BUỔI 7+8

CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN PHÂN THỨC

1 
x
 1


:
x  1  x - 2 x 1 (với x > 0, x 1)
Câu 1: Cho biểu thức P =  x - x

a)

Rút gọn biểu thức P.
1
Tìm các giá trị của x để P > 2 .

b)
Câu 2: Rút gọn biểu thức:

1
 1
 x+2 x
 x 4
.
x + 4 x 4
x
A= 
( với x > 0, x  4 ).


b
a 

. a b - b a
a - ab
ab - b 

B=
( với a > 0, b > 0, a b)






a
a  a 1


:
a  1 a - a  a - 1

Câu 3: Cho biểu thức A =

với a > 0, a  1

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị của a để A < 0.
 3 x 6

x  x-9


 :
x
4
x

2
 x3
Câu 4: Rút gọn biểu thức: A = 
1 - a a
B 

1
a


với x  0, x  4, x  9 .

2

1 - a 
a  

  1 - a  với a ≥ 0 và a ≠ 1.

 a a - 1 a a + 1  a +2

 :

a
a
a
+
a
 a - 2 với a > 0, a  1, a  2.
Câu 5: Cho biểu thức: P = 

a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên.
1
2
1

 2
Câu 6: Cho biểu thức A= x x  1 x  x

a)
b)

Rút gọn biểu thức A.
Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên.


x
1   1
2 
+

 : 


x - 1 x - x   x 1 x - 1 

Câu 7: Cho M =

với x  0, x 1 .

a) Rút gọn M.
b) Tìm x sao cho M > 0.
x
2x - x
x -1 x - x

Câu 8: Cho biểu thức: K =
với x >0 và x 1
a)
Rút gọn biểu thức K
b)
Tìm giá trị của biểu thức K tại x = 4 + 2 3
1   x -1
1- x 

+

 x  : 
x 
x
x + x 

Câu 9: Rút gọn biểu thức: B =

với x  0, x 1.


Câu 10: Cho biểu thức: P =
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm a để P > - 2

(

√ a − 1 a− √a − a+ √ a
2 2 √ a √ a+1 √ a−1 với a > 0, a  1

)(

)


x x 
x x 
 1 
  1 

Câu 11: Rút gọn biểu thức B =  1  x   1  x  với 0 x 1 .

x
1   1
2 




 : 
x  1 
Câu 12: Cho biểu thức A =  x  1 x  x   x  1
với a > 0, a  1

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi x 2 2  3 .
 1


x
+
x

Câu 13: Cho biểu thức P =

1 
x
:
x 1  x + 2 x 1

với x > 0.

a) Rút gọn biểu thức P.
1
b) Tìm các giá trị của x để P > 2 .

a
a



Câu 14: Cho biểu thức A =  a  1 a + a

 a1
 :
 a-1

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị của a để A < 0.
1
1
3
+
1−
√a
Câu 15: Cho biểu thức P = √ a−3 √ a+3
a) Rút gọn biểu thức P

(

)(

với a > 0, a  1.

)

với a > 0 và a

¿


9.

1
b) Tìm các giá trị của a để P > 2 .

(

1−

2 √a
:
a+1

Câu 16: Cho biểu thức A =
1
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi a = 2011 - 2

(

)(

1
2 √a
−
√ a+1 a √ a+ √ a+a+1

√ 2010
2


. a = 2017 - 2 2016 .

√ x − 1 √ x+1 − √ x −1
2 2 √ x √ x−1 √ x+1

)(

) với a > 0, a 

)

Câu 17: Cho biểu thức: Q =
.
a) Tìm tất cả các giá trị của x để Q có nghĩa. Rút gọn Q.
b) Tìm tất cả các giá trị của x để Q = - 3 √ x - 3.
2 √ a √a+1 3+7 √ a
+
+
9−a
a+3
a−3
√
√
Câu 18: Cho biểu thức: P =
với a > 0, a
a) Rút gọn.
b) Tìm a để P < 1.

¿


9.


