ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
CAO NGỌC DIỆP
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ TRONG
GIẢI TÍCH P −ADIC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số : 60 46 40
Giáo viên hướng dẫn:
TS. HÀ TRẦN PHƯƠNG
THÁI NGUYÊN, 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mục lục
Mở đầu 3
1 Trường các số p−adic 5
1.1 Không gian siêu metric và bổ sung đủ . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Không gian siêu metric . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Bổ sung đủ của không gian siêu metric . . . . . . . . 9
1.2 Trường các số p−adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Số p−adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Hàm xác định bởi chuỗi lũy thừa 21
2.1 Chuỗi lũy thừa p−adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Định lý biểu diễn Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Đa giác Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Kết luận 48
Tài liệu tham khảo 49
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mở đầu
Ta biết trường các số hữu tỷ Q đóng kín với các phép toán cộng, trừ,

nhân, chia, tức là Q đóng kín đối với các phép toán số học. Tuy nhiên,
trường Q không đầy đủ vì có những dãy Cauchy không hội tụ trong Q.
Điều này làm cho việc thực hiện các phép toán về giới hạn trên Q sẽ gặp
nhiều khó khăn. Do đó chúng ta cần phải mở rộng trường các số hữu tỷ
Q.
Khi mở rộng Q theo metric tự nhiên ta sẽ được tập số thực R. Khi đó R
là một trường số đầy đủ, tức là mọi dãy Cauchy của R đều hội tụ trong R.
Ta gọi việc mở rộng này là mở rộng theo phép toán giải tích. Tuy nhiên, R
không đóng đại số vì đa thức bất khả quy x
2
+ 1 không có nghiệm trong
R. Trong thực tế, ta tiếp tục mở rộng R thành trường số C sao cho đa
thức x
2
+ 1 luôn có nghiệm. Việc mở rộng đơn giản nhất từ R thành C
nhờ vào việc đưa thêm một đại lượng số ảo i : i
2
= −1. Ta biết C đóng
với mọi phép toán số học, đầy đủ và đóng đại số.
Một vấn đề tự nhiên được đặt ra là việc mở rộng này có là duy nhất
hay không? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta sẽ xem xét lại quá trình mở
rộng trên. Việc mở rộng Q theo phép toán giải tích được tiến hành như
sau: Đầu tiên, chúng ta trang bị cho Q một chuẩn, chính là chuẩn giá trị
tuyệt đối thông thường, khi đó metric ρ(x, y) = |x − y| sinh ra trên Q một
tôpô và Q không đầy đủ với tôpô này. Bổ sung đủ của Q theo tôpô cảm
sinh bởi chuẩn chúng ta sẽ được R. Tuy nhiên, ta biết rằng có nhiều cách
trang bị chuẩn cho Q và sinh ra các cấu trúc tôpô khác nhau. Trong Luận
văn này chúng ta sẽ xem xét một ví dụ về bổ sung đủ của Q khác với R
và một số tính chất về giải tích trên bổ sung đủ đó.
3

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Cấu trúc luận văn gồm 2 chương:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian siêu metric
và trường số phức p−adic C
p
.
Chương 2: Trình bày một số nghiên cứu về hàm sinh bởi chuỗi lũy thừa
p−adic như chuỗi lũy thừa p−adic, Định lý biểu diễn Weierstrass, Đa giác
Newton.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn rất nhiệt tình, tận tâm
của thầy Hà Trần Phương. Người viết xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc của mình về sự hướng dẫn chu đáo của thầy trong suốt thời gian
thực hiện luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Khoa Toán - Tin trường ĐHKH Thái Nguyên
đã tận tình truyền đạt cho tôi kiến thức trong quá trình học tập và tạo
điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng, tôi xin dành lời cảm ơn chân thành tới tất cả những người
thân đã luôn động viên và giúp đỡ để tôi yên tâm học tập và hoàn thiện
luận văn.
Trong quá trình viết luận văn cũng như trong quá trình xử lý văn bản
chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong nhận
được sự góp ý của các thầy cô, các bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn
thiện hơn.
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2012
Học viên
Cao Ngọc Diệp
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1
Trường các số p−adic

1.1 Không gian siêu metric và bổ sung đủ
1.1.1 Không gian siêu metric
Cho X là một tập khác rỗng, trên X ta trang bị một hàm số
ρ :X × X → R
(x, y) → ρ(x, y),
thoả mãn các điều kiện sau
1) ρ(x, y)  0 ∀x, y ∈ X; ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y;
2) ρ(x, y) = ρ(y, x) ∀x, y ∈ X;
3) ρ(x, z)  ρ(x, y) + ρ(y, z) ∀x, y, z ∈ X.
Khi đó, ρ được gọi là một metric hay khoảng cách trên X. Và cặp (X, ρ)
gọi là một không gian metric. Mỗi phần tử của X sẽ được gọi là một điểm,
ρ(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai điểm x và y của X. Điều kiện 1 gọi là
tiên đề đồng nhất, Điều kiện 2 gọi là tiên đề đối xứng, Điều kiện 3 gọi là
tiên đề tam giác. Nếu ρ thỏa mãn Điều kiện 1, Điều kiện 2 và Điều kiện
3

sau đây
3

) ρ(x, y)  max{ρ(x, z), ρ(z, y)} với mọi x, y, z ∈ X
thì metric ρ được gọi là siêu metric và X được gọi là không gian siêu
metric.
Ví dụ. Chọn X = Q (hoặc X = R); ta xác định metric trên X như sau:
ρ(x, y) = |x − y| với x, y ∈ X.
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
CHƯƠNG 1. TRƯỜNG CÁC SỐ P −ADIC 6
Dễ chứng minh được (X, ρ) là không gian metric.
Cho (X, ρ) là một không gian metric hoặc siêu metric, {x
n

} là một dãy
các phần tử của X, ta nói {x
n
} hội tụ đến x
o
∈ X nếu
lim
n→∞
ρ(x
n
, x
o
) = 0.
Khi đó ta viết lim
n→∞
x
n
= x
o
, hoặc x
n
→ x
o
khi n −→ ∞. x
o
gọi là giới hạn
của dãy {x
n
}. Ta đã biết, sự hội tụ trong không gian metric là duy nhất.
Định lý sau đây cho thấy tính chất tương tự của không gian siêu metric.

