Th viện SKKN của Quang Hiệu />Phần I - Đặt vấn đề
1. Lí do chọn đề tài:
a) Cơ sở lí luận:
Để phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh nhằm bồi dỡng
và phát triển trí tuệ và năng lực hoạt động của học sinh là nhiệm vụ trọng tâm
trong quá trình dạy học là nội dung của việc đổi mới phơng pháp dạy học theo
chơng trình cải tiến.
Dạy học toán là dạy cho học sinh phơng pháp học toán và giải toán để vận
dụng kiến thức đã học vào thực tế cuộc sống. Nội dung kiến thức toán học đợc
trang bị cho học sinh THCS ngoài việc dạy lí thuyết còn phải chú trọng tới việc
dạy học sinh phơng pháp giải một số bài toán, nhng để nắm vững cách giải 1
dạng toán nào đó đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức đã học một cách
linh hoạt, sáng tạo, tính cẩn thận, kết hợp với sự khéo léo và kinh nghiệm đã tích
luỹ đợc để giải quyết các bài tập có liên quan. Thông qua việc giải bài tập chống
t tởng hình thức hoá, t tởng ngại khó đặc biệt việc xác định các vấn đề thiếu căn
cứ. Do đó nâng cao năng lực t duy, óc tởng tợng, sáng tạo, rèn khả năng phán
đoán, suy luận của học sinh.
b) Cơ sở thực tiễn:
Trong chơng trình giảng dạy bộ môn toán ở khối lớp 8, lớp 9 tôi nhận
thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc nhận dạng và giải bài toán bằng
cách lập phơng trình giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình. Việc giải bài
toán bằng cách lập phơng trình hay hệ phơng trình đối với học sinh ở bậc trung
học cơ sở là một việc việc làm khá mới mẻ. đề bài toán đã cho không phải là
những phơng trình viết sẵn mà nó đợc thể hiện dới dạng một đoạn văn mô tả các
mối quan hệ giữa các đại lợng trong đó có những đại lợng cần tìm, yêu cầu học
sinh phải biết phân tích, tổng hợp liên kết các đại lợng với nhau, chuyển đổi các
mối quan hệ giữa các đại lợng đợc mô tả bằng lời sang mối quan hệ toán học.
Một đặc điểm quan trọng của dạng toán chuyển động là nội dung của
bài toán gắn liền với các chuyển động thực tế của con ngời. Do đó kết quả phải
phù hợp đúng thực tế. Chính vì lí do trên nhiệm vụ của ngời giáo viên không chỉ
đơn thuần là truyền đạt kiến thức nh SGK mà còn phải xây dựng phơng pháp

giải bài toán bằng cách lập phơng trình dạng toán chuyển động để học sinh có
thể vận dụng vào thực hành giải dạng toán này. Đặc biệt nó mang nội dung sâu
sắc trong việc giáo dục t tởng qua môn toán; hình thành cho học sinh thói quen
đi tìm một giải pháp tối u cho một công việc cụ thể trong cuộc sống sau này.
Chính vì vậy bài toán này thờng xuyên có mặt trong các bài kiểm tra, thi tuyển
sinh vào lớp 10.
1
Qua một số năm giảng dạy Toán ở trờng THCS đợc giao công tác bồi d-
ỡng học sinh giỏi lớp 8, lớp 9 tôi rất quan tâm vấn đề nay chính vì vậy tôi mạnh
dạn nghiên cứu và hoàn thành đề tài này. Với thời gian hạn chế và mong muốn
nghiên cứu sâu hơn nên đề tài này chỉ tập trung vào vấn đề:
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
và hệ phơng trình dạng toán chuyển động
2) Đối t ợng và ph ơng pháp nghiên cứu:
a) Đối t ợng nghiên cứu: Là học sinh lớp 9
b) Ph ơng pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu tài liệu SGK; SBT toán đại số lớp 8; lớp 9. Đề thi vào trờng THPT,
Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 8, 9. Toán bồi dỡng học sinh Đại Số 9.
Rèn luyện kĩ năng giải Toán THCS. Tuyển chọn các đề toán thi vào lớp 10
- Nghiên cứu tài liệu Bồi duõng thờng xuyên chu kì III quyển 1, 2.
PHần II - giải quyết vấn đề
A. Một số vấn đề lí thuyết :
1) Công thức nghiệm của phơng trình bậc hai một ẩn số:
Đối với phơng trình bậc hai:
2
ax + bx + c = 0 (a 0) (1)

Biệt thức
2
4b ac

=
(Kí hiệu

: đọc là đen ta)
+) Nếu > 0

phơng trình có hai nghiệm:
1

2
b
x
a
+
=
;
2
x
2
b
a

=
+) Nếu = 0

phơng trình có nghiệm kép là:
1 2
2
b
x x

a
= =

+) Nếu < 0

phơng trình vô nghiệm.
2) Các phơng pháp giải phơng trình Hệ phơng trình:
a) Giải phơng trình:
+) Phơng trình bậc nhất một ẩn
0ax b
+ =

( )
0a
có 1 nghiệm duy nhất
b
x
a
=
+) Phơng trình bậc hai một ẩn số
2
0ax bx c+ + =

( )
0a
dùng công thức nghiệm.
2
b) Giải hệ phơng trình:
+) Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế.
+) Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng.

+) Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp đặt ẩn phụ.
3) Cách giải bài toán bằng cách giải phơng trình hệ phơng trình:
gồm 3 bớc:
B ớc 1: Lập phơng trình Hệ phơng trình.
- Chọn ẩn số (chú ý ghi rõ đơn vị) và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
- Biểu thị các số liệu cha biết qua ẩn số và các số liệu cha biết.
- Lập phơng trình, hệ phơng trình biểu thị sự tơng quan giữa các đại lợng.
B ớc 2: Giải phơng trình Hệ phơng trình.
Tuỳ thuộc vào dạng phơng trình hay hệ phơng trình mà có phơng pháp giải
thích hợp.
B ớc 3: Chọn kết qua thích hợp và trả lời bài toán.
Chú ý so sánh điệu kiện đặt ra cho ẩn xem có thích hợp không và trả lời kết quả
của bài toán.
Một số công thức về chuyển động
+) Công thức tính quãng đờng trong chuyển động:
.S v t
=
+) Công thức tính vận tốc trong chuyển động:
S
v
t
=
+) Công thức tính thời gian trong chuyển động:
S
t
v
=
+) Vận tốc xuôi dòng:
xuoi thuc nuoc
v v v= +

+) Vận tốc ngợc dòng:
nguoc thuc nuoc
v v v=
B. một số ví dụ về giải bài toán bằng cách lập ph-
ơng trình hệ phơng trình dạng toán chuyển
động:
Dạng I: Hai vật chuyển động cùng chiều.
1. Ví dụ 1 : (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Năm học: 2007
2008)
Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B cách nhau 108 km. Hai ôtô cùng khởi hành
một lúc từ A đến B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên đến
B trớc xe thứ hai 12 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.
H ớng dẫn cách giải:
Sau khi cho học sinh đọc kĩ đề bài toán trên màn hình tôi phát phiếu học tập và
yêu cầu các em trả lời câu hỏi rồi điền số liệu vào bảng số liệu trong bảng sau:
Ô tô thứ nhất Ô tô thứ hai
3
Vận tốc (km/h)

6x
+
(km/h)
x
(km/h)
Thời gian ( h)
108
6x
+
(h)
108

x
(h)
- Đổi 12 phút = ? (giờ)
1
5
- Bài toán yêu cầu tính đại lợng nào ? ( Vận tốc của mỗi xe)
- Nếu gọi vận tốc của Ô tô thứ hai là x thì vận tốc của Ô tô thứ nhất đợc
tính nh thế nào ? (
6x +
)
- Biểu diễn thời gian di hết quãng đờng AB của Ô tô thứ nhất và Ô tô thứ
hai qua ẩn số x.
108
6x +
(h) và
108
x
(h)
- Theo bài ra Ô tô thứ nhất đến B trớc Ô tô thứ hai 12 phút nên ta có phơng
trình nào ?
108
x
-
108
6x +
=
1
5
+) Với gợi ý trên tôi cho học sinh thảo luận nhóm sau 7 phút tôi kiểm tra kết quả
của các nhóm và đối chiếu kết quả trên máy chiếu.

