Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.
A. Mở Đầu
1. Lý do chọn đề tài.
Nh chúng ta đã biết vật lí hạt cơ bản là một chuyên ngành hẹp của
môn vật lí, trong đó đi sâu vào nghiên cứu tính chất, các quy luật tơng tác của
hạt cơ bản và phản hạt của chúng. Khi đi sâu vào thế giới hạt cơ bản tức là ta
đã nói tới thế giới hạt vi mô. Vì vậy lí thuyết cổ điển sẽ bị thay thế bởi lí
thuyết lợng tử và đợc dùng nh một công cụ khá tốt để nghiên cứu hạt cơ bản.
Theo giả thiết của Borh về lợng tử hóa quỹ đạo thì mômen xung lợng
của điện tử chuyển động quanh hạt nhân chỉ có thể nhận các giá trị gián đoạn
là một bội số nguyên của
h
.
Trong phần luận văn này ta sẽ thấy giả thiết của Borh là hệ quả của các
tiên đề của cơ học lợng tử. Để thấy rõ điều đó ta nghiên cứu lí thuyết lợng tử
về mômen xung lợng. Trong đó để hình dung một cách cụ thể về trị riêng của
toán tử mômen xung lợng ta có thể trình bày một cách thô sơ trên hình vẽ. Nh-
ng cách trình bày trên hình vẽ chỉ để hiểu một cách trực quan, không thể coi là
cách biểu diễn chính xác về mômen xung lợng. Vì vậy để hiểu một cách chính
xác về mômen xung lợng ta đi xét hệ hai hạt, bỏ qua tơng tác giữa chúng làm
thay đổi mômen xung lợng thì mômen xung lợng của hệ bằng tổng mômen
xung lợng của từng hạt. Và để đi đến đợc điều đó ta dùng quy tắc cộng
mômen xung lợng, cộng mômen spin nói riêng và cộng mômen nói chung.
Tuy nhiên, trong quá trình học tập và lĩnh hội phần lí thuyết nói chung
và vật lí lợng tử nói riêng thì việc giải bài tập vật lí giữ vai trò quan trọng bởi
lẽ chỉ có thể giải bài tập khi đã hiểu cặn kẽ phần lí thuyết về chúng.
Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
1
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.
Vì những lý do trên đây, tôi đã chọn đề tài Cộng mômen trong cơ học
lợng tử. Sau đó áp dụng giải một số bài tập về cộng mômen.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu quy tắc cộng mômen xung lợng quỹ đạo, mômen cơ học
riêngcủa một hạt với hai bậc tự do, mômen xung lợng của hệ hai hạt không t-
ơng tác.
3. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu
Tìm hiểu về mômen xung lợng quỹ đạo, mômen cơ học riêng, mômen
xung lợng toàn phần, cộng mômen xung lợng của các hạt.
Dùng cho hệ hạt không tơng tác.
4. Phơng pháp nghiên cứu
Dùng phơng pháp toán cho vật lí: Toán tử, giải phơng trình hàm riêng
và trị riêng.
Chơng 1: Cộng mômen xung lợng
1.1 Mômen xung lợng
1.1.1 Toán tử mômen xung lợng
Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
2
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.
Theo cơ học cổ điển một hạt chuyển động trên quỹ đạo với xung lợng
p
, bán kính vectơ
r
, sẽ có mômen xung lợng
prL =
. Nh vậy toán tử
mômen xung lợng của hạt
prL


=
. Hay:

)(

= riL
và các toán tử
hình chiếu mômen xung lợng của hạt có dạng :













==














==













==/
xy
xyz
zx
zxy
yz
yzx
yxipypxL
xzipxpzL
zyipzpyL













Còn toán tử bình phơng mômen xung lợng :
2222

zyx
LLLL ++=
Sau đây ta nêu lên một vài hệ thức giao hoán giữa các toán tử mômen
xung lợng với nhau và giữa bình phơng môen xung lợng với chúng:
0]

,

[]

,

[]

,

[

]


,

[;

]

,

[;

]

,

[
222
===
===
zyx
yxzxzyzyx
LLLLLL
LiLLLiLLLiLL
Để thuận tiện ngời ta đa vào các toán tử:
yx
LiLL

=

Các toán tử này tuân theo các hệ thức sau:

zzzz
z
z
LLLLLLLLL
LLL
LLL


],

[

2]

,

[
222



++=+=
=
=
++

+
Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
3
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.

