 120
u x= =

Bi 2.
Gi

i ph


ng trỡnh sau :
2 2 2 2
2 1 3 2 2 2 3 2
x x x x x x x
+ = + + + +

Gii .
Ta
ủ
t :
2
2
2
2
2 1
3 2
2 2 3
2
a x
b x x
c x x
d x x

=


=



= + +


= +


, khi
ủ
ú ta cú :
2 2 2 2
2
a b c d
x
a b c d
+ = +

=

=


Bi 3.
Gi

i cỏc ph

ng trỡnh sau
1)

2 2

4 5 1 2 1 9 3
x x x x x
+ + + =

( ) ( ) ( )
3
3 2
4
4
4
4
1 1 1 1
x x x x x x x x
+ + = + +


3.
3.3.
3. PHệễNG PHAP ẹệA VE PHệễNG TRèNH TCH
PHệễNG PHAP ẹệA VE PHệễNG TRèNH TCHPHệễNG PHAP ẹệA VE PHệễNG TRèNH TCH
PHệễNG PHAP ẹệA VE PHệễNG TRèNH TCH.
S dng ủng thc
(
)
(
)
1 1 1 0
u v uv u v
+ = + =


(
)
(
)
0
au bv ab vu u b v a
+ = + =

(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
- -
a c x b d
ax b cx d
m
+
++
+
+ + =
+ + =+ + =
+ + =


2 2
( )( ) 0
A B A B A B
= + =

a
3
b
3
(ab)(a
2
+ab+b
2
)=0 a=b
Bi 1.
Gi

i ph

ng trỡnh :
2
3
3 3
1 2 1 3 2
x x x x
+ + + = + + +

Gii:


( )( )
3 3
0
1 1 2 1 0
1
x
pt x x
x
=

+ + =

=


Bi 2.
Gi

i ph

ng trỡnh :
2 2
3 3
3 3
1
x x x x x
+ + = + +

Gii:
+

0
x
=
, khụng ph

i l nghi

m
LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
N
ă
m h
ọ
c 2010- 2011

Cách học tốt môn Toán là phải làm nhiều , bên cạnh ñó


 ( hehe ☺ )


Trang
8/19-LT
ð
H-2010


Baøi taäp
Baøi taäpBaøi taäp
Baøi taäp



+
0
x
≠
, ta chia hai v
ế
cho x:
( )
3 3 3
3 3
1 1
1 1 1 1 0 1
x x
x x x x
x x
 
+ +
+ = + + ⇔ − − = ⇔ =
 
 

Bài 3.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2

3 2 1 2 4 3
x x x x x x
+ + + = + + +

Gi
ả
i:
: 1
dk x
≥ −

pt
( )( )
1
3 2 1 1 0
0
x
x x x
x
=

⇔ + − + − = ⇔

=


Bài 4.
Gi
ả
i ph

ươ
ng trình :
4
3 4
3
x
x x
x
+ + =
+

Giải:
ð
k:
0
x
≥

Chia c
ả
hai v
ế
cho
3
x
+
:
2
4 4 4
1 2 1 0 1

3 3 3
x x x
x
x x x
 
+ = ⇔ − = ⇔ =
 
+ + +
 

 Dùng hằng ñẳng thức
Bi
ế
n
ñổ
i ph
ươ
ng trình v
ề
d
ạ
ng :
1 2 3 2 2 1
( )( . . . )
k k K K K K K
A B A B A A B A B A B B
− − − − −
= ⇔ − + + + + +

Bài 1.

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình :
3 3
x x x
− = +

Gi
ả
i:
ð
k:
0 3
x≤ ≤
khi
ñ
ó pt
ñ
cho t
ươ
ng
ñươ
ng :
3 2
3 3 0
x x x
+ + − =
3

3
1 10 10 1
3 3 3 3
x x
−
 
⇔ + = ⇔ =
 
 

Bài 2.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình sau :
2
2 3 9 4
x x x
+ = − −

Giải:
ðk:
3
x
≥ −

ph
ươ
ng trình t

ươ
ng
ñươ
ng :
( )
2
2
1
3 1 3
1 3 9
5 97
3 1 3
18
x
x x
x x
x
x x
=


+ + =

+ + = ⇔ ⇔

− −

=
+ + = −






Bài 3.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình sau :
( ) ( )
2
2
3
3
2 3 9 2 2 3 3 2
x x x x x+ + = + +

Gi
ả
i : pttt
(
)
3
3 3
2 3 0 1
x x x
⇔ + − = ⇔ =

ðS: x=1.

Bài tập ñề nghị
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau :

1)
672332110
2
−+++=++ xxxx
4) 8)
65233158
2
−+++=++ xxxx

2)
( ) ( )
012131
2
22
=−+−++
n
nn
xxx
(v
ớ
i n ∈ N; n ≥ 2) 5) x
x
xx

4
2
47
2
=
+
++

(ðHDL ðð’01)

3)
12222
2
+=+−−−− xxxx
6)
(
)
(
)
(
)
(
)
23126463122 ++−+−=+−−+ xxxxxx

7)
( )
0112
2
=−+−−−− xxxxxx


(1)

(HVKT QS - 2001)



LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
N
ă
m h
ọ
c 2010- 2011

Cách học tốt mơn Tốn là phải làm nhiều , bên cạnh đó


 ( hehe ☺ )


Trang
9/19-LT
ð
H-2010


Bài tập
Bài tậpBài tập
Bài tập



4. PHƯƠNG PHÁP GIẢN ƯỚC
4. PHƯƠNG PHÁP GIẢN ƯỚC4. PHƯƠNG PHÁP GIẢN ƯỚC
4. PHƯƠNG PHÁP GIẢN ƯỚC



1.
(ðHSPHN2’00)
2
)2()1( xxxxx =++− 2.
453423
222
+−=+−++− xxxxxx

3.
200320042002200320012002
222
+−=+−++− xxxxxx
4.
2
)2(1(2 xxxxx =+−−
5.
)3(2)2()1( +=−+− xxxxxx

8)
4523423
222
+−≥+−++− xxxxxx


(ð8)

6.

