Trịnh Văn Hiệp – K10ĐHSPLý-Hoá
VẬT LÝ THỐNG KÊ
NỘI DUNG:
I. LÝ THUYẾT: Những luận đề cơ bản của VLTK
1. Trạng thái vi mô, trạng thái vĩ mô:
a. Trạng thái vi mô:
Đối với vật lí thống kê trạng thái vi mô của hệ chính là trạng thái riêng lẻ cấu thành
hệ và trạng thái của hệ xem như đã biết nếu như ta biết vị rí và chuyển động của tất
cả các hạt trng hệ.
b. Trạng thái vĩ mô của hệ:
Là những thông số đươckj đo bằng thực nghiệm thực nghiệm thông thường và nó là
một thông số hữu hạn đặc trưng cho cacs trạng thái vi mô trong hệ.
Ví dụ: T, p, V, của khối khí là những thông số vĩ mô
c. Quan hệ giữa trạng thái vi mô và trạng thái vĩ mô:
Mỗi trạng thái vĩ mô của hệ đều tương ướng với một số rất lớn các trạng thái vi mô.
Các trạng thái vi mô này biến đổi liên tục theo thời gian.
Ví dụ : Bất kì một trạng thái vĩ mô nào của một khối khí ở nhiệt độ và áp suất không
đổi đều tương ứng với một tập hợp các vị trí của phân tử. Nên theo thời gian trạng
thái vi mô và vĩ mô coa quan hệ với nhau.
d. Xác suất nhiệt động W
T
:
Các trạng thái vĩ mô khác nhau tương ứng với các trạng thái vi mô, một trạng thái vĩ
mô càng bền nếu như số trạng thái vi mô tương ứng với nó thực hiện được càng lớn.
Xác suất nhiệt động của một trạng thái vĩ mô, của một trạng thái nhất định của hệ là
trạng thái vi mô tương ứng với số trạng thái vĩ mô đó.
2. Phương pháp cơ bản của vật lí thống kê:
1
Trịnh Văn Hiệp – K10ĐHSPLý-Hoá
- Trạng thái vi mô của hệ: Tập hợp các xung lượng, toạ độ suy rộng (q
1

…q
fN
, p
1
…p
fN
)
với f là bậc tự do của hệ, N là số hạt.
- Thông số vĩ mô F là tập hợp các trạng thái vĩ mô theo thời gian các trạng thái vi mô
biến đổi.
- Mặt khác trạng thái vĩ mô phải đo bằng thực nghiệm → trung bình theo thời gian
nhiều lần theo thời gian tổng quát:
( )
1 1
1
, , .
fN fN
F q q p p t dt
t
=
∫
- Phương pháp thống kê: Nghiên cứu những tính chất đặc thù cho số đông, cho số lớn
các hạt trong hệ, các quy luật, các tính chất này mang tính chất khách quan ngẫu
nhiên → thông số vĩ mô → F
( )
1 1
1
, , .
fN fN
F q q p p t dt

t
=
∫
- Phương pháp cơ bản của vật lí thống kê: Phương pháp Gipps
T hay thế nghiên cứu một hệ nhiều hạt bằng một tập hợp nhiều hạt tương tự như đã
cho biến đổi theo thời gian. Tập hợp hệ được gọi là tập hợp thống kê. Các hệ này
tương tự nhau về loại hạt và số hạt ở các điều kiện vĩ mô giống nhau và ở các trạng
thái vi mô khác nhau, đồng thời phải đảm bảo mỗi một hệ trong tập hợp thống kê
sớm hay muộn cũng sẽ đi qua mọi giai đoạn biến đổi, tcs là lần lượt trong các trạng
thái vi mô dành cho mọi hệ tương tự trong tập hợp.
3. Cách mô tả thống kê hệ nhiều hạt –xác suất trạng thái
a. Cách mô tả thống hệ kê nhiều hạt:
Một điểm pha trong không gian pha sẽ được biểu diễn là một hệ trong tập hợp thống
kê. Vậy tập hợp thống kê là tập hợp các diểm biểu diễn pha của từng hệ riêng biệt
(hay còn gọi là tập hợp pha)
b. Xác suất trạng thái:
2
Trịnh Văn Hiệp – K10ĐHSPLý-Hoá
Giả sửta có n hệ trong tập hợp thống kê, các hệ này đều bình đẳng như nhau. Gọi
ρ

là mật độ phân bố các hệ:
1, 2 1 2
( , . , )q q p p t
ρ ρ
=
dX một yếu tố thể tích bao quanh một điểm pha ở thời điểm t
Trong tập hợp thống kê, tại thời điểm t cũng có một số hệ có điểm biểu pha dX. Goi
dn là số lượng các hệ trong tập hợp thống kê có điểm biểu diễn pha dX:
dn dX

ρ
=
Suy ra xác suất để hệ có điểm biểu diễn pha của mình ở trong dX là:
dn
W=
n
d dX
n
ρ
=
Đặt
( , )X t
n
ρ
ω
=
được gọi là mật độ xác suất pha
( , )
W=
X t
d dX
ω
⇒
Nghĩa là: mỗi trạng thái vi mô của hệ mà ta khảo sát được đặc trưng bằng một xác
suất. Nếu khi hệ nằm trong 1 trạng thái vĩ mô nào đó ta có thể biết được một số các
thông số vĩ mô.
Điều kiện chuẩn hoá:
( , )
( )
W 1

