Huychk2
GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG
PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ ”
Quy trình chung để giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp véctơ
Bước 1.Lựa chọn một số véctơ mà ta gọi là “ hệ véctơ cơ sở’’; “phiên dịch” các giả thiết, kết
luận của bài toán hình học không gian đã cho ra “ngôn ngữ” véctơ .
Bước 2. Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành các phép biến đổi các
hệ thức véctơ theo hệ vectơ cơ sở.
Bước 3. Chuyển các kết luận vectơ sang các tình chất hình học không gian tương ứng.
Một số dạng toán
Dạng 1. Phần quan hệ song song
Bài toán 1. Hai đường thẳng phân biệt AB và CD song song với nhau khi và chỉ khi
AB kCD=
uuur uuur
.
Bài toán 2. Cho hai
,a b
r r
không cùng phương thuộc mặt phẳng (P), AB không thuộc (P) . Khi
đó :AB//(P)
AB xa yb⇔ = +
uuur r r
.
Bài toán 3. Cho hai mặt phẳng phân biệt ( ABC) và (MNP).
Khi đó:
( )
1 1
(ABC) / /
AB xMN yMP
MNP
AC x MN y MP


= +

⇔

= +


uuur uuuur uuur
uuur uuuur uuur
.
Ví dụ 1
Cho lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
. Giả sử M, N, E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác
AA
1
B
1
, A
1
B
1
C
1
, ABC, BCC

1
. Chứng minh : MN // EF.
L i gi i:ờ ả
Bước1:Chọn hệ véc tơ cơ sở
{ }
1
, ,AA a AB b AC c= = =
uuur r uuur r uuur r
Theo bài ra:
+M là trọng tâm của tam giác AA
1
B
1
:

1 1
1
( )
3
AM AA AB= +
uuuur uuur uuur
(1)
+N là trọng tâm của tam giác A
1
B
1
C
1
:


1 1 1
1
( )
3
AN AA AB AC= + +
uuur uuur uuur uuuur
(2)
+E là trọng tâm của tam giác ABC:

1
( )
3
AE AB AC= +
uuur uuur uuur
(3)
+F là trọng tâm của tam giác BCC
1
:

1
1
( )
3
AF AB AC AC= + +
uuur uuur uuur uuuur
(4)
+
/ /MN EF MN kEF⇔ =
uuuur uuur


B 1
A 1
C1
A
C
B
E
F
M
N
Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ
Từ (1), (2):
( )
1
3
MN AN AM a c= − = +
uuuur uuur uuuur r r
(5)
- 1 -
Huychk2
Từ (3), (4):
( )
1
3
EF AF AE a c= − = +
uuur uuur uuur r r
(6)
Từ (5), (6):
MN EF=
uuuur uuur

(7)
Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học không gian
Từ (7) : MN // EF.
Ví dụ 2
Cho hình hộp ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
.Giả sử M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AA
1
, B
1
C
1
. Chứng
minh: MN // (DA
1
C
1
).
Lời giải:
Bước 1: Chọn hệ véc tơ cơ sở
{ }
1
, ,DA a DC c DD b= = =
uuur r uuur r uuuur r

+ M là trung điểm AA
1
:
( )
1
1
2
DM DA DA= +
uuuur uuur uuuur
(1)
+ N là trung điểm B
1
C
1
:
( )
1 1
1
2
DN DB DC= +
uuur uuuur uuuur
(2)
+
( )
1 1 1 1
MN / / DA C MN xDC yDA⇔ = +
uuuur uuuur uuuur
(3)
Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ
Từ (1), (2):

( )
1
2
2
MN DN DM a c b= − = − + +
uuuur uuur uuuur r r r


( )
1
2
c a c b= − + +
r r r r
A1
B 1
C1
D1
A
D
C
B
N
M
Suy ra:
1 1
1
2
MN DC DA= −
uuuur uuuur uuuur
(4)

Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học không gian
Từ (4) : MN // (DA
1
C
1
).
Ví dụ 3
Cho lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AA
1
, CC
1
và G là
trọng tâm của tam giác A
1
B
1
C
1
.
Chứng minh: (MGC
1
) // (AB
1
N).

Lời giải:
Bước 1: Chọn hệ véc tơ cơ sở
{ }
1
, ,AA a AB b AC c= = =
uuur r uuur r uuur r
+ M là trung điểm AA
1
:
1
1
2
AM AA=
uuuur uuur
(1)
+ N là trung điểm CC
1
:
( )
1
1
2
AN AC AC= +
uuur uuur uuuur
(2)
+ G là trọng tâm của tam giác A
1
B
1
C

1
:

1 1 1
1
( )
3
AG AA AB AC= + +
uuur uuur uuur uuuur
(3)
+
( )
1
1 1
1 1 1 1
(MGC ) / / AB
MG xAB yAN
N
MC x AB y AN

= +

⇔

= +


uuuur uuur uuur
uuuur uuur uuur
(4)

.
G
A 1
C1
A
B 1
B
C
N
M
Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ
Ta có:
- 2 -
Huychk2

1 1 1
(5)
2 3 3
1
( ) (6)
2
MG AG AM a b c
MG xAG yAM x y a xb yc
= − = + +
= − = + + +
uuuur uuur uuuur r r r
uuuur uuur uuuur r r r
Từ (5) và (6) , do
, ,a b c
r r r

không đồng phẳng nên ta có:

1 1
2 2
1
3
1
3
x y
x
y

= +



=



=


1
1 1 1
(7)
3 3 3
x y MG AB AN⇒ = = ⇒ = +
uuuur uuur uuur
Ta có:


( )
1 1
1 1
(8)
2 2
1
(9)
2
MC AC AM a c a a c
AN AC CN a c
= − = + − = +
= + = +
uuuur uuuur uuuur r r r r r
uuur uuur uuur r r
Từ (8) và (9):
1
(10)MC AN=
uuuur uuur
Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học không gian
Từ (7) :
1 1
1 1
MG//mp(AB )
3 3
MG AB AN N= + ⇒
uuuur uuur uuur
(11)
Từ (10) :
1 1 1

/ / ( )MC AN MC mp AB N= ⇒
uuuur uuur
(12)
Từ (11) và (12) :
1 1
( ) / / ( )mp MGC mp AB N

Bài tập vận dung
Bài 1. Cho hình hộp ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
. Giả sử E là tâm của mặt ABB
1
A
1
; N, I lần lượt là trung
điểm của CC
1
và CD . Chứng minh : EN//AI.
Bài 2. Cho lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
1
C
1

. Giả sử M, N lần là trọng tâm

các tam giác ABA
1
và
ABC . Chứng minh : MN//(AA
1
C
1
).
Bài 3. Cho lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
. Giả sử M, N, E lần lượt là trung điểm BB
1
, CC
1
, AA
1
.
G là trọng tâm tam giác A
1
B
1
C
1.
Chứng minh:

1. (MGC
1
)//(BA
1
N)
2. (A
1
GN)//(B
1
CE).
Dạng 2. Phần góc và khoảng cách
Bài toán 4. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD được tính theo công thức:
.
os
.
AB CD
c
AB CD
ϕ
=
uuur uuur
uuur uuur
Bài toán 5. Khoảng cách giữa hai điểm A và B là :
2
AAB AB B= =
uuur uuur
Bài toán 6. Cho điểm M và đường thẳng l có véc tơ chỉ phương
a
r
, điểm A thuộc l. Tính khoảng

cách từ M đến l.
Phương pháp giải:
Đặt
AM m=
uuuur ur
, gọi N là hình chiếu của M lên l.
Khi đó:
MN AN AM xa m= − = −
uuuur uuur uuuur r ur
và
( )
0MN a xa m a⊥ ⇔ − =
uuuur r r ur r
Khoảng cách cần tìm :
( )
2
MN xa m= −
uuuur r ur
- 3 -
Huychk2
Bài toán 7. Cho (ABC), điểm M không thuộc (ABC).Tính khoảng cách từ M đến (ABC) và góc
giữa MA và (ABC).
Phương pháp giải:
Đặt
AM m=
uuuur ur
,
,AB a AC b= =
uuur r uuur r
, gọi N là hình chiếu của M lên (ABC).

Khi đó :
MN AN AM xa yb m= − = + −
uuuur uuur uuuur r r ur
Do
( )MN ABC⊥
nên



( ) 0
( ) 0
xa yb m a
xa yb m b

+ − =


+ − =


r r ur r
r r ur r
Khi cho biết x,y ta tìm được khoảng cách từ M đến (ABC) bằng
( )
2
xa yb m+ −
r r
.Nếu
0xa yb+ ≠
r r r

thì góc giữa AM và (ABC) bằng góc giữa
m
ur
và
xa yb+
r r
, còn
0xa yb+ =
r r r
thì AM
⊥
(ABC).
Bài toán 8. Cho đường thẳng chéo nhau, d
1
đi qua A
1
và có véc tơ chỉ phương
1
a
ur
; đường thẳng
d
2
đi qua A
2
và có véc tơ chỉ phương
2
a
uur
.

Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng trên.
Phương pháp giải:
+ Góc giữa hai đường thẳng :
1 2
1 2
.
os
.
a a
c
a a
ϕ
=
ur uur
ur uur
+Đoạn vuông góc chung P
1
P
2
( P
1
thuộc d
1
, P
2
thuộc d
2
), khi đó:
1 2 1 2
PP xa m ya= + +

uuuur ur ur uur
. Do
1 2 1
1 2 2
. 0
,
. 0
PP a
x y
PP a

=

⇒

=


uuuur ur
uuuur uur
Khoảng cách cần tìm:
2
1 2 1 2
( )PP xa m ya= + +
uuuur ur ur uur
Ví dụ 4
Cạnh đáy của lăng trụ tam giác đều ABC.A
1
B
1

C
1
bằng a, các điểm O và O
1
tương ứng trọng tâm
của các dáy ABC và A
1
B
1
C
1
.Độ dài hình chiếu của đoạn thẳng AO
1
trên đường thẳng B
1
O bằng
5
4
a
.Hãy tính đường cao của lăng trụ.
Lời giải:
Chọn hệ véc tơ cơ sở
{ }
1
AA , ,m AB n AC p= = =
uuuur ur uuur r uuur ur
.
Giả sử
h m=
ur

Ta có:
( ) ( )
( )
1 1 1 1
1 1
1 1
AA 3
3 3
1
3 2
3
AO AB AC m n p
B O AO AB m n p
= + + = + +
= − = − − +
uuuur uuuur uuur uuuur ur r ur
uuur uuur uuur ur r ur
Suy ra:
( )
( )
2 2
1 1
2 2
2 2
1 1
2 2
1
9 3
3
1 6

. 6 , os
6
2 3
AO B O h a
h a
AO B O h a c
h a
ϕ
= = +
+
= − + =
+
uuuur uuur
uuuur uuur
Vì:
1
5
. os =
4
a
AO c
ϕ
uuuur
A1
A
B1
C1
B
C
O1

O
- 4 -
Huychk2
nên
2 2 2 2
2 2
9 3 (6 ) 5 6
6(3 ) 6 3
h a h a a a
h
h a
+ +
= ⇒ =
+
Ví dụ 5
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA=4.Điểm D nằm trên cạnh SC, CD=3, còn khoảng
cách từ A đến đường thẳng BD bằng 2. Tính thể tích của hình chóp.
Lời giải:
Chọn hệ véc tơ cơ sở
{ }
, ,SA a SB b SC c= = =
uur r uur r uuur r
Đặt
ϕ
là góc phẳng ở đỉnh của hình chóp.
N là hình chiếu vuông góc của điểm A trên
đường thẳng BD.
) (1 )AN DN DA xDB DA a xb x c= − = − = − + + −
uuur uuur uuur uuur uuur r r r
Do AN

⊥
DB
( )
. 0 (1 ) ( ) 0
(17 1) 8( 1) os 0 (1)
AN DB a xb x c b c
x x c
ϕ
⇒ = ⇔ − + + − − =
⇔ − − + =
uuur uuur r r r r r
S
A
B
C
D
N
Mặt khác:
2
2 2
2 4 17 2 13 8( 1) cos 0 (2)AN AN x x x
ϕ
= ⇔ = ⇔ − + − + =
uuur
Từ (1) và (2) ta được
7
9
x =
.Vì vậy :
55

os
64
c
ϕ
=
Ta tính độ dàiđường cao của hình chóp SO.
Vì O là trọng tâm của tam giác ABC nên
( ) ( )
( )
2
2 2
1 1
4
3 3
1 1 1
4 48 96 os 58
3 3 2
9
2
SO SA SB SC a b c
SO a b c c
AB b a
ϕ
= + + = + +
⇒ = + + = + =
= − =
uuur uur uur uuur r r r
uuur r r r
uuur r r
Vậy:

2
.
3
1 3 174
.
3 4 16
S ABC
AB
V SO= =
uuur
uuur
.
Ví dụ 6
Đáy của hình chóp S.ABC là tam giác đều ABC cạnh bằng
4 2
, cạnh bên SC vuông góc với
đáy và có độ dài bằng 2. M,N lần lượt là trung điểm BC, AB.Hãy tìm số đo của góc và khoảng
cách giữa SM và CN.
Lời giải:
- 5 -
Huychk2
Ta chọn hệ véc tơ cơ sở
{ }
, ,CA a CB b CS c= = =
uuur r uuur r uuur r
+Ta tìm góc
ϕ
giữa SM và CN?
Ta có:


1
( 2 )
2
1
( )
2
SM CM CS b c
CN a b
= − = −
= +
uuur uuuur uuur r r
uuur r r
Khi đó:

0
. 2
os 45
2
.
SM CN
c
SM CN
ϕ ϕ
= = ⇒ =
uuur uuur
uuur uuur
A
S
B
C

M
N
Q
P
+Tính khoảng cách giữa SM và CN?
Gọi P thuộc SM và Q thuộc CN. Khi đó:
( ) ( )
1
2 2
2
PQ xSM yCN SC ya x y b x c
 
= + + = + + − +
 
uuur uuur uuur uuur r r r
Do PQ là đoạn vuông góc chung của SM và CN nên:
( ) ( )
2
2
. 0 3 3 1
3
2 0 1
. 0
3
1 1 2 3
2 2
6 6 3
x
PQ SM x y
x y

PQ CN
y
PQ a b c PQ a b c

= −


= + = −

 
⇔ ⇔
  
+ =
=




=


⇒ = − − ⇒ = − − =
uuur uuur r
uuur uuur r
uuur r r r uuur r r r
Ví dụ 7
Đáy của hình chóp S.ABC là tam giác đều ABC với cạnh bằng 1, cạnh SA vuông góc vuông góc
với đáy,
3SA =
. Mặt phẳng

( )
α
song song với các đường thẳng SB và AC, mặt phẳng
( )
β

song song với các đường thẳng SC và AB. Tính giá trị của góc giữa hai mặt phẳng
( )
α
và
( )
β
.
Lời giải:
Chon hệ véc tơ cơ sở
{ }
, ,AS a AB b AC c= = =
uuur r uuur r uuur r
.
Giả sử
,m n
ur r
là các véc tơ bất kì khác
0
r
,
tương ứng vuông góc hai mặt phẳng
( )
α
và

( )
β
,
còn
ϕ
góc hai mặt phẳng
( )
α
và
( )
β
.
Thế thì:
.
os
.
m n
c
m n
ϕ
=
ur r
ur r
Đặt
m xa yb zc= + +
ur r r r
A
S
B
C

Ta có:
( )
( ) ( )
0
. 0
. 0
( ) 0
b c xa yb zc
SB m
m
AC m
c xa yb zc
α


− + + =
=
 
⊥ ⇔ ⇔
 
=


+ + =


r r r r r
uur ur
ur
uuur ur

r r r r
- 6 -
Huychk2

23
6 2 0
1
2 0
2
y
x y z
y z
x z
= −

− − =


⇔
 
+ =
= −



Số phương trình bé hơn số ẩn, điều đó chứng tỏ
( )
m
α
⊥

ur
không được xác định duy nhất.
Chọn
1 1, 4z x y= − ⇒ = =
nên
4 2m a b c= + −
ur r r r
là một trong các véc tơ vuông góc với
( )
α
Tương tự :
( )
1
.
2
. 0
2
SC n o
t u
n ta ub vc
AB n
v u
β


=
= −
 
= + + ⊥ ⇔ ⇔
 

=



= −

uuur r
r r r r
uuur r
Chọn :
2 4, 1u v t= − ⇒ = = ⇒
2 4n a b c= − +
r r r r
Khi đó :
.
1
os
5
.
m n
c
m n
ϕ
= =
ur r
ur r
.
Bài tập vân dụng.
Bài 1. Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a, CA=BD=b, AD=BC=c. Tính cosin của góc giữa các
cạnh đối diện.

Bài 2. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
có BC=a, AC=b, Ab=c, AA
1
=h. Tính cosin của
góc:
1.Giữa AB
1
và BC
1
.
2.Giữa AB và B
1
C.
Bài 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, CC’=c. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng BC’ và CD’.
Bài 4. Cho tứ diện đều SABC cạnh bằng 1. BD là đường cao của tam giác ABC Tam giác đều
BDE nằm trong mặt phẳng tạo với cạnh AC góc
ϕ
, biết rằng các điểm S và E nằm về một phía
đối với mặt phẳng (ABC). Tính SE.
Dạng 3. Phần quan hệ vuông góc
Bài toán 9. Hai đường thẳng phân biệt AB và CD vuông góc với nhau khi và chỉ khi
. 0AB CD =
uuur uuur
.

Bài toán 10. Cho hai
,a b
r r
không cùng phương thuộc mặt phẳng (P), AB không thuộc (P) . Khi
đó :AB
⊥
(P)
. 0
. 0
AB a
AB b

=

⇔

=


uuur r
uuur r
.
Ví dụ 8
Cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D

1
. M và N là các điểm thuộc các đường chéo BA
1
và CB
1

sao cho:
1 1
1 2
,
2 1
BM CN
MA NB
= =
. Chứng minh rằng:
1 1
,MN BA MN CB⊥ ⊥
.
Lời giải:
Chọn hệ véc tơ cơ sở
{ }
1
, ,BA a BB b BC c= = =
uuur r uuur r uuur r
Khi đó:
; . . . 0a b c a a b c b a c= = = = = =
r r r r r r r r r
Theo bài ra :

( )

( )
1
1
1
1
1 1 1
2 3 3
2 2 2
1 3 3
BM
BM BA a b
MA
CN
CN CB b c
NB
= ⇒ = = +
= ⇒ = = −
uuuur uuur r r
uuur uuur r r
A1
D1
C1
B1
A
B
C
D
M
N
Mặt khác:

- 7 -
Huychk2
( )
( )
1
2
3
1
3
BN BC CN b c
MN BN MN a b c
= + = +
= − = − + +
uuur uuur uuur r r
uuuur uuur uuuur r r r
Do đó:
( ) ( )
( ) ( )
1 1
1 1
1
. 0
3
1
. 0
3
MN BA a b c a b MN BA
MN CB a b c b c MN CB
= − + + + = ⇒ ⊥
= − + + − = ⇒ ⊥

uuuur uuur r r r r r
uuuur uuur r r r r r
Ví dụ 9
Cho hình hộp ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có các mặt là các hình thoi bằng nhau.Các góc phẳng của góc
tam diện đỉnh A
1
bằng nhau.
Chứng minh rằng:
1 1 1
( )AC AB D⊥
.
Lời giải:
Chọn hệ véc tơ cơ sở
{ }
1 1 1 1 1
, ,A A a A B b A D c= = =
uuur r uuuur r uuuur r
Theo giả thiết :
·
·
·
1 1 1 1 1 1 1

AA D D A B AA B
ϕ
= = =
Gọi m là độ dài cạch hình hộp.
Ta có:
( )
1 1 1
1 1
. ( ) 0
(1)
AC a b c AC AB a b c b a
AC AB
= + + ⇒ = + + − =
⇒ ⊥
uuur r r r uuur uuur r r r r r
uuur uuur
( )
1 1
1 1
. ( ) 0
(2)
AC AD a b c c a
AC AD
= + + − =
⇒ ⊥
uuur uuuur r r r r r
uuur uuuur
Từ (1) và (2) suy ra
1 1 1
( )AC AB D⊥

.
O1
A1
D1
C1
B1
A
B
C
D
Bài tập vân dụng.
Bài 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M,N lần lượt là trung điểm cạnh AD và BB’.
Chứng minh : MN
⊥
A’C.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC, SA
⊥
(ABC), SA=a
3
, AC=2a, AB=a,
·
0
90ABC =
. Gọi M và N là
hai điếm sao cho:
3 0
4 3 0
MB MS
NS NC
+ =

+ =
uuur uuur r
uuur uuur r
Chứng minh: SC
⊥
(AMN).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC, đáy ABC là tam giác cân tại A.
Vẽ SO
⊥
(ABC), D là trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm tam giác ADC.
Chứng minh: DC
⊥
(SOE)).
- 8 -