)3()2()1( +=−+− xxxxxx
9.
7925623
222
++=+++++ xxxxxx

(BKHN- 2001)


5. PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ðỐI.


1.
550x10x5x4x
22
=+−−+−
2.
1168143 =−−++−−+ xxxx

3.
2
3
1212
+
=−−+−+
x

xxxx 4. 225225232 =−−−+−++ xxxx
5. 21212 =−−−−+ xxxx
(HVCNBC’01)
6.
xxx −=+− 112
24

(ð24)
8. 4124 ++=+ xx

7. 24444 =−++−− xxxx . 8. 11681815 =−−++−−+ xxxx

6. PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯNG LIÊN HIỆP
6. PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯNG LIÊN HIỆP6. PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯNG LIÊN HIỆP
6. PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯNG LIÊN HIỆP


6.1. Nhân lượng liên hợp để xuất hiện nhân tử chung
a) Phương pháp
M
ộ
t s
ố
ph
ươ
ng trình vơ t
ỉ
ta có th
ể
nh

ẩ
m
đượ
c nghi
ệ
m
0
x
nh
ư
v
ậ
y ph
ươ
ng trình ln
đư
a v
ề

đượ
c d
ạ
ng
tích
(
)
(
)
0
0

x x A x
− =
ta có th
ể
gi
ả
i ph
ươ
ng trình
(
)
0
A x
=
ho
ặ
c ch
ứ
ng minh
(
)
0
A x
=
vơ nghi
ệ
m ,
chú ý điều
kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía
(

)
0
A x
=
vơ nghiệm


b) Ví dụ
Bài 1 .
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình sau :
(
)
2 2 2 2
3 5 1 2 3 1 3 4
x x x x x x x
− + − − = − − − − +

Giải:

Ta nh
ậ
n th
ấ
y :
(
)

(
)
(
)
2 2
3 5 1 3 3 3 2 2
x x x x x
− + − − − = − −
v
(
)
(
)
(
)
2 2
2 3 4 3 2
x x x x
− − − + = −

Ta có th
ể
tr
ụ
c c
ă
n th
ứ
c 2 v
ế

:
( )
2 2
2 2
2 4 3 6
2 3 4
3 5 1 3 1
x x
x x x
x x x x
− + −
=
− + − +
− + + − +

D
ể
dàng nh
ậ
n th
ấ
y x=2 là nghi
ệ
m duy nh
ấ
t c
ủ
a ph
ươ
ng trình .

Bài 2.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình sau
(OLYMPIC 30/4 đề nghị)
:
2 2
12 5 3 5
x x x
+ + = + +

Giải: ðể
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m thì :
2 2
5
12 5 3 5 0
3
x x x x
+ − + = − ≥ ⇔ ≥

Ta nh
ậ
n th
ấ

y : x=2 là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình , nh
ư
v
ậ
y ph
ươ
ng trình có th
ể
phân tích v
ề
d
ạ
ng
(
)
(
)
2 0
x A x
− =
,
để
th
ự

c hi
ệ
n
đượ
c
đ
i
ề
u
đ
ó ta ph
ả
i nhóm , tách nh
ư
sau :
LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
N
ă
m h
ọ
c 2010- 2011

Cách học tốt môn Toán là phải làm nhiều , bên cạnh ñó


 ( hehe ☺ )


Trang
10/19-LT

ð
H-2010


Baøi taäp
Baøi taäpBaøi taäp
Baøi taäp


( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
4 4
12 4 3 6 5 3 3 2
12 4 5 3
2 1
2 3 0 2
12 4 5 3
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
− −
+ − = − + + − ⇔ = − +
+ + + +

 
+ +
⇔ − − − = ⇔ =
 
+ + + +
 

D
ễ
dàng ch
ứ
ng minh
ñượ
c :
2 2
2 2 5
3 0,
3
12 4 5 3
x x
x
x x
+ +
− − < ∀ >
+ + + +

Bài 3.
Gi
ả
i ph

ươ
ng trình :
2 3
3
1 1
x x x
− + = −

Gi
ả
i :
ð
k
3
2
x ≥

Nh
ậ
n th
ấ
y x=3 là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình , nên ta bi
ế
n

ñổ
i ph
ươ
ng trình
( )
( )
( )
( )
2
2 33
2 3
2 2
3
3
3 3 9
3
1 2 3 2 5 3 1
2 5
1 2 1 4
x x x
x
x x x x
x
x x
 
− + +
+
 
− − + − = − − ⇔ − + =
 

− +
− + − +
 
 

