BË GIO DƯC V€ €O T„O
TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN

PH„M THÀ DÀU HI—N

RĨT GÅN HARDY CHO MËT LỴP
TCH PH…N LIOUVILLE
CC H€M SÈ SÌ C‡P
LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

B¼nh ành - N«m 2021


BË GIO DƯC V€ €O T„O

TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN

PH„M THÀ DÀU HI—N

RĨT GÅN HARDY CHO MËT LỴP
TCH PH…N LIOUVILLE
CC H€M SÈ SÌ C‡P
CHUY–N NG€NH:

PH×ÌNG PHP TON SÌ C‡P

M‚ SÈ:

8 46 01 13

LUN VN THC S TON HC

Ngữới hữợng dăn:

PGS.TS. THI THU†N QUANG

B¼nh ành - 2021


DANH MệC CC Kị HIU
R

: Vnh vi phƠn

Q(x)

: Trữớng cĂc phƠn thực vợi hằ số hỳu t

R(x)

: Trữớng cĂc phƠn thực vợi hằ số thỹc

C(x)

: Trữớng cĂc phƠn thực vợi h» sè phùc

(2j − 1)!!

= 1.3.5 . . . (2j − 1).

(2j)!!


= 2.4 . . . (2j).

(3j − 2)!!!

= 1.4.7 . . . (3j − 2).

(3j − 1)!!!

= 2.5.8 . . . (3j − 1).


i

Mửc lửc
Danh mửc cĂc kỵ hiằu
1 CC HM Sẩ Sè CP V NH Lị LIOUVILLE
1.1

1.2

Vnh v trữớng vi phƠn

4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1


CĂc khĂi niằm v tẵnh chĐt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Mð rëng logarit v  mð rëng mô

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

nh lỵ Liouville
1.2.1

CĂc hm số sỡ cĐp

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.2

nh lỵ Liouville


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.3

Mët sè v½ dư ¡p dưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2 RÓT GÅN HARDY CHO LẻP TCH PHN LIOUVILLE
2.1

Mởt số kát quÊ chuân bà

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

Rót gån Hardy cho t½ch ph¥n Liouville

25
25

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

. . . . . . . . . . . . . . . . .


26

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.2.1

Mët sè k¸t qu£ v· rót gån Hardy

2.2.2

C¡c h» quÊ

2.2.3

CĂc vẵ dử

3 MậT Sẩ P DệNG

38

3.1

Mởt số dÔng tẵch ph¥n Liouville °c bi»t . . . . . . . . . . . . . . . . .


38

3.2

CĂc tẵch phƠn Kiu Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

T i li»u tham kh£o

46


1

Mé U

Viằc kát luên mởt tẵch phƠn cừa mởt hm sì c§p câ cán l  mët h m sè sì c§p hay
khổng l mởt cƠu họi quan trồng  ữủc nghiản cựu tứ thới Newton v Leibniz. PhƯn
lợn dỹa trản cĂc cỉng tr¼nh cõa Liouville [10], Risch [13], v  Rosentlicht [14], rĐt nhiÃu
tián bở  Ôt ữủc và vĐn à ny trong suèt hai th¸ k [1, 2, 3, 4, 7, 9, 16, 17]. Tuy
nhiản, cõ mởt số lợp tẵch phƠn rĐt ữủc hồc sinh, sinh viản quan tƠm tẵnh toĂn những
văn chữa cõ cƠu trÊ lới hon ton Ưy ừ cho cƠu họi ny.
Mởt vẵ dử trong số ny l lợp cĂc tẵch phƠn cõ dÔng

Z

vợi

r, s


s

xr eax dx,

l cĂc số nguyản. Lợp tẵch phƠn ny chẵnh xĂc l ối tữủng nghiản cựu trong

mởt trữớng hủp c biằt sau Ơy cừa mởt nh lỵ Liouville [10, 11, 13, 14].

nh lỵ (Tiảu chuân Liouville ối vợi tẵch phƠn, 1835).
hỳu t vợi

g

f, g

l  c¡c h m sè

R

f (x)eg(x) dx =

kh¡c h¬ng sè. Khi õ

Z

f (x)eg(x) dx

l mởt hm số sỡ cĐp náu v ch náu tỗn tÔi mởt hm số hỳu t


R(x)eg(x) ,

Cho

R sao cho

ho°c mët c¡ch t÷ìng ÷ìng

f (x) = R(x)g 0 (x) + R0 (x).
Tiảu chuân ny thữớng ữủc sỷ dửng  cho hồc sinh tẵnh toĂn v nhên biát rơng
mởt số lợp nhĐt nh tẵch phƠn cờ in chng hÔn nh÷

2
erf(x) = √
π

Z

x

e
0

−u2

Z
du,

Li(x)


=
2

x

du
,
ln u

Z
Si(x)

=
0

x

sin u
,...
u


2
khổng th ữủc biu th dữợi dÔng cĂc hm sỡ cĐp. Tuy nhiản, bĐt chĐp vai trỏ thiát
yáu cừa nõ trong viằc xĂc nh c tẵnh khổng sỡ cĐp cừa cĂc tẵch phƠn quan trồng
trong cĂc ựng dửng, mực ở liản quan cừa kát quÊ ny trong cĂc tẳnh huống cử th Â
ữủc giợi hÔn trong mởt vi lợp con cừa lợp tẵch phƠn Liouville [11, 12, 15].

