Kinh nghiệm giảng dạy “ PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN – GTNN CỦA MỘT BIỂU THỨC
“
MỘT PHƯƠNG PHÁP TIM GTLN-GTNN CỦA BIỂU THỨC
I . PHƯƠNG PHÁP 1
1 ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC
2 2 2
2 ( )A AB B A B± + = ±
để biến đổi biểu thức đưa về dạng :
* A = m +
[ ]
2
( )f x
≥
m suy ra minA = m khi f(x) =0
* B = n -
[ ]
2
( )f x
≥
n suy ra max B = n khi f(x) = 0
Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất các biểu thức sau :
a) A = 4x
2
+ 4x + 11
b) B = (x -1) (x+ 2 ) ( x + 3 ) ( x +6 )
c) C = x
2
– 2x + y
2
– 4y +7
Giải

a) A = 4x
2
+ 4x + 11 = (2x + 1)
2
+ 10
≥
10
=> min A = 10 khi x = -0,5
b) B = (x -1) (x+ 2 ) ( x + 3 ) ( x +6 )
= ( x
2
+ 5x – 6 )( x
2
+5x +6 )
= (x
2
+ 5x )
2
- 36
≥
- 36
suy ra min B = - 36 khi x = 0 hay x = -5
c) C = ( x
2
-2x + 1 ) + (y
2
– 4y + 4 ) + 2
= ( x - 1 )
2
+ ( y – 2 )

2
+ 2
≥
2
Suy ra minC = 2 khi x – 1 = 0 và y- 2 =0 suy ra x = 1 và y = 2
Ví dụ 2 Tìm giá tri lớn nhất các biểu thức
a) A = 5 - 8x – x
2

b) B = 5 – x
2
+ 2x – 4y
2
– 4y
Giải
a) Ta có A = - ( x
2
+ 8 x + 16 ) + 21
= - ( x + 4 )
2
+ 21
≤
21
=> max A = 21 khi x = -4

b) Ta có B = - ( x
2
- 2 x + 1 ) – ( 4y
2
+4y + 1 ) + 7

= - ( x - 1 )
2
- ( 2y + 1 )
2
+ 7
≤
7
=> max B = 7 khi x = 1 và y = - 0,5
Bài tập tương tự : Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất các biểu thức sau
a) M = x
2
+ 5y
2
-2xy +4y + 3
b) N = x
2
– 4xy + 5 y
2
+ 10 x - 22y +28
Lê Quốc Tuấn - Trường THCS BùiTh X uân
Trang
1
Kinh nghiệm giảng dạy “ PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN – GTNN CỦA MỘT BIỂU THỨC
“
c) P =
2
3
4
x x− + +


d) Q =
4 2 2
4 4 ( 1) ( 1) 9x x x x− + + + +
II . PHƯƠNG PHÁP 2
2. ÁP DỤNG TÍNH CHẤT

x y x y
x y x y
+ ≥ +
− ≤ −
Để tìm GTNN hay GTLN dấu “=” xảy ra khi x.y
≥
0
Ví dụ Tìm giá trị nhỏ nhất ,lớn nhất biểu thức

2 2
2 5 2 1
1 2 3
3 5 3 7
4 1975 4 2005
A x x
B x x x
C x x
D x x
= − + +
= − + − + −
= + − +
= − − − +
Bài giải
a)

2 5 2 1 2 5 1 2 2 5 1 2 4 4A x x x x x x= − + − = − + − ≥ − + − = − =
suy ra min A =4 khi (2x- 5 ).(1 – 2x )
≥
0 <=>
1 3
2 2
x≤ ≤

b)
1 2 3B x x x= − + − + −
Ta có
1 3 1 3 1 3 2 2x x x x x x− + − = − + − ≥ − + − = =
Dấu“ = “ xảy ra khi ( x- 1) (x -3)
≥
0
1 3x⇔ ≤ ≤

Mà
2x −
nhỏ nhất khi x = 2
Vậy min B = 2 khi x = 2

c) Ta có
3 5 3 7 (3 5) (3 7) 12C x x x x= + − − ≤ + − − =
Dấu “ = “ xảy ra <=> 3x + 5
7
3 7 0
3
x x
−