Ta ch
ứ
ng minh :
( )
(
)
2
2
2 2 2
3 3
3
3 3
1 1 2
1 2 1 4 1 1 3
x x
x x x
+ +
+ = + <
− + − + − + +
2
3
3 9
2 5
x x
x

+ +
<
− +

V
ậ
y pt có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t x=3
6.2. ðưa về “hệ tạm “
a) Phương pháp

N
ế
u ph
ươ
ng trình vô t
ỉ
có d
ạ
ng

A B C
+ =
, mà :
A B C
α
− =


ở
dây C có th
ể
là hàng s
ố
,có th
ể
là bi
ể
u th
ứ
c c
ủ
a
x
. Ta có th
ể
gi
ả
i nh
ư
sau :

A B
C A B
A B
α
−
= ⇒ − =

−
, khi
ñĩ
ta có h
ệ
:
2
A B C
A C
A B
α
α

+ =

⇒ = +

− =



b) Ví dụ
Bài 4.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình sau :
2 2
2 9 2 1 4

x x x x x
+ + + − + = +

Giải:
Ta th
ấ
y :
(
)
(
)
(
)
2 2
2 9 2 1 2 4
x x x x x
+ + − − + = +

4
x
= −
không ph
ả
i là nghi
ệ
m
Xét
4
x
≠ −


Tr
ụ
c c
ă
n th
ứ
c ta có :
2 2
2 2
2 8
4 2 9 2 1 2
2 9 2 1
x
x x x x x
x x x x
+
= +
⇒
+ + − − + =
+ + − − +

V
ậ
y ta có h
ệ
:
2 2
2
2 2

0
2 9 2 1 2
2 2 9 6
8
2 9 2 1 4
7
x
x x x x
x x x
x
x x x x x
=


+ + − − + =


⇒
+ + = + ⇔


=
+ + + − + = +




Th
ử
l

ạ
i th
ỏ
a; v
ậ
y ph
ươ
ng trình có 2 nghi
ệ
m : x=0 v x=
8
7


LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
N
ă
m h
ọ
c 2010- 2011

Cách học tốt mơn Tốn là phải làm nhiều , bên cạnh đó


 ( hehe ☺ )


Trang
11/19-LT
ð

H-2010


Bài tập
Bài tậpBài tập
Bài tập


Bài 5.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình :
2 2
2 1 1 3
x x x x x
+ + + − + =

Ta th
ấ
y :
(
)
(
)
2 2 2
2 1 1 2
x x x x x x
+ + − − + = +

, nh
ư
v
ậ
y khơng th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n trên.
Ta có th
ể
chia c
ả
hai v
ế
cho x và
đặ
t
1
t
x
=
thì bài tốn tr
ở
nên
đơ

n gi
ả
n h
ơ
n
Bài tập đề nghị
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau :
( )
2 2
3 1 3 1
x x x x
+ + = + +

4 3 10 3 2
x x
− − = −

(HSG Tồn Quốc
2002)
(
)
(
)
(
)
(

)
2 2 5 2 10
x x x x x
− − = + − −

2
3
4 1 2 3
x x x
+ = − + −


2 3
3
1 3 2 3 2
x x x
− + − = −

2
3
2 11 21 3 4 4 0
x x x
− + − − =

(OLYMPIC 30/4-2007)
2 2 2 2
2 1 3 2 2 2 3 2
x x x x x x x
− + − − = + + + − +


2 2
2 16 18 1 2 4
x x x x
+ + + − = +

2 2
15 3 2 8
x x x
+ = − + +



Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
1)
)3(2)2()1( +=−+− xxxxxx
2)
2
)2()1(2 xxxxx =+−− 3) xxx =−−+ 1222
4)
x
xx
xx 21
2121
2121
=
−−+

−++
5) x
xx
xx
−=
−+−
−−−
6
57
57
33
33
6)
4x5x23x4x2x3x
222
+−=+−++−

7)
2xx3x2x22x3x1x2
2222
+−+++=−−+−

8)
431532373
2222
+−−−−=−−+− xxxxxxx

9)
2004200522003200420022003
222

+−=+−++− xxxxxx


7. PHƯƠNG PHÁP NHÂN XÉT ĐÁNH GIÁ
7. PHƯƠNG PHÁP NHÂN XÉT ĐÁNH GIÁ7. PHƯƠNG PHÁP NHÂN XÉT ĐÁNH GIÁ
7. PHƯƠNG PHÁP NHÂN XÉT ĐÁNH GIÁ


1. Dùng hằng đẳng thức :

T
ừ
nh
ữ
ng
đ
ánh giá bình ph
ươ
ng :
2 2
0
A B
+ ≥
, ph
ươ
ng trình d
ạ
ng
2 2
0

A B
+ =
⇔
0
0
A
B
=


=


2. Dùng bất đẳng thức

M
ộ
t s
ố
ph
ươ
ng trình
đượ
c t
ạ
o ra t
ừ
d
ấ
u b

ằ
ng c
ủ
a b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c:
A m
B m
≥


≤

nếu dấu bằng ỏ (1) và (2) cùng dạt
được tại
0
x
thì
0
x
là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ

ng trình
A B
=

Ta có :
1 1 2
x x
+ + − ≤
D
ấ
u b
ằ
ng khi và ch
ỉ
khi
0
x
=
và
1
1 2
1
x
x
+ + ≥
+
, d
ấ
u b
ằ

ng khi và ch
ỉ
khi x=0.
V
ậ
y ta có ph
ươ
ng trình:
1
1 2008 1 2008 1
1
x x x
x
− + + = + +
+

