Vũ văn Tuyền NT-NĐ
Các tính chất tiếp tuyến của hàm phân thức
Mở đầu
Trong quá trình dạy học lớp 12 tôi thấy tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một trong những vấn đề quan trọng học
sinh chỉ vận dụng quen với các bài tập viết phơng trình tiếp tuyến tại một điểm, tiếp tuyến đi qua một điểm, hoặc
tiếp tuyến biết hệ số góc. Nhng nếu cho các bài tập khác có liên quan đến tiếp tuyến thì học sinh tổ ra lúng túng.
Vì vậy trong bài viết này tôi có su tập đa ra một số tính chất của tiếp tuyến chỉ riêng đối với hàm số hữu tỉ dạng:

dcx
bax
y
+
+
=
(c
0
,ad-bc
0
)
edx
cbxax
y
+
++
=
2
(ad
0
)
Tính chất 1:(Cho các hàm số )
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C), và đờng thẳng y=kx+b (

).
Đờng thẳng (

) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi hệ phơng trình sau có nghiệm :



=
+=
)('
)(
xfk
bkxxf
Các dạng toán áp dụng:
1/ Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua một điểm.
HD: Ta lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm đó và áp dụng tính chất 1.
2/Tìm điểm kẻ đợc k tiếp tuyến tới đồ thị hàm số :
HD : +/Tìm điểm M thỏa mãn tính chất K .
+/ Lập phơng trình đờng thẳng (

)đi qua M
+/ Tìm điều kiện để (

) tiếp xúc với đồ thị hàm số (hệ có nghiệm)
+ Số tiếp tuyến phụ thuộc vào số nghiệm của phơng trình từ hệ phơng trình thoả mãn tính chất K.

xác
định đợc yêu cầu bài toán.
Ví dụ

1.Cho hàm số
2
2

+
=
x
x
y
. Viết phơng trình tiếp tuyến tuyến của đồ thị đi qua điểm M(-6;5)
HD :
Phơng trình đờng thẳng đi qua M(-6;5) có hệ số góc k : y=k(x+6)+5 (

)
Đờng thẳng (

) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ phơng trình sau có nghiệm :








=
++=

+
2

)2(
4
5)6(
2
4
1
x
k
xk
x
giải hệ ta đợc k=-1, k=-1/4 nên ta có 2 tiếp tuyến kẻ từ M là : y=-x-1 và
2
7
4
1
+= xy
2/ Cho hàm số
1
12
2
+
++
=
x
xx
y
. Tìm những điểm trên Oy sao cho từ đó có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến với đồ thị hà
số và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
HD :
Gọi M

Oy

M(0,b)
Đờng thẳng d đi qua M có hệ số góc k : y=kx+b
Đờng thẳng d tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm








+
=
+=
+
+
2
)1(
2
2
1
2
12
x
k
bkx
x
x















+
=
+
=
+
(**)
4
3
2
(*)
4
3
1
1
2
kb

k
kb
x
Để qua M có tiếp tuyến thì : 3+b-k

0
3+ bk
Phơng trình (*)biến đổi về dạng :
f(k)=
076)1(2
22
=++ bbkbk
(1)
1
Vũ văn Tuyền NT-NĐ
Tù M có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới đồ thị hàm số khi phơng trình (1) có hai nghiệm phân
biệt khác b+3 thoả mãn
1
21
=k.k



+
=+

0)3(
176
2
bf

bb
Giải ra ta đợc
)153;0(
1
M
và
)153;0(
2
+M
Tính chất 2:
Tiếp tuyến tại M của hàm y=f(x) có đồ thị (C) (hàm phân thức) luôn cắt hai đờng tiệm cận tại A,B thoả mãn :
a/ M là trung điểm của AB
b/ Diện tích
IAB
không phụ thuộc vào M ( I là giao điểm của hai tiệm cận)
H ớng dẫn giải

h
M B

A

O I x
x
0

Chú ý : Đối với hàm
dcx
bax
y

+
+
=
thì
IAB

vuông và
IB.IAS
IAB
=

Ví dụ3 : Cho hàm số
)(
1
22
2
C
x
xx
y
+
++
=
Gọi I là tâm đối xứng của đồ thị (C) và M là một điểm trên (C). Tiếp tuyến của đồ thị tại M cắt tiệm cận đớng và
tiệm cận xiên tại A và B.
a/ CMR : M là trung điểm của AB.
b/ Tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vào vị trí của M
Giải : Hàm số y=x+1 +
1
1

+x
(C)
y=1-
2
1
1
)x( +
=
2
2
)1(
2
+
+
x
xx

TCĐ : x=-1 (vì
)lim
-1x
=

y
,
TCX : y=x+1 (
0)1(l im
x
=

xy

I(-1;0)
Giả sử M(x
0
,y
0
)
)C(
.PT tiếp tuyến tại M của (C) là: y= y(x
0
).(x- x
0
)+ y
0
(d)

