Giỏo viờn : Phan Cụng Tr - Trng THPT Thanh Bỡnh 2
Giải toán 12 trên máy vi tính nhờ phần mềm Maple 8
Phần mềm Maple đợc sản xuất đầu tiên ở Canađa cách đây vài thập kỷ. Hiện nay đã có phiên
bản Maple 11. Chúng ta sử dụng phiên bản Maple 8 đợc sản xuất năm 2002 vì nó có dung lợng
thích hợp với việc giải toán phổ thông. Để sử dụng đợc phần mềm này sau khi đã cài đặt nó vào
máy tính, cần phải nhớ cách nhập các lệnh và các ký hiệu toán học.
I. ứng dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
1.1. Cho hàm số, tính giá trị của hàm số tại một số điểm thuộc tập xác định của hàm số đó, vẽ đồ
thị của hàm số trên một hình chữ nhật của mặt phẳng toạ độ
Cấu trúc lệnh cho hàm số nh sau:
f : =x - > hàm số;
Chữ cái ký hiệu của hàm số có thể là chữ cái g, h, , chứ không nhất thiết là chữ cái f.
Đối số cũng không nhất thiết là x mà có thể là chữ cái bất kỳ khác. Tại vị trí của hàm số ta phải
nhập biểu thức của hàm số cần cho. Các dấu +, - đợc nhập bình thờng. Dấu nhân đợc nhập bằng *.
Dấu chia đợc nhập bằng /. Luỹ thừa đợc nhập bằng ^.
Nếu đã cho hàm số f(x) thì cấu trúc lệnh yêu cầu tính giá trị của hàm số tại điểm a thuộc
tập xác định của nó là:
f(a);
Nếu đã cho hàm số f(x) thì cấu trúc lệnh vẽ đồ thị của hàm số trên một hình chữ nhật của
mặt phẳng toạ độ với x từ a đến b và y từ c đến d nh sau:
plot(f(x),x =a b, y = c d);
Bài toán 1.1.1. Cho hàm số y = x
3
- 6x
2
+ 11x - 6. Tính giá trị hàm số tại x = 2, m,
3

và
vẽ đồ thị hàm số đó với x từ - 5 đến 5, y từ - 5 đến 5.
> f:=x->x^3-6*x^2+11*x-6;

:= f x + x
3
6 x
2
11 x 6
> f(2);
0
> f(m);
+ m
3
6 m
2
11 m 6
> f(Pi/3);
+
1
27

3
2
3

2
11
3
6
> plot(f(x),x=-5 5,y=-5 5);
1
Giỏo viờn : Phan Cụng Tr - Trng THPT Thanh Bỡnh 2
Bài toán 1.1.2. Vẽ đồ thị của hai hàm số y = sin 2x và y = x

4
- 3x
2
+ 2 trên cùng một hệ
trục toạ độ với x từ - 4 đến 4 và y từ - 2 đến 6.
> plot({sin(2*x),x^4-3*x^2+2},x=-4 4,y=-2 6);
1.2. Tìm tập xác định của hàm số cho bằng biểu thức
Tập xác định của hàm số cho bằng biểu thức thờng là tập nghiệm của bất phơng trình
hoặc hệ bất phơng trình nào đó.
Bài toán 1.2.1. Tìm tập xác định của hàm số y =
2
1
3 x
.
> solve(3-x^2>0,{x});
{ }, < 3 x < x 3
Vậy tập xác định đó là D =
( 3; 3).
Bài toán 1.2.2. Tìm tập xác định của hàm số y =
2
3x 5
x 3x 2
2x 1

+ +
+
.
> solve({x^2-3*x+2>=0,2*x+1>0},{x});
,{ }, <
-1

2
x x 1 { } 2 x
2
Giỏo viờn : Phan Cụng Tr - Trng THPT Thanh Bỡnh 2
Vậy tập xác định đó là D =
[
)
1
;1 2;
2





.
1.3. Tìm cực trị (nếu có) của hàm số
Để tìm cực trị của một hàm số, trớc hết ta phải tính đạo hàm của hàm số và tìm nghiệm
của đạo hàm. Cấu trúc lệnh của đạo hàm nh sau:
diff(hàm số, đối số);
Tại vị trí của hàm số ta phải nhập biểu thức của hàm số. Tại vị trí đối`số ta phải nhập
chữ cái chỉ đối số. Cấu trúc lệnh tìm nghiệm của đạo hàm (của đối số x) là:
solve(đạo hàm, {x});
Tại ví trí của đạo hàm ta phải nhập biểu thức của đạo hàm hoặc ký hiệu % nếu kết quả
tính đạo hàm vừa mới có ở dòng trên liền kề.
Sau đó, có thể tính đạo hàm cấp 2 và giá trị của đạo hàm cấp 2 tại nghiệm của đạo hàm
rồi kết luận về cực trị. Cấu trúc lệnh của đạo hàm cấp 2 nh sau:
diff(hàm số, đối số, đối số);
hoặc diff(hàm số, đối số$2);
Bài toán 1.3.1. Tìm các cực trị của hàm số y = x