+) Căn cứ vào những gợi ý trên các em đã trình bày lời giải bài toán nh sau:
Cách 1: Giải: Đổi: 12 phút =
1
5
(h)
Gọi vận tốc của Ô tô thứ hai là x (km/h) (điều kiện x > 0)
thì vận tốc của Ô tô thứ nhất là
6x +
(km/h)
Thời gian Ô tô thứ nhất đi là
108
6x +
(giờ); Thời gian Ô tô thứ hai đi là
108
x
(giờ)
Theo bài ra Ô tô thứ nhất đến sớm hơn Ô tô thứ hai 10 phút nên ta có phơng trình:

108
x
-
108
6x +
=
1
5


( ) ( )
108.5. 6 108.5. . 6x x x x+ = +


2
540 3240 540 6x x x x+ = +

2
6 3240 0x x+ =
Ta có:
( )
2
' 3 1. 3240 =
= 9 + 3240 = 3249 > 0

' 3249 57 = =

Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt :
1
3 57
54;
1
x
+
= =

2
3 57
60
1
x

= =

;
Nhận thấy
1
54x =
> 0 (thoả mãn điều kiện),
2
60x =
< 0 (loại)
Trả lời: Vận tốc của Ô tô thứ hai là 54 (km/h)
Vận tốc của Ô tô thứ nhất là 54 + 6 = 60 (km/h)
+) GV: Ai có cách giải khác bài toán này không ?
+) Gợi ý: (nếu cần) Nếu ta gọi vận tốc của Ô tô thứ nhất là x thì các đại lợng
trong bảng số liệu thay đổi nh thế nào?
+) Hãy lập phơng trình ?
Cách 2: Bảng số liệu
Ô tô thứ nhất Ô tô thứ hai
Vận tốc (km/h)

x
(km/h)
6x

(km/h)
4
Thời gian ( h)

108
x
(h)
108

6x

(h)
Giải: Đổi: 12 phút =
1
5
(h)
Gọi vận tốc của Ô tô thứ nhất là x (km/h) (điều kiện x > 6)
thì vận tốc của Ô tô thứ hai là
6x

(km/h)
Thời gian Ô tô thứ nhất đi là
108
x
(giờ); Thời gian Ô tô thứ hai đi là
108
6x
(giờ)
Theo bài ra Ô tô thứ nhất đến sớm hơn Ô tô thứ hai 10 phút nên ta có phơng trình:

108
6x

-
108
x
=
1
5



( ) ( )
108.5. 108.5. 6 . 6x x x x =


2
540 540 3240 6x x x x + =


2
6 3240 0x x =
Ta có:
( ) ( )
2
' 3 1. 3240 9 3240 3249 0 = = + = >


' 3249 57 = =

Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
( )
1
3 57
60
1
x
+
= =
;

( )
2
3 57
54
1
x

= =

Nhận thấy
1
60x =
> 0 (thoả mãn điều kiện),
2
54x =
< 0 (loại)
Trả lời: Vận tốc của ô tô thứ nhất là 60 (km/h)
Vận tốc của ô tô thứ hai là 60 6 = 54 (km/h)
Các em có nhận xét gì nếu ta thay đổi yêu cầu của bài toán
nh sau:
2.Ví dụ 2 :
Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B cách nhau 108 km. Hai ôtô cùng khởi hành
một lúc từ A đến B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên
đến B trớc xe thứ hai 12 phút. Tính thời gian đi hết quãng đờng AB của mỗi xe.
- Vói yêu cầu này thì bài toán chuyển động ban đầu yêu cầu tính vận tốc của
mỗi xe trở thành tính thời gian đi hết quãng đờng AB của mỗi xe, các em đã
biết vận dụng bài toán trên để lập bảng số liệu và trình bày lời giải nh sau:
- Sau khi cho học sinh đọc kĩ đề bài toán tôi phát phiếu học tập và yêu cầu các
em trả lời câu hỏi rồi điền số liệu vào bảng số liệu trong bảng nh bài toán trên.
Ô tô thứ nhất Ô tô thứ hai

Thời gian ( h)

x
(km/h)
1 5 1
5 5
x
x
+
+ =
(km/h)
Vận tốc (km/h)
108
x
(h)
108 540
1
5 1
5
x
x
=
+
+
(h)
GV cho học sinh đối chiếu kết quả và lên bảng trình bày lời giải bài toán này.
Cách 1: Giải: Đổi: 12 phút =
1
5
(h)

5
Gọi thời gian Ô tô thứ nhất đi hết quãng đờng AB là x (giờ) (điều kiện x > 0)
Thì thời gian Ô tô thứ hai đi hết quãng đờng AB là
1 5 1
5 5
x
x
+
+ =
(giờ)
Vận tốc Ô tô thứ nhất là
108
x
(km/h), Vận tốc Ô tô thứ hai là
540
5 1x +
(km/h)
Theo bài ra mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km ta có phơng trình:

108
x
-
540
5 1x +
= 6

( ) ( )
108. 5 1 540. 6 . 5 1x x x x+ = +



2
540 108 540 30 6x x x x+ = +


2
30 6 108 0x x+ =


2
5 18 0x x+ =
Ta có:
( )
2
' 1 5. 18 1 80 81 0 = = + = >


81 9 = =

Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
1
1 9 8
5 5
x
+
= =
;
2
1 9 10
2
5 5

x

= = =

Nhận thấy
1
8
5
x =
> 0 (thoả mãn điều kiện),
2
2x =
< 0 (loại)
Trả lời: Thời gian Ô tô thứ nhất đi hết quãng đờng AB là:
8
5
(h) = 1giờ 36 phút.
Thời gian ô tô thứ hai đi hết quãng đờng AB là
8
5
+
1
5
=
9
5
(h) =1 giờ 48 phút.
Nh vậy qua bài toán này tôi đã hớng dẫn cho học sinh cách giải bài toán bằng
cách lập phơng trình dạng toán chuyển động cùng chiều và hớng dẫn khai thác
bài toán này ta sẽ có những bài toán có cách làm tơng tự qua đó các em đợc

rèn luyện kĩ năng trình bày lời giải, vận dụng kiến thức, khả năng phân tích, dự
đoán. . .
3. Ví dụ 3 : Bài 57: (SBT 47)
Hai sân bay Hà Nội và Đà Nẵng cách nhau 600 km. Một máy bay cánh quạt từ
Đà Nẵng đi Hà Nội. Sau đó 10 phút một máy bay phản lực từ Hà Nội bay đi Đà
Nẵng với vận tốc lớn hơn vận tốc của máy bay cánh quạt là 300 km/h. Nó đến Đà
Nẵng trớc khi máy bay kia đến Hà Nội 10 phút. Tính vận tốc của mỗi máy bay.
H ớng dẫn cách giải:
- Nhìn chung các em đều nhận dạng đợc bài toán và trình bày lời giải sau khi
thảo luận trong nhóm
Bảng số liệu:
Máy bay cánh quạt Máy bay phản lực
Vận tốc (km/h)
x (km/h)
300x
+
(km/h)
Thời gian ( h)

600
x
(h)
600
300x +
(h)
6
- Sau khi kiểm tra kết quả của một số nhóm và đối chiếu với kết quả của GV trên
máy chiếu nhìn chung các em đều làm đợc bài tập này
Giải: Đổi: 10 phút =
1

6
(h)
Gọi vận tốc của máy bay cánh quạt là x (km/h) (điều kiện x > 0)
thì vận tốc của máy bay phản lực là x + 300 (km/h)
Thời gian của máy bay cánh quạt đi là
600
x
(giờ)
Thời gian máy bay phản lực đã đi là
600
300x +
(giờ)
Theo bài ra máy bay phản lực đến sớm hơn máy bay cánh quạt 10 phút nên ta có
phơng trình:
600
x
-
600
300x +
=
1
6

( ) ( )
600.6. 300 600.6 . 300x x x x+ = +



2
300 540000 0x x+ =

Giải phơng trình này ta đợc:
1
2
150 750 900
150 750 600
x
x
= =


= + =


Nhận thấy x = 600 > 0 thoả mãn điều kiện
Trả lời: Vận tốc của máy bay cánh quạt là 600 (km/h) và vận tốc của máy bay
phản lực là 900 (km/h)
4. Ví dụ 4: Bài 56: (SBT 46)
Quãng đờng từ Thanh Hoá - Hà Nội dài 150 km. Một Ô tô từ Hà nội vào Thanh
Hoá rồi nghỉ lại thanh Hoá 3 giờ 15 phút, rồi trở về Hà Nội hết tất cả 10 giờ.
Tính vận tốc của ô tô lúc về, biết rằng vận tốc lúc đi lớn hơn lúc về là 10 km/h.
H ớng dẫn cách giải:
+) GV phát phiếu học tập và yêu cầu học sinh chọn ẩn và điền vào bảng số liệu
ở trong bảng (5 phút) Hãy thiết lập phơng trình ?
GV Chiếu kết quả để học sinh đối chiếu với bài làm của nhóm.
Lúc Đi Lúc Về
Vận tốc (km/h)