2

2

x −√x
x +√ x
−
+x +1
x
+
x+1
x−
x
+1
√
√
Câu 19: Cho biểu thức: M =
Rút gọn biểu thức M với x 0.
2
x +√x
2 x+ √ x
+1−
√x
Câu 20: Cho biểu thức: P = x− √ x +1
với x > 0.
a) Rút gọi biểu thức P.
b) Tìm x để P = 0.


Câu 21: Rút gọn biểu thức: P=
Câu 22: Rút gọn biểu thức

P

1
 1

 1- x 1 + x

1 
 
 . 1 
x
 

với x 1 và x >0

x x 3
2( x  3)
x 3


x 2 x  3
x 1
3 x

 x x 1 x  1  
x


 
 x  1  x  1 :  x  x 
 
Câu 23: Cho biểu thứcA = 



1 
với x > 0 và x  1

a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị của x để A = 3
x2
x 1
x 1
Cho P = x x  1 + x  x  1 - x  1

Câu 24:
a/. Rút gọn P.

1
b/. Chứng minh: P < 3 với x  0 và x 1.
 a b
a  b   a  b  2ab 


 1
1  ab
1  ab  

1  ab 

Câu 25: : Cho biểu thức D =
:

a) Tìm điều kiện xác định của D và rút gọn D
2

b) Tính giá trị của D với a = 2  3
c) Tìm giá trị lớn nhất của D
x

4( x  1)  x  4( x  1) 
1 
. 1 
x  1 

x 2  4( x  1)

Câu 26: Cho biểu thức A =
a) Tìm điều kiện của x để A xác định
b) Rút gọn A

2 x 9



2 x 1




x 3

x  3 2 x
Câu 27:
Cho biểu thức M = x  5 x  6
a) Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M
b) Tìm x để M = 5
c) Tìm x  Z để M  Z.

Câu 28: Cho biểu thức : A =

x
2 x 3x  9


x 3
x  3 x  9 , với x 0 và x 9.


a) Rút gọn biểu thức A.

1
b) Tìm giá trị của x để A = 3 và tìm giá trị nhỏ nhất của A


a a  
a a 
N  3 
 . 3 


a

1
a

1


 với a 0 và a 1 .
Câu 29: Rút gọn biểu thức
Câu 30: Cho biểu thức: B = (\f(+3,-3 + \f(-3,+3 )(\f(1,3 - \f(1, ) với b > 0; b≠ 9
a) Rút gọn B
b) Tìm b để biểu thức B nhận giá trị nguyên.
Câu 31: Rút gọn biểu thức:

3
1  x 9

A 


x 3
x
 x 3 x

với x  0, x 9 .

 x 2
x  2  x x  x  x 1

B 

 .
x

1
x

2
x

1
x


Câu 32: Cho biểu thức

Với những giá trị nào của x thì biểu thức trên xác định ? Hãy rút gọn biểu thức B .


PHIẾU BÀI TẬP DẠNG TOÁN RÚT GỌN
Bài 1 Cho biểu thức : A =
1) Rút gọn biểu thức A.

x
2x  x

x  1 x  x với ( x >0 và x ≠ 1)

2) Tính giá trị của biểu thức A tại x 3  2 2

a4 a 4
a 2
Bài 2.
Cho biểu thức : P =
1) Rút gọn biểu thức P.
2) Tìm giá trị của a sao cho P = a + 1.



4 a
2

a ( Với a  0 ; a  4 )

x 1  2 x x  x

x

1
x 1
Bài 3: Cho biểu thức A =

1/.Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa
2/.Rút gọn biểu thức A
3/.Với giá trị nào của x thì A< -1
Bài 4: Cho biểu thức A =
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A = - 1

(1 


x x
x x
)(1 
)
x 1
x1

1



1

Bài 5: Cho biểu thức : B = 2 x  2 2 x  2
1/ Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức B
2/ Tính giá trị của B với x =3
3/ Tìm giá trị của x để

A 

x
1 x

1
2

x 1

Bài 6: Cho biểu thức : P =

1/ Tìm TXĐ
2/ Rút gọn P
3/ Tìm x để P = 2



x 2



2 x
x 2



25 x
4 x

( Với x 0; x 1 )