4
-3x
2
+ 2x +1.
> f:=x->x^4-3*x^2+2*x+1;
:= f x + + x
4
3 x
2
2 x 1
> diff(f(x),x);
+ 4 x
3
6 x 2
> solve(%,{x});
, ,{ } = x 1 { } = x +
1
2
3
2
{ } = x
1
2
3
2
> diff(f(x),x,x);
12 x
2
6
> g:=x->12*x^2-6;

:= g x 12 x
2
6
> g(1);
6
> g(-1/2+1/2*3^(1/2));
12








+
1
2
3
2
2
6
> simplify(%);
6 6 3
3
Giỏo viờn : Phan Cụng Tr - Trng THPT Thanh Bỡnh 2
> g(-1/2-1/2*3^(1/2));
12










1
2
3
2
2
6
> simplify(%);
+ 6 6 3
> f(1);
1
> f(-1/2+1/2*3^(1/2));
+








+
1
2

3
2
4
3








+
1
2
3
2
2
3
> simplify(%);
+
5
4
3 3
2
> f(-1/2-1/2*3^(1/2));











1
2
3
2
4
3









1
2
3
2
2
3
> simplify(%);

5

4
3 3
2
Nh vậy hàm số đã cho có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại. Các giá trị cực tiểu là
f(1) = 1 và
1 3 5 3 3
f
2 2 4 2

=
ữ
ữ

. Giá trị cực đại là
1 3 5 3 3
f
2 2 4 2

+ = +
ữ
ữ

.
Có thể yêu cầu vẽ đồ thị hàm số này để thấy các cực trị đó một cách trực quan.
> plot(x^4-3*x^2+2*x+1,x=-3 3,y=-4 2);
4
Giỏo viờn : Phan Cụng Tr - Trng THPT Thanh Bỡnh 2
1.4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số
Cấu trúc lệnh tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] nh sau:
maximize(f(x),x = a b);

Cấu trúc lệnh tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] nh sau:
minimize(f(x),x = a b);
Tại vị trí f(x) ta phải nhập biểu thức của hàm số đó. a và b phải là các số cụ thể chứ không
phải chữ cái dùng thay số.
Bài toán 1.4.1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x +
cos2x trên đoạn [0; 1].
> maximize(x+cos(2*x),x=0 1);
+

12
3
2
> minimize(x+cos(2*x),x=0 1);
+
1 ( )cos 2
Bài toán 1.4.2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
x 1 5 2x +
.
> > maximize(sqrt(x-1)+sqrt(5-2*x),x=1 5/2);
3 2
2
> minimize(sqrt(x-1)+sqrt(5-2*x),x=1 5/2);
6
2
1.5. Tìm các đờng tiệm cận (nếu có) của đồ thị hàm số
Bài toán 1.5.1. Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số y =
3 2
2
x 2x 4x 1
x x 2

+
+
.
> (x^3-2*x^2+4*x-1)/(x^2+x-2)=convert((x^3-2*x^2+4*x-1)/(x^2+x-
2),parfrac,x);
=
+ x
3
2 x
2
4 x 1
+ x
2
x 2
+ + x 3
25
3 ( ) + x 2
2
3 ( ) x 1
Vậy đồ thị hàm số này coá ba đờng tiệm cận x = - 2, x = 1 và y = x 3.
1.6. Tìm toạ độ giao điểm (nếu có) của đồ thị hai hàm số
Đây là việc giải hệ phơng trình.
5
Giỏo viờn : Phan Cụng Tr - Trng THPT Thanh Bỡnh 2
Bài toán1.6.1. Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = x
2
+ 7x - 5 và y =
2
8 9 11
1

+
+
x x
x
.
> solve({y=x^2+7*x-5,y=(8*x^2+9*x-11)/(x+1)});
, ,{ },
=
y 3
=
x 1 { },
=
x 2
=
y 13 { },
=
x -3
=
y -17
Vậy toạ độ ba giao điểm của hai đồ thị đã cho là A(1; 3), B(2; 13), C(- 3; - 17).
Bài toán 1.6.2. Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = cosx và y = 2x.
> solve({y=cos(x),y=2*x});
{ }, = x ( )RootOf 2 _Z ( )cos _Z = y 2 ( )RootOf 2 _Z ( )cos _Z
> evalf(%);
{ },
=
x 0.4501836113
=
y 0.9003672226
Vậy toạ độ gần đúng (với 4 chữ số thập phân) của giao điểm của hai đồ thị đã cho là

A(0,4502; 0,9004).
1.7. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm trên đồ thị đó hoặc đi qua điểm
nào đó khi biết toạ độ của điểm đó
Bài toán 1.7.1. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x
3