Định lý 1.1. Cho (X, ρ) là một không gian siêu metric. Khi đó
1) Giới hạn của một dãy nếu có là duy nhất.
2) Nếu lim
n→∞
x
n
= a; lim
n→∞
y
n
= b thì lim
n→∞
ρ(x
n
, y
n
) = ρ(a, b). Tức là hàm
khoảng cách là một hàm số liên tục đối với x và y.
Chứng minh.
1) Giả sử lim
n→∞
x
n
= a, lim
n→∞
x
n
= b trong X. Khi đó
ρ(a, b)  max{ρ(a, x
n

), ρ(x
n
, b)}
với mọi n. Từ giả thiết ta suy ra ρ(a, b) = 0, kéo theo a = b.
2) Với mọi n ta đều có
ρ(a, b)  max{ρ(a, x
n
), ρ(x
n
, y
n
), ρ(x
n
, b)}
 ρ(a, x
n
) + ρ(x
n
, y
n
) + ρ(y
n
, b).
Suy ra
ρ(a, b) − ρ(x
n
, y
n
)  ρ(a, x
n

) + ρ(b, y
n
).
Tương tự, ta cũng có
ρ(x
n
, y
n
) − ρ(a, b)  ρ(a, x
n
) + ρ(b, y
n
).
Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta được
|ρ(a, b) − ρ(x
n
, y
n
)|  ρ(a, x
n
) + ρ(b, y
n
).
Theo giả thiết lim
n→∞
ρ(x
n
, a) = 0; lim
n→∞
ρ(y

n
, b) = 0, ta có
lim
n→∞
ρ(x
n
, y
n
) = ρ(a, b).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
CHƯƠNG 1. TRƯỜNG CÁC SỐ P −ADIC 7
Định lý được chứng minh.
Cho (X, ρ) là không gian siêu metric, x
o
∈ X và r > 0. Tập
B(x
o
, r) = {x ∈ X : ρ(x
o
, x) < r}
gọi là hình cầu mở tâm x
o
bán kính r. Tập
B(x
o
, r) = {x ∈ X : ρ(x
o
, x)  r}
gọi là hình cầu đóng tâm x
o

bán kính r.
Cho A ⊂ X, điểm x
o
∈ A được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại
r > 0 sao cho B(x
o
, r) ⊂ A. Hiển nhiên, theo định nghĩa, điểm trong của
A phải thuộc tập hợp A.
Điểm x
o
∈ X được gọi là điểm biên của tập A nếu với mọi r > 0,
B(x
o
, r) ∩ A = ∅ và B(x
o
, r) ∩ X\A = ∅. Tập hợp tất cả các điểm biên
của A kí hiệu là δA. Chú ý rằng, điểm biên của A có thể thuộc A hoặc
không thuộc A. Ngoài ra, ta cũng có δA = δ(X\A).
Điểm x
o
∈ X được gọi là điểm tụ của tập A nếu với mọi r > 0, hình
cầu B(x
o
, r) luôn chứa vô số điểm của A. Điểm tụ của A có thể thuộc A
hoặc không thuộc A. Tập các điểm tụ của A kí hiệu là A
d
. Có thể thấy
x ∈ A
d
khi và chỉ khi với mọi r > 0, hình cầu B(x

o
, r) chứa ít nhất một
điểm của A.
Tập hợp A\A
d
được gọi tập các điểm cô lập của A. Như vậy, x ∈ A là
một điểm cô lập của A nếu tồn tại r > 0 sao cho
B(x, r) ∩ (A\{x}) = ∅.
Cho (X, ρ), tập A ⊂ X được gọi là tập mở nếu mỗi điểm của A đều là
điểm trong của A. Tập A trong không gian metric X được gọi là tập đóng
nếu phần bù của nó C
X
A = X\A là tập mở.
Dễ thấy X và tập rỗng là những tập mở. Hình cầu mở B(x
o
, r) là một
tập mở, vì với mọi x ∈ B(x
o
, r) luôn tồn tại r
1
= r − ρ(x
o
, x) > 0 sao cho
B(x, r
1
) ⊂ B(x
o
, r), tức là mọi điểm của B(x
o
, r) đều là điểm trong. Hiển

nhiên X, ∅ là những tập đóng, dễ chứng minh được hình cầu đóng là tập
đóng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
CHƯƠNG 1. TRƯỜNG CÁC SỐ P −ADIC 8
Định lý 1.2. Trong không gian siêu metric X ta luôn có
1) Hợp của một họ tuỳ ý các tập mở là tập mở.
2) Giao của một số hữu hạn các tập mở là mở.
Chứng minh. 1) Giả sử {U
s
}
s∈S
là một họ tuỳ ý các tập mở trong X. Đặt
U = ∪
s∈S
U
s
, giả sử x
o
∈ U tuỳ ý, khi đó x
o
phải thuộc một tập U
s
nào
đó trong họ. Do U
s
mở nên tồn tại một hình cầu B(x
o
, r) ⊂ U
s
⊂ U, suy

ra x
o
là điểm trong của U, tức là U là tập mở.
2) Giả sử U
1
, . . . , U
n
là những tập mở. Đặt V = ∩
n
i=1
U
i
. Giả sử x
o
∈ V
tuỳ ý, khi đó x
o
∈ U
i
∀i = 1, . . . , n. Do U
i
, i = 1, . . . , n, là những tập
mở nên tồn tại các số r
i
> 0 sao cho B(x
o
, r
i
) ⊂ U
i

với mỗi i = 1, . . . , n.
Chọn r = min{r
1
, . . . , r
n
}, khi đó B(x
o
, r) ⊂ U
i
, ∀i = 1, . . . , n, nên
B(x
o
, r) ⊂ ∩
n
i=1
U
i
. Kéo theo V mở.
Định lý 1.3. Trong không gian siêu metric X ta luôn có
1) Giao của họ tuỳ ý các tập đóng là đóng;
2) Hợp của một số hữu hạn các tập đóng là đóng.
Bây giờ chúng ta đề cập đến hai tính chất hình học đặc trưng trong
không gian siêu metric. Các tính chất này tương đối khác lạ với tính chất
hình học của không gian metric thông thường. Dựa vào tính chất của siêu
metric ta có:
Mệnh đề 1.4. Trong không gian siêu metric X ta luôn có:
1) Mọi tam giác đều cân.
2) Mọi điểm trong hình cầu đóng hay mở trong không gian siêu metric
đều là tâm của mặt cầu.
Chứng minh. 1) Giả sử x, y, z là ba điểm thuộc không gian X, không mất

tính tổng quát ta giả thiết ρ(x, y) > ρ(x, z). Khi đó
ρ(x, y) ≤ max{ρ(x, z), ρ(z, y)} = ρ(z, y)
và
ρ(z, y) ≤ max{ρ(x, z), ρ(x, y)} = ρ(x, y).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
CHƯƠNG 1. TRƯỜNG CÁC SỐ P −ADIC 9
Do đó ρ(z, y) = ρ(x, y).
2) Với mỗi điểm b nằm trong hình cầu B(a, r) và z ∈ X sao cho ρ(a, z) = r.
Hiển nhiên
ρ(a, b) < r = ρ(a, z)
nên từ nhận xét trên suy ra ρ(b, z) = ρ(a, z) = r. Điều này kéo theo b
cũng là tâm của hình cầu.
Mệnh đề 1.5. Cho X là một không gian siêu metric, B(a, r
1
), B(b, r
2
)
là hai hình cầu trong X. Khi đó một trong hai điều sau đây xảy ra:
1) B(a, r
1
) ⊂ B(b, r
2
) hoặc B(b, r
2
) ⊂ B(a, r
1
);
2) B(a, r
1
) ∩ B(b, r