Chừ Ã cừa Luên vôn liản quan án cƠu trÊ lới cho cƠu họi nảu trản ối vợi lợp tẵch
phƠn Liouville. õ l lợp cĂc tẵch phƠn cừa hm số cõ dÔng

l cĂc h m sè húu t,

g

R

f (x)eg(x) dx trong â f, g

khæng l hm hơng.

Mửc tiảu cừa Luên vôn l têp trung giÊi quyát cĂc bi toĂn sau:
1. Dỹa vo tiảu chuân Liouville nghiản cựu ữa ra mởt thuêt toĂn rút gồn Hardy
 phƠn tẵch hm dữợi dĐu tẵch phƠn thnh hai thnh phƯn cỡ bÊn cỹc Ôi v
cỹc tiu sao cho phƠn tẵch ny cõ th Ăp ựng Ưy ừ lỵ thuyát rút gồn cừa
Hardy  xĂc nh liằu cĂc tẵch phƠn õ cõ phÊi l hm sỡ cĐp hay khổng.

2. Nghiản cựu mởt số Ăp dửng cừa thuêt toĂn.

Ngoi phƯn M Ưu, Kát luên, Ti liằu tham khÊo, Luên vôn ữủc chia thnh ba
chữỡng.
Chữỡng 1 dnh cho viằc tẳm hiu nh lỵ Liouville tờng quĂt trản mởt trữớng vi
phƠn v mët sè h» qu£ °c bi»t cõa nâ èi vỵi hm số sỡ cĐp.
Trong Chữỡng 2 chúng tổi têp trung nghiản cựu ữa ra mởt thuêt toĂn  phƠn
tẵch hm dữợi dĐu tẵch phƠn thnh hai thnh phƯn cỡ bÊn cỹc Ôi v cỹc tiu sao
cho phƠn tẵch ny cõ th Ăp ựng Ưy ừ lỵ thuyát rút gồn cừa Hardy  xĂc nh liằu
cĂc tẵch phƠn õ cõ phÊi l hm sỡ cĐp hay khổng, v khi  khng nh thẳ liằu cõ
th tẵnh toĂn ữủc giĂ tr chẵnh xĂc hay khổng.
Chữỡng 3 nghiản cựu mởt số Ăp dửng cừa thuêt toĂn rút gồn Hardy cho lợp tẵch
phƠn Liouville cĂc hm sỡ cĐp.


Luên vôn ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn khoa hồc cừa thƯy PGS. TS. ThĂi
ThuƯn Quang, Khoa ToĂn v Thống kả, Trữớng Ôi hồc Quy Nhỡn. NhƠn dp ny tổi
xin by tọ sỹ kẵnh trồng v lỏng biát ỡn sƠu sưc án ThƯy  giúp ù tổi trong suốt
quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên v«n.


3
Tỉi cơng xin gûi líi c£m ìn ¸n Ban gi¡m hiằu Trữớng Ôi hồc Quy Nhỡn, Phỏng
o tÔo Sau Ôi hồc, Khoa ToĂn, cũng quỵ thƯy cổ giĂo giÊng dÔy lợp cao hồc Phữỡng
phĂp ToĂn sỡ cĐp khõa 22 Â dy cổng giÊng dÔy trong suốt khõa hồc, tÔo iÃu kiằn
thuên lủi cho tổi trong quĂ trẳnh hồc têp v thüc hi»n · t i.
Nh¥n ¥y tỉi cơng xin ch¥n th nh c£m ìn sü hé trđ v· m°t tinh th¦n cõa gia
ẳnh, bÔn b  luổn tÔo mồi iÃu kiằn giúp ù  tổi hon thnh tốt khõa hồc v
luên vôn ny.
Mc dũ luên vôn ữủc thỹc hiằn vợi sỹ nộ lỹc cố gưng hát sực cừa bÊn thƠn, những
do iÃu kiằn thới gian cõ hÔn, trẳnh ở kián thực v kinh nghiằm nghiản cựu cỏn hÔn
chá nản luên vôn khõ trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt. Tổi rĐt mong nhên ữủc nhỳng gõp
ỵ cừa quỵ thƯy cổ giĂo  luên vôn ữủc hon thiằn hỡn.
Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn.


4

Chữỡng 1
CĂc hm số sỡ cĐp v nh lỵ
Liouville
Trong Chữỡng ny, chúng tổi trẳnh by hai vĐn Ã: Vnh vi phƠn v nh lỵ Liouville. PhƯn tiáp theo cừa Chữỡng, chóng tỉi nghi¶n cùu mët sè ¡p dưng cõa ành lỵ
Liouville cho tẵnh sỡ cĐp cừa mởt số tẵch phƠn.