2x
2
+ 4x - 1

tại điểm A(2; 7 ).
> diff(x^3-2*x^2+4*x-1,x);
+ 3 x
2
4 x 4
> g:=x->3*x^2-4*x+4;
:= g x + 3 x
2
4 x 4
> g(2);
8
> expand(y=8*(x-2)+7);
= y 8 x 9
Bài toán 1.7.2. Viết phơng trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
x
3
- 4x
2
+ x - 2 đi qua điểm A(1; - 4).
> f:=x->k*(x-a)+b;

:= f

x
+
k ( )

x a b
> solve(f(1)=-4,{b});
{ } = b + k k a 4
> g:=k->k*(x-a)-k+k*a-4;
:= g

k
+
k ( )

x a k k a 4
> diff(x^3-4*x^2+x-2,x);
6
Giỏo viờn : Phan Cụng Tr - Trng THPT Thanh Bỡnh 2
+ 3 x
2
8 x 1
> solve({x^3-4*x^2+x-2=k*x-k-4,3*x^2-8*x+1=k});
, ,{ }, = x
3
2
= k
-17
4

{ }, = x 1 = k -4 { }, = x 1 = k -4
> y=g(-17/3);
= y +
17 x
3
5
3
> y=g(-4);
=
y

4 x
II. Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
2.1. Tính giá trị của biểu thức, rút gọn biểu thức (số hoặc chữ)
Bài toán 2.1.1. Rút gọn biểu thức A =
5 2 6 5 2 6+ +
.
> A:=sqrt(5+2*sqrt(6))+sqrt(5-2*sqrt(6));
:= A 2 3
Bài toán 2.1.2. Rút gọn biểu thức B =
4 8
log 8a log 3b
2

.
> B:=2^(ln(8*a)/ln(4)-ln(3*b)/ln(8));
:= B 2










( )ln 8 a
( )ln 4
( )ln 3 b
( )ln 8
> B:=simplify(%);
:= B
2 2 a 3
( )/2 3
3 b
( )/1 3
2.2. Giải phơng trình mũ
Bài toán 2.2.1. Giải phơng trình 3
2x + 5
= 3
x + 2
+ 2.
> solve(3^(2*x+5)=3^(x+2)+2,{x});
,{ } = x
( )ln 9
( )ln 3

















= x
+








ln
2
27
I
( )ln 3
> expand(%);
{ } = x
( )ln 9

( )ln 3
> evalf(%);
{ }
=
x -1.999999999
Nếu ta đặt ẩn phụ rồi mới yêu cầu máy giải phơng trình thì ta đợc nghiệm đúng:
> solve(3*t^2=t+2,{t});
7
Giỏo viờn : Phan Cụng Tr - Trng THPT Thanh Bỡnh 2
,{ } = t 1 { } = t
-2
3
> solve(3^(x+2)=1,{x});
{ } = x -2
Bài toán 2.2.2. Giải gần đúng phơng trình 9
x
- 5ì3
x
+ 2 = 0.
> solve(t^2-5*t+2,{t});
,{ } = t +
5
2
17
2
{ } = t
5
2
17
2

> solve(3^x=5/2+1/2*17^(1/2),{x});
















= x








ln +
5
2
17

2
( )ln 3
> solve(3^x=5/2-1/2*17^(1/2),{x});
















= x








ln
5

2
17
2
( )ln 3
2.3. Giải hệ phơng trình mũ
Bài toán 2.3.1. Giải hệ phơng trình
x y
x y
2 3 7
4 9 25.

+ =


+ =


> solve({2^x+3^y=7,4^x+9^y=25});
= y













ln + e














RootOf _Z ( )ln 4 ( )ln 2















ln + e










( )ln 9 ( )ln + e
_Z
7
( )ln 3
25
7
( )ln 3
,













= x
















ln + e























( )ln 9
















ln + e















RootOf _Z ( )ln 4 ( )ln 2














ln + e











( )ln 9 ( )ln + e
_Z
7
( )ln 3
25
7
( )ln 3
25
( )ln 4













> evalf(%);
{ },
=
y 1.261859507
=
x 1.584962503
> s:=2^x;t:=3^y;
:= s 2
x
:= t 3
y
8
Giỏo viờn : Phan Cụng Tr - Trng THPT Thanh Bỡnh 2
> solve({s+t=7,s^2+t^2=25});
,{ }, = y 1 = x
( )ln 4
( )ln 2
{ }, = y
( )ln 4
( )ln 3
= x
( )ln 3
( )ln 2
2.4. Giải bất phơng trình mũ
Bài toán 2.4.1. Giải bất phơng trình 4
x
- 3ì2
x
+ 2 > 0.