2
) = ∅.
Chứng minh. Giả sử B(a, r
1
) ∩ B(b, r
2
) = ∅, khi đó tồn tại
c ∈ B(a, r
1
) ∩ B(b, r
2
).
Theo Mệnh đề 1.4 ta thấy c chính là tâm hình cầu B(a, r
1
) và B(b, r
2
).
Nói cách khác
B(a, r
1
) = B(c, r
1
) và B(b, r
2
) = B(c, r
2
).
Điều này kéo theo: nếu r
1
 r

2
thì B(a, r
1
) ⊂ B(b, r
2
) và nếu r
2
 r
1
thì
B(b, r
2
) ⊂ B(a, r
1
).
1.1.2 Bổ sung đủ của không gian siêu metric
Giả sử (X, ρ) là một không gian metric hoặc siêu metric. Dãy {x
n
} các
phần tử của X được gọi là một dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu
lim
m,n→∞
ρ(x
m
, x
n
) = 0.
Nghĩa là, với mọi ε > 0, tồn tại một số n
o
∈ N

∗
, ∀m, n  n
o
ta luôn có
ρ(x
m
, x
n
) < ε.
Nhận xét. Hiển nhiên, một dãy hội tụ trong không gian metric hoặc siêu
metric đều là dãy Cauchy. Thật vậy, giả sử lim
n→∞
x
n
= x
o
. Khi đó với mọi
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
CHƯƠNG 1. TRƯỜNG CÁC SỐ P −ADIC 10
∀ε > 0, tồn tại một số n
o
∈ N
∗
, ∀n  n
o
ta luôn có ρ(x
n
, x
o
) < ε/2. Suy

ra, khi m, n > n
o
,
ρ(x
n
, x
m
)  ρ(x
n
, x
o
) + ρ(x
o
, x
m
) < ε.
Như vậy {x
n
} là một dãy Cauchy.
Tuy nhiên điều ngược lại chưa chắc đúng. Ví dụ, Q với metric ρ(x, y) =
|x − y|; x, y ∈ Q là một không gian metric. Dễ thấy dãy
{x
n
=

1 +
1
n

n

}
∞
n=1
là một dãy Cauchy trong Q nhưng không hội tụ trong Q.
Không gian metric hoặc siêu metric X gọi là không gian đầy đủ nếu mọi
dãy Cauchy các phần tử của X đều hội tụ.
Dễ thấy Q không phải là không gian metric đầy đủ, nhưng R, C với
metric tự nhiên, là các không gian metric đầy đủ.
Định lý 1.6. Giả sử (X, ρ) là một không gian siêu metric không đầy đủ.
Khi đó tồn tại một không gian siêu metric đầy đủ (

X,

ρ) sao cho
1) X đẳng cự với một không gian con X
1
của

X,
2) X
1
trù mật trong

X.
Chứng minh. Gọi S là tập hợp tất cả các dãy Cauchy trong không gian
siêu metric X, trên S ta trang bị một quan hệ như sau: hai phần tử {x
n
},
{y
n

} của S được gọi là tương đương với nhau và viết là {x
n
} ∼ {y
n
}, nếu
lim
n→∞
ρ(x
n
, y
n
) = 0. Ta có thể kiểm tra được một cách dễ dàng quan hệ trên
là quan hệ tương đương. Gọi

X là tập hợp tất cả các lớp tương đương, tức
là

X = S/ ∼. Ta kí hiệu các phần tử của

X là

x,

y, . . .
Bây giờ ta sẽ xây dựng

ρ trên

X. Giả sử


x,

y ∈

X và {x
n
}, {y
n
} theo
thứ tự là hai phần tử của các lớp tương đương

x,

y. Với hai số n, m ∈ N
ta luôn có
ρ(x
n
, y
n
)  max{ρ(x
n
, x
m
), ρ(x
m
, y
m
), ρ(y
m
, y

n
)}
 ρ(x
m
, y
m
) + max{ρ(x
n
, x
m
), ρ(y
m
, y
n
)}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
CHƯƠNG 1. TRƯỜNG CÁC SỐ P −ADIC 11
Từ đó
ρ(x
n
, y
n
) − ρ(x
m
, y
m
)  max{ρ(x
n
, x
m

), ρ(y
m
, y
n
)}.
Tương tự ta cũng có
ρ(x
m
, y
m
) − ρ(x
n
, y
n
)  max{ρ(x
n
, x
m
), ρ(y
m
, y
n
)}.
Suy ra
|ρ(x
n
, y
n
) − ρ(x
m

, y
m
)|  max{ρ(x
n
, x
m
), ρ(y
m
, y
n
)}.
Vì {x
n
}; {y
n
} là hai dãy Cauchy nên từ bất đẳng thức trên ta suy ra
{ρ(x
n
, y
n
)} là một dãy Cauchy trong R, nên tồn tại lim
n→∞
ρ(x
n
, y
n
)  0.
Ngoài ra ta cũng thấy rằng lim
n→∞
ρ(x

n
, y
n
) không phụ thuộc vào việc chọn
dãy Cauchy {x
n
}; {y
n
} trong

x,

y tương ứng. Vì nếu {x

n
}; {y

n
} là hai phần
tử của

x,

y tương ứng, thì lý luận như trên ta cũng có
|ρ(x

n
, y

n

) − ρ(x
n
, y
n
)|  max{ρ(x

n
, x
n
), ρ(y

n
, y
n
)}
với mọi n ∈ N
∗
. Hiển nhiên lim
n→∞
ρ(x

n
, x
n
) = 0; lim
n→∞
ρ(y

n
, y

n
) = 0. Do đó,
từ bất đẳng thức trên ta có
lim
n→∞
ρ(x

n
, y

n
) = lim
n→∞
ρ(x
n
, y
n
).
Như vậy, với

x,

y ∈

X, ta đặt

ρ(

x,


y) = lim
n→∞
ρ(x
n
, y
n
), trong đó {x
n
} ∈

x; {y
n
} ∈

y thì

ρ sẽ là một hàm số trên

X ×

X. Ta dễ dàng kiểm tra đươc

ρ là một siêu metric trên

X.
Tiếp theo ta sẽ chứng minh
a) X đẳng cự với một không gian con X
1
nào đó của


X,
b) X
1
trù mật trong

X,
c)