1
22
)(
)1(
2
0
0
2
0
0
2
0
0
2
0

+
++
+
+
+
=
x
xx
xx
x
xx
y
(d)
Tọa độ giao điểm A của d và TCĐ là nghiệm của hệ :
2
*Tìm các tiệm cận, giao điểm I của 2 tiệm cận , đạo
hàm y.
*Giả sử M(x
0
,y
0
)
)C(
.PT tiếp tuyến tại M của (C)
là: y- y
0
= y(x
0
).(x- x
0

) (d)
*Tìm d
1
tc
=A?
d
2
tc
=B?
Kiểm tra
*x
Mxx
MBA
=+ 2
là trung điểm của AB
* S
AIBIBIAhIA
IAB
cos
2
1
.
2
1
==

=
constyy.xx
IAIB
=

2
1
Vũ văn Tuyền NT-NĐ
)
1
2
;1(
1
2
1
1
22
)(
)1(
2
1
0
0
0
0
2
0
0
2
0
0
2
0
+







+
=
=






+
++
+
+
+
=
=
x
A
x
y
x
x
xx
xx
x

xx
y
x

Tọa độ giao điểm B của d và TCX là nghiệm của hệ :
)22;12(
22
12
1
22
)(
)1(
2
1
00
0
0
0
0
2
0
0
2
0
0
2
0
++




+=
+=






+
++
+
+
+
=
+=
xxB
xy
xx
x
xx
xx
x
xx
y
xy
a/ Ta thấy
00
2121 xxxx
BA

=++=+

M
là trung điểm của AB
b/ S
=
IAB
20
1
2
)1(12
2
1
.
2
1
0
0
=
+
+=
x
xyyxx
IAIB
đpcm
Ví dụ 4 : Cho hàm số
1
1

+

=
x
x
y
(y=1+
1
2
x
)
a/ CMR : Mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số đều lập với hai đờng tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi.
b/ Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại đó lập với hai đờng tiệm cận một tam giác có chu vi bé
nhất.
Giải :
y=
2
1
2
)x(

TCĐ : x=1
TCN: y=1
I(1;1)
M tuỳ ý thuộc đồ thị , giả sử M(a;y(a)). PT tiếp tuyến tại M là :
y=
1
1
)(
)1(
2
2


+
+


a
a
ax
a
(d)
Toạ độ gđ A của tiếp tuyến tại M với TCĐ là nghiệm của hệ :
)
1
3
;1(
1
3
1
1
1
)(
)1(
2
1
2

+








+
=
=







+
+

=
=
a
a
A
a
a
y
x
a
a
ax
a

y
x
Toạ độ gđ B của tiếp tuyến tại M với TCN là nghiệm của hệ :
)1;12(
1
12
1
1
)(
)1(
2
1
2




=
=







+
+

=

=
aB
y
ax
a
a
ax
a
y
y
a/
4112.1
1
3
2
1
.
2
1
=

+
== a
a
a
IBIAS
IAB
b/Ta có P
IAB
=IA+IB+AB

Vì AB
2
=IA
2
+IB
2


2IA.IB=16
4 AB
Mà IA+IA
242 = IB.IA
Vậy P
min
=4+4
2
khi IA=IB
12
1
4
=

a
a
3
Vũ văn Tuyền NT-NĐ
Tính chất3 : Cho hàm số y=
)(
)(
xv

xu
(C)
Nếu (C) cắt trục hoành tại x=x
0
thì hệ số góc của tiếp tuyến tại x=x
0
là :
k =
)x(v
)x('u
Chứng minh:
Vì Đồ thị cắt Ox tại x=x
0
nên

0
)(
)(
0
0
=
xv
xu




=

0)(

0)(
0
0
xv
xu
Tacó y=
)(
)(').()().('
2
xv
xvxuxvxu
*Hệ số góc của tiếp tuyến tại x
0
là :
k =
)(
)('
)(
)(').()().('
0
0
0
2
0000
xv
xu
xv
xvxuxvxu
=


Ví dụ5: Cho hàm số
mx
mmxx
y
+
+
=
2
2
(C
m
)
Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt Ox tại hai điểm và hai tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc
với nhau.
Giải:
PT hoành độ giao điểm của (C
m
) với Ox là :
mx
mmxx
+
+ 2
2
=0
Để (C
m
) với Ox tại hai điểm thì g(x)=
mmxx + 2
2
=0 (1) có hai nghiệm phân biệt khác - m





