Trang -1
Chơng 6
ứng dụng phép tính vi phân
Trong hình học
6.1 Hàm véc tơ
1. Định nghĩa
Cho T là một khoảng trong R. ánh xạ tT

r
(t)R
2
. gọi
là một hàm véc tơ biến số thực xác định trên T. Ký hiệu:

r
=

)(tr
Nếu x(t), y(t), z(t) là ba thành phần của

r
(t) và

i
,

j
là các
véc tơ đơn vị của các trục toạ độ tơng ứng ta có:

r

=x(t)

i
+y(t)

j
+z(t)

k
Đặt
=OM

r
, khi đó M có các toạ độ là (x(t),y(t),z(t)). Quỹ
tích của M khi t biến thiên trên T là một đờng cong L trong
R
3
và gọi là tốc đồ của

r
.
Nh vậy ta có thể xem đờng cong L với phơng trình tham số:
L=





)(
)(

)(
tz
ty
tx
(tT)
là tốc đồ của hàm véc tơ

r
=

r
(t), tT.
Ví dụ 6.1: Hàm véc tơ:

r
(t)=

r
=t

i
+t
2

j
, t[-1,1]
Có tôc đồ là đờng cong:
L=




=
=
2
ty
tx
t[-1,1]
Đó chính là cung Parabol y=x
2
, x[-1,1].
2. Giới hạn và đạo hàm của hàm véc tơ
Trang -2
a. Định nghĩa
Ta gọi véc tơ cố đinh

a
là giới hạn của hàm véc tơ

r
(t) khi
t dần đến t
0
nếu khi tt
0
nếu môđun của

r
(t) -

a

0, ký
hiệu:


= atr
tt
)(lim
0
Nếu

r
(t) xác định tại t
0
và
=


)(lim
0
tr
tt

r
(t
0
) thì ta nói

r
(t)
liên tục tai t

0
. Cho t số gia
t
= t - t
0
, gọi
)()(
00
trttrr

+=
là số gia tơng ứng của hàm véc tơ tai
t
0
. Hiền nhiên

r
(t) liên tục tai t
0
khi và chỉ khi:
=


)(lim
0
tr
t

(véc tơ không).
Cho


r
(t) xác định tại t
0
và lân cận của t
0
. Nếu tồn tại giới
hạn:
)('lim
0
0
tr
t
r
t



=


thì giới hạn ấy đợc gọi là véc tơ đạo hàm của hàm
)(tr

tại t=t
0
.
Từ

r

=x(t)

i
+y(t)

j
+z(t)

k
ta có:

+= jtyitxtr )()()(
+ z(t)

k
Nên:








+


+



=






k
t
tz
j
t
ty
i
t
tx
t
tr
ttt
)()()(
lim
)(
lim
0
0
=x(t
0
)

i

+ y(t
0
)

j
+z(t)

k
Vậy



+== jtyitx
dt
rd
tr )(')(')('
+z(t)

k
b. ý nghĩa hình học và cơ học của đạo hàm véc tơ
Trang -3
(i) Trên tốc đồ ta có:
000
)( OMrtr ==

OMrtr ==

)(
MMrrr
00

==

Véc tơ
t
r



nằm theo phơng
dây cung M
0
M. Khi
0
tt
, M dần đến M
0
theo đờng cong,
phơng của dây cung M
0
M dần đến trùng với phơng của tiếp
tuyến M
0
T tại tiếp điểm M
0
nếu tiếp tuyến này tồn tại. Nh vậy
véc tơ đạo hàm
)('
0
tr


tại t
0
nằm theo tiếp tuyến với tốc đồ của
hàm véc tơ
)(tr

tại M
0
ứng với t=t
0
.
Vì
)('
0
tr

đợc xác định khi biết hớng và độ dài của nó, nên
khác với đạo hàm của hàm biến số thực, y=f(x), đạo hàm
y=f(x
0
) chỉ cho biết phơng của tiếp tuyến tại M
0
(x
0
,y
0
).
(ii) Xét một điểm chuyển động M có toạ độ là những hàm
khả vi của t:
x=x(t), y=y(t)

