Phần I: Đặt vấn đề

I I. Lí do chọn chuyên đề
1.Cơ sở thực tiễn:
Đứng trớc yêu cầu của công cuộc đổi mới, giáo dục phải luôn đi trớc một bớc.
Muốn giáo dục và đào tạo tồn tại và phát triển, xứng đáng với vị trí của nó trong xã
hội thì mỗi giáo viên phải tự mình đổi mới, đề ra những định hớng kịp thời.
Là một giáo viên dạy toán THCS trong những năm qua tôi đã đặt cho mình
những câu hỏi, những trăn trở để từ đó tìm hiểu nghiên cứu tìm ra những phơng
pháp dạy phù hợp.
Môn toán là một môn học khó nhng nó rất hấp dẫn và bổ ích với những em yêu
thích Toán học. Nó giúp các em từng bớc phát triển năng lực t duy. Hình thành kĩ
năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn cũng nh vào việc học tập các môn học khác.
Qua tìm hiểu tình hình thực tế và kinh nghiệm của bản thân tôi thấy đa số học
sinh lớp 9 gặp khó khăn khi giải các bài toán có liên quan đến Phơng trình bậc
hai : ax
2
+bx+c= 0 có chứa tham số nói chung và ứng dụng của định lí Vi-ét trong
phơng trình bậc hai ax
2
+bx+c =0 (a

0) nói riêng.
Trong chơng trình lớp 9 kiến thức này đề cập rất ít trong sách giáo khoa. Tuy
nhiên các bài tập liên quan đến nó lại rất nhiều và rất đa dạng.
Là một giáo viên dạy Toán trớc thực trạng nh vậy tôi không khỏi băn khoăn trăn
trở làm nh thế nào để giúp đỡ các em bớt đi những khó khăn, lúng túng trong việc
giải các bài toán có liên quan đến hệ thức Vi-ét trong phơng trình bậc hai
ax
2
+bx+c=0 (a

0).
Từ thực tiễn giảng dạy tôi xin đợc trình bày một ý kiến nhỏ, một kinh nghiệm
mà qua thử nghiệm tôi thấy đã làm giảm bớt khó khăn cho các em khi giải các bài
toán có liên quan đến hệ thức Vi-ét trong phơng trình bậc hai.
2. Cơ sở tâm lí
Theo tâm lý, con ngời chỉ t duy tích cực khi có nhu cầu, hoạt động nhận thức
chỉ có kết quả cao khi chủ thể ham thích một cách tự giác. Đối với học sinh cũng
vậy nếu các em chỉ học một cách thụ động, tức là tiếp thu kiến thức theo lối nhồi
nhét, không có thói quen suy nghĩ một cách sâu sắc thì kiến thức nhanh chóng bị
lãng quên. Vì vậy để phát huy tính tích cực và sáng tạo của học sinh không còn
cách nào khác là phải tạo niềm tin và hứng thú học tập cho các em. Có nghĩa là
chúng ta phải có những phơng pháp phù hợp giúp học sinh tiếp thu kiến thức một
cách chủ động có hệ thống. Giúp các em nhận dạng bài toán và nắm đợc hớng giải
quyết tốt nhất.
3. Cơ sở giáo dục học
Những kết quả nghiên cứu của giáo dục học cho thấy kết quả giáo dục sẽ cao
1
hơn nếu quá trình đào tạo đợc biến thành quá trình tự đào tạo, quá trình giáo dục đ-
ợc biến thành quá trình tự giáo dục.
II. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
1. Mục đích nghiên cứu
- Chuyên đề giúp giáo viên có cái nhìn tổng thể về các vấn đề có liên quan đến
hệ thức Vi-ét, rút ra những kinh nghiệm trong giảng dạy và học tập, đào sâu và hoàn
thiện hiểu biết. Từ đó có phơng pháp dạy- học có hiệu quả, giúp học sinh giảm bớt
những khó khăn lúng túng khi học nội dung này.
- Thực hiện chuyên đề này thấy đợc những thuận lợi và khó khăn khi dạy học nội
dung hệ thức Vi-ét. Qua đó có định hớng năng cao chất lợng dạy học môn Toán.
2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Thấy đợc vai trò của hệ thức Vi-ét trong chơng trình Toán THCS đặc biệt là

những dạng toán có liên quan.
- Giảm bớt những khó khăn, lúng túng của các em khi nghiên cứu nội dung có
liên quan đến hệ thức Vi-ét. Học sinh xác định đợc cách giải của một số dạng toán
cơ bản.
III. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu
1. Nghiên cứu phần Phơng trình bậc hai : ax
2
+bx+c=0 có chứa tham số nói
chung và ứng dụng của định lí Vi-ét trong phơng trình bậc hai ax
2
+bx+c=0 (a

0) .
2. Nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến hệ thức Vi-ét và ứng dụng.
3. Giáo viên giảng dạy cấp THCS và học sinh THCS đặc biệt là học sinh khối
lớp 9.
IV. Các phơng pháp nghiên cứu
1. Phơng pháp nghiên cứu lí luận
Đọc các tài liệu có liên quan để phân dạng bài tập và phơng pháp giải.
- Các tạp chí giáo dục toán học.
- Sách giáo khoa, sách giáo viên toán 9 tập hai.
- Sách tham khảo.
- Phơng pháp dạy học môn Toán THCS.
2. Phơng pháp thực nghiệm
Tiến hành dạy thực nghiệm để kiểm tra kết quả áp dụng chuyên đề.
3.Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm
Rút ra những bài học cho bản thân và đồng nghiệp để giảng dạy tốt hơn.
Phần II: Nội dung
I. Hệ thống các kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa phơng trình bậc hai một ẩn.