10x
+
(km/h)

x
(km/h)
Thời gian ( h)
150
10x
+
(h)
150
x
(h)
Ta có phơng trình sau:
150
10x +
+
13
4
+
150
x
= 10
Từ đó giáo viên hớng dẫn và trình bày lời giải cho học sinh.
Giải: Đổi: 3 giờ 15 phút =
13
4
(h)
Gọi vận tốc của Ô tô lúc về là x (km/h) (điều kiện x > 0)
thì vận tốc của Ô tô lúc đi là x + 10 (km/h)
7
Thời gian Ô tô đi từ Hà Nội vào Thanh Hoá là
150

10x
+
(giờ)
Thời gian Ô tô đi từ Thanh Hóa đến Hà Nội là
150
x
(giờ)
Theo bài ra Ô tô từ Hà nội vào Thanh Hoá rồi nghỉ lại thanh Hoá 3 giờ 15 phút,
rồi trở về Hà Nội hết tất cả 10 giờ nên ta có phơng trình:
150
10x
+
+
13
4
+
150
x
= 10


( ) ( ) ( )
150.4. 13. . 10 150. 10 10. . 10x x x x x x+ + =


2 2
600 13 130 600 1500 10 100x x x x x x+ + =


2

27 270 1200 6000x x x+ = +


2
9 310 2000 0x x+ =
Giải phơng trình này ta đợc
1
2
155 205 360
40
9 9
155 205 50
9 9
x
x
+

= = =





= =



Nhận thấy x = 40 > (thoả mãn đ/k) nên vận tốc Ô tô lúc về là 40 (km/h).
+) Sau khi giải xong bài toán tôi hỏi có em nào có cách làm khác không ?
Có em đã nêu cách lập phơng trình nh sau:

150
10x +
+
150
x
= 10 -
13
4



2
9 31 2000 0x x+ =
từ đó cũng tìm đợc kết quả nh trên
Nh vậy:
- Trong quá trình giải bài toán chuyển động các em cần hiểu đúng bản chất của
từng đại lợng trong đề bài đã cho để có lời giải hợp lí.
- Ta cần chú ý đến việc chọn ẩn (Yêu cầu tính đại lợng nào thì gọi đại lợng đó làm
ẩn số) và đặt điều kiện cho ẩn để từ đó có thể biểu diễn các đại lợng cha
biết qua ẩn dựa vào công thức
S
t
v
=
từ đó thiết lập phơng trình.
- Bài tập này tuy có một vật chuyển động cả xuôi chiều và ngợc chiều nên trong
quá trình giải chúng ta cần xác định rõ các đối tợng tham gia chuyển động để
lập bảng số liệu cho phù hợp từ đó xây dựng cách giải.
- Khi tôi cho học sinh giải xong bài tập trên tôi yêu cầu các em làm bài tập sau:
5. Ví dụ 5 : (STK Rèn luyện kĩ năng giải toán THCS)

Một ôtô đi trên quãng đờng dài 520 km. Sau khi đi đợc 240 km thì ôtô tăng vận
tốc thêm 10 km/h và đi hết quãng đờng còn lại. Tính vận tốc của ôtô lúc ban
đầu, biết thời gian đi hết quãng đờng là 8 giờ.
H ớng dẫn cách giải:
- GV yêu cầu học sinh xác định đoạn đờng đi
+) Độ dài đoạn đờng ôtô đi lúc đầu là ? 240 km
+) Độ dài đoạn đờng còn lại là ? 520 - 240 = 280 (km)
8
- Dựa vào bài toán trên nhìn chung các em đều nhận thấy nội dung bài toán có
sự giống nhau xong còn một số em cha xác định đúng độ dài đoạn đờng đi lúc
đầu, đoạn đờng đi lúc sau nên thiết lập phơng trình còn sai.
Đoạn đầu Đoạn sau
Quãng đờng ( km)
240 km 280 km
Vận tốc (km/h)
x
km/h)
x + 10
(km/h)
Thời gian (h)
240
x
(h)
280
10x
+
h)
Theo bài ra ta có phơng trình:
240 280
8

10x x
+ =
+

Vậy trong trờng hợp này chỉ có một vật tham gia chuyển động nhng đoạn đờng
đi đợc chia thành 2 đoạn nên ta cần xác định rõ đoạn đờng đi lúc đầu, đoạn đờng
sau để điền đúng số liệu vào bảng, từ đó có lời giải đúng khi đó ta có lời giải nh
sau:
Giải:
Gọi vận tốc của ôtô đi lúc đầu là x (km/h) (điều kịên x > 0)
Thì vận tốc của ôtô trên đoạn đờng còn lại là: x + 10 (km/h)
Thời gian ôtô đi đoạn đờng đầu là
240
x
(giờ)
Thời gian ôtô đi trên đoạn đờng còn lại là
280
10x +
(giờ)
Theo bài ra thời gian đi hết quãng đờng là 8 giờ nên ta có phơng trình:

240 280
8
10x x
+ =
+


( ) ( )
240. 10 280. 8. . 10x x x x+ + = +



2
240 2400 280. 8 8x x x x+ + = +


2
8 512 2400 0x x =


2
55 300 0x x =
Giải phơng trình ta đợc:
1
60x =
;
2
5x =

Nhận thấy
1
60x =
> 0 thoả mãn đ/k bài toán;
2
5x =
< 0 không thoả mãn đ/k.
Trả lời: Vậy vận tốc của ôtô đi lúc đầu là: 60 (km/h).
6. Ví dụ 6 : (STK Rèn luyện kĩ năng giải toán THCS)
Hai ngời đi xe đạp xuất phát cùng một lúc đi từ A đến B. vận tốc của họ hơn
kém nhau 3 km/h, nên đến B sớm muộn hơn nhau 30 phút. Tính vận tốc của mỗi

ngời biết rằng quãng đờng AB dài 30 km.
H ớng dẫn cách giải:
- Sau khi cho học sinh đọc kĩ đề bài toán này tôi yêu cầu học sinh thiết lập bảng
số liệu để từ đó thiết lập phơng trình, nhng các em gặp khó khăn không biết xe
đạp thứ nhất hay xe đạp thứ hai chuyển động nhanh, chậm nên không điền đợc
số liệu vào bảng số liệu.
9
- Tôi lu ý cho học sinh trong 2 xe đạp thì chắc chắn có một xe đi nhanh và một
xe đi chậm nên nếu gọi vận tốc của xe đi chậm là x thì hãy điền số liệu vào bảng
số liệu trong bảng sau:
Xe đi chậm Xe đi nhanh
Vận tốc (km/h)

x
(km/h)
3x
+
(km/h)
Thời gian ( h)
30
x
(h)
30
3x
+
(h)
- Với gợi ý trên tôi cho học sinh thảo luận nhóm sau 7 phút tôi kiểm tra kết quả
của các nhóm và đối chiếu kết quả trên máy chiếu.
- Căn cứ vào những gợi ý trên tôi gợi ý các em đã trình bày lời giải nh sau:
Giải: Đổi: 30 phút =

1
2
(h)
Gọi vận tốc của xe đạp đi chậm là x (km/h) (điều kiện x > 0)
thì vận tốc của xe đạp đi nhanh là
3x
+
(km/h)
Thời gian xe đạp đi chậm đi là
30
x
(h), Thời gian xe đạp đi nhanh đi là
30
3x +
(h)
Theo bài ra hai xe đến B sớm muộn hơn nhau 30 phút nên ta có phơng trình:
30
x
-
30
3x
+
=
1
2


( ) ( )
30.2. 3 30.2. . 3x x x x+ = +



2
60 180 60 3x x x x+ = +


2
3 180 0x x+ =
Ta có:
( )
2
3 4.1. 180 9 720 729 0 = = + = >


729 27 = =
Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
1
3 27 24
12
2.1 2
x
+
= = =
;
2
3 27 30
15
2.1 2
x