1
1
a 1

):(

a

1

a
a

2
Q=(

Bài 7: Cho biểu thức:
1/ Tìm TXĐ rồi rút gọn Q
2/ Tìm a để Q dương
3/ Tính giá trị của Biểu thức biết a = 9- 4 5

a 2
)
a1

 a
1   a  a a  a 


 2
 a  1  a  1 
2
a


Bài 8: Cho biểu thức: M = 

1/ Tìm ĐKXĐ của M.
2/ Rút gọn M
3/Tìm giá trị của a để M = - 4

Bài 9: Rút gọn các biểu thức sau:
1   1
1 
1
 1
A1 


 :

 1 x 1 x   1 x 1 x  1 x

kq:

 a a  1 a a 1  a  2
A2 

 :
a

a
a

a

 a 2

2a  4
kq: a  2




x   1
2 x
A3  1 

 : 

x  1   x  1 x x  x  x  1 


x  x 1
kq: x  1


x
1   1
2 
A4 


 : 

 x  1 x  x   x 1 x  1 

x 1
kq: x

A5 


a a b b
2 b
:  a  b 
a b
a b

a  ab  b
a b
kq:



a
a  
a
a a
A6 


 : 

 a  b b  a   a  b a  b  2 ab 
 a  a   a  a  1 a
A7 
 1  1 
:
a  1  1  a
 a 1  
 x1
1

8 x   3 x  2
A8 


 :  1 

3 x  1 
 3 x  1 3 x 1 9 x  1  
A9 

2 x 9

x 5 x 6

1
x x

x  3 2 x 1

x  2 3 x

kq:

a b
a( b  a)

x x
kq: 3 x  1
x 1
kq: x  3


x xy y
A10 


x

y



x y
xy  :
 x y

 x x  1 x x 1   3  x 
A 

 : 1

x x
x  x  
x  1 

Bài 10. Cho biểu thức:

1, Tìm ĐK XĐ của biểu thức A.
2, Rút gọn A.
3, Tính giá trị của biểu thức A khi


x

1
6 2 5

kq:

x 1
x1


4, Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
5, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A bằng -3.
6, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A nhỏ hơn -1.
2
x 1

7, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A lớn hơn
8, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A - 1 Max
9, So sánh A với  x  1

 4 x
1  x 2 x
B  1 

:
x 1
x  1  x  1



Bài 11. Cho biểu thức:
1, Tìm x để biểu thức B xác định.
2, Rút gọn B.
3, Tính giá trị của biểu thức B khi x = 11  6 2
4, Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức B nhận giá trị nguyên.
5, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B bằng -2.
6, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B âm.
7, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B nhỏ hơn -2.
8, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B lớn hơn x  1
 2 x 1
  1  x3
x
C 


 
3
x

x

1
1

x
x

1



Bài 12. Cho biểu thức:


x



kq:

kq: x  1

1, Biểu thức C xác định với những giá trị nào của x?
2, Rút gọn C.
3, Tính giá trị của biểu thức C khi x = 8  2 7
4, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C bằng -3.


1
3.

5, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C lớn hơn
6, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C nhỏ hơn 2 x  3 .
7, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C nhỏ nhất.
8, So sánh C với



2
x .


 x 2 x   4 x
x 2
D 
 1 : 


x

4
x

x

6
3

x

 
Bài 13. Cho biểu thức:
2
x 3

x 3
x 2

x  3

x  2 


1, Tìm ĐK XĐ của biểu thức D.
2, Rút gọn D.
3, Tính giá trị của biểu thức D khi x = 13  48 .
4, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức D bằng 1.
5, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức D âm.
6, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức D nhỏ hơn -2 .
7, Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức D nhận giá trị nguyên.

kq:


8, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức D lớn nhất.
1
9, Tìm x để D nhỏ hơn x .
 a 1
E 

a

1

Bài 14. Cho biểu thức:

a  1 8 a   a  a 3


 :
a  1 a  1   a  1

1 


a  1 

1, Tìm a để biểu thức E có nghĩa.
2, Rút gọn E.
3, Tính giá trị của biểu thức E khi a = 24  8 5
4, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E bằng -1.
5, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E dương.
6, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E nhỏ hơn a  3 .
7, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E nhỏ nhất.
8, So sánh E với 1 .
 a 1
F 

a1

Bài 15. Cho biểu thức:


a1
1 
 4 a   a 

a 1
a


kq:

4a


1, Tìm ĐK XĐ của biểu thức F.
2, Rút gọn F.
6

3, Tính giá trị của biểu thức F khi a = 2  6
4, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức F bằng -1.
5, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E nhỏ hơn a  1 .
6, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E nhỏ nhất.
7, Tìm giá trị của a để F  F .

