Sở Giáo dục và đào tạo tỉnh Bắc Ninh
Trờng THPT Lý thờng kiệt
Sáng kiến kinh nghiệm môn toán THPT
đề tài : Giải một số bài toán hình chóp tam giác và
hình chóp tứ giác bằng phơng pháp toạ độ
Giáo viên: Đặng Thị Thuỷ
1
A.phần mở đầu
I) Lý do chọn đề tài
Môn hình học không gian là môn học khó đối với nhiều học sinh nói chung và đối với
học sinh trờng THPT Lý Thờng Kiệt nói riêng .Qua qua trình dạy học tôi thấy nhiều
học sinh không có hứng thú học môn học này
Bên cạnh đó học hình học giải tích các em hứng thú học hơn và có hiệu quả hơn. Xét
thấy rằng có những bài toán HHKG sử dụng phơng pháp toạ độ hoáđể giải thì đơn
giản hơn và học sinh hiểu bài và làm bài tốt hơn
Xut phỏt t thc t trờn trong quỏ trỡnh ging dy phn kin thc ny tụi ó
nghiờn cu tỡm cỏch giỳp cỏc em hc sinh nm vng kin thc ng thi to s hỳng
thỳ say mờ tỡm tũi trong hc tp. Trong khuôn khổ cho phép tôi lựa chọn một số bài
toán về hình chóp tam giác và hình chóp tứ giác giải đợc bằng phơng pháp toạ độ.
II) phạm vi của đề tài
Một số bài toán hình chóp tam giác và hình chóp tứ giác
iii) Đối t ợng
Học sinh đã học xong chơng trình lớp 12
Dùng ôn thi TN,ĐH,CĐ và THCN
IV) Mục đích
Nhằm giúp học sinh có hứng thú hơn với môn học và giải đợc nhiều bài toán HHKG
hơn
Rèn cho học sinh kỹ năng chuyển một bài toán từ hình học không gian sang bài toán
hình học giải tích
Giúp học sinh nắm chắc các bớc chuyển đổi :

- Chọn hệ toạ độ phù hợp đối với từng loại bài
- Tính toạ độ các điểm có liên quan theo hệ toạ độ vừa chọn
- Thể hiện giả thiết của bài toán theo cách thức của Hình học giải tích
- Giải quyết kết luận của bài toán theo cách thức của Hình học giải tích
Cần lu ý rằng có rất nhiều bài toán HHKG gặp khó khăn khi chuyển sang HHGT.Ph-
ơng pháp toạ độ hoá bài toán HHKG khá hữu hiệu trong việc giải toán HHKG tuy vậy
không nên tuyệt đối hoá nó
V) phơng pháp nghiên cứu
- Su tm nghiờn cu cỏc ti liu liờn quan n ti.
- Kho sỏt tỡnh hỡnh hc tp ca hc sinh.

B.nội dung
i) hình chóp tam giác
I.1 Ph ơng pháp chọn hệ trục
2
1) §èi víi tø diÖn ABCD cã
AB,AC,AD ®«i mét vuéng gãc ta chän
hÖ trôc nh sau:
OzDOyCOxBOA
∈∈∈≡
;;;
2)§èi víi h×nh chãp SABC cã ®¸y lµ
tam gi¸c vuèng t¹i B , SA vuéng gãc
víi ®¸y
Ta chän hÖ trôc Oxyz nh sau:

OzASOyCOxAOB //;;;
∈∈≡
3)§èi víi h×nh chãp SABC ®Òu .Ta chän
hÖ trôc Oxyz nh sau:

O lµ träng t©m tam gi¸c ABC ;
BCOyOzSOxA //;;
∈∈
D
A
B
C
x
y
z
z
x
y
B
S
A
C
O
x
y
A
B C
S
Z
3
4) Đối với hình chóp SABC có đáy là
tam giác đều .Ta chọn hệ trục Oxyz
nh sau:
Oz S Oy; CO;


A
; tia Ox tạo
với tia AB góc 30
0
I.2 Một số bài tập áp dụng
Bài 1. Cho tứ diện ABCD có AD
)(ABC

,AC=AD=4;AB=3;BC=5.Tính khoảng cách từ
A đến (BCD)
H ớng dẫn giải
Vì
ABC

vuông tại A ,AD
)(ABC

nên chọn hệ trục Oxyz nh sau:

OzDOyCOxBOA

;;;
Khi đó A(0;0;0) ; B(3;0;0) ; C(0;4;0) ; D(0;0;4)
Phơng trình mặt phẳng (BCD) là :
0123341
443
=++=++
zyx
zyx
Vậy khoảng cách từ A đến (BCD) là d( A,(BCD)) =

