KHOA KỸ THUẬT TÀI NGUYÊN NƯỚC
BỘ MÔN THỦY VĂN VÀ BIẾN ĐỔI KHÍ HẬU

MƠ HÌNH TỐN THỦY VĂN
NGẪU NHIÊN
TS. Vũ Thanh Tú

0943.372.598


1. Tổng quan
- Giá trị dịng chảy mang tính ngẫu nhiên và chuỗi số tập hợp các
giá trị dòng chảy tn theo các quy luật thống kê.
- Khơng có các nhân tố hình thành
dịng chảy
- Mơ hình được xây dựng dựa trên
chuỗi dịng chảy thống kê đủ dài, để có
thể nắm được quy luật, dạng phân bố.
- Các mơ hình ngẫu nhiên được sử
dụng chủ yếu để mô tả dao động dòng
chảy nhiều năm và điều tiết dòng chảy
nhiều năm.


- Trong bài toán dự báo, các đại lượng dự báo phụ thuộc vào các
q trình đã xảy ra tính đến lúc phát tin dự báo và phụ thuộc vào
quá trình ngẫu nhiên xảy ra trong thời gian dự kiến.
Ví dụ: Dự báo lưu lượng trạm Tạ Bú tháng I
QTB I = 157,636 + 0,244. QTB XII +0,073.QTB XI + 3,63.XTB,I

- Hạn chế là chỉ tập trung chú ý đến tính thống kê các kết quả quan

trắc hơn là việc dừng lại để phân tích khả năng phát sinh cùng
những diễn biến của quá trình vật lý tạo ra các kết quả.


2. Mơ hình hồi quy nhiều biến
- Phương trình tuyến tính biểu hiện mối liên hệ giữa nhiều biến có dạng:

y x1, x 2,.. xn = β 0 + β1 x1 + β 2 x2 + ... + β n xn
xn: nguyên nhân
βi: các thông số

Các giả thiết của phương trình hồi quy nhiều biến:
- Mối quan hệ giữa biến phụ thuộc và biến độc lập là quan hệ đường
thẳng.
- Các biến độc lập có thể là các biến liên tục hoặc rời rạc.
- Sai số tính tốn giữa thực đo và tính tốn theo luật phân bố chuẩn
với giá trị TB là 0.


Đánh giá mức độ chặt chẽ mối liên hệ tương quan tuyến tính
- Hệ số tương quan bội (R), đánh giá mức độ chặt chẽ giữa biến phụ
thuộc và các biến độc lập

R y , x1, x 2,..xn = 1 −

2
(
y
y
)

−
∑
x1, x 2 ,.. xn
2
(
y
y
)
−
∑

+ Nếu R = 0: không có tương quan tuyến tính
+ Nếu R ->1: tương quan tốt
- Phép thử toàn cục (F-test), kiểm tra sự tồn tại của hệ số tương quan,
mối quan hệ của tất cả các đại lượng ngẫu nhiên với biến phụ thuộc.
(Kiểm tra mối liên hệ tuyến tính của tất cả các biến X với Y hay không).

F=

SSR / p − 1
SSE /(n − p )


a = beta


- Phép thử riêng biệt (T-test), đánh giá ảnh hưởng của từng đại
lượng ngẫu nhiên đến biến phụ thuộc. (Kiểm tra mối quan hệ tuyến
tính của biến Xi với Y)
T=


( X − µ)
s
n


Các đặc trưng thống kê của dãy số
Các chuỗi số liệu khí tượng, thuỷ văn được đo ở từng thời điểm riêng
biệt nên thường là các dãy số rời rạc.
- Số trung bình:

1 n
Q = ∑ Qi
n i =1

- Số phương sai:

1 n
σ = ∑ (Qi − Q) 2
n i =1

- Covarian bậc k

1 n−k
1 n−k
( Z t − Z )( Z t + k − Z ) =
Ck =
Zt Zt +k
∑
∑

n − k t =1
n − k t =1

2
Q

- Hệ số tự tương quan: biểu thị mối liên hệ giữa thành phần thứ i và
thứ i+k trong cùng một dãy số

Ck
rk =
C0
- Hàm tự tương quan: Với một dãy số đủ dài Qi với i = 1,2...n ta sẽ
tính được một dãy hệ số tự tương quan rk với k = 1,2..m. Dãy số này
được gọi là hàm tự tương quan.


