Trờng THCS Cảnh Dơng ôn thi vào lớp 10 môn toán

Dạng I : rút gọn biểu thức
Có chứa căn thức bậc hai
I/ Biểu thức số học
Ph ơng pháp:
+ Vận dụng các phơng pháp biến đổi căn thức: đa ra ; đa vào; ;khử; trục; cộng,trừ căn thức đồng
dạng; rút gọn phân thức
+ Vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.
Bài tập: Thực hiện phép tính:
Bài1:
1/
2 5 125 80 605 +
2/
485274123 +
3/
277512 +
4/
16227182 +
Phơng pháp: Đa thừa số ra ngoài căn rồi cộng trừ các căn thức đồng dạng.
Bài 2:
1/
15
1
15
1
+


2/
25

1
25
1
+
+

3/
234
2
234
2
+


4/
2 3 2 3
2 3 2 3
+
+
+
Phơng pháp: Quy đồng- Cộng (hoặc trừ) tử bỏ ngoặc thu gọn các hạng tử đồng dạng.
Bài 3:
324/1

1528/2 +

728/3 +
30211/4 +

96220/5


200822009/6 +

Nhận xét:
Bài 1/



+=
=
134
1.33
Bài 2/



+=
=
538
5.315
Bài 3/



+=
=
178
1.77
Bài 4/




=
+=
6.530
6511
Bài 5/



=
+=
8.1296
81220
Bài 6/



=
+=
1.20082008
120082009
Tổng quát:
ba 2
Với



=
+=

yxb
yxa
.
(x > 0; y > 0) Thì :
222
)(.2.22 yxyyxxyxyxba +=+=+=
yx =
á p dụng tổng quát trên ta có :
1313)13(324/1
2
+=+=+=
Tơng tự để giải các bài 2;3;4;5;6.
Giải tiếp các bài tập sau: ( Gợi ý có thể nhân hoặc chia để tạo hai lần tích)
7/ A =
246625
8/ B =
5353 +

9/ C =
48135 +
10/ D =
7474 +


Biên soạn : Đồng Đức Lợi
1
Trờng THCS Cảnh Dơng ôn thi vào lớp 10 môn toán

11/
223324 +=D

12/
625826 +=M

13/
245827 +
14/
6410329569 ++=K
15/
.1281812226 ++=P
16/ E =
14 8 3 24 12 3
( HD: Chia hai vế cho
2
)
17/
246241032214 +++=M
18/ F =
4 10 2 5 4 10 2 5+ + + +
( HD: bình phơng hai vế F
2
= rồi thu gọn)
19/
15291529 +=B
20/
.
20102009
1

43
1

32
1
21
1
+
++
+
+
+
+
+
=T
(HD: Truùc caờn thửực)
II/ Biểu thức đại số:
Ph ơng pháp:
- Phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử;
- Tìm ĐKXĐ (Nếu bài toán cha cho ĐKXĐ)
- Rút gọn từng phân thức(nếu đợc)
- Thực hiện các phép biến đổi đồng nhất nh:
+ Quy đồng(đối với phép cộng trừ) ; nhân ,chia.
+ Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đơn ; đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức
+ Thu gọn: cộng, trừ các hạng tử đồng dạng.
+ Phân tích thành nhân tử rút gọn
Chú ý: - Trong mỗi bài toán rút gọn thờng có các câu thuộc các loại toán: Tính giá trị biểu thức;
giải phơng trình; bất phơng trình; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị
nhỏ nhất ,lớn nhất Do vậy ta phải áp dụng các ph ơng pháp giải tơng ứng, thích hợp cho từng
loại bài.
ví dụ: Cho biểu thức:
12
1

:
1
11
+
+









+

=
aa
a
aaa
P
a/ Rút gọn P.
b/ Tìm giá trị của a để biểu thức P có giá trị nguyên.
Giải: a/ Rút gọn P:
- Phân tích:
2
)1(
1
:
1

1
)1(
1

+







+

=
a
a
aaa
P
- ĐKXĐ:
101
;0

>
aa
a

- Quy đồng:
1
)1(

.
)1(
1
2
+


+
=
a
a
aa
a
P
- Rút gọn:
.
1
a
a
P

=

Biên soạn : Đồng Đức Lợi
2
Trờng THCS Cảnh Dơng ôn thi vào lớp 10 môn toán

b/ Tìm giá trị của a để P có giá trị nguyên:
- Chia tử cho mẫu ta đợc:
a

P
1
1=
.
- Lý luận: P nguyên
a
1

nguyên
a
là ớc của 1 là
1
.



=

=
11
)(1
a
ktm
a
Vậy với a = 1 thì biểu thức P có giá trị nguyên.
Bài tập:
Bài 1: Cho biểu thức:
.
2
1









+
+


+
+
+
=
aba
b
aba
b
ab
ba
aba
ba
M
a/ Rút gọn M ĐS:
a
1
b/ Tính M nếu
626 +=a

Bài 2: Cho biểu thức
.
1
4
1
1
1
1

















+
+




+
=
a
aa
a
a
a
a
A
a/ Rút gọn A.
b/ Tìm a để
AA >
ĐS: 4a.
Bài 3: Cho biểu thức:
x 1 x x x x
A =
2
2 x x 1 x 1

+

ữ ữ
ữ ữ
+

a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tìm giá trị của x để A > - 6.
Bài 4: Cho biểu thức:
2x 2 x x 1 x x 1
P =

x x x x x
+ +
+
+
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của x để P = 0
Bài 5: Cho biểu thức:
3x 9x 3 1 1 1
P = :
x 1
x x 2 x 1 x 2

+
+ +
ữ
ữ

+ +

a) Tìm các số tự nhiên x để
1
P
là số tự nhiên;
b) Tính giá trị của P với x = 4 2
3
.
Bài 6: Cho biểu thức :
x 2 x 3 x 2 x
P = : 2
x 5 x 6 2 x x 3 x 1


+ + +

ữ ữ
ữ ữ
+ +

a) Rút gọn biểu thức P;
b) Tìm x để
1 5
P 2

Bài 7: Cho biểu thức :

Biên soạn : Đồng Đức Lợi
3
Trờng THCS Cảnh Dơng ôn thi vào lớp 10 môn toán

P =









+
+









+


a
a
aa
a
a
aa
1
1
.
1
1

a) Rút gọn P
b) Tìm a để P<
347
Bài 8: Cho biểu thức:
P =





















+


+
+
1
3
22
:
9
33
33

2
x
x
x
x
x
x
x
x
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P <
2
1
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 9: Cho biểu thức :
P =








+






+












3
2
2
3
6
9
:1
9
3
x
x
x
x
xx
x
x
xx

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P<1
Bài 10: Cho biểu thức :
P =
1
2
1
2
+
+

+
+
a
aa
aa
aa
a) Rút gọn P
b) Tìm a để P = 2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P ?
Bài 11: Cho biểu thức
P =









+

+

+
+










+
+
+
+
1
11
1
:1
11
1
ab
aab
ab
a

ab
aab
ab
a

a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P nếu a =
32
và b =
31
13
+

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu
4=+ ba
Bài 12: Cho biểu thức :
P =








+

+

+







+
+
+



1
1
1
1111
a
a
a
a
a
a
aa
aa
aa
aa
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của a thì P = 7

