Luận văn thạc sĩ khoa học: Biến đổi tích phân fourier trong các không gian Schwartz L1(Rn) và L2(Rn) và ứng dụng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (16.18 MB, 79 trang )

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

DAI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYEN VĂN MANH

BIEN DOI TICH PHAN

FOURIER TRONG CAC KHONG GIAN

SCHWARTZ, L'(R") VA L?(R") VA UNG DUNG

<small>Chun ngành: Tốn giải tích</small>

LUẬN VĂN THAC SĨ KHOA HOC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

<small>PGS.TS. NGUYEN MINH TUAN</small>

HÀ NỘI - Năm 2013

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

Mục lục

MỞ ĐẦU 3

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU 5

1 BIEN DOI TÍCH PHAN FOURIER 6

<small>1.1 Các không gian CƠ SỞ 2... . vo 61.117 Khơng glanĐ”... Q Q Q Q Q Q Q Q v. 6112 Khong gian LP(R") 2. Ốc 61.1.3 Không gian Schwartz S(Đ")... ĩ</small>

1.2 Biến đổi tích phan Fourier trong khơng gian Schwartz ... 7

1.3. Biến đổi tích phan Fourier trong khơng gian L'(R)... 10

1.3.1 Định nghĩa, một vài tính chất đơn giản và vidu... 10

1.3.2 Bo đề Riemann - Lebesgue ... 12

1.3.3. Đạo ham của một hàm và biến đổi tích phân Fourier của nó 14

<small>1.3.4 Cong thức nghịch đảo ...2.0.2....20... 16</small>

<small>1.3.5 Chập củahaihàm ...0.0040. 18</small>

1.3.6 Tính duy nhất của biến đổi tích phân Fourier ... 21

<small>13.7 Định lý kha tich.. 2... 0.200.020.0000... 0.02004. 221.3.8 Khả tích Abel và khả tích Gauss... 27</small>

1.4.6 Chuan, tính liên tục, dang thức Parseval... 44

1.5 Biến đổi tích phân Fourier trong khơng gian /2... 44

1.5.1 Phép biến đổi trong không gian Hilbert... 44

<small>1.5.2 Định lý Plancherel...Ặ 45</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

15.3 Tong quát về tinh kha tich ... 52

1.5.4 Biến đổi tích phan Fourier trong /2(Ñ*")... 54

1.5.5 Đạo hàm của một hàm và biến đổi tích phan Fourier của

2 UNG DUNG BIEN ĐỔI TÍCH PHAN FOURIER ĐỀ GIẢICÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 652.1 Bài toán Dirichlet trong nửa mặt phẳng ... 66

2.2 Bài toán Neumann trong nửa mặt phẳng ... 68

2.3. Bài tốn Cauchy với phương trình khuếch tán... 69

<small>2.4 Bài tốn Cauchy với phương trình sóng ... 74</small>

KET LUẬN ... Quy. 77TÀI LIEU THAM KHAO ... 78

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

MỞ ĐẦU

Lý thuyết biến đổi tích phan Fourier đã và đang được ứng dụng mạnh mẽ

trong Toán học hiện đại, Vật lý, Cơ học, và nhiều lĩnh vực công nghệ, kỹ thuật

khác. Đặc biệt là áp dụng biến đổi tích phan Fourier để giải phương trình đạo

hàm riêng nói chung và bài toán giá trị ban đầu hay bài toán biên nói riêng làmột trong những ứng dụng thú vị đã được nhiều nhà khoa học quan tâm. Vì

vậy, biến đổi tích phân Fourier đã được các nhà khoa học nghiên cứu rất nhiều,

các kết quả về lĩnh vực này vơ cùng phong phú và đa dạng.

Luận văn trình bày các kiến thức cơ bản về biến đổi tích phân Fourier vàứng dụng để giải các phương trình đạo hàm riêng. Nội dung của luận văn gồm

<small>hai chương.</small>

1. Biến đổi tích phân Fourier

Giới thiệu phép biến đổi tích phân Fourier trong các khơng gian Schwartz,

<small>phương trình đạo hàm riêng.</small>

<small>Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS. Nguyễn</small>

Minh Tuấn, Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội, người đã tận

tình hướng dẫn tác giả trong suốt q trình hồn thành luận văn này. Tác giảxin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thay, thong qua luận văn tác giả cũng xingửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô trong hội đồng phản biện đã đọc vàđưa ra những ý kiến quý báu giúp bản luận văn hoàn thiện hơn.