ð
ơi khi m
ộ
t s
ố
ph
ươ
ng trình
đượ
c t
ạ
o ra t
ừ
ý t

ưở
ng :
(
)
( )
A f x
B f x

≥


≤


khi đó :
(
)
( )
A f x
A B
B f x

=

= ⇔

=




LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
N
ă
m h
ọ
c 2010- 2011

Cách học tốt môn Toán là phải làm nhiều , bên cạnh ñó


 ( hehe ☺ )


Trang12/19-LT
ð
H-2010
Baøi taäp
Baøi taäpBaøi taäp
Baøi taäp



N
ế
u ta
ñ
oán tr
ướ
c
ñượ

c nghi
ệ
m thì vi
ệ
c dùng b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c d
ễ
dàng h
ơ
n, nh
ư
ng có nhi
ề
u bài nghi
ệ
m là vô
t
ỉ
vi
ệ
c
ñ
oán nghi
ệ
m không

ñượ
c, ta v
ẫ
n dùng b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c
ñể

ñ
ánh giá
ñượ
c
Bài 1.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình (OLYMPIC 30/4 -2007):
2 2
9
1
x x
x
+ = +
+


Gi
ả
i:
ð
k
0
x
≥

Ta có :
( )
2 2
2
2 2 1
2 2 1 9
1
1 1
x
x x x
x
x x
 
   
 
 
+ ≤ + + + = +
   
 
  +
+ +

 
   
 

D
ấ
u b
ằ
ng
2 2 1 1
7
1 1
x
x x
⇔ = ⇔ =
+ +


Bài 2.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình :
2 4 2 4
13 9 16
x x x x
− + + =



Giải:

ð
k:
1 1
x
− ≤ ≤

Bi
ế
n
ñổ
i pt ta có :
(
)
2
2 2 2
13 1 9 1 256
x x x− + + =

Áp d
ụ
ng b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c Bunhiacopxki:
(

)
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2
13. 13. 1 3. 3. 3 1 13 27 13 13 3 3 40 16 10
x x x x x
− + + ≤ + − + + = −

Áp d
ụ
ng b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c Côsi:
( )
2
2 2
16
10 16 10 64
2
x x
 
− ≤ =
 
 


Dấu bằng
2
2
2 2
2
1
5
1
3
2
10 16 10
5
x
x
x
x
x x


=
+

− =


⇔ ⇔



= −

= −




Bài 3.
gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
3` 2
4
3 8 40 8 4 4 0
x x x x
− − + − + =

Ta ch
ứ
ng minh :
4
8 4 4 13
x x
+ ≤ +
và
(
)
(
)
2

3 2
3 8 40 0 3 3 13
x x x x x x
− − + ≥ ⇔ − + ≥ +

Bài tập ñề nghị .
Bài 1
: Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
x x
x x
x x
− +
− + + = +
+ −

4 4 4
1 1 2 8
x x x x+ − + − − = +

4 4 4
2 8 4 4 4 4
x x x
+ = + + −


4 3
3
16 5 6 4
x x x
+ = +

3` 2
4
3 8 40 8 4 4 0
x x x x
− − + − + =

3 3 4 2
8 64 8 28
x x x x
+ + − = − +

2
2
1 1
2 2 4x x
x x
 
− + − = − +
 
 


Bài 2:

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
N
ă
m h
ọ
c 2010- 2011

Cách học tốt mơn Tốn là phải làm nhiều , bên cạnh đó


 ( hehe ☺ )


Trang13/19-LT
ð
H-2010
Bài tập
Bài tậpBài tập
Bài tập


1)
222
2414105763 xxxxxx −−=+++++
2)

186
11
6
156
2
2
2
+−=
+
−
+−
xx
x
x
xx

3)
2354136116
4
222
+=+−++−++− xxxxxx
4)
(
)
(
)
54225,33
222
+−+−=+− xxxxxx
5)

4
22
1312331282 +−−=+− xxxx
6)
2152
2
=−++− xxx
7)
44
1)1(2 xxxx +−=+−

8)
x
x
x
x
xx
21
21
21
21
2121
−
+
+
+
−
=++−
9) 11642
2

+−=−+− xxxx
(ð11)

10)
222
331232 xxxxxx −++−=+−
11) 5212102
2
+−=−+− xxxx

8. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ
8. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ8. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ
8. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ



Dạng 1:

ðư
a v
ề
h
ệ
ph
ươ
ng trình bình th
ườ
ng. Ho
ặ
c h

ệ

đố
i x
ứ
ng lo
ạ
i m
ộ
t.
 ðặ
t
(
)
(
)
,
u x v x
α β
= =
và tìm m
ố
i quan h
ệ
gi
ữ
a
(
)
x

α
và
(
)
x
β
t
ừ

đ
ó tìm
đượ
c h
ệ
theo u,v
Bài 1.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
(
)
3 3
3 3
25 25 30
x x x x
− + − =



ðặ
t
3
3 3 3
35 35
y x x y
= − ⇒ + =

Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình chuy
ể
n v
ề
h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
3 3
( ) 30
35
xy x y
x y
+ =




+ =


, gi
ả
i h
ệ
này ta tìm
đượ
c
( ; ) (2;3) (3;2)
x y
= =
. T
ứ
c là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là
{2;3}
x
∈