X t
X
d
ω
= ⇒
∫
phải thoả mãn điều kiện chuẩn hoá
 Ý nghĩa của hàm phân bố thống kê: Khi biết hàm phân bố thống kê ta có thể
tìm được trị trung bình của một đại lượng vật lí bất kì:
( , )
W . .
X t
X X
F Fd F dX
ω
= =
∫ ∫
4. Không gian pha:
a. Không gian pha:
 Khái niệm: Là không gian quy ước trong vật lí thống kê để biểu diễn sự biến
đổi của hệ nhiều hạt theo thời gian. Toạ độ của không gian pha là các toạ độ và
xung lượng suy rộng của tất các hạt cấu thành hệ.
b. Các yếu tố cơ bản của không gian pha:
3
Trịnh Văn Hiệp – K10ĐHSPLý-Hoá
 Điểm pha: Là tập hợp tất cả các trạng thái vi mô, các hạt cấu thành hệ. Vậy
điểm pha chính là các toạ độ và xung lượng suy rộng cấu thành hệ
 Quỹ đạo pha: Khi trạng thái của hệ thay đổi theo thời gian thì điểm pha cũng
dịch chuyển trong không gian pha. Đường cong biểu diễn sự dịch chuyển trong
không gian pha gọi là quỹ đạo pha.

Chú ý: Trong không gian pha các quỹ đạo pha là không cắt nhau
 Siêu diện năng lượng: Hệ cô lập, năng lượng đượcbảo toàn → hàm của
( , )
k k
q p
& &
,
( , )
onst
k k
q p
E c=
& &
. Ta có thể xem như đây là một phương trình liên hệ
tất cả các thông số vi mô trong không gian pha. Đó là một mặt gọi là siêu diện
năng lượng gồm: (2fn - 1)chiều
 Thể tích pha: Trong không gian pha ta tưởng tượng như trong không gian ba
chiều. Khi nghiên cứu sự phân bố các điểm pha của tập hợp thống kê trong
không gian pha cũng có một thể tích nào đó. Ta gọi đó là thể tích pha. Yếu tố
thể tích nguyên tố pha dX là một hkoảng đủ nhỏ của các thông số trạng thái vi
mô mà chúng ta khảo sát khi chúng ta chia nhỏ thể tích pha. Vậy dX là tập hợp
ác trạng thái vi mô của hệ:
1 1
;
fN fN
dX dq dq dp dp=
5. Định lí Liuvin:
a. Định li Liuvin: Trong không gian pha thể tích pha nguyên tố không thay đổi về độ
lớn chỉ thay đổi về hình dạng. Nghĩa là:
1 2

onstdX dX c= =
II. BÀI TẬP: Chương IV, V, VI
Chương IV:
Câu 1: Vẽ quỹ đạo pha của dao động tử điều hoà một chiều (dao động tử điều hoà là
một chất điểm có khối lượng m chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi –
kx dọc theo 1 đường thẳng).
Giải:
4
Trịnh Văn Hiệp – K10ĐHSPLý-Hoá
Chọn toạ độ suy rộng
q x≡
Xung lượng suy rộng:
p mv=
;
Động năng:
2
2
1
2 2
d
p
E mv
m
= =
; Thế năng:
2
1
2
U kq=
Hàm Hamintơn:

2
2
1
(1)
2 2
d
H
p kq
q
p p kq k
H E U kq q q
H p
m m m m
q
p m
∂

= − = −

∂
−

 
= + = + ⇒ ⇒ = = = −

 ÷
∂
 

= =


∂

&
&
&&
&
Nghiệm của (1) có dạng:
( )
0
sin
k
q q t
m
ω ϕ ω
= + =
Từ
p
q p mq
m
= ⇒ =
& &
mà
( ) ( ) ( )
0 0 0
sin . os osq q t q q c t p m q c t
ω ϕ ω ω ϕ ω ω ϕ
= + ⇒ = + ⇒ = +
&
Ta có:

( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2 2 2
2 2
0
0
2
2
2
2
2 2
2
0
0
0
2
0
sin
sin
1
os
os
q

t
q
q q t
q p
p
q
p m q c t
m q
c t
m q
ω ϕ
ω ϕ
ω ω ϕ
ω
ω ϕ
ω

= +


= +
 
⇒ ⇒ + =
 
= +



= +




2 2
2 2
0 0
1
q p
q p
⇔ + =
(2) trong đó
0 0
p m q
ω
=
(2) có dạng quỹ đạo của elip nên quỹ đạo pha của dao động tử điều hoà là một elip
p
q
Câu 2: Vẽ quỹ đạo pha đối với hạt chuyển động theo quán tính:
Giải:
- Chuyển động theo quán tính là chuyển động với vận tốc không đổi
onstv c=
- Chọn toạ độ suy rộng
q x≡
5
q
Trịnh Văn Hiệp – K10ĐHSPLý-Hoá
- Xung lượng suy rộng:
p mv=
; Động năng:
2