> solve(4^x-3*2^x+2>0,{x});
> t:=2^x;
:= t 2
x
> solve(t^2-3*t+2>0,{x});
,{ } < x 0 { } < 1 x
2.5. Giải phơng trình lôgarit
Bài toán 2.5.1. Giải phơng trình log
2
x + log
4
(2x) = 3.
> solve(ln(x)/ln(2)+ln(2*x)/ln(4)=3,{x});
{ } = x e








( )ln 2 ( )ln 32
( )ln 8
> simplify(%);
{ } = x 2 2
( )/2 3
Bài toán 2.5.2. Giải phơng trình log
2
2


x + log
2
(3x) = 5.
> solve((ln(x)/ln(2))^2+ln(3*x)/ln(2)=5,{x});
>
,{ } = x e
( ) + /1 2 ( )ln 2 /1 2 21 ( )ln 2
2
4 ( )ln 2 ( )ln 3
{ } = x e
( ) /1 2 ( )ln 2 /1 2 21 ( )ln 2
2
4 ( )ln 2 ( )ln 3
> evalf(%);
,{ }
=
x 2.665541725 { }
=
x 0.1875791309
2.6. Giải phơng trình hỗn hợp
Bài toán 2.6.1. Giải phơng trình 2
x
+ log
3
(2x) = 4.
> solve(2^x-ln(2*x)/ln(3)=4,{x});
{ } = x ( )RootOf 2
_Z
( )ln 3 ( )ln 2 _Z 4 ( )ln 3

> evalf(%);
{ } = x 2.444843682
> plot(2^x-ln(2*x)/ln(3)-4,x=-1 3,y=-3 1);
9
Giỏo viờn : Phan Cụng Tr - Trng THPT Thanh Bỡnh 2

2.3. Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
2.3.1. Tính nguyên hàm
Cấu trúc của lệnh tính nguyên hàm của một hàm số là:
int (hàm số, đối số);
Sau khi ghi đầy đủ lệnh trên, trong đó hàm số đợc ghi bằng một biểu thức cụ thể và đối số
đợc ghi bằng một chữ cái thích hợp, và ấn phím Enter thì kết quả sẽ hiện ra nhng không kèm theo
hằng số tích phân.
Bài toán 2.3.1.1. Tính nguyên hàm của hàm số (x
2
- 2x + 3)
4
.
> int((x^2-2*x+3)^4,x);
+ + + + 81 x
1
9
x
9
x
8
36
7
x
7

52
3
x
6
214
5
x
5
78 x
4
108 x
3
108 x
2
Nếu muốn kết quả hiện ra có cả ký hiệu của nguyên hàm đó thì cần sửa lại cấu
trúc của lệnh một chút:
> Int((x^2-2*x+3)^4,x)=int((x^2-2*x+3)^4,x);
= d





( ) + x
2
2 x 3
4
x + + + + 81 x
1
9

x
9
x
8
36
7
x
7
52
3
x
6
214
5
x
5
78 x
4
108 x
3
108 x
2
Bài toán 2.3.1.2. Tính nguyên hàm của hàm số (x
2
+ 2x - 1)e
2x - 3
.
> Int((x^2+2*x-1)*exp(2*x-3),x)=int((x^2+2*x-1)*exp(2*x-3),x);
= d





( ) + x
2
2 x 1 e
( ) 2 x 3
x + +
1
8
e
( ) 2 x 3
( ) 2 x 3
2
e
( ) 2 x 3
( ) 2 x 3
9
8
e
( ) 2 x 3
> Int((x^2+2*x-1)*exp(2*x-3),x)=int((x^2+2*x-1)*exp(2*x-3),x);
= d




( ) + x
2
2 x 1 e

( ) 2 x 3
x + +
1
8
e
( ) 2 x 3
( ) 2 x 3
2
e
( ) 2 x 3
( ) 2 x 3
9
8
e
( ) 2 x 3
2.3.2. Tính tích phân
10
Giáo viên : Phan Công Trứ - Trường THPT Thanh Bình 2
Bµi to¸n 2.3.2.1. TÝnh
2
3 2
1
(4 2 3 1)x x x dx− + +
∫
.
> Int(4*x^3-2*x^2+3*x+1,x=1 2)=int(4*x^3-2*x^2+3*x+1,x=1 2);
= d
⌠
⌡



1
2
− + + 4 x
3
2 x
2
3 x 1 x
95
6
Bµi to¸n 2.3.2.2. TÝnh
2
1
3
0
x
x e dx
∫
.
> Int(x^3*exp(x^2),x=0 1)=int(x^3*exp(x^2),x=0 1);
= d
⌠
⌡



0
1
x
3

e
( )x
2
x
1
2
Bµi to¸n 2.3.2.3. TÝnh
2
0
sinx xdx
π
∫
.
> Int(x*sin(x),x=0 pi/2)=int(x*sin(x),x=0 pi/2);
= d
⌠
⌡

0
π
2
x ( )sin x x −









sin
π
2
1
2
π








cos
π
2
Bµi to¸n 2.3.2.4. TÝnh
1
2
3
0
2 3 1
1
x x
dx
x
− +
+
∫

.
> Int((2*x^2-3*x+1)/(x^3+1),x=0 1)=int((2*x^2-3*x+1)/
(x^3+1),x=0 1);
= d
⌠
⌡





0
1
− + 2 x
2
3 x 1
+ x
3
1
x − +
2 3 π
9
2 ( )ln 2
Bµi to¸n 2.3.2.5. TÝnh
2
2
6
cos 2x xdx
π
π