X là không gian siêu metric đầy đủ.
Thật vậy
a) Với x ∈ X, hiển nhiên {x, x, } là một dãy Cauchy trong X. Gọi

x là
lớp tương đương trong

X mà chứa dãy Cauchy {x, x, }. Ta dễ thấy ánh
xạ
ϕ :X →

X
x → ϕ(x) =

x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
CHƯƠNG 1. TRƯỜNG CÁC SỐ P −ADIC 12
là một phép đẳng cự. Đặt X
1
= ϕ(X). Hiển nhiên X
1
là một không gian

con của

X và X đẳng cự với X
1
.
b) Giả sử

x là một phần tử bất kỳ của

X và ε là một số dương tuỳ ý.
Gọi {x
n
} là một phần tử của

x. Khi đó tồn tại n ∈ N sao cho ∀m, n  n
o
ta có ρ(x
n
, x
m
) < ε. Gọi

x
n
o
là phần tử của X
1
chứa dãy {x
n
o

, x
n
o
, . . . },
khi đó

ρ(

x,

x
n
o
) = lim
n→∞
ρ(x
n
, x
n
o
)  ε.
Như vậy X
1
trù mật trong

X.
c) Giả sử {

x
n

} là một dãy Cauchy trong

X. Vì X
1
trù mật trong

X nên
với mỗi n tồn tại một phần tử

y
n
∈ X
1
sao cho

ρ(

x
n
,

y
n
) <
1
n
. Khi đó với
mọi m, n ta có
ρ(x
n

, x
m
) =

ρ(

y
n
,

y
m
) 

ρ(

y
n
,

x
n
) +

ρ(

x
n
,


x
m
) +

ρ(

x
m
,

y
m
)
<
1
n
+
1
m
+

ρ(

x
n
,

x
m
).

Do {

x
n
} là một dãy Cauchy nên lim
n→∞

ρ(

x
n
,

x
m
) = 0, suy ra {x
n
} là một
dãy Cauchy trong X. Gọi

x là phần tử của

X chứa dãy {x
n
}. Ta sẽ chứng
minh lim
n→∞

x
n

=

x.
Thật vậy, với mọi n ta đều có

ρ(

x,

x
n
) 

ρ(

x,

y
n
) +

ρ(

y
n
,

x
n
) 


ρ(

x,

y
n
) +
1
n
(1)
Từ định nghĩa của

ρ ta có

ρ(

x,

y
n
) = lim
m→∞
ρ(x
m
, x
n
).
Với mỗi ε > 0, do {x
n

} là dãy Cauchy nên tồn tại n
o
∈ N sao cho
∀m, n > n
o
ta có ρ(x
m
, x
n
) <
ε
2
. Suy ra
lim
m→∞
ρ(x
m
, x
n
) 
ε
2
∀n  n
o
, tức là

ρ(

x,


y
n
) 
ε
2
∀n  n
o
. (2)
Chọn n
o
đủ lớn sao cho
1
n
o
<
ε
2
. Khi đó từ (1) và (2) suy ra

ρ(

x,

x
n
) <
ε
2
+
ε

2
= ε ∀n  n
o
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
CHƯƠNG 1. TRƯỜNG CÁC SỐ P −ADIC 13
Do vậy lim
n→∞

x
n
=

x. Tức là

X là không gian đầy đủ.
Không gian đầy đủ

X trong Định lý 1.4 được gọi là không gian bổ sung
đủ của không gian siêu metric X.
Định lý 1.7. Không gian bổ sung đủ của một không gian siêu metric là
duy nhất, sai khác một đẳng cự. Tức là, nếu ta đồng nhất các không gian
siêu metric đẳng cự thì bổ sung đủ của một không gian siêu metric là duy
nhất.
Chứng minh. Giả sử (

Y ,

ρ
1

) là cũng là một không gian bổ sung đủ của
không gian (X, ρ), tức là X đẳng cự với một không gian con trù mật Y
1
của

Y . Ta sẽ chỉ ra

Y đẳng cự với

X.
Thật vậy, vì X
1
, Y
1
cùng đẳng cự với X nên chúng đẳng cự với nhau.
Khi đó sẽ tồn tại một toàn ánh đẳng cự ψ : X
1
→ Y
1
.
Giả sử

x là một phần tử tuỳ ý của

X, khi đó tồn tại một dãy {

x
n
} các
phần tử của X

1
sao cho lim
n→∞

x
n
=

x. Hiển nhiên {

x
n
} là một dãy Cauchy
trong X
1
nên {ψ(

x
n
)} là một dãy Cauchy trong Y
1
. Do

Y là đầy đủ nên
tồn tại

y ∈

Y sao cho lim
n→∞

ψ(

x
n
) =

y. Dễ thấy

y chỉ phụ thuộc vào

x chứ
không phụ thuộc vào cách chọn dãy {

x
n
}.
Đặt Φ(

x) =

y, ta được một ánh xạ từ

X vào

Y . Do cách xây dựng Φ
nên Φ là một song ánh. Giả sử

x
1
,


x
2
∈

X và {x
1
n
}; {x
2
n
} là hai dãy phần tử
của X
1
sao cho lim
n→∞

x
1
n
=

x
1
; lim
n→∞

x
2
n

=

x
2
. Đặt

y
1
= Φ(

x
1
);

y
2
= Φ(

x
2
).
Khi đó

ρ(

x
1
,

x

2
) = lim
n→∞

ρ(

x
1
n
,

x
2
n
) = lim
n→∞

ρ
1
(ψ(

x
1
n
), ψ(

x
2
n
)) =


ρ
1
(

y
1
,

y
2
)
Như vậy

X đẳng cự với

Y .
1.2 Trường các số p−adic
1.2.1 Một số khái niệm
Ta kí hiệu trường các số phức, thực và hữu tỷ là C, R và Q tương ứng
và kí hiệu Z là vành các số nguyên. Với K là một trường con của R, ta kí
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
CHƯƠNG 1. TRƯỜNG CÁC SỐ P −ADIC 14
hiệu
K
+
= {x ∈ K : x  0}, K
+
= {x ∈ K : x > 0}.
Với a, b ∈ K, a  b, ta viết