1.1.2 Trị riêng của toán tử mômen xung lợng
a. Trị riêng của toán tử hình chiếu mômen xung lợng lên phơng Oz
Để thuận tiện ta dùng tọa độ cầu. Trong tọa độ cầu



= iL
z

Gọi

là hàm riêng tơng ứng với trị riêng
z
L
của toán tử
z
L

Thì phơng trình cho hàm riêng và trị riêng:

zz
LL =

Giải phơng trình này ta tìm đợc thành phần phụ thuộc vào

của

có
dạng:
( )







=


z
L
i

exp
Vậy
( )


,,r
là một hằng số nhân với hàm mũ trên, hằng số này nói
chung có thể phụ thuộc vào các tọa độ

&r
( ) ( )







=


zrr
L
i
C

exp
,,,
Chú ý rằng khi

thay đổi

2
thì lại trở về điểm cũ. Muốn cho

là
một hàm đơn trị thì
( ) ( )


2+
=
.
Biến đổi đơn giản ta thu đợc
mL
z
=
với m = 0;

; 2;1
Từ đó suy ra rằng trị riêng của
z
L

là một số nguyên lần

.
b. Trị riêng của bình phơng mômen xung lợng
Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
4
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.
Vì hiệu
2222

yxz
LLLL +=
bằng toán tử của một đại lợng vật lí dơng xác
định
0
22
+
yx
LL
. Cho nên ứng với mỗi giá trị cho trớc của bình phơng mômen
xung lợng L
2
thì tất cả các giá trị riêng khả dĩ L
z
phải thỏa mãn bất đẳng thức:

0
22

z
LL


22
LLL
z

Nh vậy, các giá trị khả dĩ của L
z
bị giới hạn bởi cận trên và cận dới. Ta
kí hiệu l là số nguyên tơng ứng với giá trị lớn nhất của
lL
z
=
max
)(
.
Do đó:
0, ,
10
=
l

, còn
( )
0

1
=
+ l

Từ

== LLLLLLL
zzz

]

,

[
Nên

= LLLLL
zz


Tác dụng

LL
z

lên
m

ta đợc
mmzmz

LLLLL


=


Hay:
( ) ( )
mmmz
LmLmLLL


==

1


với
m

là hàm ứng với giá trị riêng
m
của
z
L

Từ đây suy ra rằng
m
L




là hàm riêng tơng ứng với trị riêng
( )
1m

của toán tử
z
L

.
Vì
m

là hàm riêng ứng với trị riêng
m
của
z
L

, cho nên:
mmz
mL

=

;
( )
11
1



=
mmz
mL


Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
5
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.
Bởi vậy:
1


=
mm
L

Nếu m = l thì
0

1
==
++ ll
L

(Vì trạng thái ứng với m > l là không có)
Tác dụng
2


L
lên
l

ta có :
( )
llllzlzll
llllLLLLL

222222
10

+=++=++=
+
Nh vậy trị riêng của toán tử bình phơng mômen xung lợng là l(l+1)
2

,
với l là các giá trị nguyên dơng, kể cả giá trị 0. Với một giá trị của l đã cho thì
m có nhiều giá trị. Nh trên đã nói l là giá trị lớn nhất của m, mặt khác hai h-
ớng giữa trục của z là tơng đơng nhau về mặt vật lí nên với mỗi giá trị của l lại
có một giá trị khác trái dấu. Nh vậy m có thể có các giá trị nguyên từ +l đến -l
:
m = +l, l-1, l-2, ,-l tất cả có (2l+1) giá trị.
1.1.3 Phép cộng mômen xung lợng.
Để hình dung một cách cụ thể về trị riêng của toán tử mômen
xung lợng ta có thể trình bày một cách thô sơ trên hình vẽ:


z


2

Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
6
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.