≤ + ≤ ⇔ ≤
Vậy max C = 12
7
3
x
−
⇔ ≤
d) Ta có D =
2 2 2 2
2 2
4 1975 4 2005 4 1975 4 2005
(4 1975) (4 2005) 50
x x x x
x x
− − − + = − − −
≤ − − − =
Lê Quốc Tuấn - Trường THCS BùiTh X uân
Trang
2
Kinh nghiệm giảng dạy “ PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN – GTNN CỦA MỘT BIỂU THỨC
“
Dấu “ =” xảy ra <=> 4x
2
– 1975
≥
4x
2
- 2005
≥
0 <=>

45
2
45
2
x
x
−

≤



≥


Vậy max D = 50 khi và chỉ khi
45
2
45
2
x
x
−

≤



≥



Chú ý : Khi sử dụng phương pháp trên lưu ý các trường hợp sau
1. Nếu
y x a x b= − + −
với (a < b) thì Min y = b – a khi a
≤
x
≤
b
2. Nếu
y ax b ax c= − + −
với ( b < c) thì Min y = c - b khi
b c
x
a a
≤ ≤

3. Nếu
y ax b ax c= + + +
với ( b < c ) thì Min y = c - b khi
c b
x
a a
≤ ≤

III. PHƯƠNG PHÁP 3
3. ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC

*
*

a b a b
a b a b
− ≤ −
+ ≥ +
Để tìm GTLN dấu “ = “ xảy ra khi b(a-b) = 0 <=> b = 0 hay a = b
Để tìm GTNN dấu “ = “ xảy ra khi a.b = 0 ,=> a = 0 hay b = 0
Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a)
1 8A x x= + − −
b)
12 2006 2 2007B x x= − − −
Bài giải

a) Ta có
1 8 ( 1) ( 8) 9 3A x x x x= + − − ≤ + − − = =
Dấu “ =” xảy ra khi x – 8 = 0 => x = 8
Vậy max A = 3 khi x = 8
b) Ta có
12 2006 2 2007B x x= − − −

(2 2006) (2 2007) 1x x≤ + − − =

Dấu “ =” xảy ra khi 2x- 2007 = 0 => x =
2007
2
Lê Quốc Tuấn - Trường THCS BùiTh X uân
Trang
3
Kinh nghiệm giảng dạy “ PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN – GTNN CỦA MỘT BIỂU THỨC
“

Vậy max B = 1 khi x =
2007
2
Ví dụ Tìm gía trị nhỏ nhất của biểu thức
a)
3 5A x x= − + −
b)
5 5
19 1890 19 2010B x x= − + − +
Bài giải
a) ĐKXĐ :
3 5x≤ ≤
Ta có
3 5 ( 3) (5 ) 2A x x x x= − + − ≥ − + − =
Dấu “ = “ xảy ra khi x = 3 hoăc x = 5
Suy ra min A =
2
khi x = 3 hay x = 5
b) Tương tự như câu a
IV . PHƯƠNG PHÁP 4
4. AP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC Cô Si
Với a
≥
0 , b
≥
0

2 .a b a b+ ≥
dấu “ = “ xảy ra khi a = b
Từ bất đẳng thức trên ta có

+ Nếu a.b = k ( không đổi ) thì min ( a + b ) =
2 k
⇔
a = b
+ Nếu a + b = k ( Không đổi ) thì max (a,b) =
2
4
k
a b⇔ =
*Mở rộng bất đẳng thức CôSi cho n số a
1
,a
2
,a
3
, a
n
không âm
a
1
+ a
2
+ a
3
+ + a
n

≥

1 2 3

. .
n
n
n a a a a
dấu “ = “ xảy ra khi a
1
= a
2
= a
3
=
= a
n

Từ bất đẳng Cô Si mở rộng ta có
+ Nếu a
1
.a
2.
a
3
a
n
= k ( không đổi ) thì min ( a
1
+ a
2
+ a
3
+ +a

n
) =
n
n
k
<=> a
1
= a
2
= a
3
= = a
n

+ nếu a
1
+ a
2
+ a
3
+ +a
n
= k ( Không đổi ) thì max (a
1
.a
2.
a
3
a
n

) =
n
k
n
 
 ÷
 
<=> a
1
= a
2
= a
3
= = a
n

Dạng 1 : Tìm GTLN của biểu thức có dạng A =
( ) ( )f x g x+
bậc f(x) và g(x) bằng
nhau
Phương pháp giải : Ta tìm GTLN bình phương của biểu thức đó .Sau đó áp dung
BĐTCô Si
Lê Quốc Tuấn - Trường THCS BùiTh X uân
Trang
4
Kinh nghiệm giảng dạy “ PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN – GTNN CỦA MỘT BIỂU THỨC
“
Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất biểu thức A =
3 5 7 3x x− + −
Bài giải