1.1 Vnh v trữớng vi phƠn

1.1.1 CĂc khĂi niằm v tẵnh chĐt
nh nghắa 1.1.1
:RR

([5])

.

Cho

R

l mởt vnh giao hoĂn cõ ỡn v

1.

Ta gồi Ănh xÔ

ữủc gồi l Ănh xÔ Ôo hm náu



(a + b) = ∂(a) + ∂(b)

, ∀a, b ∈ R.


 ∂(ab) = ∂(a)b + a∂(b)
Mët v nh ÷đc trang bà mët Ôo hm cử th gồi l
ta thữớng viát


(a) = a0 .

l vnh vi phƠn. Trữớng

Mằnh à 1.1.2

([5])

MiÃn nguyản

R

R

vnh vi phƠn.

ữủc gồi l mởt

ữủc gồi l mởt

miÃn nguyản vi phƠn

trữớng vi ph¥n

. Cho R l  mët v nh vi ph¥n. Khi â

1) 1'=0.
2) ∂(n1) = 0 vỵi måi n ∈ Z.
3) ∂(na) = n∂(a) vỵi måi a ∈ R, n ∈ Z.


º thuên tiằn, ngữới

náu

R

náu

l vnh vi phƠn.

R


5

Chùng minh.
2) Ta câ

10 = (1 · 1)0 = 10 · 1 + 1 · 10

1) Ta câ

n¶n

10 = 10 + 10 .

Do â

10 = 0.


∂(n1) = n∂(1) = n0 = 0.

3) Ta chùng minh t÷ìng tü nh÷ trong 2) bơng phữỡng phĂp quy nÔp theo

Mằnh à 1.1.3

([5])

n.

. Cho R l mởt vnh vi phƠn. Khi õ, vợi mồi a R thẳ (a ) =
n 0

nan1 a0 .
Chựng minh.
Vợi

n=2

Ta chựng minh mằnh à bơng phữỡng phĂp quy nÔp.

(a2 )0 = (aa)0 = a0 a + aa0 = 2aa0 .

th¼

Gi£ sỷ mằnh à úng vợi

n = k,


ta cõ

Ta cƯn chựng minh m»nh · óng vỵi

(ak )0 = kak−1 a0 .
n = k + 1.

Thªt vªy,

(ak+1 )0 = (ak a)0
= (ak )0 a + ak a0
= kak−1 a0 a + ak a0
= kak a0 + ak a0
= (k + 1)ak a0 .
n = k + 1.

Vêy mằnh à úng vợi

Mằnh à 1.1.4

([5])

. Cho R l mởt trữớng vi phƠn. Khi õ, vợi mồi a R \ {0} thẳ
(a1 )0 = −a−2 a0 .

Chùng minh.
Do â

V¼


0 = 10 = (aa−1 )0 = a0 a−1 + a(a−1 )0

n¶n

a(a−1 )0 = −a0 a−1 .

(a−1 )0 = −a−2 a0 .

M»nh · 1.1.5

. Cho R l mởt trữớng vi phƠn. Khi õ, vợi mồi a

([5])

b ∈ R \ {0} th¼
∂
Chùng minh.

Ta câ

a
a0 b − ab0
=
.
b
b2

(ab−1 )0 = a0 b−1 + a(b−1 )0 = a0 b−1 + a(−b−2 b0 ) = (a0 b − ab0 )(b2 ).

iÃu ny cho thĐy rơng náu


Chú ỵ. Náu

R v

Q R,

mội phƯn tỷ cừa

Q

l mởt hơng số.

R l mởt miÃn nguyản vi phƠn thẳ trữớng cĂc thữỡng F sinh bi R vợi php

toĂn Ôo hm l mởt trữớng vi phƠn.


6

Vẵ dử 1.1.6.

Mồi vnh giao hoĂn

R

cõ ỡn v

d(a) = 0,

1


vợi php toĂn Ôo hm tƯm thữớng

a R,

l mởt vnh vi phƠn.

Vẵ dử 1.1.7.

Cho

P (x)

thổng thữớng. Khi õ

l vnh cĂc a thực cõ hằ số thỹc vợi php toĂn Ôo hm

P (x)

l mởt vnh vi phƠn.

Hỡn nỳa, trữớng cĂc thữỡng cừa
Cho nản

R(x)

Vẵ dử 1.1.8.

P (x)


l trữớng

R(x)

cĂc phƠn thực cõ hằ số thỹc.

l mởt trữớng vi phƠn vợi php toĂn Ôo hm thổng thữớng.

Vnh cĂc hm thỹc khÊ vi vổ hÔn, vnh cĂc hm chnh hẳnh trản mt

phng phực vợi php toĂn Ôo hm thổng thữớng l cĂc vnh vi phƠn.

nh nghắa 1.1.9
l vnh con cừa

Nhữ vêy,

R

([5])

.S

ữủc gồi mởt vnh con vi phƠn cừa vnh vi phƠn

R

náu

S


v õng kẵn vợi php toĂn Ôo hm.

SR

l vnh con vi phƠn náu

1 S , a, b ∈ S

th¼

a−b ∈ S

v 

a∈S

th¼

a0 ∈ S .
Mët cĂch tữỡng tỹ, ideal

I

cừa vnh vi phƠn

R ữủc gồi l ideal vi phƠn náu I

õng


kẵn vợi php toĂn Ôo hm.

nh nghắa 1.1.10

([5])

.

Cho

R, S

l cĂc vnh vi phƠn. nh xÔ

:RS

ữủc gồi

l mởt ỗng cĐu vi phƠn náu




(a + b) = (a) + ϕ(b)







ϕ(ab)
= ϕ(a)ϕ(b)



ϕ(1)






ϕ(a0 )

M»nh · 1.1.11

=1
= (ϕ(a))0 .

. Cho R, S l  c¡c v nh vi ph¥n v  ϕ : R S l mởt ỗng cĐu

([5])

vnh. Khi õ
1) ker = x ∈ R : ϕ(x) = 0 l  ideal cừa R,






2) nh xÔ f : R/ ker f Imf l mởt ng cĐu vi phƠn.


7

Chựng minh.

1) Dạ thĐy rơng

Ta chựng minh rơng

ker

ker

l mët v nh con cõa

l  ideal. Vỵi måi

R.

x ∈ ker ϕ,

vỵi måi

a∈R

th¼

ϕ(ax) = ϕ(a).ϕ(x) = ϕ(a).0 = 0.

Do â

ax ∈ ker .

Chựng minh tữỡng tỹ thẳ

Ta chựng minh rơng
õ

(a) = 0.

Ta câ

ker ϕ

xa ∈ ker ϕ,

f

a ∈ S , x ∈ ker .

õng kẵn vợi php toĂn Ôo hm. GiÊ sỷ

(a0 ) = (ϕ(a))0 = (00 ) = 0

2) Nhªn x²t rơng

vợi

hay


a ker .

Khi

a0 ker .

l mởt song Ănh. Hỡn nỳa, vợi mồi

aR

thẳ

f (a)0 = (f (a))0 = f (a0 ) = f (a0 ) = f (a)0 .
V¼ vêy

f

l mởt ng cĐu vi phƠn.

Mằnh à 1.1.12

([5])

. Cho R l  mët v nh vi ph¥n. Khi â


C = ker(∂) = x ∈ R : x0 = 0

l  mët v nh con vi phƠn cừa R. Hỡn nỳa, náu R l mởt trữớng vi phƠn thẳ C l mởt

trữớng vi phƠn.
Chựng minh.
GiÊ sû

Ta câ

a, b ∈ C .

1∈C

v¼

10 = 0.

Khi â






(a − b)0



(ab)0
hay

a−b∈C


Vªy

C

Gi£ sû

v 

= a0 − b 0 = 0 − 0 = 0
= a0 b + ab0 = 0b + a0 = 0

ab ∈ C .

l  mët v nh con vi ph¥n.

R

l  mởt trữớng. Khi õ, vợi mồi

a C , a 6= 0

th¼

(a−1 )0 = −a−2 a0 = −a−2 0 = 0.
cho nản

a1 C,

Vẵ dử 1.1.13
phƠn vợi


Q()
v

=

hay

([5])

.

C

l mởt trữớng.

Trữớng cĂc hm phƠn thực vợi hằ số thỹc

d
. Hỡn nỳa,
dx

(ng cĐu vợi

( 3 )0 = 3 2 ,. . ..

R(x)

Q(x))


cõ trữớng cĂc hơng l

R(x)

l mởt trữớng vi

R.

l mởt trữớng vi phƠn vỵi

∂=

d
. Nâi c¡ch kh¡c,
dπ

π0 = 1


8
Sau Ơy, chúng tổi trẳnh by mởt số vĐn à và m rởng vnh vi phƠn. Trong thỹc
tá, ngữới ta quan tƠm án cĂc m rởng vnh vi phƠn (trữớng vi phƠn) sao cho cĂc vnh
hơng số (trữớng hơng số) l trũng nhau.

nh nghắa 1.1.14.
S

vi phƠn
trản


S

náu

R

Vnh vi phƠn

R

ữủc gồi l mët v nh vi ph¥n mð rëng cõa v nh

l  mët mð rởng vnh cừa

l trũng vợi Ănh xÔ Ôo hm trản

S

v Ănh xÔ Ôo hm trản

R

khi hÔn chá

S.

Mởt cĂch tữỡng tỹ ta nh nghắa cho m rởng trữớng vi phƠn.

Mằnh à 1.1.15


([5])

. Cho R l mởt miÃn nguyản vi phƠn. Khi õ Ănh xÔ Ôo hm

trản R ữủc m rởng duy nhĐt trản trữớng cĂc thữỡng F r(R) mởt cĂch duy nhĐt.

Mằnh à 1.1.16

([5])

. Cho F l mởt trữớng vi phƠn vợi c số 0 v K/F l mởt m

rởng Ôi số. nh xÔ Ôo hm trản F ữủc m rởng trản K mởt cĂch duy nhĐt. Khi õ,

K l mởt trữớng vi phƠn.
Chựng minh.

Theo Mằnh à 5.3.1 trong [5] thẳ Ănh xÔ Ôo hm trản trữớng

m rởng trản

K.

F

ữủc

Ta chựng minh tẵnh duy nhĐt.
Vẳ


K/F l mởt m rởng Ôi số nản vợi mội K tỗn tÔi f (x) F[x] l a thực tối

tiu cừa



trản

F.

Gồi

Df (x)

l Ôo hm hẳnh thực cừa

nguyản tố cũng nhau. iÃu ny nghắa l
t

f (x).

Khi â

f (x)

v 

Df (x)

Df (α) 6= 0.


f (x) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 .

Khi â

(f (x))0 = nxn−1 x0 + (a0n−1 xn−1 + (n − 1)an−1 xn−2 x0 ) + · · · + (a01 x + a1 x0 ) + a00 .
Do â,

(f (x))0 = Df (x)x0 + g(x)
vỵi

g(x) = a0n−1 + · · Ã + a01 x + a00 .
Vẳ



l nghiằm cừa

f (x)

nản

(f (α))0 = 0.

Do â

0 = Df (α)α0 + g(α).


9

Suy ra



biu diạn duy nhĐt theo

g()
.
Df

Ta biát rơng, têp c¡c sè húu t
câ

Q

l  mët tr÷íng câ °c sè

0.

√
X²t

√
5 ∈ Q[ 5].

Ta


( 5)2 5 = 0.


LĐy Ôo hm hai vá vợi nhên xt trữớng hơng số l

Q

ta ữủc


2. 5( 5)0 − 0 = 0.
Do â

√
( 5)0 = 0.

1.1.2 Mð rëng logarit v  mð rëng mơ
ành ngh¾a 1.1.17
1)

mð rëng logarit

2)

m rởng mụ

.

Cho

F

náu tỗn tÔi


náu tỗn tÔi

nh nghắa 1.1.18
vi phƠn m rởng

([5])

([5])

E/F

.

l mởt trữớng vi phƠn.

sF

sF

Cho

F

sao cho

sao cho

t0 =


F(t)/F

ữủc gồi l

s0
.
s

t0 = ts0 .

l mởt trữớng vi phƠn vợi trữớng hơng số

C.

Trữớng

ữủc gồi l mởt m rởng sỡ cĐp náu tỗn tÔi dÂy cĂc trữớng vi

phƠn lỗng nhau

F = F0 ⊆ F1 ⊆ F2 ⊆ . . . ⊆ Fl = E
trong õ

Fj

l cĂc trữớng cõ cũng trữớng hơng số v cĂc m rởng

Fj+1 /Fj

l Ôi số,


logarit v mụ.

Bờ Ã 1.1.19

([5])

. Cho F l trữớng vi phƠn vợi m rởng trữớng vi phƠn F (t). GiÊ sỷ

F (t) v F cõ cĂc cũng hơng số v t l siảu viằt tr¶n F.
1) Cho t0 ∈ F v  f (t) ∈ F[t] vỵi deg(f (t)) > 0. Khi â, (f (t))0 ∈ F[t] v  deg(f (t)) =

deg(f (t)0 ) n¸u v  ch náu hằ số Ưu tiản cừa f (t) khổng l hơng số. Náu hằ số
0

Ưu tiản cừa f (t) l hơng số thẳ deg(f (t) ) = deg(f (t)) − 1.


10
t0
t

∈ F. Khi â, vỵi måi a ∈ F∗ , n ∈ Z6=0 , (atn )0 = htn , vỵi h ∈ F∗ . Hìn núa,



0
n¸u f (t) ∈ F [t] th¼ deg f (t) > 0. Ngo i ra, f (t) = cf (t) èi vỵi c¡c c ∈ F

2) Cho

n¸u f (t) l  mët ìn thùc.

Chùng minh.

Ta gi£ sû

f (t) = an tn + an−1 tn−1 + · · · + a0 ∈ F [t]
trong â

•

an 6= 0

v 



deg f (t) = n > 0.

Ta chựng minh khng nh 1).

Ôo h m cõa

f (t)

ta ÷đc



(f (t))0 = an 0 tn + (nan t0 + a0n−1 )tn−1 + ((n − 1)an−1 t0 + a0n−2 )tn−2 + · · · + a1 t0 + a00 .
Vẳ

F


F
vẳ

l trữớng vi phƠn nản

t0 F.

Vẳ

an

a0j F

náu

aj F.

khổng l hơng số nản

Do õ, tĐt cÊ cĂc hằ số Ãu nơm trong

a0n 6= 0.

Do õ, bêc cõa nâ khỉng bà tri»t

ti¶u khi v  ch¿ khi h» số Ưu tiản khổng phÊi l hơng số. Trong trữớng hñp n y, ta câ

a0n = 0.

Gi£ sû


(nan t0 + a0n−1 ) = 0

(tực l hằ số cừa

tn1

bơng

0).

iÃu ny cõ nghắa l ,

(nan t0 + an−1 )0 = na0n t + nan t0 + a0n−1 = 0 (ta ang gi£ sû a0n = 0). Vẳ vêy, tỗn tÔi c F
nan 6= 0

sao cho

nan t + an1 = c.

trản

iÃu ny mƠu thuăn vợi giÊ thiát

F.

Vẳ

v


nan
t

v

an1 F

nản ta suy ra ữủc

siảu viằt trản

F.

Vẳ vêy,

t

l Ôi số

(nan t0 + a (t))0

l

n 1.
ã

Ta chùng minh kh¯ng ành 2).

Gi£ sû


t0
t

= b ∈ F.

Cho

a ∈ F .

Khi õ vẳ

t0 = bt

nản



(atn )0 = a0 tn + natn−1 t0 = a0 + nab tn .
N¸u

a0 + nab = 0

c = atn .

Vẳ

thẳ

a 6= 0

tẵnh siảu viằt cừa


t.

atn

v

l hơng. Vêy

a, c F,

Do õ,

t

l nghiằm cừa a thực

iÃu ny cõ nghắa l

a0 + nab 6= 0

(tực l,

t

Ôi số trản

atn0 = htn )

vợi


Chú ỵ rơng php tẵnh trản cho thĐy rơng mội số hÔng khĂc
số hÔng khĂc

f (t)

0

(cịng bªc) trong

l  mët a thùc kh¡c

do â

(f (t))0 = cf (t)

0,

f (t).

gi£ sû

trong â,

Khi â,

f (t) = atn ,

c = h/a F .


aX n + c
F.

vợi hơng số

MƠu thuăn vợi

h = a0 + nab F .
0 cừa f (t)0

sinh ra mët

deg(f (t)) = deg((f (t))0 .

Ngo i ra, náu

tứ php tẵnh trản suy ra

(atn )0 = htn )


11
Ngữủc lÔi, giÊ sỷ rơng


0
f (t) = cf (t)

vợi

c F.


Khi â



c = h \ aj = a0j + jaj b \ aj
vợi mồi

aj 6= 0.

GiÊ sỷ rơng,

am , al 6= 0

vỵi måi

m 6= l.

Khi â,

a0m + mam b
a0 + lal b
= l
.
am
al
i·u â câ ngh¾a l ,






a0l + lal b am = a0m + mam b al .
Do â,

0
am tm
(a0m + mam b) al tm+l − (a0l + lal b)am tm+l
=
= 0.
al tl
a2l t2l
 m
am t
Nhữ vêy,
= z vợi z l hơng số thuởc F. Cho nản, am tm zal tl = 0 (t l  mët
al tl


0 tr¶n F). Khi õ, t Ôi số trản F (mƠu thuăn). Do õ, cõ nhiÃu nhĐt mởt


0 (nghắa l f (t) l mởt ỡn thực).

a thực khĂc
hằ số khĂc

1.2 nh lỵ Liouville
Trong mửc ny, chúng tổi nghiản cựu cĂc vĐn à và nh lỵ Liouville v mởt số Ăp
dửng trong bi toĂn xĂc nh tẵnh chĐt sỡ cĐp cừa mởt số tẵch phƠn. Trữợc hát, chúng
tổi nhưc lÔi và cĂc hm số sỡ cĐp.

1.2.1 CĂc hm số sỡ cĐp

nh nghắa 1.2.1.

Mởt hm số ữủc gồi l sỡ cĐp náu nõ ữủc xƠy dỹng tứ

bơng cĂch sỷ dửng cĂc php toĂn Ôi số, lơy thøa ho°c loagrit.

V½ dư 1.2.2.

C¡c h m sè sau l  h m sè sì c§p

√
3

s

5

2)

e x +1−7
√
f (x) =
.
ln 9x15 + x4 − 1 + ln(e1/x − 6)
√
f (x) = ln x2 + 1,

3)

f (x) = e


1)

√

3x2

.

C

v 

x


12

Vẵ dử 1.2.3.

CĂc hm số lữủng giĂc

eix eix
eix + e−ix
v  cos x =
.
2i
2i
√
√

arcsin x = −i ln(ix + 1 − x2 ) v  arccos x = −i ln(x + x2 − 1)
sin x =

l  c¡c h m sì c§p.
Sû dưng ¯ng thùc

arctan x = 2i (ln(1 − ix) − ln(1 + ix))

thẳ

arctan x

cụng l hm

số sỡ cĐp.

1.2.2 nh lỵ Liouville
nh lỵ 1.2.4

([5],(Liouville))

. Cho F l trữớng vi phƠn vợi c sè 0 v  α ∈ F. N¸u

y 0 = α câ nghi»m y trong mð rëng sì c§p cõa F (vợi cĂc hơng số giống nhau), thẳ tỗn
tÔi cĂc hơng sè c1 , c2 , . . . , cn v  c¡c ph¦n tû u1 , u2 , . . . , un , v ∈ F sao cho

α = v 0 + c1 ·
Chùng minh.

Gi£ sû r¬ng


y=

R

α,

u0
u0
u01
+ c2 · 2 + · · · + cn · n .
u1
u2
un
nghi»m cừa

y0 =

l nghiằm cỡ bÊn trản

F.