= = =


Nhận thấy
1
12x =
> 0 (thoả mãn điều kiện),
2
15 0x = <
(loại)
Trả lời: Vận tốc của xe đạp đi chậm là 12 (km/h)
Vận tốc của của xe đạp đi nhanh là 12 + 3 = 15 (km/h)
- Qua bài tập này tôi lu ý cho học sinh nếu đề bài cho biết mối quan hệ giữa các
đại lợng cha rõ ràng thì ta cần xác định rằng trong 2 xe đạp này chắc chắn có
một xe đi nhanh, có một xe đi chậm để từ đó điền số liệu vào bảng số liệu và giải.
Ph ơng pháp chung:
- Đọc kĩ đề bài và lập bảng số liệu để từ đó chọn ẩn và biểu diễn các đại lợng cha
biết qua ẩn
10
- Đối với bài toán chuyển động thì chúng ta cần vận dụng linh hoạt các công
thức
S
v
t
=
;
S
t
v
=
;
.S v t

=
để biểu diễn các đại lợng cha biết qua ẩn số. Từ đó tìm
mối tơng quan giữa chúng để thiết lập phơng trình.
Chú ý:
- Điều kiện của bài toán thay đổi vì vậy trong quá trình chọn ẩn ta cần chú ý
đặt điều kiện của ẩn sao cho phù hợp.
- Nhận thấy kết quả của bài toán không thay đổi nếu ta thay đổi cách chọn
ẩn cùng loại.
- Khi chọn ẩn ta nên chọn đại lợng nhỏ làm ẩn để thuận lợi trong quá trình đặt
điều kiện và tính toán cũng nh so sánh kết quả để trả lời bài toán.
Bài tập áp dụng:
1. Bài 1: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT)
Một ngời đi xe đạp từ tỉnh A đến đỉnh B cách nhau 36 km. Sau khi đi đợc 2 giờ
ngời đó nghỉ lại 15 phút. Sau đó ngời đi xe đạp phải tăng vận tốc thêm 4 km /h
và đến B đúng giờ qui định. Tìm vận tốc lúc đầu của ngời đi xe đạp.
2. Bài 2: (Toán nâng cao và chuyên đề Toán 8)
Một ngời đi xe đạp, một ngời đi xe máy, và một ôtô cùng đi từ A đến B, khởi
hành lần lợt lúc 7 giờ, 8 giờ, 9 giờ với vận tốc bằng 30km/h, 40km/h, 50km/h.
Đến mấy giờ thì ôtô cách đều ngời đi xe đạp và ngời đi xe máy ?
Dạng II: Hai vật chuyển động ngợc chiều.
1. Ví dụ 1:
Hai ngời đi xe máy khởi hành cùng một lúc, từ 2 địa điểm Hà Nội và Hải Dơng
cách nhau 60 km và đi ngợc chiều nhau, sau 40 phút họ gặp nhau tính vận tốc
của mỗi ngời. Biết vận tốc của ngời đi từ Hà Nội bằng
4
5
vận tốc của ngời đi từ
Hải Dơng.
H ớng dẫn cách giải:
- GV yêu cầu học sinh tìm hiểu đề và suy nghĩ tìm lời giải - phân tích trên hình

vẽ minh hoạ chuyển động theo sơ đồ sau:
Giải: Đổi 40 phút =
2
3
(h)
Gọi vận tốc của ngời đi từ Hải Dơng là x (km/h) (điều kiện x > 0)
Thì vận tốc của ngời đi từ Hà Nội là
4
5
x
(km/h)
Quãng đờng của ngời đi từ Hải Dơng đi đợc sau 40 phút là:
2
3
x
(km)
11
Quãng đờng của ngời đi từ Hà Nội đi đợc sau 40 phút là
2
3
.
4
5
x
(km)
Theo bài ra quãng đờng Hà Nội Hải Dơng dài 60 km nên ta có phơng trình:
2
3
x
+

2
3
.
4
5
x
= 60

10 x + 8 x = 900

18 x = 900

x = 50
Nhận thấy
50x
=
>0 thoả mãn điều kiện bài toán.
Trả lời: Vận tốc của xe máy đi từ Hải Dơng là: 50 (km/h).
Vận tốc của xe máy đi từ Hà Nội là:
4
.50 40
5
=
(km/h)
2. V í dụ 2:
Một Ô tô du lịch đi từ A đến B, sau 17 phút một Ô tô tải đì từ B về A. Sau khi xe
tải đi đợc 28 phút thì hai xe gặp nhau. Biết vận tốc của xe du lịch hơn vận tốc
của xe tải là 20 km/h và quãng đờng AB dài 88 km. Tính vận tốc của mỗi xe.
H ớng dẫn cách giải:
+) GV gọi h/s đọc đề bài và ghi tóm tắt nội dung bài tập.

Sau khi cho học sinh đọc kĩ đề bài toán trên màn hình tôi phát phiếu học tập và
yêu cầu các em trả lời câu hỏi rồi điền số liệu vào bảng số liệu trong bảng sau:
Xe du lịch Xe tải
Vận tốc (km/h)
x
(km/h)
y
(km/h)
Thời gian ( h)
17+28=45 phút =
3
4
(h) 28 phút =
7
15
(h)
Quãng đờng ( km)
3
.
4
x
km
7
.y
15
km
Sơ đồ chuyển động:
- Đổi 28 phút = ? (giờ)
7
15

; 45 phút = ?
3
4
(giờ)
- Bài toán yêu cầu tính đại lợng nào ? ( Vận tốc của mỗi xe)
- Nếu gọi vận tốc của xe du lịch là x (km/h) vận tốc của xe tải là y (km/h) thì
quãng đờng từng xe đi đợc là bao nhiêu ? Tính nh thế nào ?
- Theo bài ra vận tốc xe du lịch lớn hơn vận tốc xe tải là 20 km/h nên ta có ph-
ơng trình nào?
12
- GV hớng dẫn cho học sinh thiết lập phơng trình

hệ phơng trình của bài cần
lập đợc là:
x - y = 20
3 7
. .y = 88
4 15
x



+


+) Với gợi ý trên tôi cho học sinh thảo luận nhóm sau 7 phút tôi kiểm tra kết quả
của các nhóm và đối chiếu kết quả trên máy chiếu.
+) Căn cứ vào những gợi ý trên tôi gợi ý các em đã trình bày lời giải bài toán
nh sau:
Cách 1: Giải bài toán bằng cách lập hệ hai phơng trình bậc

nhất 2 ẩn.
Giải:
Gọi vận tốc xe du lịch là x (km/h); Vận tốc xe tải là y (km/h) (Điều kiện: x > y
> 0) Theo bài ra vận tốc xe du lịch lớn hơn vận tốc xe tải là 20 (km/h) nên ta có
phơng trình :
x - y = 20
(1)
- Quãng đờng xe du lịch đi đợc trong 45 phút là:
3
.
4
x
(km); Quãng đờng xe tải đi
đợc trong 28 phút là:
7
.
15
y
(km)
Theo bài ra quãng đờng AB dài 88km nên ta có phơng trình:
3 7
. .y = 88
4 15
x +
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình:
x - y = 20
3 7
. .y = 88
4 15

x



+





x - y = 20
45 28y = 5280x


+




28x - 28y = 560
45 28y = 5280x

+

+




x - y = 20

73 = 5840x





80 - y = 20
= 80x





x = 80
y = 60



(thoả mãn)
Vậy vận tốc xe du lịch là 80 (km/h); Vận tốc xe tải là 60 (km/h)
Cách 2: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình bậc nhất 1 ẩn.
Gọi vận tốc xe du lịch là x (km/h) (Đ/K: x>20) thì vận tốc xe tải là x - 20 (km/h)
Quãng đờng xe du lịch đi đợc đợc trong 45 phút là:
3
4
x
(km/h)
Quãng đờng xe tải đi đợc trong 28 phút là:
( )
7

20
15
x
(km/h)
Theo bài ra quãng đờng Hà NộiHải Dơng dài 60 km nên ta có phơng trình:

3
4
x
+
( )
7
20
15
x
= 88

3.15x + 7.4.(x - 20) = 88.15 .4

45x + 28x - 560 = 5280

73x = 5840

x = 80 (Thoả mãn)
Vậy vận tốc xe du lịch là 80 (km/h); Vận tốc xe tải là 80 20 = 60 (km/h)
Nh vậy trong trờng hợp này ta có thể giải bài tập này bằng cách lập hệ
phơng trình hoặc giải bài toán bằng cách lập phơng trình đều cho ta một kết
quả duy nhất nên trong quá trình giải bài toán cần vận dụng phơng pháp giải
13
hợp lí. (trong trờng hợp này ta nên đa bài toán về dạng phơng trình bậc nhất để

giải cho thuận lợi cũng nh tính toán)
3. Ví dụ 3: Bài 58: (SBT 47)
Hà Nội cách Nam Định 90 km. Hai Ô tô khởi hành đồng thời, xe thứ nhất từ Hà
Nội, xe thứ hai từ Nam Định và đi ngợc chiều nhau. Sau 1 giờ chúng gặp nhau.
Hai xe tiếp tục đi, xe thứ hai tới Hà Nội trớc khi xe thứ nhất tới Nam Định là 27
phút. Tính vận tốc của mỗi xe.
H ớng dẫn cách giải:
- Đối với bài toán này sau khi tìm hiểu đề bài các em gặp khó khăn trong việc
biểu diễn vận tốc của thứ hai vì không xác định đợc mối quan hệ về vận tốc của
2 xe này.
- GV yêu cầu học sinh thảo luận nhóm và điền vào bảng số liệu trong phiếu học
tập sau khi trả lời các câu hỏi sau:
Xe thứ nhất (HN- NĐ) Xe thứ hai ( NĐ- HN)
Vận tốc (km/h)
x
(km/h)
90 x

(km/h)
Quãng đờng đi sau khi đã gặp nhau (km)

90 x

(km)
x
(km)
Thời gian đi (h)

90 x
x


(h)

90
x
x
(h)
- Nếu gọi vận tốc của xe thứ nhất là x, Sau 1 giờ 2 xe gặp nhau, thì tổng quãng
đờng đi đợc của 2 xe trong 1 giờ là bao nhiêu km ? (90 km)
- Vận tốc của xe thứ hai đợc tính nh thế nào? 90 x (km/h)
- Xác định đoạn đờng đi sau khi 2 xe đã gặp nhau? Biểu diễn thời gian đi trên
đoạn còn lại của mỗi xe?
- Sau khi gặp nhau cả 2 xe tiếp tục đi, xe thứ hai tới Hà Nội trớc khi xe thứ
nhất tới Nam Định là 27 phút nên ta có phơng trình nào?
90 9
90 20
x x
x x


=




Từ đó các em trình bày lời giải nh sau:
Giải: Đổi 27 phút =
9
20
(giờ)

Gọi vận tốc của Ô tô đi từ Hà Nội đến Nam Định là x (km/h) (ĐK: 0 < x < 90)
Vì sau 1 giờ thì 2 xe gặp nhau, nghĩa là tổng quãng đờng đi đợc của 2 xe trong 1
giờ là 90 km, hay tổng vận tốc của hai xe là 90km. Do đó vận tốc của xe đi từ
Nam Định đến Hà Nội là 90 x (km/h)
Quãng đờng mà xe thứ nhất phải đi tiếp là (90 x) km
nên thời gian xe thứ nhất đi tiếp để tới Nam Định là
90 x
x

(giờ)
thời gian xe thứ hai đi tiếp để tới Hà Nội là
90
x
x
(giờ)
Theo bài ra ta có phơng trình:
90 9
90 20
x x
x x

=



( ) ( )
2
2
20. 90 20. 9. . 90x x x x =
14



( )
2 2 2
20. 8100 180 20. 810 9x x x x x + =


2 2 2
162000 3600 20 20. 810 9x x x x x + =


2
9 4410 162000 0x x + =


2
490 18000 0x x + =
Giải phơng trình này ta đợc:
1
40x =
;
2
450x =
Nhận thấy 90 >
1
40x =
> 0 thoả mãn điều kiện, còn
2
450x =
> 90 không thoả

mãn điều kiện 0 < x < 90.
Trả lời: Vận tốc của Ô tô đi từ Hà Nội đến Nam Định là: 40 (km/h).
Vận tốc của xe đi từ Nam Định đến Hà Nội là: 90 - 40 = 50 (km/h)
4. Ví dụ 4: (500 bài toán nâng cao và cơ bản)
Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 108 km. Cùng lúc đó một ô tô khởi
hành từ B đến A với vận tốc hơn vận tốc xe đạp 18km/h. Sau khi 2 xe gặp nhau
xe đạp phải đi mất 4 giờ nữa mới tới B. Tính vận tốc của mỗi xe.
H ớng dẫn cách giải:
- GV yêu cầu học sinh tìm hiểu đề bài và tìm cách giải, nhng các em gặp khó
khăn trong việc xác định quãng đờng đi của xe đạp, của ôtô nên không tính đợc
thời gian đã đi của xe đạp và ôtô.
- Sau khi 2 xe gặp nhau xe đạp phải đi mất 4 giờ nữa mới tới B, thì quãng đờng
còn lại của mỗi xe là bao nhiêu? Hãy biểu diễn thời gian đi trên đoạn đờng đó
của mỗi xe?
Dựa vào đâu để thiết lập phơng trình? (GV lu ý mối quan hệ thời gian của 2 xe)
Xe đạp Ôtô
Vận tốc (km/h)
x
(km/h)
18x
+
(km/h)
Quãng đờng đi đến chỗ gặp nhau (km)

4x
(km)
108 4x

(km)
Thời gian đi (h)

108 4x
x

(h)
4
18
x
x
+
(h)
Giải:
Gọi vận tốc của ngời đi xe đạp là x (km/h) ( Điều kiện: x > 0 )
thì vận tốc của ô tô là x + 18 (km/h)
Quãng đờng xe đạp đi từ chỗ gặp nhau đến B là 4x (km)
Quãng đờng Ô tô đi từ A đến chỗ gặp nhau là 108 4x (km)
Thời gian xe đạp đi từ A đến chỗ gặp nhau là
108 4x
x

(h)
Thời gian Ô tô đi từ B đến chỗ gặp nhau là
4
18
x
x +
(h)
Theo bài ra sau khi hai xe gặp nhau thì xe đạp phải đi 4 giờ nữa mới tới B, nên ta
có phơng trình:
108 4x
x


=
4
18
x
x +

( ) ( )
108 4 . 18 4 .x x x x + =

2 2
108 1944 4 72 4x x x x+ =

2
8 36 1944 0x x =
15

2
2 9 486 0x x =
Giải phơng trình này ta đợc:
1
18x =
;
2
13,5x =
Nhận thấy x = 18 > 0 thoả mãn điều kiện
Trả lời: Vận tốc của của xe đạp là: 18 (km /h).
Vận tốc của Ô tô là: 18+18 = 36 (km/h)
Ph ơng pháp chung:
- Nh vậy trong chuyển động ngợc chiều thì cần xác định rõ mối quan hệ về vận

tốc của mỗi xe cũng nh tính đợc quãng đờng đi của mỗi xe để từ đó tính thời gian
đi trên đoạn đờng đó từ đó tìm mối tơng quan về thời gian để thiết lập phơng
trình. (nh các ví dụ 3 Ví dụ 5)
- Đối với bài toán chuyển động thì chúng ta cần vận dụng linh hoạt công thức
S
v
t
=
;
S
t
v
=
;
.S v t
=
để biểu diễn các đại lợng cha biết qua ẩn số. Từ đó tìm mối
tơng quan giữa chúng để thiết lập phơng trình.
- Phải so sánh kết quả tìm đợc với điều kiện ban đầu của bài toán để trả lời
(chú ý kết quả phải mang tính thực tế)
Bài tập áp dụng:
1. Bài 1: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT- Năm học: 2006 -2007)
Khoảng cách giữa 2 thành phố A và B là 180 km. Một ôtô đi từ A đến B, nghỉ
90 phút, rồi lại từ B về A. Thời gian từ lúc đi đến lúc trở về A là 10 giờ. Biết vận
tốc lúc về kém vận tốc lúc đi 5 km/h. Tính vận tốc lúc đi của ô tô.
2. Bài 2: (Toán nâng cao và chuyên đề Toán 8)
Có 3 ôtô chạy trên cùng một đoạn đờng AB. Cùng một lúc ôtô thứ nhất chạy từ
A, ôtô thứ hai chạy từ B. khi ôtô thứ nhất chạy tới B thì ôtô thứ ba bắt đầu đi về
A và cùng tới A với ô tô thứ hai. Tại giữa quãng đờng AB một ngời thấy rằng sau
khi ôtô thứ nhất đi qua thì thấy ôtô thứ hai đi qua và sau đó 20 phút thì thấy ôtô

