chương 2 không gian vectơ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (225.01 KB, 14 trang )
Trang 1
Chương 2 : KHÔNG GIAN VECTƠ
2.1. Không gian vector n chiều
2.1.1. Vectơ n chiều
1. Định nghĩa. Một vectơ n chiều là một bộ n số thực x = (x
1
,x
2
,…,x
n
).
x
j
: tọa độ thứ j của vectơ x (j =
n,1
)
Vectơ không : 0 = (0,0,…,0)
Vectơ đơn vị : e
1
= (1,0,…,0) , e
2
= (0,1,0,…,0) ,…, e
n
= (0,0,…0,1)
Dạng ma trận cột : X = [x] =
n
x
x
x
.
.
2
1
2. Phép toán trên các vectơ n chiều
a. Phép cộng 2 vectơ n chiều
Cho x = (x
1
,x
2
,…,x
n
) và y = (y
1
,y
2
,…,y
n
) . Tổng của 2 vectơ x và y
là vectơ n chiều :
x + y = (x
1
+y
1
,x
2
+y
2
,…,x
n
+y
n
)
b. Phép nhân một số thực với một vectơ n chiều
Cho x = (x
1
,x
2
,…,x
n
) và R
. Tích của số
với vectơ x là vectơ
n chiều
x = (
x
1
,
x
2
,…,
x
n
)
Ghi chú
Vectơ (-1)x = (-x
1
,-x
2
,…,-x
n
) gọi là vectơ đối của vectơ x ,
ký hiệu : -x .
Vectơ x + (-1)y được ký hiệu x – y và gọi là hiệu của vectơ x và y .
3. Tính chất các phép tóan
Cho x,y,z là các vectơ n chiều và
,
R .
1) x + y = y + x
2) ( x + y ) + z = x + ( y + z )
3) x + 0 = x
4) x + (-x) = 0
5)
( x + y ) =
x +
y
6) (
+
)x =
x +
x
7) (
)x =
(
x) =
(
x)
Trang 2
8) 1.x = x
2.1.2. Hệ vectơ n chiều
1. Tổ hợp tuyến tính
a. Định nghĩa
Cho a
1
,a
2
,…,a
m
là m vectơ n chiều và
i
R ( mi ,1 ). Vectơ n chiều sau
đây được gọi là tổ hợp tuyến tính của các vectơ a
i
với các hệ số
i
( mi ,1 ).
mm
aaaa
2211
Ta còn nói vectơ a được biểu thị tuyến tính qua các vectơ a
i
với các hệ số
i
.
b. Ví dụ
Ví dụ 1 Cho các vectơ 3 chiều : a
1
=(1,0,1) , a
2
=(1,2,0) và a
3
=(0,-1,1).
a)Tìm tổ hợp tuyến tính của các vectơ a
1
,a
2
,a
3
với các hệ số là 2,-1,3.
b)Cho vectơ v=(5,3,4) . Vectơ v có thể biểu thị tuyến tính qua 3 vectơ
a
1
,a
2
,a
3
hay không ?
Giải
a. Giả sử u là tổ hợp tuyến tính của các vector a
1
, a
2
, a
3
với các hệ số: 2, -
1, 3. Suy ra: u = 2.a
1
– 1a
2
+ 3a
3
2(1,0,1) (1,2,0) 3(0, 1,1) (1, 5,5).u
b. Giả sử vector v biểu thị tuyến tính được qua
123
,,aaavới các hệ số:
123
,,
. Khi đó:
11 2 2 33 1 2 3
511 0
302 1
41 01
va a a
12 1
23 2
3
13
53
23 2
1
4
Vậy vector v biểu thị tuyến tính được qua
123
,,aaa với các hệ số: 3, 2, 1.
Ví dụ 2 Cho 3 vectơ 3 chiều a=(1,1,0),b=(0,2,1) và u=(u
1,
u
2,
u
3
).
a)Tìm điều kiện cho các thành phần của u
1,
u
2,
u
3
của vectơ u để u có thể
biểu thị tuyến tính theo a và b.
b)Cho các vectơ v =(2,4,1) và w=(1,2,3) .Vectơ nào biểu thị tuyến tính
được theo 2 vectơ a và b?