Biên soạn : Đồng Đức Lợi

4
Trờng THCS Cảnh Dơng ôn thi vào lớp 10 môn toán

c) Với giá trị nào của a thì P > 6
Bài 13: Cho biểu thức:
P =









+

+










1
1

1
1
2
1
2
2
a
a
a
a
a
a
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của a để P < 0
c) Tìm các giá trị của a để P = -2
Bài 14: Cho biểu thức:
P =
( )
ab
abba
ba
abba
+
+
.
4
2
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn P
c) Tính giá trị của P khi a =

32
và b =
3
Bài 15: Cho biểu thức :
P =
2
1
:
1
1
11
2









+
++
+

+ x
xxx
x
xx
x

a) Rút gọn P
b) Chứng minh rằng P > 0

x
1
Bài 16: Cho biểu thức :
P =
( )
yx
xyyx
xy
yx
yx
yx
+
+










+


2

33
:
a) Rút gọn P
b) Chứng minh P
0

Bài 17: Cho biểu thức:
P =










+
+
+

+













3
5
5
3
152
25
:1
25
5
x
x
x
x
xx
x
x
xx
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của x thì P < 1
Bài 18: Cho biểu thức:
P =










+


+







1
2
2
1
:
1
1
1
a
a
a
a
aa
a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị của a để P >
6
1

Biên soạn : Đồng Đức Lợi
5
Trêng THCS C¶nh D¬ng «n thi vµo líp 10 m«n to¸n

Bµi19: Cho biĨu thøc:
P =
.
1
1
1
1
1
2
:1








−
+
−
++

+
+
−
+
x
x
xx
x
xx
x
a) Rót gän P
b) So s¸nh P víi 3
Bµi 20: Cho biĨu thøc:

2 2
2 2
x 2 x 4 x 2 x 4
D =
x 2 x 4 x 2 x 4
+ + − + − −
+
+ − − + + −
a/ Rót gän D
b/ Víi gi¸ trÞ nµo cđa x th× D > 1

D¹ng ii:
®å thÞ
)0(&)0(
'2'
≠=≠+= axayabaxy

vµ t¬ng quan gi÷a chóng
I/.Đ iĨm thuộc đường – đường đi qua điểm.
Điểm A(x
A
; y
A
) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) y
A
= f(x
A
).
Ví dụ 1: Cho hàm số y= 3x-1.
Điểm A(-2; 5); Điểm B(2;5) có thuộc đồ thò hàm số trên hay không?
Giải: Thay x = - 2 vào ta có: y = 3.(-2) – 1 = - 7
5
≠
. Điểm A không thuộc đồ thò.
Thay x = 2 vào ta có : y = 3.2 – 1 = 5 = 5. Điểm B thuộc đồ thò.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = (m -1)x
2
(1)
Với giá trò nào của m thì đồ thò hàm số(1) đi qua A(-3;9)?
Giải: Thay x = -3; y = 9 vào hàm số (1) ta được: 9 = (m – 1). (-3)
2

⇔
m – 1 = 1
⇔
m = 2. Vậy với m = 2 thì hàm số đi qua A.
II/ Vẽ đồ thò:

 Vẽ đồ thò hàm số y = ax + b:
+ Lâp bảng giá trò:
x 0 - b/a
y b 0
+ Vẽ đường thẳng:AB với A(0;b); B(- b/a;0)
Vẽ đồ thò hàm số: y = ax
2
+ Lập bảng giá trò.
+ Vẽ Pa ra bol.
 Vẽ đồ thò hàm số có chứa dấu GTTĐ:
Ví dụ : Vẽ đồ thò các hàm số sau:
1/
.12 += xy

Biªn so¹n : §ång §øc Lỵi
6
Trêng THCS C¶nh D¬ng «n thi vµo líp 10 m«n to¸n

Giải: - Vì
.12 += xy
⇒

0≥y
⇒
Đồ thò nằm về phía trên của trục hoành.
- Với
2
1
012 −≥⇔≥+ xx
thì y = 2x + 1 (1)

- Với
2
1
012
−
<⇔<+ xx
thì y = - (2x + 1)
⇔
y = - 2x – 1. (2)
Do đó ta vẽ phần phía trên trục hoành của hai hàm số (1) và (2)
2/
12 += xy
Giải: Ta thấy
2
1
0120 −≥⇔≥+⇒≥ xxy
Vậy x chỉ nhận nhứng giá trò trong khoảng (1;
)∞+
Mặt khác:+ y >0 thì
y
= y =2x + 1 (1)
+ y < 0 thì
y
= - y = 2x + 1 Hay y = -2x – 1 (2)
Do đó ta chỉ vẽ phần từ
2
1
−≥x
của hai hàm số (1) và (2).
3/

12 += xy

Ta có :
0
≥
x
thì
12 +=⇒= xyxx
(1)

0
≤
x
thì
12)12( −−=⇔+−=⇒= xyxyxx
(2)
Do đó ta vẽ đồ thò hàm số(1) và (2).
III/.Quan hệ giữa hai đường thẳng; gi÷a ® êng th¼ng víi Pa ra bol:
A.Tìm điều kiện của tham số:
Để hai đường thẳng (d
1
) : y

= a
1
x + b
1
. vµ (d
2
) : y


= a
2
x + b
2
. (
)0;0
21
≠≠ aa
:
1/ Cắt nhau :
)(
1
d
cắt
)(
2
d
21
aa ≠⇔

2/ Song song với nhau :
)(
1
d
//
)(
2
d
2121

; bbaa ≠=⇔
3/ Trùng nhau :
)(
1
d
≡
)(
2
d
2121
; bbaa ==⇔

4/ Vuông góc với nhau :
)(
1
d
⊥
)(
2
d
1.
21
−=⇔ aa
Ví dụ : Tìm giá trò của m để đồ thò hàm số y = 2x+ m (d
1
) và y = mx – 1 (d
2
)
a/ Cắt nhau; b/ Song song; c/ Vuông góc
Giải:

a/ (d
1
) cắt (d
2
)
⇔
2≠m

b/ (d
1
) song song với (d
2
)
⇔
m = 2;
c/(d
1
) vuông góc với (d
2
)
⇔
m.2 = -1
⇔
2
1
−=m
Để đường thẳng (d) và Pa ra bol (P) :
+ Cắt nhau; Tiếp xúc nhau; Không cắt nhau.
+ Lập biểu thức
acb 4

2
−=∆
của phương trình : (P) = (d)
1/ (d) cắt (P)
0>∆⇔

Biªn so¹n : §ång §øc Lỵi
7
Trêng THCS C¶nh D¬ng «n thi vµo líp 10 m«n to¸n

2/ (d) tiếp xúc với (P)
0
=∆⇔
3/ (d) không cắt (P)
0
<∆⇔
Ví dụ :
Tìm giá trò của m để đường thẳng (d) : y = (m – 2)x - 1 tiếp xúc vớiø Pa ra bol (P) : y = x
2
.
Giải :
Ta có (P) =(d) tức là : x
2
= (m – 2)x – 1
01)2(
2
=+−−⇔ xmx
và a = 1 ; b = (m – 2) ; c =1
mmmmm 44441.1.4)2(
222

−=−+−=−−=∆⇒
(d) tiếp xúc với (P)
0
=∆⇔
4
0
0)4(04
2
=
=
⇔=−⇔=−⇔
m
m
mmmm
B. Cách tìm toạ độ giao điểm :
Của hai đường ( d
1)
và (d
2
) :
Bước 1: Lập phương trình (d
1
) = (d
2
) (*)
Bước 2: Giải phương trình(*) tìm được x, đó là hoành độ giao điểm của (d
1
) và (d
2
)