thứ ba đi qua. Vận tốc của ôtô thứ ba là 120 km /h. Tính vận tốc ôtô thứ nhất,
ôtô thứ hai và quãng đờng AB.
Dạng III: Chuyển động với dòng nớc.
1. Ví dụ 1: Bài 60: (SBT 47)
Một bè gỗ đợc thả trôi trên một dòng sông từ đập Ya ly. Sau khi bè gỗ 5 giờ
20 phút, một xuồng máy cũng xuất phát từ đập Ya ly đuổi theo và đi đợc 20
km thì gặp bè gỗ. Tính vận tốc của bè gỗ biết rằng xuồng máy chạy nhanh hơn
bè gỗ 12km/h.
H ớng dẫn cách giải:
16
- GV phát phiếu học tập và yêu cầu học sinh thảo luận nhóm điền số liệu vào bảng
khi ta gọi vận tốc của bè gỗ là x. Hãy biểu diễn các đại lợng còn lại qua ẩn số.
Bè gỗ Xuồng máy
Vận tốc (km/h)
x (km/h)
12x
+
(km/h)
Thời gian đi (h)
20
x
(h)
20
12x
+
(h)
Dựa vào các kiến thức đã học các em trình bày lời giải nh sau.
Giải: Đổi: 5h20 =
16
3

h
Gọi vận tốc của bè gỗ là x (km/h) (ĐK: x > 0)
Thì vận tốc của xuồng máy là x + 12 (km/h).
Thời gian bè gỗ trôi đến lúc gặp xuồng là
20
x
(h)
Thời gian xuồng máy đi đến khi gặp bè gỗ là
20
12x +
(h)
Theo bài ra sau khi bè gỗ trôi đợc 5 giờ 20 phút thì xuồng đuổi theo và gặp bè
gỗ nên ta có phơng trình:
20
x
-
20
12x +
=
16
3



( ) ( )
20.3. 12 20.3 16. . 12x x x x+ = +


2
60 720 60 16 192x x x x+ = +



2
16 192 720 0x x+ =


2
12 45 0x x+ =
Giải phơng trình này ta đợc:
1
3x =
;
2
15x =
Nhận thấy x = 3 > 0 thoả mãn điều kiện ,
2
15x =
(loại)
Trả lời: Vậy vận tốc của bè gỗ là 3 (km /h).
2. Ví dụ 2: (Bài 177 - Toán bồi dỡng học sinh Đại Số 9)
Một ca nô xuôi dòng 45 km và ngợc dòng 18 km. Biết thời gian xuôi dòng lâu
hơn thời gian ngợc dòng 1 giờ và vận tốc xuôi dòng lớn hơn vận tốc ngợc dòng
là 6 km/h. Tính vận tốc của ca nô lúc ngợc dòng.
H ớng dẫn cách giải:
- Hãy xác định quãng đờng xuôi dòng, quãng đờng ngợc dòng từ đó biểu
diễn thời gian xuôi dòng, thời gian ngợc dòng theo ẩn.
- GV chiếu nội dung bảng số liệu để học sinh đối chiếu, so sánh, kiểm tra lại
kết quả và trình bày lời giải
Xuôi dòng Ngợc dòng
Vận tốc (km/h)


6x
+
(km/h)
x
(km/h)
Thời gian đi (h)
45
6x +
(h)
18
x
(h)
Giải: Đổi: 5h20 =
16
3
h
Gọi vận tốc của ca nô lúc ngợc dòng là x (km/h) (ĐK: x > 0)
17
Thì vận tốc của ca nô lúc xuôi dòng là x + 6 (km/h).
Thời gian xuôi dòng là
45
6x +
(h); Thời gian ngợc dòng là
18
x
(h)
Theo bài ra thời gian xuôi dòng lâu hơn thời gian ngợc dòng 1 giờ nên ta có
phơng trình :
45 18

1
6x x
=
+


( ) ( )
45. 18. 6 . 6x x x x + = +


2
45 18 108 6x x x x = +


2
21 108 0x x + =
Giải phơng trình này ta đợc:
1
12x =
;
2
9x =
Nhận thấy
1
12x =
;
2
9x =
> 0 thoả mãn điều kiện
Trả lời: Vậy vận tốc của ca nô lúc xuôi dòng là 12 (km /h), hoặc 9 (km/h)

L u ý: Bài toán này có 2 kết quả đều thoả mãn điều kiện bài toán nên ta
kết luận có 2 kết quả còn các trờng hợp khác thì thờng chỉ nhận một giá trị
thoả mãn điều kiện.
3. Ví dụ 3: Bài 59: (SBT 47)
Một xuồng máy xuôi dòng sông 30 km và ngợc dòng 28 km hết một thời gian
bằng thời gian mà xuồng đi 59,5 km trên mặt hồ yêu lặng. Tính vận tốc của
xuồng khi đi trong hồ biết rằng vận tốc của nớc chảy trên sông là 3 km/h.
H ớng dẫn cách giải:
- Đối với bài toán này các em cần vận dụng công thức chuyển động với dòng n-
ớc (v
xuôi
= v
Thực
+ v
nớc
; v
Ngợc
= v
Thực
- v
nớc
)
- Hãy chọn ẩn, gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn?
Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h) điều kiện x > 3
- Biểu diễn vận tốc xuôi dòng, vận tốc ngợc dòng khi biết vận tốc của dòng nớc
là 3 km và vận tốc thực của ca nô là x (km/h)?
- Hoàn thành bảng số liệu sau
Xuôi dòng Ngợc dòng Trong hồ
Vận tốc (km/h)


3x
+
(km/h)
3x

(km/h) x
Thời gian đi (h)
30
3x
+
(h)
28
3x

(h)
59,5
x
(h)
- L u ý: Cần xác định dúng quãng đờng xuôi dòng, ngợc dòng và cách tính thời
gian và mối quan hệ giữa thời gian đi trong hồ với thời gian xuôi, ngợc dòng để
từ đó thiết lập phơng trình.
Giải:
Gọi vận tốc của xuồng khi đi trên hồ là x (km/h) (Điều kiện x > 3)
thì vận tốc xuôi dòng là x + 3 (km/h), vận tốc ngợc dòng là x - 3 (km/h).
Thời gian xuồng khi đi trong hồ 59,5 km là
59,5
x
(giờ)
18
Thời gian xuồng máy xuôi dòng 30 km là

30
3x +
(giờ)
Thời gian xuồng máy ngợc dòng 28 km là
28
3x
(giờ)
Theo bài ra ta có phơng trình:
30
3x +
+
28
3x
=
59,5
x


( ) ( ) ( ) ( )
30. 3 28. 3 59,5. 3 3x x x x x x + + = +


( )
2 2 2
30 90 28 84 59,5 9x x x x x + + =


2 2
58 6 59,5 535,5x x x =




2
1,5 6 535,5 0x x+ =


2
4 357 0x x+ =
Giải phơng trình này ta đợc:
1
21x =
;
2
17x =
Nhận thấy x = 17 > 0 thoả mãn điều kiện
Trả lời: Vậy vận tốc của xuồng khi đi trên hồ là 17 (km /h).
4. Ví dụ 4:
Trên cùng một dòng sông, một ca nô chạy xuôi dòng 108 km và ngợc dòng 63
km hết tất cả 7 h. Nếu ca nô xuôi dòng 81km và ngợc dòng 84 km thì hết 7 h.
Tính vận tốc thực của ca nô và vận tốc của dòng nớc.
H ớng dẫn cách giải:
- GV Yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi, lập bảng và điền vào bảng số liệu.
+) Ta cần tìm đại lợng nào? (Tính vận tốc thực của ca nô, vận tốc dòng nớc)
+) Nếu gọi vận tốc thực của ca nô là x và vận tốc của dòng nớc là y hãy biểu
diễn vận tốc xuôi dòng, vận tốc ngợc dòng và thời gian đi tơng ứng.
Xuôi dòng Ngợc dòng
Vận tốc ( km/h)

x + y
(km/h)

x - y
(km/h)
Thời gian lần 1
108
x + y
(h)
63
x - y
(h)
Thời gian lần 2
81
x + y
(h)
84
x - y
(h)
- Tính thời gian xuôi dòng 108km và thời gian ngợc dòng 63 km ta có phơng
trình nào ?
108 63
+ = 7
x + y x - y

ữ

- Tính thời gian xuôi dòng 81 km và thời gian ngợc dòng 84 km ta có phơng
trình nào ?
81 84
+ = 7
x + y x - y