(

F

F2  0  0  a 

1
4 ).

1
8, So sánh E với a .
 x 2
x  2  x 2  2 x 1
M 


x  1 x  2 x  1 
2


Bài 16. Cho biểu thức:

1, Tìm x để M tồn tại.
2, Rút gọn M.
3, CMR nếu 0 ( 1  x  0; x  0  M  0 )
3, Tính giá trị của biểu thức M khi x = 4/25.
4, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức M bằng -1.
5, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức M âm ; M dương.
6, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức M lớn hơn -2 .
7, Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị nguyên.
8, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức M lớn nhất.
9, Tìm x để M nhỏ hơn -2x ; M lớn hơn 2 x .
10, Tìm x để M lớn hơn 2 x .

kq:  x  x


x x 1

Bài 17: Cho biểu thức :
P=
a) Rỳt gọn biểu thức P.

x 1



x

( với x  0 )

b) Tính giá trị của P tại x thoả mãn

5

x2 

5 2





x  6  2 5 0

Bài 18:
a4 a 4



4 a

a 2
2  a ( Với a  0 ; a  4 )
Cho biểu thức : P =
a) Rỳt gọn biểu thức P.
b) Tớnh P tại a thoả mãn điều kiện a2 – 7a + 12 = 0
Bài 19: Cho hai biểu thức :


A

x y



2

 4 xy

x

y

x yy x

;

xy

B=

với x > 0; y > 0 ; x y

Tính A.B
 x2
x
1  x1




:
2
x x  1 x  x  1 1  x 

Bài 20: Cho biểu thức: P =
(với x 0; x 1 )

a) Rút gọn biểu thức P.
2
b)Tìm giá trị của x để P = 3

Bài 21: Rút gọn biểu thức:
Bài 22. Cho biểu thức :

 a 2


a

2
B= 

a 2
4 
  a 

a  2
a

(với a>0 , a 4)

x2  x
2x  x

1
x
P = x  x 1
với x > 0

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x để P = 2.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

x x 
x x 
 1 
  1 

x 1  
x  1 

Bài 23: Cho biểu thức: M =

a)
b)

với x  0, x 1

Thu gọn biểu thức M.

Tính M tại x =  3  2 3

 1


x

x

Bài 24: a) Rỳt gọn biểu thức : B =

1 
x1
:
x  1  x  2 x  1 ( x > 0 và x 1)

b) Tìm x khi B = – 3
a4 a 4 a 4

a

2
a  2 ( Với a  0 ; a  4 )
Bài 25: Cho biểu thức : P =

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính P tại a thoả mãn điều kiện a2 – 7a + 12 = 0




x
x  x 4


 .
x

2
x

2
 4 x với x > 0 và x ≠ 4
Bài 26: Cho biểu thức : P = 

a)
b)

Rút gọn P.
Tìm x để P > 3

x y
x 2 y  xy 2
:
xy
x y
Bài 27: a) Rút gọn biểu thức : Q =
b)Tính giá trị của Q tại x = 6  2 5 ; y = 5

với x > 0 ; y > 0 và x  y

 a 2
a  2  1 a
A 

.
a  1 a  2 a  1 
2

Bài 28: Cho biểu thức: P =

a)
b)

2

với a > 0 , a ≠ 1

Rút gọn A.
Tìm các giá trị của a để A > 0.


a 2
a  2  a 1



a  2 a  1 a  1 
a

Bài 29: Cho biểu thức : Q =

với a > 0 ; a ≠ 1.

a) Rút gọn biểu thức Q.
b) Chứng tỏ rằng với mọi giá trị 0 A

x
2 x
3x  9


x 3
x  3 x  9 , với x  0 và x  9

Bài 30: Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức A.

A

1
3.

b) Tìm giá trị của x để
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A