O
6
-

-2

Vectơ mômen xung lợng có độ dài :
)1( += llL
. Hình chiếu của
vectơ này lên trục z có độ lớn đại số là : L
z
= m

với m = +l; l-1;;-l. Nh vậy
L
không thể định hớng tùy ý trong không gian, nó chỉ có thể định hớng nh thế
nào để hình chiếu có giá trị nh trên.
Ví dụ : Hình vẽ trên của
L
ứng với l = 2


( )


2;;0
61
=
=+=
z
L
llL
Trên mặt phẳng hình vẽ
L
chỉ có thể có 5 cách định hớng khác nhau (ở
nửa bên phải của trục z). Nếu ta quay hình vẽ quanh trục z thì đợc các hớng có
thể có của
L
trong không gian.
Bây giờ, ta xét hệ gồm hai hạt có mômen xung lợng lần lợt là
21
; LL

Nếu ta bỏ qua tơng tác của hai hạt làm thay đổi mômen xung lợng thì mômen
xung lợng của hệ
L
=
21
LL +
. Nếu biết số lợng tử l
1
, m

1
, l
2
, m
2
xác định
mômen xung lợng
21
; LL
thì ta có thể suy ra các số lợng tử l, m xác định
mômen xung lợng
L
. Cách suy ra các số lợng tử l, m gọi là phép cộng mômen
xung lợng trong cơ học lợng tử.
Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
7
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.
Ta có : L
z
= L
1z
+ L
2z
Hay:
2121
mmmmmm +=+=

Mà giá trị cực đại của m
1
là l

1
; của m
2
là l
2
. Nên giá trị cực đại của m là
(l
1
+l
2
). Ta có thể hiểu một cách thô sơ rằng đây là trờng hợp
21
; LL
cùng hớng.
Trờng hợp hai vectơ ấy ngợc hớng thì l =
21
ll
.
Còn trờng hợp khác l có giá trị nguyên trong khoảng giữa hai giá trị
trên. Tức là : l = l
1
+ l
2
; l
1
+ l
2
- 1 ; ;
21
ll

.
1.2 Lý thuyết lợng tử về mômen xung lợng.
1.2.1 Lợng tử hóa mômen xung lợng.
Quy tắc lợng tử hóa mômen xung lợng :Toán tử bình phơng mômen
xung lợng toàn phần
2

J
của hạt vi mô có trị riêng là j( j +1 )
2

. Trong đó j là
số không âm nguyên hoặc bán nguyên.
Toán tử hình chiếu của mômen xung lợng toàn phần lên trục z có giá trị
riêng là J
z
= m
j


.Với : m
j
= +j; j-1; ; -j. Có tất cả ( 2j + 1 ) giá trị.
Tập hợp (2j + 1) hàm sóng ứng với (2j + 1) trị riêng khác nhau của
z
J


và với cùng một trị riêng j( j +1 )
2


của
2

J
đợc gọi là một đa tuyến.
1.2.2 Quy tắc cộng mômen xung lợng.
Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
8
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.
Xét một hệ gồm hai hạt và gọi các toán tử mômen xung lợng của chúng
là
)2()1(

,

JJ
. Giả sử giữa hai hạt không có tơng tác. Khi đó hạt thứ i (i =1,
2) Có thể đợc diễn tả bằng (2j
i
+1) hàm sóng
)(i
j
ii
à

với các giá trị xác định của
các bình phơng mômen xung lợng và hình chiếu của nó lên trục Oz:
)(2)()(2
)1(


i
jii
i
j
i
iiii
jjJ
àà

+=

)()(
)(

i
ji
i
j
i
z
iiii
J
àà
à
=
Với :
iiii
jjj ++= , ,1,
à

. Tức là :
ii
j
à
Hệ hai hạt nh vậy đợc mô tả bằng (2j
1
+ 1) (2j
2
+ 1) tích trực tiếp của hai
hàm sóng
)2()1(
2211
àà

jj
.
Trong nhiều trờng hợp ngời ta lại quan tâm đến mômen xung lợng toàn
phần của hệ. Toán tử mômen xung lợng toàn phần và hình chiếu của nó lên
trục Oz là:
)2()1(

JJJ +=
)2()1(

z
zz
JJJ +=
Bình phơng mômen xung lợng toàn phần và hình chiếu của nó lên trục
Oz có trị riêng là j( j+1)
2


và

à
với
j
à
.
Vấn đề đặt ra là j bằng bao nhiêu và các hàm riêng tơng ứng có dạng
nh thế nào?
Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
9
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.
Trớc hết, ta thấy rằng tích
)2()1(
2211
àà

jj
là hàm riêng của
z
J

ứng với trị
riêng:

à
=
( )