Nếu đặt
OMtr =

)(
thì tốc đồ L của
)(tr

chính là quỹ đạo
chuyển động của điểm M. Gọi
00
)( OMtr =

, khi đó với
0
ttt =
ta có:
MMOMOMtrtrtr
000
)()()( ===

Do đó:





==

=



v
dt
rd
MM
MM
t
r
tt
0
0
00
limlim
là véc tơ vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t
0
.
c. Các công thức tính đạo hàm của hàm véc tơ
Trang -4
Giả sử

p
,

q
,

r
là những hàm véc tơ trong R
2
hoặc R

3
cùng
một biến t, khi bằng định nghĩa ta dẽ dàng chứng minh đợc các
công thức sau:
1.
dt
rd
dt
qd
dt
pd
rqp
dt
d


+=+ )(

2.
dt
d
p
dt
pd
p
dt
d






+=)(
( là hàm số khả vi của t)
3.
dt
pd
q
dt
qd
pqp
dt
d




+=






.
4.
dt
pd
q
dt

qd
pqp
dt
d




+=







5.










+











+










=













dt
rd
qpr
dt
qd
prq
dt
pd
rqp
dt
d
,,,,,,,,
6. Nếu

p
có độ dì không đổi nhng hớng thay đổi, nh vậy
tốc đồ của

p
là một đờng cong nằm trên mặt cầu tâm O, bán
kính p. Do

p
.

p
=p
2

nên lấy đạo hàm hai vế ta đợc:
2

p
.
0=

dt
pd
Chứng tỏ hai véc tơ

p
và
dt
pd

trực giao với nhau.
7. Nếu

p
có phơng không đổi, nhng có độ dài thay đổi, khi
đó:

p
=p(t).

0
p
Trang -5


0
p
là véc tơ đơn vị không đổi, còn p(t) là hàm của t. Khi đó:




=+=
0
0
0
)(
)(
)(
p
dt
tdp
dt
pd
tpp
dt
tdp
dt
pd
Nh vậy đạo hàm đồng phơng với véc tơ.
6.2 Hình học vi phân trong mặt phẳng
1. Vi phân cung
Trong mặt phẳng xét đờng cong L. Gọi ds là vi phân cung,
khi đó:
(i) Nếu L có phơng trình trong toạ độ Đềcac y=y(x) thì:

dxxyds )('1
2
+=
(ii) Nếu L có phơng trình tham số:



=
=
)(
)(
tyy
txx
t[t
0
,T]
dtyxds
22
'' +=
(iii) Nếu L là đờng cong trong toạ độ cực và có phơng
trình: r=r(). Chuyển toạ độ cực về toạ độ Đề các theo công
thức:



=
=


sin)(

cos)(
ry
rx
xem đó là phơng trình tham số của L theo . Ta có:

sincos')(' rrx =

cossin')(' rry +=
Do đó:
2222
')(')(' rryx +=+

Nên

drrds
22
' +=
2. Độ cong
a. Định nghĩa
Cho đờng cong L, không tự giao nhau và có tiếp tuyến tại
mọi điểm. Trên L chọn một chiều làm chiều dơng, trên tiếp
tuyến của L tại M, ta chọn một hớng ứng với hớng dơng của
L, gọi là tiếp tuyến dơng.
Trang -6
Nếu tại mỗi điểm trên L ta vẽ một tiếp tuyến dơng thì khi
tiếp điểm di chuyển một đoạn

= MMs
0
trên đờng cong, tiếp

tuyến dơng sẽ quay một góc nào đấy. Đờng cong L trên
cung

MM
0
càng cong nếu góc càng lớn.
Ngời ta gọi tỷ số
s


, trong đó là góc giữa hai tiếp
tuyến dơng tại hai mút của cung

MM
0
, s là độ dài của cung
đó, là độ cong trung bình của đờng cong trên cung

MM
0
. Ký
hiệu:
C
tb
=
s


Hiển nhiên , s chỉ phụ thuộc đờng cong mà không phụ
thuộc hệ toạ độ biểu diễn đờng cng L.

