LỜI GIẢI 14 BÀI CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG TUYỂN SINH ĐẠI HỌC
LỜI GIẢI
Áp dụng BĐT Cơsi cho 6 số dương ta có:
2 = x + y + z + x + y + z ≥ 6
3
xyz
(1)
và xy + yz + zx ≥ 3
2 2 2
3
x y z
(2)
Nhân các BĐT (1) và (2) vế theo vế ta được:
2(xy + yz + zx) ≥ 18xyz (3)
Mặt khác ta có: xyz(xy + yz + zx) > 0 (4)
Cộng các BĐT (3) và (4) vế theo vế ta được:
(xy + yz + zx)(2 + xyz) > 18xyz ⇒ xy + yz + zx >
+
18xyz
2 xyz
(vì 2 +xyz > 0)
2.Chứng minh BĐT sau đây ln ln đúng với mọi số thực x, y, z bất kì khác khơng:
+ + ≥
+ +
2 2 2 2 2 2
1 1 1 9
x y z x y z
(CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)
LỜI GIẢI
BĐT cần chứng minh ⇔
     

+ + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
     
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
y z x z x y
1 1 1
x x y y z z
≥ 9
⇔ 3 +
     
+ + + + +
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
     
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
y z x z x y
x x y y z z
≥ 9
3. Cho 3 số a, b, c khác 0. Chứng minh:
+ + ≥ + +
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c a
b c a
(ĐH Y Dược TP HCM 1999)
LỜI GIẢI

Áp dụng BĐT Cơsi ta có:
*
+ + ≥ =
2 2 2 2 2 2
3
2 2 2 2 2 2
a b c a b c
3 . . 3
b c a b c a
(1)
*
+ ≥
2
2
a a
1 2
b
b
;
+ ≥
2
2
b b
1 2
c
c
;
+ ≥
2
2

c c
1 2
a
a
⇒
 
+ + ≥ + + −
 ÷
 
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
2 3
b c a
b c a
(2)
Kết hợp (1) và (2) ta được:
 
 
+ + ≥ + +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
2 2
b c a

b c a
⇒
+ + ≥ + +
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c a
b c a
1. CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx >
+
18xyz
2 xyz
(ĐH Tây Ngun khối AB 2000)
4. Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3. Chứng minh rằng:
+ + ≤ ≤ + +
+ + +
+ + +
2 2 2
x y z 3 1 1 1
2 1 x 1 y 1 z
1 x 1 y 1 z
(ĐH Hàng hải 1999)
LỜI GIẢI
• Do (x – 1)
2
≥ 0 nên x
2
+ 1 ≥ 2x ⇔
+
2

2x
1 x
≤ 1
Tương tự ta cũng có:
+
2
2y
1 y
≤ 1;
+
2
2z
1 z
≤ 1
Do đó:
+
2
2x
1 x
+
+
2
2y
1 y
+
+
2
2z
1 z
≤ 3

Hay:
+ + ≤
+ + +
2 2 2
x y z 3
2
1 x 1 y 1 z
(1)
• Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số không âm ta có:
+ +
+ + +
≥ =
+ + +
+ + +
3
3
1 1 1
1 1
1 x 1 y 1 z
3 (1 x)(1 y)(1 z)
(1 x)(1 y)(1 z)
⇒
≤ + + +
+ +
+ + +
3
3
(1 x)(1 y)(1 z)
1 1 1
1 x 1 y 1 z

≤
+ + + + +(1 x) (1 y) (1 z)
3
≤ 2
⇔
≤ + +
+ + +
3 1 1 1
2 1 x 1 y 1 z
(2)
Kết hợp (1) và (2) ta được BĐT cần chứng minh.
5. Cho 3 số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1]. Chứng minh rằng:
2(x
3
+ y
3
+ z
3
) – (x
2
y + y
2
z + z
2
x) ≤ 3 (*)
(ĐH An ninh HN khối D 1999)
LỜI GIẢI
Vì 0 ≤ x, y, z ≤ 1 nên x
2
≥ x

