<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGÔ ĐỨC HÀ

LUẬN VAN THẠC SI TOÁN HỌC

HÀ NỘI, NĂM 2014

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

Lời cảm ơn

<small>Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và nghiêm</small>

khắc của TS. Lê Huy Chuan. Thay đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng

như giải đáp các thắc mắc của tơi trong suốt q trình làm luận văn. Tơi muốn

bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy.

Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới q thầy cơ Khoa Tốn Cơ Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũngnhư các thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2011 - 2013, đã có cơng laodạy dỗ tơi trong suốt q trình học tập tại Nhà trường.

-Toi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan

tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tơi hồn thành tốt nhiệm vụ của

<small>Hà nội, tháng 4 năm 2014</small>

<small>Tác giả luận văn</small>

<small>Ngô Đức Hà</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

<small>1.3 Tích phân theo nghĩa giá trị chính Cauchy ... 3</small>

1.4 Một số kết quả trong lý thuyết hàm biến phức ... 4

1.5 Phương trình tích phan kỳ dị trên chu tuyến ... 10

<small>2 Phương pháp Riemann - Hilbert giải phương trình tích phântrên đường cong mở 1221 Bài tốn Riemann- Hilbert ... 13</small>

<small>2.2 Phương trình tích phân Abel... 16</small>

<small>2.3. Giải phương trình tích phân kỳ dị với hạt nhân Logarit ... 21</small>

<small>2.4 Phương trình tích phân kỳ dị với nhân Logarit trên các đoạn rời</small>

3 Một số phương pháp đặc biệt tìm nghiệm của phương trình

<small>tích phân kỳ dị 353.1 Phương trình tích phân kỳ di với nhân Logant... 35</small>

<small>3.2 Phương trình tích phân với hạt nhân Cauchy. ... 46</small>

<small>3.3 Sử dụng công thức Poincaré - Bertrand... 48</small>

Kết luận .. 2... .o. 54

<small>Tài liệu tham khao...0...00048. 55</small>

<small>il</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

Mo dau

Phương trình tích phân xuất hiện một cách tự nhiên khi nghiên cứu bai

toán giá trị biên của tốn học vật lý. Trong q trình nghiên cứu về phương

<small>trình tích phân việc đưa giá trị kỳ dị của nhân vào phương trình tích phân đã</small>

đặt ra những vẫn đề khó nhưng đầy hấp dẫn trong việc tìm nghiệm của phương

<small>trình tích phân. Các kỹ thuật giải phương trình tích phân kỳ dị đã được xây</small>

dựng và phát triển mạnh mẽ trong thế kỷ XXI. Các kỹ thuật này gắn liền vớitên tuổi nhiều nhà toán học nổi tiếng như: Noether, Muskhelishvili, Gakhov,

<small>Vekua, B. N. Mandal, A. Chakrabarti, ...</small>

Luận văn “Gidi một số phương trinh tích phân ky di va áp dung” được chia

<small>làm ba chương.</small>

Chương 1 trình bày những kiến thức chuẩn bị là cơ sở lý thuyết cho hai

chương sau, bao gồm các khái niệm về phương trình tích phân, phương trìnhtích phân kỳ dị, tích phân theo nghĩa giá trị chính Cauchy. Sau đó là một sốkết quả trong lý thuyết hàm biến phức: công thức tích phân Cauchy, cơng thức

<small>Poincaré - Bertrand.</small>

<small>Chương 2 trình bày phương pháp Riemamn - Hilbert và áp dụng phương</small>

pháp này vào giải một số phương trình tích phân kỳ di như phương trình tích

<small>phân Riemann - Hilbert , Abel, phương trình tích phan kỳ dị với nhân Logarit.</small>

Chương 3 trình bày một số phương pháp đặc biệt tìm nghiệm của phương

<small>trình tích phân kỳ dị với hạt nhân kỳ dị dạng Cauchy và dạng Logarit. Những</small>

<small>phương pháp này tránh được những kỹ thuật phức tạp khi sử dụng phương</small>

pháp biến số phức đã được mô tả ở Chương 2.