2
1
2 2
d
p
E mv
m
= =

- Thế năng:Chọn mốc thế năng
∞
nên
0U =

⇒
Hàm Hamintơn:
2
0
2
d
p
H E
m
= + =
0
onst
H
p
q
p c

H p
q
p m
∂

= − =

∂

⇒ =

∂

= =

∂

&
&
onstp c=
nên quỹ đạo pha là một đường thẳng vuông góc với trục p và song sonh
với trục q
p
onstp c=
q
Câu 3: Vẽ quỹ đạo pha đối với hạt tự do
Giải:
Chọn toạ độ suy rộng
q y≡
; Gốc tai O; Xung lượng suy rộng:

p mv=
;
Động năng:
2
2
1
2 2
d
p
E mv
m
= =
; Thế năng:
U mgh mgy= =
Hàm Hamintơn:
2 2
2 2
d
p p
H E U mgy mgq
m m
= + = + = +

H
p mg
q
H p
q
p m
∂


= − = −

∂

⇒

∂

= =

∂

&
&
Ta lại có:
0 0
dp
(1)
dt
t t
p dp pdt p pdt mgdt mgt= ⇒ = ⇒ = = − = −
∫ ∫
& & &
6
O
Trịnh Văn Hiệp – K10ĐHSPLý-Hoá
2
0 0 0
dq 1

(2)
dt 2
t t t
p mgt
q dq qdt q qdt dt dt gt
m m
−
= ⇒ = ⇒ = = = = −
∫ ∫ ∫
& & &
Từ (1) và (2) ta có:
2
2 2
2
2 2
1
(3)
2 2 2
g p p
q q p
mg m g m g
 
= − − = − ⇒ = −
 ÷
 
(3) có dạng 1 parabol
q
Câu 4: Hãy nghiệm lại định li Liuvin đối với chất điểm chuyển động theo quán tính
A B A’ B’
p+dp

0
p
0
D C D’ C’
q
0
q
0
+dq
0
q q+dq
Giải:
Xét ở thời điểm t
0
thể tích pha là hình chữ nhật ABCD có các toạ độ:
q
0
, q
0
+ dq
0
, p
0
, p
0
+ dp
0
. Ở thời điểm t thể tích pha là hình A’B’C’D’. Dễ chứng minh
được A’B’C’D’ là hình bình hành vì p càng lớn thì v càng lớn nên A’, B’ di chuyển
nhanh hơn D’, C’. Từ hình vẽ ta có:

- Diện tích hình chữ nhật ABCD là:
0 0
.
ABCD
S dq dp=
7
p
p
q
Trịnh Văn Hiệp – K10ĐHSPLý-Hoá
- Diện tích hình chữ nhật A’B’C’D’ là:
' ' ' ' 0 0
.
2
A B C D
dq dq
S dp dq dp
+
 
= =
 ÷
 
- Ta lại có:
' '
(1)
C D
dq q q= −

- Mà
2

' '
1
( 0)
2
C C C C C C
q q v t at a q q v t= + − = ⇒ = +
( )
0 0
' ' 0 0
(2)
C
C C C C C C
p p p
q q v t q t q t q q dq t
m m m
⇔ = + = + = + ⇒ = + +
0
' ' 0
(3)
D
D D D D D
p
p
q q v t q t q q t
m m
= + = + ⇒ = +
Từ (2) và (3)
' ' 0
(4)
C D

q q dq⇒ − =
So sánh (4) và (1) suy
0
dq dq=
Vậy diện tích
' ' ' ' 0 0 0
. ( ).
A B C D ABCD
S dq dp dq ddp S pcm= = =

Câu5: Tính thể tích pha đối với:
a. Dao động tử điều hoà
b. Hạt chuyển động tương đối tính trong thể tích V có năng lượng liên hệ với
xung lượng bằng hệ thức
2 2 2
E c p m c= +
Giải:
Quỹ đạo pha của dao động tử điều hoà có dạng elip nên thể tích pha bằng diện tích
giới hạn bởi elip
Ta có:
2
2
1
2 2
d
p
E E U kq
m
= + = +
Ta lại có:

( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
0
0
2 2 2
0
0
sin
(*)
os t+
1
sin
os
2m 2
q q t
m q c
E m q t
p m q c t
ω ϕ
ω ω ϕ
ω ω ϕ
ω ω ϕ

= +

⇒ = + +


= +


( )
2
0
0
2
2
2
m q
E
E q
m
ω
ω
= ⇒ =
. Từ (*)
0 0
2
2
2
E
p m q m mE
m
ω ω
ω
⇒ = = =
Thể tích pha

Γ
chính là diện tích hình eplip:
0 0
2
2 2
. 2
E E
q p mE
m
π
π π
ω ω
Γ = = =
8
P P+dp
q
0
q
0
+dq
0
p+dp
p+dp
Trịnh Văn Hiệp – K10ĐHSPLý-Hoá
Câu 6: Nghiệm lại định lí Liuvin đối với hạt rơi tự do
Giải
Chọn gốc toạ độ ở độ cao h, chiều dương hướng từ trên xuống
Hàm hamintơn của chất điểm có khối lượng m chuyển động trong trường trọng lực:
( )
2

d
2
t
P
H E U mg h q
m
= + = + −
. Ta có:
k
H
p mg
q
∂
= − =
∂
&
O
Ta lại có:
0
t
P
p t t
t
d
P mg d mgd P mgd mgt
d
= = ⇒ = ⇒ = =
∫
&
(1)


2
0
1
(2)
2
t
q
q t t t
t
d
p p mgt
q d d d q gtd gt
d m m m
= = ⇒ = = ⇒ = =
∫
&
q
Từ (1) và (2)
2
2
2
p
q
gm
⇒ =
(3) Quỹ đạo là một parabol
p
A B
C D A’ B’

C’ D’
q
Để nghiệm lại định lí Liuvin, ta xét thể tích chiếm bởi các điểm pha ở thời điểm
0
t
.
Đó là hình chữ nhật ABCD, được xác định bởi các toạ độ:

0 0 0 0 0 0
, , ,q q dq p p dp+ +
Ở thời điểm t thể tích pha là hình A
’
B
’
C
’
D
’
. Dễ dàng chứng minh được A
’
B
’
C
’
D
’
9
P
0
P

0
+dp
0
Trịnh Văn Hiệp – K10ĐHSPLý-Hoá
là hình bình hành. Vì xung lượng càng lớn vận tốc càng lớn nên B
’
C
’
chuyển động
nhanh hơn A
’
D
’
Ta có: Diện tích hình ABCD : AB.BC=
0 0
.dq dp
Diện tích hình A
’
B
’
C
’
D
’
A’B’.C’D’ =
.dq dp
Từ hình vẽ:
' '
D A
dq q q⇒ = −


' '
2 2 2
0
0 0 0 0 0
1 1 1
.
2 2 2
o
D D D
D D
p p
q q v t gt q dp tv gt Do p p q q dq t gt
m m
= + + = + + + = ⇒ = + + +
' ' '
2 2 2
0 0 0
1 1 1
2 2 2
o
A
A A
A D A
p
p
q q v t gt q t gt q t gt dq q q dq
m m
= + + = + + = + + ⇒ = − =
' '

B A
dp p p= −
với :
'
B
B
p p mgt= +
(vì xung lượng
2 1
K K F t− = ∆
F là trọng lực P)
'
0 0
B
p p dp mgt= + +
Tương tự:
'
0A
A
p p mgt p mgt= + = +

' '
0
B A
dp p p dp⇒ = − =
Vậy:
0
. .
o
dp dq dp dq=

thể tích pha được bảo toàn
Câu 7: Hãy tìm biểu thức của không gian pha
µ
của một phân tử khí lí tưởng phụ
thuộc vào năng lượng của phân tử
Giải:
Không gian pha
µ
của 1 phân tử khí lí tưởng là không gian 6 chiều, có các toạ độ x,
y, z, p
x
, p
y
, p
z
. Thể tích nguyên tố của không gian pha đó là:
x
d dx.dy.dz.dp .
y z p q
dp dp d dΓ = = Γ Γ
(với
. .
q
d dx dy dz dVΓ = =
)
Vì năng lượng của khí lí tưởng chỉ là động năng nên
2
2 2 2 2 2 2
d
1

( ) 2 (1)
2 2
x y z x y z
p
E E p p p p p p mE
m m
= = = + + ⇔ + + =
10
Trịnh Văn Hiệp – K10ĐHSPLý-Hoá
Từ (1) ta thấy phương trình có dạng mặt cầu. Mà
. .
p x y z p
d dp dp dp dΓ = ⇒ Γ
có thể xem
như là thể tích của tầng cầu tạo bởi hai hình cầu có bán kính p và p + dp
Ta có:
3 3 2
4 4
( ) 4
3 3
p p
p d d p p dp
π π π
Γ = ⇒ Γ = =
Mặt khác :
2
2
2 2 2
2
2

P mdE mdE
E P mE pdp mdE dp
m p
mE
= ⇒ = ⇔ = ⇒ = =
4 2 4 2
2
p
mdE
d mE m mEdE
mE
π π
⇒ Γ = =
Vậy
3
0
4
(4 2 ) 4 2 ( 2 )
3
E
p q
d d dV m mEdE V m m EdE V mE
π π π
Γ = Γ Γ = ⇒ Γ = =
∫
Vậy khi E tăng thì
Γ
tăng
Câu 8: Hãy CM rằng thể tích pha của không gian pha K của khí lí tưởng gồm N hạt
có khối lượng m đựng trong hình cầu có thể tích V và có năng lượng toàn phần có trị

số bằng
3
onst. ( 2 )
N N
c V mEΓ =
Giải:
Không gian pha của khí lí tưởng đơn nguyên tử gồm N hạt là không gian 6N chiều
(2fN chiều f = 3). Thể tích nguyên tố của không gian pha đó là:
1 3 1 3
.
N N
p q p p q q
d d dΓ = Γ Γ = Γ Γ Γ Γ
Ta có:
1 3