3
; y
2
≥ y
3
; z
2
≥ z
3
.
Suy ra: 2(x
3
+ y
3
+ z
3
) – (x
2
y + y
2
z + z
2
x) ≤ 2(x
2
+ y
2
+ z
2
) – (x
2

y + y
2
z + z
2
x)
Do đó nếu ta chứng minh được:
2(x
2
+ y
2
+ z
2
) – (x
2
y + y
2
z + z
2
x) ≤ 3 (1)
thì (*) đúng.
Ta có: (1 – y)(1 + y – x
2
) ≥ 0 ⇔ x
2
+ y
2
– x
2
y – 1 ≤ 0 (2)
Dấu “=” ở (2) xảy ra ⇔

=


=




=


y 1
x 1
y 0
Tương tự ta cũng có: x
2
+ z
2
– z
2
x – 1 ≤ 0 (3)
y
2
+ z
2
– y
2
z – 1 ≤ 0 (4)
Cộng (2), (3), (4) vế theo vế ta được:
2(x

2
+ y
2
+ z
2
) – (x
2
y + y
2
z + z
2
x) ≤ 3
Vậy (1) đúng ⇒ (*) đúng
Nhận xét: Dấu “=” ở (*) xảy ra ⇔ (x; y; z) ∈
{ }
(1;1;1),(1;1;0),(1;0;1),(0;1;1)
6. Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z ≤ 1. Chứng minh rằng:
+ + + + + ≥
2 2 2
2 2 2
1 1 1
x y z 82
x y z
(Đại học khối A 2003)
LỜI GIẢI
(x + y + z)
2
+
 
+ +

 ÷
 
2
1 1 1
x y z
= 81(x + y + z)
2
+
 
+ +
 ÷
 
2
1 1 1
x y z
– 80(x + y + z)
2

≥ 18(x + y + z).
 
+ +
 ÷
 
1 1 1
x y z
– 80(x + y + z)
2
≥ 162 – 80 = 82
Vậy P ≥
82

Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z =
1
3
.
7. Cho x, y, z là các số dương thoả mãn :
+ + =
1 1 1
4
x y z
.
Chứng minh rằng:
+ + ≤
+ + + +
1 1 1
1
2x+y+z x 2y z x y 2z
(Đại học khối A 2005)
LỜI GIẢI
Với a, b > 0 ta có:
4ab ≤ (a + b)
2
⇔
+
≤
+
1 a b
a b 4ab
⇔
 
≤ +

 ÷
+
 
1 1 1 1
a b 4 a b
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Áp dụng kết quả trên ta có:
 
≤ +
 ÷
+
 
1 1 1 1
2x+y+z 4 2x y z
≤
 
 
+ +
 
 ÷
 
 
1 1 1 1 1
4 2x 4 y z
=
 
+ +
 ÷
 
1 1 1 1

8 x 2y 2z
(1)
Tương tự:
 
≤ +
 ÷
+ + +
 
1 1 1 1
x 2y z 4 2y x z
≤
 
 
+ +
 ÷
 
 
 
1 1 1 1 1
4 2y 4 x z
=
 
+ +
 ÷
 
1 1 1 1
8 y 2z 2x
(2)
 
≤ +

 ÷
+ + +
 
1 1 1 1
x y 2z 4 2z x y
≤
 
 
+ +
 
 ÷
 
 
1 1 1 1 1
4 2z 4 x y
=
 
+ +
 ÷
 
1 1 1 1
8 z 2x 2y
(3)
Vậy:
 
+ + ≤ + +
 ÷
+ + + +
 
1 1 1 1 1 1

1
2x+y+z x 2y z x y 2z 4 x yz
= 1
Ta thấy trong các bất đẳng thức (1), (2), (3) thì dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
x = y = z. Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =
3
4
.
8. (Đại học khối D 2005)
Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
+ + + +
+ +
+ + ≥
3 3 3 3
3 3
1 x y 1 y z
1 z x
3 3
xy yz zx
Khi nào đẳng thức xảy ra?
LỜI GIẢI
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có:
1 + x
3
+ y
3
≥ 3
3 3
3
1.x .y