K[a, b] = {x ∈ K : a  x  b}.
Cho K là một trường, kí hiệu nhóm nhân K − {0} bởi K
∗
.
Định nghĩa 1.8. Một giá trị tuyệt đối trên K là một hàm
|.| : K −→ R
+
= [0; +∞)
thỏa mãn các điều kiện
1) |x| = 0 khi và chỉ khi x = 0;
2) |xy| = |x|.|y| với mọi x, y ∈ K;
3) |x + y|  |x| + |y| với mọi x, y ∈ K.
Nếu giá trị tuyệt đối này thoả mãn thêm điều kiện
4) |x + y|  max{|x|, |y|} với mọi x, y ∈ K
thì được gọi là giá trị tuyệt đối không Acsimet. Ngược lại, ta gọi là giá trị
tuyệt đối Acsimet.
Nếu |.| là không Acsimet, thì trong thực tế ta có:
|x + y| = max{|x|, |y|} nếu |x| = |y|.
Cho K là một trường đã trang bị giá trị tuyệt đối |.|, giá trị tuyệt đối
|.| được gọi là tầm thường nếu:
|x| =

1 nếu x ∈ K
∗
0 nếu x = 0.
Và được gọi là trù mật nếu tập
|K| = {|x| : x ∈ K}
là trù mật trong R
+
. Chẳng hạn |C| = R

+
.
Cho K là một trường, hai giá trị tuyệt đối trên K sẽ được gọi là tương
đương, kí hiệu là | · |
1
∼ | · |
2
, nếu chúng cảm sinh cùng một tôpô trên K.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
CHƯƠNG 1. TRƯỜNG CÁC SỐ P −ADIC 15
Định lý 1.9 (Các điều kiện về giá trị tuyệt đối tương đương). Cho K là
một trường | · |
1
, | · |
2
là hai giá trị tuyệt đối trên K. Khi đó các điều kiện
sau là tương đương:
1) ∀x ∈ K, |x|
1
< 1 ⇔ |x|
2
< 1;
2) ∀x ∈ K, |x|
1
≤ 1 ⇔ |x|
2
≤ 1;
3) ∃c ∈ R
∗
+

: ∀x ∈ K, |x|
2
= |x|
c
1
;
4) Các tô pô sinh bởi | · |
1
và | · |
2
là trùng nhau, do đó hai giá trị tuyệt
đối tương đương với nhau.
Mệnh đề 1.10. Cho | · |
1
, | · |
2
là hai giá trị tuyệt đối trên trường K. Nếu
tồn tại hai số dương c
1
, c
2
sao cho
c
1
|x|
1
≤ |x|
2
≤ c
2

|x|
1
với mọi x ∈ K thì | · |
1
∼ | · |
2
.
Với một hằng số p > 1, hàm v
p
: K → R ∪ {+∞} được định nghĩa bởi:
v
p
(x) =

− log
p
|x| : x ∈ K
∗
+∞ : x = 0,
với log
p
là hàm logarit thực cơ số p, được gọi là hàm giá trị liên kết của
giá trị tuyệt đối |.|. Dễ thấy v
p
có tính chất cộng tính. Nếu chọn p = e
α
(α > 0), khi đó v
e
= αv
p

. Theo Mệnh đề 1.9, ta có
Mệnh đề 1.11. Cho K là một trường có hai giá trị tuyệt đối tương ứng
với hai hàm giá trị liên kết v và w. Hai giá trị tuyệt đối đó là tương đương
nếu và chỉ nếu tồn tại α > 0 sao cho v = αw.
Trong trường hợp không Acsimet ta có:
Mệnh đề 1.12. Một giá trị tuyệt đối |.|
p
trên trường K là không Acsimet
nếu và chỉ nếu hàm giá trị liên kết v
p
(với p > 1) của nó thoả mãn điều
kiện:
1) v
p
(x) = +∞ khi và chỉ khi x = 0;
2) v
p
(xy) = v
p
(x) + v
p
(y) với mọi x, y ∈ K;
3) v
p
(x + y)  min{v
p
(x), v
p
(y)} với mọi x, y ∈ K.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

CHƯƠNG 1. TRƯỜNG CÁC SỐ P −ADIC 16
Bây giờ ta mô tả thêm một tính chất khác của giá trị tuyệt đối không
Acsimet. Cho K là một trường, xét ánh xạ φ : Z → K xác định bởi
φ(n) =









1 + 1 + · · · + 1
  
n
: n > 0
0 : n = 0
−(1 + 1 + · · · + 1
  
−n
) : n < 0,
trong đó 1 là đơn vị trên K. Ta sẽ đồng nhất Z với ảnh của nó qua ánh xạ
φ trong K.
Mệnh đề 1.13. Giá trị tuyệt đối trên K là Acsimet nếu và chỉ nếu
sup
n∈Z
|n| = +∞. Và là không Acsimet nếu và chỉ nếu sup
n∈Z
|n| = 1.

Nếu |.| là không Acsimet thì tập hợp
O
K
= K[0; 1] = {x ∈ K, |x|  1}
là vành con của K.
Ta biết, giá trị tuyệt đối |.| là một chuẩn và sẽ sinh ra hàm khoảng cách
ρ trên K xác định bởi:
ρ(x, y) = |x − y|
với mỗi cặp phần tử x, y ∈ K, từ đó cảm sinh ra tôpô trên K. Cụ thể như
sau: với mỗi số thực r > 0 và một phần tử x ∈ K, kí hiệu hình cầu mở và
đóng bán kính r tâm x tương ứng là:
K(x; r) = {y ∈ K| ρ(x, y) < r}, K[x; r] = {y ∈ K| ρ(x, y)  r}
và kí hiệu đường tròn bởi:
Kx; r = {y ∈ K| ρ(x, y) = r} = K[x; r] − K(x; r).
Dễ thấy một hàm giá trị tuyệt đối |.| là không Acsimet nếu và chỉ nếu
metric cảm sinh của nó thoả mãn:
ρ(x, y)  max{ρ(x, z), ρ(z, y)}
với mỗi x, y, z ∈ K. Vì
ρ(x, y) = |x − y| = |(x − z) + (z − y)|
 max{|x − z|, |z − y|} = max{ρ(x, z), ρ(z, y)}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
CHƯƠNG 1. TRƯỜNG CÁC SỐ P −ADIC 17
Trong trường hợp này ta có
y ∈ K[x; r] ⇒ K(y; r) ⊂ K[y; r] = K[x; r];
y ∈ Kx; r ⇒ K(y; r) ⊂ Kx; r.
Điều này suy ra các tập K[x; r], K(x; r) và Kx; r là vừa mở, vừa đóng.
Dễ nhận thấy, giá trị tuyệt đối không Acsimet cảm sinh khoảng cách siêu
metric.
1.2.2 Số p−adic
Cho p ∈ Z là một số nguyên tố. Mỗi số nguyên a ∈ Z − {0} được biểu