Từ khái niệm độ cong trung bình ta có định nghĩa độ cong
tại một điểm.
Định nghĩa: Độ cong tại điểm M
0
trên đờng cong L là giới
hạn, nếu có, của độ cong trung bình trên cung

MM
0
khi M
dần đến M
0
trên L. Ký hiệu độ cong tại M
0
là C(M
0
) ta có:
C(M
0
)=
ds
d
s
C
s
tb
MM

=



=
0
limlim
0
b. Công thức tính độ cong
Nếu gọi là góc của tiếp tuyến tại M
0
với đờng cong L, khi
đó:
dx
dy
ytg == '

Hay =arctg y
2
'1
"
y
y
dx
d
+
=

Trang -7
(i) Nếu đờng cong cho bởi phơng trình y=y(x), từ biểu thức
vi phân cung
dxxyds )('1
2

+=
hay
2
'1 y
dx
ds
+=

nên:
2
3
2
)'1(
"
y
y
ds
dx
dx
d
ds
d
+
==

Vậy: C(M)=
2
3
2
)'1(

"
y
y
+
(1)
(ii) Nếu đờng cong có phơng trình tham số:



=
=
)(
)(
tyy
txx
Do:
t
t
x
y
dx
dy
'
'
=
nên
( )









=
+
=+
32
2
2
22
2
'
''"'
'
''
)'1(
t
tttt
t
tt
x
xyyx
dx
yd
x
yx
y
(2)

Thay vào (1) ta đợc biểu thức phụ thuộc t:
C(M) =
2
3
22
)''(
"'"'
yx
xyyx
+

(3)
(iii) Nếu đờng cong có phơng trình trong toạ độ cực:
r=r()
Chuyển toạ độ cực về toạ độ Đề các theo công thức:



=
=


sin)(
cos)(
ry
rx
xem đó là phơng trình tham số của L theo . Ta có:

sincos')(' rrx =


cossin')(' rry +=
Trang -8

cossin'2cos")(" rrrx =

sincos'2sin")(" rrry +=
Do





+=
+=+
"'2"'"'
'''
22
2222
rrrrxyyx
rryx
(4)
Thay vào (3) đợc biểu thức phụ thuộc :
C(M) =
2
3
22
22
)'(
"'2
rr

rrrr
+
+
(5)
Ví dụ 6.2:
a. Tính độ cong của đờng Parabol y=a x
2
tại góc O.
Do y=2ax, y=2a nên tại x=0 ta có:
C=
2
3
2
)'1(
"
y
y
+
=2a
Nh vậy nếu a càng lớn thì đỉnh của Parabol càng cong.
b. Tính độ cong tại điểm bất kỳ của đờng Cycloit



=
=
)cos1(
)sin(
tay
ttax

(a>0)
Ta có: x=a(1 - cos t),y=a sint
x=a sin t, y=a cos t
Vậy
C=
2
3
22
)''(
"'"'
yx
xyyx
+

=
2
3
)cos1(.22
1cos
ta
t


=
2
sin4
1
t
a
c. Tính độ cong tại điểm =0 của đờng Cácđiôt:

r=a(1+cos)
Ta có:
r=a(1+cos) tại =0, r=2a
r=- a sin tại =0, r=0
r=- a cos tại =0, r=-a
Do đó:
Trang -9
C=
2
3
22
22
)'(
"'2
rr
rrrr
+
+
=
a
a
aa
4
3
8
24
3
22
=
+

3. Đờng tròn chính khúc và khúc tâm
a. Định nghĩa
Tại mỗi điểm M của đờng
cong L, về phía lõm của đờng
cong, trên đờng vuông góc với
tiếp tuyến tại M ( ta sẽ gọi là
pháp tuyến của L tại M), lấy
điểm I sao cho: MI=
)(
1
MC
. Đ-
ờng tròn tâm I, bán kính R=
)(
1
MC
đợc gọi là đờng tròn chính
khúc của L tại M.
Tâm I của đờng tròn chính khúc đợc gọi là khúc tâm ứng
với M, bán kính R=
)(
1
MC
của đờng tròn chính khúc gọi là
khúc bán kính.
Đờng tròn chính khúc tại M của L có chung tiếp tuyến với L
tại M và tại M chúng có cùng độ cong C(M)=
R
1
. Tại lân cận

của M xấp xỉ L bởi đờng tròn chính khúc sẽ tốt hơn xấp xỉ
bằng tiếp tuyến tai M.
b. Toạ độ của khúc tâm
Giả sử tại M(x,y), khúc tâm I có toạ độ (X,Y). Ta cần tìm
biểu thức của (X,Y) qua (x,y). Giả sử L có phơng trình y=f(x).
Gọi (,) là toạ độ các điểm trên pháp tuyến của L tại M,
phơng trình pháp tuyến của L tại M là
( )
x
y
y =

