Bài giảng: Sức bền vật liệu
Chơng 7
Xoắn thuần tuý thanh thẳng
7.1 Khái niệm cơ bản
7.1.1 Định nghĩa
Một thanh chịu xoắn thuần tuý khi trên mọi mặt cắt ngang của nó chỉ có một
thành phần nội lực là mô men xoắn M
Z
.
Ví dụ trong thực tế ta thờng gặp nhiều bộ phận của chi tiết máy hay công trình
làm việc ở trạng thái chịu xoắn nh mũi khoan, trục truyền động, các thanh trong
kết cấu không gian, dây lò xo . . .
7.1.2. Mô men xoắn ngoại lực.
Ngoại lực làm cho thanh chịu xoắn có thể là những mômen tập trung hoặc
mômen phân bố tác động trong những mặt phẳng vuông góc với trục của thanh
và nó thờng đợc cho ở 2 dạng:
* Ngoại lực xoắn phân bố (ví dụ nh mũi khoan khoan vào chi tiết)
* Ngoại lực xoắn tập trung thờng cho ở các dạng sau:
- Ngẫu lực.
- Dời các lực vòng ở các bánh răng, bánh đai. . .
- Công suất truyền của động cơ N(kw) và tốc độ vòng quay của trục
n(vòng/phút). Khi đó mô men ngoại lực đợc xác định nh sau:
+ Điểm đặt các mô men tại các puli truyền lực.
+ Chiều mô men có chiều trùng với tốc độ vòng quay đối với puli chủ
động và ngợc với tốc độ vòng quay đối với puli bị động.
+ Giá trị mô men đợc xác định theo biểu thức:
( )
( )
( )
m.N
n

kwN
9550M
vòng/phút
=
7.1.3.Mô men xoắn nội lực.
Nội lực khi xoắn thuần tuý là mô men xoắn Mz. Mômen xoắn nội lực Mz có
đơn vị là N.m, N.cm và đợc xác định bằng phơng pháp mặt cắt.
Dấu của Mz đợc quy ớc nh sau: Mang dấu dơng khi nhìn vào mặt cắt của phần
đang xét thấy M
z
quay cùng chiều quay của kim đồng hồ. Ngợc lại thì mang dấu
âm.
Trang: 81
M
M
Hớng nhìn
M
M
z
Bài giảng: Sức bền vật liệu
* Biểu đồ nội lực M
z
.
Để tính toán một thanh chịu xoắn ta cần phải vẽ biểu đồ mômen xoắn M
z
để
xác định đợc mặt cắt có nội lực lớn nhất.
Biểu diễn mô men xoắn nội lực thay đổi dọc theo chiều trục thanh ta đợc biểu
đồ mô men xoắn M
z

.
Để vẽ đợc biểu đồ nội lực M
z
ta cũng phải dùng phơng pháp mặt cắt. Trình tự
vẽ biểu đồ mômen xoắn M
z
cũng hoàn toàn tơng tự nh khi tiến hành vẽ biểu đồ
của các thành phần nội lực khác.
Ví dụ: Vẽ biểu đồ mô men xoắn nội lực M
z
cho sơ đồ chịu lực sau:
Cho: M
1
= 200 N.m ; M
3
= 800 N.m ; M
4
= 350 N.m
Giải:
Bỏ qua ma sát ở các ổ trục. Ta có phơng trình cân bằng:
M
3
- M
1
M
2
M
4
= 0.
M

2
= M
3
M
1
M
4
= 250 N.m
+ Xét đoạn AB: Dùng mặt cắt 1-1 để cắt thanh, giữ lại phần bên trái để khảo sát.
Ta có phơng trình cân bằng:
M
1
M
Z1
= 0
M
Z1
= M
1
= 200 N.m
Nhìn vào mặt cắt ta thấy M
Z1
quay ngợc chiều kim đồng hồ. Vậy:
Trang: 82
M
1
M
2
M
4

M
3
A
1
2
2
3
3
D
CB
1
M
Z
(N.m)
-
450
200
350
+
-
M
1
M
Z1
A
1
1
Bài giảng: Sức bền vật liệu
M
Z1