3. Mơ hình tự hồi quy AR (Auto Regressive)
- Lý thuyết tương quan được thể hiện dưới dạng một biến số phụ
thuộc vào các biến số khác. Sự phụ thuộc cũng có thể được thể hiện
bằng mơ hình hồi quy.
- Mơ hình hồi quy thể hiện biến phụ thuộc bằng tổng của hai hoặc
nhiều biến độc lập.
- Yule (1927) đưa ra dạng tổng qt mơ hình tự hồi quy bậc p:

Z t = a1.Z t −1 + a 2 .Z t − 2 + ... + a p .Z t − p + ε t
Zt: giá trị tính tốn của chuỗi số Z tại thời điểm t, t = 1,2.. n

s: độ lệch chuẩn
p: bậc của mơ hình

a1, a2,.. ap: các thông số
ε: biến ngẫu nhiên

(Xt − X )
Zt =
s

(3.1)


- Theo định nghĩa thống kê, hàm thống kê Ck (Covariance) của chuỗi
số các biến phụ thuộc được xác định:

1 n−k
1 n−k
( Z t − Z )( Z t + k − Z ) =
Ck =
Zt Zt +k
∑
∑
n − k t =1
n − k t =1
n: số dữ liệu đo đạc của chuỗi
k: thời đoạn tính 1,2,..p

- Lưu ý rằng: Z = 0
- Với k = 0

1 n
1 n 2

2
C0 = ∑ ( Z t − Z ) = ∑ Z t
n t =1
n t =1

(3.2)


- Thực tế ta chỉ có chuỗi số đo đạc điển hình trong thời đoạn nhất
định, vì vậy ta sử dụng hệ số tự tương quan (ACF):
n−k

C
rk = k =
C0

∑ (Z
t =1

t

− Z )( Z t + k − Z )

n

(3.3)

Với

2

−
Z
Z
(
)
∑ t

n
≈1
n−k

t =1

- Từ (3.1) nhân hai vế với Zt-k

Z t .Z t − k = a1.Z t −1.Z t − k + a2 .Z t − 2 .Z t − k + ... + a p .Z t − p .Z t − k + ε t .Z t − k

(3.4)

- Lấy tổng từ t = 1 đến t = n – k đối với (3.4), áp dụng (3.2)

Ck = a1.Ck −1 + a2 .Ck − 2 + ... + a p .Ck − p

(3.5)

- Chia hai vế (3.5) cho C0 ta có

rk = a1.rk −1 + a2 .rk − 2 + ... + a p .rk − p

(3.6)



Với k = 1

r1 = a1.r0 + a2 .r1 + ... + a p .r1− p

Với k = 2
....

r2 = a1.r1 + a2 .r0 + ... + a p .r2− p
....

Với k = p

rp = a1.rp −1 + a2 .rp − 2 + ... + a p .r0

r1
r1  a1  1
r  a  r
1
 2  =  2 . 1
..  ..  ...
   
rp  a p  rp −1 rp − 2

r2 ... rp −1 

r1 ... rp − 2 



rp −3 ... 1 

(3.7)

- Xét với hệ số tự tương quan từng phần (PACF), loại bỏ sự ảnh
hưởng xen giữa Zt và Zt-1

Z t = ak1.Z t −1 + ak 2 .Z t − 2 + ... + akp .Z t − p + ε t


- Mối quan hệ rk và rkk

rk ,k =

k −1

rk − ∑ rk −1, j rk − j
j −1
k −1

1 − ∑ rk −1, j rj
j −1

rk , j = rk −1, j − rk ,k .rk −1,k − j
- Thành phần ngẫu nhiên εt được chọn theo dãy số ngẫu nhiên đơn
vị ξt. Với ξt là dãy số ngẫu nhiên đơn vj có phân bố chuẩn, số trung
bình bằng 0 và phương sai bằng 1.

