HV: 1. Đoàn Văn Tuấn Khanh
2. Vũ Kim Hồng
3. Nguyễn Quốc Thắng
4. Nguyễn Thanh Toàn
ĐỊA PHƯƠNG HÓA
GVHD: PGS.TS Tr+n Tuấn Nam
I
•
Vành các thương
II
•
Địa phương hóa
III
•
Môđun các thương
IV
•
Tính chất địa phương
ĐỊA PHƯƠNG HÓA
Tập con nhân:
Cho vành A là một vành giao hoán giao hoán có đơn vị 1 ≠ 0.
Một tập S ⊂ A được gọi là tập con nhân của A nếu:
i) 1∈S;
ii) ∀x, y∈S ⇒ xy∈S.
Ví dụ:
 S = A\p với p là iđêan nguyên tố của A.
 S = {f
n
| n ≥ 0} với f∈A.
 S = A\{0} với A là miền nguyên.
 S = 1 + a với a là một iđêan của A.

I. Vành các thương
3
Cho tập con nhân S của vành A .
Trên tập ta định nghĩa quan hệ hai ngôi như sau:
Dễ thấy là một quan hệ tương đương trên .
Ký hiệu tập thương là .
Ký hiệu lớp tương đương của phần tử là .
I. Vành các thương
4
A S×
:
( ) ( ) ( )
, ', ' : ' ' 0a s a s t S as a s t⇔ ∃ ∈ − =:
( )
A S×
:
1
S A
−
( )
,a s
a
s
:
A S×
S là tập con nhân nên . Do đó .
Chứng minh: là một quan hệ tương đương trên .
 Phản xạ: vì thỏa .
 Đối xứng: Giả sử
 Bắc cầu: Giả sử và

I. Vành các thương
5
( ) ( )
, ,a s a s:
1 S∃ ∈
( )
1 0as as− =
( ) ( )
, ', 'a s a s:
( )
' ' 0a s as t⇒ − =
( ) ( )
', ' ,a s a s⇒ :
( )
( )
: ' ' 0
' ' 0
' '' '' ' 0
: ' '' '' ' 0
u S as a s u
as u a su
a s v a s v
v S a s a s v

∃ ∈ − =
− =

⇒ ⇒
 
− =

∃ ∈ − =


( )
: ' ' 0t S as a s t⇒ ∃ ∈ − =
( ) ( )
, ', 'a s a s:
( ) ( )
', ' '', ''a s a s:
( )
' . '' ' . '' 0
'' '' ' 0
' '' . '' ' . 0
as u s v a su s v
as a s s uv
a s v su a s v su
− =

⇒ ⇒ − =

− =

's uv S∈
( ) ( )
, '', ''a s a s:
:
A S×
Khi đó, trở thành một vành giao hoán có đơn vị và được gọi là vành các thương của
vành A theo tập con nhân S.
Trên xác định phép cộng và nhân:

 Phép cộng:
 Phép nhân:
I. Vành các thương
6
Ta sẽ chứng minh các quy tắc trên là phép toán.
Các tiên đề định nghĩa vành tự kiểm tra dễ dàng.
1
, :
a b a b at bs
S A
s t s t st
−
+
∀ ∈ + =
1
, : .
a b a b ab
S A
s t s t st
−
∀ ∈ =
1
S A
−
1
S A
−
 Cộng:
7
Chứng minh: các quy tắc đã cho là phép toán.

I. Vành các thương
7
1
' '
, , ,
' '
a a b b
S A
s s t t
−
∈
( )
( )
'
: ' ' 0
'
'
: ' ' 0
'
a a
u S as a s u
s s
b b
v S bt b t v
t t

=


∃ ∈ − =

⇒
 
∃ ∈ − =


=

( )
( )
( )
( )
' ' ' 0 ' ' ' ' 0
' ' ' 0 ' ' ' ' 0
as a s uvtt as tt a stt uv
bt b t vuss bt ss b tss vu
 
− = − =
⇒ ⇒
 
− = − =
 
( ) ( )
' ' ' ' ' ' 0at bs t s a t b s ts uv
 
⇒ + − + =
 
' ' ' '
' '
at bs a t b s
st s t

+ +
⇒ =
' '
' '
a b a b
s t s t
⇒ + = +
 Nhân:

I. Vành các thương
8
1
' '
, , ,
' '
a a b b
S A
s s t t
−
∈
( )
( )
'
: ' ' 0
'
'
: ' ' 0
'
a a
u S as a s u

s s
b b
v S bt b t v
t t

=


∃ ∈ − =
⇒
 
∃ ∈ − =


=

' '
' . ' ' . '
' '
as u a su
as u bt v a su b tv
bt v b tv
=

⇒ ⇒ =

=

( )
' ' ' ' 0abs t a b st uv⇒ − =

' '
' '
ab a b
st s t
⇒ =
' '
. .
' '
a b a b
s t s t
⇒ =
(vì )
 Giả sử .
1. là vành không khi và chỉ khi .
Chứng minh:
 Giả sử là vành không.
Do đó là vành không.
I. Vành các thương
9
Tính chất:
1
S A
−
1
S A
−
( )
1 0
: 1.1 1.0 0
1 1

t S t⇒ = ⇒ ∃ ∈ − = 0 t S⇒ = ∈
1
0
1
a a
S A
s s
−
∀ ∈ ⇒ =
( )
0 : .1 .0 0 0S a s∃ ∈ − =
1
S A
−
0 S∈
0 S∈
2. Mọi phần tử của có dạng với đều khả nghịch.
Nghịch đảo của là vì: .
Chứng minh:
I. Vành các thương
10
Tính chất:
u
v
u
v
v
u
u v uv 1
.

v u vu 1
= =
1
S A
−
,u v S∈
3. Nếu A là miền nguyên, S = A\{0} thì là trường và gọi là trường các thương của A.
(do u ∈ S nên u ≠ 0 và A là miền nguyên)
Do đó:
Vậy theo tính chất 2 thì khả nghịch.
Chứng minh:
I. Vành các thương
11
Tính chất:
1
1
0
, 0
1
S A
a a
S A
s s
−
−
∀ ∈ = =
: ( .1 .0) 0 0 0u S a s u au a⇔ ∃ ∈ − = ⇔ = ⇔ =
1
: 0 0
a a

S A a a S
s s
−
∀ ∈ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ∈
a
s
1
S A
−
Tính chất:
Với mọi , ta có:
4. Ánh xạ xác định bởi là một
đồng cấu vành (nói chung không là đơn cấu).
Vậy f là đồng cấu vành.
Chứng minh:
I. Vành các thương
12
( )
1
a
f a =
( ) ( ) ( )
1 1 1
x y x y
f x f y f x y
+
+ = + = = +
( ) ( )
.
1 1 1.1 1

x y xy xy
f xy f xy= = = =
1
:f A S A
−
→
( )
1
1
1 1
1
S A
f
−
= =
,x y A∈
5. Đồng cấu f ở trên có các tính chất sau:
i) khả nghịch trong .
ii)
iii) Mọi phần tử của có dạng
với
I. Vành các thương
13
Tính chất:
( )
s S f s∈ ⇒
1
S A
−
( )

0 : 0f a s S as= ⇒ ∃ ∈ =
1
S A
−
( ) ( )
1
.f a f s
−
, .a A s S∈ ∈
iii) 
ii)
i) Vì nên theo tính chất 2 suy ra
khả nghịch trong .
Chứng minh:
I. Vành các thương
14
( )
, ,1
1
s
f s s S= ∈
( ) ( )
0
0 : .1 0.1 0 0
1 1
a
f a s S a s as= ⇒ = ⇒ ∃ ∈ − = ⇒ =
( ) ( )
1
1

1
1
: . . .
1 1 1
a a a a s
S A f a f s
s s s
−
−
−
 
∀ ∈ = = =
 ÷
 
( )
f s
1
S A
−
Cho là một đồng cấu vành sao cho khả
nghịch trong B với mọi . Khi đó tồn tại duy nhất một đồng cấu vành sao cho
.
I. Vành các thương
15
Mệnh đề 3.1:
:g A B→
( )
g s
s S∈
1

:h S A B
−
→ g h f= o
1
S A
−
B
!h∃
g
f
A
 Chứng minh sự tồn tại
Xét định bởi .
Chứng minh:
 h là ánh xạ, thật vậy:
(vì khả nghịch)
I. Vành các thương
16
1
:h S A B
−
→
( ) ( )
1
.
a
h g a g s
s
−
 

=
 ÷
 
( )
0g at bs u
 
⇒ − =
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0g a g t g b g s g u
 
⇒ − =
 
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
g a g s g b g t
− −
⇒ =
a b
h h
s t
   
⇒ =
 ÷  ÷
   
( ) ( ) ( ) ( )
0g a g t g b g s⇒ − =
( )
g u
( ) ( ) ( ) ( )

g a g t g b g s⇒ =
( )
: 0
a b
u S at bs u
s t
∀ = ⇒ ∃ ∈ − =
 h là đồng cấu vành, thật vậy:
và
I. Vành các thương
17
1
, :
a b
S A
s t
−
∀ ∈
( ) ( )
1
. .
a b ab
h h g ab g st
s t st
−
   