Bài 2.
Gi
ả
i ph

ươ
ng trình:
4
4
1
2 1
2
x x− − + =

ð
i
ề
u ki
ệ
n:
0 2 1
x
≤ ≤ −

ðặ
t
4
4
2 1
0 2 1,0 2 1
x u
u v
x v

− − =


⇒ ≤ ≤ − ≤ ≤ −

=



Ta
đư
a v
ề
h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
4
4
2
2 4
4
4
1
1
2
2
1
2 1
2 1
2

u v
u v
u v v v

= −


+ =
 
⇔
 
 
 
+ = −
− + = −

 

 


Gi
ả
i ph
ươ
ng trình th
ứ
2:
2
2 2

4
1
( 1) 0
2
v v
 
+ − + =
 
 
, t
ừ

đ
ó tìm ra
v
r
ồ
i thay vào tìm nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình.
Bài 3.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình sau:

5 1 6
x x
+ + − =

ð
i
ề
u ki
ệ
n:
1
x
≥

ðặ
t
1, 5 1( 0, 0)
a x b x a b
= − = + − ≥ ≥
thì ta
đư
a v
ề
h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
N

ă
m h
ọ
c 2010- 2011

Cách học tốt môn Toán là phải làm nhiều , bên cạnh ñó


 ( hehe ☺ )


Trang
14/19-LT
ð
H-2010


Baøi taäp
Baøi taäpBaøi taäp
Baøi taäp


2
2
5
( )( 1) 0 1 0 1
5
a b
a b a b a b a b
b a


+ =

→ + − + = ⇒ − + = ⇒ = −

− =



V
ậ
y
11 17
1 1 5 1 1 5
2
x x x x x
−
− + = + − ⇔ − = − ⇒ =

Bài 4.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
6 2 6 2 8
3
5 5
x x
x x

− +
+ =
− +

Gi
ả
i
ð
i
ề
u ki
ệ
n:
5 5
x
− < <

ðặ
t
(
)
5 , 5 0 , 10
u x v y u v= − = − < <
.
Khi
ñ
ó ta
ñượ
c h
ệ

ph
ươ
ng trình:
2
2 2
( ) 10 2
10
2 4
4 4 8
( ) 1
2( )
3
3
u v uv
u v
u v
u z
uv
u v


+ = +
+ =
 
⇔
 
 
+ − =
− − + + =
  


 


Bài tập ñề nghị :
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau

1)

112
3
−−=− xx

(ðHTCKTHN - 2001)

2)

123
22
=−+−+− xxxx

3)


11
2

=+−++ xxxx

(ðHDL HP’01)

4)

2
1
x
x
5
44
=
−
+
−

5)


36x3x3x3x
22
=+−++−

6)


1334
33
=−−+ xx


(ð12)

7)


597
44
=−+ xx

8)

2x12x14
33
=−++

9)


464)8()8(
3
2
3
2
3
2
=−+−++ xxx

10)



91717
22
=−+−+ xxxx

11)

2
1
2
1
2
=+
−
x
x

12)

211
33
=−++ xx

13)

1
8
65
2
3

2
3
2
+−=+ xx

14)

1x
2
1
x
2
1
33
=−++

15)


3tgx2tgx7
33
=−++


16)

6
x
12
x

24
3
=
−
+
+

17)

(
)
(
)
30
1xx34
x341x1xx34
33
33
=
+−−
−+−+−

18)

( ) ( )
[
]
2
33
2

x12x1x1x11 −+=+−−−+

19)

3
3
2
3
2
4xx2xx2
=
−
−
+
+
+

20)


( ) ( )
1191313
3
2
3
2
3
2
=−+−++ xxx


21)

( ) ( ) ( )( )
3x7x2x7x2
3
3
2
3
2
=+−−++−

22)

11212112
++=+−++++
xxxxx

23)

3
3
2
3
2
4
x
cos
x
sin
=

+

24)

3xsin2.xsinxsin2xsin
22
=−+−+

25)

1x2cos
2
1
x2cos
2
1
44
=++−

26)

11xcos8xsin810
4
2
4
2
=−−+

27)


2x17x17 =−−+

(DL Hùng vương- 2001)

28)

x611x −=+−

(C
ð
m
ẫ
u giáo TW1- 2001)

29)

54x8x5xx
22
=−++−+

30)

2
1
1xx1xx
22
=+−−++

(ð142)


31)


(
)
30x35xx35x
3
3
3
3
=−+−

32)


11x5x38x5x3
22
=++−++

33)



16x5x222x5x2
22
=−+−++

34)

4x235x247

44
=++−

Dạng 2:

ðưa phương trình ñã cho về hệ ñối xứng loại hai.