= - 200 N.m
+ Xét đoạn AC: Dùng mặt cắt 2-2 cắt thanh và khảo sát phần bên trái. Ta có ph-
ơng trình cân bằng:
M
1
+ M
2
M
Z2
= 0
M
Z2
= M
1
+ M
2
= 200 + 250 = 450 N.m
Nhìn vào mặt cắt ta thấy M
Z2
quay ngợc chiều kim đồng hồ.
Vậy ta có: M = - 450 N.m
+ Xét đoạn CD: Dùng mặt cắt 3-3 cắt thanh và giữ phần bên phải để khảo sát. Ta
có phơng trình:
M
Z3
M
4
= 0
M
Z3

= M
4
= 350 N.m
Nhìn vào mặt cắt ta thấy M
Z3
quay thuận chiều kim đồng hồ. Vậy ta có:
M
Z3
= +350 N.m
Biểu đồ M
Z
đợc biểu diễn trên hình vẽ.
* Nhận xét: Tại chỗ có mô men tập trung (điểm A, B, C, D) biểu đồ mô men xoắn
M
Z
có bớc nhảy. Trị số bớc nhảy chính bằng trị số các mô men xoắn tập trung.
7.2 Xoắn thuần tuý thanh mặt cắt tròn
7.2.1 Thí nghiệm và giả thuyết.
Trang: 83
D
M
4
M
Z3
3
3
M
1
M
2

M
Z2
A
2
2
B
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Xét một mẫu thanh mặt cắt tròn, ta kẻ các đờng song song với trục của thanh
đặc trng cho thớ dọc và kẻ các đờng
vuông góc với trục của thanh đặc trng
cho mặt cắt ngang. Các đờng này tạo
nên lới hình ô vuông (hình vẽ).
Tác dụng mô men xoắn M ta thấy
các đờng vuông góc với trục của
thanh vẫn vuông góc, các đờng song song với trục của thanh bị lệch xiên đi (hình
vẽ). Nhng khoảng cách giữa các đờng vòng quanh chu vi, khoảng cách giữa các đ-
ờng sinh, đờng kính d của mặt cắt và chiều dài l của thanh không thay đổi.
Qua nhiều lần thí nghiệm ngời ta đa ra các giả thuyết sau:
* Giả thuyết 1: Mặt cắt ngang trớc và sau biến dạng vẫn phẳng và vuông góc
với trục thanh, khoảng cách giữa các mặt cắt ngang không thay đổi.
* Giả thuyết 2: Trong quá trình biến dạng các thớ dọc không tác dụng lẫn
nhau và bán kính mặt cắt ngang vẫn thẳng và có độ dài không đổi.
Ngoài ra ngời ta còn giả thiết: Vật liệu vẫn làm việc trong giai đoạn đàn hồi,
tức là tuân theo định luật Húc:

.G=
;

E=
7.2.2 ứng suất trên mặt cắt ngang.

Dựa vào các giả thuyết ta thấy:
- Theo giả thuyết 1 thì trên mặt cắt ngang không có thành phần ứng suất
pháp vì khoảng cách giữa các mặt cắt ngang không thay đổi. Nh vậy trên mặt cắt
ngang chỉ có thành phần ứng suất tiếp.
Trang: 84
M
M
l
Bài giảng: Sức bền vật liệu
- Theo giả thuyết 2, do các thớ dọc
không tác dụng lẫn nhau nên trên mặt cắt
song song với trục của thanh không thể có
thành phần ứng suất pháp. Vậy chứng tỏ
phân tố ở trạng thái ứng suất trợt thuần tuý.
Xét một thanh tròn chịu xoắn thuần tuý (hình vẽ).
Ta tởng tợng dùng 2 mặt cắt 1-1 và 2-2 cắt thanh và tách ra 1 phân tố vô cùng
bé có chiều dài là dz. Tại điểm A trên mặt cắt, lấy xung quanh A một phân tố
diện tích dF vô cùng bé đợc tạo bởi 2 tia hợp nhau 1 góc d và 2 vòng tròn đồng
tâm có bán kính là và - d. Phân tố có bề dày là dz (hình vẽ).
Xét 1 điểm K trên phân tố vừa tách ra ta thấy sau khi chịu xoắn thì đờng sinh
IK bị xoay đi thành I
K'
một góc


và


đợc gọi là góc trợt tơng ứng với bán
kính

Giả sử phơng của ứng suất tiếp là bất kỳ nên ta phân nó làm 2 thành phần,
một thành phần vuông góc với bán kính và một thành phần song song với bán
kính. Ta thấy trên mặt cắt ngang chỉ có thành phần ứng suất tiếp vuông góc với
bán kính còn thành phần hớng kính thì bằng không (vì theo giả thuyết 2 bán kính
không thay đổi). Vậy ta chỉ có thành phần ứng suất tiếp vuông góc với bán kính.
Trên hình vẽ ta thấy vi phân nội lực tác dụng lên diện tích vô cùng bé dF là
dF.


. Lực này gây nên 1 vi phân mô men đối với trục z là dM
z
= .
dF.


.
Trang: 85

- d
dF
z
A
dz
1 2
1 2
dz
M
M
I
K'



- d

d
d
z
M
Z
K
dz

1


2
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Vậy có:

=
F
z
dF.M


Theo định luật Húc ta có:

.G=
Trong đó:
+ G là hằng số phụ thuộc vào vật liệu gọi là mô đun đàn hồi trợt.

Đối với thép có G = 0,8.10
6
N/cm
2
+ đợc gọi là góc trợt.
Trên hình vẽ ta có:
dz
d
IK
KK'
tg



==
Vậy có:
(*)
dz
d
.G



=

==
F
2
F
2

z
dF
dz
d
GdF.
dz
d
.GM



Hay:
Pz
J
dz
d
.GM

=
(**)
GJ
M
dz
d
P
z
=

Trong đó d là góc xoắn tuyệt đối ứng với chiều dài dz.
Đặt:

dz
d


=
gọi là góc xoắn tỷ đối.
Vậy có:
Thay (**) vào (*) có:
Đây là công thức xác định ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang.
7.2.3 Biểu đồ ứng suất tiếp và mặt cắt hợp lý.
a. Biểu đồ ứng suất tiếp.
Trang: 86
P
z
GJ
M
=



.
J
M
P
z
=
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Dựa vào biểu thức xác định ứng suất tiếp:



.
J
M
P
z
=
ta thấy ứng suất tiếp
phân bố bậc nhất theo bán kính .
Ta thấy:
+ Khi = 0 (tâm mặt cắt) thì = 0.
+ Khi = R(tại chu vi vòng tròn) thì:
P
z
P
z
max
P
z
max
W
M
R
J
M
.
J
M
===

Trong đó

R
J
W
P
P
=
gọi là mô men chống xoắn của mặt cắt ngang. Mô men
chống xoắn có đơn vị là cm
3
, m
3
. . .
Biểu đồ ứng suất tiếp đợc biểu diễn trên hình vẽ.
* Mô men chống xoắn của một số hình đơn giản.
- Hình tròn có đờng kính D = 2R.
J
P
= 0,1D
4
W
P
= 0,2D
3
- Hình vành khăn:
Tơng tự có:
W
P
= 0,2D
3
(1 -

4
)
b. Mặt cắt hợp lý.
Trang: 87
M
Z

R

max
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Dựa vào biểu đồ phân bố ứng suất tiếp ta thấy tại chu vi mặt cắt ( =
max
) thì
vật liệu làm việc nhiều nhất (do =
max
), càng
vào trong thì chịu lực càng ít dần. Tới tâm ( =
0) thì không chịu lực.
Từ những nhận xét trên mà ngời ta có xu hớng chuyển phần vật liệu phía
trong ra ngoài để tăng cờng khả năng chịu lực. Đó là mặt cắt có dạng hình vành
khăn nh hình vẽ.
Ta có:
J
P
= 0,1D
4
(1 -
4
)

2
D
max
=

W
P
= 0,2D
3
(1 -
4
)
Với
D
d
=

7.2.4 ứng suất trên mặt cắt xiên.
Xét một phân tố vô cùng bé trong thanh tròn chịu xoắn. Ta thấy phân tố đó ở
trạng thái trợt thuần tuý.
Xét một mặt cắt nghiêng có diện tích là dF hợp với mặt cắt ngang của phân tố
một góc (hình vẽ). Diện tích của mặt ngang của phân tố là dF.sin và của mặt
đứng là dF.cos.
Chiếu các véc tơ lên phơng của

ta có:

0cos.dFcos.sin.dFsin.dF. =+




Trang: 88

max
D
d
M
Z



n




dF


Bài giảng: Sức bền vật liệu
( )