diễn một cách duy nhất dưới dạng:
a = p
v
.a

, p  | a

, a

∈ Z − {0},
trong đó v được xác định một cách duy nhất bởi p và a. Có thể hiểu v số
nguyên dương lớn nhất mà p
v
là ước của a. Ta kí hiệu v
p
(a) = v. Khi đó
chúng ta thu được hàm
v
p
: Z − {0} → Z
+
= Z ∩ [0; +∞).
Ta mở rộng v
p
lên Q như sau: nếu x = a/b ∈ Q, đặt
v
p
(x) =

v

p
(a) − v
p
(b) : x = 0
+∞ : x = 0.
Dễ dàng chứng minh được hàm v
p
trên Q thoả mãn điều kiện trong Mệnh
đề 1.12, và được gọi là giá trị p−adic trên Q. Nó có tính chất sau:
x = p
v
p
(x)
.
a

b

, p  |a

b

, x ∈ Q.
Khi đó, với mỗi x ∈ Q ta thu được giá trị tuyệt đối p−adic của x như sau:
|x|
p
=

p
−v

p
(x)
: x = 0
0 : x = 0.
Mệnh đề 1.14. Hàm |.|
p
là một giá trị tuyệt đối không Acsimet trên Q.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
CHƯƠNG 1. TRƯỜNG CÁC SỐ P −ADIC 18
Chứng minh. Hiển nhiên với mọi x ∈ Q ta có |x|
p
 0 và
|x|
p
= 0 ⇔ x = 0.
Hơn nữa với mọi x, y ∈ Q. Ta xét các khả năng: nếu x = 0 hoặc y = 0
thì x.y = 0 kéo theo |x.y|
p
= 0 = |x|
p
.|y|
p
. Nếu x = 0 và y = 0, thì
x = p
v
p
(x)
.x

; y = p

v
p
(y)
.y

với x

, y

có tử và mẫu không chia hết cho p. Ta
thấy x.y = p
v
p
(x)+v
p
(y)
.x

.y

và hiển nhiên x

.y

cũng có tử và mẫu không
chia hết cho p. Suy ra
|x.y|
p
= p
−(v

p
(x)+v
p
(y))
= p
−v
p
(x)
.p
−v
p
(y)
= |x|
p
.|y|
p
.
Ngoài ra, với mọi x, y ∈ Q giả sử x = p
v
p
(x)
.x

; y = p
v
p
(y)
.y

với x


, y

có
tử và mẫu không chia hết cho p. Đặt v
o
= min(v
p
(x), v
p
(y)). Khi đó:
x + y = p
v
p
(x)
.x

+ p
v
p
(y)
.y

= p
v
o
(p
v
p
(x)−v

o
.x

+ p
v
p
(y)−v
o
.y

).
Từ đó |x + y|
p
 p
−v
o
= max{p
−v
p
(x)
, p
−v
p
(y)
} = max{|x|
p
, |y|
p
}. Như vậy
giá trị tuyệt đối |.|

p
là không Acsimet.
Định nghĩa 1.15. Giá trị tuyệt đối |.|
p
trên Q xác định như trên được gọi
là giá trị tuyệt đối p−adic.
Ta kí hiệu |.|
∞
là giá trị tuyệt đối thông thường trên Q. Định lý sau đây
cho thấy một tính chất về các giá trị tuyệt đối trên Q.
Định lý 1.16 (Định lý Ostrowski). Mọi giá trị tuyệt đối không tầm thường
|.| trên Q đều tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường hoặc |.|
p
với
p là số nguyên tố nào đó.
Dựa vào định lý trên ta thấy, các giá trị tuyệt đối trên Q thỏa mãn
Mệnh đề 1.17. Với mỗi x ∈ Q
∗
, ta có công thức tích:

p∞
|x|
p
= 1,
trong đó p  ∞ nghĩa là chúng ta lấy tích của các giá trị tuyệt đối |.|
p
trên tất cả các số nguyên tố p của Q và cả |.|
∞
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

CHƯƠNG 1. TRƯỜNG CÁC SỐ P −ADIC 19
Chứng minh. Giả sử x > 0 và x =
m
n
là một biểu diễn tối giản của x
(x < 0 ta chứng minh tương tự), với m, n là các số nguyên tố cùng nhau.
Giả sử m = p
α
1
1
p
α
2
2
. . . p
α
k
k
trong đó p
1
, p
2
, . . . , p
k
là các số nguyên tố nhỏ
hơn hoặc bằng m, tương tự n = q
β
1
1
q

β
2
2
. . . q
β
s
s
trong đó q
1
, q
2
, . . . , q
s
là các
số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng n. Hiển nhiên p
i
= q
j
∀i, j. Với p là một
số nguyên tố bất kỳ thì v
p
(m) = 0 nếu p /∈ {p
1
, p
2
, . . . , p
k
} và v
p
(m) = α

i
nếu p = p
i
, tương tự v
p
(n) = 0 nếu p /∈ {q
1
, q
2
, . . . , q
s
} và v
p
(n) = β
j
nếu
p = p
j
. Khi đó:

p<∞
|x|
p
=
p
−α
1
1
p
−α

2
2
. . . p
−α
k
k
q
−β
1
1
q
−β
2
2
. . . q
−β
s
s
=
n
m
.
Mặt khác
|x|
∞
=
m
n
.
Như vậy


p∞
|x|
p
= 1.
Công thức được chứng minh.
Với một số nguyên tố p, bổ sung đủ của Q theo tôpô sinh bởi theo giá
trị tuyệt đối |.|
p
là một trường kí hiệu là Q
p
, giá trị tuyệt đối |.|
p
trên Q
p
được mở rộng theo kỹ thuật chuẩn từ giá trị tuyệt đối |.|
p
trên Q thỏa
mãn:
(1) Tồn tại một phép nhúng Q → Q
p
và giá trị tuyệt đối |.|
p
trên Q
p
nhận được bằng cách mở rộng giá trị tuyệt đối |.|
p
trên Q;
(2) Q trù mật trong Q
p

;
(3) Q
p
là đầy đủ.
Trường Q
p
thỏa mãn ba điều kiện trên tồn tại một cách duy nhất, sai
khác một phép đẳng cự, được gọi là trường các số p−adic. Nó cũng có tính
chất:
(4) Với mỗi x ∈ Q
p∗
, tồn tại một số nguyên v
p
(x) sao cho |x|
p
= p
−v
p
(x)
,
tức là hàm giá trị liên kết v
p
trên Q được mở rộng lên Q
p
. Nói cách khác
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
CHƯƠNG 1. TRƯỜNG CÁC SỐ P −ADIC 20
tập các giá trị tuyệt đối của Q và Q
p
là như nhau dưới hàm |.|

p
, nó chính
là tập
{p
n
: n ∈ Z} ∪ {0}.
Từ tính chất (4) dễ chứng minh được
Q
p
(x; r) = Q
p

x;
r
p

x ∈ Q
p
; r ∈ R
+
.
Như vậy vành
O
Q
p
= Q
p
[0; 1] = Q
p
(0; p)

là tập vừa đóng, vừa mở, nó được gọi là vành các số nguyên p−adic và kí
hiệu là Z
p
. Với mỗi n ∈ Z
+
, vành Z
p
được phủ bởi các tập
Q
p
[k; p
−n
] = k + p
n
Z
p
, k = 0, 1, . . . , p
n
− 1.
Điều này kéo theo Z
p
là compact, như thế Q
p
compact địa phương.
Bao đóng đại số của Q
p
kí hiệu là Q
p
, giá trị tuyệt đối trên Q
p

