<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES TRONG XUYẾN BA CHIỀU

Thuộc nhóm ngành Khoa học Tự nhiên

THANH HĨA, NĂM 2023

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI

PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES TRONG XUYẾN BA CHIỀU

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

MỤC LỤC

1.1 Lý thuyết tập hút đối với hệ tiến hóa . . . . 4 1.2 Một số bất đẳng thức quan trọng . . . . 12 Chương 2. Phương trình Navier-Stokes với toán tử bậc phân

2.1 Một số kết quả về giải tích hàm . . . . 14 2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của phương trình

Navier-Stokes với tốn tử bậc phân và số hạng tắt dần kiểu đa thức 16 2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của phương trình

Navier-Stokes với toán tử bậc phân và số hạng tắt dần kiểu mũ . . 22 2.4 Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình Navier-Stokes

với tốn tử bậc phân và số hạng tắt dần kiểu đa thức và

kiểu mũ . . . . 29

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT

A_w: Tập hút quỹ đạo yếu đối với hệ tiến hoá E

A_s: Tập hút quỹ đạo mạnh đối với hệ tiến hoá E

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài.

Cơ học chất lỏng là ngành khoa học nghiên cứu hành vi của chất lỏng khi chúng ở trạng thái chuyển động hoặc nghỉ ngơi. Cho dù chất lỏng ở trạng thái nghỉ hay chuyển động, nó phải chịu các lực khác nhau và các điều kiện khí hậu khác nhau và nó hoạt động trong những điều kiện này theo các đặc tính vật lý của nó. Cơ học chất lỏng có rất nhiều ứng dụng trong đời sống hàng ngày của chúng ta như là trong việc thiết kế và vận hành nhà máy thủy điện, nhà máy nhiệt điện, nhà máy điện hạt nhân, máy thủy lực, ô tô, động cơ nhiệt, tủ lạnh và điều hịa khơng khí và nhiều thiết bị khác.

Có thể nói chất lỏng là một phần không thể thiếu trong cuộc sống hàng ngày của chúng ta. Việc nghiên cứu chất lỏng là thực sự cần thiết và là một khía cạnh của kỹ thuật cho phép chúng ta hiểu được hành vi của chất lỏng dưới nhiều lực khác nhau và ở các điều kiện khí quyển khác nhau, khám phá tiềm năng của chất lỏng cho các ứng dụng mới và các chức năng khác nhau, đồng thời chọn chất lỏng thích hợp cho các ứng dụng khác nhau.

Phương trình Navier-Stokes (NVEs) là phương trình tốn học gắn liền với các hiện tượng tự nhiên (xem [11, 16, 26]). Phương trình này miêu tả chuyển động của dịng chảy chất lỏng và khí trong tự nhiên, thường được nhắc tới nhiều trong động lực học chất lưu (Fluid Dynamics). Dựa vào phương trình này, tuỳ vào từng trường hợp cụ thể trong thực tế, ta sẽ có những giá trị tương ứng cho các biến trong phương trình. Sau đó dùng phương pháp số kết hợp lập trình dựa trên phương trình này, ta sẽ có những hình vẽ mơ phỏng chuyển động của chất lưu. Từ đó ta có thể dự đốn, thay đổi giá trị và quan sát chỉ đơn giản bằng phần mềm mà không cần thực nghiệm thực tế.

Cũng trên cơ sở này, việc nghiên cứu các hiện tượng phức tạp hơn dẫn tới việc nghiên cứu hệ phương trình tạo bởi phương trình NVEs và một phương trình khác như phương trình nhiệt, phương trình điện từ, . . . vv (xem [2, 9, 17, 27]).

Do đó, việc tìm hiểu và nghiên cứu phương trình NVEs và các vấn đề liên quan là nội dung quan trọng và mang tính thời sự. Vì vậy, đề tài

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

“Phương trình Navier – Stokes trong xuyến ba chiều” được chọn là đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên.