Các kết quả chính trong chương 2 và chương 3 được trình bày dựa trên tài

<small>liệu tham khảo [5].</small>

<small>11</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Khái niệm phương trình tích phan

<small>Định nghĩa 1.1.1. Phương trình tích phân là một phương trình mà trong đó</small>

hàm số chưa biết có xuất hiện dưới dấu tích phân.<small>Ví dụ 1.1.1. Xét các phương trình tích phân:</small>

<small>a) Phương trình tích phan Fredholm</small>

Loại 1: / K(a,t)p(t)dt = f(z) a<ucb.

Loại 2: p(x) + | K(a,t)p(t)dt = f(z) a<z <b.

trong đó À là hằng số, K(a,t) va f(x) là các ham đã biết, ¿(z) là hàm chưabiết. Ham (z,£) được gọi là nhân của phương trình tích phan.

<small>b) Phương trình tích phân Volterral</small>

Loại 1: / K (a, t)p(t)dt = f(a).

Loại 2: y(x) + Aj E(z,t)w(dt = f(z).

trong đó K(x, t), ƒ(z) là các ham đã biết, v(x) là hàm chưa biết. Hàm K (sz, t)

<small>được gọi là nhân của phương trình tích phân.</small>

1.2 Phuong trình tích phân ky di

<small>Định nghĩa 1.2.1. Phương trình tích phân kỳ dị là phương trình tích phân</small>

có nhân K(z,£) là hàm khơng bị chặn trên miền lấy tích phân.

<small>1</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

Chương 1. Kiến thúc chuẩn bị

Dựa trên tính chất khơng bị chặn của nhân, chúng ta có thể phân loại

<small>phương trình tích phân kỳ dị thành hai loại : Phương trình tích phân kỳ dị</small>

mạnh và phương trình tích phân kỳ dị yếu.

Phuong trinh tích phan ky di yếu là phương trình tích phân với nhân (z, t)

thỏa mãn điều kiện tích phân

/ K(z,t)dL tồn tại theo nghĩa Riemann, với moi zx € (a,b).

<small>Phuong trinh tích phân ky di mạnh là phương trình tích phan ky di ma</small>

nhân K(x, t) có tính chat là tồn tai x € (a,b) sao cho

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

Chương 1. Kiến thúc chuẩn bị

với L(x,t) là hàm khả vi và L(z,z) # 0. Khi đó nhân K(z,t) nhận điểm t = xlà điểm kỳ dị mạnh. Do vậy phương trình tích phân tương ứng là phương trình

<small>tích phân kỳ dị mạnh.</small>

1.3 Tích phân theo nghĩa giá trị chính Cauchy

<small>Định nghĩa 1.3.1. Cho L` là một đường cong hữu han trong C và f là hàm xác</small>

định trên I’ kỳ di tại zo € T, va | f(t)dt không tồn tại theo nghĩa Riemann.

<small>nghĩa giá tri chính Cauchy và được ký hiệu</small>

op | float = lim f(t)dt.

_{e>0 TW:}

Trong luận văn này, các tích phân kỳ dị mạnh đều được hiểu theo nghĩa giá

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

Chương 1. Kiến thúc chuẩn bị

1.4 Một số kết quả trong lý thuyết hàm biến phức

Định nghĩa 1.4.1. Chu tuyến trong C là một đường cong đơn, đóng trong C.

Một chu tuyến trong C luôn được định hướng dương theo chiều ngược chiều

kim đồng hồ.

Định nghĩa 1.4.2. Cho I là chu tuyến trong C. Khi đó kí hiệu D* là phần

mặt phẳng phức nằm bên trong của chu tuyến I, D~ là phần mặt phẳng phức

nằm bên ngoài của chu tuyến T'.