được mở
rộng từ giá trị tuyệt đối |.|
p
trên Q
p
và cũng kí hiệu là |.|
p
. Chú ý rằng Q
p
không đầy đủ. Trường bổ sung đủ của Q
p
theo tôpô cảm sinh bởi giá trị
tuyệt đối |.|
p
, kí hiệu là C
p
. Như vậy:
(1) Tồn tại một phép nhúng Q
p
→ C
p
và giá trị tuyệt đối |.|
p
trên C
p
nhận được bằng cách mở rộng giá trị tuyệt đối |.|
p
trên Q
p
. Ta đồng nhất

Q
p
với ảnh của nó trong C
p
(dưới ánh xạ nhúng);
(2) Q
p
trù mật trong C
p
;
(3) C
p
là đầy đủ. Trường C
p
thỏa mãn ba điều kiện trên tồn tại một
cách duy nhất, sai khác một phép đẳng cự, được gọi là trường các số phức
p−adic. Nó cũng có tính chất:
(4) Với mỗi x ∈ C
p∗
, tồn tại một số hữu tỷ v
p
(x) sao cho |x|
p
= p
−v
p
(x)
,
tức là hàm giá trị liên kết v
p

trên Q
p
được mở rộng lên C
p
và ảnh của C
p
∗
dưới ánh xạ v
p
chính là Q
∗
.
(5) C
p
đầy đủ, đóng đại số có đặc số không, nhưng không compact địa
phương.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 2
Hàm xác định bởi chuỗi lũy thừa
2.1 Chuỗi lũy thừa p−adic
Cố định một số nguyên tố p. Trong phần này, để cho đơn giản ta luôn
kí hiệu |.| thay cho |.|
p
trên C
p
.
Định nghĩa 2.1. Cho U ⊂ C
p
là tập mở. Hàm f : U → C
p

được gọi
là liên tục tại z
0
∈ U nếu với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi
z ∈ C
p
(z
0
; δ), ta có
|f(z) − f(z
0
)| < ε.
Hàm f gọi là khả vi tại z
0
nếu giới hạn
f

(z
0
) = lim
h−→0
f(z
0
+ h) − f(z
0
)
h
tồn tại hữu hạn. f được gọi là khả vi trên U nếu nó khả vi tại mỗi điểm
của U.
Ta có thể chứng minh dễ dàng được rằng hàm khả vi thì liên tục. Trong

phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu hàm được xác định bởi chuỗi luỹ thừa.
Trước hết ta nhắc lại một số vấn đề về chuỗi số p−adic.
Mệnh đề 2.2. Dãy {a
n
} trong C
p
là dãy Cauchy nếu và chỉ nếu nó thoả
mãn
lim
n−→∞
|a
n+1
− a
n
| = 0.
Chứng minh. Hiển nhiên nếu {a
n
} là dãy Cauchy thì
lim
n−→∞
|a
n+1
− a
n
| = 0.
21
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
CHƯƠNG 2. HÀM XÁC ĐỊNH BỞI CHUỖI LŨY THỪA 22
Ngược lại, với mỗi m = n + k > n ta có
|a

m
− a
n
| = |(a
n+k
− a
n+k−1
) + (a
n+k−1
− a
n+k−2
) + · · · + (a
n+1
− a
n
)|
 max{|a
n+k
− a
n+k−1
|, |a
n+k−1
− a
n+k−2
|, . . . , |a
n+1
− a
n
|}.
Từ bất đẳng thức này suy ra nếu lim

n−→∞
|a
n+1
− a
n
| = 0 thì {a
n
} là dãy
Cauchy.
Hệ quả 2.3. Chuỗi vô hạn
∞

n=0
a
n
với a
n
∈ C
p
là hội tụ khi và chỉ khi
lim
n−→∞
a
n
= 0,
trong trường hợp này ta có






∞

n=0
a
n





 max
n
|a
n
|. (2.1)
Chứng minh. Đặt
S
n
=
n

k=0
a
k
.
Ta biết rằng chuỗi vô hạn
∞

n=0

a
n
hội tụ khi và chỉ khi {S
n
} hội tụ, khi và chỉ
khi {S
n
} là dãy Cauchy, điều này xảy ra khi và chỉ khi dãy {S
n
− S
n−1
} =
{a
n
} hội tụ về 0 theo Mệnh đề 2.2. Bất đẳng thức (2.1) là hiển nhiên do
tính chất của giá trị tuyệt đối không Acsimet.
Mệnh đề 2.4. Cho b
jn
∈ C
p
và giả sử rằng
1) lim
n−>∞
b
jn
= 0 với mọi j;
2) lim
j−>∞
b
jn

= 0 hội tụ đều theo n.
Khi đó cả hai chuỗi
∞

j=0
∞

n=0
b
jn
,
∞

n=0
∞

j=0
b
jn
hội tụ và tổng của chúng là bằng nhau.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
CHƯƠNG 2. HÀM XÁC ĐỊNH BỞI CHUỖI LŨY THỪA 23
Bây giờ ta xem xét chuỗi luỹ thừa p−adic
f(z) =
∞

n=0
a
n
z

n
, (a
n
∈ C
p
). (2.2)
Hiển nhiên ta có thể gán cho f(z) giá trị của chuỗi
∞

n=0
a
n
z
n
với mỗi z ∈ C
p
mà |a
n
z
n
| → 0 khi n → ∞ (vì khi đó chuỗi hội tụ). Bán kính hội tụ ρ của
chuỗi ( 2.2) được tính bởi công thức
1
ρ
= lim sup
n−→∞
|a
n
|
1

n
.
Nếu ρ = 0 (ρ = +∞) thì chuỗi chỉ hội tụ tại z = 0 (tương ứng, trên C
p
).
Nếu 0 < ρ < +∞ thì chuỗi hội tụ với |z| < ρ và phân kỳ với |z| > ρ.
Cũng giống như trong trường hợp phức, ta có thể chứng minh được một
cách dễ dàng hàm f định nghĩa bởi chuỗi luỹ thừa liên tục trong C
p
(0; ρ)
và có thể mở rộng thành C
p
[0; ρ] nếu |a
n
|ρ
n
→ 0 khi n → ∞.
Giả sử chuỗi lũy thừa f(z) =
∞