∫
.
>Int(x^2*cos(2*x),x=Pi/6 Pi/2)=int(x^2*cos(2*x),x=Pi/6 Pi/2);
= d
⌠
⌡


π
6
π
2
x
2
( )cos 2 x x − − +
7
24
π
1
144
π
2
3
1
8
3
11
Giỏo viờn : Phan Cụng Tr - Trng THPT Thanh Bỡnh 2
Bài toán 2.3.2.6. Tính
2

0
sin
2 cos
x xdx
x

+

.
>Int(x*sin(x)/(2+cos(x)^2),x=0 Pi)=int(x*sin(x)/
(2+cos(x)^2),x=0 Pi);
= d






0

x ( )sin x
+ 2 ( )cos x
2
x d







0

x ( )sin x
+ 2 ( )cos x
2
x
> evalf(%);
= 1.367252148 1.367252148
Nếu đổi biến số t = - x thì ta có
2 2
0 0
sin sin
2 cos 2 2 cos
=
+ +

x xdx xdx
x x


.
>Int(x*sin(x)/(2+cos(x)^2),x=0 Pi)=int(Pi/2*sin(x)/
(2+cos(x)^2),x=0 Pi);
= d







0

x ( )sin x
+ 2 ( )cos x
2
x
1
2








arctan
2
2
2
2.3.3. Tính diện tích hình phẳng nhờ tích phân
Bài toán 2.3.3.1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y =
2x
2
+ 5x - 2 và y = x
3
+ 2x
2
- 2x + 4.
> f:=x->2*x^2+5*x-2; g:=x->x^3+2*x^2-2*x+4;

:= f x + 2 x
2
5 x 2
:= g x + + x
3
2 x
2
2 x 4
> solve(f(x)=g(x),{x});
, ,{ }
=
x 1 { }
=
x 2 { }
=
x -3
> S:=Int(abs(f(x)-g(x)),x=-3 2)=int(abs(f(x)-g(x)),x=-3 2);
:= S = d




-3
2
+ + 7 x 6 x
3
x
131
4
2.3.4. Tính thể tích vật thể tròn xoay nhờ tích phân

Bài toán 2.3.4.1. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành do hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị các hàm số y = x
2
+ 5x - 1 và y = x
3
+ 4x
2
+ 5x - 5 quay xung quanh trục Ox.
> f:=x->x^2+5*x-1;g:=x->x^3+4*x^2+5*x-5;
:= f x + x
2
5 x 1
:= g x + + x
3
4 x
2
5 x 5
12
Giỏo viờn : Phan Cụng Tr - Trng THPT Thanh Bỡnh 2
> solve(f(x)=g(x),{x});
, ,{ }
=
x 1 { }
=
x -2 { }
=
x -2
> V:=Int(Pi*(f(x)-g(x))^2,x=-2 1)=int(Pi*(f(x)-g(x))^2,x=-2 1);
:= V = d






-2
1
( ) + 3 x
2
4 x
3
2
x
729
35
2.4. Số phức
2.4.1. Rút gọn các biểu thức có chứa số phức
Bài toán 2.4.1.1. Tính
3 2 1
1 3 2
i i
i i
+
+

.
> (3+2*I)/(1-I)+(1-I)/(3-2*I);
+
23
26
63

26
I
Bài toán 2.4.1.2. Tính
2
(1 )(5 6 )
(2 )
i i
i
+
+
.
> (1+I)*(5-6*I)/(2+I)^2;

29
25
47
25
I
2.4.2. Tìm môđun và acgumen của số phức
Bài toán 2.4.2.1. Tìm môđun và acgumen của số phức z =
2
(1 )(5 6 )
(2 )
i i
i
+
+
.
> abs((1+I)*(5-6*I)/(2+I)^2);
122

5
> argument((1+I)*(5-6*I)/(2+I)^2);









arctan
47
29
2.4.3. Chuyển đổi số phức từ dạng đại số sang dạng lợng giác hoặc dạng mũ
Bài toán 2.4.3.1. Chuyển đổi số phức z = 1 +
3
i sang dạng lợng giác và dạng mũ.
> 1+sqrt(3)*I=convert(1+sqrt(3)*I,polar);
= + 1 3 I








polar ,2


3
Nh vậy, ta có 1 +
3
i = 2
i
3
cos isin 2e
3 3



+ =
ữ

.
Bài toán 2.4.3.2. Chuyển đổi số phức z =
2
(1 )(5 6 )
(2 )
i i
i
+
+
sang dạng lợng giác và dạng mũ.
13
Giỏo viờn : Phan Cụng Tr - Trng THPT Thanh Bỡnh 2
> convert( (1+I)*(5-6*I)/(2+I)^2, polar );









polar ,
122
5









arctan
47
29
Nh vậy, ta có
47
iarctan
29
122 47 47 122
z cos arctan isin arctan e .
5 29 29 5