2. Mục tiêu nghiên cứu.

Nghiên cứu tính đặt chỉnh và dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình Navier-Stokes chứa tốn tử bậc phân tổng quát và số hạng tắt dần trong xuyến ba chiều.

3. Đối tượng nghiên cứu.

Phương trình Navier-Stokes chứa toán tử bậc phân tổng quát và số hạng tắt dần trong xuyến ba chiều.

4. Phạm vi nghiên cứu.

Nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm yếu của phương trình Navier-Stokes chứa tốn tử bậc phân tổng quát và số hạng tắt dần trong xuyến ba chiều. Nghiên cứu sự tồn tại của tập hút thông qua lý thuyết hệ tiến hoá.

5. Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu và trao đổi học thuật dưới sự hướng dẫn của người hướng dẫn khoa học. Sử dụng các phương pháp, kỹ thuật, kết quả của giải tích hàm, phương trình vi phân và tích phân.

6. Ý nghĩa của đề tài.

Báo cáo tổng kết đề tài đã trình bày tóm tắt lý thuyết tập hút của hệ tiến hoá; sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm yếu của phương trình Navier-Stokes chứa tốn tử bậc phân tổng qt và số hạng tắt dần trong xuyến ba chiều. Báo cáo tổng kết đề tài đã trình bày được áp dụng lý thuyết hệ tiến hoá vào việc nghiên cứu sự tồn tại tập hút đối với phương trình Navier-Stokes chứa toán tử bậc phân tổng quát và số hạng tắt dần trong xuyến ba chiều. Báo cáo tổng kết đề tài là tài liệu tham khảo hữu ích đối với hướng nghiên cứu hệ động lực.

7. Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính của báo cáo tổng kết gồm hai chương

ˆ Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, báo cáo tổng kết trình bày tóm lược lý thuyết về tập hút đối với hệ tiến hoá, một số bất đẳng thức quan trọng.

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

ˆ Chương 2. Phương trình Navier-Stokes với tốn tử bậc phân và số hạng tắt dần. Nội dung chương này là trình bày kết quả nghiên cứu về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm yếu của phương trình Navier-Stokes chứa toán tử bậc phân tổng quát và số hạng tắt dần kiểu mũ và đa thức trong xuyến ba chiều; sự tồn tại tập hút đối với phương trình Navier-Stokes chứa toán tử bậc phân tổng quát và số hạng tắt dần kiểu mũ và kiểu đa thức trong xuyến ba chiều thơng qua lý thuyết hệ tiến hố.

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Nội dung của chương với mục đích trình bày tóm lược lý thuyết tập hút đối với hệ tiến hoá và một số bất đẳng thức quan trọng.

Lý thuyết tập hút đối với hệ tiến hoá được phát triển trong những năm gần đây bởi Cheskidov và Lu để nghiên cứu các hệ động lực sinh bởi các phương trình đạo hàm riêng có tính tiêu hao nói chung và đặc biệt là các phương trình đạo hàm riêng chưa rõ về tính duy nhất nghiệm. Lý thuyết này được trình bày trong chuỗi cơng trình của Cheskidov và Lu [12, 13, 14, 15, 24]. Nội dung của phần này được tham khảo từ các tài liệu [2, 12, 13, 14, 15, 24].

Chúng ta bắt đầu với không gian pha được trang bị hai khoảng cách manh và yếu. Giả sử không gian pha X được trang bị hai khoảng cách

d_s(·, ·) và d_w(·, ·) thảo mãn các điều kiện sau: (1) X là d_w-compact.

(2) Nếu d_s(u_n, v_n) → 0 khi n → ∞ và u_n, v_n ∈ X, thì d_w(u_n, v_n) → 0 khi

Do điều kiện(2), d_w(·, ·) được xem là khoảng cách yếu vàd_s(·, ·) được xem là khoảng cách mạnh trên X. Ký hiệu _A¯<small>•</small>, • = s hoặc w, là bao đóng của

A ⊂ X đối với tơpơ sinh bởi d_•.