<small>Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau Dai học, Khoa</small>

Toán - Cơ - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc giaHà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập tại

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

Tác giả chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Hành chính tổ chức, KhoaKhoa học cơ bản trường Cao dang Thủy sản và gia đình đã ln động viên, giúp

đỡ, tạo điều kiện thuận lợi nhất cho tác giả trong suốt khóa học.

Do năng lực, kinh nghiệm và thời gian cịn nhiều hạn chế nên luận văn chắc

chắn khơng tránh khỏi những thiếu sót ngồi ý muốn của tác giả. Vì vậy, tác

giả rất mong nhận được nhiều những ý kiến đóng góp của thầy cơ, bạn bè và

đồng nghiệp để bản luận văn được hoàn thiện hơn cả về nội dung và hình thức.

<small>Tác giả xin chân thành cảm on!</small>

<small>Hà Nội, ngàu 28 tháng 10 năm 2018Tác giả</small>

Nguyễn Văn Mạnh

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

7. (G1, Ba, ...,Bn),a < Ø8 © aj < Bj, với mọi j.

9. Dj = 2 là toán tử lấy đạo hàm riêng th. dD = Ba, à toán tử lay đạo ham riêng theo 2;.

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

Không gian L?(R"), (1 < p< +œ) là tập hợp tất cả các ham số xác định và

|ire)Pa: < +00. (1.1)

Trong L?(R") hai ham được gọi là đồng nhất với nhau nếu chúng bằng nhauhầu khắp nơi, do đó các phan tử của L?(R”) là lớp tương đương các hàm dođược thỏa mãn (1.1), hai hàm tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắp nơitrên L?(R”) và f € L?(R"), ƒ = 0 nếu ƒ(z) = 0 hầu khắp nơi trên R”. Khi đóI(R") là không gian véc tơ với phép cộng hai hàm số và nhân một số với hàm

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

số. Chuan trong L?(R") được định nghĩa như sau

I| f(x NI )Jfdz |. (1.2)

Khi đó /(R") với chuẩn (1.2) là khơng gian định chuẩn day đủ (Banach).

<small>1.1.3 Không gian Schwartz S(R")</small>

<small>Không gian các hàm giảm nhanh S(R") là tập hợp</small>

5(R") = {¿ C%(R")||z®D”¿()| < cag,V+z € R",a, 9 € Zh},

<small>với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau.</small>

Day {¿¿}_¡ trong S(R") được gọi là hội tụ đến ¿ trong S(R") nếu

lim sup |x° D? pe (x )— x° D”¿(»)| =0,Va, 8€ Zt.

1.2 Biến đổi tích phân Fourier trong khơng gian Schwartz

Định nghĩa 1.1. Biến đổi tích phan Fourier #ƒ(£) hay f(€) của ham f(x) €

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

do e'(-).r° f(x) c6 tích phân trên R” hội tụ đều theo €. Do đó Ff € CTM(R").

Mặt khác, bằng phép tinh tích phân từng phan ta có

EF(E) = II... [eps ravae

= (HF (DEF (2))().

€°D#(Zƒ)(£) = / el) (iD,)°((in)® f(x) de.

Vi vay

Bna 8 Qa . II\@+T ¬ ee

sup |£ DEFAE)| <_ sup |De((2)*)F(e))| (1+ lle J ase”

< C sup (1+ |le|?)"* lS ° [D7 F(a).

* +<8

Từ đó, ta có Ff € S(R"), và biến đổi tích phân Fourier là ánh xạ tuyến tính liên

Ví dụ 1.1. Tìm biến đổi Fourier của ham f(x) = e-?llẺ,

<small>Lời giải. Theo định nghĩa ta có</small>

miền xác định Dr như Hình 1.1. Ta xét hướng dương đi vịng quanh biên 97p.

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

Vì f(z) là hàm chỉnh hình trong miền xác định này nên theo Dinh lý Cauchy ta

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

F(e 5" )=e “8 T] m= (2z)2e_ ?||KlỦ,

1.3 Biến đổi tích phân Fourier trong khơng gian L'(R)

1.3.1 Định nghĩa, một vài tính chat đơn giản và ví dụ

Định nghĩa 1.2. Biến đổi tích phân Fourier #ƒ(a) hay fla) của ham f(z)

F f(a) = fla) := / el" f(x)dx

trong đó a là một số thực. Lớp hàm đơn giản nhất ta có thể làm quen là lớp

ham Lebesgue trên ”!(R).