Bước 3 :Lấy nghiệm đó thay vào (d
1
) hoặc (d
2
) để tìm được y, đó là tung độ giao điểm.
Ví dụ : Tìm toạ độ giao điểm của (d
1
) : y = 2x-1 và (d
2
) : y = - 3x + 9.
Giải : Ta có : 2x-1 = - 3x + 9
⇔
2105 =⇔= xx
Thay x =2 vào (d
1
) ta có y = 2. 2- 1 = 3.Vậy toạ độ giao điểm là (2 ;3).
Của đường thẳng (d) và P a ra bol (P).
Bước 1: Hồnh độ giao điểm là nghiệm của phương trình: (P) = (d) (**)
Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào (d) : y = ax +b hoặc (P) : y = ax
2
để tìm tung độ giao điểm.
Chú ý : Số nghiệm của phương trình (**) là số giao điểm của (d) và (P).
Ví dụ : Tìm toạ độ giao điểm của (P) : y = x
2
. và (d) : y = 2x-1
Giải : Ta có :
)1;2;1(01212
22
=−==⇒=+−⇔−= cbaxxxx
1

21
==⇒ xx
Thay x = 1 vào (p) ta được : y = 1
2
= 1. Vậy toạ độ tiếp điểm là (1;1).
IV.Viết phương trình đường thẳng y = ax + b :
A.Khái niệm :
Phương trình đường thẳng là hàm số có dạng : y = ax + b
B. Phương pháp giải :
ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng lµ t×m a vµ b cđa c«ng thøc y = ax + b
B iÕt quan hệ về hệ số góc ( //hay vu«ng gãc) và đi qua điểm A(x
0
;y
0
)
Bước 1: Dựa vào quan hệ song song hay vng góc để tìm hệ số a.
Bước 2: Thay a vừa tìm được và x
0
;y
0
vào cơng thức y = ax + b để tìm b.
Ví dụ:
1/ Viết phương trình đường thẳng (d);Biết (d) // (d
1
):y = 2x+1 và đi qua điểm A(2;2).
Giải:
+ Phương trình đường thẳng (d) có dạng y = ax + b
+ Vì (d)//(d
1
) nên ta có a = 2.


Biªn so¹n : §ång §øc Lỵi
8
Trêng THCS C¶nh D¬ng «n thi vµo líp 10 m«n to¸n

+ Vì (d) đi qua A(2 ;2) nên ta có : 2 = a. 2 + b (*)
+ Thay a = 2 vào phương trình (*) ta có b = -2
+ Vậy phương trình đường thẳng là : y = 2x - 2
2/ Tìm a và b của đường thẳng (d): y = ax+b. Biết (d) đi qua B(-1;1) và vuông góc với
(d
1
):y = 2x – 1.
Giải:
+ Đường thẳng (d): y = ax+b vuông góc với (d
1
):y = 2x – 1 nên ta có :a.2 = -1
2
1
−=⇔ a
+ Vì (d) đi qua B(-1;1) nên ta có: 1 = a.(-1) + b (**)
+ Thay
2
1
−=a
vào (**) ta có:
2
1
=b
+Vậy phương trình đường thẳng là:
2

1
2
1
+−= xy
Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x
1
;y
1
) và B(x
2
;y
2
).
Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(x
1
;y
1
) và B(x
2
;y
2
) nên ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình tìm được a và b.
Ví dụ:
1/ Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) đi qua A(-1; 2) và B(-2; 4).
Giải:
Vì (d) đi qua A(-1; 2) nên ta có : 2 = a.(-1) + b (1)
Vì (d) đi qua B(-2 ;4) nên ta có : 4 = a.(-2) + b (2)
Từ (1) và (2) ta có hệï PT :




=+−
=+−
42
2
ba
ba



=
−=
⇔
0
2
b
a
Vậy phương trình đường thẳng là y = - 2x.
2/ Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) đi qua A(3;- 4) và cắt trục hoành tại điểm có
hoành độ bằng -2.
Giải:
+ Vì (d) đi qua A(3;- 4) nên ta có : -4 = a.3 + b (1)
+ Vì (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2 (Tức toạ độ là(-2 ;0))nên ta có :
0 = a. (-2) + b (2)
+ Từ (1) và (2) ta có hệï PT :



=+−

−=+
02
43
ba
ba







−
=
−=
⇔
5
8
5
4
b
a
+ Vậy Phương trình đường thẳng là
5
8
5
4
−−= xy

Biªn so¹n : §ång §øc Lỵi

9
Trêng THCS C¶nh D¬ng «n thi vµo líp 10 m«n to¸n

3/ Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) đi qua A(3; 4) và cắt trục tung tại điểm có tung
độ bằng -2. ( Giải tương tự các ví dụ trên lưu ý : cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2. tức
là
Toạ độ của điểm đó là (0 ; -2)
4/ Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) đi qua gốc toạ độ và đi qua M(2;4).
Lưu ý: Đi qua gốc toạ độ tức là đi qua điểm O(0:0).
Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x
0
;y
0
) và tiếp xúc với (P): y = a
’
x
2

+) Do đường thẳng đi qua điểm A(x
0
;y
0
) nên có phương trình :
y
0
= ax
0
+ b
+) Do đồ thị hàm số y = ax + b tiếp xúc với (P): y = a
’

x
2
nên:
Pt: a
’
x
2
= ax + b có nghiệm kép
+) Giải hệ:



=∆
+=
0
00
baxy
Tìm được a và b.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) đi qua A(1; 3) và tiếp xúc với (P): y =x
2
.
Giải:
+ Vì đường thẳng (d) đi qua A (1;3) nên ta có :
31.3
=+⇔+=
baba
(1)
+ Vỉ (d) tiếp xúc với Pa ra bol (P) : y = x
2
nên ta có :

0
22
=−−⇔+= baxxbaxx

(a = 1 ; b = -a ; c = -b) ;
04).(1.4)(
22
=+=−−−=∆ baba
(2)
+ Từ (1) và (2) ta có hệ PT :



=+
=+
04
3
2
ba
ba



−=
=
⇔
1
4
b
a

+Vậy phương trình đường thẳng là : y = 4x – 1.
V.Tìm điều kiện để 3 đường th¼ng đồng quy.
Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng khơng chứa tham số để tìm (x;y).
Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình còn lại để tìm ra tham số .
Ví dụ:
Với giá trò nào của m thì (d
1
): y = 2x - 2 ; (d
2
) : y = x +1 ; (d
3
) ; y = mx + 3 đồng quy.
Giải :
+ Vì (d
1
) cắt (d
2
) nên ta có : 2x - 2 = x +1
3
=⇔
x
+ Thay x = 3 vào (d
1
) ta có : y = 2.3 – 2 = 4
+ Thay x = 3 và y = 4 vào (d
3
) ta được : 4 = m.3 + 3
3
1
=⇔ m

+ Vậy
3
1
=m
thì ba đường thẳng trên đồng quy.
VI.Chứng minh đường thẳng ln đi qua 1 điểm cố định ( giả sử tham số là m).
+ Giả sử A(x
0
;y
0
) là điểm cố định mà đường thẳng ln đi qua với mọi m, thay x
0
;y
0
vào phương
trình đường thẳng .
+ Cho tham số hai giá trò tuỳ ý ta được hai phương trình ẩn x
0
; y
0.
+ Giải hệ hai phương trình trên ta tìm được x
0
; y
0.
Đó chính là toạ độ của điểm cố đònh.