.
2
2cos1
2
2cos1

.sincos
22








+
==
Vậy có:
Ta thấy với = 0 cos2 = 1

=
max
=
Vậy mặt cắt ngang là mặt có ứng suất tiếp lớn nhất.
7.2.5 Biến dạng xoắn.
Khi chứng minh công thức ứng suất tiếp, ta có:
P
z
GJ
M
dz
d
==



Trong đó là góc xoắn tỷ đối, đó là góc xoắn giữa 2 mặt cắt cách nhau 1 đơn
vị chiều dài.
Từ biểu thức trên có:
dz
GJ
M
d
P
z
=



Từ đó có:
Đây là công thức tổng quát xác định góc xoắn tuyệt đối của thanh có chiều
dài l.
Trong đó là góc xoắn tuyệt đối và GJ
P
gọi là độ cứng chống xoắn.
Nếu trong một đoạn thanh có chiều dài l và có M
z
= const, GJ
P
= const thì:
P
z
GJ
.M l
=


Nếu trong thanh có nhiều đoạn chiều dài l và trong từng đoạn có M
z
= const và
GJ
P
= const thì:

=
=
n
1i
P
Z
i
i
GJ
M
i
l

Trong các biểu thức trên thì dấu của phụ thuộc vào dấu của M
Z
và có đơn
vị là Rad.
7.2.6. Dạng phá hỏng của thanh tròn chịu xoắn.
Khi xoắn thanh thẳng mặt cắt tròn trong thực tế thờng gặp hiện tợng sau:
- Đối với vật liệu dòn: Đờng phá hỏng là đờng xiên mà tiếp tuyến của nó hợp với
trục thanh 1 góc 45
0
.

Trang: 89


2cos.=

=
l
0
P
z
dz
GJ
M

Bài giảng: Sức bền vật liệu
- Đối với vật liệu dẻo: Đờng phá hỏng là đờng trùng với mặt cắt ngang.
Giải thích:
Khi xoắn ta thấy các phân tố ở mặt ngoài của thanh là phân tố nguy hiểm
nhất. Chúng ở trạng thái ứng suất trợt thuần tuý. Bằng vòng tròn Mo ta tìm đợc
phân tố chính nghiêng một góc 45
0
và góc 135
0
so với phân tố trợt thuần tuý (hình
vẽ).
Ta có:
maxminmax

==
Bằng thực nghiệm ta có các đặc trng cơ học của vật liệu:

- Vật liệu dòn:
n
bb
k
b

<<
- Vật liệu dẻo:
n
ch
k
chch

=<
Đối với vật liệu dẻo: Do vật liệu dẻo chịu kéo hoặc nén tốt hơn so với chịu
cắt nên khi ứng suất tiếp
max
đạt tới
ch
thì lúc đó
max
và
min
vẫn cha đạt đến

ch
. Do đó sự phá hỏng là do các ứng suất
max
nằm trong mặt phẳng vuông góc
với trục (Do vậy mà đờng phá hỏng trùng với mặt cắt ngang).

Đối với vật liệu dòn: Do vật liệu dòn chịu kéo là kém nhất nên khi
max
đã
đạt đến
k
b

thì lúc đó
max
vẫn cha đạt đến
b
và |
min
| cha đạt đến
n
b

. Do đó nó sẽ
bị phá hỏng do ứng suất kéo
max
=
1
. Đờng phá hỏng có phơng vuông góc với ph-
ơng của
max
tức là hợp với phơng ngang 1 góc 45
0
.
7.2.7. Điều kiện bền, điều kiện cứng.
Đối với thanh chịu xoắn thì điều kiện bền cũng quan trọng nh điều kiện cứng,

cho nên khi tính toán ta phải tính sao cho thanh phải đảm bảo cả 2 điều kiện bền
và cứng.
a. Điều kiện bền.
Để đảm bảo điều kiện bền thì ứng suất tiếp lớn nhất
max
phát sinh trong thanh
không đợc vợt quá trị số ứng suất tiếp cho phép. Tức là:
Trang: 90
O



3
=
min

1
=
max
A
B





Bài giảng: Sức bền vật liệu

max
[]