ữ

Giải:
- Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h), vận tốc của dòng nớc là y (km/h)
( Điều kiện: x > y > 0)
Thì vận tốc xuôi dòng là x + y (km/h), vận tốc ngợc dòng là x - y (km/h)
- Theo bài ra thời gian xuôi dòng 108km và ngợc dòng 63 km hết 7 giờ nên ta có
phơng trình
108 63
+ = 7
x + y x - y
(1)
19
- Theo bài ra thời gian xuôi dòng 81 km và ngợc dòng 84 km hết 7 giờ nên ta có
phơng trình
81 84
+ = 7
x + y x - y
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình:
108 63
+ = 7
x + y x - y
81 84
+ = 7
x + y x - y








đặt: a =
1
x + y
; b =
1
x - y
Ta có hệ phơng trình:
108a +63 b = 7
81 84 7a b


+ =




1
a =
27
1
b =
21











1 1
=
x + y 27
1 1
=
x - y 21










x + y = 27
x - y = 21






2x = 48

x + y = 27






x = 24
24 + y = 27






x = 24
y = 3



( thoả mãn )
Vậy vận tốc thực của ca nô là 24 (km/h), vận tốc của dòng nớc là: 3 (km/h)
5. Ví dụ 5: (500 bài toán nâng cao và cơ bản)
Một chiếc thuyền xuôi dòng, ngợc dòng trên một khúc sông dài 40 km hết 4 giờ
30 phút. Biết thời gian thuyền xuôi dòng 5 km bằng thời gian thuyền ngợc
dòng 4 km. Tính vận tốc của dòng nớc.
H ớng dẫn cách giải:
- Bài toán cần tính gì ? Tính ntn ? ( Tính vận tốc của dòng nớc tính dựa vào
vận tốc xuôi dòng . . .)
- Bài toán có nội dung giống bài toán trên không ? Vậy khi đó ta tính vận tốc

của dòng nớc nh thế nào?
- Với những hớng dẫn trên các em nhận thấy nội dung bài tập tơng tự bài tập
trên từ đó các em trình bày nh sau.
Giải: Đổi 4 giờ 30 phút =
9
2
(h)
Gọi vận tốc của thuyền khi nớc yên lặng là x (km/h) và vận tốc của dòng nớc là
y (km/h). (điều kiện x > y > 0)
Vận tốc của thuyền khi xuôi dòng là x + y (km/h)
Vận tốc của thuyền khi ngợc dòng là x - y (km/h)
Thời gian xuôi dòng 5 km là
5
x y+
(h), Thời gian ngợc dòng 4 km là
4
x y
(h)
Theo bài ra ta có phơng trình:
5
x y+
=
4
x y
(1)
Thời gian xuôi dòng 40 km là
40
x y+
(h)Thời gian ngợc dòng 40 km là
40

x y
(h)
Theo bài ra ta có phơng trình:
40
x y+
+
40
x y
=
9
2
(2)
Từ (1) và(2) ta có hệ phơng trình:
5 4
=
x + y x - y
40 40
=
x + y x - y







20
Giải hệ phơng trình ta đợc x = 18 và y = 2. (thoả mãn điều kiện bài toán)
Vậy vận tốc của dòng nớc là 2 (km/h)
* Chú ý: Qua bài toán này GV lu ý cho học sinh cách trình bày lời giải bài toán

tuy chỉ yêu cầu tính vận tốc của dòng nớc nhng ta vẫn tính vận tốc thực và vận
tốc của dòng nớc từ đó tìm đợc vận tốc của dòng nớc và cách vận dụng kiến thức
đã học để giải các bài toán có liên quan.
Ph ơng pháp chung:
- Đối với bài toán chuyển động với dòng nớc nếu biết vận tốc của dòng nớc thì
ta vận dụng công thức tính
Xuoi Thuc Nuoc
v v v
= +
;
Nguoc Thuc Nuoc
v v v
= +
- Điều kiện của vận tốc thực phải lớn hơn vận tốc của dòng nớc.
- Phải xác định đúng quãng đờng xuôi dòng, quãng đờng ngợc dòng để từ đó tính
thời gian xuôi dòng và thời gian ngợc dòng.
- Trong nhiều trờng hợp ta cần phải đa bài toán về giải hệ phơng trình bậc nhất
hai 2 ẩn số.
Dạng IV: Một số bài toán chuyển động khác.
1. Ví dụ 1:
Một xe máy dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu tăng vận
tốc thêm 5 km/h thì đến B sớm 3 giờ. Nếu giảm vận tốc 5 km/h thì đến B muộn
6 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định đi lúc đầu.
H ớng dẫn cách giải:
- GV yêu cầu học sinh tìm hiểu đề bài và điền vào bảng số liệu khi trả lời các
câu hỏi sau.
Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng đờng
Dự định
x (km/h) y (h)
.x y

Lần 1
5x +
(km/h)
3y

(h)
( ) ( )
5 . 3x y
+
Lần 2
5x

(km/h)
6y
+
(h)
( ) ( )
5 . 6x y
+
- Gọi vận tốc dự định là x (km/h) và thời gian dự định là y (h). Tính quãng đờng
AB ?
- Điều kiện của x và y là gì? và điền tiếp các đại lợng cha biết qua ẩn số x và y
trong bảng số liệu trên. (ĐK: x > 5; y > 3)
- Nếu tăng vận tốc thêm 5 km/h đến B sớm 3 giờ so với dự định ta có phơng
trình nào ?
( ) ( )
5 . 3 .x y x y
+ =
(1)
Nếu giảm vận tốc 5 (km/h) thì đến B muộn 6 giờ so với dự định ta có phơng

trình nào ?
( ) ( )
5 . 6 .x y x y
+ =
(2)
Giải:
Gọi vận tốc dự định là x (km/h) và thời gian dự định là y (h) (ĐK: x > 5; y > 3),
Thì quãng đờng AB dài là x.y (km)
Nếu tăng vận tốc thêm 5 (km/h) đến B sớm 3 giờ so với dự định nên ta có phơng
trình:
( ) ( )
5 . 3 .x y x y
+ =
(1)
21
Nếu giảm vận tốc 5 (km/h) thì đến B muộn 6 giờ so với dự định nên ta có phơng
trình:
( ) ( )
5 . 6 .x y x y
+ =
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình:
( ) ( )
( ) ( )
5 . 3
5 . 6
x y xy
x y xy
+ =



+ =




3 5 15
6 5 30
xy x y xy
xy x y xy
+ =


+ =




3 5 15
6 5 30
x y
x y
+ =

+

=





3 45
6 5 30
x
x y
=


=




15
6.15 5 30
x
y
=


=




15
90 5 30
x
y
=



=



15
5 60
x
y
=


=




15
12
x
y
=


=

(thoả mãn)
Vậy vận tốc dự định đi là 15 (km/h) và thời gian dự định đi là 12 giờ.
2. Ví dụ 2:

Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm
15 (km/h) thì đến B sớm 1 giờ, nếu xe giảm vận tốc đi 15 (km/h) thì đến B muộn
2 giờ. Tính quãng đờng AB.
H ớng dẫn cách giải:
- Quãng đờng AB đợc tính nh thế nào ?
(Để tính đợc quãng đờng AB ta cần tìm đợc vận tốc dự định và thời gian dự
định đi để từ đó xác định quãng đờng AB dựa vào công thức tính
.S v t
=
)
- Nh vậy ta cần làm tơng tự bài toán trên để tính đợc vận tốc dự định và thời
gian dự định từ đó tính đợc quãng đờng AB
- Tôi yêu cầu học sinh lập bảng số liệu và đối chiếu khi GV chiếu lên màn hình
bài tập trên các em trình bày lời giải nh sau:
Vận tốc (km/h) Thời gian (h)
Quãng đờng (km)
Dự định
x (km/h) y (h)
.x y
(km/h)
Lần 1
15x
+
(km/h)
y - 1
(h)
(x +15).(y - 1)
(km/h)
Lần 2
15x