Biªn so¹n : §ång §øc Lỵi
10
Trêng THCS C¶nh D¬ng «n thi vµo líp 10 m«n to¸n


Ví dụ :
Chứng tỏ đường thẳng (d) :
03)1()2( =−−++ ymxm
đi qua một điểm cố đònh
Giải :
+ Giả sử A(x
0
;y
0
) là điểm cố định mà đường thẳng ln đi qua với mọi m, thay x
0
;y
0
vào phương
trình (d) ta được
03)1()2(
00
=−−++ ymxm
+ Với m = -1 và m = 0 tuỳ ý ta có :
3203)11()21(
0000
=−⇔=−−−++− yxyx
(1)
1203)10()20(
0000
=−⇔=−−++ yxyx
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ PT :




=−
=−
32
32
00
00
yx
yx



−=
=
⇔
1
5
0
0
y
x
Vậy điểm cố đònh đó là (5 ;1)
VII.T×m kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iĨm bÊt kú A; B
Gäi x
1
; x
2
lÇn lỵt lµ hoµnh ®é cđa A vµ B; y
1
,y

2
lÇn lỵt lµ tung ®é cđa A vµ B
Khi ®ã kho¶ng c¸ch AB ®ỵc tÝnh bëi ®Þnh lý Pi Ta Go trong tam gi¸c vu«ng ABC:
2
12
2
12
22
)()( yyxxBCACAB −+−=+=
bµi tËp vỊ hµm sè .
Bµi 1 . Cho ®iĨm A(-2;2) vµ ®êng th¼ng (
1
d
) y = -2(x+1)
1. §iĨm A cã thc (
1
d
) kh«ng ? V× sao ?
2. T×m a ®Ĩ hµm sè (P):
2
.xay =
®i qua A
3. X¸c ®Þnh ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (
2
d
) ®i qua A vµ vu«ng gãc víi (
1
d
)
4. Gäi A vµ B lµ giao ®iĨm cđa (P) vµ (

2
d
) ; C lµ giao ®iĨm cđa (
1
d
) víi trơc tung . T×m to¹ ®é cđa B vµ C
. TÝnh chu vi tam gi¸c ABC?
Bµi 2 : : Cho (P):
2
xy =
vµ ®êng th¼ng (d): y = 2x + m
1. VÏ (P)
2. T×m m ®Ĩ (P) tiÕp xóc (d)
3. T×m to¹ ®é tiÕp ®iĨm.
Bµi 3: cho parabol (p): y = 2x
2
.
1. t×m gi¸ trÞ cđa a,b sao cho ®êng th¼ng y = ax+b tiÕp xóc víi (p) vµ ®i qua A(0;-2).
2. t×m ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng tiÕp xóc víi (p) t¹i B(1;2).
3. T×m giao ®iĨm cđa (p) víi ®êng th¼ng y = 2m +1.

Biªn so¹n : §ång §øc Lỵi
11
Trờng THCS Cảnh Dơng ôn thi vào lớp 10 môn toán

Bài 4 : Cho (P) :
4
2
x
y =

và (d): y = x + m
1. Vẽ (P)
2. Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
3. Xác định phơng trình đờng thẳng (d') song song với đờng thẳng (d) và cắt (P) tại điẻm có hoành độ bằng
2.
Bài 5 : Cho hàm số (P):
2
xy =
1. Vẽ (P)
2. Gọi A,B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2. Viết phơng trình đờng thẳng AB
3. Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
Bài 6 : Cho (P):
4
2
x
y =
và đờng thẳng (d):
2
2
+=
x
y
1. Vẽ (P) và (d)
2. Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng tính toán.
3. Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đờng tiếp tuyến của (P) song song với (d)
Bài 7 : Cho (P):
4
2
x
y =

và điểm M (1;-2)
1. Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m
HD: Phơng trình có dạng:
baxy +=
mà a = m. thay x = 1; y = -2 tính b = - m-2. vậy PT:
.2= mmxy
2. Chứng minh: (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi
Bài 8 : Cho hàm số (P):
2
xy =
và hàm số(d): y = x + m
1. Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
2. Xác định phơng trình đờng thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P)
Bài 9 : Cho Parabol (P):
2
4
1
xy =
và đờng thẳng (d):
12 = mmxy

1. Vẽ (P)
2. Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm
3. Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định
Bài 10 :
Xác định giá trị của m để ba đờng thẳng:
(d
1
): x + y = 1 ; (d
2

): m x + y = -1 : (d
3
) y = 2x + 1 đồng quy. Tìm toạ độ của điểm đó.
Dạng III:
Phơng trình và Hệ phơng trình

A/ Ph ơng trình bâc nhất một ẩn giảI và biện luận:
+ Phơng trình bậc nhất một ẩn có dạng
)0(0 =+ abax
+ Giải và biện luận:
- Nếu
0;0 == ba
thì phơng trình vô số nghiệm.
- Nếu
0;0 = ba
thì phơng trình vô nghiệm.

Biên soạn : Đồng Đức Lợi
12
Trờng THCS Cảnh Dơng ôn thi vào lớp 10 môn toán

- Nếu
0

a
thì phơng trình có một nghiệm duy nhất
a
b
x =
ví dụ : Giải và bịên luận phơng trình sau:

14)1(4
2
+= mxxm
Giải:
144)14(144414)1(4
22222
+=+=+= mmxmmxmxmmxxm
2
)12().12)(12( =+ mxmm
Biện luận: + Nếu
2
1
m
thì phơng trình có một nghiệm:
12
12
+

=
m
m
x
+ Nếu
2
1
=m
thì phơng trình có dạng:
0.0
=
x

nên phơng trình vô số nghiệm.
+ Nếu
2
1
=m
thì phơng trình có dạng:
0)
2
1
.(2.0 =x
nên phơng trình vô nghiệm.
Bài tập : Giải và biện luận các phơng trình sau:
Bài 1 .
2
32
)1(
=
+

xmxm

Bài 2 .
( )
10
1
2
11
2
2
=


+
+
+

+

+
a
a
ax
a
ax
a
ax
HD: Quy đồng- thu gọn- đa về dạng ax + b = 0
B.Ph ơng trình bậc hai - hệ thức vi - ét
1.Cách giải ph ơng trình bậc hai : ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0)
* Nếu

> 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x
1
=
-b -
2a


; x
2
=
-b +
2a


* Nếu

= 0 phơng trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
-b
2a
* Nếu

< 0 thì phơng trình vô nghiệm
Chú ý: Trong trờng hợp hệ số b là số chẵn thì giải phơng trình trên bằng công thức nghiệm thu gọn:


* Nếu

' > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1
=
-b' - '

a

; x
2
=
-b' + '
a


* Nếu

' = 0 phơng trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
-b'
a
* Nếu

' < 0 thì phơng trình vô nghiệm.
2.Định lý Vi ét : Nu x
1
, x
2
l nghim ca phng trỡnh ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) thỡ


Biên soạn : Đồng Đức Lợi
13
acb 4
2
=
b

=
b
2
1
và

' =
acb
2
'
Trờng THCS Cảnh Dơng ôn thi vào lớp 10 môn toán

S = x
1
+ x
2
= -
a
b
p = x
1
x

2
=
a
c
o lại : Nu cú hai s x
1
,x
2
m x
1
+ x
2
= S v x
1
x
2
= p thì hai số đó l nghiệm (nu có ) của phơng
trình bậc 2: x
2
S x + p = 0
3. Toán ứng dụng định lý Viét
I. Tính nhẩm nghiệm.
Xét phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a