Định nghĩa 1.4.3. Trong mặt phẳng phức C cho đường cong I’ đo được va

<small>hàm ¿(7) liên tục trên TI’. Khi đó tích phân</small>

<small>Định nghĩa 1.4.4. Giả sử £ là một tập liên thông va f(z) là một ham đơn</small>

trị trên £L. Hàm f được gọi là thỏa mãn điều kiện Hölder trên £ nếu tồn tạicác hằng số dương M (gọi là hằng số HölIder) và số dương œ,0 < a < 1 (gọi làsố mũ Hölder) sao cho với mọi cặp điểm z¡, 22 € L ta đều có

|f(z1) — ƒ)| < Mla — z2|”

Định lý 1.4.1. ChoT là chu tuyến trong mặt phẳng phức C va ham @(7) thỏa

mãn điều kiện Holder trên T. Đặt

®(z) = mm xéT, (1.4.1)

<small>Khi đó ®(z) la một hàm giải tích trên C\L.</small>

Định lý 1.4.2. (Bổ đề cơ bản) Cho T là chu tuyến trong C va vy là hàm thỏa

mãn điều kiện Holder trên T. Đặt

wW(z)=— preter, zeC. (1.4.2)

_{27¡ T—Z}

<small>T</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

Chương 1. Kiến thúc chuẩn bị

<small>Khi đó hàm (2) là một hàm liên tục trên T, túc là uới mỗi t € T ta có:</small>

lim W(z) = — pen (1.4.3)

_{zt 271 T—Ý}

ton tai va bằng V(t).

Chú ý: Dinh lý 1.4.2 đúng với mọi điểm trên T, trừ các đầu mút của P khi

T là một đường cong mở trong mặt phẳng phức C.

Định lý 1.4.3. (Công thức tích phân Cauchy) Giá sử D là miền bị chặn với

biên Jordan do được OD. Nếu ham f(z) chỉnh hành trong D tà liên tục trong

D thi uới điểm z € D bất ky ta có cơng thức

<small>x đệ = (1.4.4)</small>

mi¿t f(z) néuzeD,

aD C—Z 0 nếu z # D,

<small>trong đó OD là biên có định hướng dương của D.</small>

Nhận xét: Cơng thức tích phân Cauchy biểu thị một tính chất đặc biệt là

giá trị của hàm chỉnh hình trong miền / hoàn toàn được xác định bởi các giá

<small>trị của nó trên biên.</small>

<small>Dinh lý 1.4.4. Gia sử L là một đường cong đóng Jordan trơn va ham @(€)</small>

thỏa mãn điều kiện Hưlder trên L`. Khi đó giá trị chính theo Cauchy của tích

phân dang Cauchy tồn tại tại mọi điểm z €T va

sq | Ea _ : [ee = #60) 4 | Tu), as)

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

Chương 1. Kiến thúc chuẩn bị

Khi đó ®*(t) va ®-(t) ton tại va thỏa mãn các công thúc:

o*(t)-O- (it) =g() +eT,

#1(0+9 ^{0)== [Em ver. (46)}

_{Tr Tt}

Trong đó lim va lim duoc hiéu theo nghia điểm z tiến tới t ET từ mặt bên

<small>z—t Zt</small>

trái va tiến tới t € ` từ mặt bên phải của đường cong định hướng duongT .

Chứng minh. Gọi Dt là miền mặt phẳng phức nằm trong chu tuyến Ï` và D~

là miền nằm ngồi chu tuyến I' (Hình 1.1). Xét ham y(t) = 1 chỉnh hình trên

D* và liên tục trong Dt, áp dung cơng thức tích phân Cauchy (1.4.4):1 1 1 néuze Dt,

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

Chương 1. Kiến thúc chuẩn bị<small>Dat</small>

<small>khi đó tìm được</small>

lim 0) ^{= tin > f Par — gt tim Sf}

<small>zott zott Qni J T— Z zott 9m1] T—Z.</small>

<small>T T</small>

Sử dụng kết quả (1.4.7), từ hệ thức trên suy ra

W*(Œ)=®*Œứ)-Œ), t€T. (1.4.8)

<small>Lập luận tương tự ta tìm được</small>

tin 0) ^{= lim Sf Par — g0) tim — [—”}

<small>zot- zot- 211] T-2z zat- 211] T-— 2</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

Chương 1. Kiến thúc chuẩn bị

<small>2. Cơng thức Plemelj cịn đúng trong trường hợp [ là một đường cong md</small>

(hoặc hợp hữu hạn của đường cong mở) và t không trùng với các đầu mút

thỏa mãn điều kiện Hưlder voi trên T.