Nếu f(x) € L1(R) thì f(a) là tồn tại với mọi a. Chúng ta sẽ đưa ra chỉ tiết

một vài tính chất của ƒ fla ).

Cho e > 0, ta có thé chon R đủ lớn và sau đó y du nhỏ sao cho biểu diễn

cuối cộng lại nhỏ hơn e.

3. Nếu c¡ và cz là những số thực và F là tốn tử tác động lên ƒ vào trong ƒ,

Fler fi + cafe) = a.F <sup>fi + c2.F fo,</sup>

JI£2)] = Fh), FIF(@)] = ƒ(=a),

ở đó () là biểu thị của số phúc liên hợp.

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

4. Nếu dãy hàm ƒ„(z) + f(x) theo chuẩn trong L', thì day các biến đổi tích

phân Fourier của chúng ?2(a) > fla) đều trong —oo < a < +00.

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

Lời giải. Ta có f € L!(R), và

fla) = [coe lar = fetroars [ ám Đau

7 It+ia l-ia l+at

Rõ rang f(a) e L!(R). Dé thị của ƒ như Hình 1.3.

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

Vì vậy

|ứx(a)|< =.<sub>lai</sub>

Kết quả này cố định với mỗi hàm bậc thang ƒ(z) hàm mà là hằng số trên một

<small>khoảng hữu hạn (bị chặn) và triệt tiêu ngoài khoảng đó, trên phép tốn của tính</small>

chất 3 mục 1.3.1. Các hàm bậc thang nay là trù mật trong không gian 7!(R),điều này có nghĩa là, với mỗi e > 0, tồn tại một hàm bậc thang ƒ; thỏa mãn

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

1.3.3. Đạo hàm của một ham và biến đổi tích phân Fourier của nó

Mục đích của ta là sẽ chứng minh rằng nếu

Nhung trước khi chứng minh, ta có chú ý rằng.

1. Nếu f(x) có biến đổi tích phan Fourier f(a), thì ƒ(z)e“° có biến đổi tích

<small>phan Fourier f(a +h).</small>

2. Nếu f(x) có biến đổi tích phan Fourier f(a), thi f(x +h) có biến đổi tíchphân Fourier f(a)e~®".

Hai tính chat trên chứng tỏ đã biết tính chất của nghịch đảo, từ đó ta kết

eh —1 ƒ(x+h)— ƒ(œ@) ..

ath) — fla ~ ve ith _ 1

<small>Cho h — 0 trong (3) va (4) ta nhận được một cách hình thức,</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

Định lý 1.2. (i) Nếu f(x) € LÌ, va p(x) = izƑ() € Li, thi f (a) ton tai, vapla) = f (a).

(ii) Nếu f(x) € L!, g(x) = ƒ'(+) € L1, thi Gla) = —iaf(a), ngoài ra

#/„(œ)| > Flix f(x)] đều, khi h — 0.

Do đó, tai mọi điểm a, tồn tại đạo hàm f (a) theo hướng thơng thường, và

(ii) Nghĩa chính xác của giả thiết là tồn tại một hàm g(r) e L' hàm mà có théchọn để ký hiệu bởi ƒ (x) và một tích phân xác định của nó

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

Do đó, f(A) — I, tương tự f(—A) + —m. Vi f(x) € LI(R) ta phải có 1 = —m =0,

và điều này trước hết chứng minh được

<small>Nhung các giới han tại biên triệt tiêu bởi vi, 1 = —m = 0. Do đó</small>

Go) = —ief (a).

Nhận xét. Có một định lý mạnh hơn bắt đầu rang nếu f(x) € L!, va ƒữ)(z) € HÌ,thì /(z),..., ƒ/#—Đ(z) € L1. Chúng ta sẽ nói rõ hơn định lý này ở phan sau.

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

Ta cĩ, Ig = 0 bởi Bo dé Riemann - Lebesgue, và do ool) kha tich tuyét doi trong

(0, 5), từ đĩ suy ra rằng 7 = e(ổ) > 0, khi 6 > 0.