0)
Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x
1
= 1 , x

2
=
a
c
Nếu a b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x
1
= -1 , x
2
= -
a
c
Nếu x
1
+ x
2
= m +n , x
1
x
2
= mn và
0

thì phơng trình có nghiệm x
1
= m , x
2
= n
( hoặc x
1
= n , x

2
= m)
II. LP PHNG TRèNH BC HAI
1/Lp phng trỡnh bc hai khi bit hai nghim
1 2
;x x
Nu cú hai s x
1
, x
2
m x
1
+ x
2
= S v x
1.
x
2
= p thì hai số đó l nghiệm (nu có ) của phơng trình
bậc 2: x
2
S x + p = 0
Vớ d : Cho
1
3x =
;
2
2x =
lp mt phng trỡnh bc hai cha hai nghim trờn
Theo h thc VI-ẫT ta cú

1 2
1 2
5
6
S x x
P x x
= + =


= =

vy
1 2
;x x
l nghim ca phng trỡnh cú dng:
2 2
0 5 6 0x Sx P x x + = + =
Bi tp ỏp dng:
1. x
1
= 8 và x
2
= -3
2. x
1
= 3a và x
2
= a
3. x
1

= 36 và x
2
= -104
4. x
1
=
1 2+
và x
2
=
1 2
2. Lp phng trỡnh bc hai cú hai nghim tho món biu thc cha hai nghim ca mt
phng trỡnh cho trc:
V ớ d: Cho phng trỡnh :
2
3 2 0x x + =
cú 2 nghim phõn bit
1 2
;x x
. Khụng gii phng trỡnh
trờn, hóy lp phng trỡnh bc 2 cú n l y tho món :
1 2
1
1
y x
x
= +
v
2 1
2

1
y x
x
= +
Theo h th c VI- ẫT ta c ú:
1 2
1 2 2 1 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 3 9
( ) ( ) 3
2 2
x x
S y y x x x x x x
x x x x x x

+
= + = + + + = + + + = + + = + =
ữ


Biên soạn : Đồng Đức Lợi
14
Trờng THCS Cảnh Dơng ôn thi vào lớp 10 môn toán

1 2 2 1 1 2
1 2 1 2
1 1 1 1 9
( )( ) 1 1 2 1 1
2 2
P y y x x x x

x x x x
= = + + = + + + = + + + =
Vy phng trỡnh cn lp cú dng:
2
0y Sy P + =
hay
2 2
9 9
0 2 9 9 0
2 2
y y y y + = + =
Bi tp ỏp dng:
1/ Cho phng trỡnh
2
3 5 6 0x x+ =
cú 2 nghim phõn bit
1 2
;x x
. Khụng gii phng trỡnh, Hóy
lp phng trỡnh bc hai cú cỏc nghim
1 1
2
1
y x
x
= +
v
2 2
1
1

y x
x
= +
(ỏp s:
2
5 1
0
6 2
y y+ =
hay
2
6 5 3 0y y+ =
)
2/ Cho phng trỡnh :
2
5 1 0x x =
cú 2 nghim
1 2
;x x
. Hóy lp phng trỡnh bc 2 cú n y tho
món
4
1 1
y x=
v
4
2 2
y x=
(cú nghim l lu tha bc 4 ca cỏc nghim ca phng trỡnh ó cho).
(ỏp s :

2
727 1 0y y + =
)
3/ Cho phng trỡnh bc hai:
2 2
2 0x x m =
cú cỏc nghim
1 2
;x x
. Hóy lp phng trỡnh
bc hai cú cỏc nghim
1 2
;y y
sao cho :
a)
1 1
3y x
=
v
2 2
3y x=
b)
1 1
2 1y x
=
v
2 2
2 1y x=
(ỏp s a)
2 2

4 3 0y y m + =
b)
2 2
2 (4 3) 0y y m =
)
III. Tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình bậc hai có một nghiệm x = x
1
cho tr -
ớc .Tìm nghiệm thứ 2
Cách giải:
Tìm điều kiện để ph ơng trình có nghiệm x= x
1
cho tr ớc có hai cách làm:
+Thay x = x
1
vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số
+ Thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và giải phơng trình
Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình , mà phơng trình bậc hai này có

< 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x
1
cho trớc.
Để tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm:
+) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình (nh cách 2 trình bầy ở
trên)
+) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm; Hoặc công thức tích hai nghiệm
sẽ tìm đợc nghiệm thứ 2
Ví dụ:
Ví dụ: Cho phng trỡnh: x
2

x + 2m 6 = 0. (1)
a/ Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm x
1
= 1.
b/ Tìm nghiêm còn lại.
Giải:

Biên soạn : Đồng Đức Lợi
15
Trờng THCS Cảnh Dơng ôn thi vào lớp 10 môn toán

a/ Thay x
1
= 1 vào phơng trình (1) ta đợc:
36206211
2
===+ mmm
Vậy với m = 3 Thì phơng trình (1) có một nghiệm x
1
= 1.
b/ Thay m = 3 vào PT (1) ta có:
1
0
0)1(0
063.2
2
2
=
=


==
=+
x
x
xxxx
xx
Vậy nghiệm thứ hai của Pt (1) là x = 0
IV. TNH GI TR CA CC BIU THC NGHIM
i cỏc bi toỏn dng ny iu quan trng nht l các em phi bit bin i biu thc nghim ó
cho v biu thc cú cha tng nghim
1 2
x x+
v tớch nghim
1 2
x x
ỏp dng h thc VI-ẫT ri
tớnh giỏ tr ca biu thc
1.Ph ơng pháp: Bi n i bi u th c l m xu t hi n : (
1 2
x x+
) v
1 2
x x

Dạng 1.
2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
( 2 ) 2 ( ) 2x x x x x x x x x x x x+ = + + = +
Dạng 2.
( )

( )
( ) ( )
2
3 3 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
3x x x x x x x x x x x x x x

+ = + + = + +

Dạng 3.
( )
2 2
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 2 ( ) 2 2x x x x x x x x x x x x x x

+ = + = + = +

Dạng 4.
1 2
1 2 1 2
1 1 x x
x x x x
+
+ =
Dạng 5.
1 2
?x x =
Ta bit
( ) ( ) ( )

2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
4 4x x x x x x x x x x x x = + = +
Dạng 6.
2 2
1 2
x x

( ) ( )
1 2 1 2
x x x x= +
=
(
)
).(4)(
2121
2
21
xxxxxx ++
Dạng 7.
3 3
1 2
x x
=
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2

x x x x x x x x x x x x

+ + = +

= .
Dạng 8.
4 4
1 2
x x
=
( ) ( )
2 2 2 2
1 2 1 2
x x x x+
=
Dạng 9.
6 6
1 2
x x+
=
( ) ( )
2 3 2 3 2 2 4 2 2 4
1 2 1 2 1 1 2 2
( ) ( )x x x x x x x x+ = + +
=
Dạng 10.
6 6
1 2
x x
[ ]

)(.)()()()(
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
3
2
2
3
2
1
=++== xxxxxxxx
Dạng 11 .
5 5
1 2
x x+
=
)(.))((
21
2

2
2
1
2
2
2
1
3
2
3
1
xxxxxxxx +++
Dạng12: (x
1
a)( x
2
a) = x
1
x
2
a(x
1
+ x
2
) + a
2
= p aS + a
2
Dạng13
2

21
21
21
2
))((
2
11
aaSp
aS
axax
axx
axax
+

=

+
=

+

Dạng 14:
cbxax =+
21
( Xem phần ví dụ ở mục VII)
Ví dụ:
Cho phng trỡnh
2
4 3 8 0x x + =
cú 2 nghim x

1
; x
2
, khụng gii phng trỡnh, tớnh
2 2
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2
6 10 6
Q
5 5
x x x x
x x x x
+ +
=
+

Biên soạn : Đồng Đức Lợi
16
Trờng THCS Cảnh Dơng ôn thi vào lớp 10 môn toán

Giải:
( )
2 2 2
2
1 1 2 2 1 2 1 2
3 3
2
2
1 2 1 2

1 2 1 2 1 2
6 10 6 6( ) 2 6.(4 3) 2.8 17
Q
5 5 80
5.8 (4 3) 2.8
5 2
x x x x x x x x
x x x x
x x x x x x
+ + +
= = = =
+


+



2. Bài tập áp dụng: Khụng gii phng trỡnh, tớnh giỏ tr ca biu thc nghim
a) Cho phng trỡnh :
2
8 15 0x x + =
Khụng gii phng trỡnh, hóy tớnh
1.
2 2
1 2
x x+
(34) 2.
1 2
1 1

x x
+
8
15

ữ

3.
1 2
2 1
x x
x x
+
34
15

ữ

4.
( )
2
1 2
x x+
(46)
b) Cho phng trỡnh :
2
8 72 64 0x x + =
Khụng gii phng trỡnh, hóy tớnh:
1.
1 2

1 1
x x
+
9
8

ữ

2.
2 2
1 2
x x+
(65)
c) Cho phng trỡnh :
2
14 29 0x x + =
Khụng gii phng trỡnh, hóy tớnh:
1.
1 2
1 1
x x
+
14
29

ữ

2.
2 2
1 2

x x+
(138)
d) Cho phng trỡnh :
2
2 3 1 0x x + =
Khụng gii phng trỡnh, hóy tớnh:
1.
1 2
1 1
x x
+
(3) 2.
1 2
1 2
1 1x x
x x

+
(1)
V.TèM GI TR của THAM S THO MN BIU THC CHA NGHIM CHO
Vớ d 1: Cho phng trỡnh :
( ) ( )
2
6 1 9 3 0mx m x m + =
Tỡm giỏ tr ca tham s m 2 nghim
1
x
v
2
x

tho món h thc :
1 2 1 2
.x x x x+ =
Ph ơng pháp:
- t iu kin cho tham s phng trỡnh ó cho cú hai nghim x
1
v x
2

(thng l a 0 v 0)
- T biu thc nghim ó cho, ỏp dng h thc VI-ẫT gii phng trỡnh (cú n l tham s).
- i chiu vi iu kin xỏc nh ca tham s xỏc nh giỏ tr cn tỡm.
Bi gii: iu kin phng trỡnh c ú 2 nghim x
1
v x
2
l :

Biên soạn : Đồng Đức Lợi
17
Trờng THCS Cảnh Dơng ôn thi vào lớp 10 môn toán

( )
( )
( )
2
2 2
0
0
0

0
' 9 2 1 9 27 0 ' 9 1 0
1
' 3 21 9( 3) 0
m
m
m
m
m m m m
m
m m m











= + + =

=









Theo h th c VI- ẫT ta c ú:
1 2
1 2
6( 1)
9( 3)
m
x x
m
m
x x
m


+ =





=


v t gi thit:
1 2 1 2
x x x x+ =
.
Suy ra:

6( 1) 9( 3)
6( 1) 9( 3) 6 6 9 27 3 21 7
m m
m m m m m m
m m

= = = = =
(t/m)
Vy vi m = 7 thỡ phng trỡnh ó cho cú 2 nghim
1
x
v
2
x
tho món h thc :
1 2 1 2
.x x x x+ =
Vớ d 2: Cho phng trỡnh :
( )
2 2
2 1 2 0x m x m + + + =
.
Tỡm m 2 nghim
1
x
v
2
x
tho món h thc :
( )

1 2 1 2
3 5 7 0x x x x + + =
Bi gii: iu kin phng trỡnh cú 2 nghim
1 2
&x x
l :
2 2
' (2 1) 4( 2) 0m m = + +
2 2
4 4 1 4 8 0m m m + +
7
4 7 0
4
m m
Theo h thc VI-ẫT ta cú:
1 2
2
1 2
2 1
2
x x m
x x m
+ = +


= +

v t gi thit
( )
1 2 1 2

3 5 7 0x x x x + + =
. Suy ra
2
2
2
3( 2) 5(2 1) 7 0
3 6 10 5 7 0
2( )
3 10 8 0
4
( )
3
m m
m m
m TM
m m
m KTM
+ + + =
+ + =
=


+ =

=

Vy vi m = 2 thỡ phng trỡnh cú 2 nghim
1
x
v

2
x
tho món h thc :
( )
1 2 1 2
3 5 7 0x x x x + + =
Vớ d 3: Cho phng trỡnh :
( )
2
2 4 7 0mx m x m+ + + =
Tỡm m 2 nghim
1
x
v
2
x
tho món h thc :
1 2
2 0x x =
Nhận xét: i vi bi tp dng ny ta thy cú mt iu khỏc bit so vi Vớ d 1 v vớ d 2 ch:
+ Trong VD1 ; VD 2 thỡ biu thc nghim ó cha sn tng nghim
1 2
x x+
v tớch nghim
1 2
x x
nờn
ta cú th vn dng trc tip h thc VI-ẫT tỡm tham s m.
+ Cũn trong VD 3 thỡ cỏc biu thc nghim li khụng cho sn nh vy, do ú vn t ra õy
l lm th no t biu thc ó cho bin i v biu thc cú cha tng nghim

1 2
x x+
v tớch
nghim
1 2
x x
ri t ú vn dng tng t cỏch lm ó trỡnh by Vớ d 1 v vớ d 2.

Biên soạn : Đồng Đức Lợi
18
Trờng THCS Cảnh Dơng ôn thi vào lớp 10 môn toán

Giải - KX :
16
0 &
15
m m
-Theo VI-ẫT:
1 2
1 2
( 4)
(1)
7
m
x x
m
m
x x
m



+ =



+

=


- T
1 2
2 0x x =
Suy ra:
1 2 2
2
1 2 1 2
1 2 1
3
2( ) 9
2( ) 3
x x x
x x x x
x x x
+ =

+ =

+ =


(2)
- Th (1) vo (2) ta a c v phng trỡnh sau:
2
1 2
127 128 0 1; 128m m m m+ = = =

Bài tập vân dụng:
1. Cho phng trỡnh :
( )
2
1 5 6 0x m x m+ + =
Tỡm m 2 nghim
1
x
v
2
x
tho món h thc:
1 2
4 3 1x x+ =
2. Cho phng trỡnh :
( ) ( )
2
3 3 2 3 1 0x m x m + =
.
Tỡm m 2 nghim
1
x
v
2

x
tho món h thc :
1 2
3 5 6x x =
Hng dn cỏch gii:
BT1: - KX:
2
22 25 0 11 96 11 96m m m = + +
- Theo VI-ẫT:
1 2
1 2
1
(1)
5 6
x x m
x x m
+ =


=

- T :
1 2
4 3 1x x+ =
. Suy ra:
[ ] [ ]
1 1 2
1 2 1 2 1 2
2 1 2
2

1 2 1 2 1 2
1 3( )
1 3( ) . 4( ) 1
4( ) 1
7( ) 12( ) 1
x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
= +

= + +

= +

= + +
(2)
- Th (1) vo (2) ta cú phng trỡnh :
0
12 ( 1) 0
1
m
m m
m
=

=

=


(tho món KX)
BT2: - Vỡ
2 2 2
(3 2) 4.3(3 1) 9 24 16 (3 4) 0m m m m m = + + = + + = +
vi mi s thc m nờn phng
trỡnh luụn cú 2 nghim phõn bit.
- -Theo VI-ẫT:
1 2
1 2
3 2
3
(1)
(3 1)
3
m
x x
m
x x