= =

ữ

2.4.4. Giải phơng trình trên tập hợp số phức
Bài toán 2.4.4.1. Giải phơng trình x
2
- 6x + 58 = 0.
> solve(x^2-6*x+58,{x});
,{ } = x + 3 7 I { } = x 3 7 I
Bài toán 2.4.4.2. Giải phơng trình x
3
- x
2
- 2x + 8 = 0.
> solve(x^3-x^2-2*x+8,{x});
, ,{ } = x -2 { } = x +
3
2
1
2
I 7 { } = x
3
2
1
2
I 7
Bài toán 2.4.4.3. Giải phơng trình x
3
- x + 10 = 0.
> solve(x^3-x+10,{x});















= x
( ) + 135 3 2022
( )/1 3
3
1
( ) + 135 3 2022
( )/1 3
x
( ) + 135 3 2022
( )/1 3
6
=








,
1
2 ( ) + 135 3 2022
( )/1 3
+
1
2
I 3












+
( ) + 135 3 2022
( )/1 3
3
1
( ) + 135 3 2022
( )/1 3
+








x =







,
( ) + 135 3 2022
( )/1 3
6
1
2 ( ) + 135 3 2022
( )/1 3
+
1
2
I 3













+
( ) + 135 3 2022
( )/1 3
3
1
( ) + 135 3 2022
( )/1 3








> evalf(%);
{ } = x -2.308907320 { } = x 1.154453660 1.731557033 I, ,
{ } = x + 1.154453660 1.731557033 I
14
Giáo viên : Phan Công Trứ - Trường THPT Thanh Bình 2
Bµi to¸n 2.4.4.4. Gi¶i ph¬ng tr×nh x
4

+ 5x
2
- 36 = 0.
> solve(x^4+5*x^2-36,{x});
, , ,{ } = x -2 { } = x 2 { } = x 3 I { } = x -3 I
Bµi to¸n 2.4.4.5. Gi¶i ph¬ng tr×nh x
4
+ x
3
- 5x
2
- 4 = 0.
> solve(x^4+x^3-5*x^2-4,{x});
{ } = x 2














= x − − −
( ) + 324 12 633

( )/1 3
6
4
( ) + 324 12 633
( )/1 3
1 x =







, ,
( ) + 324 12 633
( )/1 3
12
2
( ) + 324 12 633
( )/1 3
1 + −
1
2
I 3













− +
( ) + 324 12 633
( )/1 3
6
4
( ) + 324 12 633
( )/1 3
+







x =







,

( ) + 324 12 633
( )/1 3
12
2
( ) + 324 12 633
( )/1 3
1 + −
1
2
I 3












− +
( ) + 324 12 633
( )/1 3
6
4
( ) + 324 12 633
( )/1 3
−








> evalf(%);
{ } = x 2. { } = x -2.893289196 { } = x − -0.0533554020 0.8297035535 I, , ,
{ } = x + -0.0533554020 0.8297035535 I
2.5. Ph¬ng ph¸p to¹ ®é trong kh«ng gian
2.5.1. TÝnh tÝch v« híng, tÝch vect¬, gãc gi÷a hai vect¬ khi biÕt to¹ ®é cña chóng
Bµi to¸n 2.5.1.1. Cho hai vec t¬
(3;7; 5)= −
r
a
vµ
(4; 2;9)= −
r
b
.
a) TÝnh tÝch v« híng cña hai vect¬
r
a
vµ
r
b
.
b) T×m tÝch vect¬ cña hai vect¬
r

a
vµ
r
b
.
c) TÝnh gãc gi÷a hai vect¬
r
a
vµ
r
b
.
> a:=Vector([3,7,-5]);
:= a














3
7

-5
15
Giỏo viờn : Phan Cụng Tr - Trng THPT Thanh Bỡnh 2
> b:=Vector([4,-2,9]);
:= b














4
-2
9
> a.b;
-47
> with(LinearAlgebra):c:=CrossProduct(a,b);
:= c















53
-47
-34
> VectorAngle(a,b);









arccos
47 83 101
8383
> evalf(%);
2.109858925
> evalf(%*180/Pi);
120.8860117

> (%-120)*60;
53.160702
> (%-53)*60;
9.642120
Vậy góc giữa hai vectơ này là 120
0
5310.
2.5.2. Viết phơng trình mặt phẳng đi qua ba điểm khi biết toạ độ của chúng
Bài toán 2.5.2.1. Viết phơng trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; - 3; 2), B(5; 6; 1),
C(- 4; - 7; 4).
> f:=(x,y,z)->a*x+b*y+c*z+1;
:= f

( ), ,x y z
+ + +
a x b y c z 1
> solve({f(1,-3,2),f(5,6,1),f(-4,-7,4)});
{ }, , = c
-29
81
= b
1
27
= a
-14
81
> f:=(x,y,z)->a*x+b*y+c*z-81;
:= f