2
Phơng trình bậc hai một ẩn ( gọi là phơng trình bậc hai) là phơng trình có dạng
ax
2
+bx+c=0.Trong đó x là ẩn, a,b,c là các hệ số cho trớc a

0
2. Cách giải phơng trình bậc hai
a) Phơng trình khuyết b (b=0)
ax
2
+c=0
2
c
x
a
=
+ Nếu
c
a

<0 => Phơng trình vô nghiệm
+ Nếu
c
a

>0 => Phơng trình có hai nghiệm
1
.c c a
x

a a

= =
2
.c c a
x
a a

= =
b) Phơng trình khuyết c (c=0)
ax
2
+bx =0

x(ax+b) =0
+ x=0
+ ax+b=0

x=
b
a

c)Nếu a, b, c

0 phơng trình bậc hai có dạng ax
2
+bx+c=0.
2
4b ac =
+ Nếu


>0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
1
2
b
x
a
+
=

2
2
b
x
a

=
+ Nếu

=0 thì phơng trình có nghiệm kép
1 2
2
b
x x
a

= =

+ Nếu


<0 thì phơng trình vô nghiệm.
d) Công thức nghiệm thu gọn
Phơng trình ax
2
+bx+c=0 có b=2b
2
' 'b ac =
+ Nếu
'
>0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
1
' 'b
x
a
+
=

2
' 'b
x
a

=
+ Nếu
'
=0 thì phơng trình có nghiệm kép
1 2
'b
x x
a


= =

+ Nếu
'
<0 thì phơng trình vô nghiệm.
3. Hệ thức Vi-ét
+Nếu phơng trình ax
2
+bx+c=0 có hai nghiệm
1
x
,
2
x
(

0) thì ta có:
1 2
b
x x
a
+ =
3
1 2
.
c
x x
a
=

+ Nếu có hai số a, b sao cho a+b=S, a.b=P thì a,b là hai nghiệm của phơng trình
X
2
-SX+P=0
4. Hệ quả của định lí Vi-ét
*Phơng trình bậc hai ax
2
+bx+c=0
+ Nếu có a+b+c=0 thì phơng trình có hai nghiệm:
1 2
1;
c
x x
a
= =
+ Nếu có a-b+c=0 thì phơng trình có hai nghiệm:
1 2
1;
c
x x
a

= =
*Phơng trình bậc hai ax
2
+bx+c=0 có hai nghiệm
1
x
,
2

x
thì ta có:
ax
2
+bx+c=a(
1
x x
)(
2
x x
)
*Phơng trình bậc hai ax
2
+bx+c=0 có nghiệm kép
0
x x=
thì ta có:
ax
2
+bx+c=a(
0
x x
)
2
II. Các bài tập ứng dụng
Để học sinh nắm kiến thức một cách có hệ thống tôi đã phân thành các dạng
bài tập cụ thể . Sau đó đa ra ví dụ minh họa để học sinh vận dụng. Một số bài tập
học sinh rèn luyện tại lớp và bài tập về nhà để cho học sinh luyên tập rèn trí nhớ.
Dạng I: Không giải phơng trình hãy tính tổng và tích hai nghiệm
1

x
,
2
x
của
phơng trình bậc hai nếu có:
1. Cách giải:
Bớc 1: Chứng tỏ phơng trình bậc hai có nghiệm (

0 hoặc a.c<0)
Bớc 2: Vận dụng hệ thức Vi- ét tính:
1 2
b
x x
a
+ =
1 2
.
c
x x
a
=
2. Bài tập áp dụng:
Không giải phơng trình hãy tính tổng và tích hai nghiệm
1
x
,
2
x
của phơng trình

bậc hai nếu có:
Ví dụ 1: x
2
-5x-6=0
Giải:
Xét phơng trình x
2
-3x-6=0 có a.c=1.(-6)=-6<0 nên phơng trình có hai nghiệm
1
x
,
2
x
Theo hệ thức Vi-ét ta có:

1 2
3x x+ =
1 2
. 6x x =
Ví dụ 2: x
2
-5x+3=0
Giải:
Xét phơng trình x
2
-5x+3=0 có

=(-5)
2
-4.1.3=25-12=13>0 nên phơng trình có hai

nghiệm
1
x
,
2
x
4
Theo hệ thức Vi-ét ta có:

1 2
5x x+ =
1 2
. 3x x =
Ví dụ 3: 3x
2
-4x+3=0 có

=(-4)
2
- 4.3.3=16-36=-20<0 nên phơng trình vô
nghiệm.
3. Bài tập thực hành:
Không giải phơng trình hãy tính tổng và tích hai nghiệm
1
x
,
2
x
của phơng trình
bậc hai nếu có:

a) 3x
2
- 4x-7=0
b) 2x
2
- 7x+3=0
c) 9x
2
- 4x+1=0
Dạng II: Kiểm tra một số
0
x x=
có phải là nghiệm của phơng trình bậc hai
không? Nếu phải hãy tính nghiệm còn lại.
1. Cách giải:
0
x x=
là nghiệm của phơng trình bậc hai khi và chỉ khi
2
0 0
0ax bx c+ + =
Dùng hệ thức Vi-ét
1 2
b
x x
a
+ =
1 2
.
c

x x
a
=
để tìm nghiệm còn lại biết
1 0
x x=
2. Bài tập áp dụng:
Ví dụ 1: Kiểm tra một số
3x
=
có phải là nghiệm của phơng trình bậc hai
x
2
- x- 6 = 0 không? Nếu phải hãy tính nghiệm còn lại.
Giải:
Thay x=3 vào vế trái của phơng trình ta có: 3
2
-3-6=0 nên x=3 là một nghiệm
của phơng trình
Theo hệ thức Vi-ét ta có:

1 2
. 6x x =
mà x
1
=3=>x
2
=-2
Vậy
3x

=
là nghiệm của phơng trình bậc hai x
2
- x- 6 = 0 và nghiệm còn lại x=-
2.
Ví dụ 2: Kiểm tra một số x=1 có phải là nghiệm của phơng trình bậc hai
2
2( 3 1) 2 3 1 0x x + + + =
không? Nếu phải hãy tính nghiệm còn lại.
Giải:
Thay x=1 vào vế trái của phơng trình ta có:
2
1 2( 3 1).1 2 3 1 0 + + + =
nên x=1
là một nghiệm của phơng trình
Theo hệ thức Vi-ét ta có:

1 2
. 2 3 1x x = +
mà x
1
=1=>x
2
=
2 3 1+
Vậy x=1 là nghiệm của phơng trình bậc hai
2
2( 3 1) 2 3 1 0x x + + + =
và nghiệm
còn lại x

2
=
2 3 1+
3. Bài tập thực hành:
Kiểm tra một số
0
x x=
có phải là nghiệm của phơng trình bậc hai không? Nếu
5
phải hãy tính nghiệm còn lại.
a)
2
3 2 0x x + =
(
0
2x =
)
b)
2
2 5 3 0x x =
(
0
3x =
)
c)
2
3( 3 1) 3 3 2 0x x + + + =
(
0
1x =