21
àà
+
Vì :
)2()1(
2211

àà

jjz
J
=
)

(
)2()1(
z
z
JJ +
)2()1(
2211
àà

jj
=
)

(
)1()1()2(
1122

àà

jzj
J
+
)

(
)2()2()1(
2211
àà

jzj
J
=
( )

21
àà
+
)2()1(
2211
àà

jj
Nhng các tích
)2()1(
2211
àà


jj
lại không phải là hàm riêng của
2

J
. Vì sự có
mặt của 2
)2()1(

JJ
làm cho
)2()1(2
2211

àà

jj
J


cosnt
)2()1(
2211
àà

jj
Tuy nhiên từ các tích
)2()1(
2211
àà


jj
có thể lập đợc tổ hợp tuyến tính đồng
thời là hàm riêng của
z
JJ

,

2
, kí hiệu là
à

jjj
21

2

J
à

jjj
21
= j( j+1)
2


à

jjj

21
z
J

à

jjj
21
=

à
à

jjj
21
Vì giá trị lớn nhất của
21
,
àà
là j
1
, j
2
nên
21max
jj +=
à
khi và chỉ khi
{ }
2211

, jj ==
àà
. Hàm sóng hai hạt tơng ứng duy nhất là
)2()1(
2211
jjjj

. Đó cũng
chính là trạng thái ứng với giá trị mômen xung lợng toàn phần j
=
21max
jj +=
à
. Vậy
212121
jjjjjj ++

=
)2()1(
2211
jjjj

.
Giá trị tiếp theo của
à
là
1
max

à

=
1
21
+
jj
, khi
{ }
1,
2211
== jj
àà
,
hoặc
{ }
2211
,1 jj ==
àà
. Hàm sóng hai hạt tơng ứng là
)2(
1
)1(
2211

jjjj

, hoặc
Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
10
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.
)2()1(

1
2211
jjjj


. Từ hai hàm này, có thể lập hai tổ hợp độc lập tuyến tính, một tổ
hợp cho j =
21
jj
+
, ứng với hàm sóng
1
212121
++ jjjjjj

, còn tổ hợp kia cho j=
1
21
+
jj
, ứng với hàm sóng
11
212121
++ jjjjjj

.
Ta quy ớc rằng
.21
jj
. Cứ mỗi lần giảm đi một đơn vị lại xuất hiện

thêm hàm sóng mới cho tới khi
21
jj =
à
. Giá trị này của
à
có thể nhận đ-
ợc trong (2j
2
+1) trờng hợp
{ }
21
,
àà
=
{ }
21
, jj
;
{ }
1,1
21
+ jj
; ;
{ }
221
,2 jjj
, ứng với (2j
2
+1) hàm sóng hai hạt

)2()1(
2211
jjjj


;
)2(
1
)1(
1
2211
+ jjjj

; ;
)2()1(
2
22211
jjjjj


.
Từ (2j
2
+1) hàm sóng này có thể lập (2j
2
+1) tổ hợp độc lập tuyến tính
cho j =
21
jj
+

,
1
21
+
jj
, ,j
1
- j
2
lần lợt ứng với
212121
jjjjjj +

,
212121
1 jjjjjj +

,,
212121
jjjjjj

.
Với các giá trị tiếp theo của
à
mà
à

12
jj
< j

1
- j
2
, tức là
à
=
21
jj
với

là các số nguyên trong khoảng 0 <
( )
21
2 jj


, số các
trạng thái không tăng thêm mà vẫn bằng (2j
2
+1) đó là:
{ }
21
,
àà
=
{ }
21
, jj

,

{ }
1,1
21
+ jj

, ,
{ }
221
,2 jjj

, ứng với hàm sóng hai hạt là
)2()1(
2211
jjjj


,
)2(
1
)1(
1
2211
+ jjjj


,,
)2()1(
2
22211
jjjjj




. Từ (2j
2
+1) hàm sóng này có thể
lập (2j
2
+1) tổ hợp độc lập tuyến tính cho j =
21
jj
+
,
1
21
+
jj
, ,j
1
- j
2
, lần l-
ợt ứng với
212121
jjjjjj +

