Chương 3: Nội suy và xấp xỉ hàm số doc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (395.75 KB, 34 trang )
1
Chương 3
Chương 3
Nội suy và xấp xỉ
Nội suy và xấp xỉ
hàm số
hàm số
2
3.1. Số gia hữu hạn
3.1. Số gia hữu hạn
Cho giá trị của hàm số ƒ(x) tại các điểm mốc
Là …,
1. Số gia hữu hạn tiến
- Số gia hữu hạn tiến bậc 1 của hàm ƒ(x) tại điểm x là
mmmiihxx
i
, ,1,0, ,,,
0
−−=+=
),(
m
xf
−
),(
1+−m
xf
),(
m
xf
)()()( xfhxfxf
−+=∆
3
-
Số gia hữu hạn tiến bậc 2 và bậc cao hơn:
……………………………………………………….
k=1,2,…
)()(2)2(
)()()()2(
)()()(
2
xfhxfhxf
xfhxfhxfhxf
xfhxfxf
++−+=
++−+−+=
∆−+∆=∆
)()1( ))2((
!2
)1(
))1(()(
)()()(
)1()1(
xfhkxf
kk
hkxkfkhxf
xfhxfxf
k
kkk
−++−+
−
+−+−+=
∆−+∆=∆
−−
4
Hoặc
là một số (hệ số binôm)
))(()1(
)1.3()()1()(
0
0
hikxf
i
k
ihxf
i
k
xf
k
i
i
k
i
ikk
−+
−=
+
−=∆
∑
∑
=
=
−
i
k
,1
0
=
k
,
1
k
k
=
, ,
!2
)1(
2
−
=
kk
k
ki
i
ikkkk
i
k
≤
+−−−
=
,
!
)1) (2)(1(
5
2. Số gia hữu hạn lùi
Số gia hữu hạn lùi bậc 1, 2 và bậc cao hơn của hàm ƒ(x) tại
điểm x
………………………………………………………………
)2()(2)(
)()()(
)()()(
2
hxfhxfxf
hxfxfxf
hxfxfxf
−+−−=
−∇−∇=∇
−−=∇
)()1(
)2.3(),)(()1()(
0
0
ihxf
i
k
hikxf
i
k
xf
k
i
i
k
i
ikk
−
−=
−−
−=∇
∑
∑
=
=
−
6
3. Số gia hữu hạn trung tâm
Số gia hữu hạn trung tâm bậc 1, 2 và bậc cao hơn của hàm
ƒ(x) tại điểm x
……………………………………………………
)()(2)(
)2/()2/()(
)2/()2/()(
2
hxfxfhxf
hxfhxfxf
hxfhxfxf
−+−+=
−−+=
−−+=
δδδ
δ
)4.3()
2
()()(
)3.3(),)2/(()1()(
0
h
k
xfkhxfxf
hikxf
i
k
xf
kkk
k
i
ikk
+=+∇=∆⇒
−+
−=
∑
=
−
δ
δ
7
3.2. Các bảng số gia
3.2. Các bảng số gia
Bảng số gia hữu hạn tiến
8
Bảng số gia hữu hạn lùi
Bảng số gia hữu hạn lùi
9
10
3.3. Các phương pháp nội suy
3.3. Các phương pháp nội suy
1. Nội suy với mốc cách đều
xét cách biểu diễn một đa thức theo số gia hữu hạn
•
Nếu thay cho việc dùng biến x khi các mốc cách đều ta dùng biến
•
Thì các mốc được thay thế
bằng u = -m , -m+1, … , 0 , 1 , … , m
ii
xxh
h
xx
u −=
−
=
+1
0
,
11
Nội suy Gregory-Newton tiến
Nội suy Gregory-Newton tiến
Ta dùng một loại đa thức được gọi là đa thức giai
thừa
),1) (2)(1(
),1(
,
,1
][
]2[
]1[
]0[
+−−−=
−=
=
=
kuuuuu
uuu
uu
u
k
12
Khi đó, theo định nghĩa (3.1), số gia hữu hạn tiến bậc 1 của u[k]
Tương tự
][][
)1(
kkk
uuu
−+=∆
]1[
][]1[
)1()1(
−
−
=
+−−+=
k
kk
ku
ukuuu
!
)1(
][
]2[][2
ku
ukku
kk
kk
=∆
−=∆
−
13
14
15
•
Nếu |ƒ
(N+1)
(x)|<M
1
, M
1
là một số dương đủ nhỏ thì công thức nội
suy Gregory-Newton tiến với sai số E
N
là
∀
∆
i
y
0
= ∆
i
P
N
(x
0
), i =0, 1, 2, …, N
•
y
j
= P
N
(x
j
) = ƒ(x
j
) , j = 0, 1, 2, …, N, x
0
< ξ < x
N
•
Tại điểm x = x
0
+ ph
)!1(
)(
!
)1(]1[1
,
0
0
][
+
=
+
∆
=
+++
=
∑
N
fuh
E
E
i
yu
y
NNN
N
N
N
i
ii
ξ
0
0
3
0
2
00
!
)1) (2)(1(
!3
)2)(1(
!2
)1(
)(
y
N
Npppp
y
ppp
y
pp
ypyxP
N
N
∆
+−−−
++
∆
−−
+∆
−
+∆+=
16
Nội suy Gregory-Newton lùi
Nội suy Gregory-Newton lùi
Ta dùng một loại đa thức được gọi là đa thức giai
thừa
),1) (2)(1(
),1(
,
,1
][
]2[
]1[
]0[
−+++=
+=
=
=
kuuuuu
uuu
uu
u
k
17
Khi đó, theo định nghĩa (3.2), số gia hữu hạn lui bậc 1 của u
[k]
Tương tự
Ta nhận thấy
u
1
= u
[1]
,
u
2
= u(u+1)-u = u
[2]
- u
[1]
,
u
3
= u(u+1)(u+2) + 3u(u+1) + u
= u
[3]
-3 u
[2]
+ u
[1]
][][][
)1(
kkk
uuu
−−=∇
]1[
]1[]1[
)1()1(
−
−−
=
−−−+=
k
kk
ku
uuuku
!