)
Dạng III: Tìm giá trị của tham số m để phơng trình bậc hai có một nghiệm
cho trớc. Tính nghiệm số còn lại.
1. Cách giải:
Cho ax
2
+bx+c=0 ( a

0) phơng trình tham số m
+ Thay
0
x x=
vào phơng trình ta đợc phơng trình ẩn m
+ Dùng hệ thức Vi-ét tính nghiệm còn lại.
2. Bài tập ứng dụng
Ví dụ 1: Cho phơng trình 2x
2
+(m+4)x+2m=0. Tìm m để phơng trình có một
nghiệm là -1. Tìm nghiệm còn lại.
Giải:
Thay x=-1 vào phơng trình ta đợc:
2(-1)
2
+(m+4).(-1)+2m=0

2- m- 4+2m=0

-2+m=0

m=2

Với m=2 phơng trình có một nghiệm x
1
=1
Theo Vi-ét ta có:

1 2
.x x m=
mà x
1
=1, m=2=> x
2
=2
Vậy với m=2 thì phơng trình có một nghiệm x=1, nghiệm còn lại x=2.
Ví dụ 2: Cho phơng trình x
2
+4x+m
2
-2m+1=0. Tìm m để phơng trình có một
nghiệm là -2. Tìm nghiệm còn lại.
Giải:
Thay x=-2 vào phơng trình ta đợc:
(-2)
2
+4.(-2)+ m
2
-2m+1=0

4-8+m
2
-2m+1=0


m
2
-2m-3=0 ( phơng trình có a-b+c=0)

m
1
=-1, m
2
=3
Với m
1
=-1, m
2
=3 thì phơng trình có một nghiệm x=-2
Theo Vi-ét ta có:

1 2
.x x =
m
2
-2m+1
Với x
1
=-2, m
1
=-1 thì
2
2
( 1) 2.( 1) 1 4

2
2 2
x
+
= = =

Với x
1
=-2, m
2
=3 thì
2
2
3 2.3 1 4
2
2 2
x
+
= = =

Vậy với m=-1, m=3 thì phơng trình có 1 nghiệm x=-2, nghiệm còn lại x=-2.
Ví dụ 3: Cho phơng trình x
2
-mx+m
2
-7=0. Tìm m để phơng trình có một nghiệm
là -1. Tìm nghiệm còn lại.
6
Giải:
Thay x=-1 vào phơng trình ta đợc:

(-1)
2
-m.(-1)+ m
2
-7=0

1+m+m
2
-7=0

m
2
+m-6=0 ( phơng trình có

=25)

m
1
=2, m
2
=-3
Với m
1
=2, m
2
=-3 thì phơng trình có một nghiệm x=-1
Theo Vi-ét ta có:

1 2
.x x =

m
2
-7
Với x
1
=-1, m
1
=2 thì
2
2
2 7 3
3
1 1
x

= = =

Với x
1
=-1, m
2
=-3 thì
2
2
( 3) 7 2
2
1 1
x

= = =


Vậy với m=2, nghiệm còn lại của phơng trình x=3
với m=-3, nghiệm còn lại của phơng trình x=-2
3. Bài tập thực hành
Bài 1 : Cho phơng trình 4x
2
+2(m-1)x+2m=0. Tìm m để phơng trình có một
nghiệm là 1. Tìm nghiệm còn lại.
Bài 2: Cho phơng trình 3x
2
+6x+3m
2
-6m-18=0. Tìm m để phơng trình có một
nghiệm là 3. Tìm nghiệm còn lại.
Bài 3: Cho phơng trình x
2
-(m+1)x+m
2
+m-7=0. Tìm m để phơng trình có một
nghiệm là -1. Tìm nghiệm còn lại.
Bài 4: Cho phơng trình x
2
-2x+m=0. Tìm m để phơng trình có một nghiệm là
3
. Tìm nghiệm còn lại.
Dạng IV: Không giải phơng trình hãy tính giá trị của một biểu thức giữa
các nghiệm của phơng trình bậc hai:
1. Cách giải
+ Chứng tỏ phơng trình bậc hai có hai nghiệm x
1

, x
2
(

>0)
+ Biến đổi biểu thức bài cho về dạng tổng và tích hai nghiệm
+ Viết hệ thức Vi-ét thay vào biểu thức tính giá trị
2. Bài tập ứng dụng
Ví dụ 1: Cho phơng trình x
2
- 10x+15 = 0 không giải phơng trình . Hãy tính giá
trị của các biểu thức sau( Với x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình x
1
<x
2
)
a)
2 2
1 2
x x+
b)
1 2
1 1
x x
+
c)

3 3
1 2
x x+
d)
2 1
1 2
x x
x x
+
e)
2 2
1 2
x x
g)
3 3
1 2
x x
Giải:
Xét phơng trình x
2
- 10x+15 = 0

=(-5)
2
-1.15=10>0=> phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
(x
1

<x
2
)
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
1 2
10x x+ =
(1)
7
1 2
. 15x x =
(2)
a)
2 2
1 2
x x+
=
2
1 2 1 2
( ) 2x x x x+
=10
2
-2.15=100-30=70
b)
1 2
1 1
x x
+
=
1 2
1 2

x x
x x
+
=
10
15
=
2
3

c)
3 3
1 2
x x+
=
2 2
1 2 1 1 2 2
( )( )x x x x x x+ +
=
2
1 2 1 2 1 2
( )[( ) 3 ]x x x x x x+ +
=
3
1 2 1 2 1 2
( ) 3 ( )x x x x x x+ +
=10
3
-3.10.15=1000-450=550
d)

2 1
1 2
x x
x x
+
=
2 2
2 1
1 2
.
x x
x x
+
=
70 14
15 3
=

e) Đặt A=
2 2
1 2
x x
=(
1 2
x x+
)(
1 2
x x
)
B=

1 2
x x
<0 vì x
1
<x
2
Ta có B
2
=(
1 2
x x
)
2
=
2 2
1 2
x x+
1 2
2x x
=70-2.15=40
=>B=-
2 10
Do đó A=
2 2
1 2
x x
=10.(-
2 10
)=-
20 10

g)
3 3
1 2
x x
=
2 2
1 2 1 1 2 2
( )( )x x x x x x + +
=-
20 10
(70 15)+
=-
20 10
.
85
=
170 10
Ví dụ 2: Cho phơng trình x
2
-5x+6=0 không giải phơng trình . Hãy tính giá trị
của các biểu thức sau( Với x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình x
1
>x
2
)
a)