Ta hãy
ñ
i tìm ngu
ồ
n g
ố
c c
ủ
a nh
ữ
ng bài toán gi
ả
i ph
ươ
ng trình b
ằ
ng cách
ñư
a v
ề
h
ệ


ñố
i x
ứ
ng lo
ạ
i II
LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
N
ă
m h
ọ
c 2010- 2011

Cách học tốt môn Toán là phải làm nhiều , bên cạnh ñó


 ( hehe ☺ )


Trang
15/19-LT
ð
H-2010


Baøi taäp
Baøi taäpBaøi taäp
Baøi taäp




Ta xét m
ộ
t h
ệ
ph
ươ
ng trình
ñố
i x
ứ
ng lo
ạ
i II sau :
( )
( )
2
2
1 2 (1)
1 2 (2)
x y
y x

+ = +


+ = +



vi
ệ
c gi
ả
i h
ệ
này thì
ñơ
n gi
ả
n
Bây gi
ờ
i ta s
ẽ
bi
ế
n h
ệ
thành ph
ươ
ng trình b
ằ
ng cách
ñặ
t
(
)
y f x
=

sao cho (2) luôn
ñ
úng ,
2 1
y x
= + −
, khi
ñ
ó ta có ph
ươ
ng trình :
(
)
2
2
1 ( 2 1) 1 2 2
x x x x x
+ = + − + ⇔ + = +

V
ậ
y
ñể
gi
ả
i ph
ươ
ng trình :
2
2 2

x x x
+ = +
ta
ñặ
t l
ạ
i nh
ư
trên và
ñư
a v
ề
h
ệ

B
ằ
ng cách t
ươ
ng t
ự
xét h
ệ
t
ổ
ng quát d
ạ
ng b
ậ
c 2 :

( )
( )
2
2
x ay b
y ax b
α β
α β

+ = +


+ = +


, ta s
ẽ
xây d
ự
ng
ñượ
c ph
ươ
ng trình d
ạ
ng
sau :
ñặ
t
y ax b

α β
+ = +
, khi
ñ
ó ta có ph
ươ
ng trình :
( )
2
a
x ax b b
β
α β
α α
+ = + + −

T
ươ
ng t
ự
cho b
ậ
c cao h
ơ
n :
( )
n
n
a
x ax b b

β
α β
α α
+ = + + −

Tóm l
ạ
i ph
ươ
ng trình th
ườ
ng cho d
ướ
i d
ạ
ng khai tri
ể
n ta ph
ả
i vi
ế
t v
ề
d
ạ
ng :
(
)
' '
n

n
x p a x b
α β γ
+ = + +
v
ñặ
t
n
y ax b
α β
+ = +

ñể

ñư
a v
ề
h
ệ
, chú ý v
ề
d
ấ
u c
ủ
a
α
???
Vi
ệ

c ch
ọ
n
;
α β
thông th
ườ
ng chúng ta ch
ỉ
c
ầ
n vi
ế
t d
ướ
i d
ạ
ng :
(
)
' '
n
n
x p a x b
α β γ
+ = + +
là ch
ọ
n
ñượ

c.
Bài 1.

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2
2 2 2 1
x x x
− = −

ð
i
ề
u ki
ệ
n:
1
2
x
≥

Ta có ph
ươ
ng trình
ñượ
c vi
ế

t l
ạ
i là:
2
( 1) 1 2 2 1
x x
− − = −

ðặ
t
1 2 1
y x
− = −
thì ta
ñư
a v
ề
h
ệ
sau:
2
2
2 2( 1)
2 2( 1)
x x y
y y x

− = −



− = −



Tr
ừ
hai v
ế
c
ủ
a ph
ươ
ng trình ta
ñượ
c
( )( ) 0
x y x y
− + =

Gi
ả
i ra ta tìm
ñượ
c nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là:

2 2
x = +

K
ế
t lu
ậ
n: Nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là
{1 2; 1 3}
− +

Bài 2.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2
2 6 1 4 5
x x x
− − = +

Gi
ả

i
ð
i
ề
u ki
ệ
n
5
4
x
≥ −

Ta bi
ế
n
ñổ
i ph
ươ
ng trình nh
ư
sau:
2 2
4 12 2 2 4 5 (2 3) 2 4 5 11
x x x x x
− − = + ⇔ − = + +

ðặ
t
2 3 4 5
y x

− = +
ta
ñượ
c h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
2
2
(2 3) 4 5
( )( 1) 0
(2 3) 4 5
x y
x y x y
y x

− = +

⇒
− + − =

− = +



V
ớ
i
2 3 4 5 2 3

x y x x x=
⇒
− = +
⇒
= +
. V
ớ
i
1 0 1 1 2
x y y x x+ − =
⇒
= − → = −


Bài tập ñề nghị :
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau


1)
3
3
1221 −=+ xx
2)
3
3
2x332x −=+


3)

(x
2
+ 3x - 4)
2
+ 3(x
2
+ 3x - 4) = x + 4

LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
N
ă
m h
ọ
c 2010- 2011

Cách học tốt mơn Tốn là phải làm nhiều , bên cạnh đó


 ( hehe ☺ )


Trang
16/19-LT
ð
H-2010



Bài tập
Bài tậpBài tập
Bài tập


4)
11
2
+=− xx
5)
x22x
2
−=+−
6)
55
2
=−+ xx
7)
xx =+− 55

8)
0x,
28
9x4
x7x7
2
>
+
=+


(ðHAN-D)
9)
xx =+− 44
10)
(
)
63x9x
3
3
+−=−

11)
5x5x
2
=++

12)
22x33x
3
3
=+−
13)
1x1x
2
=++
14)
xx33 =++


9. PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM

9. PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM9. PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM
9. PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM.
1. Các bước:

Tìm t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a ph
ươ
ng trình.

Bi
ế
n
đổ
i ph
ươ
ng trình (n
ế
u c
ầ
n)
để

đặ
t f(x) b
ằ

ng m
ộ
t bi
ể
u th
ứ
c nào
đ
ó.