,
212121
1 jjjjjj +


,,
212121
jjjjjj

.
Giảm tiếp
à
một đơn vị ta có
1
12
=
jj
à
. Số trạng thái tơng ứng
giảm đi 1 so với trờng hợp
à
=
21
jj
vừa xét ở trên. Đó là 2j
2
trạng thái
Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
11
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.
có :
{ }
21
,
àà

=
{ }
221
,12 jjj +
,
{ }
1,22
221
++ jjj
,,
{ }
1,
21
jj
, ứng với
2j
2
hàm sóng hai hạt
)2()1(
12
22211
jjjjj +

,
)2(
1
)1(
22
22211
++ jjjjj


,,
)2(
1
)1(
2211

jjjj

. Từ 2j
2
hàm sóng này có thể lập 2j
2
tổ hợp độc lập tuyến tính cho j =
21
jj
+
, ,
j
1
- j
2
+1, lần lợt ứng với
1
122121
+ jjjjjj

,
11
122121

+ jjjjjj

,,
11
122121
+ jjjjjj

Bắt đầu từ giá trị
1
12
=
jj
à
mỗi lần
à
giảm đi một đơn vị thì số
trạng thái cũng giảm đi 1 cho tới khi
21
jj =
à
, ứng với một trạng thái duy
nhất
{ }
2211
, jj ==
àà
. Vậy
212121
jjjjjj +


=
)2()1(
2211
jjjj

.
Khi
.12
jj
, các lập luận ở trên vẫn đúng , ta chỉ cần làm phép hoán vị
j
1

j
2
Tóm lại, với j
1
, j
2
cho trớc ,từ các tích
)2()1(
2211
àà

jj
, ta có thể lập đợc các tổ
hợp độc lập tuyến tính là các hàm sóng
à

jjj

21
của các trạng thái riêng của hệ
hai hạt có mômen xung lợng toàn phần J và hình chiếu của nó J
z
.
J =
( )
1+jj
; J
z
=

à

Với
jj
à
, j lấy các giá trị cách nhau một đơn vị mà giá trị lớn nhất là
(j
1
+ j
2
), còn giá trị nhỏ nhất là
21
jj
212121
; ;1; jjjjjjj ++=
Với mỗi giá trị của j có (2j+1) trạng thái, ứng với các giá trị khác nhau
của
[ ]

2121
, jjjj +
à
.
Số các hàm với tất cả giá trị khả dĩ của j là:
Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
12
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.

( )( )
1212)12(
21
21
21
++=+

+=
=
jjj
jjj
jjj
chính bằng số các tích
)2()1(
2211
àà

jj
với giá trị khả dĩ của
21
,

àà
.
Các hệ số
à
àà
j
jj
C
2211
quy ớc là thực trong các tổ hợp tuyến tính :

à

jjj
21


+=
=
21
2211
ààà
à
àà
j
jj
C
)2()1(
2211
àà


jj
Các hệ số
à
àà
j
jj
C
2211
gọi là hệ số Clebsh-Gordan, các hệ số này xác định
phần đóng góp của các hàm khác nhau
)2()1(
2211
àà

jj
. Và các hệ số này cho bởi
bảng riêng.
Các kết quả trên đây gọi là quy tắc cộng mômen xung lợng.
Các lập luận trên cũng có thể áp dụng cho hàm sóng một hạt với hai bậc
tự do khác nhau : bậc tự do chuyển động quỹ đạo với mômen xung lợng quỹ
đạo và bậc tự do spin. Bây giờ,
L

đóng vai trò của
)1(

J
,
S


đóng vai trò của
)2(

J
và :
SLJ


+=
là toán tử mômen xung lợng toàn phần của hạt có spin.
Trong trờng hợp hạt có spin 1/2 và ở trạng thái có l
0
thì j = l +1/2
hoặc l -1/2.
Nếu hệ vật lí gồm nhiều hạt vi mô cùng chuyển động trong trờng xuyên
tâm thì mômen xung lợng toàn phần
J

của cả hệ sẽ đợc hợp thành tùy theo
các dạng tơng tác. Trong trờng hợp tơng tác spin-quỹ đạo của mỗi hạt mạnh
hơn so với tơng giữa các hạt với nhau thì:

=
=
1

i
i
JJ

với
iii
SLJ


+=

Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
13
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.
Nếu ngợc lại thì :
J

=
L

+
S

với

=
=
1

i
i
LL
,


=
=
1

i
i
SS
.
1.3 Bài tập
Bài 1: Xác định những giá trị có thể có của mômen từ của nguyên
tử ở trạng thái
D
3
?
Bài giải:
Ta có mômen từ :
( ) ( )
SJ
m
e
SL
m
e
S
m
e
L
m
e
M +=+=+=

2
2
22
Toán tử mômen từ :
( )
JGJ
J
SJ
m
e
SJ
m
e
M



1



2


2

2
=









+=+=
Với :








+
+
= 1

2


2

2
222
J
SLJ
m

e
G
. Do đó tri riêng của
G

là :G =g.
m
e
2

trong đó:
1
)1(2
)1()1()1(
+
+
++++
=
jj
llssjj
g
Vậy trị riêng của toán tử mômen từ là:
)1( += jjgM
B
à

với:

m
e

B
2
=
à
là Mannhêtôn Bo
Theo giả thiết trạng thái của nguyên tử là
D
3
nên 2s + 1=3 và l = 2
Hay: s =1; l = 2. Và theo quy tắc cộng mômen ta có:
Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
14
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.
j = l +s; l +s-1;l - s = 3; 2; 1.
Với j =3 thì M
1
=
B
à
3
8
Với j =2 thì M
2
=
B
à
6
7

Với j =1 thì M

3
=
B
à
2
1
Bài 2: Mômen từ của nguyên tử ở trạng thái
FD
54
,
bằng 0. Xác
định mômen của nó trong các trạng thái đó?
Bài giải:
Theo bài 1 ta có công thức tính mômen từ của nguyên tử :
M = g.
B
à
.
)1( +jj
= 0 (1)
trong đó :
1
)1(2
)1()1()1(
+
+
++++
=
jj
llssjj

g
+) Với nguyên tử ở trạng thái
D
4
thì
2
3
=s
; l = 2. Thay vào (1) ta đợc: j
2
1
=
Vậy mômen xung lợng toàn phần :

2
3
=J
+) Với nguyên tử ở trạng thái
F
5
thì s = 2, l = 3.
Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
15
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.
Tơng tự trên ta tìm đợc
6=J
Bài 3: Hãy chỉ ra các trạng thái có thể có của mômen toàn phần
trong các trạng thái
DPS
431

,,
?
Bài giải:
+) Trạng thái
S
1
có nghĩa là s = 0, l = 0 .
Mômen xung lợng toàn phần :
)1( += jjJ
,
với j = l + s,l + s-1,,
sl
= 0
Vậy ta có trạng thái
0
1
S
.
+) Trạng thái
P
3
có nghĩa là s = 1, l = 1. tơng tự trên có j = 0, 1, 2
Vậy ta có trạng thái khả dĩ :
,
0
3
P
,
1
3

P
,
2
3
P
+) Tơng tự trên: Trạng thái
D
4
có các trạng thái khả dĩ:
2
7
4
2
5
4
2
3
4
2
1
4
,,, DDDD
Bài 4: Có thể tồn tại những trạng thái nào đối với hai electron sau:
a) ns và ns c) ns và nd
b) ns và np d) np và np
Bài giải:
Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
16
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.
a) Với hai electron ns và ns thì l

1
= l
2
= 0 ; s
1
= s
2
=
2
1

Nên: Mômen xung lợng quỹ đạo của hệ hai electron
21
LLL +=
Mômen xung lợng riêng của hệ hai electron
21
SSS +=
trong đó :
)1( += llL
; l = l
1
+ l
2
; l
1
+ l
2
-1;.;
21
ll

= 0

)1( += ssS
s = s
1
+ s
2
; s
1
+ s
2
-1;.;
21
ss
= 1; 0
Mômen xung lợng toàn phần:
J
=
SL +
.
Với :
)1( += jjJ
; j = l + s,l + s-1,,
sl

Nếu s = 0 thì j = 0; nếu s = 1 thì j = 1
Vậy tồn tại những trạng thái khả dĩ:
0
1
S

và
1
3
S

b) Tơng tự câu (a) ta có số lợng tử l và s của hệ hai electron trên là : l
=1,s = 0; 1
Nếu s = 0 thì j = 1 ,ứng với trạng thái
,
1
1
P
Nếu s = 1 thì j = 0; 1; 2 ,ứng với các trạng thái khả dĩ sau:
,
0
3
P
,
1
3
P
,
2
3
P
c) Làm tơng tự trên ta đợc kết quả:
,
2
1
D