34
12
Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,đòng cao AD và
AB=2;AC =4. SA vuông góc với đáy,SA=6. Gọi E,F lần lợt là trung điểm của SB,SC và
H là hình của A trên EF
30
0
S
B
C
x
y
A
z
D
A
y
z
B
C
4
1)C/m H là trung điểm SD
1) Tính cosin cua góc giữa ( ABC) và ( A CE)
2) Tính thể tích hình chóp ABCFE

H ớng dẫn giải
Chọn hệ trục nh hình vẽ:
OzDOyCOxBOA

;;;

Khi đó A( 0;0;0) ; B(2;0;0) ; C(0;4;0) ; S(0;0;6) ; E( 1;0;3) ; F(0;2;3)
1) Ta có
)0;4;2(
=
BC
;
)0;2;1(EF
=
Phơng trình đờng thẳng BC là x=2-2t ; y=4t ; z=0
Vì
BCD

nên D( 2-2t;4t;0)

5
1
t016t2t)--2(2BCAD
==+
Vậy D(
)0;
5
4
;
5
8
Phơng trình đờng thẳng EF là x = 1-t ; y= 2t ; z= 3
Vì
FE

H

nên H( 1-t; 2t;3)
)3;
5
2
;
5
4
(
5
1
t04tt)--1(1EF HHA
==+
Dễ thấy H là trung điểm của SD
2) Mặt phẳng ( ABC) có vectơ pháp tuyến là
)1;0;0(
=
k
Mặt phẳng ( ACE) có vectơ pháp tuyến là
[ ]
)4;0;12(AE ;AC
==
n
Gọi

là góc giữa ( ABC) và ( ACE) .Ta có
10
1
104
4
cos

==

3) Ta có
8
SABC
=
V
;
[ ]
2AS .AF ,AE
6
1
EFSA
==
V
Vậy
6
FESA SABC ABCFE
==
VVV

Bài 4 : Cho hình chóp O.ABC có OA=a,OB=b,OC=2 vuông góc với nhau từng đôi một.
S
A
B
D
x
y
z
C

E
F
H
5
Gọi M,N,P lần lợt là trung điểm của BC,CA,AB
1)Tính góc giữa ( OMN) và ( OAB)
2)Tìm điều kiện của a,b,c để hình chiếu của O trên ( ABC) là trọng tâm tam giác
ANP
3) C/m Góc phẳng nhị diện [N,OM,P] vuông khi và chỉ khi
222
111
cba
+=
H ớng dẫn giả i:
Chọn hệ trục Oxyz nh hình vẽ
Khi đó :A( a;0;0) ; B ( 0;b;0) ; C ( 0;0;c) M(0;
)
2
;
2
cb
; N(
)
2
;0;
2
ca
; P(
)0;
2

;
2
ba
1) Mặt phẳng ( OAB) có pháp vectơ là
)1;0;0(
=
k
Mặt phẳng ( OMN) có pháp vectơ là
);;( abacbcn
=
Gọi

là góc giữa ( OAB) và (OMN). Ta có
222222
22
cos
accbba
ba
++
=

2) Gọi H( x;y;z) là hình chiếu của O lên ( ABC)
Khi đó
00ABOH.
==
azbx
(1)

00AC.OH
==

azyc
(2)

[ ]
00AHAC,AB.
=++=
abcbczabyacx
(3)
Từ (1);(2);(3) ta đợc
222222
22
222222
22
222222
22
;;
cacbba
cab
z
cacbba
cba
y
accbba
bca
x
++
=
++
=
++

=
Trọng tâm
ANP

có toạ độ (
)
3
2
;
6
;
6
acb
C
O
x
y
z
A
B
M
N
P
6
Để H là trọng tâm tam giác ANP thì






=
=










=
++
=
++
=
++
2
3
2
6
6
222222
22
222222
22
222222
22
b

a
cb
a
accbba
cab
c
accbba
cba
b
accbba
bca
Mặt phẳng ( OMN) có pháp vectơ là
);;(
1
bcabacn
=
Mặt phẳng ( OMP) có pháp vectơ là
);;(
2
bcabacn
=

222
222222
21
111
0.
acb
cbbacann
=+=+=

( đpcm)
Bài 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A và đờng thẳng d vuông góc với ( ABC) tại A.các
điểm M,N thay đổi trên d sao cho (
)() NBCMBC

a) C/m AM.AN không đổi
b) Xác định vị trí của M,N để tứ diện MNBC có thể tích nhỏ nhất
H ớng dẫn giải:
Chọn hệ trục Oxyz nh hình vẽ . đặt AB = b; AC = c ; AM=m ( b,c không đổi)
Khi đó A(0;0;0) ; B(b;0;0) ; C( 0;c;0) ; M( 0;0;m) . Giả sử N(0;0;n)
Ta có mặt phẳng (MBC) có pháp vectơ là
)
1
;
1
;
1
(
mcb
=