ứng suất tiếp cho phép [] đợc xác định bằng ứng suất nguy hiểm
0
chia cho
hệ số an toàn n.
[ ]
n
0


=
Trong đó ứng suất nguy hiểm
0
đợc xác định bằng các thí nghiệm xoắn phá
hỏng các loại vật liệu khác nhau.
Ta cũng có thể tính các ứng suất tiếp cho phép khác nhau tuỳ thuộc vào từng
thuyết bền.
- Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất có:
[ ]
[ ]
2


=
- Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng cực đại có:
[ ]
[ ]
3


=

- Theo thuyết bền Mo có:
[ ]
[ ]



+
=
1
k
Trong đó:
[ ]
[ ]
n
k



=
Theo tính chất của các thuyết bền thì đối với vật liệu dẻo sử dụng thuyết bền
ứng suất tiếp lớn nhất và thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng cực đại, còn đối
với vật liệu dòn thì sử dụng thuyết bền Mo.
Với điều kiện bền ta cũng có 3 bài toán tính bền (nh trong chơng kéo nén) nh
sau: Bài toán kiểm tra bền, bài toán xác định tải trọng cho phép và bài toán xác
định kích thớc mặt cắt ngang.
b. Điều kiện cứng.
Các thanh chịu xoắn phải có một độ cứng nhất định, nhất là các trục truyền
trong các máy để có thể đảm bảo đợc khả năng làm việc bình thờng. Điều kiện
cứng đợc xác định trên cơ sở góc xoắn tỷ đối giữa 2 không đợc vợt quá giới hạn
cho phép. Thờng quy định theo góc xoắn tỷ đối cho phép []. Tức là:


max
[]
Trong đó:
+
max
là góc xoắn tỷ đối lớn nhất (có đơn vị là Rad/m).
+ [] là góc xoắn tỷ đối cho phép (có đơn vị là Rad/m).
Góc xoắn tỷ đối cho phép [] đợc xác định theo yêu cầu kỹ thuật của chi tiết
hoặc là dựa vào các bảng tra. Còn góc xoắn tỷ đối lớn nhất
max
đợc xác định nh
sau:
Trờng hợp thanh chỉ có một mô men xoắn ngoại lực và có tiết diện không đổi
thì ta có:
[ ]

=
P
Z
max
GJ
M
Trang: 91
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Trờng hợp thanh có nhiều đoạn, mỗi đoạn có M
Zi
và GJ
Pi
khác nhau thì ta phải

tính
Pi
Zi
i
GJ
M
=

sau đó tìm ra
max
để so sánh theo công thức:
[ ]

=
P
Z
max
GJ
M
7.2.8. Ví dụ về tính bền cứng cho thanh tròn chịu xoắn.
Cho trục truyền chịu lực nh hình vẽ. Trục truyền quay với tốc độ n=200v/ph.
Hãy kiểm tra bền và cứng cho trục truyền nếu cho:
[] = 2000 N/cm
2
; [] = 0,35
0
/m ; d = 70 mm ; G = 8.10 N/cm
2
Biết: N
1

= 6 kw ; N
2
= 26 kw ; N
3
= 12 kw ; N
4
= 8kw. Trong đó bánh 2 là bánh
chủ động.
Giải:
* Xác định ngoại lực xoắn.
áp dụng công thức:
( )
( )
( )
m.N
n
kwN
9550M
vòng/phút
=
.
Ta có:

m.N5,286
200
6
.9550
n
N
9550M

1
1
===

m.N5,1241
200
26
.9550
n
N
9550M
1
2
===
m.N573
200
12
.9550
n
N
9550M
1
3
===
m.N382
200
8
.9550
n
N

9550M
1
4
===
Trang: 92
382
573
M
3
M
1
M
4
M
2
A
1
2
2
3
3
D
C
B
1
N
1
d
N
4

N
3
N
2
286,5
955 +
(N.m)
M
Z
+
-
Bài giảng: Sức bền vật liệu
* Vẽ biểu đồ mô men xoắn nội lực.
Dùng các mặt cắt 1-1 , 2-2 và 3-3 Ta vẽ đợc biểu đồ mô men xoắn nội lực nh
hình vẽ.
* Xác định mặt cắt nguy hiểm.
Dựa vào biểu đồ mô men xoắn nội lực ta thấy mặt cắt thuộc đoạn BC là mặt
cắt nguy hiểm. Tại đây có:
max
z
M
= 955 N.m = 955.10
2
N.cm
* Điều kiện bền.
áp dụng công thức:
[ ]