( ), ,x y z

+ +
a x b y c z 81
> solve({f(1,-3,2),f(5,6,1),f(-4,-7,4)});
{ }, , = c 29 = b -3 = a 14
> 14*x-3*y+29*z-81=0;
= +
14 x 3 y 29 z 81 0
16
Giáo viên : Phan Công Trứ - Trường THPT Thanh Bình 2
2.5.3. T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña ba mÆt ph¼ng khi biÕt ph¬ng tr×nh cña chóng
Bµi to¸n 2.5.3.1. T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña ba mÆt ph¼ng cã ph¬ng tr×nh
2x - 5y + 7z - 8 = 0, x +
13
4
y - 5z + 1 = 0, 12x - 51y - z - 3 = 0.
> solve({2*x-5*y+7*z-8,x+13/4*y-5*z+1,12*x-51*y-z-3});
{ }, , = x
6789
3406
= z
1455
1703
= y
670
1703
2.5.4. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng, tÝnh gãc gi÷a hai ®êng th¼ng khi biÕt ph¬ng tr×nh cña chóng
Bµi to¸n 2.5.4.1. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm A(2; - 5; 6) vµ B(- 4; 7; 8).
> AB:=Vector([-4-2,7+5,8-6]);
:= AB















-6
12
2
> 1/2*AB;















-3
6
1
> (x-2)/(-3)=(y+5)/6,(y+5)/6=(z-6)/1;
, = − +
x
3
2
3
+
y
6
5
6
= +
y
6
5
6
− z 6
Bµi to¸n 2.5.4.2. TÝnh gãc gi÷a hai ®êng th¼ng ®êng th¼ng cã ph¬ng tr×nh
d:
x 3 y 1 z
4 5 3
− +
= =
vµ ∆:
x 7t
y 1 2t

z 9 3t
=


= −


= +

> a:=Vector([4,5,3]);b:=Vector([7,-2,3]);
:= a














4
5
3
:= b















7
-2
3
> with(LinearAlgebra):VectorAngle(a,b);








arccos
27 2 62
620
17
Giỏo viờn : Phan Cụng Tr - Trng THPT Thanh Bỡnh 2

> evalf(%);
1.064508267
> evalf(%*180/Pi);
60.99183095
> (%-60)*60;
59.509857
> (%-59)*60;
30.591420
Vậy góc giữa hai đờng thẳng này là 60
0
5931.
2.5.5. Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau khi biết phơng trình của chúng
Bài toán 2.5.5.1. Tính gần đúng khoảng cách giữa hai đờng thẳng
= +


= +


=

x 3 4t
: y 2 3t
z 5t
và
=


= +



= +

x 1 2t
d : y 2 7t
z 1 t.
> a:=Vector([4,3,5]);b:=Vector([-2,7,1]);c:=Vector([1-3,2+2,-1-
0]);
:= a














4
3
5
:= b















-2
7
1
:= c














-2

4
-1
> with(LinearAlgebra):m:=CrossProduct(a,b);
:= m














-32
-14
34
> k:=abs(c.m/sqrt(m.m));
:= k
13 66
198
> evalf(%);
0.5333964610
2.5.6. Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng và mặt phẳng khi biết phơng trình của chúng
18
Giỏo viờn : Phan Cụng Tr - Trng THPT Thanh Bỡnh 2

Bài toán 2.5.6.1. Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng
x 1 y 2 z 3
2 3 4
+
= =

và mặt
phẳng 5x - 6y + 7z - 9 = 0.
> solve({(x-1)/2=(y+2)/3,(y+2)/3=(z-3)/(-4),5*x-6*y+7*z-9});
{ }, , = x
47
18
= y
5
12
= z
-2
9
2.5.7. Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng và mặt cầu khi biết phơng trình của chúng
Bài toán 2.5.7.1. Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng
x 3 y 4 z 1
2 1 1

= =

và mặt
cầu x
2
+ y
2

+ z
2
- 26 = 0.
> solve({x^2+y^2+z^2-26,(x-3)/2=y-4,y-4=1-z});
,{ }, ,
=
z 4
=
y 1
=
x -3 { }, ,
=
z 1
=
x 3
=
y 4
Bài toán 2.5.7.2. Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng
x 1 y 2 z 3
2 3 4
+
= =

và mặt
cầu x
2
+ y
2
+ z
2

+ 5x - 16y + 72z - 19 = 0.
> solve({x^2+y^2+z^2+5*x-16*y+72*z-19,(x-1)/2=(y+2)/3,(y+2)/3=(z-
3)/(-4)});
= z + 6 ( )RootOf , + 29 _Z
2
258 _Z 193 = label _L7 5,{
= x 3 ( )RootOf , + 29 _Z
2
258 _Z 193 = label _L7 ,
= y
9
2
( )RootOf , + 29 _Z
2
258 _Z 193 = label _L7
7
2
}
> evalf(%);
{ }, , = z 0.053193912 = x 2.473403044 = y 0.210104566
> solve(29*t^2-258*t+193,{t});
,{ } = t +
129
29
2 2761
29
{ } = t
129
29
2 2761

