Đề thi học sinh giỏi Tp.HCM 2011 - 2012 - Môn toán pdf
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (119.77 KB, 2 trang )
Đề thi chọn đội tuyển lớp 12 TP.HCM 2011-2012
Môn: TOÁN
VÒNG 1
www.vnmath.com
Câu I
Giải hệ phương trình sau:
x
y+1
= (y + 1)
x
√
−4x
2
+ 18x − 20 +
2x
2
−9x+6
2x
2
−9x+8
=
√
y + 1.
Câu II
Cho hai đường tròn (O
1
) và (O
2
) cắt nhau tại A và B. Trên tia đối tia AB
lấy điểm M. Cát tuyến qua B cắt (O
1
) và (O
2
) lần lượt tại C và D (B nằm
giữa C và D ). Đường thẳng M C cắt (O
1
) tại P khác C. Đường thẳng MD
cắt (O
2
) TẠI Q khác D. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD,
E là giao điểm của P B và AC, F là giao điểm của QB và AD. Chứng minh
MO vuông góc với EF .
Câu III
Cho a; b; c > 0. Chứng minh:
1
a(b + 1)
+
1
b(c + 1)
+
1
c(a + 1)
≥
3
1 + abc
.
Câu IV
Cho đa thức P (x) = x
2012
−mx
2010
+m(m = 0). Giả sử P (x) có 2012 nghiệm
thực. Chứng minh có ít nhất một nghiệm thỏa | x
0
|≤
√
2.
Câu V
Cho các số nguyên x, y thỏa mãn x
2
−2xy+y
2
−5x+7y và x
2
−3xy+2y
2
+x−y
đều chia hết cho 17. Chứng minh xy −12x + 15y chia hết cho 17.
1
www.VNMATH.com
Đề thi chọn đội tuyển lớp 12 TP.HCM 2011-2012
Môn: TOÁN
VÒNG 2
www.vnmath.com
Câu I
Tìm tất cả các hàm f(x) : R → R thỏa: f(f(x) + y) = f (x
2
− y) + 4yf(x)
với mọi x, y ∈ R.
Câu II
Cho a; b; c > 0. Chứng minh:
ab
2
a
2
+ 2b
2
+ c
2
+
bc
2
b
2
+ 2c
2
+ a
2
+
ca
2
c
2
+ 2a
2
+ b
2
≤
a + b + c
4
.
Câu III
Cho ABC nội tiếp (O). Trên AC và AB lần lượt lấy 2 điểm P và Q. Gọi
M, N, J lần lượt là trung điểm BP, CQ, P Q. Cho (MNJ) cắt P Q tại R.
Chứng minh OR ⊥ P Q.
Câu IV
Cho dãy (u
n
) được định bởi:
u
1
=
4
5
u
n+1
=
u
2
n
u
4
n
−8u
2
n
+8
∀n ∈ N
∗
.
Tìm công thức tổng quát của dãy u
n
.
Câu V
Tìm tất cả các số nguyên dương a, b thỏa mãn (ab)
2
− 4(a + b) là một bình
phương của 1 số nguyên.
2
www.VNMATH.com