Khi

õ tỗn tÔi mởt dÂy cĂc trữớng vi phƠn lỗng nhau

F F(t1 ) ⊆ F(t1 , t2 ) ⊆ . . . ⊆ F(t1 , t2 , . . . , tN )
y ∈ F(t1 , . . . , tN ),

sao cho tĐt cÊ cĂc trữớng ny cõ cũng cĂc hơng số,

số, logarit hoc mụ trản

v mội

ti

l Ôi

F(t1 , . . . , ti1 ).

Ta chựng minh bơng quy nÔp. Náu
GiÊ sỷ kát quÊ úng án bữợc thự

N = 0, y F
N 1.

thẳ iÃu õ ữủc chựng minh.

Chú ỵ rơng dÂy lỗng nhau vợi

F

l triằt

tiảu bữợc thự

N 1. Do õ, theo Nguyản lẵ quy nÔp, tỗn tÔi cĂc h¬ng sè c1 , c2 , . . . , cn

v  c¡c ph¦n tû


u1 , u2 , . . . , un , v ∈ F(t1 )

sao cho

0

α=v +

n
X

ci ·

i=1

u0i
.
ui

Ta ch cƯn chựng minh rơng cĂc phƯn tỷ nơm trong
mởt số trữớng hủp:

Trữớng hủp 1.

trong

t1

F (khổng nơm trong F(t1 )). Ta xt


l Ôi số hoc siảu viằt (logarit hoc mụ).

GiÊ sỷ

t1 = t

l Ôi số trản

F.

Khi õ, tỗn tÔi cĂc a thùc kh¡c

0

F[t] sao cho ui = Ui (t) v  v = V (t). X²t c¡c li¶n hđp ríi nhau cõa t trong tr÷íng


13
õng Ôi số cừa
BƠy giớ,

F(t) (hoc mởt số trữớng tĂch trản F(t)) ta kẵ hiằu l t = 1 , τ2 , . . . , τs .

E = F(τ1 , . . . , τs )

l  mët mð rëng Ôi số cừa

F

nản nõ m rởng duy nhĐt dữợi


dÔng mởt trữớng vi phƠn.
Khi õ tỗn tÔi mởt ng cĐu cừa
thnh

j

v gồi Ănh xÔ ny l

j ,

E

cố nh cĂc phƯn tứ cõa

F

sao cho bi¸n

t = τ1

khi â ta câ


α = σj () = j V (t)0 +

n
X




ci Ã

i=1
Nhên xt rơng vẳ cĂc trữớng cõ c số

Ui0 (t)
Ui (t)
0

nản

0

= V (j ) +

n
X
i=1

s1

Ui0 (j )
ci Ã
.
Ui (j )

tỗn tÔi. BƠy giớ, mởt cĂch ng

cỹ, cởng tĐt cÊ cĂc biu thực liản hđp n y v  chia cho


s,

ta ÷đc

(A1 . . . As )0
A0 (A2 . . . As ) + (A1 )A02 (A3 . . . As ) + · · · + (A1 . . . As−1 )A0s
= 1
A1 . . . As
A1 . . . As
0
0
0
A
A
A
= 1 + 2 + ... + s.
A1 A2
As
i·u n y suy ra r¬ng

s
s
1X 1X
α=
=
σj (α)
s j=1
s j=1



n
s
0
X U (τj )
1 X 0

V (τj ) +
ci i
=
s j=1
U
(τ
)
i
j
i=1


0
s
n
X
1X 0
ci Ui (τ1 ) . . . Ui (s )
Ã
.
=
V (j ) +
s j=1
s

U
(
)
.
.
.
U
(
)
i
1
i
s
i=1
Chú ỵ rơng,

1
(V 0 (1 )
s

+ · · · + V 0 (τs )) ÷đc cè ành
0
(Ui (τ1 )...Ui (τs ))

nâ l  èi xùng. T÷ìng tỹ nhữ vêy,

Ui (1 )...Ui (s )

qua tĐt cÊ cĂc tỹ ỗng cĐu vẳ


ữủc cố nh qua tĐt cÊ cĂc tỹ

ỗng cĐu vẳ nõ l ối xựng . Do õ, cĂc phƯn tỷ ny nơm trong

v =

1
s



V (1 ) + · · · + V (τs ) ∈ F

v 

ui = Ui (τ1 ) . . . Ui (τs ) ∈ F

F.

Bơng cĂch t

khi õ nh lỵ ữủc

chựng minh xong.

Trữớng hủp 2.

Vẳ

t


GiÊ sỷ t1

= t l siảu viằt trản F. Ta câ v, u1 , . . . , un ∈ F(t1 ) = F(t).

l  si¶u vi»t, ta x²t a thùc hỳu t theo bián

vêy cõ th phƠn tẵch thnh nhƠn tỷ v vợi bĐt ký
trong õ

ai F(t)

l ỡn thực bĐt khÊ quy,

t

vợi hằ số trong

F.