ε t = σ ε ξt
σ ε = σ z 1 − a1r1 − a2 r2 − ... − a p rp

n

σ 2 = a1.C1 + a2 .C2 + ... + a p .C p + ∑ Z t .ε t
z

i =1


- Điều kiện ổn định của mơ hình: khi các hệ số ai phải đảm bảo cho
nghiệm X của đa thức đặc trưng nhỏ hơn 1

X p − a1 X p −1 − a2 X p − 2 − ... − a p X = 0
- Lưu ý: với mô hình bậc hai, trong trường hợp phương trình vơ
nghiệm. Người ta đã chứng minh rằng vùng ổn định của mô hình
AR(2):
a 1 + a2 < 1
a2 – a1 < 1
- 1 < a2 < 1


 Mơ hình tự hồi quy bậc 1: AR(1)
- Dạng tổng quát
-k=1

Z t = a1.Z t −1 + ε t
r1 = a1.Z 0

- Tính thành phần ngẫu nhiên

ε t = σ ε ξt


- Xác định dãy số ngẫu nhiên theo phương pháp Muller

ξ i = − 2.Lnxi .Cos (2.π .xi )
ξ i +1 = − 2.Lnxi .Sin(2.π .xi )
- Với xi được xác định theo công thức truy trứng

xi = (a.x i-1 + C).Mod( µ )
Các hằng số a, C và µ được chọn để tạo dãy số xi trong khoảng 0 - 1

- Với các giá trị Xi xác định được ξi và ξi+1 tương ứng
- Tính tốn ξ trung bình và phương sai σξ
- Tính phương sai của dãy số ngẫu nhiên

σ ε = σ z 1 − a1r1

- Với mỗi giá trị ξi ta có εi tương ứng và Zi tương ứng


Ví dụ: Tại trạm A có số đo lưu lượng trong 10 năm. Dùng mơ hình AR(1)
để tính tốn kéo dài tài liệu thêm 7 năm.
- Dạng tổng quát của AR(1):

Z t = a1.Z t −1 + ε t

- Zi = Qi – QTB = Qi - 1666
t

Qi


-k=1

r1 = a1 =

C1
=
C0

∑Z Z
t

∑ Zt

Zi.Zi+1

1

1800

134

17956

2

1420

-246

60516


-32964

3

1550

-116

13456

28536

4

1810

144

20736

-16704

5

1590

-76

5776


-10944

6

1830

164

26896

-12464

7

1780

114

12996

18696

8

1390

-276

76176


-31464

9

1880

214

45796

-59064

10

1610

-56

3136

-11984

16660

0

283440

-128356


1666

0

t +k

= −0.453
2

Tổng
TB

Z i2

Zi


- Tạo dãy số ngẫu nhiên đơn vị

xi = (b.x i-1 + C).Mod( µ )

Theo cơng thức truy chứng

Chọn b = 2, C = 8, µ = 17, xc = 2. Các giá trị xi được chọn bằng số dư của
phép chia:

b.x i-1 + C

µ


xc = 2

2
x0 =
17
2.2 + 8 12
x1 =
=
17
17

2.12 + 8 15
x2 =
=1
17
17
...

15
x2 =
17


Xi

u

v


cos(v)

sin(v)

ξi

0.118

2.069

4.433

-0.276

-0.961

-0.571

0.706

0.835

5.541

0.737

-0.676

-1.989


0.882

0.500

1.478

0.093

0.996

0.615

0.235

1.701

5.911

0.931

-0.364

-0.564

0.941

0.348

2.216


-0.602

0.799

0.047

0.353

1.443

1.108

0.446

0.895

0.498

0.176

1.863

Tổng

-0.379

TB

-0.054


ξ i = − 2.LnX i .Cos (2.π . X i +1 )
ξ i +1 = − 2.LnX i .Sin(2.π . X i +1 )
- Tính phương sai của chuỗi số

1 n
σ = ∑ (Zi − Z )2
n i =1
2
Z

1.584

− > σ Z = 168.36


- Tính phương sai của dãy số ngẫu nhiên σε

σ ε = σ z 1 − a1r1 = 168.36 1 − 0.4532 = 150.3
- Khi đó

ε t = 150.3ξ t

- Phương trình AR(1):