1 2
x x+
b)
1 1 2 2
x x x x+
c)
2 1 1 2
x x x x+
d)
1 2
x x
Giải:
Xét phơng trình x
2
-5x+6=0

=(-5)
2
-4.6=25-24=1>0
Phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
Theo hệ thức Vi-ét ta có:

1 2
5 0x x+ = >


1 2

. 6 0x x = >
=> x
1
>0, x
2
>0
a)A=
1 2
x x+
>0
A
2
= (
1 2
x x+
)
2
=
1 2
x x+
1 2
2 x x+
=
5 2 6+
=
2
( 3 2)+
Vậy A=
3 2+
b)

1 1 2 2
x x x x+
=
1 2 1 2 1 2
( )( )x x x x x x+ +
= (
3 2+
)(
5 6)
=
3 3 2 3+
c)
2 1 1 2
x x x x+
=
2 1 1 2
( ) 6( 3 2) 3 2 2 3x x x x+ = + = +

d) Đặt B=
1 2
x x
>0 vì x
1
>x
2
B
2
=(
1 2
x x

)
2
=
1 2
x x+
1 2
2 x x
=
5 2 6
=
2
( 3 2)
Vậy B=
3 2
Ví dụ 3: Cho phơng trình x
2
+3x+1=0 không giải phơng trình . Hãy tính giá trị
của các biểu thức sau( Với x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình )
a) x
1
(2-x
2
)+x
2
(2-x
1

)
b) 12-10x
1
x
2
-(x
1
2
+x
2
2
)
c) (2x
1
-x
2
)(2x
2
-x
1
)
Giải:
Xét phơng trình x
2
+3x+1=0
8

=3
2
-4.1=9-4=5>0

Phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
Theo hệ thức Vi-ét ta có:

1 2
3 0x x+ = <


1 2
. 1 0x x = >

a)
x
1
(2-x
2
)+x
2
(2-x
1
) = 2x
1
- x
1
x
2
+2x
2

- x
1
x
2
= 2(x
1
+x
2
)-2x
1
x
2
=2.(-3)-2.1=-8
b)
12-10x
1
x
2
-(x
1
2
+x
2
2
)= 12-10x
1
x
2
-(x
1

+x
2
)
2
+2 x
1
x
2
=12-8x
1
x
2
-(x
1
+x
2
)
2
= 12-8.1-(-3)
2
=-5
c) (2x
1
-x
2
)(2x
2
-x
1
) =4 x

1
x
2
-2x
1
2
-2x
2
2
+ x
1
x
2
=5 x
1
x
2
-2(x
1
2
+x
2
2
)
= 5 x
1
x
2
-2(x
1

+x
2
)
2
+ 4 x
1
x
2
=9 x
1
x
2
-2(x
1
+x
2
)
2
=9.1-2.(-3)
2
=-9
3. Bài tập thực hành
Bài 1. Cho phơng trình x
2
- 27x+43 = 0 không giải phơng trình . Hãy tính giá trị
của các biểu thức sau( Với x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình trên x

1
<x
2
)
a)
2 2
1 2
x x+
b)
1 2
1 1
x x
+
c)
3 3
1 2
x x+
d)
2 1
1 2
x x
x x
+
e)
2 2
1 2
x x
g)
3 3
1 2

x x
Bài 2: Cho phơng trình x
2
-3x+2=0 không giải phơng trình . Hãy tính giá trị của
các biểu thức sau( Với x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình x
1
>x
2
)
a)
1 2
x x+
b)
1 1 2 2
x x x x+
c)
2 1 1 2
x x x x+
d)
1 2
x x
Bài 3: Cho phơng trình x
2
+4x+3=0 không giải phơng trình . Hãy tính giá trị của
các biểu thức sau( Với x
1

, x
2
là hai nghiệm của phơng trình )
a)x
1
(2-x
2
)+x
2
(2-x
1
)
b)
1 2 1 2
1 1 2
x x x x
+ +
c)
1 2
2 1 1 2
2 2
x x
x x x x
+


Dạng V: Tìm điều kiện của m để các phơng trình sau có hai nghiệm x
1
, x
2

thoả mãn một hệ thức cho trớc.
1. Cách giải
+ Tìm điều kiện của m để phơng trình bậc hai có hai nghiệm x
1
, x
2

+ Viết hệ thức Vi-ét
1 2
b
x x
a
+ =
(1)
1 2
.
c
x x
a
=
(2)
+ Kết hợp (1) và (2) với hệ thức đầu bài cho ta tìm đợc m( ở mỗi dạng hệ thức
có cách giải riêng)
2. Bài tập áp dụng
9
2.1 Hệ thức chứa tổng và tích hai nghiệm (3)
Thay (1), (2) vào (3) ta đợc phơng trình ẩn m. Giải phơng trình ẩn m và so với
điều kiện => trả lời.
Ví dụ 1: Cho phơng trình x
2

+mx-m
2
-8=0. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm
thoả mãn: x
2
1
+x
2
2
=25
Giải:
Xét phơng trình x
2
+mx-m
2
-8=0
Phơng trình có hai nghiệm


= m
2
+4(m
2
+8)= 5m
2
+32>0 với mọi m
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2

+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:
1 2
x x m+ =
(1)
2
1 2
. 8x x m=
(2)
Theo đề bài ta có: x
2
1
+x
2
2
=25

2
1 2 1 2
( ) 2x x x x+
=25 (3)
Thay (1), (2) vào (3) ta có:
(-m)
2
+2m
2
+16=25

3m
2
=9


m
2
=3

m=
3
Vậy với m=
3
thì phơng trình có hai nghiệm thoả mãn: x
2
1
+x
2
2
=25
Ví dụ 2: Cho phơng trình x
2
-mx+m-1=0. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm
thoả mãn: x
2
1
+x
2
2
-6 x
1
x
2
=8

Giải:
Xét phơng trình x
2
-mx+m-1=0
Phơng trình có hai nghiệm


=m
2
-4(m-1)= m
2
-4m+4=(m-2)
2

0 với mọi m
Vậy phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:
1 2
x x m+ =
(1)
1 2
. 1x x m=
(2)
Theo đề bài ta có: x
2
1
+x

