ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ THỊ THU HÀ

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
VOLTERRA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ THỊ THU HÀ

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
VOLTERRA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN VĂN NGỌC

HÀ NỘI, 2015

Mục lục
Lời cảm ơn

1

Mở đầu

2

1

Phương trình tích phân Volterra loại hai tổng quát và phương
pháp xấp xỉ liên tiếp
4
1.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Phương trình tích phân Volterra dạng chập
2.1 Tích phân Gamma và tích phân Beta . . . .
2.2 Biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Phương trình Volterra trên nửa trục . . . .

đổi Laplace
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .

16
16

17
27

3 Nghiệm tường minh của một số phương trình tích phân dạng
Volterra
3.1 Phương trình tích phân Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Phương trình tích phân Abel loại một . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Phương trình tích phân Abel loại hai . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Phương trình tích phân dạng Abel . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Phương trình tích phân Abel với nhân tổng quát . . . . . .
3.2 Phương trình Volterra với các nhân đa thức hay phân thức hữu tỷ
3.2.1 Đạo hàm theo tham số trong tích phân xác định . . . . .
3.2.2 Nhân đa thức bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Nhân đa thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Nhân đa thức bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5 Nhân lũy thừa bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.6 Nhân phân thức hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34
34
34
37
38
38
39
39
39
40
42
43

44

2

và biến
. . . . .
. . . . .
. . . . .


3.3

Phương trình Volterra với nhân căn thức hay lũy thừa phân . . . 47
3.3.1 Nhân căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.2 Nhân lũy thừa phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Kết luận

52

Tài liệu tham khảo

53

3


Lời cám ơn
Lời đầu tiên, tôi xin trân trọng cảm ơn Thầy - TS Nguyễn Văn Ngọc đã tận
tâm hướng dẫn, động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn này.

Xin chân thành cảm ơn Quý thầy cô khoa Toán - Cơ - Tin, Trường Đại học
Khoa Học Tự Nhiên, ĐHQG Hà Nội đã tận tâm truyền đạt kiến thức và kinh
nghiệm cho tôi trong suốt khóa học.
Xin cảm ơn Phòng Sau Đại học Trường Đại học Khoa Học Tự nhiên, ĐHQG
Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khóa học.
Cho tôi gửi lời cảm ơn chân thành tới các đồng nghiệp, các bạn học viên cao
học Giải Tích khóa 2013-2015 đã giúp đỡ tôi trong thời gian học tập và thực
hiện luận văn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2015
Lê Thị Thu Hà

1


Mở đầu
Nhiều vấn đề trong toán học(phương trình vi phân với điều kiện biên hay điều
kiện ban đầu, phương trình đạo hàm riêng), cơ học, vật lí và các ngành kĩ thuật
khác dẫn đến những phương trình trong đó hàm chưa biết chứa dưới dấu tích
phân. Những loại phương trình đó được gọi là phương trình tích phân. Phương
trình tích phân là công cụ toán học hữu ích trong nhiều lĩnh vực nên được quan
tâm nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác nhau như sự tồn tại nghiệm, sự xấp
xỉ nghiệm, tính chỉnh hay không chỉnh, nghiệm chỉnh hóa,...
Lý thuyết tổng quát của các phương trình tích phân tuyến tính được xây
dựng ở buổi giao thời của các thế kỉ XIX, XX, chủ yếu là ở trong các công trình
của Volterra, Fredholm và Hilbert, v.v.. Phương trình tích phân tuyến tính có
dạng
b

αu(x) +


K(x, y)u(y)dy = f (x), a < x < b,

(1)

a

trong đó u(x) là hàm cần tìm (ẩn hàm), f(x) và K(x, y) là những hàm cho trước
và tương ứng được gọi là vế phải và nhân (hạch) của phương trình đã cho, α là
hằng số đã cho. Phương trình (1) được gọi là phương trình loại 1 hay loại 2, tùy
thuộc vào α = 0, hay α = 0 tương ứng.
Thông thường, trong trường hợp (a, b) là khoảng hữu hạn và K(x, y) là hàm
liên tục hay khả tích trong hình chữ nhât (a, b) × (a, b) thì phương trình (1) được
gọi là phương trình Predholm.
Nếu trong phương trình (1), cận trên a, hay cận dưới b được thay bởi x, biến
thiên trong một khoảng nào đó, thì phương trình được gọi là phương trình tích
phân voltetrra. Như vậy, phương trình tích phân Volterra có dạng
x

λu(x) +

K(x, y)u(y)dy = f (x), a < x < b, ,

(2)

K(x, y)u(y)dy = f (x), a < x < b.

(3)

a
b


λu(x) +
x

2


Ở đây, có thể xảy ra trường hợp là b = +∞. Nếu K(x, y) có dạng K(x-y) thì
phương trình tích phân được gọi là phương trình tích chập.
Mục đích của luận văn này là tìm hiểu và học các phương pháp giải hình
thức các phương trình tích phân Volterra.
Nội dung của luận văn được trình bày trong ba chương:
Chương 1 trình bày phương pháp xấp xỉ liên tiếp giải giải phương trình
Volterra loại hai với vế phải và nhân là những hàm liên tục .
Chương 2 trình bày phép biến đổi tích phân Laplace và vận dụng phép biến
đổi này giải phương trình tích phân Volterra dạng chập trên nửa trục thực.
Chương 3 trình bày về nghiệm tường minh của một số phương trình tích phân
dạng Volterra là phương trình tích phân Abel và một số phương trình Volterra
khác.

3


Chương 1
Phương trình tích phân Volterra
loại hai tổng quát và phương pháp
xấp xỉ liên tiếp
Chương này trình bày phương pháp xấp xỉ liên tiếp giải giải phương trình
Volterra loại hai với vế phải và nhân là những hàm liên tục. Nội dung của chương
này được hình thành chủ yếu từ tài liệu [3].


1.1

Phương pháp xấp xỉ liên tiếp

Xét phương trình tích phân
x

Φ(x) = f (x) + λ

K(x, t)Φ(t)dt
a

trong đó số hạng tự do f (x) là hàm biến phức liên tục trên [a, b] và hạch K(x, t)
có giá trị phức và liên tục trên tam giác T (a, b) = {(x, t) : a ≤ x ≤ b, a ≤ t ≤ x}.
Ta luôn giả thiết rằng các hạch Volterra thỏa mãn điều kiện K(x, t) ≡ 0 nếu
x < t và hạch biến mất trên đường chéo của hình vuông Q(a, b). Nếu λ = 0 thì
Φ(x) = f (x) là nghiệm duy nhất cuả phương trình tích phân.
Nếu |λ| đủ nhỏ để Φ(x) ≈ f (x) thì phần tự do là hàm xấp xỉ ban đầu Φ0 (x)
với nghiệm của phương trình, đảm bảo rằng một nghiệm tồn tại.
Nếu hàm xấp xỉ thứ nhất Φ1 (x) với Φ(t) được cho biết bằng việc thay thế
Φ(t) bởi Φ0 (t) = f (t) trong tích phân ta được
x

Φ1 (x) = f (x) + λ

K(x, t)Φ0 (t)dt
a

4



Nếu tích phân

x

K(x, t)Φ0 (t)dt = 0
a

thì Φ1 (x) = f (x) = Φ0 (x) và quá trình lặp đi lặp lại kết thúc ở đây. Điều đó chỉ
ra rằng sự ngẫu nhiên có thể xảy ra, xét phương trình
x

(2x − 3t)Φ(t)dt

Φ(x) = x + λ
0

Nếu ta chọn Φ0 (x) = f (x) = x thì
x

x

2xt − 3t2 dt = xt2 − t3

(2x − 3t) tdt =
0

x
0


=0

0

Do đó Φ1 (x) = f (x) = x = Φ(x) với mọi giá trị của λ
Nếu Φ1 (x) = Φ0 (x) = f (x) thì thay thế Φ1 (x) bởi lượng xấp xỉ thứ hai
x

Φ2 (x) = f (x) + λ

K(x, t)Φ1 (t)dt
a

Tiếp tục quá trình trên cho ta được lượng xấp xỉ thứ n
x

Φn (x) = f (x) + λ

K(x, t)Φn−1 dt
a

luôn giả sử rằng tích phân không biến mất ở mọi bước. Nếu tích phân mất đi
thì Φn (x) = f (x) = Φ0 (x) và quá trình lặp này sai.
Mỗi xấp xỉ Φn (x)} có một dạng thay thế. Nếu thay xấp xỉ thứ nhất vào xấp
xỉ thứ hai ta được


x
t

Φ2 (x) = f (x) + λ

K(x, t) f (t) + λ
a

K(t, s)f (s)ds dt
a

x

x

t

2

= f (x) + λ

K(x, t)f (t)dt + λ
a

K(x, t)K(t, s)f (s)dsdt
a

x

K(x, t)f (t)dt + λ2

= f (x) + λ


a
x

a

K2 (x, t)f (t)dt
a

5


Trong đó ta đặt

x

K2 (x, t) =

K(x, s)K(s, t)ds
t

Chú ý rằng hạch lặp K2 (x, t) ≡ 0 nếu x < t. Điều này dẫn tới K(x, s) ≡ 0 khi
x < s và K(s, t) ≡ 0 khi s < t. Từ những s khoảng trùng lên nhau khi x < t, nó
chỉ ra rằng tích phân chỉ khác 0 khi t ≤ s ≤ x
Thêm vào đó việc lặp lại dẫn tới dạng tổng quát
 x

n

λm 


Φn (x) = f (x) +
m=1

(1.1)

Km (x, t)f (t)dt
a

Trong đó với mỗi m = 1, 2, ..., ta đặt
x

Km−1 (x, s)K(s, t)ds

Km (x, t) =
t

Mở đầu mỗi hạch lặp thỏa mãn điều kiện Km (x, t) ≡ 0 nếu x < t
Dãy {Φn (x)} của các xấp xỉ liên tục hội tụ tuyệt đối và đều trên [a, b]. Từ đó
ta giả sử rằng K(x, t) liên tục trên tam giác đóng T (a, b) và K(x, t) ≡ 0 nếu x < t,
tồn tại số M sao cho |K(x, t)| ≤ M trên hình vuông Q(a, b). Do đó
x

|K2 (x, t)| ≤ M

2

ds = M 2 (x − t) ≤ M 2 (b − a)
t

với t ≤ x. Ta để ý rằng K2 (x, t) ≡ 0 nếu x < t. Ta dễ dàng có được bất đẳng thức

M m (b − a)m−1
M m (x − t)m−1
≤
|Km (x, t)| ≤
(m − 1)!
(m − 1)!

với mọi m ≥ 1 và x, t ∈ [a, b]. Mỗi ước tính đã cho, mỗi số hạng trong tổng (1.4)
thỏa mãn bất đẳng thức
x

λm

Km (x, t)f (t)dt ≤

|λ|m M m (b − a)m−1
f
(m − 1)!

1

0

Do đó dãy lặp {Φn (x)} hội tụ tuyệt đối và đều tới một nghiệm liên tục
 x

n

λm 


Φ(x) = f (x) +
m=1

Km (x, t)f (t)dt
a

6


của phương trình tích phân (1.1) với mỗi giá trị phức λ khi nó được xác định
bởi một chuỗi hội tụ tuyệt đối. Ta có thể thay đổi thứ tự của tổng và tích phân
một cách hợp lý cho nhau, dạng của nghiệm trở thành
x

Φ(x) = f (x) + λ

R(x, t, λ)f (t)dt
a

Trong đó ta đăt

∞

λm−1 Km (x, t)

R(x, t, λ) =
m=1

Chuỗi vô hạn R(x, t, λ) được biết như hạch giải thức của phương trình tích phân
(1.1) hoặc chuỗi Neumann.

Nghiệm Φ(x) của phương trình tích phân là duy nhất. Nếu có hai nghiệm
∼
∼
Φ(x) và Φ(x) thì độ lệch δ(x) = Φ(x) − Φ(x) thỏa mãn phương trình thuần nhất
x

K(x, t)δ(t)dt

δ(x) = λ
a

Ta chỉ ra rằng δ(x) ≡ 0 là nghiệm duy nhất của phương trình tích phân. Cho
b

x

δ 2 (x)dx,

d2 =

A2 (x) =

a

b

K(x, t)dt,

N2 =


a

a

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
 x
 x
δ 2 (x) ≤ |λ|2 

A2 (x)dx

δ 2 (t)dt ≤ |λ|2 A2 (x)d2

K 2 (x, t)dt 
a



a

Thay thế x bởi t và lấy tích phân từ a tới x ta được
 x

x
δ 2 (t)dt ≤ |λ|2 

A2 (t)dt d2
a

a


Nếu ta đặt

x

A2 (t)dt

B1 (x) =
a

7


và kết hợp với hai bất đẳng thức trên ta được
δ 2 (x) ≤ |λ|4 d2 A2 (x)B1 (x)

Nếu ta đặt

x

A2 (t)B1 (t)dt

B2 (x) =
a

và lặp lại quá trình này ta được
δ 2 (x) ≤ |λ|6 d2 A2 (x)B2 (x)

Trong trường hợp tổng quát ta đặt
x


A2 (t)Bn−1 (t)dt

Bn (x) =
a

và lặp lại quá trình này tới vô hạn ta có
δ 2 (x) ≤ |λ|2n+2 d2 A2 (x)B2 (x)

với mọi n ≥ 1. Để ý rằng Bn (a) = 0 với mỗi giá trị của n. Như vậy
x

x

A2 (t)B1 (t)dt =

B2 (x) =

B1 (t)B1 (t)dt =

a

1 2
B (x)
2! 1

a

với mỗi x ∈ [a, b]. Sử dụng phương pháp quy nạp ta có
Bn (x) =


do đó
|Bn (x)| ≤

1 n
B (x)
n! 1

1
N 2n
|B1 (x)|n ≤
n!
n!

với mọi n ≥ 1. Áp dụng đánh giá này ta được
δ 2 (x) ≤ |λ|2 d2 A2 (x)

(|λ| N )2n
n!

với x ∈ [a, b] và với mọi n ≥ 1. Nếu n → ∞ ta chỉ có thể kết luận δ(x) ≡ 0
Từ những phân tích trên ta có các kết quả sau:

8


Định lý 1.1. (Định lý xấp xỉ liên tiếp) Cho λ là một tham số phức và cho
f (x) là một hàm liên tục có giá trị phức xác định trên [a, b]. Cho K(x, t) là một
hạch liên tục có giá trị phức xác định trên tam giác T (a, b), với K(x, t) ≡ 0 nếu
x < t. Khi đó với mỗi giá trị của λ nghiệm liên tục duy nhất của phương trình

tích phân Volterra là
x

Φ(x) = f (x) + λ

K(x, t)Φ(t)dt
a

được cho bởi

x

Φ(x) = f (x) + λ

R(x, t, λ)f (t)dt
a

trong đó hạch giải thức R(x, t, λ) là duy nhất
∞

λm−1 Km (x, t)

R(x, t, λ) =
m=1

Một kết quả đáng lưu ý trong định lý này là Φ(x) ≡ 0 nếu f (x) ≡ 0.
Một kết quả khác cũng đáng lưu ý là các hạch Volterra không có giá trị riêng,
từ chuỗi giải thức là một hàm hoàn toàn theo λ.
Độ lớn của sai lệch do xấp xỉ Φn (x) trong ước tính nghiệm Φ(x) có thể được
ước lượng đều giống như ước lượng thiết lập trong chứng minh. Với mỗi x ∈ [a, b]

ta có
∞
|Φ(x) − Φn (x)| ≤ |λ| M f

1
m=n

|λ| M (b − a)m
m!

Tổng ở vế phải có thể được ước lượng bởi dạng Lagrange còn lại của chuỗi lũy
thừa. Làm tương tự ta có được ước lượng đều
Φ(x) − Φn (x)

∞

≤ eb

[|λ| M (b − a)]n
n!

Do đó độ lớn của sai lệch sẽ nhỏ như mong muốn với n đủ lớn.
Phương pháp xấp xỉ liên tiếp thiết lập chắc chắn sự tương đương giữa việc
giải một phương trình tích phân Volterra của loại thứ hai với việc tính toán hạch
giải thức R(x, t, λ) từ hạch K(x, t) đã cho. Những ví dụ sau đây sẽ chứng minh
sự tương đương này.

9



1.2

Các ví dụ

Ví dụ 1.1. Xét phương trình tích phân tuyến tính
x

Φ(x) = f (x) + λ

xtΦ(t)dt
0

Một tích phân sơ cấp biểu diễn
x

K2 (x, t) =

xs.stds = xt(

x3 − t3
)
3

t

Dễ dàng thấy trong trường hợp tổng quát ta có
xt
x3 − t3
Km (x, t) =
(m − 1)!

3

m−1

Do đó hạch giải thức là
∞

λm−1 Km (x, t) = xt. exp λ

R(x, t, λ) =
m=1

x3 − t3
3

Một kết quả của định lý là nghiệm của phương trình tích phân là
x

xt. exp λ

Φ(x) = f (x) + λ

x3 − t3
3

f (t)dt

0

Đặc biệt nếu f (x) = x và λ = 1 thì nghiệm của phương trình

x

Φ(x) = x +

xtΦ(t)dt
0

là

x

Φ(x) = x +

xt exp

x3 − t3
3

tdt = xex

3

/3

0

Ví dụ 1.2. Nếu một hạch có thể phân chia dưới dạng K(x, t) = a(x)b(t) thì các
hạch lặp của nó có thể dễ dàng tính được.

10



Thật vậy

x

K2 (x, t) =

a(x)b(s)a(s)b(t)ds
t
x

= K(x, t)

K(s, s)ds
t

= K(x, t)(L(x) − L(t))

trong đó L(s) là một nguyên hàm của K(s, s). Lặp lại lần nữa ta có
(L(x) − L(t))2
K3 (x, t) = K(x, t)
2!

Trong trường hợp tổng quát ta có:
Kn (x, t) = K(x, t)

(L(x) − L(t))n−1
(n − 1)!


Do đó hạch giải thức được cho bởi
R(x, t, λ) = K(x, t) exp {λ (L(x) − L(t))}

Chú ý rằng tất cả hạch lặp và hạch giải thức đều phân chia. Do đó nghiệm của
phương trình tích phân
x

a(x)b(t)Φ(t)dt

Φ(x) = f (x) + λ
0

có dạng

x

a(x)b(t) exp {λ(L(x) − L(t))} f (t)dt

Φ(x) = f (x) + λ
0

Trong ví dụ trước K(x, t) = xt. Sử dụng phương pháp này ta tính được nguyên
hàm
3
L(s) =

K(s, s)ds =

Do đó
R(x, t, λ) = xt. exp λ


s2 ds =

s
3

x3 − t3
3

Kết quả này đúng chính xác so với kết quả đã tính ở ví dụ trên.
Một ví dụ khác về tính khả dụng của phương pháp này, xét với hạch đơn
11


giản K(x, t) = ex−t . Từ K(s, s) = 1, L(s) = s. Vì thế hạch giải thức được xác cho
bởi
R(x, t, λ) = ex−t eλ(x−t) = e(λ+1)(x−t)

Ví dụ 1.3. Cho phương trình tích phân Volterra
x

1
Φ(t)dt
1+x

Φ(x) = f (x) + λ
0

Từ K(s, s) =


1
1+s , L(s)

= ln(1 + s), theo quy tắc trong ví dụ trước ta có

R(x, t, λ) =

1
1+x
1 λ(L(x)−L(t))
e
=
1+x
1+x 1+t

λ

Do đó nghiệm của phương trình tích phân là
x

1+x
1
1+x 1+t

Φ(x) = f (x) + λ

λ

f (t)dt


0

Đặc biệt nếu f (x) = 1 một tích phân thông thường cho bởi
1 − λ(1 + x)λ−1
Φ(x, λ) =
1−λ

nếu λ = 1. Một ứng dụng quy tắc L’Hôpital cho Φ(x, 1) = 1 + ln x khi λ → 1 và
nghiệm này có thể được xác định độc lập.
Ví dụ 1.4. Xét phương trình tích phân Volterra tuyến tính
x

Φ(x) = f (x) + µ2

(x − t)Φ(t)dt
0

Một tích phân sơ cấp biểu diễn dưới dạng
x

(x − s)(s − t)ds =

K2 (x, t) =

1
(x − t)3
3!

t


Bằng lập luận quy nạp ta có biểu diễn tổng quát
Km (x, t) =

1
(x − t)2m−1
(2m − 1)!
12


Hạch giải thức là
∞

µ2(m−1) Km (x, t)

R(x, t, λ) =

m=1
∞

=
=

1
µ

m=0

1
(µ (x − t))2m+1
(2m + 1)!


1
sinh (µ (x − t))
µ

Như một kết quả của định lý, nghiệm của phương trình là
x

sinh (µ (x − t)) f (t)dt

Φ(x) = f (x) + µ
0

Ví dụ 1.5. Trong chứng minh định lý, phần xấp xỉ ban đầu Φ0 (x) được chọn là
f (x). Tuy nhiên, nếu tích phân cần thiết để tính Φ1 (x) khó thì ta thay thế bằng
một sự lựa chọn cho Φ0 (x) có thể dễ thực hiện hơn, quá trình xử lý tích phân đỡ
khó khăn hơn hoặc tốc độ hội tụ tăng lên. Mục đích cuả ví dụ này là minh họa
một kĩ thuật đẹp để quá trình xử lí có thể được hoàn thành.

Giả sử ta muốn tính một chuỗi xấp xỉ {Φn (x)} với nghiệm của phương trình
tích phân Volterra
x

1
Φ(t)dt
1 − 2xt + t2

Φ(x) = 1 +
0


trên đoạn 0,

1
2

. Nếu ta chọn Φ0 (x) = 1 thì một tích phân minh bạch cho bởi
Φ0 (x) = 1 + √

1
1 − x2

arctan

√

x
1 − x2

Từ việc tính toán Φ2 (x) khó , ta tìm kiếm một chọn lựa tốt hơn cho Φ0 (x) Trước
tiên ta chú ý rằng Φ(0) = 1. Nếu ta cung cấp công cụ cho việc đạo hàm một tích
phân đã được nhắc tới ở mục 1, ta được
x

1
Φ (x) =
Φ(x) +
1 − x2

2t
2


(1 − 2xt + t2 )

Φ(t)dt

0

từ đó ta được Φ (0) = 1 Nếu ta đạo hàm phương trình tích phân thêm hai
lần nữa ta được Φ (0) = 1, Φ (0) = 5. Do đó bốn số hạng đầu tiên trong khai
13


triển Maclaurin của nghiệm là
1
5
Φ(x) = 1 + x + x2 + x3 + ...
2
6

Ta chọn xấp xỉ ban đầu của nghiệm Φ(x)
5
1
Ψ0 (x) = Φ(x) = 1 + x + x2 + x3
2
6

Cho P7 (x, t) chỉ ra phần tổng thứ bẩy của hạch

1
1−2xt+t2


P7 (x, t) =1 + 2xt + (4x2 − 1)t2 + 8x3 − 4x t3
+ 16x4 − 12x2 + 1 t4 + 32x5 − 32x3 + 6x t5
+ 64x6 − 80x4 + 24x2 − 1 t6 + 128x7 − 192x5 + 80x3 − 8x t7

Từ P7 (x, t) phù hợp với hạch nâng lên lũy thừa t7 , thay thế hạch bởi P7 (x, t)
trong tính toán ta được
1
Ψ1 (x) = 1 + x + x2 +
2
1 2
Ψ2 (x) = 1 + x + x +
2
1 2
Ψ3 (x) = 1 + x + x +
2
1 2
Ψ4 (x) = 1 + x + x +
2

5 3
x +
6
5 3
x +
6
5 3
x +
6
5 3

x +
6

5 4
x +
8
5 4
x +
8
5 4
x +
8
5 4
x +
8

41 5 101 6 25 7
x +
x + x + O(x8 )
60
180
42
97 5 27 6 143 7
x + x +
x + O(x8 )
120
40
180
97 5 167 6 227 7
x +

x +
x + O(x8 )
120
240
280
97 5 167 6 1367 7
x +
x +
x + O(x8 )
120
240
1680

Mỗi xấp xỉ Ψn (x) là một đa thức. Xấp xỉ thứ 5 là Ψ5 (x) phù hợp với Ψ4 (x) tăng
tới số hạng chứa x7 . Những xấp xỉ này sẽ phù hợp với Φ(x) tăng tới số hạng
chứa x7 , từ hạch xấp xỉ P7 (x, t) phù hợp với hạch tương ứng. Nếu 3 xấp xỉ cuối
cùng được vẽ đồ thị trên cùng một nơi, đồ thị của chúng không thể nhận thấy
rõ bằng mắt thường. Một kĩ thuật phân tích kĩ lưỡng sẽ tiết lộ những lỗi nhỏ có
trong đó trên đoạn [0; 12 ]
Ví dụ 1.6. Xét phương trình tích phân Volterra
x

Φ(x) = 1 + x2

2

+λ

1 + x2
Φ(t)dt

1 + t2

0
2

Chú ý rằng nếu λ = 0 thì Φ(x, 0) = 1 + x2
Nếu ta sử dụng kĩ thuật trong Ví dụ 1.2 tính hạch giải thức tương ứng thì

14


nghiệm của phương trình tích phân giả sử có dạng
x

Φ(x, λ) = 1 + x2

2

+λ

1 + x2 λ(x−t)
2
e
1 + t2 dt
1 + t2

0

=


1 + x2
λ2

2 + λ2 eλx − 2 (1 + λx)

Nhìn qua có thể thấy nghiệm không xác định tại λ = 0, tuy nhiên sau khi áp
dụng 2 lần quy tắc l’Hôpital ta tìm ra
lim Φ(x, λ) = Φ(x, 0)

λ→0

Có một cách khác để xác định giới hạn này. Khai triển Maclaurin với nghiệm
được cho bởi
1
1
Φ(x, λ) = (1 + x2 )[1 + λx + (2 + λ2 )x2 + λ(1 + λ2 )x3
2
6
1 3
1 2
2
4
+ 24 λ (2 + λ )x + 120 x (2 + λ)2 x5 + O(x6 )]

Một lần nữa cho kết quả Φ(x, λ) → Φ(x, 0) khi λ → 0

15


Chương 2

Phương trình tích phân Volterra
dạng chập và biến đổi Laplace
Chương này trình bày phép biến đổi tích phân Laplace và vận dụng phép
biến đổi này giải phương trình tích phân Volterra dạng chập trên nửa trục thực.
Nội dung của chương này được hình thành chủ yếu từ các tài liệu [1], [3].

2.1
•

Tích phân Gamma và tích phân Beta
Tích phân Gamma
Tích phân Gamma (Hàm Gamma) với biến phức z = x + iy(i2 = −1) được
xác định theo công thức
∞

e−t tz−1 dt, Rez > 0.

Γ(z) =
0

Một số công thức cơ bản của tích phân Gamma
Γ(z + 1) = zΓ(z), Γ(n + 1) = n!, n ∈ N,
π
Γ(z)Γ(z + 1) =
, 0 < Rez < 1,
sin(πz)
√
1
1
1.3.5...(2n + 1) √

Γ
= π, Γ n +
=
π.
2
2
2n
•

Tích phân Beta
Có một số định nghĩa tương đương của hàm Beta B(p, q) (hàm Beta)được
định nghĩa theo công thức
1

up−1 (1 − u)q−1 du,

B(p, q) =
0

16


trong đó p và q dương để tích phân tồn tại. Bằng phép đổi biến thông
thường chỉ ra B(p, q) = B(q, p).
Nếu ta đặt u = sin2 (θ), thì tích phân trở thành
π/2

sin2p−1 (θ) cos2q−1 (θ)dθ.

B(p, q) = 2

0

Nếu ta đặt u = x/(1 + x), thì tích phân trở thành
∞

B(p, q) =
0

xp−1
dx.
(1 + x)p+q

Ta có thể chứng minh
B(p, q) =

Γ(p)Γ(q)
Γ(p + q)

với mọi cách chọn p > 0 và q > 0. Ví dụ, nếu p + q = 1, thì ta có hệ thức
B(p, 1 − p) = Γ(p)Γ(1 − p) =

Giá trị Γ(1/2) =

2.2

√

π
.
sin(πp)


π được rút ra bằng cách đặt p = 1/2.

Biến đổi Laplace

• Định nghĩa. Phương pháp biến đổi Laplace không chỉ là một công cụ cục

kì hữu ích để giải những phương trình vi phân thường tuyến tính mà còn
có giá trị tương đối trong việc giải những phương tích phân Volterra tuyến
tính của một loại nhất định.
Cho f (t) xác đinh trên [0, ∞). Biến đổi Laplace của f (t) được cho bởi tích
phân suy rộng
∞

A
−st

F (s) := L{f(t)} =

e

e−st f (t)dt.

f (t)dt = lim

A→∞

0

0


Tích phân sẽ tồn tại nếu f (t) liên tục từng mảnh trên [0, A] với mọi A và
có cấp tăng không quá dạng mũ. (Nhắc lại hàm f (t) liên tục từng mảnh
trên [0, A] nếu nó liên tục tại ngoại trừ một số hữu hạn các điểm gián đoạn
[0, A]. Hàm f (t) có cấp tăng dạng mũ nếu tồn tại các hằng số a, c và m
sao cho |f (t)| ≤ c.eat với mọi t ≥ m).
17


• Các ví dụ. Để minh họa cho định nghĩa, xét một số ví dụ sau đây.

Ví dụ 2.1. Xét hàm số đơn vị Heaviside
0 nếu t < 0
1 nếu t ≥ 0

σ0 (t) =

Biến đổi Laplace của σ0 là
∞

F (p) =

e

−pt

0

t=∞


1
d (t) = − e−pt
p

t=0

1
= ,
p

với Rep > 0 .
Ví dụ 2.2. Biến đổi Laplace của hàm f (t) = eαt như sau
∞

e−pt eαt dt =

F (p) =
0

1
e(α−p)t
α−p

∞

=
t=0

1
,

α−p

với Re (p − α) > 0 .
Ví dụ 2.3. Biến đổi Laplace của hàm f (t) = tn là
∞

ept tn dt = −

F (p) =
0

1 n −pt
t e
= −
p
=

n
p

∞
t=0

1
p

∞

tn d e−pt
0


∞

tn−1 e−pt

−n
0

∞

tn−1 e−pt dt
0

n!

= ... =

pn+1

,

Rep > 0

Ví dụ 2.4. Tìm biến đổi Laplace của hàm f (t) = tα , α > 1, α ∈ Q .
Ta có
∞

∞
−pt α


e

F (p) =

t dt =

0

=

1
pα+1

0

e

α du

pα p
Γ (α + 1)
e−u uα du =
pα+1
0

1
a
, L{sin(at)} = 2
s−a
s + a2

Biến đổi Laplace của các đạo hàm f (n) (t) của f (t) có thể được biểu thị
L{tn } =

n!