Lý thuyết tập hút đối với hệ tiến hoá được nghiên cứu bắt đầu đối với trường hợp hệ ôtônôm và được mở rộng sang trường hợp hệ không ôtônôm. Để đơn giản, chúng ta bắt đầu với trường hợp hệ ôtônôm như sau

Giả sử

T := {I : I = [0, ∞) ⊂_R, hoặc I = (−∞, ∞)},

và với mỗi I ∈ T, ta ký hiệu F(I) là tập tất cả các hàm X-giá trị trên I. Ta định nghĩa một hệ tiến hoá E như sau:

<small>Def:2.1</small> Định nghĩa 1.1.1. Ánh xạE liên kết với mỗi I ∈ T và E(I) ⊂ F(I) được gọi là một hệ tiến hoá nếu các điều kiện sau được thoả mãn:

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

(1) E([0, ∞)) ̸= ∅.

(2) E(I + s) = {u(·) : u(· + s) ∈ E(I)} với mọi s ∈ _R.

(3) {u(·)|_I₂ : u(·) ∈ E (I<small>1</small>)} ⊂ E (I<small>2</small>) với mọi cặp I<small>1</small>, I<small>2</small> ∈ T, thoả mãn

I₂ ⊂ I₁.

(4) E((−∞, ∞)) = {u(·) : u(·)|_[τ,∞) ∈ E([τ, ∞)), ∀τ ∈ _R}.

E(I)được xem như là tập tất cả các quỹ đạo trên khoảng thời gianI. Tập

E((−∞, ∞)) được gọi là hạt nhân của E và các quỹ đạo của E((−∞, ∞))

được gọi là đầy đủ.

Định nghĩa 1.1.2. Giả sử E là một hệ tiến hoá. Nếu E<small>1</small> liên kết với mỗi

I ∈ T và E<small>1</small>(I) ⊂ E (I) cũng là một hệ tiến hố thì ta gọi E<small>1</small> là hệ tiến hoá con của E, và ký hiệu E<small>1</small> ⊂ E.

Đối với hệ không ôtônôm, việc xây dựng hệ tiến hoá phức tạp hơn. Đầu tiên, ta giả sử Σ là tập các tham số và {T (h)|h ≥ 0} là họ các toán tử tác động lên Σ thoả mãn T (h)Σ = Σ, ∀h ≥ 0. Mọi phần tử σ ∈ Σ được gọi là dấu hiệu (symbol) và Σ được gọi là không gian các dấu hiệu (symbol space).

Định nghĩa 1.1.3. Họ các ánh xạ E_σ, σ ∈ Σ liên kết với mỗi I ∈ T và tập con E_σ(I) ⊂ F(I) được gọi là hệ tiến hố khơng ơtơnơm nếu các điều kiện sau được thoả mãn:

(1) E_σ([τ, ∞)) ̸= ∅, ∀τ ∈ _R.

(2) E_σ(I + s) = {u(·) : u(· + s) ∈ E_{T (s)σ}(I)}, ∀s ≥ 0.

(3) {u(·)|_I₂ : u(·) ∈ E_σ(I₁)} ⊂ E_σ(I₂) với mọi cặp I₁, I₂ ∈ T thoả mãn

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

Khi đó, hệ tiến hố khơng ơtơnơm có thể được xem như một hệ tiến hố ơtơnơm như sau:

E(I) := E_Σ(I), ∀I ∈ T .

Do đó, các kết quả đối với trường hợp này là sự mở rộng tương ứng của trường hợp ôtônôm. Trường hợp khơng có sự hiểu nhầm, chúng ta sẽ không phân biệt giữa trường hợp ôtônôm và không ôtônôm. Trường hợp cần sự phân biệt, chúng ta sẽ ký hiệu hệ tiến hố với khơng gian dấu hiệu Σ bởi

E_Σ và tập hút toàn cục và quỹ đạo tương ứng A<small>Σ</small> và A^Σ.