2
2
-6 x
1
x
2
=8

(x
1
+x
2
)
2
-8x
1
x
2
=8 (3)
Thay (1), (2) vào (3) ta có:
(m)
2
-8(m-1)=8

m
2
-8m+8=8

m(m-8)=0


m=0, m=8
Vậy với m=0, m=8 thì phơng trình có hai nghiệm thoả mãn:
x
2
1
+x
2
2
-6 x
1
x
2
=8
Ví dụ 3: Cho phơng trình x
2
-2x+m+2=0. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm
thoả mãn:
a)x
2
1
+x
2
2
+4 x
1
x
2
=0
b)
2 1

1 2
10
3
x x
x x

+ =
Giải:
Xét phơng trình x
2
-2x+m+2=0
Phơng trình có hai nghiệm


=(-1)
2
-(m+2)= -m-1

0

m

-1 (*)
Vậy phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
10
+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:
1 2

2x x+ =
(1)
1 2
. 2x x m= +
(2)
a)Theo đề bài ta có: x
2
1
+x
2
2
+4 x
1
x
2
=0

(x
1
+x
2
)
2
+2x
1
x
2
=0 (3)
Thay (1), (2) vào (3) ta có:
(2)

2
+2(m+2)=0

2m+8=0

m=-4 (thoả mãn *)
Vậy với m=-4 thì phơng trình có hai nghiệm thoả mãn: x
2
1
+x
2
2
+4 x
1
x
2
=0
b) Theo đề bài ta có:
2 1
1 2
2 2
1 2
1 2
2
1 2 1 2
1 2
10
3
10
3

( ) 2
10
3
x x
x x
x x
x x
x x x x
x x

+ =
+
=
+

=
(4)
Thay (1), (2) vào (4) ta có:
2
2 2( 2) 10
2 3
2 10
2 3
6 10 20( 2)
5
m
m
m
m
m m m

m
+
=
+

=
+
=
=
m=-5 (thoã mãn*)
Vậy m=-5 là giá trị cần tìm
2.2 Hệ thức không chứa tổng và tích hai nghiệm.
+ Từ (1) và (3) ta đợc hệ phơng trình ẩn x
1
, x
2
+Giải hệ phơng trình ẩn x
1
, x
2
theo m
+ Thay x
1
, x
2
vào (2) ta đợc phơng trình ẩn m
+ Giải phơng trình ẩn m ta tìm đợc m
+So sánh với điều kiện có nghiệm.Trả lời.
Ví dụ 1: Cho phơng trình x
2

-mx+m-1=0. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm
x
1
, x
2
thoả mãn: x
1
-2x
2
=1 (3)
Giải:
Xét phơng trình x
2
-mx+m-1=0
Phơng trình có 2 nghiệm


=(m)
2
-4(m-1)=m
2
-4m+4=(m-2)
2

0 với mọi m
Vậy phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:

1 2
x x m+ =
(1)
1 2
. 1x x m=
(2)
Theo đề bài ta có: x
1
-2x
2
=1 (3)
Từ (1) và (3) ta có hệ phơng trình:
11
1 2
1 2
1 2
2 1 (3)
(1)
2 1 1
;
3 3
x x
x x m
m m
x x
=


+ =


+
= =
Thay x
1
, x
2
vào (2) ta có:
2
2
2 1 1
1
3 3
2 2 1 9 9
2 10 8 0
1; 4
m m
m
m m m m
m m
m m
+
=
+ =
+ =
= =
g
Vậy m=1, m=4 là các giá tri cần tìm.
Ví dụ 2: Cho phơng trình x
2
+2x+m+1=0. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm

x
1
, x
2
thoả mãn: x
1
-x
2
=8 (3)
Giải:
Xét phơng trình x
2
+2x+m+1=0
Phơng trình có 2 nghiệm


=(2)
2
-4(m+1)=-4m

0

m

0 (*)
Vậy phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:

1 2
2x x+ =
(1)
1 2
. 1x x m= +
(2)
Theo đề bài ta có: x
1
-x
2
=8 (3)
Từ (1) và (3) ta có hệ phơng trình:
1 2
1 2
1 2
8 (3)
2 (1)
3; 5
x x
x x
x x
=


+ =

= =
Thay x
1
, x

2
vào (2) ta có:
3 ( 5) 1
16
m
m
= +
=
g
m=-16 (thoả mãn *)
Vậy m=-16 là giá tri cần tìm.
2.3 Tìm GTLN và GTNN, bất đẳng thức của biểu thức giữa các nghiệm.
+ Tìm điều kiện của m để phơng trình bậc hai có hai nghiệm x
1
, x
2

+ Viết hệ thức Vi-ét
1 2
b
x x
a
+ =
(1)
1 2
.
c
x x
a
=

(2)
+ Thay (1) và (2) vào biểu thức bài cho rồi tính GTLN và GTNN của biểu thức
giữa các nghiệm.
Ví dụ 1: Cho phơng trình x
2
-(2m+1)x+m
2
+m-1=0. Tìm m để phơng trình có
hai nghiệm x
1
, x
2
và biểu thức A=(2x
1
-x
2
) (2x
2
-x
1
) đạt GTNN
12
Giải:
Xét phơng trình x
2
-(2m+1)x+m
2
+m-1=0
Phơng trình có 2 nghiệm



=(2m+1)
2
-4(m
2
+m-1)=5 >0 với mọi m
Vậy phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:
1 2
2 1x x m+ = +
(1)
2
1 2
. 1x x m m= +
(2)
Thay (1) và (2) vào A :
A=(2x
1
-x
2
) (2x
2
-x
1
)=4 x
1
x

2
-2 x
1
2
-2 x
2
2
+ x
1
x
2
=9 x
1
x
2
-2(x
1
+x
2
)
2
=9(m
2
+m-1)-2(2m+1)
2
=m
2
+m-11=(
2
1 45 45

)
2 4 4
m

+
Vậy GTNN A=
45 1 1
0
4 2 2
m m

+ = =
Ví dụ 2: Cho phơng trình x
2
+2(m-1)x-(2m+5)=0. Tìm m để phơng trình có hai
nghiệm x
1
, x
2
và biểu thức B=12-10x
1
x
2
)- (x
1
2
+x
2
2
) đạt GTLN

Giải:
Xét phơng trình x
2
+2(m-1)x-(2m+5)=0
Phơng trình có 2 nghiệm


=(m-1)
2
+2m+5=m
2
+6 >0 với mọi m
Vậy phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
với mọi m
+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:
1 2
2( 1)x x m+ =
(1)
1 2
. 2 5x x m=
(2)
Thay (1) và (2) vào B :
B=12-10x
1
x
2
)- (x

1
2
+x
2
2
) = 12-8x
1
x
2
- (x
1
+x
2
)
2

=12+8(2m+5)-4(m-1)
2
=-4m
2
+24m+48
= -(2m-6)
2
+84

84
Vậy GTLN B=84

m=3
Ví dụ 3: Cho phơng trình x

2
-2(m-1)x-(2m+5)=0. Tìm m để phơng trình có hai
nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn bất đẳng thức: x
1
+x
2
+2x
1
x
2

6
Giải:
Xét phơng trình x
2
-2(m-1)x-(2m+5)=0
Phơng trình có 2 nghiệm


=(m-1)
2
+2m+5=m
2
+6 >0 với mọi m
Vậy phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x
1

, x
2
với mọi m
+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:
1 2
2( 1)x x m+ =
(1)
1 2
. 2 5x x m=
(2)
Thay (1) và (2) vào bất đẳng thức:
x
1
+x
2
+2x
1
x
2

6

2(m-1)- 2(2m+5)

6

2m-2-4m-10

6
13


-2m

18

m

-9
Vậy m

-9 là điều kiện cần tìm
3. Bài tập thực hành
Bài 1: Cho phơng trình x
2
-3x+m-1=0. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
,
x
2
thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) x
1
2
-x
2
2
=6
b) x
1
2

+x
2
2
=5
c) x
1
, x
2
là nghịch đảo của nhau
d) x
1
, x
2
là số đối của nhau
e) Nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
Bài 2:
a) Cho phơng trình x
2
-2(m+1)x+2m+10=0. Tìm m để phơng trình có hai
nghiệm x
1
, x
2
và biểu thức A=x
1
2
+x
2
2
+10x

2
x
1
đạt GTNN.
b) Cho phơng trình x
2
+mx+1=0. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn bất đẳng thức:
2 2
1 2
2 1
x x
x x

+
ữ ữ

>7
c) Cho phơng trình x
2
-2x-(m-1)(m-3)=0. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm
x
1
, x
2
và biểu thức B=(x
1

+x
2
)x
2
đạt GTNN.
Dạng VI: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phơng trình bậc hai
không phụ thuộc vào tham số m.
1. Cách giải:
+ Chứng tỏ phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
+ Viết hệ thức Vi-ét
1 2
b
x x
a
+ =
(1)
1 2
.
c
x x
a
=
(2)
+ Từ (1) và (2) tìm cách khử m.
2. Bài tập áp dụng
Ví dụ 1: Cho phơng trình x
2

+(2m+1)x+m-1=0. Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
Giải:
Xét phơng trình x
2
+(2m+1)x+m-1=0.
Phơng trình có 2 nghiệm


=(2m+1)
2
-4(m-1)

0

4m
2
+4m+1-4m+4

0

4m
2
+5

0 với mọi m
Vậy phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x

1
, x
2
với mọi m
+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:
14
1 2
2 1x x m+ =
(1)
1 2
. 1x x m=
(2)
Từ (1) và (2)

x
1
+x
2
+2x
1
x
2
=-2m-1+2(m-1)

x
1
+x
2
+2x
1

x
2
=-3
Vậy hệ thức cần tìm là: x
1
+x
2
+2x
1
x
2
=-3
Ví dụ 2: Cho phơng trình x
2
-2(m-1)x+m-2=0. Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
Giải:
Xét phơng trình x
2
-2(m-1)x+m-2=0
Phơng trình có 2 nghiệm


=(m-1)
2
-(m-2) >0


m
2
-2m+1-m+2>0

m
2
-3m+3>0

2
3 3
( )
2 4
m +
>0 với mọi m
Vậy phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
với mọi m
+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:
1 2
2 2x x m+ =
(1)
1 2
. 2x x m=
(2)
Từ (1) và (2)

x
1

+x
2
-2x
1
x
2
=2m-2-2m+4=2

x
1
+x
2
-2x
1
x
2
=2
Vậy hệ thức cần tìm là: x
1
+x
2
-2x
1
x
2
=2
Ví dụ 3: Cho phơng trình x
2
-2mx+m
2

- 4=0. Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
Giải:
Xét phơng trình x
2
-2mx+m
2
- 4=0.
Phơng trình có 2 nghiệm


=m
2
-m
2
+4 >0

4>0 với mọi m
Vậy phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
với mọi m
+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:
1 2
2x x m+ =
(1)

2
1 2
. 4x x m=
(2)
Từ (1) và (2)

(x
1
+x
2
)
2

- 4x
1
x
2
=4m
2
- 4m
2
+16=16

(x
1
+x
2
)
2


- 4x
1
x
2
=16
Vậy hệ thức cần tìm là:

(x
1
+x
2
)
2

- 4x
1
x
2
=16
3. Bài tập thực hành
Giả sử các phơng trình sau có hai nghiệm x
1
, x
2
. tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
, x
2
15
không phụ thuộc vào m.

a) x
2
-(2-m)x+m
2
- 4=0
b) (m-4)x
2
-2mx+m- 4=0
c) x
2
-2(m+1)x+2m
2
- 2=0
d) (m-2)x
2
-2(m+4)x+m- 2=0
e) x
2
-(m+1)x+m+ 4=0
Dạng VII: Lập phơng trình bậc hai chứa hai nghiệm x
1
, x
2

1. Cách giải:
Tính S = x
1
+ x
2
P= x

1
x
2
Nếu S
2
- 4P

0 thì x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình X
2
- SX +P=0
2. Bài tập ứng dụng:
Ví dụ 1: Lập phơng trình có hai nghiệm lần lợt là:
2 5+
;
2 5
Giải:
Ta có S=
2 5+
+
2 5
=4
P=(
2 5+
)(
2 5
)=-1

Do S
2
-4P = 16+4=20>0
Vậy
2 5+
;
2 5
là hai nghiệm của phơng trình X
2
- 4X -1=0
Ví dụ 2: Chứng minh rằng tồn tại phơng trình bậc hai có hệ số nguyên và có 1
nghiệm là:
3 2
3 2