∞

−u u

sn+1

,

L{eat } =

trong những số hạng của biến đổi Laplace của f (t). Công thức chính xác
là
n−1

L{f

(n)

n

f (m) (0)sn−1−m

(t)} =s L{f(t)}−
m=0


18


Thực tế này là lý do biến đổi Laplace có thể được dùng để giải những
phương trình vi phân thường tuyến tính với hệ số hằng.
• Các tính chất của biến đổi Laplace

Tính chất 2.1. Cho các hàm gốc fk có các chỉ số tăng là λk , biến đổi
Laplace là Fk , k = 1, 2, ..., n. Khi đó biến đổi Laplace của hàm tổ hợp tuyến
tính f của các hàm fk
n

ck fk (t) ,

f (t) =
k=1

ck là hằng số, là hàm F định bởi
n

F (p) =

(2.1)

ck Fk (p)
k=1

Với miền xác định Rep > max αk .
Chứng minh. Suy ra từ định nghĩa và tính chất tuyến tính của tích phân.


Ví dụ 2.5. Trong mục trước, ta có
L eαt =

1
, Re (p − α) > 0.
p−α

1
Đẳng thức trên là viết tắt, viết chặt chẽ là L t → eαt = p → p−α
. Nhưng
nếu không nhầm lẫn, sau này ta sẽ viết dạng tắt cho thuận tiện.

Từ tính chất 1 và kết quả nói trên, ta sẽ tìm biến đổi Laplace của các hàm
thông dụng sau đây
1
1
(a)L [cos βt] = L 12 eiβt + e−iβt = 21 p−iβ
+ p+iβ
Vậy
L [cos βt] =

p2

p
, Rep > |Imβ| .
+ β2

p2

β

, Rep > |Imβ| .
+ β2

(b) Tương tự, ta có
L [sin βt] =

(c)
L [cosh βt] = L

1 βt
e + e−βt
2

=

L [sinh βt] = L

1 βt
e − e−βt
2

=

p2

p
,
− β2

Rep > |Reβ| .


p2

β
,
− β2

Rep > |Reβ| .

(d)

19


Tính chất 2.2. Cho hàm gốc f có chỉ số tăng là λ0 ,L [f ] = F (p) , và c > 0
là hằng số. Khi đó
1
L [t → f (ct)] = p → F
c

p
, Rep > cα0
c

(2.2)

Chứng minh.
∞

∞

−pt

e

L [f (ct)] =

1
f (ct) dt =
c

0

1
e−pu/c f (u) du = F
c

p
.
c

0

Tính chất 2.3. Cho L [f (t)] = F (p) , Rep > a0 . Đặt
0
nếu t < τ
f (t − τ ) nếu t ≥ τ

fτ (t) =

Khi đó

L (fτ ) = p → e−pτ F (p) ,

Rep > α0

(2.3)

Chứng minh.
∞

∞

e−pt fτ (t) dt =

L [fτ ] (p) =

e−pt f (t − τ )
τ

0
∞

f (u) e−p(u+τ ) du = e−pτ F (p) .

=
0

Tính chất 2.4. Cho L (f ) = F , f có chỉ số tăng là α0 , λ là hằng số. Khi
đó
L eλt f (t) = F (p − λ) , Rep > α0 + Reλ
(2.4)

Chứng minh. Ta có
∞

L eλt f (t) =

e(λ−p)t f (t) = F (p − λ)
0

20


Ví dụ 2.6. Từ tính chất 4 và các ví dụ trước, ta sẽ tìm biến đổi Laplace
của vài hàm thông dụng sau đây
(e)
p−λ

L eλt cosβt =

(p − λ)2 + β 2

,

Rep > |Imβ| + Reλ.

,

Rep > |Imβ| + Reλ.

(f)
L eλt sin βt =


β
(p − λ)2 + β 2

(g)
L eλt tn =

n!
(p − λ)n+1

,

Rep > Reλ.

Tính chất 2.5. Cho L (f ) = F . Giả sử f (k) tồn tại và là hàm gốc,
f (k−1) 0+ tồn tại, ∀k = 1, n , thì ta có
L f (n) = pn F (p) −

f + 0+
f (n − 1) 0+
f 0+
−
−
·
·
·
−
p
p2
pn


(2.5)

Chứng minh. Sử dụng công thức tích phân từng phần, ta dễ dàng kiểm tra
được (4.5) đúng với n = 1. Giả sử qui nạp rằng (4.5) đúng với n = 1, N .
Khi đó
L f (N +1)

= L
= p

N

f

(N )

L f (p) −

f

f 0+
f (n+1) 0+
0+
−
−···
p
p2
pn


và
L f

= pF (p) − f 0+ ,

suy ra
L f (N +1) = pN +1 F (p) −

f (N ) 0+
f 0+
f 0+
−
−
·
·
·
p
p2
pN +1

Theo nguyên lý qui nạp, ta có đpcm.
Ví dụ 2.7. Tìm nghiệm của phương trình vi phân sau đây
y + 2y − 3y = e−t
,
y (0) = y (0) = 0.

21

.


.