= 3xy ⇔
+ +
≥
3 3
1 x y
3
xy
xy
(1)
Tương tự:
+ +
≥
3 3
1 y z
3
yz
yz
(2);
+ +
≥
3 3
1 z x 3
zx
zx
(3)
Mặt khác
+ + ≥
3
3 3 3 3 3 3
3

xy yz zx xy yz zx
⇒
+ + ≥
3 3 3
3 3
xy yz zx
(4)
Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra ⇔ (1), (2), (3), (4) là các đẳng thức ⇔ x = y = z = 1.
9. Chứng minh rằng với mọi x ∈ R, ta có:

     
+ + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷
     
x x x
x x x
12 15 20
3 4 5
5 4 3
Khi nào đẳng thức xảy ra?
(Đại học khối B 2005)
LỜI GIẢI
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:
       
+ ≥
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
x x x x
12 15 12 15

2 .
5 4 5 4
⇒
   
+
 ÷  ÷
   
x x
12 15
5 4
≥ 2.3
x
(1)
Tương tự ta có:
   
+
 ÷  ÷
   
x x
12 20
5 3
≥ 2.4
x
(2)
   
+
 ÷  ÷
   
x x
15 20

4 3
≥ 2.5
x
(3)
Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), chia 2 vế của bất đẳng thức nhận được cho 2 ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra ⇔ (1), (2), (3) là các đẳng thức ⇔ x = 0.
10. Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có:
( )
 
 
+ + +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
2
y 9
1 x 1 1
x
y
≥ 256
Đẳng thức xảy ra khi nào?
(Đại học khối A 2005 dự bị 2)
LỜI GIẢI
(Đại học khối A 2005 dự bị 2)
Ta có: 1 + x = 1 +
+ + ≥
3
4

3
x x x x
4
3 3 3
3
1 +
y
x
= 1 +
+ + ≥
3
4
3 3
y y y y
4
3x 3x 3x
3 x
1 +
9
y
= 1 +
+ + ≥
3
4
3
3 3 3 3
4
y y y
y
⇒

 
+ ≥
 ÷
 ÷
 
2
6
4
3
9 3
1 16
y
y
Vậy:
( )
 
 
+ + +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
2
y 9
1 x 1 1
x
y
≥ 256
3 3 6

4
3 3 3 3
x y 3
. .
3 3 x y
= 256
11. Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c =
3
4
. Chứng minh rằng:
+ + + + + ≤
3 3 3
a 3b b 3c c 3a 3
(Đại học khối B 2005 dự bị 1)
LỜI GIẢI
Cách 1:
Ta có:
+ + +
+ ≤ = + +
3
a 3b 1 1 1
(a 3b).1.1 (a 3b 2)
3 3
+ + +
+ ≤ = + +
3
b 3c 1 1 1
(b 3c).1.1 (b 3c 2)
3 3
+ + +

+ ≤ = + +
3
c 3a 1 1 1
(c 3a).1.1 (c 3a 2)
3 3
Suy ra:
[ ]
+ + + + + ≤ + + +
3 3 3
1
a 3b b 3c c 3a 4(a b c) 6
3
≤
 
+
 
 
1 3
4. 6
3 4
= 3
Dấu "=" xảy ra ⇔

+ + =



+ = + = +

3

a b c
4
a 3b b 3c c 3a=1
⇔ a = b = c =
1
4
• Cách 2:
Đặt x =
+
3
a 3b
⇒ x
3
= a + 3b; y =
+
3
b 3c
⇒ y
3
= b + 3c;
z =
+
3
c 3a
⇒ z
3
= c + 3a
⇒ x
3
+ y