= =
 ÷  ÷
   
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1
. . . .g a g t g b g s g s g t
− −
 
= +
 
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
. . . .
a b
g a g s g b g t h h
s t
− −
   
= =
 ÷  ÷
   
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
. .
a b
g a g s g b g t h h
s t
− −
   
= + = +
 ÷  ÷
   
( ) ( )
1

.
a b at bs
h h g at bs g st
s t st
−
+
   
+ = = +
 ÷  ÷
   
( ) ( )
1
1
1 . 1 1
1
h g g
−
 
= =
 ÷
 
Giả sử có đồng cấu thoả thì , thật vậy:
 Chứng minh sự duy nhất
Do đó .
 h thỏa , thật vậy:
I. Vành các thương
18
1
1 1
' ' . ' . '

1 1
a a a a
S A h h h h
s s s s
−
       
∀ ∈ ⇒ = =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
( ) ( )
1
h' f a .h' f s
−
 
 
=
 
 
'g h f= o
'h 'h h=
'h h=
g h f= o
( ) ( ) ( ) ( )
1
. 1
1
a
a A h f a h g a g g a
−
 

∀ ∈ ⇒ = = =
 ÷
 
o
( ) ( )
1
a
g a .g s h
s
−
 
= =
 ÷
 
Nếu là một đồng cấu vành thỏa:
i) khả nghịch trong B;
ii) ;
iii) Mỗi phần tử của B có dạng với
thì tồn tại duy nhất đẳng cấu sao cho
Hệ quả 3.2:
I. Vành các thương
19
:g A B→
( )
s S g s∈ ⇒
( )
0 : 0g a s S as= ⇒ ∃ ∈ =
( ) ( )
1
.g a g s

−
, ;a A s S∈ ∈
1
:h S A B
−
→
.g h f= o
1
S A
−
B
!h∃
g
f
A
Chứng minh:
Vì khả nghịch trong B với mọi nên theo mệnh đề 3.1 tồn tại duy nhất đồng cấu
thỏa Ta sẽ chứng minh h là đẳng cấu.
 h là toàn cấu, thật vậy:
 h là đơn cấu, thật vậy:
Vậy h là đẳng cấu.
I. Vành các thương
20
( )
g s
s S∈
1
:h S A B
−
→

.g h f= o
( ) ( )
)
1
. , ,
iii
b B b g a g s a A s S
−
∀ ∈ ⇒ = ∈ ∈
a
b h
s
 
⇒ =
 ÷
 
( ) ( ) ( )
)
1
1
, 0 . 0 0
i
a a
S A h g a g s g a
s s
−
−
 
∀ ∈ = ⇒ = ⇒ =
 ÷

 
)
0
: 0
1
ii
a
t S at
s
⇒∃ ∈ = ⇒ =
0Kerh⇒ =
I
•
Vành các thương
II
•
Địa phương hóa
III
•
Môđun các thương
IV
•
Tính chất địa phương
ĐỊA PHƯƠNG HÓA
Khi đó, vành là vành địa phương với iđêan tối đại duy nhất là tập hợp
và được gọi là địa phương hóa của vành A theo iđêan nguyên tố p.
II. Địa phương hóa
Cho p là iđêan nguyên tố của vành A. Tập là tập con nhân của A. Vành các thương
được ký hiệu là .
22

S A\= p
1
S A
−
A
p
A
p
1
: : ,
p
S p s S
s
−
 
= ∈ ∈
 
 
p p
II. Địa phương hóa
23
Chứng minh:
 là iđêan thật sự của , thật vậy:
(vì )
(vì )
vì nếu
vô lý!
1
S
−

p
A
p
1
0 S
−
∈ p
1 1
' ' ' '
,
' ' '
p p p p ps p s
S S
s s s s ss
− −
−
∀ ∈ ⇒ − = ∈p p
' 'ps p s− ∈p
1 1
, .
p a p a pa
S A S
s t s t st
− −
∀ ∈ ∀ ∈ ⇒ = ∈
p
p p
pa∈p
1
1 S

−
∉ p
( )
: 0t S s p t⇒ ∃ ∈ − =
1
1 1 , ,
p
S p s S
s
−
∈ ⇒ = ∈ ∈p p
st pt S⇒ = ∈ ∩ p
 khả nghịch
II. Địa phương hóa
24
Theo 1.6, là vành địa phương với iđêan tối đại duy nhất là .
1
\
a a
A S a a S
s s
−
∀ ∈ ⇒ ∉ ⇒ ∈ ⇒
p
p p
A
p
1
S
−

p
I
•
Vành các thương
II
•
Địa phương hóa
III
•
Môđun các thương
IV
•
Tính chất địa phương
ĐỊA PHƯƠNG HÓA