N
N
q q q q
d d VΓ = Γ Γ ⇒ Γ =
p
dΓ
là thể tích của tầng cầu 3N chiều nằm giữa hai siêu diện năng lượng từ p đên p +
dp.
Ta tính với trường hợp 1 hạt. Ta có:
1
3
4
( 2 )
3

p
d mE
π
Γ =
11
Trịnh Văn Hiệp – K10ĐHSPLý-Hoá
Suy ra N hạt sẽ là:
3
4
( 2 )
3
N
N
p
mE
π
 
Γ =
 ÷
 
Vậy thể tích pha của không gian pha K của khí lí tưởng gồm N hạt là:
3 3
4
. ( 2 ) onst. ( 2 )
3
N
N N N
q p
V mE c V mE
π

 
Γ = Γ Γ = =
 ÷
 
Chương 5:
Câu 1: Ở độ cao nào, ở nhiệt độ 0
0
C áp suất không khí giảm đi 3 lần
Giải:
Gọi p là áp suất ở độ cao h
1
. Ta có:
23
1
1 0
-mgh
.exp 1,37.10 /
kT
p p k J K
−
 
= =
 
 
p
2
là áp suất ở độ cao h
2
mà áp suât giảm đi 3 lần so với p
1

.
Ta có:
23
2
2 0
-mgh
.exp 1,37.10 /
kT
p p k J K
−
 
= =
 
 
Theo đề ra ta có:
( )
1
2 1
2
3 exp 3 exp 3
p mg mg
h h h
p kT kT
   
= ⇔ − = ⇔ =
   
   
23
3
3

23
1,37.10 .273.ln3
ln3 ln3 8,7.10 ( ) 8,7( )
29.10
.9,8
6,02.10
mgh kT
h m km
kT mg
−
−
= ⇔ = = = =
Vì
A
m
N
µ
=
,
µ
: khối lượng mol phân tử,
Α
Ν
: số Avôgađrô
Chú ý:
.
A A
m N N
m
N N

µ
ν
µ
= = ⇒ =
với m: khối lượng 1 hạt, tức N = 1 nên ta có
A
m
N
µ
=
Câu 2: Biết phân tử lượng của không khí là 29, dựa vào công thức
0
-mgz
.exp
kT
n n
 
=
 
 
.
Hãy tìm tỉ số của phân tử trong 1 cm
3
chia cho sốhạt n
0
ở nhiệt độ 273K ở độ cao
1km, 10km, 80km.
Giải:
12
Trịnh Văn Hiệp – K10ĐHSPLý-Hoá

Gọi n là mật độ hạt trong 1 đơn vị thể tích suy ra số hạt trong 1 đơn vị thể tích là:
0
-mgz
. .1 .exp
kT
N n S n n
 
= = =
 
 
Vậy tỷ số phân tử chia co n
0
là:
0
-mgz
exp
kT
mgz
kT
N
e
n
−
 
= =
 
 
Thay các giá trị z = 1km, 10km, 80km và chú ý
A
m

N
µ
=
và
23
1,37.10 /k J K
−
=
Ta sẽ có:
1km:
1
0
0,88
N
n
=
10km:
10
0
0,28
N
n
=
80km:
5
80
0
5.10
N
n

−
=
Chú ý: Số hạt trong thể tích V là:
.
.
N nV
N n S
=


=

với n: mật độ hạt, V: thể tích, S diện tích (Với bài này ta có: N = n.1)
Câu 3: So sánh số toàn phần các phân tử khí ở trên mặt đất trong cột không khí có
đáy 1cm
2
với số phân tử trong cột cao 1km, 10km, 80km (0
0
C)
Giải:
Số phân tử tổng cộng (toàn phần) ở cột có đáy S = 1cm
2
(tính từ mặt đất đến h bằng
vô cùng)
0 0
. .1.N n Sdz n dz
∞ ∞
∞
= =
∫ ∫

(với n: mật độ, dz: chiều cao, S: diện tích)
0 0 0
0 0 0
-mgz -mgz
. .1. .exp . .exp
0
kT kT
kT kT
N n Sdz n dz n dz n n
mg mg
∞ ∞ ∞
∞
∞
   
= = = = − =
   
   
∫ ∫ ∫
Tương tự ta có:
1 1 1
1
1 0 0
0 0 0
1 1
0 0
-mgz -mgz
. .1. .exp . .exp
0
kT kT
-mgz -mgz

exp 1 1 exp
kT kT
z z z
z
kT
N n Sdz n dz n dz n
mg
kT kT
n n
mg mg
   
= = = = − =
   
   
   
   
= − − = −
   
   
   
   
∫ ∫ ∫
13
Trịnh Văn Hiệp – K10ĐHSPLý-Hoá
Để so sánh số phân tử toàn phần n
0
với số phân tử trong các cột khí ở các độ cao khác
nhau ta so sánh tỷ số sau
0
N

n
1km:
1
0
0,12
N
n
=
10km:
10
0
0,72
N
n
=
80km:
80
0
0,99995
N
n
=
Câu 4:
a. Tính độ cao trung bình của cột không khí trên mặt đất đến độ cao h. Từ đố suy ra
ở độ cao h bằng vô cực
b. Tính thế năng trung bình của các phân tử khí lí tưởng ở trong bình trụ cao h. Từ
đó suy ra ở độ cao h bằng vô cực
Giải
a. Công thức tính trị trung bình chung:
( )