Z t = −0.453.Z t −1 + 150.3ξ t

- Với Zi = Qi – QTB = Qi – 1666 hay Qi = 1666 + Zi
T

150.3 ξi


-0.453Zi-1

Zi

Qi

11

-85.8

25.37

-60.40

1605.60

12

-298.9

27.36

-271.52

1394.48

13

92.5


123.00

215.47

1881.47

14

-84.8

-97.61

-182.38

1483.62

15

7.0

82.62

89.61

1755.61

16

74.9


-40.59

34.28

1700.28

17

238.1

-15.53

222.61

1888.61


4. Mơ hình trung bình trượt MA (Moving Average)
- Được phát triển bởi Slutsky (1927)
- Mơ hình trung bình trượt bậc q MA(q) có dạng tổng quát:

Z t = ε t − b1.ε t −1 − b2 .ε t − 2 − ... − bq .ε t − q
- Với dãy số Zi ta có

(a)

1 n−k
Ck =
Zi Zi+k

∑
n − k t =1

1 n−k
(ε t − b1.ε t −1 − ... − bq .ε t − q )(ε t + k − b1.ε t + k −1 − ... − bq .ε t + k − q )
Ck =
∑
n − k t =1
- Với C0

1 n−k
C0 = ∑ (ε t − b1.ε t −1 − ... − bq .ε t − q ) 2
n t =1

(b)

- Với chuỗi số ngẫu nhiên

n
1 n
1
2
2
C0 = ∑ (ε t − ε ) = ∑ ε t
n t =1
n t =1

(c)




- Do khơng có quan hệ tương quan nên:

1 n
1 n
(ε t − ε )(ε t + k − ε ) = ∑ ε t ε t + k = 0
∑
n t =1
n t =1

(d)

- Thay (c), (d) vào (b)
- Với k ≠ 0

C0 = (1 + b12 + b22 + ... + bq2 )σ ε2

(e)

Ck = (−bk + b1 .bk +1 + ... + bq bq − k )σ ε2

(f)

- Với k = 1,2... q, ta có hệ phi tuyến tương ứng. Với k>q thì Ck = 0
- Với chuỗi Z Covarian bậc không: C0 = σz2

σ z2 = σ ε2 (1 + b12 + b22 + ... + bq2 )
εt =

σz

1 + b + b + ... + b
2
1

2
2

2
q

ξt


 Mơ hình MA(1)

Z t = ε t − b1ε t −1

- Dạng tổng qt của mơ hình:
- Tính hệ số b1

r1 =

C1
− b1
=
C0 1 + b12

εt =

σz

2
1

1+ b

- Điều kiện ổn dịnh của mơ hình

ξt
|b1| ≤ 1


5. Mơ hình ARMA(p,q)
- Mơ hình ARMA(p,q) là sự kết hợp của hai mơ hình:
+ mơ hình tự hồi quy bậc p: AR(p)
+ mơ hình trung bình trượt q: MA(q)
- Dạng tổng quát ARMA(p,q)

Z t = a1.Z t −1 + a2 .Z t − 2 + ... + a p .Z t − p + ε t − b1.ε t −1 − b2 .ε t − 2 − ... − bq .ε t − q
- Tính các hệ số ai, biến đổi tương tự mơ hình AR(p)
Khi k > q thì hệ số tự tương quan bậc k khơng phụ thuộc vào bi do đó
k = q+1

Cq+1 = a1Cq + a2Cq-1 + ..... + apCq+1-p

k = q+2

Cq+2 = a1Cq+1 + a2Cq + ..... + apCq+2-p

....
k = q+p


Cq+p = a1Cq+p-1 + a2Cq+p-2 + ..... + apCq

+ Lưu ý: mơ hình cần sử dụng p hệ số tự tương quan từ q+1 đến q+p


- Tính các hệ số bi, thực hiện biến đổi tương tự như mơ hình MA(q)
Với

C0ε = (1 + b12 + b22 + ... + bq2 )σ ε2

(1)

Ckε = (−bk + b1 .bk +1 + ... + bq bq − k )σ ε2
Ckε là Covarian bậc k của chuỗi số ngẫu nhiên ε
+ Mối liên hệ giữa CkZ và Ckε
p

p

Ckε = ∑ ai2CkZ + ∑
i =0

Với

i =1

p −1

∑ a .a .d

h =0

h

i

k

(2)

dk = Ck+1 + Ck-1 và a0 = -1

+ Để tính tốn bj:
. Tính CkZ
. Từ (2) thành lập hệ phương trình dạng (1), giải hệ và xác định bj
Thực tế, các hệ số này được dị tìm theo thuật toán tối ưu