Giải
Trang 3
a. Giả sử vector u biểu thị tuyến tính được qua ,abvới các hệ số:
12
,
.
Khi đó:
111
12 2 1 2 122213
323
10
12 2 2
01
uu
uabu uuuu
uu
.
Vậy với
213
uuu
thì vector u biểu thị tuyến tính được qua a và b.
b. Với
21 3
(2,4,1) 2vvvv. Vậy vector v biểu thị tuyến tính được qua
a, b.
Với
21 3
(1, 2, 3) 2uvvv. Vậy vector u không biểu thị tuyến
tính được qua a, b.
2. Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính
a. Định nghĩa
Cho a
1
,a
2
,…,a
m
là m vectơ n chiều
Hệ vectơ {a
i
} (
mi ,1
) độc lập tuyến tính nếu
mm
aaa
2211
= 0
i
= 0 ( mi ,1 )
Hệ vectơ {a
i
} ( mi ,1 ) phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc lập
tuyến tính ,nghĩa là tồn tại
i
0 sao cho
mm
aaa
2211
= 0 .
Ví dụ 1 Chứng tỏ hệ các vectơ đơn vị 3 chiều {e
1
,e
2
,e
3
} độc lập tuyến tính
Ta có biểu thị tuyến tính của vector 0 qua hê
123
{e ,e ,e } với các hệ số
123
{,,}
.
Khi đó:
1
11 2 2 33 1 2 3 2
3
0
100
00100 0
001
0
eee
Vậy hệ
123
{e ,e ,e } độc lập tuyến tính.
Ví dụ 2 Hệ vectơ sau đây độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
U = {u
1
,u
2
,u
3
} với u
1
= (1,1,1) , u
2
= (0,1,1) và u
3
= (1,2,3) .
Ta có biểu thị tuyến tính của vector 0 qua hê
123
{u ,u ,u } với các hệ số
123
{,,}
13
1
11 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 2
3
12 3
0
0
101
01120 20 0
11 3
0
30
uuu
Vậy hệ
123
{u ,u ,u } độc lập tuyến tính.
b. Định lý Cho n vectơ n chiều
a
1
= ), ,,(
11211 n
aaa
a
2
= ), ,,(
22221 n
aaa
Trang 4
…………………….
A
n
= ), ,,(
21 nnnn
aaa
Đặt : A =
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
Hệ vectơ {a
i
} ( 1,in ) độc lập tuyến tính
A 0
Hệ vectơ {a
i
} ( 1,in ) phụ thuộc tuyến tính
A = 0
Ví dụ 1 Chứng minh rằng hệ vectơ sau đây độc lập tuyến tính
a
1
=(2,1,1) , a
2
=(-1,1,4) và a
3
=(1, 1,-2).
Lập
211
11 4 12 0
11 2
AA
. Vậy hệ
123
{a ,a ,a } độc lập tuyến
tính.
Ví dụ 2 Định m để hệ vectơ sau đây độc lập tuyến tính
a
1
=(1,0,1) , a
2
=(2,m,-1) và a
3
=(0, 2, 2).
Lập
10 1
21 260 3
02 2
Am Am m
.
Vậy hệ
123
{a ,a ,a } độc lập tuyến tính khi
3m
.
Ghi chú
: Hệ n vectơ đơn vị n chiều {e
i
} ( ni ,1 ) độc lập tuyến tính
c. Tính chất của sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Định lý 1: {a
} độc lập tuyến tính
a
0
Định lý 2: {a
i
} độc lập tuyến tính
a
i
0 ,
mi ,1
Hệ quả : Nếu
a
i
= 0
thì {a
i
} phụ thuộc tuyến tính .
Định lý 3:
* Nếu {a
i
} ( mi ,1 ) độc lập tuyến tính thì mọi hệ vectơ con của {a
i
}
đều độc lập tuyến tính.
* Nếu {a
i
} ( mi ,1 ) phụ thuộc tuyến tính thì mọi hệ chứa hệ {a
i
}
đều phụ thuộc tuyến tính.
Định lý 4: Hệ vectơ {a
i
} ( mi ,1 ) phụ thuộc tuyến tính
a
i
, a
i
biểu thị tuyến tính theo các vectơ còn lại .
3. Hạng của một hệ vectơ n chiều
Trang 5
a. Định nghĩa. Cho hệ m vectơ n chiều {a
i
} ( mi ,1 ) .Số vectơ độc lập tuyến
tính lớn nhất chọn được từ hệ này là hạng của hệ ,ký hiệu : r(a
1
,a
2
,…,a
m
)
b. Cách tìm hạng của vectơ n chiều
Cho hệ m vectơ n chiều
a
1
= ), ,,(
11211 n
aaa
a
2
= ), ,,(
22221 n
aaa
…………………….
a
m
= ), ,,(
21 mnmm
aaa
Đặt : A =
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
Ta có : r(a
1
,a
2
,…,a
m
) = r(A)
Kết quả:
Hệ {a
i
} ( mi ,1 ) độc lập tuyến tính
r(a
1
,a
2
,…,a
m
) = m
Hệ {ai } (
mi ,1
) phụ thuộc tuyến tính
r(a1,a2,…,am) < m
Ví dụ Tìm hạng của hệ vectơ 4 chiều sau đây ,từ đó xét tính độc lập tuyến tính hay phụ
thuộc tuyến tính của chúng :
a) a
1
=(1,-1,5,-1) , a
2
=(1,1,-2,3) và a
3
=(3, -1,8,1).
Lập
115 1 115 1 115 1
11 23 02 74 02 74
3181 02 74 0000
A
Suy ra
1234
() {,a,a,a}=2rA ra
. Do
1234
{,a,a,a}=2< 3ra n nên hệ phụ
thuộc tuyến tính.
b) a
1
=(1,2,1, 1) , a
2
=(2,5,1,6) và a
3
=(-1,-4,2,2).
Lập
1211 1211 1211
2516 01 14 0114
1422 0233 00111
A
Suy ra
1234
() {,a,a,a}=3rA ra . Do
1234
{,a,a,a}=3 = ra n nên hệ độc lập
tuyến tính.
2.1.3. Không gian vectơ n chiều R
n
1. Định nghĩa. Tập hợp các vectơ n chiều với 2 phép tóan : cộng 2 vectơ và nhân
vectơ với 1 số thực tạo thành một cấu trúc đại số gọi là “không gian vectơ n chiều “ và
ký hiệu là R
n
.
2. Cơ sở của R
n
Trang 6
a. Định nghĩa. Một hệ gồm n vectơ độc lập tuyến tính trong R
n
được gọi là
một cơ sở của R
n
.
Ghi chú
:
Hệ gồm n vectơ đơn vị n chiều { e
i
} ( i =
n,1
) là một cơ sở của R
n
và được
gọi là “ cơ sở chính tắc “ của R
n
.
Hệ {a
i
} (i =
n,1
) là cơ sở của R
n
r(a
1
,a
2
,…,a
n
) = n
b. Ví dụ. Hệ vectơ nào sau đây là là cơ sở của R
3
a) a
1
= (1,0,1) , a
2
= (1,0,0)
b) b
1
= (1,1,2) , b
2
= (0,1,3) , b
3
= (-1,1,4) , b
4
= (1,0,1)
c) c
1
= (1,1,3) , c
2
= (-1,1,-1) , c
3
= (5,-2,8)
d) d
1
= (1,1,0) , d
2
= (2,2,1) , d
3
= (1,0,1) .
3. Tọa độ của một vectơ trong một cơ sở của R
n
a. Định lý. Cho (u) ={ u
i
} (i= n,1 ) là một cơ sở của R
n
.Mọi vectơ x của R
n
đều biểu thị tuyến tính được theo các vectơ cơ sở , nghĩa là tồn tại bộ n số thực
(x
1
,x
2
,…,x
n
) sao cho : x = x
1
u
1
+ x
2
u
2
+ …+ x
n
u
n
.
b. Định nghĩa. Bộ n số thực (x
1
,x
2
,…,x
n
) trong định lý trên gọi là tọa độ
của vectơ x trong cơ sở (u) và ký hiệu:
x/
(u)
= (x
1
,x
2
,…,x
n
)
(u)
Ghi chú: Ta thấy đối với cơ sở chính tắc (e) = { e
i
}
x = (x
1
,x
2
,…,x
n
) =
11 2 2
nn
x
exe xe
Vậy : x
/(e)
= x = (x
1
,x
2
,…,x
n
)
Do đó khi thấy x = (1,2,3) ta hiểu đó là tọa độ của x trong cơ sở chính tắc.
Ví dụ Trong
3
R
cho các vector
123
(3,1, 4); (2,5,6); (1,4,8)uuu
a. Chứng minh rằng
123
{u ,u ,u }U
là một cơ sở của R
3
b. Tìm tọa độ của
(3,2,1)x
trong cơ sở U
Giải
a. Cách 1:
U gồm có 3 vector 3 chiều
Lập
31 4
25 6
14 8
A
. Suy ra 26 0A
. Do đó U độc lập tuyến tính.
Vậy U là một cơ sở của R
3
Cách 2
:
Lập
31 4 14 8 1 4 8 1 4 8
2 5 6 2 5 6 0 3 10 0 3 10
14 8 31 4 0 11 28 0 0 26
A
Trang 7
Suy ra : () () 3rA rU.
Vậy U là một cơ sở của R
3
b. Giả sử
123 11 22 33
/(,,)
U
x
xxx x xu xu xu
123
123 123
123
32 3
33 21
21 54 542
1468
4681
xxx
xxx xxx
xxx
Giải hệ phương trình ta có nghiệm là :
123
31 27 3
(, , ) , ,
26 26 2
xxx
.
Vậy
31 27 3
/,,
26 26 2
U
x
.
4. Ma trận đổi cơ sở
Trong
n
R
cho hai cơ sở:
12
{u ,u , ,u }
n
U
và
12
{v ,v , ,v }
n
V
.
Giả sử các vector của cơ sở V có biểu thị tuyến tính qua cơ sở V như sau
1111122 1
2211222 2
11 2 2
nn
nn
nn n nnn
vauau au
vauau au
vauau au
Suy ra, tọa độ của các vector ở các vector ở cơ sở V trong cơ sở U là
111121
221222
12
/(,,,)
/(,,,)
/(,,,)
n
n
nnnnn
vaaa
vaaa
vaaa
U
U
U
Lập ma trận A với cột thứ j là tọa độ của vector
/
j
U
v
ta được
11 21 1
12 22 2
12
n
n
nn nn
aa a
aa a
A
aa a
Định nghĩa. Ma trận A được gọi là ma trận đổi cơ sở từ cơ sở U sang cơ sở V
của
n
R
.
Ví dụ. Trong
3
R
cho các vector
12 3
(1,1,2); ( 1,1,1); (2, 1,0)uu u
a. Chứng minh rằng
123
{u ,u ,u }U
là một cơ sở của R
3
b. Tìm ma trận A chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc sang cơ sở U
c. Tìm ma trận nghịch đảo của A
d. Tìm ma trận B chuyển cơ sở từ cơ sở U sang cơ sở chính tắc. Nhận
xét về B và A
-1
Trang 8
Giải
a. U gồm có ba vector ba chiều. Để chứng minh U là một cơ sở của
3
R
chỉ
cần chứng minh U độc lập tuyến tính
Lập
112
111 10
210
AA
. Suy ra U độc lập tuyến tính.
Vậy U là một cơ sở của
3
R
.
b. Ta có
12 3
/(1,1,2);/(1,1,1);/(2,1,0)
EE E
uu u.
Do đó ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc sang cơ sở U là :
112
11 1
21 0
A
.
c.
1
12 1
243
132
A
d. Giả sử
11231112233
/(,,) . . .
U
eeuuu
12 3
1
12 3 123 2
3
12
20
1
11 12
011 1 0 2
021 0
1
20
Vậy
1
/(1,2,1)
U
e
Tương tự
2
/ (2, 4, 3)
U
e và
3
/(1,3,2)
U
e
Do đó ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở U sang cơ sở chính tắc là :
1
12 1
243
132
B
A
Chú ý :
Nếu A là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở U sang cơ sở V thì A
-1
là ma trận
chuyển cơ sở từ cơ sở V sang cơ sở U.
5. Công thức đổi tọa độ
Nếu A là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở U sang cơ sở V của
n
R
thì :
//
UV
x
Ax hoặc là
1
//
VU
x
Ax
Ví dụ Trong
3
R
cho các vector
12 3
(1,1,1); ( 1,1,2); (1,2,3)uu u
123
(2,1, 1); (3, 2,5); (1, 1, )vvvm
Trang 9
a. Chứng minh rằng
123
{u ,u ,u }U
là một cơ sở của
3
R
. Tìm tạo độ của
vector
(,,)
x
abc trong cơ sở U.
b. Tìm m để
123
{v ,v ,v }V là một cơ sở của
3
R
.
c. Cho m = 1. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở U sang cơ sở V và ma
trận chuyển cơ sở từ cơ sở V sang cơ sở U.
d. Cho m = 1 và
/(1,2,3)
V
x
. Tìm /
U
x
?
Giải
a. U là một cơ sở của
3
R
(chứng minh tương tự ví dụ 1)
Giả sử
123 11 22 33
/(,,)
U
x
xxx x xu xu xu
123
12 3 123
123
11 1
11 2 2
123
23
x
xxa
a
bx x x xx xb
c
x
xxc
Lập
111 111 111
112 001 012
123 012 001
aa a
Ab ba ca
ccaba
Suy ra nghiệm của hệ là :
123
,, ( , 2 , )
x
xx abca bcba
Vậy
123
/,,( ,2,)
U
x
xxx a bca b cb a
b. V có ba vector 3 chiều. Để V là cơ sở của
3
R
chỉ cần tìm m để V độc lập tuyến
tính
Lập
21 1
32 5 200 20
11
AAmm
m
.
Vậy với
20m thì V là một cơ sở của
3
R
.
c. Giả sử
11231112233
/(,,)
U
vvuuu
123
1
12 3 123 2
3
123
4
2111
1112 2 1
1123
1
23
a
b
c
Vậy
1
/4,1,1
U
v . Tương tự
2
/(0,4,1)
U
v
và
3
/(1,4,2)
U
e
Do đó ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở U sang cơ sở V là :
40 1
14 4
112
A
Bây giờ ta tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở V sang cơ sở U
Trang 10
Cách 1: Ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở V sang cơ sở U là
1
414
1
6915
21
5416
A
Cách 2
: Giả sử
11231112233
/(,,)
V
uuvvv
1
123
123 123 2
123
3
4
23 1
21
12 31
2
11 2 1 2 1
7
1 151
51
5
21
Vậy
1
42 5
/,,
21 7 21
U
v
.
Tương tự
2
13 4
/,,
21 7 21
U
v
và
3
45 16
/,,
21 7 21
U
v
Vậy ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở V sang cơ sở U là :
414
1
6915
21
5416
B
d. Đặt
123
/,,
U
x
xxx
Áp dụng công thức đổi tọa độ từ cơ sở U sang cơ sở V , ta có :
1
2
3
40 11 1
// 14423
1123 5
UUVV
x
xAx x
x
Vậy
123
/,,(1,3,5)
U
xxxx
2.2 Không gian vector
2.2.1 Định nghĩa không gian vectơ
Cho V là tập hợp khác rỗng có các phần tử kí hiệu là : a,b,c,… và R là tập hợp số thực
có các phần tử kí hiệu là
,, …
Trên V cho hai phép toán :
Phép cộng hai phần tử của V :
V
V V
(a,b)
a + b
Phép nhân một số thực với một phần tử của V :
R
V V
(
,a)
a
Trang 11
Tập hợp V cùng với hai phép toán trên tạo thành một
«
Không gian vectơ
»
trên R
nếu 8 tiên đề sau đây được thoả mãn : a,b,c
V và
,
R
1) a + b = b + a
2) ( a + b) +c = a + (b + c)
3) Tồn tại phần tử không, kí hiệu 0 sao cho : a + 0 = a
4) Tồn tại phần tử đối của a, kí hiệu – a sao cho : a + (- a) = 0
5)
(a + b ) =
a +
b
6) (
+
) a =
a +
b
7) (
)a =
(
a )
8) 1.a = a
Khi đó các phần tử của V gọi là các
«
vectơ
»
, còn các phần tử của R gọi là các
«
vô
hướng
»
VD :
Không gian
R
n
các vectơ n chiều là một không gian vectơ.
Tập hợp các vectơ hình học có cùng gốc toạ độ 0 trong mặt phẳng toạ độ với phép
cộng vectơ theo
“
quy tắc hình bình hành
”
, phép nhân vectơ với số thực.
Tập hợp các ma trận cấp
mn
với phép cộng hai ma trận và phép nhân ma trận
với một số thực.
2.2.2 Không gian vectơ con
1. Định nghĩa
Cho V là không gian vectơ và WV, W≠. Nếu W cùng với 2 phép toán của V
cũng tạo thành một không gian vectơ thì W được gọi là không gian vectơ con
của
V.
2. Định lý
Cho V là không gian vectơ và WV, W≠.
W là không gian vectơ con của V
WaRW,a
WbaW¦,
ba
VD
: Cho V=R
3
và W={ xR
3
/ x=(t,0,0) với tR }
CMR W là không gian con của V.
2.2.3 Không gian sinh của hệ vector W = <u
1
,u
2
,…,u
m
>
1. Định nghĩa
Cho V là không gian vectơ và u
1
,u
2
,…,u
m
V. Tập hợp W gồm tất cả các tổ hợp
tuyến tính của các vectơ u
1
,u
2
,…,u
m
được gọi là bao tuyến tính của các vectơ
u
1
,u
2
,…,u
m
và ký hiệu : W = <u
1
,u
2
,…,u
m
> .
Vậy : W = <u
1
,u
2
,…,u
m
> = {
1
u
1
+
2
u
2
+…+
m
u
m
/
i
R}
2. Định lý
Cho u
1
,u
2
,…,u
m
là các vectơ của không gian vectơ V. Bao tuyến tính W =
<u
1
,u
2
,…,u
m
> của các vectơ u
1
,u
2
,…,u
m
là một không gian con của V.
Trang 12
Ghi chú :
Ta còn nói : W là không gian con sinh bởi hệ vectơ {u
i
}
mi ,1 hay {u
i
} là
hệ sinh của không gian vectơ W.
3. Định lý
Nếu hệ sinh {u
i
}
mi ,1 độc lập tuyến tính trong V thì hệ này là cơ sở của
không gian con W. Lúc đó ta nói không gian con W có số chiều là m và ký
hiệu : dimW=m
.
Nếu hệ sinh {u
i
}
mi ,1 phụ thuộc tuyến tính trong V thì hệ vectơ độc lập
tuyến tính lớn nhất chọn từ hệ {u
i
} là cơ sở của W và hạng của hệ vectơ
này là số chiều của W.
VD1
: Trong R
4
cho các vectơ : u=(1,1,0,1) và v=(0,1,0,1).
a) Xác định không gian vectơ con W sinh bởi {u,v}.Tìm cơ sở và số chiều của
W.
b) Các vectơ x=(1,3,0,3) , y=(1,-1,0,1) có thuộc không gian W hay không ?
VD2
: Tìm cơ sở và số chiều của không gian con W=<u
1
,u
2
,u
3
> trong các trường
hợp :
a) u
1
=(1,1,2), u
2
=(-1,1,1), u
3
=(2,-1,0)
b) u
1
=(1,1,0), u
2
=(1,2,1), u
3
=(-1,0,1)
Ghi chú
:
Tập hợp các nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là một không
gian con của R
n
( Không gian con này sinh ra từ các vectơ hệ nghiệm cơ bản ).
Ví dụ Giải và tìm không gian nghiệm và cơ sở của không gian nghiệm của hệ phương
trình tuyến tính
1234
1234
1234
1234
22 0
242 0
2420
482 0
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
Biến đổi ma trận hệ số về dạng bậc thang
12 2 1 12 2 1 12 2 1
24 2 1 00 6 3 00 6 3
12 4 2 00 6 3 00 0 0
48 2 1 00 6 3 00 0 0
A
Suy ra,
() 2 4rA. Hệ pt có vô số nghiệm phụ thuộc hai tham số:
1
1234
2
334
4
2
22 0
;( , )
6 3 0
2
x
xxxx
x
R
x
xx
x
Trang 13
Do đó không gian nghiệm của hện phương trình:
W{(-2,,,2)|, R}
Suy ra:
Wx thì x (-2 , , ,2 )=(-2 , ,0,0)+(0,0, ,2 )= (-2,1,0,0)+ (0,0,1,2)
Vậy cơ sở của W là:
1
( 2;1;0;0)u và
2
(0;0;1;2)u
.