3
+ z
3
= 4(a + b + c) = 4.
3
4
= 3. BĐT cần ch. minh ⇔ x + y + z ≤ 3
Ta có: x
3
+ 1 + 1 ≥ 3
3
3
x .1.1
= 3x; y
3
+ 1 + 1 ≥ 3
3
3
y .1.1
= 3y;
z
3
+ 1 + 1 ≥ 3
3
3
z .1.1
= 3z
⇒ 9 ≥ 3(x + y + z) (vì x
3
+ y

3
+ z
3
= 3)
Vậy x + y + z ≤ 3
Dấu "=" xảy ra ⇔

= = =


+ + =


3 3 3
x y z 1
3
a b c
4
⇔
+ = + = +





a 3b b 3c c 3a=1
3
a+b+c=
4
⇔ a = b = c =

1
4
12. Chứng minh rằng nếu 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 thì
− ≤
1
x y y x
4
.
Đẳng thức xảy ra khi nào?
(Đại học khối B 2005 dự bị 2)
LỜI GIẢI
Ta có: 0 ≤ x ≤ 1 ⇒
x
≥ x
2
− ≤
1
x y y x
4
⇔
≤ +
1
x y y x
4
(1)
Theo BĐT Côsi ta có:
+ ≥ + ≥ =
2 2
1 1 1
y x yx 2 yx . x y

4 4 4
⇒
− ≤
1
x y y x
4
Dấu "="
xảy ra ⇔

≤ ≤ ≤

=



= ⇔
 
=
 


=

2
2
0 y x 1
x 1
x x
1
y

1
4
yx
4
13. Cho x, y, z là 3 số dương và xyz = 1. CMR:
+ + ≥
+ + +
2 2 2
x y z 3
1 y 1 z 1 x 2
(Đại học khối D 2005 dự bị 2)
LỜI GIẢI
Ta có:
+ +
+ ≥ =
+ +
2 2
x 1 y x 1 y
2 . x
1 y 4 1 y 4
+ +
+ ≥ =
+ +
2 2
y 1 z y 1 z
2 . y
1 z 4 1 z 4
+ +
+ ≥ =
+ +

2 2
z 1 x z 1 x
2 . z
1 x 4 1 x 4
Cộng 3 bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta có:
     
+ + +
+ + + + + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
+ + +
     
2 2 2
x 1 y y 1 z z 1 x
x y z
1 y 4 1 z 4 1 x 4
⇔
+ +
+ + ≥ − − + + +
+ + +
2 2 2
x y z 3 x y z
x y z
1 y 1 z 1 x 4 4
≥
+ +
−
3(x y z) 3
4 4
≥

− = − =
3 3 9 3 3
.3
4 4 4 4 2
(vì x + y + z ≥ 3
3
xyz
= 3)
Vậy:
+ + ≥
+ + +
2 2 2
x y z 3
1 y 1 z 1 x 2
.
14. Cho
, ,a b c
là những số dương thỏa mãn:
2 2 2
3a b c+ + =
. Chứng minh bất đẳng thức
2 2 2
1 1 1 4 4 4
7 7 7a b b c c a a b c
+ + ≥ + +
+ + + + + +
(ÑEÀ THI THI TUYEÅN SINH ÑH KHOÁI A,B,D NAÊM 2009)
LỜI GIẢI
Áp dụng bất đẳng thức
1 1 4

( 0, 0)x y
x y x y
+ ≥ > >
+
Ta Ta lại có:
1 1 4 1 1 4 1 1 4
; ;
2 2 2a+b+ca b b c a b c b c c a a b c c a a b
+ ≥ + ≥ + ≥
+ + + + + + + + + +
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
1 2 2
2 4 4 2 2 0
2 2 4 7
2 1 1 1 0
a b c a b c
a b c a b c a
a b c
≥ = ⇔ + + + − − − ≥
+ + + + + +
⇔ − + − + − ≥

Tương tự:
2 2
1 2 1 2
;
2 7 2 7b c a b c a b c

≥ ≥
+ + + + + +
Từ đó suy ra
2 2 2
1 1 1 4 4 4
7 7 7a b b c c a a b c
+ + ≥ + +
+ + + + + +
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.