+
Giải:
Cho x
1
=
3 2
3 2

+
=
2
( 3 2)
5 2 6
3 2


=

Chọn x
2
=
5 2 6+
Ta có S =
5 2 6
+
5 2 6+
=10
P=(
5 2 6
)(
5 2 6+
)=1
Do S
2
-4P = 100-4=96>0
Vậy
5 2 6
;
5 2 6+
là hai nghiệm của phơng trình bậc hai X
2
- 10X +1=0 có hệ
số là nguyên.
Ví dụ 3: Cho phơng trình x
2
-5x+4=0 có hai nghiệm x

1
, x
2
. Hãy tìm một phơng
trình bậc hai có hai nghiệm lần lợt là: X
1
=x
1
+1; X
2
=x
2
+1
Giải:
Xét phơng trình x
2
-5x+4=0 có hai nghiệm x
1
, x
2
Theo Vi-ét ta có:
x
1
+x
2
=5
x
1
x
2

=4
Ta có S= X
1
+ X
2
=x
2
+1+x
1
+1=5
P= X
1
X
2
= (x
2
+1)(x
1
+1)= x
1
x
2
+(x
1
+x
2
)+1=4+5+1=10
Mà S
2
-4P = 7

2
-40=9>0
Vậy X
1
; X
2
là hai nghiệm của phơng trình bậc hai X
2
-7X+10=0
3. Bài tập thực hành
16
Bài 1: Lập phơng trình có hai nghiệm lần lợt là:
a)
2 3+
;
2 3
b)
4 5+
;
4 5
Bài 2: Chứng minh rằng tồn tại phơng trình bậc hai có hệ số nguyên và có một
nghiệm là
3 2
3 2

+
Bài 3: Cho phơng trình 2x
2
-7x+6 có hai nghiệm x
1

, x
2
. Hãy tìm một phơng
trình bậc hai có hai nghiệm X
1
; X
2
trong các trờng hợp sau:
a)
1 2
1 2
1 1
;X X
x x
= =
b) X
1
=x
1
+2; X
2
=x
2
+2
c)
1 1 2 2
1 2
1 1
;X x X x
x x

= + = +
Dạng VIII: Xác định dấu các nghiệm của phơng trình bậc hai
1. Cách giải:
Cho phơng trình: ax
2
+bx+c= 0 (a

0)
Phơng trình có 2 nghiệm


(

)

0 (ac<0)
Theo hệ thức Vi-et:
S = x
1
+x
2
= -
b
a
P = x
1
x
2
=
c

a
* Phơng trình bậc 2 có hai nghiệm trái dấu

P = x
1
x
2
=
c
a
<0
* Phơng trình bậc hai có hai nghiệm cùng dấu:

1 2
( ') 0
c
P = x x = >0
a






* Phơng trình bậc hai có hai nghiệm cùng dơng:

1 2
1 2
( ') 0
S= x + x 0

c
P = x x = >0
a
b
a





= >





* Phơng trình bậc 2 có 2 nghiệm cùng âm:
17

1 2
1 2
( ') 0
S= x + x 0
c
P = x x = >0
a
b
a






= <





Nếu bài toán yêu cầu tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc 2 thoả
mãn với điều kiện về dấu của các nghiệm ta giải các bất phơng trình trên ứng với
mỗi trờng hợp. Kết hợp trên trục số và so sánh điều kiện a

0.
2. Bài tập ứng dụng:
Ví dụ 1: Không giải phơng trình, hãy xác định dấu 2 nghiệm số của phơng trình
bậc hai sau:
a, 3x
2
-5x+7=0
b, x
2
+5x+6=0
c, x
2
-5x+6=0
d, 7x
2
-4x-1=0
Giải

a, Xét phơng trình: 3x
2
-5x+7=0

= 5
2
-4.3.7=25-84=-59<0
Phơng trình vô nghiệm
b, Xét phơng trình: x
2
+5x+6=0

= 5
2
-4.6=25-24=1>0
Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
,x
2
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
S = x
1
+x
2
= -5<0
P = x
1
x
2
= 6>0

Vậy phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
c, Xét phơng trình: x
2
-5x+6=0

= 5
2
-4.6=25-24=1>0
Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
,x
2
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
S = x
1
+x
2
= 5>0
P = x
1
x
2
= 6>0
Vậy phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt
d, Xét phơng trình: 7x
2
-4x-1=0
Ta có P = -
1
7

<0
Vậy phơng trình có hai nghiệm trái dấu
Ví dụ 2: Cho phơng trình: x
2
-2(m-1)+2m-5=0
18

=(m-1)
2
-2m+5=m
2
-4m+5=(m-2)
2
+1>0 (

m)
a, Phơng trình bậc hai có 2 nghiệm trái dấu

P<0


2m-5<0


m<
5
2
Vậy m<
5
2

thì phơng trình có 2 nghiệm trái dấu.
b, Phơng trình bậc hai có 2 nghiệm cùng dấu

P>0


2m-5>0


m>
5
2
Vậy m<
5
2
thì phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu.
c, Phơng trình bậc hai có 2 nghiệm dơng phân biệt

P>0


S>0

2 5 0
1 0
m
m
>



>



5
2
1
m
m

>



>



5
2
m >

Vậy
5
2
m >
thì phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt
d, Phơng trình bậc hai có 2 nghiệm âm phân biệt

P<0



S<0


2 5 0
1 0
m
m
>


<

Vậy không có giá trị nào của m thoả mãn để phơng trình có 2 nghiệm âm phân
biệt.
3. Bài tập thực hành:
Bài 1: Không giải phơng trình, hãy xác định dấu hai nghiệm số của phơng trình
bậc 2 sau:
a, x
2
+x+7=0
b, 2x
2
-3x-5=0
c, 3x
2
-3x-6=0
d, 3x
2