'
1
Vì khúc tâm I(X,Y) nằm trên pháp tuyến nên ta có:
Trang -10
( )
xX
y
yY =
'
1
(6)
Vì MI=R nên:
(X-x)
2
+(Y-y)
2
=R
2

(7)
Từ hai phơng trình trên suy ra:
"
)'1('
2
y
yy
xX
+
=
,
"
'1
2
y
y
yY
+
=
Nếu y>0 đờng L lõm nên Y>y, vậy:
"
'1
2
y
y
yY
+
+=
Nếu y<0 đờng L lồi nên Y<y, vậy:
"

'1
2
y
y
yY
+
=
=
"
'1
2
y
y
y
+
+
Thay Y vào (6) ta đợc:
"
)'1('
2
y
yy
xX
+
=
Vậy toạ độ (X,Y) của khúc tâm I là:








+
+=
+
=
"
'1
"
)'1('
2
2
y
y
yY
y
yy
xX
(8)
Nếu L có phơng trình tham số:



=
=
)(
)(
tyy
txx


Thay các biểu thức (2) vò (8) đợc toạ độ của khúc tâm I là:








+
+=

+
=
"'"'
)''('
"'"'
)''('
22
22
xyyx
yxx
yY
xyyx
yxy
xX
(9)
Trang -11
Nếu L có phơng trình trong toạ độ cực: r=r() thay (4) vào

(9) đợc toạ độ của khúc tâm I là:








+
+
+=
+
+
+
=
)sincos'(
''2
'
sin
)cossin'(
''2
'
cos
22
22
22
22



rr
rrrr
rr
rY
rr
rrrr
rr
rX
(10)
Ví dụ 6.3: Xác định khúc tâm của Hypebôn xy=1 tại M(1,1)
và viết phơng trình đờng tròn chính khúc tại điểm đó.
Từ xy=1, đạo hàm hai vế ta đợc: y+xý=0 hay y=
x
y

. Do
đó:
22
2"
"
x
y
x
yxy
y =

=
Tại x=1, y=1 ta có: y= - 1, y=2. Vậy:
R=
2

2
)11(
"
)'1(
2
3
2
3
2
=
+
=
+
y
y
Toạ độ khúc tâm là:







=
+
+=
=
+
=
2

2
11
1
2
2
)11(1
1
Y
X
Phơng trình của đờng tròn chính khúc là:
(x-2)
2
+(y-2)
2
=2
4. Đờng túc bế. Đờng thân khai
Định nghĩa: Ngời ta gọi đờng túc bế của đờng cong L là quỹ
tích, nếu có, của các khúc tâm của đờng đó.
Nh vậy các phơng trình (8), (9), (10) là phơng trình tham số
của đờng cong túc bế tơng ứng khi L có phơng trình trong toạ
độ Đề Các, phơng trình tham số và phơng trình trong toạ độ
cực.
Ví dụ 6.5: Tìm bán kính chính khúc và đờng túc bế của Elip
Trang -12



=
=
tby

tax
sin
cos
(a>b>0)
Ta có: x=- a sin t, y= b cos t, x= - a cos t, y= - b sin
t.
R=
"'"'
)''(1
2
3
22
xyyx
yx
C
+
=
=
ab
tbta
2
3
2222
)cossin( +
Phơng trình tham số của túc bế là:










=
+
==

=
+
=
t
b
ba
ab
tbta
tatbY
t
a
ba
ab
tbta
tbtaX
3
222222
3
222222
sin
cossin
sinsin

cos
cossin
coscos
Nếu đặt c
2
=a
2
b
2
ta có:








=
=
t
b
c
Y
t
a
c
X
3
2

3
2
sin
cos
Đó là phơng trình của mặt
axtroit lệch.
Định nghĩa: Nếu đờng cong L nhận đờng cong làm đờng
túc bế thì L đợc gọi là đờng thân khai của .
Từ ví dụ trên ta thấy Elip