n=0
a
n
z
n
có bán kính hội tụ là ρ: 0 < ρ 
+∞. Với mỗi r ∈ R
+
: 0 < r < ρ. Ta định nghĩa số hạng lớn nhất
µ(r, f) = max

n0
|a
n
|r
n
liên kết với chỉ số trung tâm
ν(r, f) = max
n0
{n : |a
n
|r
n
= µ(r, f)}.
Nhận xét. 1) Với mỗi r : 0 < r < ρ, µ(r, f) luôn tồn tại hữu hạn. Thật
vậy, do chuỗi
∞

n=0
a
n
z
n
hội tụ tại z ∈ C
p
: |z| = r, nên lim
n−→∞
|a
n
|r
n

= 0,
kéo theo dãy {|a
n
|r
n
} bị chặn trong R
+
.
2) Hàm µ(r, f) liên tục theo r.
3) Với mỗi r, chỉ số trung tâm ν(r, f) luôn tồn tại hữu hạn và là một
số nguyên không âm. Theo định nghĩa ta có
µ(r, f) = |a
ν(r,f)
|r
ν(r,f)
.
4) Hiển nhiên, nếu z ∈ C
p
mà |z|  r thì
|f(z)|  max
n0
|a
n
||z|
n
 max
n0
|a
n
|r

n
= µ(r, f).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
CHƯƠNG 2. HÀM XÁC ĐỊNH BỞI CHUỖI LŨY THỪA 24
Ta kí hiệu
µ(0, f) = lim
r−→0
+
µ(r, f), ν(0, f) = lim
r−→0
+
ν(r, f).
Mệnh đề 2.5. Chỉ số trung tâm ν(r, f) tăng khi r → ρ và thoả mãn
log µ(r, f) = log |a
ν(0,f)
| +

r
0
ν(t, f) − ν(0, f)
t
dt
+ ν(0, f) log r, (0 < r < ρ) (2.3)
trong đó log là kí hiệu logarit thực cơ số e.
Chứng minh. Lấy 0 < r
1
< r
2
< ρ và đặt ν
1

= ν(r
1
, f). Ta sẽ chứng minh
|a
n
|r
n
2
< |a
ν
1
|r
ν
1
2
, (2.4)
với n < ν
1
, điều đó kéo theo ν(r
2
, f)  ν
1
. Hiển nhiên, nếu a
n
= 0 thì
(2.4) đúng. Nếu a
n
= 0, theo tính chất ν
1
, với mọi n ta có

|a
n
|r
n
1
 |a
ν
1
|r
ν
1
1
,
suy ra
log |a
n
| + n log r
1
 log |a
ν
1
| + ν
1
log r
1
.
Từ đó
log |a
n
| − log |a

ν
1
|
ν
1
− n
 log r
1
< log r
2
.
Kéo theo
|a
n
|r
n
2
< |a
ν
1
|r
ν
1
2
.
Như vậy (2.4) được chứng minh. Từ (2.4) suy ra |a
n
|r
n
2

chỉ đạt được max
tại n thoả mãn n  ν
1
, suy ra ν(r
2
, f)  ν
1
, điều đó kéo theo ν(r, f) là
hàm tăng theo r.
Trước hết ta chứng minh (2.3) trong trường hợp |f(0)| = |a
0
| = 1.
Chú ý rằng, trong trường hợp này ν(0, f) = 0, nên |a
ν(0,f)
| = |a
0
| = 1 và
log |a
0
| = 0. Giả sử ν(t, f) = ν
k−1
với t ∈ [r
k−1
, r
k
) (k = 1, 2, . . . ), với
0 = ν
0
< ν
1

< . . . ; 0 = r
0
< r
1
< . . . .
Dễ thấy
|a
ν
k
|r
ν
k
k
= |a
ν
k−1
|r
ν
k−1
k
, k = 1, 2, . . . ,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
CHƯƠNG 2. HÀM XÁC ĐỊNH BỞI CHUỖI LŨY THỪA 25
theo tính liên tục của hàm |a
ν
k
|r
ν
k
tại r

k
.
Giả sử 0 < r < ρ, khi đó tồn tại n ∈ N
∗
sao cho ν
n
= ν(r, f), kéo theo
r
n
 r < r
n+1
. Chú ý rằng khi r
n
 r < r
n+1
thì
µ(r, f) = |a
ν(r,f)
|r
ν(r,f)
= |a
ν
n
|r
ν
n
.
Từ ν
0
= 0 ta có


r
0
ν(t, f)
t
dt =
n

k=1

r
k
r
k−1
ν(t, f)
t
dt +

r
r
n
ν(t, f)
t
dt
=
n

k=2
ν
k−1

log
r
k
r
k−1
+ ν
n
log
r
r
n
= log

|a
ν
n
|r
ν
n
|a
ν
n
|r
ν
n
n
n

k=2
|a

ν
k−1
|r
ν
k−1
k
|a
ν
k−1
|r
ν
k−1
k−1

= log
|a
ν
n
|r
ν
n
|a
ν
1
|r
ν
1
1
= log
|a

ν
n
|r
ν
n
|a
ν
0
|r
ν
0
1
= log |a
ν
n
|r
ν
n
= log µ(r, f).
Công thức (2.3) được chứng minh.
Nếu |f(0)| = |a
0
| = 1 và |f(0)| = |a
0
| = 0. Ta áp dụng chứng minh
trên cho hàm g(z) =
1
|a
0
|

f(z). Nếu |f(0)| = |a
0
| = 0, ta áp dụng chứng
minh trên cho hàm g(z) =
z
m
|a
0
|
f(z), trong đó m  1 là chỉ số nhỏ nhất
mà a
m
= 0, ta sẽ có công thức (2.3). Như thế mệnh đề được chứng minh
trong mọi trường hợp.
Kí hiệu vành của chuỗi luỹ thừa f(z) =
∞

n=0
a
n
z
n
(a
n
∈ C
p
) mà thoả
mãn điều kiện lim
n−→∞
|a

n
|r
n
= 0 bởi A
r
(C
p
) và gọi A
(r
(C
p
) là tập hợp các
chuỗi luỹ thừa của z mà bán kính hội tụ là lớn hơn hoặc bằng r. Hiển
nhiên, f ∈ A
(r
(C
p
) nếu và chỉ nếu f ∈

s<r
A
s
(C
p
). Ta viết ngắn gọn
A(C
p
) = A
(∞
(C

p
)
Nhận xét. Từ công thức (2.3) trong Mệnh đề 2.5 suy ra với mỗi f ∈
A(C
p
), hàm µ(r, f) tăng khi r → ρ.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên