Thầy Dơng Thế Khiển Tuyển chọn
Chủ đề biến đổi các biểu thức đại số.
I Các dạng bài tập cơ bản.
1/ Tính giá trị của biểu thức (Rút gọn biểu thức số )
2/ Rút gọn biểu thức chứa biến. Sử dụng kết quả rút gọn để :
- Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến;
- Giải phơng trình, bất phơng trình ( so sánh biểu thức với một số ).
- Tính giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
- Tìm giá trị nguyên của biểu thức ứng với các giá trị nguyên của biến
Bài tập rút gọn biểu thức chứa biến.
Biểu thức không chứa dấu ngoặc
+ Biểu thức có cả bốn phép tính thì thực hiện nhân chia trớc cộng trừ sau.
+ Nếu biểu thức chỉ có các phép toán nhân chia hoặc cộng trừ thì thực hiện từ trái sang
phải
Phơng pháp giải:
B ớc 1: Tìm ĐKXĐ của bài toán hoặc nhắc lại ĐKXĐ đã cho.
B ớc 2: Rút gọn các phân thức trớc khi thực hiện phép tính.
Chú ý: Nếu phải đổi dấu phân thức để tìm MTC nếu cần thiết.
Biểu thức có chứa dấu ngoặc.
-Thực hiện theo thứ tự các phép tính có ngoặc:
( )
[ ]
{ }

.
-Ta thờng gặp các dạng bài cho biểu thức P =
( )
( )
( )
( )
f x : q x

. Tìm cách đa bài toán về
dạng không có ngoặc bằng cáh đặt P = A: B. Trong đó A =
( )
f x
; B =
( )
q x
.
-Sau đó thực hiện phép tính A và tính B Thay vào biểu thức P.
+Biểu thức có dạng P =
M P N M P N+
.
Ta biến đổi biểu thức dới dấu căn về dạng
( )
2
a b
=
a b
+Rồi vận dụng quy tắc dấu GTTĐ để giải toán.
Sử dụng các kết quả rút gọn để giải các dạng bài tập cơ bản.
Dạng1: Tính giá trị của biểu thức biết giá trị của biến.
Phơng pháp giải toán :
+ Kiểm tra xem giá trị của biến có thoả mãn điều kiện xác định của bài toán không.
+ Biến đổi đơn giản giá trị của biến nếu thấy cần thiết.
+ Thay các giá trị của biến vào và thực hiện phép tính về biểu thức số
+ kết luận.
Dạng 2:
Giải ph ơng trình bất ph ơng trình (so sánh với một số nào đó).
* Giải ph ơng trình:
Phơng pháp chung: Nên dùng phơng pháp đổi biến để phơng trình đã cho về các dạng phơng

trình đã học.
+Dạng phơng trình đa thức: Ví dụ
2x 3 x 5+ =
. Đặt
x t 0=
thay vào ta đợc ph-
ơng trình
2
2t 3t 5 0+ =
. Rồi giải phơng trình bậc hai chú ý điều kiện.
(H?S giỏi có thể phân tích thành phơng trình tích)
+Dạng phơng trình phân thức P =
3 x
2
x 2
=
+
với Đ/K:
x 0 ;x 1
Phơng pháp giải toán: Đặt
( )
x t t 0; t 1=
. Thay vào ta đợc phơng trình:
3t
2
t 2
=
+
3t 2t 4 = +
. Giải phơng trình đối chiếu điều kiện rồi thử lại.

* Giải bất ph ơng trình:
*Dạng đa thức: Ví dụ Tìm x để x +
2 x 3>
.Đ/K: x
0; x 1
.Ta dùng phơng
pháp đổi biến. Đặt
x t voi t 0;t 1=
Thay vào ta có BPT:
( ) ( )
2
t 2t 3 0 t 1 t 3 0 t 1 0 vi t 3 0+ > + > > + >
với điều kiện x
0; x 1
. Từ
đó giải bất phơng trình t > 1
x 1 x 1 > >
.
Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận nghiệm của bài toán
Dạng bất ph ơng trình phân thức:
Ví dụ tìm x để P =
( )
x 1 1
Đ/ K : x 0
2
x 1

<
+
.

1
Thầy Dơng Thế Khiển Tuyển chọn
Phơng pháp giải toán: Ta dùng phơng pháp đổi biến: Đặt
( )
x t t 0=
. Thay vào ta có bất
phơng trình PT:
( )
t 1 1 t 3
0 0 t 3 x 9
t 1 2 2 t 1

< < < <
+ +
vì t + 1 > 0.
Kết hợp với điều kiện bài toán để kết luận nghiệm :
0 x 9
<
thoả mãn đề bài.
Dạng bài so sánh biểu thức P với biểu thức A.
Phơng pháp giải toán: Ta xét hiệu P - A.
Nếu:
P A 0
thì P
A
Nếu P - A < 0 thì P < A.
Chú ý: dùng ĐKX Đ để giải toán.
Dạng 3: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức dẫ rút gọn.
Dạng phân thức :
Cách 1: Ta đa phân thức về một trong các dạng sau:

P =
( )
( )
2
k
f x q+
(trong đó k; q là hằng số; f(x) là đ thức chứa biến)
Ví dụ: Tìm GTNN của P =
( )
x 1 x 2 3 3
1 x 0;x 1
x 2 x 2 x 2
+
= =
+ + +
.
Do x
3 3 3 1
0 x 2 2 1
2 2
x 2 x 2
+
+ +
. Dấu = xảy ra x = 0.
Nếu dùng phơng pháp đổi biến thì bài toán đơn giản hơn.
Cách 2: Dùng bất đẳng thức cô si tìm GTLN & GTNN của biểu thức.
Ví dụ Tìm GTLN của biểu thức : P =
x 2 x 2 2
x 2
x x

+ +

= + +
ữ


Theo bất đẳng thức cô si:
2 2
x 2 2 x 2 2 2 2
x x
+ + + +
.
Vậy Max P =
( )
2 2 2 +
. Dấu đẳng thức xảy ra khi
2
x x 2
x
= =
.
Ví dụ tìm GTNN của biể thức P = 2010 -
( )
1
x 4
x x 1

+
.
Giải: P =

2
1
2010
1 3
x
2 4


+
ữ

. Do x
2 2
1 3 1 3
4 nê n x 4 3
2 4 2 4

+ + =
ữ ữ

. Suy ra
2
1 1
0
3
1 3
x
2 4



+
ữ

. Vậy P
1 6029 1 3
2010 x x 4
3 3 2 2
= = =
.
Ví dụ tìm GTLN:
( )
( )
19 3 x 4
7 x 19
3 x 0;x 1
x 4 x 4 x 4
+

= =
+ + +
Dạng biểu thức rút gọn có dạng đa thức:
Ví dụ 1: Tìm min
372 += xxA
(Dựa vào hằng đẳng thức)
Giải: ĐK:
0

x
Đặt
tx =

; ĐK:
1,0 tt
3
16
49
16
49
4
7
22
2
+






+= ttA

3
16
49
4
7
2
2
+
















= tA
8
25
4
7
2
4
28
8
49
4
7
2
22








=+






= ttA
2
Thầy Dơng Thế Khiển Tuyển chọn
Do
4
7
0
4
7
20
2
=






ttt


Vậy min A =
8
25
khi
16
49
=x
Ví dụ 2: Tìm min
xxP =

Giải:
ĐK:
1,0 xx
4
1
2
1
2







== xxxP
Ta có
0
2

1
2







x
. Vậy
4
1
0min == xP
2. Dạng toán 4: Tìm x nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên
Ví dụ 1:
3
1

+
=
x
x
P
nguyên
Giải:
ĐK:
( )
9,4,0 xxx
Đặt

0= tx
,
16t
,
81t
3
4
1
3
43
3
1

+=

+
=

+
=
tt
t
t
t
P
P nhận giá trị nguyên


3
4

t
nguyên









23
3
t
t
Zt
là ớc số

1 của 4
11123 ==== xxtt
42213 ==== xxtt
(Loại)
164413 ==== xxtt
255523 ==== xxtt
497743 ==== xxtt
Đối chiếu với điều kiện của bài toán => giá trị của x nguyên thoả mãn.
Ví dụ 2:
1
2
+

=
xx
x
Q
nguyên
Giải:
ĐK:
1

x
, x>0
Đặt
1,0 >= tttx
Ta có:
1
1
2
1
2
2
+
=
+
=
t
t
tt
t
Q
ZQ


1
1
+
t
t
là ớc của 2
Theo bất đẳng thức cô si ta có:
11
1
2
1
++
t
t
t
t
Vì Q>0 => 0 < Q

2 =>
2
1
1
2

+
t
t
Mà
{ }

2;1= QZQ
; Từ đó giải phơng trình
3
Thầy Dơng Thế Khiển Tuyển chọn
Ví dụ 3:
x
xx
Q
333 +
=
nguyên
Giải:
ĐK:
1,0 xx
Đặt
xt =
có
( )
t
t
t
tt 3
13
333
2
+=
+
Cần tìm
*
Nx

,
1x
sao cho
xt =
nguyên dơng, khác 1 và biểu thức
( )
t
t
3
13 +
là
một số nguyên.
Vì
( )
13 t
nguyên nên để
( )
t
t
3
13 +
nguyên cần phải có
t
3
nguyên.
Điều kiện
1,
+
tZt
=> t =3. Khi đó x = 9.

Vậy với x = 9 ta có biểu thức Q là một số nguyên.
III. Các kiến thức cần vận dụng.
- Các phép toán về đa thức, phân thức.
- Các phép toán về căn thức.
- Thứ tự thực hiện các phép tính. (Không có ngoặc, có ngoặc).
- Các hằng đẳng thức về căn:
Với
0,0 ba
1.
( ) ( )
bababa = .
2.
( )
bababa += 2
2
3.
( )
bbabbaaaba += 33
3
4.
33
babbaa =
5.
( ) ( )
1.111
3
+== aaaaaa
- Dạng toán:
NPM
=>

22
2 baba +
trong đó





=
+=
abNP
baM
2
22
biến đổi căn.
- Đa về dạng toán:
baba +=+
với
0, ba
.
- Bất đẳng thức Cô si dạng:
abba 2+
Với
0, ba

2
1
+
a
a

Với a > 0
II/ Các bài toán cơ bản .
Bài 1: Cho biểu thức P =
x 1 1 2
:
x 1
x 1 x x x 1


+
ữ
ữ
ữ

+


.
a/ Rút gọn P. b/ Tìm các giá trị của x để P dơng.
Bài 2: Cho biểu thức P =
( )
x 4 3 x 2 x
: .
x 2 x x 2
x. x 2


+
ữ
+

ữ
ữ
ữ




a/ Rút Gọn P b/ Tính giá trị của P, biết x =
6 2 5
.
c/ Tìm các số a để có x thoả mãn:
( )
x 1 P x a+ +
.
Bài 3 : xét biểu thức : P =
1 a a
: .
a a 1 a a

+
ữ
ữ
+ +

a/ Rút gọn P b/ Tìm a để P =
13
3
.
4
Thầy Dơng Thế Khiển Tuyển chọn

Bài 4: Cho biểu thức P =
2
2 2
2 x : 1 .
2 x
4 x


+ +
ữ
ữ
+



a/ Rút gọn P .
b/ Tìm GTLN và GTNN của P với
1 x 1
.
Giải : a/ P =
2 x
.
b/ Với
1 x 1
, ta có 2 + 1
2 x 2 1
. Hay 3
2 x 1
vậy
3 P 1 1.Do =

đó,GTNH
của P = 1, đạt đợc tại x = 1 và GTLN của P, Max P =
3,
đạt đợc tại x = -1.
Bài 5 : Rút gọn các biểu thức sau :
a/
2 3 1 3
2 2

+
c/
7 4 3
6 2 2


b/
( )
3 2 6 6 3 3+
d/
9 4 5
5 20
+
+
e/
1 1
5 3 5 3

+
f/ B =
4 2 3

6 2


.
Bài 6: Rút gọn biểu thức sau :
P =
x y 2 xy
1
:
x y x y
+
+
, với x > 0 và y > 0
Tính giá trị của biểu thức tai x = 1000 và y = 2000
Bài 7; Cho biểu thức : P =
2
2 2
1 x : 1
1 x
1 x


+ +
ữ
ữ
+



, Với -1 < x < 1.

Hãy Rút gọn P.
Bài 8 Cho biểu thức ; P =
x 2 x x 4
x : .
1 x
x 1 x 1

+


ữ
ữ
ữ

+ +


a/ Rút gọn P.
b/ Tìm các giá trị của x thoả mãn P < 0.
c/ Tìm GTNN P.
Bài 9; Xét biểu thức : Q =
4 x 8x x 1 2
: .
4 x
2 x x 2 x x


+
ữ ữ
ữ ữ


+


a/ Rút gọn Q.
b/ Tìm các giá trị của x để Q = -1
Bài 10 : Cho biểu thức :A =
1 x 1 1 x
x : .
x x x x



+
ữ
ữ
ữ
+


a/ Rút gọn A b/ Tính giá trị của biểu thức A tại x = 9.
c/ Tìm các giá trị của x thoả mãn :
xA 6 x 3= +
.
Bài 11: Cho biểu thức P = 1 -
x x
x
x
+


.
a/ Với giá trị nào của x thì P có nghĩa ? Rút gọn P.
b/ Giải phơng trình x - 8 + p = 0
Bài 12: Cho biểu thức : Q =
1 5 x 4 2 x x
: .
x 2 2 x x x x 2

+
+
ữ ữ
ữ ữ


a/ Rút gọn Q.
b/ Tính giá trị của Q tại x =
3 5
.
2

c/ Tìm m để x thoả mãn : Q = mx
x 2mx 1 +
.
5
Thầy Dơng Thế Khiển Tuyển chọn
Bài 13 : Xét biểu thức P =
( ) ( )
x 3 x 2 x x 1 1
:
x 1

x 1 x 1
x 2 x 1

+ + +

ữ

ữ
ữ

+
+

.
a/ Rút gọn P.
b/ Tìm x để
1 x 1
1
P 8
+

.
Bài 14 : Cho biểu thức : P =
x 3 6 x 4
x 1
x 1 x 1

+

+

.
a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P <
1
2
.
Bài 15 : Cho biểu thức : P =
x 1 x 2 x 1
x 1
x x 1 x x 1
+ + +


+ +
.
a/ Rút gọn P.
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
x
P
+
.
Bài 16: Cho biểu thức : Q =
( )
2
2 x 1
x x 2x x
x x 1 x x 1

+
+

+ +
.
a/ Rút gọn Q.
b/ Tìm GTNN của Q. c/ Tìm các số nguyên x để
3Q
x
nhận giá trị nguyên.
Bài 17 : Cho A =
x 2 x 1 1
x x 1 x x 1 x 1
+ +
+
+ +
.
a/ Rút gọn A b/ Tính x = 4 -2
3
.
Bài 18: Cho biểu thức:
3x 9x 3 x 1 x 2 1
. 1
x x 2 x 2 x 1 x
+ +

+
ữ
+ +

.
a/ Rút gọn p.
b/ Tìm x để P =

x
.
Bài 19: Cho biểu thức P =
1 2 x
: 1
x 1
x 1 x x x x 1



ữ
ữ
ữ
+
+


.
a/ Rút gọn P
b/ Chứng minh rằng P > 0 với mọi x để P có nghĩa.
c/ Tìm tất cả giá trị của x để P nhận giá trị nguyên.
Bài 20: Cho biểu thức A =
2 x x 3x 3 x 1 1
:
9 x 2
x 3 x 3 x 3

+
+ +
ữ ữ

ữ ữ

+

.
a/ Rút gọn A. b/ Tìm x để A <
1
2

.
Bài 21 : Cho biểu thức M =
2
3 3
1 a : 1
1 a
1 a


+ +
ữ
ữ
+



.
a/ Rút gọn M. b/ Tìm a để
M M
.
Bài 22: Cho biểu thức P =

3 x 3 x 2 x
: .
x 1
x 1 x x 2 x 2

+
+
ữ ữ
ữ ữ

+ +

a/ Rút gọn P. b/ Tìm x để P =
x 1
.
Bài 23 : Cho biểu thức P =
1 x x 1 x x
x . x .
1 x 1 x

+
+
ữ ữ
ữ ữ
+

6
Thầy Dơng Thế Khiển Tuyển chọn
a/ Rút gọn P. b/ Tìm x để P < 7 - 4
3

.
Bài 24 : Cho biểu thức P =
15 x 11 3 x 2 2 x 3
.
x 2 x 3 1 x x 3
+
+
+ +
a/ Rút gọn P.
b/ Chứng minh rằng P
2
3

.
c/ Tìm m để x thoả mãn P
( )
x 3 m+ =
.
Bài 25 : Cho biểu thức P =
2 x x 1 3 11 x
3 x
x 3 x 3
+
+ +

+
.
a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P < 1
Bài 26 : Cho biểu thức A =
x 2 x 1 x 1

:
2
x x 1 x x 1 1 x

+
+ +
ữ
ữ
+ +

.
a/ Rút gọn A b/ Chứng minh rằng 0 < A
2
.
Bài 27: Cho biểu thức A =
x x 26 x 19 2 x x 3
x 2 x 3 x 1 x 3
+
+
+ +
.
a/ Rút gọn A b/ Tìm GTNN của A.
Bài 28: Cho biểu thức P =
( )
3 x x 3
x 3 x 2
x x 2 x 2 1 x
+
+
+ +

+ +
.
a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P
15
4

.
Bài 29 : Cho biểu thức P =
2 x x 1 9 x 6
1 : 3
9x 1
3 x 1 3 x 1

+ +
+
ữ ữ
ữ ữ

+ +

a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P
6
5
=
.
c/ Cho m > 1. Chứng minh rằng luôn có hai giá trị của x thoả mãn : P = m.
Bài 30 : Cho biểu thức : P =
x 1 6 x 1 x
2 : .
2 x 3 2x x 3 x 1


+
+
ữ ữ
ữ ữ
+

a/ Rút gọn P.
b/ Tính giá trị của P khi x =
3 2 2
4

.
c/ So sánh P với
3
2
.
Bài 31: Cho biểu thức P =
10 x 2 x 3 x 1
x 3 x 4 x 4 1 x
+
+
+ +
.
a/ Rút gọn P.
b/ Chứng minh P > -3
c/ Tìm Max P.
Bài 32: Cho biểu thức P =
x x 2 2 x
:

x 1 x
x 1 x x x



+
ữ
ữ
ữ

+


.
a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P > 2. c/ Tìm min của
P
Bài 33 : Cho biểu thức : P =
1 2 x x x 1
:
x 1
x 1 x x x x 1 x x x x 1

+
+
ữ ữ
ữ ữ
+
+ + + +

.

a/ Rút gọn P.
b/ Tìm x để P =
x 2
.
7
Thầy Dơng Thế Khiển Tuyển chọn
c/ Tìm GTNN của P
d/ Tìm m để có x thoả mãn :
( )
x 1 P m x+ =
.
Giải d/
( )
x 1 P m x+ =
( )
x 1 m x x x 1 m 0 1 = + =
Ta cần m để phơng trình (1) có nghiệm (với x
0 x 1
)
Đặt
( )
2
x y 0; y 1 y y 1 m 0 1 .= + =
Ta cần tìm m để (1) coa nghiệm
y 0 y 1
.
5
5 4m 0 m
4
= +

.
Mắt khác :
1 2
b
y y 1 0
a

+ = =

Phơng trình chắc chắn có nghiệm âm.
Nếu y
1
y
2
=
c
1 m 0 m 1
a
= > <
phơng trình có hai nghiệm cùng dấu âm.Khi đó:
Nếu
5
m 1
4

< <
thì tồn tại x thoả mãn:
( )
x 1 P m x+ =
.

Nếu
0
thì
( )
1
có nghiệm
0
.
y = 1 là nghiệm của
( )
2
1 t 1 1 m 0 m 1. + = =
Vậy phơng trình của
( )
1 có
nghiệm y
0; y 1 khi m 1 và m 1
.
Vậy với
m 1
m 1





thì tồn tại x để
( )
x 1 P m x+ =
.

Bài 34: Cho biểu thức A =
x 2 x 3 x 2 x
: 2
x 5 x 6 2 x x 3 x 1

+ + +

ữ ữ
ữ ữ
+ +

a/ Rút gọn A.
b/ Tìm x để
1 5
.
A 2

.
c/ Chứng minh rằng A = A
( )
x 2
không thể nhận giá trị nguyên tại tại mọi x.
Bài 35: Cho biểu thức: P =
( )
( )
2 2
2
1 x 3 x 4 x
:
x 1

x x x x 1
x 1 x 4

+
ữ

ữ
+
+
+

.
a/ Rút gọn P.
b/ Tìm x để P = 2
c/ Tìm m để có có x thoả mãn P = m.
Bài : 36 : Cho P =
( )
x x 2 2 x
: .
x 1 x
x 1
x x 1



ữ
+
ữ
ữ
ữ



+


a/ Rút gọnP.
b/ Tính P với x =
2
2 3
.
c/ Tìm GTNN của
P
.
Bài 37 : Cho biểu thức : M =
2 4
4
4 2 2 2
x 1 1 1 x
x
x x 1 x 1 1 x


+
ữ ữ
+ + +

.
a/ Rút gọn M.
b/ Tìm x để M đạt GTNN
Bài 38 : M =

2
x 2 2 2 4x 3x x 1
3 :
3x x 1 x 1 3x
+ +

+
ữ
+ +

.
a/ Rút gọn M
8
Thầy Dơng Thế Khiển Tuyển chọn
b/ Với giá trị nào của x thì M < 0
c/ Tìm x để M có số trị nguyên.
Bài 39 : Rút gọn biểu thức : A =
( )
( )
x 16 x
3 2 x 2 3 x
voi x 0;x 4
x 4
2 x x 2

+
+

+
Bài 40:Cho biểu thức R =

x 2 x 3 3x 4 x 5
.
x 1 5 x x 4 x 5
+ + +

+
a/ Rút gọn R.
b/ Tìm số thực x để R > -2
c/ Tìm số tự nhiên x là số chính phơng sao cho R là số nguyên
Bài 41 : Cho biểu thức P =
2
x 2 x 2 1 x
.
x 1
x 2 x 1 2

+


ữ
ữ
ữ

+ +


.
a/ Rút gọn P.
b/ Tìm x để P > 0
c/ Tìm giá trị lớn nhất của P.

9