29
> t1:=129/29+2/29*2761^(1/2);t2:=129/29-
2/29*2761^(1/2);x1:=3*t1;y1:=-6*t1+5;z1:=9/2*t1-
7/2;x2:=3*t2;y2:=-6*t2+5;z2:=9/2*t2-7/2;

:= t1 +
129
29
2 2761
29
:= t2
129
29
2 2761
29
:= x1 +
387
29
6 2761
29
19
Giỏo viờn : Phan Cụng Tr - Trng THPT Thanh Bỡnh 2
:= y1
629
29
12 2761
29
:= z1 +
479
29

9 2761
29
:= x2
387
29
6 2761
29
:= y2 +
629
29
12 2761
29
:= z2
479
29
9 2761
29
2.5.8. Viết phơng trình mặt cầu đi qua bốn điểm khi biết toạ độ của chúng
Bài toán 2.5.8.1. Viết phơng trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(2; 1; - 3), B(3; 5; 6),
C(5; - 4; - 7), D(9; 0; 1).
> f:=(x,y,z)->x^2+y^2+z^2+a*x+b*y+c*z+d;
:= f ( ), ,x y z + + + + + + x
2
y
2
z
2
a x b y c z d
> solve({f(2,1,-3),f(3,5,6),f(5,-4,-7),f(9,0,1)});
{ }, , , = b

577
13
= c
-355
13
= a
159
13
= d
-2142
13
> x^2+y^2+z^2+159/13*x+577/13*y-355/13*z-2142/13=0;
= + + + + x
2
y
2
z
2
159
13
x
577
13
y
355
13
z
2142
13
0

2.5.9. Tính một số yếu tố của tam giác khi biết toạ độ các đỉnh của nó
Bài toán 2.5.9.1. Cho tam giác có các đỉnh A(1; - 3; 2), B(5; 6; 0), C(- 4; - 7; 5).
a) Tính độ dài các cạnh của tam giác.
b) Tính các góc của tam giác.
c) Tính diện tích của tam giác.
> a:=sqrt((5+4)^2+(6+7)^2+(0-5)^2);b:=sqrt((1+4)^2+(-3+7)^2+(2-
5)^2);c:=sqrt((1-5)^2+(-3-6)^2+(2-0)^2);A:=arccos((b^2+c^2-
a^2)/2/b/c);B:=arccos((c^2+a^2-b^2)/2/c/a);C:=arccos((a^2+b^2-
c^2)/2/a/b);p:=(a+b+c)/2;S:=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c));
:= a 5 11
:= b 5 2
:= c 101
:= A








arccos
31 2 101
505
20
Giỏo viờn : Phan Cụng Tr - Trng THPT Thanh Bỡnh 2
:= B









arccos
163 101 11
5555
:= C








arccos
56 11 2
275
:= p + +
5 11
2
5 2
2
101
2
S









+ +
5 11
2
5 2
2
101
2








+ +
5 11
2
5 2
2
101
2









+
5 11
2
5 2
2
101
2




:=








+
5 11
2
5 2

2
101
2




( )/1 2
> expand(%);
603 2
2

2.5.10. Tính một số yếu tố của hình tứ diện khi biết toạ độ các đỉnh của nó
Bài toán 2.5.10.1. Cho hình tứ diện có các đỉnh A(1; - 2; 3), B(- 2; 4; - 5), C(3; -
4; 7), D(5; 9; - 2).
a) Tính tích vô hớng của hai vectơ
AB
uuur
và
AC
uuur
.
b) Tìm tích vectơ của hai vectơ
AB
uuur
và
AC
uuur
.
c) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

d) Tính diện tích tam giác BCD.
e) Tính đờng cao hạ từ A của hình tứ diện ABCD.
> AB:=Vector([-2-1,4+2,-5-3]);
:= AB














-3
6
-8
> AC:=Vector([3-1,-4+2,7-3]);
:= AC















2
-2
4
> AB.AC;
-50
> with(LinearAlgebra):a:=CrossProduct(AB,AC);
21
Giáo viên : Phan Công Trứ - Trường THPT Thanh Bình 2
:= a















8
-4
-6
> AD:=Vector([5-1,9+2,-2-3]);
:= AD














4
11
-5
> V:=1/6*abs(AD.a);
:= V 3
> BC:=Vector([3+2,-4-4,7+5]);
:= BC















5
-8
12
> BD:=Vector([5+2,9-4,-2+5]);
:= BD














7

5
3
> S:=1/2*sqrt((BC.BC)*(BD.BD)-(BC.BD)^2);
:= S
3 2042
2
> h:=3*V/S;
:= h
3 2042
1021
HÕt
22