(km/h)
y + 2
(h)
(x - 15).(y + 2)
(km/h)
Giải:
- Gọi vận tốc dự định là x (km/h); thời gian dự định đi từ A đến B là y (h)
(Điều kiện x > 15, y > 1). Thì quãng đờng AB là x.y (km)
- Nếu tăng vận tốc đi 15 (km/h) thì vận tốc là x + 15 (km/h) thì đến sớm 1 giờ
thời gian thực đi là y 1 (giờ) nên ta có phơng trình
(x +15).(y - 1) = x.y
(1)
- Nếu giảm vận tốc đi 15 (km/h) thì vận tốc là: x 15 (km/h) thì đến muộn 2
giờ thời gian thực đi là y + 2 (giờ) nên ta có phơng trình
(x - 15).(y + 2) = x.y
(2)
Từ (1) và(2) ta có hệ phơng trình:
(x +15).(y - 1) = x.y
(x - 15).(y + 2) = x.y





xy - x + 15y - 15 = x.y
xy + 2x - 15y - 30 = x.y






- x + 15y = 15
2x - 15y = 30

+





x = 45
- x + 15y = 15






x = 45
- 45 + 15y = 15






x = 45
15y = 60







x = 45
y = 4



(thoả mãn)
Vậy vận tốc dự định là 45 (km/h); thời gian dự định đi từ A đến B là 4 (h)
Quãng đờng AB là: S = v.t = 45 . 4 = 180 (km)
22
3. Ví dụ 3: (Tuyển chọn các đề Toán thi vào lớp 10)
Hai ngời đi xe đạp khởi hành cùng một lúc từ A và B cách nhau 60 km và đi đến
điểm C. Hớng chuyển động của họ vuông góc với nhau và gặp nhau sau 2 giờ.
Tính vận tốc của mỗi ngời biết vận tốc của ngời đi từ A nhỏ hơn vận tốc của ngời
đi từ B là 6 km/h.
H ớng dẫn cách giải:
- Giáo viên vẽ sơ đồ chuyển động của hai ngời và yêu cầu học sinh tìm hiểu
để bài tìm lời giải.
- Gọi vận tốc của ngời đI từ A là x km/h .
- Tính vận tốc ngời đi từ B ?
- Tính quãng đờng đi đợc của mỗi ngời ?
- Ta có phơng trình nào ? Vì Sao ?
Giải:
Gọi vận tốc của ngời đi từ A là x(km/h) (điều kiện x > 0)
thì vận tốc của ngời đi từ B là x + 6 (km/h)
Quãng đờng đi đợc trong 2 giờ của ngời đi từ A là 2x (km), của ngời đi từ B là

2(x + 6) (km)
Theo bài ra quãng đờng AB dài 60 km và hớng chuyển động của 2 ngời vuông
góc với nhau nên áp dụng định lí Pytago ta có phơng trình:

( ) ( )
2 2
2
2x 2. x+6 60+ =


2 2
4 4 48 144 3600x x x+ + + =


2
8 48 3456 0x x+ =


2
6 432 0x x+ =
Giải phơng trình này ta đợc x
1
= -24 (loại); x
2
= 18 ( thoả mãn )
Vậy vận tốc ngời đi từ A là 18 (km/h) và vận tốc ngời đi từ B là 24 (km/h)
Ph ơng pháp chung:
- Qua ví dụ 1 và ví dụ 2 tôi lu ý cho học sinh cách phân tích yêu cầu của đề để
từ đó xác định đại lợng cần tìm và các đại lợng có liên quan. ( Ví dụ để tính
đợc quãng đờng AB trong trờng hợp này ta cần tìm đợc vận tốc và thời

gian đã đi để từ đó xác định quãng đờng AB (
.S v t
=
) )
- Đối với bài toán hai vật chuyển động vuông góc với nhau thì ta áp dụng định lí
Pytago để thiết lập phơng trình.
Bài tập áp dụng:
Bài 1 : (Rèn luyện kĩ năng giải toán THCS)
Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm
14 km/h thì đến B sớm 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4 km/h thì đến B muộn 1 giờ.
Tính vận tốc dự định và thời gian dự định.
Bài 2: (Tuyển chọn các đề Toán thi vào lớp 10)
23
Một ôtô dự định đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Khi còn cách trung điểm của
quãng đờng 60 km thì xe tăng vận tốc thêm 10 km/h, nên đã đến B sớm hơn dự
định 1 giờ. Tính quãng đờng AB.
Bài 3: (Tuyển chọn các đề Toán thi vào lớp 10)
Hai ngời đi xe đạp khởi hành cùng một lúc từ A và B cách nhau 105 km và đi
đến điểm C. Hớng chuyển động của họ vuông góc với nhau và gặp nhau sau 5
giờ. Tính vận tốc của mỗi ngời biết vận tốc của ngời đi từ A lớn hơn vận tốc của
ngời đi từ B là 7 km/h.

Bài học kinh nghiệm
: Qua quá trình giảng dạy:
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
- hệ phơng trình dạng toán chuyển động
- Nhìn chung các em đều có kĩ năng vận dụng tơng đối thành thạo các kiến thức
vào giải bài toán bằng cách lập phơng trình hệ phơng trình dạng toán chuyển
động đã học vào giải các bài tập tơng tự và nâng cao.
- Đối với dạng toán này giáo viên phải hớng dẫn cho học sinh biết cách thiết lập

bảng số liệu để từ đó chọn ẩn, đặt điều kiện và biểu diễn các đại lợng thông qua
ẩn số từ đó tìm mối tơng quan để thiết lập phơng trình (hệ phơng trình). Chú ý
so sánh kết quả tìm đợc với điều kiện để trả lời bài toán.
- Qua một số bài toán thực tế đã tạo nên hứng thú học tập cho học sinh, tạo
niềm tin và hiểu rõ hơn các ứng dụng thực tế của toán học trong đời sống và
thực tiễn.
- Đối với mỗi dạng bài tập giáo viên cần phải có lời giải mẫu cùng với sự phân
tích để các em hiểu và nắm bắt đợc phơng pháp trình bày. Từ một bài tập cụ thể
giáo viên cần phải khai thác các cách giải cũng nh mở rộng kiến thức (Tìm các
cách giải khác nhau hoặc thay đổi đối tợng cần tìm để học sinh tìm tòi lời giải)
nhằm phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh
- Khi xây dựng đề tài giáo viên phải chọn lọc, sắp xếp phân loại các bài tập theo
trình tự lôgíc từ dễ đến khó từ đơn giản đến phức tạp, Giáo viên cần khái quát
cách giải từng dạng bài tập đó vận dụng linh hoạt các phơng pháp dạy học cũng
nh các hình thức tổ chức dạy học phù hợp sao cho hiệu quả nhất.
- Tôi thực hiện dạy trên 2 lớp 9A ; 9C dạy với nội dung trên, còn đối với lớp 9B
tôi không thực hiện việc phân chia dạng bài mà để học sinh làm tổng hợp
Kết quả nh sau:
Lớp sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu
SL % SL % SL % SL %
9A 40 11
27,5%
12 30% 16
35%
3 7,5%
24
9B 39 3
7,8%
12
30,8

%
16
40,9
%
8 20,5%
9C 38 7
18,4%
10 26,3% 17
44,8%
4 10,5%
Phần III - Kết luận và kiến nghị
1) Kết luận:
Sau một thời gian nghiên cứu kết hợp với kinh nghiệm giảng dạy cũng nh
trong công tác bồi dỡng học sinh giỏi cùng với sự giúp đỡ của bạn bè đồng
nghiệp tôi đã hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm :
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
- hệ phơng trình dạng toán chuyển động
Tôi thấy rằng đa số các em đều tự giác, tích cực trong học tập vận dụng t-
ơng đối linh hoạt kiến thức đã học về Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
Hệ phơng trình dạng toán chuyển động vào giải quyết các bài tập tơng tự và
nâng cao cũng nh các ứng dụng thực tế của toán học trong cuộc sống. Tuy nhiên
trong quá trình thực hiện đề tài không tránh khỏi thiếu sót kính mong đợc sự góp
ý xây dựng của các thầy, cô và đồng nghiệp để đề tài ngày càng đầy đủ hơn tạo
đợc hứng thú học tập của học sinh phát huy đợc tính tích cực chủ động của các
em trong quá trình học tập. Từ đó giúp các em thêm yêu thích môn Toán.
2) Kiến nghị:
a) Đối với nhà trờng:
Cần tạo điều kiện thuận lợi hơn nữa để giúp giáp viên giảng dạy tốt hơn. Trang
bị thêm đồ dùng dạy học, sách tham khảo để phục vụ tốt công tác giảng dạy.
b) Đối với nghành:

Mở những buổi hội thảo chuyên đề về bộ môn Toán để nâng cao trình độ chuyên
môn và học hỏi kinh nghiệm của các đồng nghiệp
Tôi xin chân thành cảm ơn!
25