LT cấp tốc Toán 2010 số 14
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (129.75 KB, 3 trang )
http://ductam_tp.violet.vn/
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC 2010
Môn Thi: TOÁN – Khối A
ĐỀ THI THAM KHẢO Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số
3 2
3 2= − +y x m x m
(C
m
).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 .
2) Tìm m để (C
m
) và trục hoành có đúng 2 điểm chung phân biệt.
Câu II: (2 điểm)
1) Giải phương trình:
(sin 2 sin 4)cos 2
0
2sin 3
− + −
=
+
x x x
x
2) Giải phương trình:
3
1
8 1 2 2 1
+
+ = −
x x
Câu III: (1 điểm) Tính tích phân:
2
3
0
sin
(sin cos )
π
=
+
∫
xdx
I
x x
Câu IV: (1 điểm) Cho khối chóp S.ABC có SA
⊥
(ABC), ∆ABC vuông cân đỉnh C và SC =
a
.
Tính góc
ϕ
giữa 2 mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất.
Câu V: (1 điểm) Tìm m để phương trình sau đây có đúng 2 nghiệm thực phân biệt:
2 2 (2 )(2 )− − + − − + =x x x x m
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm):
A. Theo chương trình chuẩn:
Câu VI.a: (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3;1). Viết phương trình đường thẳng d
đi qua M cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho (OA+3OB) nhỏ nhất.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(3;4;1). Tìm toạ độ
điểm M thuộc mặt phẳng (P):
1 0− + − =x y z
để ∆MAB là tam giác đều.
Câu VII.a: (1 điểm) Tìm hệ số của
20
x
trong khai triển Newton của biểu thức
5
3
2
+
÷
n
x
x
,
biết rằng:
0 1 2
1 1 1 1
( 1)
2 3 1 13
− + + + − =
+
n n
n n n n
C C C C
n
B. Theo chương trình nâng cao:
Câu VI.b: (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 4 điểm A(1;0), B(–2;4), C(–1;4), D(3;5). Tìm
toạ độ điểm M thuộc đường thẳng
( ):3 5 0
∆
− − =x y
sao cho hai tam giác MAB, MCD có
diện tích bằng nhau.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
1
( )
∆
có phương trình
{
2 ; ; 4= = =x t y t z
;
2
( )
∆
là giao tuyến của 2 mặt phẳng
( ) : 3 0
α
+ − =x y
và
( ): 4 4 3 12 0
β
+ + − =x y z
.
Chứng tỏ hai đường thẳng
1 2
,
∆ ∆
chéo nhau và viết phương trình mặt cầu nhận đoạn vuông
góc chung của
1 2
,
∆ ∆
làm đường kính.
Câu VII.b: (1 điểm) Cho hàm số
2 2
(2 1) 4
2( )
+ + + + +
=
+
x m x m m
y
x m
. Chứng minh rằng với mọi m, hàm
số luôn có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị không phụ thuộc m.
Hướng dẫn
http://ductam_tp.violet.vn/
Câu I: 2) (C
m
) và Ox có đúng 2 điểm chung phân biệt
⇔
CÑ CT
y coù CÑ, CT
y hoaëc y0 0
= =
⇔
1= ±m
Câu II: 1) PT ⇔
(2cos 1)(sin cos 2) 0
2sin 3 0
− + =
⇔
+ ≠
x x x
x
⇔
2
3
π
π
= +x k
2) Đặt
3
1
2 0; 2 1
+
= > − =
x x
u v
.