ĐKXĐ :
5 7
3 3
x≤ ≤
Ta có A
2
= (3x - 5 ) + ( 7 – 3x ) +2
(3 5)(7 3 )x x− −

2
2 (3 5) (7 3 ) 4A x x⇔ ≤ + − + − =
Dấu “ = “ xảy ra khi 3x - 5 = 7 - 3x <=> x = 2
Vậy max A
2
= 4 khi x = 2
Do đó Max A = 2 khi x = 2
Kết luận : Nếu biểu thức M =
n n
ax b c ax± + −
Với ( b < c ) thì
Max M
2
= 2 ( c
±
b ) khi
2
n
c b
x
a

±
=
Suy ra Max M =
2( )c b±
) khi
2
n
c b
x
a
±
=
Dạng 2 : Tìm GTLN của biểu thức có dạng A
( )
( )
f x
g x
=
bậc f(x) bằng bậc g(x)
Phương pháp giải : Nhân và chia f(x) với cùng một số khác 0 , sau đó áp dung BĐT
Cô Si
Ví dụ : Tìm GTLN của biểu thức A =
9
5
x
x
−
Bài giải :
ĐKXĐ : x
≥

9
Ta có
9
1 9
.3
( 3)
9 1
3
2 3 3
5 5 5 10 30
x
x x
x
A
x x x x
−
−
+
−
= = ≤ = =
Dấu “ = “ xảy ra khi
9
3 18
3
x
x
−
= ⇔ =

Vậy max A =

1
30
khi x = 18
Kết luận : Nếu biểu thức N =
n
n
ax b
cx
−
thì Max N =
2
a
c b
khi x
n
=
2b
a

Dạng 3 : Tìm GTNN của biểu thức có dạng A =
( )
( )
f x
g x
bậc của f(x) lớn hơn bậc
g(x)
Lê Quốc Tuấn - Trường THCS BùiTh X uân
Trang
5
Kinh nghiệm giảng dạy “ PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN – GTNN CỦA MỘT BIỂU THỨC

“
Phương pháp giải : Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao
cho tích của chúng là hằng số ( Tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử
bằng nhau ) , rồi áp dụng BĐT Cô Si
Ví dụ Cho x > 0 , Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a)
4
3
3 16x
A
x
+
=

b)
2
2 17
2( 1)
x x
B
x
+ +
=
+

c)
2
2 6 5
2
x x

C
x
− +
=
Bài giải
a) Ta có A = 3x +
3
16
x
= x + x + x +
3
16
x
4
3
16
4 . . . 4.2 8x x x
x
≥ = =

Dấu “ = “ xảy ra khi
3
16
2x x
x
= ⇔ =

Vậy Min A = 8 khi x = 2
b)Ta có
2

2 17
2( 1)
x x
B
x
+ +
=
+

2
( 1) 16 1 8 1 8
2 . 2.2 4
2( 1) 2 1 2 1
x x x
x x x
+ + + +
= = + ≥ = =
+ + +
Dấu “ =” xảy ra khi
2
1 4 5
1 8
( 1) 16
1 4 3
2 1
x x
x
x
x x
x

+ = − = −
 
+
= ⇔ + = ⇔ ⇔
 
+ = =
+
 
x = -5 ( loại )
Vậy min B = 4 khi x = 3
c) Tương tự như câu a, b
Bài tập tự giải : Tìm giá tri nhỏ nhất các biểu thức
a) A
2 2
1,2x x y
x y
+ +
=
−
với x > y và x.y = 5
b) B =
4
3
x
x −
với x > 0
c) C =
2
1
x

x +
Dạng 4 : Tìm GTLN của biểu thức dạng : N = f(x) . g(x) ; bậc f(x) bằng bậc g(x)
Phương pháp giải : - Biến đổi f(x) + g(x) = k ( k hằng số )
Lê Quốc Tuấn - Trường THCS BùiTh X uân
Trang
6
Kinh nghiệm giảng dạy “ PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN – GTNN CỦA MỘT BIỂU THỨC
“
- Áp dụng BĐT CôSi
2
( )
.
4
a b
a b
+
≤