)1(
][
]2[][2
ku
ukku
kk
kk
=∇
−=∇
−
18
]0[]1[
1
]1[
1
][
0
)( ucucucucxP
NN
NN
N
++++=
−
−
NNN
NN
N
cccccxP =++++=
−
− ]0[]1[
1
]1[
1
][
00
00 00)(
10
]0[
1
]2[
1
]1[
0
)(
)1()(
−
−
−−
=∇⇒
++−+=∇
NN
N
NN
N
cxP
ucucNuNcxP
0
2
]3[
1
]2[
0
2
!)(
12 )1)(2()1()(
cNxP
cucNNucNNxP
N
N
N
NN
N
=∇
××++−−+−=∇
−
−−
Tức là u
k
có thể biểu diễn thành một đa thức của các đa thức
giai thừa u
[i]
, i = 1, 2, …, k và do
P
N
(x) = P
N
(x
0
+ uh)
Là một đa thức bậc N của u
[i]
, cho nên ta có thể viết
Tính c
0
, c
1
,…,c
N
:
Tại thời điểm x=x
0
hay u=0 ta tính P
N
(x)
và ∇
k
P
N
(x)
19
⇒
Như vậy:
0
0
2
0
2
10
0
!
)(
!2
)(
,)(
,)(
c
N
xP
c
xP
cxP
cxP
N
N
N
N
NN
NN
=
∇
=
∇
=∇
=
−
−
∑
=
∇
=
+∇++
∇
=
N
i
i
N
i
NN
N
N
N
N
i
uxP
xP
hay
xPuxPu
N
xP
xP
N
0
][
0
0
]1[
0
][
0
!
)(
)(
)()(
!
)(
)(
20
•
Nếu |ƒ
(N+1)
(x)|<M
1
, M
1
là một số dương đủ nhỏ thì công thức nội
suy Gregory-Newton lui với sai số E
N
là
∀
∇
i
y
0
= ∇
i
P
N
(x
0
), i =0, 1, 2, …, N
•
y
j
= P
N
(x
j
) = ƒ(x
j
) , j = 0, 1, 2, …, N, x
0
< ξ < x
N
•
Tại điểm x = x
0
+ ph
)!1(
)(
!
)1(]1[1
,
0
0
][
+
=
+
∇
=
+++
=
∑
N
fuh
E
E
i
yu
y
NNN
N
N
N
i
ii
ξ
N
N
NNNNN
y
N
Npppp
y
ppp
y
pp
ypyxP
∇
+−−−
++
∇
−−
+∇
−
+∇+=
!
)1) (2)(1(
!3
)2)(1(
!2
)1(
)(
32
21
Nội suy Gauss
Nội suy Gauss
•
Gauss tiến:
•
Nếu số hạng cuối cùng là (u+k-1)
[2k]
δ
2k
y
o
/(2k)! thì sai số là:
•
Nếu số hạng cuối là thì sai số là
!2
)1(
2)!12(
)1(
!6
)2(
2!5
)2(
!4
)1(
2!3
)1(
!22
0
2
]2[
1
12
]12[
0
6
]6[
1
5
]5[
0
4
]4[
1
3
]3[
0
2
]2[
1
]1[
0
+
−+
+
+
−+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
++=
−
−
y
k
kuy
k
ku
y
uyu
y
uyu
y
uy
uyy
k
k
k
k
δδδδ
δδδδ
)!12(
)()(
)12(12]12[
12
+
+
=
+++
+
k
fhku
E
kkk
k
ξ
)!2(
)()1(
)2(2]2[
2
k
fhku
E
kkk
k
ξ
−+
=
2)!12(
)1(
1
12
]12[
y
k
ku
k
k
−
−
+
−+
δ
22
•
Gauss lùi
Nếu số hạng cuối cùng là thì sai số là:
Nếu số hạng cuối là thì sai số là
)!12(
)(
)!2(
)(
!5
)2(
!4
)2(
!3
)1(
!2
)1(
)(
2/1
12
]12[
0
2
]2[
2/1
5
]5[
0
4
]4[
2/1
3
]3[
0
2
]2[
2/1
]1[
0
]0[
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
++=
−
+
+
−
−−
y
k
ku
y
k
ku
y
u
y
u
y
u
y
u
yuyuy
k
k
k
k
δδδδ
δδδ
2/1
12
]12[
)!12(
)(
−
+
+
+
+
y
k
ku
k
k
δ
))!1(2(
)()(
))1(2()1(2)]1(2[
)1(2
+
+
=
+++
+
k
fhku
E
kkk
k
ξ
0
2
]2[
)!2(
)(
y
k
ku
k
k
δ
+
)!12(
)()1(
)12(12]12[
12
+
−+
=
+++
+
k
fhku
E
kkk
k
ξ
23
2. Nội suy với mốc không cách đều
Nội suy Lagrange
Trên đoạn a≤x≤b cho một lưới các điểm chia (điểm nút) x
i
, i = 0,
1, 2, …, n:
a ≤ x
0
, x
1
, x
2
, …, x
n
≤ b
tại các nút x
i
cho giá trị của hàm số y = f(x) là y
i
= f(x
i
),
i = 0, 1, 2, …, n
24
25