Nhận xét. Dinh lý 1.3 chỉ ra rằng nếu f(x) € L(R), thì sự hội tụ của Šp(z) tới

f(x) tại một điểm chỉ phụ thuộc vào dáng điệu của f(x) trong lan cận của điểm

đĩ. Điều này là địa phương hĩa của Dinh ly Riemann.

Ví dụ 1.5. Cho f(t) =e74l, ta cĩ fla) = Trà (Ví dụ 1.2.),

ela i lim / ew da.

Trong trường hợp này ƒ là khả tích tuyệt đối, và ta cĩ thể viết đơn giản

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

Cho ƒ(+),ø(z) € L!(R), và cho f(a), g(a) là các biến đổi tích phân Fourier

<small>tương ứng. Chap của ƒ và g được xác định bởi</small>

Bây giờ, ta sẽ chứng minh một kết quả được xem như là biến đổi tích phân

Fourier của chập của hai hàm là tích của biến đổi tích phan Fourier của chúng.

Định lý 1.4. Nếu f,g € L!(R), thà tích phân xác định h(x) là tồn tại uới moi x,

thuộc L!(R), va

IIh(JJ| < lIƒ(z)||-|lø(z)|l:

Ngoài ra, nếu h(a) là biến đối tích phân Fourier của h(x), thà

h(a) = f(a).G(a).

Chứng minh. Trước hết ta chú ý rằng, nêu f(x) là đo được theo z, thi f(x —y)

là đo được theo (x,y). Dé chỉ ra rằng

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

[ae -oilaoiae

ton tại. Mặt khác bởi Dinh lý Fubini, suy ra rằng

li ~ t)g(t)dt

tồn tại, và h(z) tồn tai hầu khắp nơi, và thuộc L'(R). Hơn nữa,

điều này được suy ra từ Dinh ly Fubini với ƒ(z — g)c'#~=#)g()e?% tương ứng với

<small>vị trí của f(x — y)g(y) trong Dinh lý Fubini.</small>

Lời giải. Dat g = ƒ x ƒ. Việc tính chập một cách trực tiếp là rất vất va. Thay

cho việc này, ta sử dụng Dịnh lý 1.4. Ta bắt đầu từ thực tế rằng fla) = rele

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

(Ví dụ 1.5.), điều này có nghĩa rằng

/ dt = re7!@l, (1.4)

Theo Dinh lý 1.4, ta có G(a) = ( fla)) = 72e-Pl, Bay giờ, trong (1.4) ta thay

a bởi 2a, nhân với z và đổi biến 2t = y, ta có

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

1.3.6 Tính duy nhất của biến đổi tích phân Fourier

Suy ra Guc(a) = 0 (=) „ khi |a| oo.

Gae(a) € L*(R). (1.5)Ngồi ra, ga,-(x) thỏa mãn các điều kiện của Dinh lý 1.3 tại moi điểm —œ < x <

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

lấy tích phan, đã được chứng minh là hội tụ tuyệt đối trong (1.6).

Từ điều kiện f(a) = 0, ta có

[fou = 0, với mọi a và ổ.

Do đó f(x) = 0 với hầu hết mọi z, điều này cho thay f(x) không là hàm của lớpL!(R) hay đúng hơn, không là một phần tử của không gian Banach L!(R).

Chú ý. Chúng ta sẽ mở rộng Định lý cho trường hợp nhiều biến trong phần tiếp

K(a/R) có thé kha nghịch tại điểm gốc, nghĩa là 1 = pf Renna (1.10)

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

<small>trong ký hiệu của mục 1.3.5.</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

Dinh ly 1.6. Nếu (1) K(a) € L'(R), (2) K(0) = 1, (3) K(a) là liên tục tai

a=0 tà (4) K(a) = K(-a), nếu (5) H(t) là đơn điệu tăng trong 0 < t < co va

Chú ý rằng H(t) là chan, vì vậy K(qa) là chan, va ta sẽ chứng minh khang

định này ở phần sau trong Định lý 1.11, giả thiết (8) là hệ quả của các giả thiết

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

\15| < 8L) Hl fn (Rt)dt = _ J mue= 0) khi R + +00, bởi giả thiết (7).ừ (1.18), (1.19) và (1.20) ta có điều phải chứng minh.

Định lý 1.7. Giá thiết (1) K(a) là tương tự như Dinh ly 1.6 va H(t) thỏa mãn

giả thiết (8), (2). Ton tại một hàm Ho(t) thỏa mãn giả thiết (5), (6), (7) của

<small>H(t) trong Dinh ly 1.6, sao cho |H(t)| < Ho(t).</small>

Nhận xét. Trong Dinh lý 1.7 giả thiết trên #Z(a) và giả thiết (8) là chỉ cần thiết

để đảm bao cho sự biểu diễn tích phân của SẼ (z).

Dinh lý 1.6 bao gồm cả trường hợp khi K(a) = e"†l# (Albel), và K(a) = e~*

<small>(Gauss) nhưng không (Fejer)</small>

hầu khắp nơi với f(x) € L! bởi định lý co sở trên tính liên tục tuyệt đối của tích

phân xác định, do đó Dịnh lý 1.6 chứng tỏ rằng biến đổi tích phân Fourier của

một hàm trong 7! là khả tích Abel (Gauss) hầu khắp nơi.

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

“eo = = _ se ® YVdydx = se—# [yg

€ 2 [ fe cos axe udz / a y

/ ` pa? u? va và

Vr du? J

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

<small>trong đó +(u) > 0.Cho a = 0, ta có</small>

Tổng quát hơn, ta có định lý sau.

Dinh lý 1.9. Giá thiết rằng: (1) Cho K(a),A(a) là xác định với 0 < a <

+oo, K(a), A(a) là đương, K(0) = A(0) = 1, ton tại một hệ thúc

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

Do đó trong (1.21) ta có thể cho R + + vào dưới dẫu tích phân va sau đó làm

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

Do fla) > 0, ta có thể chuyển qua giới hạn khi R + +00 vào dưới dấu tích phan,

1. Nếu f(x) € L!, f(z) là liên tục và f(a) € L1, thì cơng thức nghịch đảo tồn

2. Nếu f(x) € L!, f(x) là bị chặn và liên tục, và f(a) > 0, thì cơng thức nghịch

đảo tồn tại mọi nơi.

1.3.10 Tính liên tục theo chuẩn

Plo) € E`, f(ø) = fla +h), ||| = / If(z)|dz = A

thi || fall = |lZ|I. Cho

w(h) = ||f(ø) — fala N= [3= fle +h) lax.

</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

<small>Định lý 1.12. w(t) > 0 khí h — 0.Chứng minh. Giả sử</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

Định lý 1.14. Nếu f(x) là ham bị chặn thuộc L, thi

[ve yae= a5 | ie )Paa,

<small>tích phân nay là xác định.Chứng minh. Lập hàm</small>

theo Định lý 1.4 ta thấy rằng,

#[n(z)] = [ƒf(a)l? > 0

Theo Định lý 1.13, h(x) là bị chặn, liên tục và thuộc L!. No có biến đổi tích

phân Fourier dương. Vì vậy theo Định lý 1.11, công thức nghịch đảo tồn tại mọi

fr fet v)Fo)dy = + [ie ) Pe da.

Cho x = 0, ta có điều phải chứng minh.

Dinh ly 1.15. Nếu f(x), g(x) là các ham bi chăn, thuộc L', thi

<small>Chứng minh. Theo Dinh lý 1.14,</small>

/ IFl@)l? < +00, / lậ(a)#< toe.

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

<small>vi w(t) là bi chặn và w(t) — 0 khi — 0, trong khi tH(t) + 0 khi t > +oœ.</small>

Nhận xét. Chúng ta đã chứng minh được rằng dưới điều kiện thích hợp thì

(i) SẼ (z) > f(x) hầu khắp nơi, khi R + +00,(ii) SẼ (z) + f(x) theo chuẩn trong 71.

1.3.12 Đạo hàm của một hàm và biến đổi tích phân Fourier chúng

Chúng ta nhớ lại Định lý 1.2, Định lý nói rằng

(i) Nếu f(x) € L!, và h(x) = iƒ(+) € L', thi h(a) = f(a),

(ii) Nếu ƒ(z) € L', g(x) € L1, va g(x) = f'(2), thi g(a) = —ia f(a),

Bay giờ ta sé chứng minh

Dinh lý 1.17. Nếu f(x) € L', g(x) € LẺ va Gla) = Ở[g] = ~iaf (a), thi g(x) =

f(x) hau khắp noi, điều đó có nghĩa là

</div><span class="text_page_counter">Trang 35</span><div class="page_container" data-page="35">

Chứng minh. Trường hợp đặc biệt, giả sử rằng fla), Gla) € L'(R). Trong

trường hợp nay, ta có thể sử dung cơng thức nghịch đảo và do đó, với hau hết

</div><span class="text_page_counter">Trang 36</span><div class="page_container" data-page="36">

Mặt khác, ƒp(z) hội tụ hầu khắp nơi tới f(x) bởi Dinh lý 1.6. Do đó, với hầu

Dinh lý 1.18. Nếu f(x) € L!,gø(z) € Lt, va nếu gla) = (—ia)" f(a) ở đó n là số

nguyên dương, thi f có đạo hàm cấp n, tat cả đều thuộc LÌ.

Chú ý rằng kết luận trên hàm ý rằng tất cả (—ia)* f(a), k = 0,1,...,ø là những

biến đổi tích phân Fourier.

Chứng minh. Trước hết ta sẽ chỉ ra rằng nếu f(a) € F, và (—ia)" f(a) €#,n >2, thì (—ia) f(a) e Ø (f € F có nghĩa là ƒ là một biến đổi tích phan Fourier).

là một biến đổi tích phân Fourier vì vậy theo Dịnh lý 1.4,

(~ia)" Fla) — Ai |e

<sub>(atari = A+ f(a)</sub>

Biểu thức bên trái thuộc F và hai số hạng cuối cùng bên phải cũng thuộc F.

</div><span class="text_page_counter">Trang 37</span><div class="page_container" data-page="37">

Giả sử K(a) =e", ƒn(z) = ot ice Như trong (1.13) ta có

Cả hai hàm (—ia)"F(a)e~®, f(a)e-®” xuất hiện trong (1.26) và (1.28) đều

thuộc L'(R) và nhờ vào việc thay thé i bởi —¡, hàm 2“ƒ¡(z) xuất hiện như là

biến đổi tích phân Fourier thơng thường của cả hai. Theo Định lý 1.5 và tính

liên tục theo a, ta kết luận rang chúng là bằng nhau va do đó

(—ia)" Fla) = F(a).

</div><span class="text_page_counter">Trang 38</span><div class="page_container" data-page="38">

1.4 Biến đổi tích phân Fourier trong khơng gian /!(R")

1.41 Bồ dé Riemann - Lebesgue, chập của hai hàm

Khi đó ƒ(œ...œ„) được gọi là biến đổi tích phan Fourier của f(x, ...,2,). Đôi

khi ta ký hiệu hàm và biến đổi tích phan Fourier của nó bởi f(x) và f(a) tương

Do đó fla) tồn tai và bi chặn với moi a.

Chúng ta sẽ chứng minh Dinh ly như trước đó, với một tập con trù mật khắpnơi của lớp hàm thuộc 7! - gọi là ham bậc thang. Giả sử g(x) = 1 bên trong hộpn chiều aj; < aj <b; và g(x) = 0 bên ngồi hộp đó. Khi đó

—

——

</div><span class="text_page_counter">Trang 39</span><div class="page_container" data-page="39">

Theo Bổ đề Riemamn - Lebesgue với hàm một biến, mỗi thừa số là bị chặn và dần

về không khi )> a? + +œ. Rõ rang rằng, nếu a; => +00 với mỗi r thi g(a) — 0,

sự hội tụ là hội tụ đều theo a. Do đó g(a) + 0 với hàm hộp, do đó cũng dần vềkhơng với hàm bậc thang. Mở rộng tới mọi hàm thuộc L! được suy ra như mục

1.3.1. Vì mọi hàm trong U!(R*) là một giới hạn của hàm bậc thang của loại vừa

giới thiệu trong L!.

Định lý 1.21. Nếu Ff =f, va Fg =9, trong đó ƒ,g€ LÌ, thi

| roamav.= | s03),

Chứng minh là tương tự như trường hợp một biến.

Định lý 1.22. Nếu f,g € L', thi chập của chứng h(x) được xác định như sau

Trong trường hợp một biến, ta đã chứng minh được rằng hai hàm thuộc L!

có cùng biến đổi tích phân Fourier là bằng nhau hầu khắp nơi. Bây giờ, ta sẽ

đưa ra chứng minh tương tự với nhiều biến. Trước khi chứng minh, ta có vài

</div>