+ =



+

=


- T gi thit:

1 2
3 5 6x x =
. Suy ra:
[ ] [ ]
1 1 2
1 2 1 2 1 2
2 1 2
2
1 2 1 2 1 2
8 5( ) 6
64 5( ) 6 . 3( ) 6
8 3( ) 6
64 15( ) 12( ) 36
x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
= + +

= + + +

= +

= + +
(2)

Biên soạn : Đồng Đức Lợi
19
Trờng THCS Cảnh Dơng ôn thi vào lớp 10 môn toán


- Th (1) vo (2) ta c phng trỡnh:
0
(45 96) 0
32
15
m
m m
m
=


+ =

=

(tho món )
Kết luận :

Để giải loại toán này ta lấy hệ số x
1
trừ cho hệ số của x
2
. Hiệu của hai hệ số là hệ số chung của
x
1
và x
2
, rút ra từ phơng trình mà bài toán yêu cầu.( điều kiện)
Ví dụ:
1/

1 2
2 0x x =
Ta lấy 1- (-2) =3. Do vậy hệ số của phơng trình rút sẽ là 3x
1
= .và 3x
2
= .
2/
1 2
4 3 1x x+ =
Ta lấy 4 3 =1 Do vậy hệ số của phơng trình rút sẽ là 1x
1
= .và 1x
2
= .
3/
1 2
3 5 6x x =
Ta lấy 3 (- 5) =8. Do vậy hệ số của phơng trình rút sẽ là: 8x
1
= ;8x
2
=
Nhân vế theo vế của hai phơng trình vừa rút.

Thay biểu thức tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm theo (Vi ét) rồi giải phơng trình có ẩn là
tham số
VI. TèM H THC LIấN H GIA HAI NGHIM CA PHNG TRèNH SAO CHO HAI NGHIM
NY KHễNG PH THUC ( C LP) VI THAM S
Phửụng phaựp:

1- t iu kin cho tham s phng trỡnh ó cho cú hai nghim x
1
v x
2
;( a 0 v 0)
2- p dng h thc VI-ẫT:
a
c
xx
a
b
xx =

=+
2121
.;
3- Sau ú da vo h thc VI-ẫT rỳt tham s ụỷ bieồu thửực tng caực nghim vaứ bieồu thửực tớch caực
nghim; sau ú ng nht cỏc v ta s c mt biu thc cha nghim khụng ph thuc vo
tham s. Đó chính là h thc liờn h gia cỏc nghim x
1
v x
2
không phụ thuộc vào tham số m.
Vớ d 1: Cho phng trỡnh :
( )
2
1 2 4 0m x mx m + =
(1) cú 2 nghim
1 2
;x x

. Lp h thc liờn h
gia
1 2
;x x
sao cho chỳng khụng ph thuc vo m.
(Bài này đã cho PT có hai nghiệmx
1
;x
2
nên ta không biện luận bớc 1)
Giải:
B ớc2 : Theo h th c VI- ẫT ta cú :
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2
2 (1)
1 1
4 3
. . 1 (2)
1 1
m
x x x x
m m
m
x x x x
m m

+ = + = +








= =



B ớc2 : Rỳt m t (1) ta cú :
1 2
1 2
2 2
2 1
1 2
x x m
m x x
= + =
+
(3)
Rỳt m t (2) ta cú :

Biên soạn : Đồng Đức Lợi
20
Trờng THCS Cảnh Dơng ôn thi vào lớp 10 môn toán

1 2
1 2
3 3
1 1

1 1
x x m
m x x
= =

(4)
B ớc 3 : ng nht cỏc v ca (3) v (4) ta cú:
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
2 3
2 1 3 2 3 2 8 0
2 1
x x x x x x x x
x x x x
= = + + + =
+
Vớ d 2: Gi
1 2
;x x
l nghim ca phng trỡnh :
( )
2
1 2 4 0m x mx m + =
. Chng minh rng
biu thc
( )
1 2 1 2
3 2 8A x x x x= + +
khụng ph thuc giỏ tr ca m.

Theo h thc VI- ẫT ta c ú :
1 2
1 2
2
1
4
.
1
m
x x
m
m
x x
m

+ =






=



ĐK:(
101

mm

) ;Thay vo A ta c ú:
( )
1 2 1 2
2 4 6 2 8 8( 1) 0
3 2 8 3. 2. 8 0
1 1 1 1
m m m m m
A x x x x
m m m m
+
= + + = + = = =

Vy A = 0 vi mi
1m
. Do ú biu thc A khụng ph thuc vo m
Bi tp:
1. Cho phng trỡnh :
( ) ( )
2
2 2 1 0x m x m + + =
. Hóy lp h thc liờn h gia
1 2
;x x
sao cho
1 2
;x x

c lp i vi m.
Hng dn:
B1: Ta coự

( ) ( ) ( )
2 2
2
2 4 2 1 4 8 2 4 0m m m m m = + = + = + >
.
Do ú phng trỡnh ó cho luụn cú 2 nghim phõn bit x
1
v x
2

B2: Theo h thc VI- ẫT ta cú
1 2
1 2
1 2
1 2
2(1)
2
1
. 2 1
(2)
2
m x x
x x m
x x
x x m
m
= +

+ = +





+
=
=




B3: T (1) v (2) ta cú:
( )
1 2
1 2 1 2 1 2
1
2 2 5 0
2
x x
x x x x x x
+
+ = + =
2.Cho phng trỡnh :
( ) ( )
2
4 1 2 4 0x m x m+ + + =
.
Tỡm h thc liờn h gia
1
x
v

2
x
sao cho chỳng khụng ph thuc vo m.
Hng dn: Ta coự
2 2
(4 1) 4.2( 4) 16 33 0m m m = + = + >

Do ú phng trỡnh ó cho luụn cú 2 nghim phõn bit x
1
v x
2


Biên soạn : Đồng Đức Lợi
21
Trờng THCS Cảnh Dơng ôn thi vào lớp 10 môn toán

Theo h thc VI- ẫT ta cú
1 2 1 2
1 2 1 2
(4 1) 4 ( ) 1(1)
. 2( 4) 4 2 16(2)
x x m m x x
x x m m x x
+ = + = +



= = +



T (1) v (2) ta cú:
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) 1 2 16 2 ( ) 17 0x x x x x x x x + = + + + + =
VII. XC NH DU CC NGHIM CA PHNG TRèNH BC HAI
Cho phng trỡnh:
2
0ax bx c+ + =
(a 0) .Hóy tỡm iu kin phng trỡnh cú 2 nghim:
trỏi du, cựng du, cựng dng, cựng õm .
Phửụng phaựp :
Ta dửùa vaứo bng xột du sau:
Du nghim x
1
x
2
1 2
S x x= +
1 2
P x x=

iu kin chung
trỏi du

m
P < 0
0 0 ; P < 0.
cựng du,



P > 0
0 0 ; P > 0
cựng dng, + + S > 0 P > 0
0 0 ; P > 0 ; S > 0
cựng õm


S < 0 P > 0
0 0 ; P > 0 ; S < 0.
Vớ d: Xỏc nh tham s m sao cho phng trỡnh:
( )
2 2
2 3 1 6 0x m x m m + + =
cú 2 nghim trỏi du.
phng trỡnh cú 2 nghim trỏi du thỡ
2 2
2
2
(3 1) 4.2.( 6) 0
0
( 7) 0
2 3
6
0
( 3)( 2) 0
0
2
m m m
m m
m

m m
P
P m m
P

= +


=


< <


<
= + <
= <




Vy vi
2 3m
< <
thỡ phng trỡnh cú 2 nghi m trỏi du.
Bi tp:
1.
( ) ( )
2
2 2 3 2 0mx m x m + + =

cú 2 nghim cựng du.
2.
( )
2
3 2 2 1 0mx m x m+ + + =
cú 2 nghim õm.
3.
( )
2
1 2 0m x x m + + =
cú ớt nht mt nghim khụng õm.
VIII. TèM GI TR LN NHT HOC GI TR NH NHT CA BIU THC NGHIM
Phửụng phaựp:
p dng tớnh cht sau v bt ng thc: trong mi trng hp nu ta luụn phõn tớch c:

Biên soạn : Đồng Đức Lợi
22
Trờng THCS Cảnh Dơng ôn thi vào lớp 10 môn toán

A m
C
k B
+

=



(trong ú A, B l cỏc biu thc khụng õm ; m, k l hng s)
Thỡ ta thy :

C m
(v ỡ
0A
)
min 0C m A = =
C k
(v ỡ
0B
)
max 0C k B = =
(*)
Vớ d 1: Cho phng trỡnh :
( )
2
2 1 0x m x m+ =
Gi
1
x
v
2
x
l cỏc nghim ca phng trỡnh. Tỡm m :
2 2
1 2 1 2
6A x x x x= +
cú giỏ tr nh nht.
Gii: Theo VI-ẫT:
1 2
1 2
(2 1)x x m

x x m
+ =


=

Theo baứi ra ta coự :
( )
2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
6 8A x x x x x x x x= + = +
( )
2
2
2
2 1 8
4 12 1
(2 3) 8 8
m m
m m
m
= +
= +
=
Suy ra:
min 8 2 3 0A m= =

hay
3

2
m =
Bi tp:
1. Cho phng trỡnh :
( ) ( )
2
4 1 2 4 0x m x m+ + + =
.
Tỡm m biu thc
( )
2
1 2
A x x=
cú giỏ tr nh nht.
2. Cho phng trỡnh
2
2( 1) 3 0x m x m =
. Tỡm m sao cho nghim
1 2
;x x
tha món iu kin
2 2
1 2
10x x+
.
3. Cho phng trỡnh :
2 2
2( 4) 8 0x m x m + =
xỏc nh m phng trỡnh cú 2 nghim
1 2

;x x
tha món

1 2 1 2
3A x x x x= +
t giỏ tr ln nht
4. Cho phng trỡnh :
2 2
( 1) 2 0x m x m m + =
. Vi giỏ tr no ca m, biu thc
2 2
1 2
C x x= +
dt
giỏ tr nh nht.
5. Cho phng trỡnh :
2
( 1) 0x m m+ + + =
. Xỏc nh m biu thc
2 2
1 2
E x x= +
t giỏ tr nh nht.
Bài tập
Bài tập1: Cho phơng trình: x
2
- 2(3m + 2)x + 2m
2
- 2m + 3 = 0
a) Giải phơng trình với m = 1;

b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có một nghiệm x = 1.

Biên soạn : Đồng Đức Lợi
23
Trờng THCS Cảnh Dơng ôn thi vào lớp 10 môn toán

Bài tập 2 Cho phơng trình: x
2
- 2(m - 2)x + m
2
- 3m + 5 = 0
a) Giải phơng trình với m = 3;
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình trên có nghiệm kép.
Bài tập 3:
Cho phơng trình: x
2
- 2(m + 3)x + m
2
+ 3 = 0
a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn :
34
21
=+ xx
Bài tập 4:
Cho phơng trình : ( m + 1) x
2
+ 4mx + 4m - 1 = 0
a) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x

1
= 2x
2

Bài tập 5:
Cho phơng trình : x
2
- 2(m - 1 ) x + m + 1 = 0
a) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x
1
= 3x
2

Bài tập 6: Cho phơng trình: (m - 2)x
2
- 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0
a) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
b) Khi phơng trình có một nghiệm x = -1. Tìm nghiệm còn lại
Bài tập 7: Cho phơng trình: x
2
- 2(m -1)x + m
2
- 3m = 0
a) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = - 2. Tìm nghiệm còn lại
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
và x
2
thoả mãn: x

1
2
+ x
2
2
= 8
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x
1
2
+ x
2
2

Bài tập 8: Cho phơng trình: mx
2
- (m + 3)x + 2m + 1 = 0
a) Tìm m để phơng trình có hiệu hai nghiệm bằng 2
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc m
Bài tập 9: Cho phơng trình
05)2(
2
=+ mxmx
(1)
a/ Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b/ Với giá trị nào của m thì PT (1) có hai nghiêm cùng dấu.
d/ Tính P =

2
2
2
1
xx +
.
Bài tập 10: Cho phơng trình :
032)1(
2
=+ mxmx
.
a/ Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b/ Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
c/ Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
c. hệ ph ơng trình bậc nhất có hai ẩn số:
+ Dạng tổng quát:



=+
=+
0
0
''
bxa
bax
+ Cách giải:
- Phơng pháp thế.
- Phơng pháp cộng đại số.
+ Số nghiệm số:


Biên soạn : Đồng Đức Lợi
24
Trờng THCS Cảnh Dơng ôn thi vào lớp 10 môn toán

- Nếu
'
aa
Thì hệ phơng trình có một nghiệm .
- Nếu
'''
;; ccbbaa ==
Thì hệ phơng trình có vô nghiệm .
- Nếu
'''
;; ccbbaa ===
Thì hệ phơng trình có vô số nghiệm.
+ Tập nghiệm của mỗi phơng trình biểu diễn trênmặt phẳng toạđộ là đồ thị hàm số dạng:
baxy +=
Ví dụ: Giải các HPT sau:
Bài1 :
2 3
3 7
x y
x y
=


+ =



Giải:
+ Dùng PP thế:
2 3
3 7
x y
x y
=


+ =


2 3 2 3 2 2
3 2 3 7 5 10 2.2 3 1
y x y x x x
x x x y y
= = = =



+ = = = =

Vaọy HPT đã cho có nghiệm là:
2
1
x
y
=



=

+ Dùng PP cộng:
2 3
3 7
x y
x y
=


+ =


5 10 2 2
3 7 3.2 7 1
x x x
x y y y
= = =



+ = + = =

Vaọy HPT đã cho có nghiệm là:
2
1
x
y
=



=

Bài2:
2 3 2
5 2 6
x y
x y
+ =


+ =

Để giải loại HPT này ta thờng sử dụng PP cộng cho thuận lợi.

2 3 2
5 2 6
x y
x y
+ =


+ =


10 15 10 11 22 2 2
10 4 12 5 2 6 5 2.( 2 6) 2
x y y y x
x y x y x y

+ = = = =



+ = + = + = =

Vaọy HPT có nghiệm là
2
2
x
y
=


=


Bài 3:
2 3
1
1
2 5
1
1
x y
x y

+ =

+




+ =

+

*Đối với HPT ở dạng này ta có thể sử dụng hai cách giải sau đây:
+ Cách 1: Sử dụng PP cộng. ĐK:
1, 0x y
.

2 3
1
1
2 5
1
1
x y
x y

+ =

+



+ =

+



2
2
1 1
1 3
1
2 2
2 5 2
2 5
1 4
1 1
1
1 1 1
1
y y
y
x x
y y
x x
x y

=
= =



+ = =




+ = =

= =
+ =
+ +



+



Biên soạn : Đồng Đức Lợi
25