PT ⇔
3 3
3
3 2 2
0
1 2 1 2
2 1 0
1 2 ( )( 2) 0
= >
+ = + =
⇔ ⇔
− + =
+ = − + + + =
u v
u v u v
u u
v u u v u uv v
⇔
2
0
1 5
log
2
=
− +
=
x
x
Câu III: Đặt
2
π
= − ⇒ = −x t dx dt
⇒
2 2
3 3
0 0
cos cos
(sin cos ) (sin cos )
π π
= =
+ +
∫ ∫
tdt xdx
I
t t x x
⇒
2 2
4
2
2
0
0 0
1 1
cot( ) 1
2 2 4(sin cos )
sin ( )
4
π π
π
π
π
= = = − + =
+
+
∫ ∫
dx dx
2I x
x x
x
⇒
1
2
=I
Câu IV:
·
0;
2
π
ϕ
= ∈
÷
SCA
3
3
(sin sin )
6
ϕ ϕ
⇒ = −
SABC
a
V
. Xét hàm số
3
sin sin= −y x x
trên khoảng
0;
2
π
÷
. Từ BBT
3 3
max max
3
( )
6 9
⇒ = =
SABC
a a
V y
khi
1
sin
3
ϕ
=
,
0;
2
π
ϕ
∈
÷
Câu V: Đặt
2 2= − − +t x x
1 1
' 0
2 2 2 2
−
⇒ = − <
− +
t
x x
( )⇒ =t t x
nghịch biến trên
[ 2;2]−
[ 2;2]⇒ ∈ −t
. Khi đó: PT ⇔
2
2 2 4= + −m t t
Xét hàm
2
( ) 2 4= + −f t t t
với
[ 2;2]∈ −t
.
Từ BBT ⇒ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
5
5 2 4 2
2
⇔ − < ≤ − ⇔ − < ≤ −m m
Câu VI.a: 1) PT đường thẳng d cắt tia Ox tại A(a;0), tia Oy tại B(0;b):
1+ =
x y
a b
(a,b>0)
M(3; 1) ∈ d
3 1 3 1
1 2 . 12
−
= + ≥ ⇒ ≥
Cô si
ab
a b a b
.
Mà
3 3 2 3 12+ = + ≥ =OA OB a b ab
min
3
6
( 3 ) 12
3 1 1
2
2
=
=
⇒ + = ⇔ ⇔
=
= =
a b
a
OA OB
b
a b
Phương trình đường thẳng d là:
1 3 6 0
6 2
+ = ⇔ + − =
x y
x y
2) Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB ⇒ (Q):
3 0+ − − =x y z
d là giao tuyến của (P) và (Q) ⇒ d:
{
2; 1;= = + =x y t z t
M ∈ d ⇒
(2; 1; )+M t t
2
2 8 11⇒ = − +AM t t
.
Vì AB =
12
nên
∆
MAB đều khi MA = MB = AB
2
4 18
2 8 1 0
2
±
⇔ − − = ⇔ =t t t
6 18 4 18
2; ;
2 2
± ±
⇒
÷
M
Câu VII.a: Ta có
0 1 2 2
(1 ) ( 1)− = − + − + − =
n n n n
n n n n
x C C x C x C x B
Vì
1
0
1
(1 )
1
− =
+
∫
n
x dx
n
,
1
0 1 2
0
1 1 1
( 1)
2 3 1
= − + + + −
+
∫
n n
n n n n
Bdx C C C C
n
1 13 12⇒ + = ⇒ =n n
•
12
5 5
12
3 3
0
2 2
( ) .( ) ( )
−
=
+ =
∑
n k
n k k
k
x C x
x x
,
12 8 36
1 12
.2 .
− −
+
=
k k k
k
T C x
⇒
8 36 20 7− = ⇔ =k k
⇒ Hệ số của
20
x
là:
7 5
12
.2 25344=C
Câu VI.b: 1) Phương trình tham số của ∆:
3 5
=
= −
x t
y t
. M ∈ ∆ ⇒ M(t; 3t – 5)
http://ductam_tp.violet.vn/
( , ). ( , ).= ⇔ =
MAB MCD
S S d M AB AB d M CD CD
⇔
7
9
3
= − ∨ =t t
⇒
7
( 9; 32), ( ;2)
3
− −M M
2) Gọi AB là đường vuông góc chung của
1
∆
,
2
∆
:
1
(2 ; ;4)
∆
∈A t t
,
2
(3 ; ;0)
∆
+ − ∈B s s
AB ⊥ ∆
1
, AB ⊥ ∆
2
⇒
(2;1;4), (2;1;0)A B
⇒ Phương trình mặt cầu là:
2 2 2
( 2) ( 1) ( 2) 4− + − + − =x y z
Câu VII.b: Hàm số luôn có hai điểm cực trị
1 2
2, 2= − − = − +x m x m
. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là
2 2
2 1 2 1 1 2
( ) ( ) 2= − + − = −AB y y x x x x
=
4 2
(không đổi)