Tính
đạ
o hàm f(x), r
ồ
i d
ự
a vào tính
đồ
ng bi
ế
n(nbi
ế
n) c
ủ
a hàm s
ố

để
k
ế

t lu
ậ
n nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình.
2.
Ví dụ.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình sau:
0322212
333
=+++++ xxx
(1)
Giải:
T
ậ
p xác
đị
nh: D = R.
ðặ
t f(x) =
333
322212 +++++ xxx


Ta có:
2
3
,1,
2
1
;0
)32(
2
)22(
2
)12(
2
)('
3
2
3
2
3
2
−−−≠∀>
+
+
+
+
+
= x
xxx
xf


Suy ra hàm s
ố
f(x)
đồ
ng bi
ế
n trên t
ậ
p M=






+∞−∪






−−∪







−−∪






−∞− ,
2
3
2
3
,11,
2
1
2
1
,

Ta th
ấ
y f(-1)=0
⇒
x=-1 là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a (1). Ta có:

3)
2
3
(;3)
2
1
( −=−=− ff

Ta có b
ả
ng bi
ế
n thiên c
ủ
a hàm s
ố
f(x):
x
-
∞

2
3
−
-1
2
1
−
+
∞


f’(x)







F(x)


+
∞

0 3
-
∞
-3
T
ừ
b
ả
ng bi
ế
n thiên ta th
ấ
y f(x) = 0
⇔
x = -1. V

ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có duy nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m x = -1.
Bài tập tương tự:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
1)
3
2
3
2
33
21212 xxxx ++=+++
2)
( ) ( )
(
)
03923312212

2
2
=+++






++++ xxxx

T
ừ
bài 2, ta có bài t
ậ
p 3.
3)
( ) ( )
(
)
(
)
019992000199912200012
2
2
=+++++++ xxxx
4)
193193
+++=+++
yyxx


LUYN THI I HC -CHNG VI: PHNG TRèNH CHA CN
N

m h

c 2010- 2011

Cỏch hc tt mụn Toỏn l phi lm nhiu , bờn cnh ủú


( hehe )


Trang
17/19-LT

H-2010


Baứi taọp
Baứi taọpBaứi taọp
Baứi taọp


5) (

H.B02) Xỏc
ủ
nh m

ủ
ph

ng trỡnh sau cú nghi

m:
(
)
22422
1112211 xxxxxm
++=++

6) (

H.A08) Tỡm cỏc giỏ tr

c

a m
ủ
ph

ng trỡnh sau cú
ủ
ỳng hai nghi

m th

c phõn bi


t:
mxxxx
=+++
626222
44

10. PHệệễNG PHAP LệễẽNG GIAC HOA
10. PHệệễNG PHAP LệễẽNG GIAC HOA10. PHệệễNG PHAP LệễẽNG GIAC HOA
10. PHệệễNG PHAP LệễẽNG GIAC HOA


Vớ d.
Gi

i ph

ng trỡnh sau:
(
)
2
3
23
221 xxxx =+
(1)
Gii:
T

p xỏc
ủ
nh: D = [-1; 1]. (2)

Do (2) nờn
ủ
t x = cost (*), v

i 0

t



(A)
Khi
ủ
ú ph

ng trỡnh (1) tr

thnh:
(
)
)cos1(2coscos1cos
2
3
23
tttt =+
(3)
V

i t


(A), ta cú:
(
)
(
)
)4(sin.cos2cos.sin1sincossin.cos2sincos)3(
33
tttttttttt =+=+


t X = cost + sint (5), 2

X (B)

X
2
= 1 + 2sint.cost

sint.cost =
2
1
2

X

Ph

ng trỡnh (4) tr

thnh ph


ng trỡnh

n X:

( ) ( )
0232123
2
1
.2
2
1
1.
2322
22
=+=

=










XXXXXX
XX

X

( )( )






+=
=
=





=++
=
=++
12
12
2
0122
2
01222
2
2
X
X

X
XX
X
XXX

Ta th

y ch

cú nghi

m X =
2
v X = -
2
+ 1 l tho

món
ủ
i

u ki

n (B).
+ V

i X =
2
, thay vo (5) ta
ủ

c:
.,2
4
2
24
1
4
sin2
4
sin22cossin Zkktkttttt
+=+=+=






+=






+=+






Vỡ t

(A) nờn ta cú t =
4

. Thay vo (*) ta
ủ
c: x = cos
4

=
2
2
(tho

món t

p xỏc
ủ
nh D).
+ V

i X = -
2
+ 1, thay vo (5) ta
ủ
c:
.
2
12

4
sin12
4
sin2(**)12cossin
+
=






++=






++=+

tttt
Khi
ủ
ú, ta cú:
LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
N
ă
m h
ọ

c 2010- 2011

Cách học tốt môn Toán là phải làm nhiều , bên cạnh ñó


 ( hehe ☺ )


Trang
18/19-LT
ð
H-2010


Baøi taäp
Baøi taäpBaøi taäp
Baøi taäp



2
122
2
223
1
2
12
1
4
sin1

4
cos
2
2
−
±=
−
−±=








+−
−±=













+−±=






+
ππ
tt

⇒

2
122
4
cos
−
±=






+
π
t



( )
)6(122sincos
2
122
sincos
2
2
2
122
4
sin.sin
4
cos.cos −±=−⇔
−
±=−⇔
−
±=−⇔ tttttt
ππ

T
ừ
(**) và (6) suy ra cost =
2
12212 −±+−
. Thay vào (5), ta
ñượ
c x =
2
12212 −±+−
.