<small>Dinh lý 1.4.7. (Cơng thức Poincaré - Bertrand (PBF)) Cho T là một đường</small>

cong kin va nếu @ thỏa man điều kiện Hélder trên T. Khi đó ta có cơng thúc

6,(2)=— [ee 2¢0. (1.4.13)

_{27¡ T—Z}

<small>œ</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

Chương 1. Kiến thỳc chuẩn bị

<small>Sử dụng cụng thức Plemelj (1.4.10) được</small>

alt) =O) 5e), tếT,

alt) =đẽ(0)— gei(, tere.

<small>Thay (1.4.14) vào (1.4.13) được</small>

yi(t) = đ*(t) — 2#) suy ra 2#) = sđ'Œ) — x1),

<small>1 1</small>

y2(t) = s° (t) — s#ữ)

<small>Từ (1.4.16) va (1.4.17), suy ra yo(t) = 10): tel.</small>

Theo phộp dat ban dau

<small>(1.4.16)(1.4.17)</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

Chương 1. Kiến thúc chuẩn bị

1.5 Phương trình tích phân kỳ dị trên chu tuyến

Bằng cách sử dung công thức Plemelj, ta có thể giải được một số phương

<small>trình tích phân kỳ dị trên đường cong đơn, kín đơn giản.</small>

<small>Ví dụ 1.5.1. Giải phương trình tích phân kỳ dị</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

Chương 1. Kiến thúc chuẩn bị

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

®')= c(i) bai ứ) c(t) + ¿` tel, (2.3)

với điều kiện c(t) 4 —7i.

<small>Phương trình (2.3) có dang</small>

® *() =G(® (t)+ g(t), t€T, (2.4)

<small>trong đó G(), g(t) là các hàm Hölder liên tục trên LP.</small>

<small>12</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

<small>Chương 2. Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở</small>

Bài tốn giải phương trình tích phân ky di (2.1) được đưa về tìm hàm ®(z)

<small>giải tích trên C\T và thỏa mãn phương trình (2.4).</small>

2.1 Bài tốn Riemann - Hilbert

<small>Phương pháp Riemann - Hilbert là phương pháp tìm hàm ®(z) giải tíchtrên C\P (T là hợp hữu hạn các đường cong đơn, trơn không giao nhau, địnhhướng dương), với dáng điệu cho trước tại z = oo, thỏa mãn một trong hai</small>

O đó G(t), g(t) thỏa mãn điều kiện Holder trên T và G(t) # 0 với mọi t ET.

a) Bài toán biên Riemann - Hilbert (RHP) thuần nhat(i).

<small>Ký hiệu ®o(z) là nghiệm của (2.1.1) , tức là:</small>

$3 (t) = G(t).®) (t), tel.

Lấy logarit hai về của phương trình trên va biến đổi, thu được

In ®} (t) —In®) (t) =InG(t), t eT.

<small>Do đó</small>

[In 9] *(t) — [In®o] (t)=InG(t), teT. (2.1.3)

<small>Tw cơng thức Plemelj (1.4.6), tìm được</small>

In do(z) = — / moO) a. (2.1.4)

₂₇₁

<small>15</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

<small>Chương 2. Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở</small>

Như vậy nghiệm của bài toán biên thuần nhất (i) là

b) Bài tốn biên Riemann - Hilbert (RHP) khơng thuần nhất (ii).

Giả sử ®o(z) là nghiệm của bài tốn biên thuần nhất (i), khi đó

<small>trong đó #(z) là một hàm nguyên. Như vậy (2.1.7) cho ta cơng thức nghiệm</small>

<small>của bài tốn RHP (ii).</small>

Ví dụ 2.1.1. Giải phương trình (2.1) trong trường hợp c(t) = p (ø là hằng số

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

<small>Chương 2. Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở</small>

<small>Giải. Giả sử y(t) là nghiệm của phương trình trên. Dat</small>

Chọn ®ạ(z) = (

_{Z —}

*) , trong đó a thỏa man

^Qa

<small>Khi đó p = 7. cot 7a.</small>

Bằng cách hạn chế ham arg trên (0, 27], ta có

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

<small>Chương 2. Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở</small>

<small>Ngồi ra, lim ®o(z) = 1 và lim ®(z) = 0.</small>

<small>Chú ý Trong trường hợp ø = 0 (khi đó a = 3) phương trình (2.1.8) với</small>

<small>T' = (0,1) là phương trình tích phân loại I cho bởi</small>

2.2 Phuong trinh tich phan Abel

<small>Phương trình tích phân Abel là phương trình có dang</small>

a(z) | eae + oa) | a = f(x), x €(a,8), (2.2.1)

<small>a #</small>

<small>16</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

<small>Chương 2. Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở</small>

<small>trong đó 0 < u < 1.</small>

Có khá nhiều nhà tốn học đã tiến hành các phương pháp khác nhau để

giải (2.2.1). Sau đây, chúng ta tiến hành giải phương trình (2.2.1) bằng phương

<small>pháp Riemann - Hilbert.</small>

ước 1. Dua phương trình về bài tốn RHP tương ứng:

<small>Giả sử y(t) là nghiệm của phương trình trên. Đặt</small>

&* (x) = e'TM (Ay) (x) + (Asy)(2). (2.2.3)

O đó toán tử 4, A> được xác định

(ho) = [ PO at, (A,e)) = f eae

<small>Qa x</small>

<small>Tương tự như trên, tinh được</small>

B(x) =e (Aie)(#) + (Arle) z€ [a, 5} (2.2.4)

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

<small>Chương 2. Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở</small>

Thay các kết quả (2.3.6a), (2.3.6b) vào (2.2.1) và biến đổi thu được

(alr) — e-(ø))®*(ø) — (a(x) — €TM0(2)) (x) = 3isin nuƒ(e), z € [a,

Hệ thức trên được đưa về bài tốn RHP

® *(z)+G(z)® (xr) = g(x), + € [o,đ], (2.2.7)

<small>trong đó</small>

—_ @()=€”"b(œ) —_ ex tan"! b(z) sin tu

G(x) = a(x) — ©e “"b(ø) P | ait law — b(x). cos mì

g(r) = AE sa),

_{a(x) — e~*TM#B(x)}

Dé giải phương trình (2.2.7), cần chú ý rang

<small>Bước 2. Giải bài toán RHP (2.2.7):</small>

Xét bài toán RHP thuần nhất tương ứng của (2.2.7)

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

<small>Chương 2. Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở</small>

, « € [a, 8]. Thay vào phương trình (2.2.7)

và biến đổi, thu được

®(ø) ®(z) g(z)

_{? = x € [œ,}_{đ], (2.2.10)}

<small>trong đó</small>

D5 (x) = exp|Wq (2)],

với UF (x) tim được như (2.2.9).

Bằng cách sử dụng công thức (2.3.6a), (2.3.6b) chúng ta tìm được nghiệm

<small>của bài tốn RHP (2.2.10) là</small>

, với giả sử đạo hàm p’(t) tồn tại với mọi t € [a, đ]. Khi đó,

Me) =— l Pa) ‘| PO), (2.2.12)_{— 20L( — a)l~"}

<small>Bước 3. Tìm nghiệm của phương trình (2.2.1):</small>

<small>Từ (2.2.11), lập luận tương tự như ở (+) (Bước 1), tim được</small>

®ˆ(z) = Bj (x)[e“'TM*(A1A)(x) + (A2d)(2)], 2 € |œ, 0Ì.

<small>19</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

<small>Chương 2. Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở</small>

® *(z) đ (x) =h(x), ôx [a, 6),

h(x) = (ey (x)e "9i (x)) (A1A) (x) + (5 (z)—®g (2)) (And) (2), € Ía, 0Ì.