Ta gọi C([a, b]; X_•) là khơng gian các hàm d_•-liên tục, X-giá trị trên

[a, b] được trang bị khoảng cách

d_C([a,b];X_•₎(u, v) := sup

d_•(u(t), v(t)).

Ta gọi C([a, ∞); X_•) là khơng gian các hàm d_•-liên tục, X-giá trị trên

[a, ∞) được trang bị khoảng cách

E((−∞, ∞)) := {u(·) : u(·)|_[τ,∞) ∈ ¯E([τ, ∞)), ∀τ ∈ _R}.

Khi đó, E¯ là một hệ tiến hoá và được gọi là hệ tiến hố đóng của hệ tiến hố E. Ta ký hiệu K := E((−∞, ∞)) và K := ¯¯ E((−∞, ∞)) là hạt nhân của các hệ tiến hoá E và E¯ tương ứng và

Π₊K := {u(·)|_[0,∞) : u ∈ K} và Π₊K := {u(·)|^¯ _[0,∞) : u ∈ ¯K}.

Ta sẽ nghiên cứu hệ tiến hoá E thoả mãn các tính chất sau: (A1) E([0, ∞)) là tập tiền compact trong C([0, ∞); X_w).

(A2) (Bất đẳng thức năng lượng) Giả sử X là một tập trong không gian Banach H thoả mãn tính chất Radon-Riesz (xem phía dưới) đối với

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

chuẩn | · | thoả mãn d_s(x, y) = |x − y| với x, y ∈ X và d_w sinh ra tôpô yếu trên X. Giả sử với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0, thoả mãn với mọi

u ∈ E ([0, ∞)) và t > 0,

|u(t)| ≤ |u(t₀)| + ε,

với hầu khắp t₀ trong (t − δ, t).

(A3) (Hội tụ mạnh hầu khắp nơi) Giả sử u<small>n</small> ∈ E([0, ∞)), u<small>n</small> là d_{C([0,T ];X}_w₎ -dãy Cauchy trong C([0, T ]; X_w) với T > 0. Khi đó, u_n(t) là d_s-dãy Cauchy hầu khắp trong [0, T ].

Không gian Banach B được gọi là thoả mãn tính chất Radon-Riesz nếu với mọi dãy {x_n} ⊂ B,

Vì X thường là tập đóng, bị chặn trong không gian Banach H tách được lồi đều. Nên tôpô yếu của H được sinh ra từ khoảng cách d_w trên X, và

X là compact đối với khoảng cách d_w. Hơn nữa, X thoả mãn tính chất

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

(1) Tập A ⊂ X được gọi là hút đều tập B ⊂ X theo khoảng cách d_•

(• = s, w) nếu với mọi ε > 0, tồn tại t₀, thoả mãn duy nhất nếu nó tồn tại.

Định nghĩa 1.1.6. Hệ tiến hoá E được gọi là compact tiệm cận nếu với mọit_n → +∞ và mọi x_n ∈ R(t_n)X, dãy {x_n}là compact tương đối mạnh.

<small>AsymptoticTheo</small> Định lý 1.1.7. Giả sử hệ tiến hoá E thoả mãn điều kiện (A1), (A2), (A3) và E¯ có tính chất E((−∞, ∞)) ⊂ C((−∞, ∞); X¯ _s). Thì E là com-pact tiệm cận.

Bây giờ ta xét hệ tiến hoá E thoả mãn E([0, ∞)) ⊂ C([0, ∞); X_w). Ở đây, E([0, ∞)) có thể là khơng đóng trong C([0, ∞); X<small>w</small>). Ta định nghĩa họ toán tử dịch chuyển {T (s)}_s≥0,

(T (s)u)(·) := u(· + s)|_[0,∞), u ∈ C([0, ∞); X_w).

Ta xét hệ động lực của{T (s)}_s≥0tác động lên không gian phaC([0, ∞); X_w). Do điều kiện (3)của hệ tiến hoá, ta cóT (s)E ([0, ∞)) ⊂ E ([0, ∞)), ∀s ≥ 0. Định nghĩa 1.1.8.

(1) Tập P ⊂ C([0, ∞); X<small>w</small>) được gọi là hút đều yếu tập Q ⊂ E ([0, ∞))

nếu với mọi ε > 0, tồn tại t₀, thoả mãn

T (t)Q ⊂ {v ∈ C([0, ∞); X_w) : inf

<small>u∈P</small>d_C([0,∞);X_w₎(u, v) < ε}, ∀t ≥ t₀.

(2) Tập P ⊂ C([0, ∞); X<small>w</small>) được gọi là hút quỹ đạo yếu đối với hệ tiến hố E nếu nó là hút đều yếu tập E([0, ∞)).

Định nghĩa 1.1.9. Tập A_w ⊂ C([0, ∞); X_w) được gọi là tập hút quỹ đạo yếu đối với hệ tiến hoá E nếu A_w là nhỏ nhất, hút quỹ đạo yếu thoả mãn

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

(i) A_w là đóng trong C([0, ∞); X_w). (ii) A_w là bất biến: T (t)A_w = A_w, ∀t ≥ 0.

Định nghĩa 1.1.10. Tập P ⊂ C([0, ∞); X<small>w</small>) có tính chất "the weak uniform tracking property" đối với hệ tiến hoá E nếu với mọi ε > 0, tồn tại t₀, thoả mãn với mọi t^∗ > t₀, tất cả quỹ đạo u ∈ E ([0, ∞)) thoả mãn

d_C([t<small>∗,∞);Xw)</small>(u(·), v(· − t^∗)) < ε,

với v là một quỹ đạo nào đó trong v ∈ P.

Định nghĩa 1.1.11. TậpP ⊂ C([0, ∞); X_w)có tính chất "the finite weak uniform tracking property" đối với hệ tiến hoá E nếu với mọi ε > 0, tồn tại t₀ và một tập con hữu hạn P^f ⊂ P, thoả mãn với mọi t^∗ > t₀, tất cả quỹ đạo u ∈ E ([0, ∞)) thoả mãn

d_C([t<small>∗,∞);Xw)</small>(u(·), v(· − t^∗)) < ε,

với v là một quỹ đạo nào đó trong P^f.

<small>TheoLu3.6</small> Định lý 1.1.12. Giả sử E là một hệ tiến hố. Khi đó, 1. Tập hút toàn cục yếu A_w tồn tại và A_w = ω_w(X).

Hơn nữa, giả sử E thoả mãn (A1) và E¯ là hệ tiến hố đóng của E. Khi đó,

2. A_w = ω_w(X) = ¯ω_w(X) = ¯ω_s(X) = ¯A_w. 3. A_w là tập lớn nhất bất biến đối với E :¯

A_w := {u₀ ∈ X : u₀ := u(0) với u là quỹ đạo trong K}.¯

4. Tập hút quỹ đạo yếu A_w tồn tại, nó là compact yếu và A_w = Π₊K^¯. Khi đó, A_w có tính chất "the finite weak uniform tracking property" đối với hệ tiến hoá E và liên tục đồng bậc trên [0, ∞).

5. A_w là một lát cắt của A_w:

A_w = A_w(t) := {u(t) : u ∈ A_w}, ∀t ≥ 0.

Định nghĩa 1.1.13.

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

(1) Tập P ⊂ C([0, ∞); X_w) được gọi là hút đều mạnh tập Q ⊂ E ([0, ∞))

nếu với mọi ε > 0 và T > 0, tồn tại t₀ thoả mãn

T (t)Q ⊂ {v ∈ C([0, ∞); X<small>w</small>) : inf

<small>u∈P</small> sup

<small>τ ∈[0,T ]</small>

d<small>s</small>(u(τ ), v(τ )) < ε}, ∀t ≥ t<small>0</small>.

(2) Tập P ⊂ C([0, ∞); X_w) được gọi là hút quỹ đạo mạnh đối với hệ tiến hố E nếu nó là hút đều mạnh tập E([0, ∞)).

Chú ý một tập là hút quỹ đạo mạnh đối với hệ tiến hố E thì nó cũng là hút quỹ đạo yếu đối với hệ tiến hoá E.

Định nghĩa 1.1.14. Tập A_s ⊂ C([0, ∞); X_w) được gọi là tập hút quỹ đạo mạnh đối với hệ tiến hoá E nếu A_s là nhỏ nhất, hút quỹ đạo mạnh thoả mãn

(1) A_s là đóng trong C([0, ∞); X<small>w</small>). (2) A_s là bất biến: T (t)A_s = A_s, ∀t ≥ 0.

Tập A_s được gọi là compact mạnh nếu nó là compact trong C([0, ∞); X_s). Định nghĩa 1.1.15. Tập P ⊂ C([0, ∞); X<small>w</small>) có tính chất "the strong uniform tracking property" đối với hệ tiến hoá E nếu với mọi ε > 0 và

T > 0, tồn tạit₀thoả mãn với mọit^∗ > t₀, tất cả các quỹ đạou ∈ E ([0, ∞))

thoả mãn

d_s(u(t), v(t − t^∗)) < ε, ∀t ∈ [t^∗, t^∗ + T ],

trong đó v ∈ P<small>T</small> và P<small>T</small> := {v(·)|_{[0,T ]} : v ∈ P }.

Định nghĩa 1.1.16. Tập P ⊂ C([0, ∞); X_w) có tính chất "the finite strong uniform tracking property" đối với hệ tiến hoá E nếu với mọi ε > 0

và T > 0, tồn tại t<small>0</small> và tập con hữu hạn P_T^f ⊂ A_s|_{[0,T ]} thoả mãn với mọi

t^∗ > t₀, tất cả các quỹ đạo u ∈ E ([0, ∞)) thoả mãn

d_s(u(t), v(t − t^∗)) < ε, ∀t ∈ [t^∗, t^∗ + T ],

trong đó v ∈ P_T^f.

<small>TheoLu3.12</small> Định lý 1.1.17. Giả sử hệ tiến hoá E là compact tiệm cận. Khi đó, 1. Tập hút tồn cục mạnh A_s tồn tại, nó là compact mạnh và A_s = A_w.

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

Hơn nữa, giả sử E thoả mãn tính chất (A1) và E¯là hệ tiến hố đóng của

ở đây θ(s) là hàm dương tiến về 0 khi s → 0⁺.

Định lý 1.1.17 cho chúng ta biết một tập hút toàn cục xác định dáng điệu tiệm cận của tất cả các quỹ đạo của hệ tiến hoá như thế nào. So sánh Định lý 1.1.12 và Định lý 1.1.17 cho chúng ta biết rằng tính compact mạnh của tập hút toàn cục mạnh và tập hút quỹ đạo mạnh được đảm bảo khi hệ tiến hoá là compact tiệm cận. Hơn nữa, tập hút toàn cục là một lát cắt của tập hút quỹ đạo và tập hút quỹ đạo chứa tất cả các hạn chế của các quỹ đạo đầy đủ trên [0, ∞). Tập hút tồn cục nhấn mạnh tính chất hút của các quỹ đạo bắt đầu từ các tập trong không gian pha. Tập hút quỹ đạo nhấn mạnh tính chất hút đều.

Định lý sau là một kết quả quan trọng về tính compact tiệm cận của hệ tiến hố E.

Định lý 1.1.18. Hệ tiến hoá E là compact tiệm cận nếu và chỉ nếu tập hút toàn cục mạnh A_s tồn tại và A_s có tính compact mạnh.

Hệ quả 1.1.19. Giả sử E là một hệ tiến hoá thoả mãn (A1) và E¯ là hệ tiến hố đóng của E. Nếu tập hút toàn cục mạnh A_s đối với hệ tiến hố E

tồn tại và có tính compact mạnh thì tập hút quỹ đạo mạnh A_s tồn tại và có tính compact mạnh. Do đó,

(1) A_s = Π₊K^¯ có tính chất "the finite strong uniform tracking property" đối với hệ tiến hoá E.