BÀI TẬP CHƯƠNG 2
1.
Cho các vectơ 3 chiều : a
1
=(2,1,0) , a
2
=(1,-1,1) và a
3
=(0, 1,-2)
a.
Tìm vectơ u = 3a
1
– 2a
2
+ a
3
b.
Tìm vectơ x sao cho a
1
+ x = a
2
+ a
3
.
c.
Tìm vectơ v là tổ hợp tuyến tính của a
1
,a
2
,a
3
với các hệ số 4,3,5 .
d.
Vectơ x = (1,2,3) có phải là tổ hợp tuyến tính của các vectơ a
1
,a
2
,a
3
không ?
2.
Cho các vectơ 3 chiều : a
1
=(1,1,2) và a
2
=(0,-1,1)
a.
Các số u
1
,u
2
,u
3
thỏa điều kiện gì để vectơ u = (u
1
,u
2
,u
3
) là tổ hợp tuyến tính theo a
1
và a
2
.
b.
Vectơ nào sau đây là tổ hợp tuyến tính của a
1
và a
2
:
x = (1,2,5) ,y = (2,4,2) .
3.
Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ sau đây :
a.
a
1
=(1,3,-1) , a
2
=(-1,2,1) và a
3
=(2, -1,-1)
b.
a
1
=(1,2,-1) , a
2
=(4, 1,2) và a
3
=(2, -3,4)
c.
a
1
=(1,1,2) , a
2
=(2,-1,1) và a
3
=(5, -1,m)
4.
Tìm hạng của hệ các vectơ :
a.
a
1
=(0,1,2) , a
2
=(2,-1,1) và a
3
=(-3, 0,1)
b.
a
1
=(1,-2,0,3) , a
2
=(0,0,1,0) và a
3
=(0, -2,-1,1).
c.
a
1
=(1,2,3, 4) , a
2
=(-1,2,-3,4) , a
3
=(0,1,-1,1) và a
4
=(1,1,1,1).
5.
Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ sau đây :
a.
a
1
=(1,-2,0) , a
2
=(3,2,1) và a
3
=(0,1,2)
b.
a
1
=(1,-1,2,-1) , a
2
=(2, 1,0,2) và a
3
=(1, 2,4,-1)
c.
a
1
=(1,0,2) , a
2
=(2,2,1) ,a
3
=(3, -1,0) và a
4
=(-1,1,0)
6.
Hệ vectơ nào sau đây là cơ sở của R
3
:
a.
a
1
=(1,7,0) , a
2
=(1,-5,1)
b.
a
1
=(1,0,2,0) , a
2
=(1, 1,0,1) , a
3
=(1, 0,4,3) và a
4
=(0, -2,4, 1)
c.
a
1
=(1,0,1) , a
2
=(2,1,1) và a
3
=(-3, 2,0)
d.
a
1
=(1,1,1) , a
2
=(0,1,1) và a
3
=(2, 2,2) .
7.
Trong R
3
cho cơ sở chính tắc (e) và cơ sở (u)={u
1
,u
2
,u
3
} với u
1
=(0,1,1), u
2
=(1,0,1),
u
1
=(1,1,0) .
a.
Tìm ma trận đổi cơ sở từ (e) sang (u) .
b.
Tìm công thức đổi tọa độ từ (e) sang (u) .
c.
Tìm tọa độ của vectơ x = (25,8,51) trong cơ sở (u).
d.
Tìm tọa độ của vectơ y khi biết tọa độ của y trong cơ sở (u) là (31,12,50)
(u)
8.
Trong R
3
cho các vectơ : u
1
=(m,1,1), u
2
=(1,m,1), u
3
=(1,1,m)
a.
Tìm m để hệ (u)={u
1
,u
2
,u
3
} là một cơ sở của R
3
.
b.
Đặt (v)=(u) khi m=0 và (w)=(u) khi m=-1.Chứng tỏ (v) và (w) là hai cơ sở
của R
3
.
c.
Tìm ma trận đổi cơ sở từ (v) sang (w).
Trang 14
d. Cho x = (1,2,3),tìm tọa độ của x trong cơ sở (v) và (w) .
e.
Cho biết tọa độ của y trong cơ sở (w) là (5,12,51)
(u)
,tìm tọa độ của y trong cơ sở
(v).
