hệ phương trình tuyến tính
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (359.38 KB, 32 trang )
Chương 2
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
$1. Các khái niệm cơ bản
$2. Phương pháp Gauss
$3. Qui tắc Cramer
$1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả
1.1 Đònh nghóa 1 :
1). Một hệ phương trình tuyến tính
gồm m phương trình n ẩn số là một hệ
có dạng :
$1. CC KHI NI M C B N :
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1n
x
n
= b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ . . . + a
2n
x
n
= b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ . . . + a
mn
x
n
= b
m
trong ủoự a
ij
, b
i
R vaứ x
1
, x
2
, , x
n
laứ caực aồn
soỏ.
)1(
$1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả
2). Ma trận :
được gọi là ma trận hệ số của hệ (1).
)(
ij
aA =
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
$1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả
Gọi là cột hệ số tự do
và là cột ẩn số
=
m
b
b
b
B
2
1
=
n
x
x
x
X
2
1
$1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả
thì hệ (1) được viết dưới dạng ma trận
như sau :
AX = B (2)
$1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả
Ma trận :
được gọi là ma trận bổ sung của hệ (1).
)( BA
=
mmnmm
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
2
1
21
22221
11 211
$1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả
1.2 Đònh nghóa 2 :
1). Hệ (1) hoặc (2) được gọi là hệ
phương trình tuyến tính thuần nhất, nếu :
b
1
= b
2
= … = b
m
= 0 tức là B = O
Khi đó hệ trên thành :
$1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả
OAX
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
nmnmm
nn
nn
=⇔
=+++
=+++
=+++
0
0
0
2211
2222121
1212111
$1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
bao giờ cũng có nghiệm tầm thường :
x
1
= x
2
= … = x
n
= 0
2). Hệ (1) hoặc (2) là hệ phương trình
tuyến tính không thuần nhất, nếu :
∃i, với 1 ≤ i ≤ m sao cho b
i
≠ 0 tức là B ≠ O
$1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả
1.3 Đònh lý Kronecker Capelli :
Cho hệ phương trình tuyến tính (2).
Khi đó :
1. Nếu r(A) < r(A|B) thì hệ (2) vô nghiệm.
2. Nếu r(A) = r(A|B) = n (n là số ẩn số) thì
hệ (2) có nghiệm duy nhất.
$1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả
3. Nếu r(A) = r(A|B) < n thì hệ (2) có vô số
nghiệm, được gọi là nghiệm tổng quát
của hệ, với n–r(A) ẩn tự do (hay ẩn phụ).
Các ẩn tự do này đóng vai trò tham số,
sẽ lấy các giá trò tùy ý.
$1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả
* Ghi nhớ :
Đối với hệ phương trình tuyến tính
thuần nhất ta có :
1. Nếu r(A) = n thì hệ chỉ có nghiệm tầm
thường.
2. Nếu r(A) < n thì hệ có nghiệm không
tầm thường.
$2. PH NG PHÁP GAUSS :ƯƠ
2.1 Các bước thực hiện :
1). Viết ma trận bổ sung của hệ
phương trình tương ứng.
2). Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên
dòng đưa A về dạng bậc thang R :
(AB) → (RB’)
Khi đó : AX = B ⇔ RX = B’
$2. PH NG PHÁP GAUSS :ƯƠ
3). Viết lại hệ phương trình tuyến tính
ứng với RX = B’ và giải hệ này.
$2. PH NG PHP GAUSS :
2.2 Caực vớ duù :
Vớ duù 1 : Giaỷi heọ phửụng trỡnh sau :
=++
=++
=++
=++
18234
1323
622
732
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
xxx
$2. PH NG PHP GAUSS :
Vớ duù 2 : Giaỷi heọ phửụng trỡnh sau :
=++
=+
=+
553
1133
132
321
321
321
xxx
xxx
xxx
$2. PH NG PHP GAUSS :
Vớ duù 3 : Giaỷi heọ phửụng trỡnh sau :
=+
=++
=+
81073
5322
2432
431
4321
4321
xxx
xxxx
xxxx
BI T P : H ph ng trỡnh tuy n tớnh
Baứi 2.1 : Giaỷi caực heọ phửụng trỡnh sau
(Gauss) :
=+
=++
=++
224
652
12
).1
321
321
321
xxx
xxx
xxx
=+
=++
=+
2432
124
32
).2
321
321
321
xxx
xxx
xxx
BÀI T P : H ph ng trình tuy n tínhẬ ệ ươ ế
=++−
=+−−
=+−−
022
42463
22
).3
321
4321
4321
xxx
xxxx
xxxx
−=+−−
=−+
=+−
547
32
42
).4
321
321
321
xxx
xxx
xxx
BI T P : H ph ng trỡnh tuy n tớnh
Baứi 2.2 : Giaỷi caực heọ phửụng trỡnh sau
(Gauss) :
1).
=++
=++
=++
=++
1234
123
322
932
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
xxx
BÀI T P : H ph ng trình tuy n tínhẬ ệ ươ ế
2).
=−++
=−++
−=+−+
=+−+
47432
5253
122133
1532
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
BÀI T P : H ph ng trình tuy n tínhẬ ệ ươ ế
=+−
=−++−
=−+−
81073
5322
2432
).3
431
4321
4321
xxx
xxxx
xxxx
=++−−
−=+++
=+−+
3422
6242
232
).4
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
$3. QUI T C CRAMER :Ắ
3.1 Cách giải :
Xét hệ phương trình tuyến tính có số
phương trình bằng số ẩn số :
AX = B (2)
trong đó A là ma trận vuông cấp n
và B là ma trận cấp nx1
$3. QUI T C CRAMER :Ắ
Đặt : ∆ = detA
∆
j
= detA
j
, với 1 ≤ j ≤ n
trong đó A
j
là ma trận có được từ A
bằng cách thay cột j bằng cột B.