(2) A_s = Π₊K^¯ là liên tục mạnh đồng bậc trên [0, ∞).

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

<small>Gronwalldeu</small> Bổ đề 1.2.4 (Bất đẳng thức Gronwall đều). Nếu x, a, b là ba hàm dương thỏa mãn:

dt ≤ ax + b,

trong đó ^R_t^t+rx(s)ds ≤ X, ^R_t^t+ra(s)ds ≤ A, ^R_t^t+rb(s)ds ≤ B, ∀t ≥ t₀.

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES VỚI TOÁN TỬ BẬC PHÂN VÀ SỐ HẠNG TẮT DẦN

Nội dung của chương trình bày kết quả nghiên cứu về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm yếu của phương trình Navier-Stokes chứa tốn tử bậc phân tổng quát và số hạng tắt dần kiểu mũ và đa thức trong xuyến ba chiều; sự tồn tại tập hút đối với phương trình Navier-Stokes chứa tốn tử bậc phân tổng quát và số hạng tắt dần kiểu mũ và kiểu đa thức trong xuyến ba chiều thông qua lý thuyết hệ tiến hoá. Nội dung của chương được tham khảo qua nhiều tài liệu tham khảo từ [1] đến [42]. Nội dung của chương được viết dựa trên công trình (CT) và tài liệu tham khảo [1].

Các phương trình Navier-Stokes với toán tử bậc phân và số hạng tắt dần sẽ được nghiên cứu trên xuyến ba chiều T = [−π, π]³ với điều kiện biên tuần hoàn. Khi đó, chúng ta có thể hạn chế việc nghiên cứu đối với điều kiện ban đầu và ngoại lực với trung bình bằng khơng. Điều này kéo theo nghiệm của bài tốn được nghiên cứu sẽ có chung tính chất. Vì vậy, chúng ta sẽ nghiên cứu nghiệm thuộc lớp các hàm có tính tuần hồn và trung bình bằng không như sau:

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

Để đơn giản, chúng ta sử dụng ký hiệu ⟨·, ·⟩ là tích vơ hướng trong V⁰ và cũng là tích đối ngẫu của V^s − V^−s, xác định bởi ⟨u, v⟩ := P

<small>k∈J</small> u_k· v_−k. Phép nhúng V^s+ε ,→,→ V^s với mọi ε > 0 là phép nhúng compact. Giả sử s₁ ≤ s₂ và u ∈ V^s<small>2</small>, ta có

Hơn nữa, nếu s = γs<small>1</small> + (1 − γ)s<small>2</small>, 0 ≤ γ ≤ 1, thì

∥u∥_V<small>s</small> ≤ ∥u∥^γ_V_s1 ∥u∥^1−γ_V_s2. (2.2) <small>eq:2.1.B</small>

Giả sử p ≥ 1, 0 ≤ s < ³₂ và ¹_p ≥ ¹₂−₃^s. Khi đó, phép nhúngV^s ,→ L^p(_T)

là liên tục và tồn tại hằng số dương C phụ thuộc vào s và p thoả mãn

∥u∥_L<small>p(T)</small> ≲ ∥u∥_V<small>s</small>, với mọi u ∈ V^s. (2.3) <small>BSV1</small>

Nếu s = ³₂, thì

∥u∥_L<small>p(T)</small> ≲ ∥u∥_V<small>s</small> với mọi p hữu hạn và mọi u ∈ V^s. (2.4) <small>BSV2</small>

Nếu s > ³₂, thì

∥u∥_L<small>∞(T)</small> ≲ ∥u∥_V<small>s</small>, với mọi u ∈ V^s. (2.5) <small>BSV3</small>

Chúng ta định nghĩa tốn tử tuyến tính Λ = (−∆)¹<small>2</small> như sau

Khi đó, (−∆)^s = Λ^2s. Vì Λ^s giữ điều kiện không nén được (the divergence free condition) k · u_k = 0, chúng ta suy ra Λ^s ánh xạ V^α vào V^α−s. Chúng ta cũng suy ra từ cấu trúc của Λ^s rằng