=
P

max
z
max
W
M
Ta có:
2
3
2
3
max
z
P
max
z
max
N/cm1,1392
70,2.
955.10
d0,2
M
W
M
====

Ta thấy:
[ ]
2
max
N/cm2000=<


Vậy trục đảm bảo điều kiện bền
* Điều kiện cứng.
áp dụng công thức:
[ ]

=
P
Z
max
GJ
M
Ta có:
Rad/m10.97,4Rad/cm4,97.10
.0,1.78.10
955.10
d.0,1G
M
GJ
M
35
46
2
4
max
z
P
max
z
max


=====

Mặt khác có:
[ ]
Rad/m107,85.
180
0,45.
/m0,45
30
==


Ta thấy:
[ ]

<
max
Vậy trục đảm bảo điều kiện cứng.
7.3 Xoắn thanh mặt cắt hình chữ nhật
Thí nghiệm cho thấy rằng khi xoắn thanh mặt cắt hình chữ nhật thì mặt cắt
ngang của thanh không còn phẳng nh khi xoắn thanh mặt cắt tròn nữa mà nó bị
vênh đi. Các giả thuyết dùng để tính cho thanh mặt cắt tròn không còn áp dụng
đợc nữa.
7.3.1.ứng suất.
Trang: 93
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Bằng lý thuyết đàn hồi ngời ta nhận thấy rằng mặt cắt ngang của thanh chỉ có
ứng suất tiếp. Luật phân bố ứng suất tiếp đợc biểu diễn trên hình vẽ. Đối với
những điểm nằm trên các trục đối xứng thì điểm nào càng xa tâm, ứng suất càng

lớn, nhng luật biến thiên không còn là đờng bậc nhất nh trong trờng hợp mặt cắt
ngang là hình tròn mà nó là một đờng cong. Lý thuyết đàn hồi đã chứng minh đ-
ợc rằng:
- ứng suất tiếp trên trung điểm cạnh dài là ứng suất tiếp cực đại có:
xoắn
W
M
FEmax
z
===

Trong đó:
+
2
b.a.W

=
xoắn
là mô men chống xoắn.
+ là hệ số phụ thuộc tỷ số
b
a
+ a là cạnh dài và b là cạnh ngắn.
- ứng suất tiếp trên trung điểm cạnh ngắn:
=
G
=
H
= .
max

Trong đó là hệ số phụ thuộc tỷ số
b
a
.
- ứng suất tại các điểm góc:

A
=
B
=
C
=
D
= 0
Biểu đồ phân bố ứng suất tiếp đợc biểu diễn trên hình vẽ.
7.3.2.Biến dạng.
Theo lý thuyết đàn hồi có:
Góc xoắn tỷ đối:
xoắn
GJ
M
z
=

Trang: 94
M
M
a
M
Z

b
E
D
C
A
B
H
G
F

1

max
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Trong đó:
J
xoắn
= .a.b
3
với là hệ số phụ thuộc tỷ số
b
a
Bảng các hệ số , , ( Xem giáo trình ).
7.4 Thế năng biến dạng đàn hồi
Trong chơng trạng thái ứng suất, ta đã tính đợc thế năng riêng biến dạng đàn
hồi tích luỹ trong một đơn vị thể tích là:
( )
[ ]
133221
2

3
2
2
2
1
2
2
1
à
++++=
E
u
(4-1)
Đối với phân tố trên thanh tròn chịu xoắn là phân tố ở trạng thái trợt thuần
tuý, ta có:

==
31
(4-2)
Do vậy thế năng biến dạng đàn hồi tích luỹ trong phân tố là:
( )
[ ]
222
2
2
1

à
+=
E

u
(4-3)
Hay:
2
1


à
E
u
+
=
(4-4)
Ta đã có công thức tơng giữa mô đun đàn hồi E và mô đun đàn hồi trợt G là:
( )
à
+
=
12
E
G
(4-5)
Vậy ta có thể viết:
G
u
2
.
2
1



=
(4-6)
Từ đây ta có thế năng biến dạng đàn hồi tích lũy trong một đoạn thanh có
chiều dài dz là:

==
FV
dFudzudvdU .
(4-7)
Trong đó có: dv = dF.dz và v là thể tích của đoạn dz.
Ta đã có công thức tính ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang là


.
J
M
P
z
=
Thay vào biểu thức (4-6) có:
Trang: 95
Bài giảng: Sức bền vật liệu
GJ
M
u
p
z
1


2
1
2
2
2

=
Thay biểu thức trên vào (4-7) có:

==
F
p
z
F
p
z
dFdz
GJ
M
dFdz
GJ
M
dU
1

2
1

1


2
1
2
2
2
2
2
2

Hay ta có:
P
z
GJ
dzM
dU
.
.
2
1
2
=
Vậy thế năng của cả đoạn thanh có chiều dài l là:

=
l
P
z
GJ
dzM
U

0
2
.
2
1
Trờng hợp đặc biệt khi M
Z
và GJ
P
là các hằng số đối với chiều dài l thì ta có
công thức nh sau:
P
z
l
P
z
GJ
lM
GJ
dzM
U
2

2
1
2
0
2
==


Trờng hợp khi M
Zi
và GJ
Pi
là các hằng số trên từng đoạn chiều dài l
i
thì ta có
công thức nh sau:


==
==
n
i
Pi
izi
n
i
l
P
z
GJ
lM
GJ
dzM
U
1
2
1
0

2
.
2
1
.
2
1
7.5 Tính lò xo xoắn ốc hình trụ bớc ngắn.
Trang: 96
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Cho một lò xo xoắn ốc hình trụ chịu tác dụng của lực kéo đúng tâm (hình vẽ).
Ta có:
7.5.1.Các thông số xác định lò xo.
- D là đờng kính trung bình của ống lò xo hình trụ.
- d là đờng kính của dây lò xo.
- h là bớc của lò xo.
- là góc nghiêng của vòng lò xo.
- n là số vòng dây làm việc của dây lò xo.
Ta chỉ nghiên cứu các lò xo hình trụ có bớc ngắn. Lò xo đợc gọi là có bớc ngắn
khi tỷ số
D
h
là rất bé.
7.5.2.Tính ứng suất trong lò xo.
a. Nội lực trong lò xo.
Tởng tợng dùng một mặt phẳng cắt qua trục của ống lò xo tại một vị trí nào đó
và chia lò xo làm 2 phần. Ta giữ lại một phần để khảo sát.
Vì lò xo có bớc ngắn nên góc nghiêng nhỏ. Do đó, một cách gần đúng ta có
thể coi mặt cắt của dây lò xo là tròn.
Để phần khảo sát vẫn cân bằng ta có nội lực trên mặt cắt của lò xo là:

+ Lực cắt: Q
y
= P.
Trang: 97

P
P
D
h
d
Bài giảng: Sức bền vật liệu
+ Mô men xoắn: M
xoắn
=
2
P.D
b. ứng suất trong lò xo.
Ta thấy cả lực cắt Q
y
và mô men xoắn M
xoắn

đều gây nên ứng suất tiếp.
- Lực cắt Q
y
gây nên ứng suất tiếp trong lò xo, một cách gần đúng có thể coi
nh nó phân bố đều. Tức là:

2
Q

d
P4
F
P
F
Q


===
- Mô men xoắn M
xoắn
gây nên ứng suất có
giá trị cực đại tại chu vi vòng tròn và có giá trị là:
P
M
max
W
M
xoắn
=


Hay:
3
3
M
max
d
PD8
16

d
2
PD



==
Trang: 98
P
Q
y
D
M
xoắn
M
max

Q
y
B
M
xoắn
A
d

Q
M
max

Bài giảng: Sức bền vật liệu

Hình vẽ là biểu đồ phân bố
Q
và
M
. Qua hình vẽ ta thấy điểm A là điểm nguy
hiểm vì tại đó ứng suất tiếp do lực cắt và mô men xoắn gây nên cùng chiều. Khi
đó có ứng suất tổng cộng là:






+=+==
D2
d
1
d
PD8
d
P4
d
PD8
323
Amax


Ta thấy tỷ số
2D
d

là rất nhỏ so với 1 nên có thể bỏ qua, nhng khi đó ta đã bỏ
qua ảnh hởng của lực cắt. Để kể đến ảnh hởng của lực cắt và mặt cắt không tròn,
ngời ta thêm vào công thức hệ số k.
Ta có công thức chính xác:
Trong đó
max
có đơn vị là N/cm
2
, N/m
2
và k đợc xác định bằng công thức
thực nghiệm:
1
d
D
0,25
d
D
k

+
=

7.5.3.Biến dạng của lò xo.
Gọi độ co, dãn của lò xo là . Khi lò xo chịu kéo (nén) đúng tâm bởi một lực P
nó sẽ tích luỹ một năng lợng dới dạng thế năng biến dạng đàn hồi U.
Với một thanh tròn chịu xoắn nó sẽ tích luỹ một thế năng biến dạng đàn hồi
là:
P
2

z
GJ2
l.M
U =
Dây lò xo, một cách gần đúng có thể coi nh một thanh tròn chịu xoắn có:
32
d
J;Dnl;
2
PD
M
4
Pz


===
Vậy có:
4
32
Gd
nDP4
U =
Mặt khác khi lực P chuyển dời trên biến dạng của lò xo, nó sinh công biến
dạng là:
A =
2
.P

Trang: 99
3

max
d
PD8
k


=
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Theo định luật bảo toàn năng lợng có: A = U
4
32
Gd
nDP4
2
.P
=

Từ đó suy ra:


Đặt
nD8
Gd
C
3
4
=
gọi là độ cứng của lò xo và C có đơn vị là N/cm, N/m. . .
Ta có:
7.5.4.Điều kiện bền, điều kiện cứng.

- Điều kiện bền:
[ ]



=
3
max
d
PD8
.k
- Điều kiện cứng:
[ ]

=
4
3
Gd
nPD8
Từ điều kiện bền và cứng ta có 3 bài toán tính bền và cứng.
1. Kiểm tra bền (cứng).
2. Chọn tải trọng cho phép P theo điều liện bền (cứng).
3. Chọn tiết diện cho phép theo điều kiện bền (cứng).
7.6 Bài toán siêu tĩnh khi xoắn
Trang: 100
4
3
Gd
nPD8
=


C
P
=

Bài giảng: Sức bền vật liệu
Tơng tự nh khi kéo nén, trong thực tế ta gặp phải trờng hợp, nếu chỉ với phơng
trình cân bằng tĩnh học thì không đủ để giải. Bài toán nh vậy đợc gọi là bài toán
siêu tĩnh. Để giải đợc bài toán siêu tĩnh, ta phải lập thêm phơng trình biến dạng
dựa trên cơ sở chuyển vị tại một điểm nào đó mà theo kết cấu của nó, ta có thể
xác định đợc.
Ta hãy xét ví dụ sau:
Ví dụ: Vẽ biểu đồ mô men xoắn nội lực cho thanh tròn chịu xoắn nh hình vẽ:
Giải:
* Xác định phản lực liên kết.
Tại đầu ngàm có phản lực liên kết là M
A
và M
B
. Giả thiết chiều của chúng nh
hình vẽ.
Ta có phơng trình cân bằng:
M
A
+ M
B
M = 0 (1)
Phơng trình trên có 2 ẩn là M
A
và M

B
nên ta cha giải đợc. Ta phải lập thêm
phơng trình biến dạng bằng cách sau:
Giải phóng ngàm B và thay vào đó mô men M
B
. Khi đó để hệ vẫn tơng đơng
với hệ cũ thì mô men M
B
phải có giá trị sao cho góc xoắn tuyệt đối tại mặt cắt qua
B phải bằng 0. Tức là:
0
B
=

Trang: 101
3a
2a
C
B
A
M = 10 KNm
d
(KN.m)
M
Z
3a
2a
C
B
A

M
d
M
B
M
A

4
6
+
-
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Hay:
0
CBACABB
=+==

( )
0
GJ
a.3MM
GJ
a.2M
P
B
P
B
=



0M3M3M2
BB
=+
(2)
Giải phơng trình (2) ta đợc:
KNm6M
5
3
M
B
==
.
Thay vào (1) ta đợc:
KNm4M
5
2
M ==
A
Từ các giá trị phản lực đã xác định đợc ở trên ta vẽ đợc biểu đồ mô men xoắn nội
lực nh hình vẽ.
Trang: 102