Bang cách sử dung cơng thức (2.3.6a)

®'ø)—® (z) hữ)

<small>A = =</small>

(Aiy)(#) 2isin xu 27 sin wp’ v€ lo, 5),

<small>ta tim dudc nghiém</small>

<small>Vay nghiệm của phương trình (2.2.1) được cho bởi (2.2.13) hoặc (2.2.14).</small>

Chú ý. Ta cũng có thể xây dựng cơng thức nghiệm của phương trình (2.2.1)

bằng cách sử dụng toán tử Ay và bài toán RHP đồng nhất tương ứng:

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

<small>Chương 2. Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mởva</small>

¬ g(x)N(x) = Oni al Srap at

<small>Cac công thức nghiệm (2.2.14) va (2.2.15) là tương đương.</small>

2.3 Giải phương trình tích phan ky dị với hạt nhânLogarit

Nhiều vấn đề trong toán hoc vật lý ma để giải quyết nó đã đưa đến việc

xuất hiện phương trình tích phan kỳ di với hạt nhân Logarit. Chúng ta nghiên

<small>cứu giải hai phương trình tích phân kỳ dị nhân Logarit thường gặp:</small>

<small>6 đó v(x) va ƒ(z) là các hàm có đạo hàm trong khoảng (a, 8).</small>

Có một số cách giải phương trình (2.3.1) và (2.3.2), như của Porker (1972)

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

<small>Chương 2. Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở</small>

với c là một hằng số trong trường hợp 6 — a = 4 và với điều kiện của f(x) là

if =e pit=o (2.3.5)

Nhưng kết quả trên chưa được tron vẹn bởi vì nghiệm (2.3.3) hoặc (2.3.4) làkỳ dị mạnh trong đó các phương trình tích phân (2.3.1) và (2.3.2) là kỳ dị yếu.

<small>Chakrabarti (2006) đã đưa ra phương phấp tìm nghiệm của phương trình</small>

tích phân kỳ dị yếu (2.3.1) và (2.3.2) mà nghiệm thu được khơng phải tích

<small>phân kỳ dị mạnh.</small>

<small>a) Phương pháp tim nghiệm phương trành tích phân (2.3.1).</small>

<small>Bước 1. Xây dựng bài tốn RHP tương ứng phương trình (2.3.1):</small>

<small>Giả sử y(t) là nghiệm của phương trình (2.3.1). Dat</small>

(2) = f (tym (= )at- ain (S—), (z=z+iw) (2.3.6)

_{a-z B-2z}

với A là hằng số phức. Khi đó ®(z) là hàm giải tích trong C\[a, 6].

jim Aln (7—) = an) iA, x € (a, 8), (2.3.7)

Jim | elt “mm... In (at, (2.3.8)

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

<small>Chương 2. Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở</small>

<small>Từ (2.3.7), (2.3.8) và (2.3.9) suy ra</small>

+ {corm x) — In( — a) + zi]dt — Aln G—?) E/

của In balers ni float (sce) In(z — a)

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

<small>Chương 2. Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở</small>

<small>va: A(z) = BF (x)’ C= Oni , D= = E(z) là một hàm nguyên .</small>

Sử dụng công thức (2.3.12), thực hiện biến đổi

2mi| / o(t)dt + Al = 6+ (x) — 8~(z)

<small>24</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

<small>Chương 2. Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở</small>

= ©) (2)Q* (x) — ®ạ (x)Q (z)

= 8) (2){Q*(2)+Q (a)}, a<ax<Bp.

<small>Trong đó</small>

Q(z) = _ X(t) In(t — z)dt — Cln(œ — z) — Din G — :) + E(z).

Tương tự bằng cách sử dung (2.3.13) đối với ham Q(z), tim được

Ip(z)| = oo) khi |z| —> 00.

Do vậy hàm #(z) xuất hiện ở về phải của công thức (2.3.19) phải là một hang

</div>