( )
X
X
F F dX
ω
=
∫
(
( )
X
ω
: Hàm phân bố)
Công thức tính trị trung bình của độ cao:
( )
. .
X
z z dX
ω
=
∫
( )
X
ω
là hàm phân bố Bônxoman. Do xét trong trường thế nên ta có dX = dz
0 0
U mgz
. .exp - . .exp -
kT kT
h h
z z B dz z B dz

   
⇒ = =
   
   
∫ ∫
từ điều kiện chuẩn hoá ta được:
0
0 0
mgz
z.exp -
kT
1
(1)
mgz mgz
ep - exp -
kT kT
h
h h
dz
B z
x dz dz
 
 
 
= ⇒ =
   
   
   
∫
∫ ∫

Ta đi tính tích phân:
0
mgz
.exp -
kT
h
z dz
 
 
 
∫
Đặt:
du dz
u z
kT mgz
mgz
exp v
exp dz dv
mg kT
kT
=
=


 
⇒
 
 
 
− − =

− =
 
 
 
 
 


14
Trịnh Văn Hiệp – K10ĐHSPLý-Hoá
0
0 0
. .
h h
h
mgz kT mgz kT mgz
z exp dz z exp exp dz
kT mg kT mg kT
     
⇒ − = − − + −
     
     
∫ ∫
=
0
.
h
kT mgh kT mgz
h exp exp dz
mg kT mg kT

 
   
− − + −
   
 
   
 
∫
0
0 0
.
h
h h
h
o
kT mgz kT mgh
kT mgh
exp dz h exp
h xep
mg kT mg kT
kT
mg KT
z
mg
mgz mgz
exp dz exp dz
kT kT
kT mgh
mgh
h exp

h exp
kT kT
mg kT
kT
z
kT mgz mgz
mg mg
exp exp
mg kT kT
   
 
− − −
−
   
 
   
 
⇔ = = −
   
− −
   
   
 
 
−
−
 
 
 
 

⇒ = − = +
   
− − −
  
  
∫
∫ ∫
0
.
mgh
kT
mgh
h
kT
o
kT h e
mg
e e
 
−
 ÷
 
 
−
 ÷
 
= +

−


.
1 1
mgh
kT
mgh mgh
kT kT
kT h e hT h
z
mg mg
e e
 
−
 ÷
 
   
−
 ÷  ÷
   
⇒ = + = +
− −
Vậy độ cao trung bình:
.0
0 1
1
mgh
kT
kT h kT kT
z h z
mg mg mg
e

 
 ÷
 
∞
= + → ∞ ⇒ = + =
−
−
b. Áp dụng câu a ta có:
1
mgh
kT
kT h
z
mg
e
 
 ÷
 
= +
−
Mặt khác:
1 exp
1
mgh
kT
kT h mgh
U mgz U mg U kT h U kT
mgh
mg
e

kT
 
 ÷
 
 
 
= ⇒ = + ⇒ = + ⇒ → ∞ ⇒ →
 
 
−
 
 
−
 
 
Nhận xét: Khi biết thế năng trung bình ta có thể suy ra độ cao trung bình và ngược
lại
Chương VI:
Câu 1: Đại lượng
1
2
k
k
H
q
q
∂
được gọi là virian đối với bậc tự do thứ k. Chứng minh
rằng giá trị trung bình của virian của một bậc tự do bằng
1

2
KT
, nếu h
→ ∞
khi
q → ±∞
15
Trịnh Văn Hiệp – K10ĐHSPLý-Hoá
Giải
Ta có:
1 2 1
-H
exp
k k f
k k
H H
q q dq dq dp dp
q q
ψ
θ
+∞
−∞
∂ ∂
 
=
 
 
∫ ∫ ∫
1 2 1
-H

exp
k f
k
q dq dq dp dp
q
ψ
θ
θ
+∞
−∞
 
∂
 
= −
 
 ÷
∂
 
 
∫ ∫ ∫
1 2 1 1 2 1
-H
exp .
k f f
k
q dq dq dp dp Adq dq dp dp
q
ψ
θ θ
θ

+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
 
 
∂
 
= − = −
 
 
 ÷
∂
 
 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Với A =
-H
exp
k x
k
q dq
q
ψ
θ
+∞
−∞
 
∂
 
 

 ÷
∂
 
 
∫
Ta tính A Đặt:
-H -H
exp exp
k
k
x
k
q U
dq dU
dq dv v
q
ψ ψ
θ θ
=

=

 
⇒
 
∂
 
   
= =
   

 ÷
 
∂
   
  

-H -H
exp exp
-H
exp .exp exp
k k
k k
A q dq
H
q dq
ψ ψ
θ θ
ψ ψ
θ θ θ
+∞
+∞
−∞
−∞
+∞
+∞
−∞
−∞
   