∥u∥_V<small>s</small> = ∥Λ^su∥_V<small>0</small>. (2.6) <small>eq:2.2</small>

Đặc biết, Λ^s ánh xạ V^s vào V⁰ với mọi s > 0 và D(Λ^s) = V^s. Ta định nghĩa F là không gian các chuỗi Fourier

u_kϕ_k, u_b_k ∈ _C³, ϕ_k = e^ik·x}.

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

Giả sử V là không gian các đa thức lượng giác gồm tất cả u ∈ F thoả mãn

k ·u_b_k = 0 với mọi k ∈ J và u_b_k = 0 với hầu hết, trừ một số hữu hạn giá trị k ∈ J. Khi đó, V^s là bao đóng của V trong H^s với chuẩn tương ứng là

∥ · ∥_H<small>s</small>. Chúng ta nhắc lại kết quả liên tục mạnh (xem [26]).

<small>BouLM:2.2</small> Bổ đề 2.1.1. Giả sử u ∈ L²(τ, T ; V^s+h) và ^du_dt ∈ L<small>2</small>(τ, T ; V^s−h) với s ∈ _R

Chúng ta cũng nhắc lại kết quả liên tục yếu (xem [9, 20]).

<small>BouLM:2.3</small> Bổ đề 2.1.2. Giả sử X vàY là các không gian Banach thoả mãnY nhúng liên tục vào X. Khi đó,

L^∞(τ, T ; Y ) ∩ C_w([τ, T ]; X) = C_w([τ, T ]; Y ).

Navier-Stokes với toán tử bậc phân và số hạng tắt dần kiểu đa thức

Nội dung phần này sẽ trình bày nghiên cứu phương trình Navier-Stokes với tốn tử bậc phân và số hạng tắt dần kiểu đa thức sau

ở đây u = u(t, x) = (u<small>1</small>(t, x), u<small>2</small>(t, x), u<small>3</small>(t, x)) và p = p(t, x) là véctơ vận tốc của chất lỏng và áp lực tại điểm (t, x) ∈ _R⁺ ×_T; (−∆)^α là toán tử bậc phân α-Laplace; f (x, t) là ngoại lực; ν > 0 là hệ số nhớt; κ là hệ số tắt dần; số mũ β là các hằng số không âm.

Ký hiệu P_σ là phép chiếu Leray-Helmholtz. Nó là phép chiếu vng góc

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

(ii) b(u, v, w) = −b(u, w, v),

(iii) b(u − v, u, u − v) = b(u, u, u − v) − b(v, v, u − v)

Kết quả này có thể được mở rộng cho không gian lớn hơn nhờ tính trù mật của V trong V^σ với giá trị σ phù hợp. Mệnh đề sau được lấy từ [17,

với s ∈ {0, 1}. Nếu ba điều kiện trên được thoả mãn và σ_i là một số không nguyên dương với i ∈ {1, 2, 3} nào đó, thì điều kiện (i) có thể được thay thế bởi bất đẳng thức chứa cả dấu bằng. Điều này vẫn còn đúng nếu, với

s ∈ {0, 1},

σ₁ ≥ 0, σ₂ ≥ s, σ₃ ≥ 1 − s.

Tác động toán tử P_σ lên (2.8) và sử dụng điều kiện tuần hồn, phương trình (2.8) được viết lại dưới dạng

∂<small>t</small>u + νΛ^2αu + B(u, u) + κP<small>σ</small>(|u|^2βu) = P<small>σ</small>f. (2.9) <small>eq:1.1CLE</small>

ở đây B(u, v) := P_σ{(u · ∇)v}. Để nghiên cứu (2.9), chúng ta bắt đầu với định nghĩa nghiệm yếu của (2.9) với điều kiện ban đầu u_τ ∈ L<small>2</small>.

</div>