,
1
3
D
,
2
3
D
,
3
3
D
d) Kết quả:
0
1
S
;
,
1
1
P

,
2
1
D
,
1
3
S

,
0
3
P
,
1
3
P
,
2
3
P
,
1
3
D
,
2
3
D
,
3
3
D
Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
17
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.
Bài 5: Xác định các giá trị khả dĩ của mômen xung lợng quỹ đạo
của hệ gồm 1 electron d và 1 electron f?
Bài giải :

Gọi
21
, LL
là mômen xung lợng quỹ đạo của electron d và f
Ta có:
)1(
111
+= llL
;
)1(
222
+= llL
, với l
1
=2; l
2
= 3
Gọi
L
là mômen xung lợng quỹ đạo của hệ
Thì:
21
LLL +=
;
)1( += llL
với l = l
1
+ l
2
; l

1
+ l
2
-1;.;
21
ll
= 5; 4; 3; 2; 1
Vậy ta có các giá trị khả dĩ của
L
:
+) l = 5 thì
30=L
+) l =4 thì
52=L
+) l = 3 thì
32=L
+) l = 2 thì
6=L
+) l = 1 thì
2=L
Gọi là góc hợp bởi
21
, LL
thì

cos2
21
2
2
2

1
2
LLLLL ++=

cos
=
21
2
2
2
1
2
2 LL
LLL

Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
18
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.
Hay:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 2
2 1 1 2
1 1 1
cos
2 1 1
l l l l l l
l l l l

+ + +

=
+ +

Với l =1 thì
0
5,160=


2
L

L

L

L

2
L
Với l =2 thì
0
135=


Với l =3 thì
0
7,1 10=


1

L
Với l =4 thì
0
23,83=

Với l =5 thì
0
45=


Bài 6: Hạt có Spin bằng 1/2 chuyển động trong trờng xuyên tâm.
Tìm hàm sóng mà nó đồng thời là hàm riêng của
.

,

,

22
JLJ
z
?
Bài giải:
Ta viết
Z
J

dới dạng ma trận:

















+



=









+











=









+








=+=
2

1
0
0
2
1
10
01
2
10
01
10
01
2
10
01






i
i
i
LSLJ
ZZzZ





Ta lại có:
Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
19
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö.
( )
σ
ˆ
2
ˆ
ˆ
ˆ
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆˆ
22
2
2

=
++=+=
S
SLSLSLJ
Nªn:
( )









−+
−
=


















−
+









−
+








=
++==
zyx
yxz
z
z
y
y
x
x
zzyyxx
LLiL
LiLL
L
L

Li
Li
L
L
LLLLSL
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆ
0
0
ˆ
0
ˆ
ˆ
0
0
ˆ
ˆ
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2




σσσσ
Cßn:













+
+
=








+









=+
22
22
2222
4
3
ˆ
0
0
4
3
ˆ
10
01
4
3
10
01
ˆ
ˆ
ˆ




L
L
LSL
Nªn












−+
++
=++=
+
−
z
z
LLL
LLL
SLSLJ
ˆ
4

3
ˆˆ
ˆˆ
4
3
ˆ
ˆ
ˆ
2
ˆ
ˆˆ
22
22
222


trong ®ã :
yx
LiLL
ˆˆˆ
±=
±
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ
20
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.
Hàm sóng

đợc viết dới dạng ma trận:









=
2
1



Phơng trình cho hàm riêng và trị riêng của
z
J

:

zz
JJ =

Hay:









=
























+



2

1
2
1
2
1
0
0
2
1






m
i
i









=




=+



222
111
2
1
2
1




mi
mi















+=








=



22
11
2
1
2
1




mi
mi
Thành phần phụ thuộc vào

của
21

,

có dạng














2
1
exp mi
hoặc













+

2
1
exp mi
Nên nghiệm
( )

,
11
rf
=














2

1
exp mi
;
( )

,
22
rf
=












+

2
1
exp mi
trong đó f
1
, f
2

là hàm tùy ý của

,r
Vì

cũng là hàm riêng của
2

L
nên ta có:
Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
21
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.
( ) ( )
( ) ( )