=
=
tby
tax
sin
cos
(a>b>0)
là thân khi của axtroit lệch:







=
=
t

b
c
y
t
a
c
x
3
2
3
2
sin
cos
(c
2
=a
2
b
2
)
Trang -13
Ta thừa nhận các tính chất sau đay của đờng túc bế và thân
khai.
Tính chất 1: Pháp tuyến tại mỗi điểm M(x,y) của đờng cong
L là tiếp tuyến của đờng túc bế của L tại khuc tâm I ứng
với M.
Nh vậy túc bế của một đờng cong L là đờng tiếp xúc với
họ đơng pháp tuyến của L tại các khúc tâm.
Tính chất 2: Độ dài của một cung trên đờng bằng trị số
tuyệt đối của hiệu các khúc tâm bán kính của thân khai L của

nó tại hai mút của cung ấy, nếu dọc theo cung ấy khúc bán
kính biến thiên đơn điệu.
Nói các khác, nếu gọi


là số gia của một cung trên , và
R là số gia tơng ứng của khúc bán kính trên thân khai của nó
thì:
R=

6.3 Hình học vi phân trong không gian
1. đờng cong trong không gian
Tơng tụ nh trong mặt phẳng, mọi đờng cong L trong không
gian đều có thể xem nh tốc đồ của hàm véc tơ:

++== ktzjtyitxtrOM )()()()(
Nh vậy L có phơng trình tham số:
{x=x(t), y=y(t), z=z(t)}
Ví dụ 6.6: Lập phơng trình quỹ đạo của điểm M nằm trên
mặt trụ tròn xoay có trục Oz bán kính a, có chuyển động vừa
quay tròn đều quang trục Oz với vận tốc , vừa tịnh tiến dọc
theo Oz với vận tốc không đổi k.
Quỹ đạo này đợc gọi là đờng đinh ốc trụ xoay,
Hình chiếu vông góc trên mặt
phẳng Oxy của mọi điểm
M(x,y,z) trên quỹ đạo đều nằm
trên đờng tròn tâm O, bán kính a
thuộc mặt phẳng ấy. Gọi p là
hình chiếu của M(x,y,z) trên
Oxy ta có:

PMOPOMr +==

Trang -14
Chiếu véc tơ đó xuống các
trục toạ độ ta đơc:
x=a cos, y=a sin,
z=kt
Trong đó t là thời gian chuyển động của điểm M tỷ lệ với góc
quay của OP quanh O, do đó: =t hay


=t
.
Coi t là tham số ta có phơng trình tham số của đờng xoáy
đinh ốc là:





=
=
=
ktz
tay
tax


sin
cos

Còn nếu dung góc quay làm tham số ta đợc phơng trình:







==
=
=




b
k
z
ay
ax
sin
cos
2. Độ cong
Tơng tự nh trong mặt phẳng, ta gọi độ cong của L tại M là
giới hạn, nếu có:
C(M
0
)=
ds
d

s
C
s
tb
MM

=


=
0
limlim
0
Nếu L có phơng trình tham số:





=
=
=
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
Khi đó:
Trang -15

C(M)=
2
3
222
222
)'''(
""
''
""
''
""
''
zyx
xz
xz
zy
zy
yx
yx
++
++
VÝ dô 6.7: tÝnh ®é cong t¹i ®iÓm bÊt kú cña ®êng ®inh èc.
Sö dung ph¬ng tr×nh theo ϕ ta cã:
x’=-a sinϕ, y’=a cosϕ, z’=b
x”=-a cosϕ, y”=- a sinϕ, z”=0
Do:
2
sincos
cossin
a

aa
aa
=
−−
−
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
ϕ
ϕ
sin
0sin
cos
ab
a
ba
=
−
,
ϕ
ϕ
ϕ
cos
cos0
sin
ab
a
ab
−=
−

−
2222222222
cossin''' babaazyx +=++=++
ϕϕ
Nªn ta cã:
C(M)=
22
ba
a
+
VËy ®é cong cña ®êng xo¾n ®inh èc t¹i méi ®iÓm ®Òu b»ng
nhau.
C(M)=
2
3
222
)'''(
""
''
""
''
sincos
cossin
zyx
xz
xz
zy
zy
aa
aa

++
++
−−
−
ϕϕ
ϕϕ