Mặt phẳng (NBC) có pháp vectơ là
)
1
;
1
;
1
(
ncb

=

d
N

A
C
y
x
B
M
z
7
Vậy
22
22
0.)()(
cb
cb
mnNBCMBC
+

==

Mặt khác m>0 nên n< 0. Vậy M,N nằm về hai phía của A
a) Ta có AM.AN =
22
22
.
cb

cb
nm
+
=
không đổi
b) Ta có
[ ]
)0;;0(,);;0;();;0;();0;;( bmbnBNBMnbBNmbBMcbBC
====
Vậy
22
22
.
3
1
).(2.
6
1
)(
6
1
cb
cb
nmbcmnbcV
MNBC
+
==
Dờu = xảy ra khi và chỉ khi m = -n =
22
cb

bc
+
Vậy V
MNBC
nhỏ nhất khi M,N nằm về hai phía của A và AM =AN=
BC
AB.AC
Bài 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với
đáy; <ACB=60
0
, BC=a, SA=
3a
. Gọi M là trung điểm cạnh SB. C/m
)()( SBCSAB


và tính thể tích khối tứ diện MABC
H ớng dẫn giải
Chọn hệ trục Oxyz nh hình vẽ
Khi đó B(0;0;0) ; A ( a
)0;0;3
; C( 0;a;0) ; S( a
)3;0;3 a
; M(
)
2
3
;0;
2
3 aa

Mặt phẳng ( SAB) có pháp vectơ là
)0;1;0(
=
j
Mặt phẳng ( SBC) có pháp vectơ là
)1;0;1(
=
n
Nhận thấy
0.
=
nj
vậy ( SAB)
)(SBC

V
MABC
=
[ ]
4
.,
6
1
3
a
BMBCBA
=
(đvtt)
Bài 7 : Cho tứ diện ABCD có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a, SA vuông
góc với đáy, SA = a

a) C/m
)()( SBCSAB

b) Gọi I là trung điểm của đoạn AC . Tinh khoảng cách từ I đến (SBC)

H ớng dẫn giải:
z
x
y
B
S
A
C
M
8
Chọn hệ trục Oxyz nh hình vẽ
Khi đó B(0;0;0) ; A(
);0;2();0;2;0();0;0;2 aaSaCa
;
I(
)0;
2
2
;
2
2 aa
a) Mặt phẳng ( SAB) có pháp vectơ là
)0;1;0(
=
j

Mặt phẳng ( SBC) có pháp vectơ là
)2;0;1(
=
n
Ta thấy
0.
=
nj
Vậy
)()( SBCSAB

b) Phơng trình mặt phẳng ( SBC) : - x+
2
z = 0
khoảng cách từ I đến ( SBC) là
d (I,( SBC)) =
32
2a
Bài 8: Cho tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = SA =6. Cạnh
SA vuông góc với đáy, AH vuông góc với SB tại H,AK vuông góc với SC tại K
1)C/m HK vuông góc với SC
2)Gọi I là giao điểm của HK và BC.C/m B là trung điểm của CI
3)Tính sin của góc giữa SB và ( AHK)

H ớng dẫn giải :
Chọn hệ trục Oxyz nh hình vẽ
Khi đó B( 0;0;0) ; A ( 6;0;0) C(0;6;0) S( 6;0;6)
)6;6;6();6;0;6(
==
CSBS

z
x
y
B
S
A
C
S

B

A
C
x
y
z
H
K
I
9
Phơng trình đờng thẳng BS : x = t; y= 0; z = t
Vì H thuộc BS nên H( t;0;t)
306);;0;6(
==+=
tttBSAHttAH
. Vậy H(3;0;3)
Phơng trình đờng thẳng SC ; x= t; y=6-t; z= t
Vì K thuộc SC nên K( t; 6-t;t)

4066);;6;6(

==++=
ttttSCAKtttAK
. Vậy K( 4;2;4)
1) Ta có
)1;2;1(
=
HK

Nhân thấy
0.
=
CSHK
Vậy
CSHK

2) Phơng trình đờng thẳng HK: x= 3+t;y=2t ; z= 3+t
Phơng trình đờng thẳng BC : x =0 ; y= t; z=0
I là giao điểm của HK và BC nên toạ độ I thoả mãn



=
=




=
=+
6'

3
'2
03
t
t
tt
t
Vậy I( 0;-6;0)
Dễ thấy B là trung điểm của CI
3) Mặt phẳng ( AHK) có pháp vectơ là
[ ]
)6;6;6(,
==
AKAHn
Gọi

là góc giữa SB và ( AHK) .Khi đó
6
2
636
72
sin
==

Bài 9: cho tứ diện SABC có SA vuông góc với đáy,đáy là tam giác vuông tại C;
SA= 4;AC=3; BC=1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua
M. tính cosin của góc phẳng nhị diện [H,SB,C]

H ớng dẫn giải:
10