- Dấu “ = “ xảy ra khi a = b
Ví dụ : Tìm GTLN các biểu thức
a) P = x
3
( 16 - x
3
)
b) Q = ( 1 – x ) ( 2x - 1 ) với 0,5 < x < 1
Bài giải
a) Ta có P = x
3
( 16 - x

3
)
2
3 3
2
(16 )
16
64
4 4
x x
 
+ −
 
≤ = =
dấu “ =” xảy ra khi x
3
= 16 - x
3
<=> x
3
= 8 <=> x = 2
Vậy max P = 64 khi x = 2
b) Ta có Q = ( 1 – x ) ( 2x - 1) =
2
(2 2 )(2 1) 1 (2 2 2 1) 1
2 2 4 8
x x x x− − − + −
≤ =
Dấu “ = “ xảy ra khi 2 – 2x = 2x – 1
3

4
x⇔ =
Vậy max Q =
1
8

3
4
x⇔ =
Dạng 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức có dạng A = f(x) + g(x)
Phương pháp giải : Biến đổi biểu thức thành tổng các biểu thức sao cho tích của
chúng không đổi
( tách một hạng tử chứa biến thành tồng của một hằng số với một hạng tử này
là nghịch đảo của một hạng tử khác có trong biểu thức đã cho , có thể sai
khác một hằng số )
Ví dụ : Cho 0 < x < 12 Tìm GTNN của biểu thức A =
9 2
2
x
x x
+
−
Bài giải
Ta có A =
9 2 9 2 9 2
1 2 . 1 2.3 1 7
2 2 2
x x x x x
x x x x x x
− −

+ = + + ≥ + = + =
− − −
Dấu “ = “ xảy ra khi
9 2 1
2 2
x x
x
x x
−
= ⇔ =
−
Vậy Min A = 7 khi x =
1
2
Bài tập tương tự : Cho x > 1 , tìm GTNN của các biểu thức sau
a) M=
1
1
x
x
+
−
b) N =
25
4
1
x
x
+
−

c) P =
12 16
5 3x y
x y
+ + +

(với x,y >0 và x + y > 6 )
Lê Quốc Tuấn - Trường THCS BùiTh X uân
Trang
7
Kinh nghiệm giảng dạy “ PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN – GTNN CỦA MỘT BIỂU THỨC
“
V . PHƯƠNG PHÁP 5
5.ÁP DUNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI LÀ :

0∆ ≥
(
' 0∆ ≥
)
Dấu “ = “ xảy ra khi phương trình có nghiệm kép x =
2
b
a
−
, ( x =
'b
a
−
) Để tìm
GTLN , GTNN của biểu thức

Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất các biểu thức sau :
a) A = 5x
2
- 4x + 1
b) B =
2
2
2 1
2 1
x x
x x
+ +
− +
Bài giải
a) Gọi a là một giá trị của biểu thức A
Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình 5x
2
– 4 x + 1 = a có
nghiệm
<=> 5x
2
– 4 x + 1 - a = 0 (*) có nghiệm
<=>
1
' 5 1 0
5
a a∆ = − ≥ ⇔ ≥
Vậy min A =
1
5

⇔
phương trình (*) có nghiệm kép x =
2
5
b) ĐKXĐ : x
≠
1
Gọi a là một giá trị của B , phương trìn h
2
2
2 1
2 1
x x
x x
+ +
− +
= a (1) phải có nghiệm
Pt (1) <=> (a – 1 ) x
2
- (2a – 1 ) x + (a + 1) = 0 (2)
- Nếu a = 1 thì x = 0
- Nếu a
≠
1 thì (2) là phương trình bậc hai
∆
= ( 2a – 1 )
2
-4(a-1) = 4a - 3
Phương trình (2) có nghiệm khi
∆

≥
0 <=> 4a – 3
≥
0
3
4
a⇔ ≥
Vậy minB =
3
4
khi phương trình (2) có nghiệm kép x = -1
Bài tập tương tự
Tìm GTNN , GTLN các biểu thức sau
a) P =
2
4 3
1
x
x
−
+
b) Q =
2
2
2 1
2 3
x x
x x
+ −
− +

c) R =
2
( 2009)
x
x +
Lê Quốc Tuấn - Trường THCS BùiTh X uân
Trang
8
Kinh nghiệm giảng dạy “ PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN – GTNN CỦA MỘT BIỂU THỨC
“
Còn nữa hẹn lần sau
Lê Quốc Tuấn - Trường THCS BùiTh X uân
Trang
9