⇒ = −
   

   
     
= − −
     
     
∫
∫
Tích phân đầu khi
exp 0
H
H
θ
 
→ ∞ → − =
 
 
do đó:
-H
exp
k
A dq
ψ
θ
+∞
−∞
 
=
 
 
∫

Vậy:
1 2 1
-H
exp
k f
k
H
q dq dq dp dp kT
q
ψ
θ θ
θ
+∞
−∞
∂
 
= + = =
 
∂
 
∫ ∫
vì
1 2 1
-H
exp 1
f
dq dq dp dp
ψ
θ
+∞

−∞
 
=
 
 
∫ ∫
1 1 1
2 2 2
k
k
H
q kT
q
θ
∂
⇒ = =
∂
Câu 2: Sử dụng về định lí phân bố đều của động năng theo bậc tự do và định lí
virian dưới dạng:
i i
i i
H H
q p
q p
∂ ∂
=
∂ ∂
tính năng lượng trung bình của dao động tử điều
hoà.
Giải:

Hàm Hamintơn của dao động tử điều hoà là:
2
2
1
2 2
p
H kq
m
= +
16
Trịnh Văn Hiệp – K10ĐHSPLý-Hoá
Ta có:
2
(1)
H H
kq q kq
q q
∂ ∂
= ⇒ =
∂ ∂
;
2
. (2)
2
H p H p
p
p m p m
∂ ∂
= ⇒ =
∂ ∂

Ta lại có:
2
2
1
(3)
2 2
p
E H kq
m
= = +
Theo định lí virian:
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
i i
i i
H H
q p kT E kT kT kT
q p
∂ ∂
= = ⇒ = + =
∂ ∂
Vậy
E kT=
Câu 3: Tính thế năng trung bình của dao động tử có thế năng
4
axU =
theo định lí
virian
Giải:
Ta có:

4
d
1
ax (1)
2
H E E U kT= = + = +
Theo định lí virian ta có:
3
1 1
.4ax
2 2
H H
q kT q kT x kT
q q
∂ ∂
= ⇔ = ⇔ =
∂ ∂
4
ax (2)
4
kT
⇒ =
Thay (2) vào (1) ta có:
1 1 3
2 4 4
E kT kT kT= + =
Câu 4: Sử dụng định lí virian, tìm năng lượng trung bình của hạt chuyển động trong
trường lực có thế năng
2
( )

n
q
U q
α
=
(n là số tự nhiên)
Giải:
Ta có:
2
1
(1)
2
n
d
E H E U kT q
α
= = + = +
theo định li virian:
2 1 2
. .2 . (2)
2
n n
H kT
q kT q nq kT q
q n
α α
−
∂
= ⇔ = ⇒ =
∂

Thay (2) vào (1) ta có:
1 1 1
1
2 2 2
kT
E kT kT E
n n
 
= + ⇔ = +
 ÷
 
Câu 5: Tìm biểu thức của thế nhiệt động Gipp theo tích phân trạng thái
Giải
Thế nhiệt động Gipp: G = U – TS + pV (U: nội năng, S entropi)
17
Trịnh Văn Hiệp – K10ĐHSPLý-Hoá
Ta có: U – TS = F (F: năng lượng tự do)
Mà F = KT.lnZ (Z: tích phân trạng thái)
( ln ) (ln ) (ln )
.
T T T T
F kT Z Z Z
p p kT pV kT V
V V V V
∂ ∂ ∂ ∂
       
= − ⇒ = = ⇒ =
 ÷  ÷  ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂
       

Vì
ln 1 ln
ln
T
V V
pV kT
V V V
∂ ∂
 
= ⇒ =
 ÷
∂ ∂
 
Vậy biểu thức của thế nhiệt động Gipp theo tích phân trạng thái
ln ln
ln ln
ln ln
T T
Z Z
G kT Z kT kT Z
V V
 
∂ ∂
   
= − + = −
 
 ÷  ÷
∂ ∂
   
 

Câu 6: Tìm biểu thức entropi theo tích phân trạng thái.
Giải:
Ta có phương trình cơ bản của nhiệt động lực học: TdS =dU – pdV
Mà TdS = d(TS) – SdT
( ) ( )d TS SdT dU pdV d U TS pdV SdT⇒ − = − ⇔ − = −
Đặt F = U – TS (F: năng lượng tự do)
(1) ( , )dF pdV SdT F F V T⇒ = − ⇒ =
(F là hàm của T và V)
Lấy vi phân toàn phần của (1) ta có:
(2)
T V
F F
dF dV dT
V T
∂ ∂
   
⇒ = +
 ÷  ÷
∂ ∂
   
So sánh (1) và (2) ta có:
V
F
S
T
∂
 
⇒ = −
 ÷
∂

 
Mà ta lại có:
lnF kT Z= −
( ln ) ( ln ) ln
ln
ln
ln
V V V V
V
F kT Z kT Z Z
S k Z kT
T T T T
Z
k Z T
T
∂ ∂ − ∂ ∂
       
⇒ = − = − = = +
 ÷  ÷  ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂
       
 
∂
 
= +
 
 ÷
∂
 
 