<
>






++
>





>

0
3
1
1
02
0
0)(
0'
22

2
m
m
mmm
mm
mg
g
Khi đó (1) có 2 nghiệm phân biệt x
21
x,
thoả mãn



=
=+
mxx
mxx
21
21
2
Hệ số góc tơng ứng với x
1
,x
2
là:
k
mx
mx
+


=
1
1
1
22
k
mx
mx
+

=
2
2
2
22
Hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

k
1
21
=k


mx
mx
+

1
1

22
.
mx
mx
+

2
2
22
=-1
15)(35
2121
2
=++ xxxxmm

5= m
(t/m). KL .
Tính chất 4:
Bài toán
Cho hàm số
edx
cbxax
y
+
++
=
2
(C) . Tìm k sao cho tồn tại hai tiếp tuyến của đồ thị có cùng hệ số góc k . Gọi các tiếp
điểm là A,B
a/ Tìm k sao cho tồn tại hai tiếp tuyến của đồ thị có cùng hệ số góc k .

b/ Viết phơng trình đờng thẳng AB.
c/ CMR khi đó đờng thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.Điểm cố định đó có tích chất gì ?.
4
Vũ văn Tuyền NT-NĐ
H ớng dẫn giải(tổng quát)
a.Viết lại hàm số
edx
p
nmxy
+
++=
(C)
*TXĐ :R\







d
e
*
2
)(
'
edx
pd
my
+

=
Để (C) có hai tiếp tuyến có cùng hệ số góc k thì phơng trình
2
)( edx
pd
m
+

=k
km
pd
edx

=+
2
)(
có hai nghiệm phân biệt

0>


km
pd

điều kiện của k
k
D
.
b. Tọa độ của A,B là nghiệm của hệ phơng trình :









=
+

+
++=
k
edx
pd
m
edx
p
nmxy
2
)(







=
+

+
+
++=
km
edx
pd
d
edx
edx
pd
nmxy
2
2
)(
.
)(
))((
d
e
xkmnmxy +++=
d
e
kmnxkmy )()2( ++=

Vậy phơng trình của AB là :
d
e
kmnxkmy )()2( ++=
c. Ta sẽ tìm điểm cố định của (AB)
Giả sử M

0
(
)y,x
00
là điểm cố định của (AB)
Ta có
k
Dk
d
me
nmxyk
d
e
x
d
e
kmnxkmy =++++= ,02)()()2(
00000







+=+++=++=
=

nmxn
d

me
d
e
mmx
d
me
nmxy
d
e
x
0000
0
)(2
(vì
d
e
x =
0
)
Ta thấy M
0
(
)).(; n
d
e
m
d
e
+
là toạ độ của tâm đối xứng của Đồ thị (C)

Vậy (AB) luôn đi qua I tâm đối xứng của (C).
Ví dụ 6:
Cho hà số
1
1
2
+
++
=
x
xx
y
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b/ Tìm k sao cho tồn tại hai tiếp tuyến của đồ thị có cùng hệ số góc k. Gọi các tiếp điểm là A,B . Viết phơng trình
đờng thẳng chứ A,B theo k.
c/ CMR : (A,B) luôn đi qua một điểm cố định.
Giải :
b/ Sau khi khảo sát

có:
TXĐ : R\
{ }
1
; Tâm đối xứng : I(-1;-1)
y=
1
1
+
+
x

x
2
1
1
1
)x(
'y
+
=
Để (C) có hai tiếp tuyến có cùng hệ số góc k thì phơng trình
5
Vũ văn Tuyền NT-NĐ
k
x
=
+

2
)1(
1
1
k
x
=
+
1
)1(
1
2
có hai nghiệm phân biệt.

> 01 k
k<1

*Gọi các tiếp điểm là A,B

Tọa độ của A,B là nghiệm của hệ phơng trình :







=
+
+
+=
k
x
x
xy
1
)1(
1
1
1
2









=
+
+
+
+=
k
x
x
x
xy
1
)1(
1
)1.(
)1(
1
2
2
)1)(1( ++= xkxy
kxky += 1)2(

Vậy (AB) có phơng trình là :
kxky += 1)2(
c. Giả sử
)y;x(M

000
là điểm cố định của(AB)
ta có
11)2(
00
<+= kkxky


112)1(
000
<+=+ kyxxk




=+=
=

112
1
00
0
xy
x

)1;1( M
Vậy điểm cố định của (AB) là I tâm đối xứng của đồ thị .
Bài tập:
1.Cho hàm số :
1

2
2
+
+
=
x
xx
y

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b/ Tìm những điểm trên đờng thẳng y=1 mà từ mỗi điểm ấy kẻ đợc đúng một tiếp tuyến tới đồ thị hàm số
2/ Cho hàm số
1
33
2

+
=
x
xx
y
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b/ Gọi I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. Tiếp tuyến tại một điểm M trên đồ thị cắt tiệm cận đứng và tiệm
cận xiên tại A,B
CMR : * M là trung điểm của AB
*Tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vào vị trí M
c/ Tìm hai điểm M và N thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại M và N song song với nhau và
độ dài đoạn MN ngắn nhất.

6