Nh
ư
ng ch
ỉ
có nghi
ệ
m x =
2
12212 −−+−
tho
ả
mãn t
ậ
p xác
ñị
nh D.
V
ậ
y, ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho có hai nghi
ệ
m x =
2
2
và x =
2
12212 −−+−

.
Bài tập tương tự.
1)
23
134 xxx −=−
(HVQHQT- 2001)
2)


(
)
(
)
2
3
23
12.1 xxxx −=−+

3)
2
2
x21
2
x1x21
−=
−+
4)
( ) ( )
[
]

2
33
2
x12x1x1x11 −+=+−−−+

2. Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
1) xxxx 412826
22
++−=− 9) xxxx 21)2)(1(2
2
+=−++
2) xxxx 33)2)(5(
2
+=−+
10) 133372
222
++=+++++ xxxxxx
3) 8715785
22
+=+−− xxxx 11) 1)(21)14(
22
++=+−
xxxx
4) 6253)4)(1(
2
=++−++

xxxx 12) 1)3(13
22
++=++
xxxx
5) )6)(3(363 xxxx −++=−++ 13) 22212)1(2
22
−+=+−
xxxx
6) )1(323
2
xxxx
−+=−+
14) 36333
22
=++++− xxxx
7) 3522316132
2
+++=++++ xxxxx 15) 193327
222
++=+++++ xxxxxx
3. Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau: (
ẩ
n ph
ụ

→

h
ệ
) 1) 33
−=+
xx
2) 133
22
=++++− xxxx 3) 5103
22
=−++ xx 4) 78231523
22
=+−++− xxxx
4. Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
ð
ánh giá) 1) 2152
2
=−++− xxx
3) 18853
2
+−=−+−
xxxx 2) 3121
3 22
=−+− xx 4) 422
44
=−+−++
xxxx

5. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m.
1) mxxxx =−−−−+− )3)(1(31 2) axx
=−++
11 4) mxxxx −=+−+ 2)4)(2(2
2

6. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m.
1) mxx
=++−
24 4) mxx
=−+
2 2) mxx
=−+
44
2 5) mxx =−+−
3 22
121
3) mxxxx

=−+−+−+−
3311
44
6) mxxxx
=−+−++
22
44

7. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình, h
ệ
ph
ươ
ng trình:
a) 381257
2
+−=−+−
xxxx b) 141233225
2
+−=−+−
xxxx c) 20042004
2
=++
xx
LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
N
ă

m h
ọ
c 2010- 2011

Cách học tốt mơn Tốn là phải làm nhiều , bên cạnh đó


 ( hehe ☺ )


Trang
19/19-LT
ð
H-2010


Bài tập
Bài tậpBài tập
Bài tập


d)





=++
=++
11

11
yx
yx
e)





=+
=++
7
41
yx
yx
f)
2
2
1
2
1
1
2
=++
+ xx
x


11. XÂY DỰNG BÀI TOÁN TỪ TÍNH CHẤT CỰC TRỊ HÌNH HỌC.
11. XÂY DỰNG BÀI TOÁN TỪ TÍNH CHẤT CỰC TRỊ HÌNH HỌC.11. XÂY DỰNG BÀI TOÁN TỪ TÍNH CHẤT CỰC TRỊ HÌNH HỌC.

11. XÂY DỰNG BÀI TOÁN TỪ TÍNH CHẤT CỰC TRỊ HÌNH HỌC.


11.1 Dùng tọa độ của véc tơ
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ:
(
)
(
)
1 1 2 2
; , ;
u x y v x y
= =
 
khi đó ta có


( ) ( )
2 2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
u v u v x x y y x y x y
+ ≤ + ⇔ + + + ≤ + + +
   

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai véc tơ
,
u v
 
cùng hướng

1 1
2 2
0
x y
k
x y
⇔ = = ≥
, chú ý tỉ số phải dương

. . .cos .
u v u v u v
α
= ≤
     
, dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi
cos 1
u v
α
= ⇔ ↑↑


11.2 Sử dụng tính chất đặc biệt về tam giác
 Nếu tam giác
ABC
là tam giác đều , thì với mọi điểm M trên mặt phẳng tam giác, ta ln có
MA MB MC OA OB OC
+ + ≥ + +
với O là tâm của đường tròn .Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi
M O
≡

.
 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý trong mặt mặt phẳng Thì MA+MB+MC nhỏ nhất khi điểm
M nhìn các cạnh AB,BC,AC dưới cùng một góc
0
120


Bài tập: giải phương trình, hệ phương trình sau:
1)
(
)
(
)
2 2 2
2 2 1 2 3 1 1 2 3 1 1 3
x x x x x x
− + + − − + + + + + =

2)
2 2
4 5 10 50 5
x x x x
− + − − + =
3)
2 2 2
5( 2 ) 6( 2 ) 5( 2 ) 4( )
x yz y xz z xy x y z
+ + + + + = + +

4)

2
2 1 6( 1)
x y x y x x
+ + − + + = +

5)
1 2 3 100
1 2 3 100
1
1 1 1 1 100 1
100
1
1 1 1 1 100 1
100
x x x x
x x x x

+ + + + + + + + = +




− + − + − + + − = −