=









=
+






,
,
2
1
,
2
2
1
,
1
2
1
ml
ml
YrR
YrR
trong đó: R
1

(r), R
2
(r) là hàm bán kính, m là số bán nguyên. Bây giờ ta
phải chọn R
1
(r), R
2
(r) sao cho

đồng thời là hàm riêng của
2

J
:

22

JJ =
Hay :
( )








+=









2
1
2
2
1
2
1





jjJ















+
++
+

z
z
LLL
LLL

4
3


4
3

22
22


( ) ( )
( ) ( )











+



,
,
2
1
,
2
2
1
,
1
ml
ml
YrR
YrR
=
( )
1
2
+jj
( ) ( )

( ) ( )










+



,
,
2
1
,
2
2
1
,
1
ml
ml
YrR
YrR
Từ đây ta có :

( ) ( ) ( ) ( )

,1,

,

4
3

2
1
,
1
2
2
1
,
2
2
1
,
1
22
+


+=+







++
mlmlml
z
YRjjYRLYRLL
( ) ( ) ( ) ( )

,1,

,

4
3

2
1
,
2
2
2
1
,
1
2
1
,
2
22

+
+
+
+=+






+
mlmlml
z
YRjjYRLYRLL
Do
+
LL

,

không phụ thuộc vào r nên chúng chỉ tác động lên hàm
( )

,Y
Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
22
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.
Mặt khác :
( )( )
1,,

1

++
++=
mjmj
mjmjJ


( )( )
mjmj
mjmjJ
,1,
1


++=
+

Nếu đặt
0

=S
thì
LJ

=
khi đó ta tìm đợc :
( ) ( )( )
1',',
1'',


++
++=
mlml
YmlmlYL

( ) ( )( )
',1',
1'',

mlml
YmlmlYL ++=
+


Với m=m- 1/2 thì :
( )
2
1
,
2
2
2
1
,
2
1
,

+









+=
mlml
YmlYL

Ta có :
( ) ( )

,
2
1
,

2
1
,
2
1
,







=
mlml
z
YmYL
( ) ( )

,
2
1
,

2
1
,
2
1
, ++






+=
mlml
z
YmYL
( ) ( ) ( )


,1,

2
1
,
2
2
1
,
2

+=
mlml
YllYL
Từ các biểu thức trên ta có :
Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
23
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.
( ) ( )
( ) ( )







=







++++






+
=






++






++++
0
4

1
11
2
1
0
2
1
4
1
11
21
2
2
2
2
2
1
RmjjllRml
RmlRmjjll
Để hệ phơng trình trên có nghiệm không tầm thờng thì định thức các hệ
số phải bằng 0.
Từ đó ta tìm đợc:
2
1
= lj
.
Trong trờng hợp
2
1
+= lj

ta đợc :
0
2
1
2
1
2
1
21
=++++






+ RmlmlRml
0
2
1
2
1
2
1
12
=++++







++ RmlmlRml
Nên :
)(21
2
1
2
1
2
1
r
RmlR
ml
ml
R ++=
+
++
=
)(12
2
1
2
1
2
1
r
RmlR
ml
ml

R +=
++
+
=
Trong trờng hợp
2
1
= lj
. Tơng tự trên ta đợc:
Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
24
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.
2
1
1
+= mlR
R
(r)
;
2
1
2
++= mlR
R
(r)
Nh vậy thì hàm sóng
( )

,,
,,

r
mjl
của hạt có dạng:
)(),,(
,
,2
1
,
rRr
mll
=
+








+
++
+

),(
2
1
),(
2
1

2
1
,
2
1
,


ml
ml
Yml
Yml
)(),,(
,
,2
1
,
rRr
mll
=









++

+
+

),(
2
1
),(
2
1
2
1
,
2
1
,


ml
ml
Yml
Yml
Bài 7: Gọi
zyx
JJJ

,

,

là các toán tử thành phần của toán tử

J

thỏa
mãn các hệ thức giao hoán sau:

zxyyx
JiJJJJ

=
(1)

xyzzy
JiJJJJ

=
(2)
yzxxz
JiJJJJ

=
(3)
zyx
JJJ

,

,

là những toán tử Hermite
1) Chứng minh rằng:

a)
[ ]
x
JJ

,

2
=
[ ]
y
JJ

,

2
=
[ ]
z
JJ

,

2
= 0
Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
25