Câu 7: Tìm biểu thức entanpi theo tích phânn trạng thái
Giải:
18
Trịnh Văn Hiệp – K10ĐHSPLý-Hoá
Ta có hàm entanpi:
H U pV= +
(Trong đó U: nội năng, H: hàm entanpi)
2 2 2
( ln )
ln
ln ln ln
ln ln
V V
V V V
F kT Z
F U TS U F TS F T kT Z T
T T
Z Z Z
kT Z kT Z kT kT U kT
T T T
∂ ∂
   
= − ⇒ = + = − = − +
 ÷  ÷
∂ ∂
   
∂ ∂ ∂
     
= − + + = ⇒ =
 ÷  ÷  ÷

∂ ∂ ∂
     

mà
ln
ln
T
Z
pV kT
V
∂
 
=
 ÷
∂
 
2
ln ln ln ln
ln ln
V T V T
Z Z Z Z
H kT kT kT T
T V T V
 
∂ ∂ ∂ ∂
       
⇒ = + = +
 
 ÷  ÷  ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂

       
 
Câu 8: Tìm biểu thức của nhiệt dung đẳng tích theo tích phân trạng thái
Giải:
Ta có :
2
2
V
F
C T
T
 
∂
= −
 ÷
∂
 
mà
lnF kT Z= −
2
2
2
2
ln
ln
ln ln ln ln
ln
ln ln
2
V

V
V
V V V
V
V
V
F Z
C T T kT k Z
T T T T
Z Z Z Z
T kT k Z T k kT k
T T T T T
Z Z
C kT T
T T
 
 
 
∂ ∂ ∂ ∂
 
   
⇒ = − = − − −
   
 ÷
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂
   
 
 
 

 
 
 
 
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
   
     
= + = + +
   
 ÷
 ÷
 ÷  ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
 
 
 
 
 

∂ ∂
 
⇒ = +
 ÷
∂ ∂
 
V
 


 
 
 ÷
 
 
 
Câu 9: Chất khí nằm trong trường lực thế năng
( )
osU ac
ϕ
ϕ
=
, trong đó
ϕ
là góc giữa
trục phân tử cuả chất khí và phương của trường. Hãy tìm sự phân bố của các phân tử
khí theo phương và tìm trị trung bình cuả
osc
ϕ
, từ đó suy ra
U
Giải:
Ta có: Hàm phân bố:
( )X
dW dX
ω
=
Suy ra hàm phân bố trong trường trọng lực với thế
năng U

t
có dạng:
( )
( os )
dW=Aexp dW =Aexp ( os )
c
t
U
U
dt d c
kT kT
ϕ
ϕ
ϕ
 
 
− ⇒ −
   
 
 
19
Trịnh Văn Hiệp – K10ĐHSPLý-Hoá
( )
( os ) ( os )
0
dW = - Aexp sin sin .exp
c c
U U
d A d
kT kT

ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
   
⇔ − = −
   
   
Từ điều kiện chuẩn hoá ta có:
0
1 1
at
at
kT
kT
1 1
1 1 1
1
os
exp ( os ) e .
1
A
kT
ac
e
d c dt
a
kT
ϕ
ϕ
+ +

− −
= = =
+
 
 
−
 
∫ ∫
0
1
a -a
exp exp
kT kT
a a
kT kT
a
a
kT
A
kT
e e
−
 
 
 
⇒ = =
   
 
−
−

   
 
   
 
Ta có
( ) ( os )
0 0
os os . . os . . ( os )
t c
c c dt c d c
π π
ϕ
ϕ ϕ ω ϕ ω ϕ
= =
∫ ∫
( os ) ( os )
0 0
0 0
-1
os
kT
0 0
0 +1
os os .exp sin os .exp ( os )
os os . . ( os ) = . .
c c
at
ac
kT
U U

c A c d A c d c
kT kT
c A c e d c A t e dt
π π
ϕ ϕ
π
ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
−
−
   
= − = −
   
   
⇔ =
∫ ∫
∫ ∫
- Tính tích phân từng phần: Đặt
du = dt
.
at
at
kT
kT
u t
kT
e v
e dt dv
a

−
−

=

 
⇒
 
− =
 
=


1 -1
1 1
1
-at -at -at
.exp . .exp exp .
1
kT kT kT
kT kT
t t dt
a a
−
−
     
⇒ = − +
     
     
∫ ∫

2
2
a -a
exp exp
kT kT
a
1
-at
exp
1
kT
a -a
exp -exp
k
-a
exp e
T k
xp
kT k TT
kT
a
kT
a
kT
a
kT
a
 
   
+

   
 
   
 
 
   
+ −
   
 
 
−
   
= −
 
 ÷
   
 
     
=
 

 
 ÷
 
    
 


2
0

a -aa -a
exp exp
kT k
os =A . exp -exp
kTT kT
kT
a
kT
c
a
ϕ
 
 

 
   
+ −
 
    
 ÷
   
 ÷
 
 ÷
     
 

 
 
   




Đặt
a
kT
α
=
Ta có:
e e 1
os =
e - e
c
α α
α α
ϕ
α
−
−
+
−
20