-6x+1=0
Bài 2. Cho phơng trình: mx
2
-2(m-1)+2m-5=0
a) Tìm điều kiện của m để phơng trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu.
b) Tìm điều kiện của m để phơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt cùng
dấu.
c) Tìm điều kiện của m để phơng trình bậc hai có hai nghiệm dơng phân biệt.
d) Tìm điều kiện của m để phơng trình bậc hai có hai nghiệm âm phân biệt.
19
III. Kết quả thực nghiệm:
Sau khi dạy xong cho học sinh phần kiến thức này và kết hợp với việc rèn luyện
giải một số bài tập tôi nhận thấy:
- Học sinh nắm chắc các vấn đề liên quan đến phơng trình bậc hai và hệ thức
Vi-ét.
- Học sinh biết phân biệt và nhận dạng từng loại bài tập và vận dụng linh hoạt
đợc kiến thức đã học để giải toán
- Học sinh làm bài và trình bày bài khoa học, lập luận chặt chẽ.
- Kết quả kiểm tra 20 em học sinh
Trớc khi áp dụng chuyên đề Sau khi áp dụng chuyên đề
Điểm trên Tb 11/20 15/20
Điểm dới Tb 9/20 5/20
Phần III: bài học Kinh nghiệm
* Đối với giáo viên: Cần xác định rõ từng dạng toán đồng thời phài thấy đợc
mối quan hệ của những bài tập mà mình cần chuẩn bi cho học sinh với trình tự hợp
lí và lôgíc.
- Phải dẫn dắt học sinh đi từ bài dễ đến bài khó, từ bài cơ bản đến bài nâng cao,
cùng một bài toán ta có thể cho nhiều câu hỏi khác nhau đòi hỏi học sinh phải suy
nghĩ đa về dạng đã biết.
- Phải hớng dẫn học sinh phơng pháp giải hợp lí, nhanh gọn dễ hiểu.

* Đối vơi học sinh:
- Rèn luyện ý thức tự giác suy nghĩ.
20
- Phải say sa tìm hiểu nghiên cứu và sáng tạo ttrong giải toán.
* Đối với nhà trờng
- Cần phân loại học sinh để giáo viên chọn kiến thức phù hợp và có phơng pháp
dạy hợp lí.
- Tổ chức các buổi thảo luận chuyên môn để trao đổi và xây dựng chuyên đề,
sáng kiến kinh nghiệm.
- Tổ chức dạy thực nghiệm chuyên đề, kinh nghiệm ở các lớp để tìm ra phơng
pháp dạy hợp lí.
Phần IV: Kết luận
Trên đây là một số vấn đề về phơng trình bậc hai hay gặp ở Đại số lớp 9. Tuy
rằng cha phải là đầy đủ nhất song đó là những vấn đề cơ bản, là nền tảng cho việc
suy nghĩ và giải quyết mọi bài toán có liên quan đến phơng trình bậc hai- Định lí
Vi-ét.
Trong thực tế dạng toán này rất đa dạng vì điều kiện thời gian và sự tiếp nhận
kiến thức của học sinh và năng lực của bản thân còn nhiều hạn chế nên nội dung
chuyên đề cha đợc phong phú. Rất mong các cấp lãnh đạo, ban giám khảo và các
bạn đồng nghiệp đóng góp, xây dựng ý kiến để chuyên đề đợc hoàn thiện hơn, có
tính khả thi hơn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn!
Phần V: Hạn chế- kiến nghị - đề xuất
1. Hạn chế
- Học sinh: Tỉ lệ học sinh khá giỏi cha cao, nên khả năng biến đổi các biểu
thức và vận dụng tính chất về bắt đẳng thức cha nhanh do đó việc giải phơng trình
chứa tham số vận dụng hệ thức Vi-ét còn chậm dù các em đã biết phơng pháp và
cách giải.
- Giáo viên: Cha có nhiều thời gian và trình độ còn có hạn nên cha đa ra các bài
tập phong phú và khai thác triệt để các cách giải của cùng một bài toán.Do đó

chuyên đề còn cha đợc hoàn thiện, mong sự giúp đỡ của các đồng nghiệp.
2. Kiến nghị, đề xuất
21
- Đối với sách giáo khoa cần tăng thời lợng về phơng trình bậc hai có chứa
tham số. Đa thêm một số bài toán có ứng dụng hệ thức Vi-ét vào sách giáo khoa.
- Đối với giáo viên: Cần định hớng cho học sinh thấy đợc tầm quan trọng của
hệ thức Vi-ét trong môn đại số và ứng dụng của nó trong giải toán.
- Đối với nhà trờng: Tạo điều kiện về mặt thời gian cũng nh tài liệu để các
đồng chí giáo viên có thể đầu t vào công việc giảng dạy tốt hơn.
Tôi rất mong đợc sự góp ý của các đồng nghiệp.
Tôi xin trân trọng cảm ơn!

Mục lục
Trang
Phần I: Đặt vấn đề
1
I. Lí do chọn chuyên đề 1
1.Cơ sở thực tiễn 1
2. Cơ sở tâm lí 2
3. Cơ sở giáo dục 2
II. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2
1. Mục đích nghiên cứu 2
2. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
III. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu
2
IV. Các phơng pháp nghiên cứu
2
1. Phơng pháp nghiên cứu lí luận 2
2. Phơng pháp thực nghiệm 2
3. Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm 2

Phần II: Nội dung
3
I. Hệ thống các kiến thức cần nhớ
3
II. Các bài tập ứng dụng 4
Dạng I: Không giải phơng trình hãy tính tổng và tích hai nghiệm 4
22
Dạng II. Kiểm tra một số x=x
0
có phải là nghiệm của phơng trình
bậc hai không? Nếu phải hãy tính nghiệm còn lại
5
Dạng III.Tìm giá trị của tham số m để phơng trình bậc hai có một
nghiệm cho trớc. Tính nghiệm còn lại.
6
Dạng IV. Không giải phơng trình hãy tính giá trị của một biểu
thức giữa các nghiệm của phơng trình bậc hai
8
Dạng V. Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm thoả
mãn hệ thức cho trớc.
10
Dạng VI.Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phơng trình bậc
hai không phụ thuộc vào tham số m.
15
Dạng VII. Lập phơng trình bậc hai cho trớc hai nghiệm 17
Dạng VIII. Xác định đấu các nghiệm của phơng trình bậc hai 18
III. Kết quả thực nghiệm
21
Phần III: Bài học kinh nghiệm
21

Phần IV: Kết luận
22
Phần V: Hạn chế- kiến nghị- đề xuất
22

Tài liệu tham khảo
1. Sách giáo khoa, sách bài tập toán 9 - Nhà xuất bản giáo dục
2. Sách ôn tập đại số 9
3. Bài tập nâng cao Toán lớp 9
4. Tự luyện phơng trình đại số theo chủ đề- Nguyễn Đức Tấn
23