CĂc a thực nhữ

w = ui , ta câ w = a1 (t)k1 . . . al (t)kl · b,

kj ∈ Z 6= 0

v 

b ∈ F∗

ta câ



0
ba1 (t)k1 · · · al (t)kl
b0
a01 (t)
a0l (t)
w0
=
=
+
k
·
+
·
·
·
+
k
·
.
1
l
w
ba1 (t)k1 · · · al (t)kl
b
a1 (t)
al (t)


14


ui

Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, ta cõ th giÊ sỷ méi

l  mët ìn thùc b§t kh£ quy

a(t) ∈ F[t] ho°c mởt phƯn tỷ cừa F. ối vợi v , phƠn tẵch nõ thnh cĂc phƠn thực thnh
phƯn m mội thnh phƯn cõ dÔng
v

g(t) F[t]

sao cho

g(t)
vợi
f (t)

f (t) F[t]

l ỡn thực bĐt khÊ quy no õ

deg(g(t)) < deg(f (t)).

Trữớng hủp 2A. GiÊ sỷ rơng t l logarit trản F.
iÃu ny cõ nghắa l tỗn tÔi

f (t) F[t],
khÊ quy,


thẳ

(f (t))0

(f (t))0 F[t]

cõ bêc nhọ hỡn

1

nguyản tố cũng nhau. Chú ỵ rơng



g(t)
f (t)

0

số hÔng cõ mău l

f (t).

Vẳ vêy, náu

Vẳ

f (t)


l bĐt

(g(t))0 (f (t)) g(t) Ã Ã (f (t))τ−1 (f (t))0
(f (t))2τ
(g(t))0
τg(t)(f (t))0
=
−
.
(f (t))τ
(f (t))τ+1

v 

(f (t))0

hay

·u nhä hỡn bêc cừa

(f (t))0 .

(f (t))+1 .

f (t).

f (t)

Vẳ


l bĐt khÊ quy

Do õ, biu diạn phƯn phƠn thực cừa

v0

gỗm cĂc

Vẳ vêy, nõ xuĐt hiằn trong biu diạn phƠn thực cừa

0 s

nản nõ khổng cõ thnh phƯn phƠn thực trong biu diạn cừa nõ. Vẳ vêy,

cĂc số hÔng khổng th xuĐt hiằn trong biu diạn cừa

v 0 s.

Tữỡng tỹ nhữ vêy, chúng

cụng khổng xuĐt hiằn trong biu diạn cừa ui . Do â, u1 , . . . , un
n
X
u0
0
Ta câ α = (V (t)) −
ci i vỵi ci , ui , u0i v  α ·u trong
ui
i=1
Do â,


∈ F.

=

g(t)

g(t)

a0
a

t0 =

bªc cõa

f (t)

nản khổng chia hát

F

(f (t))0

v

BƠy giớ, bêc cừa

Những


sao cho

v

t0 =

a0
. Do â,
a

a ∈ F∗

v = V (t) = ct + d
a0

(V (t))0 = c a + d0

vỵi

vỵi

a, d ∈ F

c, d F.

v

a

Những


v

cõ bêc

0

F v v = V (t) F[t].
F.

nản

Do õ,

c

(V (t))0 F.

l hơng số. Do õ,

l h¬ng sè. Ta câ

n

α = d0 + c

a0 X u0i
+
ci ,
a

ui
i=1

Ơy l iÃu phÊi chựng minh.

Trữớng hủp 2B. GiÊ sỷ rơng t l mụ trản F.

iÃu ny cõ nghắa l
hát

(f (t))0

f (t) 6= t
f (t) 6= t

ch¿ khi

khi â
th¼

f (t)

f (t)

(f (t))0
f (t)

t0
t


= b0

vỵi

b ∈ F.

Suy ra,

deg(f (t)) = deg((f (t))0 )

l mởt ỡn thực. Vẳ vêy, náu

khổng l ỡn thực cho nản

f (t)

f (t)

f (t).

f (t)

chia

l ỡn thực bĐt khÊ quy v

khổng chia hát

cõ th ữủc viát dữợi dÔng a thực theo bián


thực thẵch hủp vợi mău

v

t

(f (t))0 .

Do õ, náu

cởng vợi mởt phƠn


15
Chúng ta cõ ữủc mởt sỹ mƠu thuăn vẳ náu
thực cừa

v

thẳ biu diạn phƠn thực cừa

v0

g(t)
xuĐt hiằn trong biu diạn phƠn
(f (t))

cõ mău

(f (t))+1 .


Do õ, nõ xuĐt hiằn trong

F. Lêp luên tữỡng tỹ ối vợi u0i s. Do õ, cĂc phƠn thực phÊi cõ dÔng
P j
iÃu ny suy ra v = V (t) =
aj t vỵi aj F, trong õ tờng chÔy trản

biu diạn cừa

f (t)m = tm .

mởt têp hỳu hÔn cĂc số nguyản (mởt số lụy thứa cõ th Ơm). Tữỡng tỹ nhữ vêy, tĐt
cÊ

ui F

ui = t ,

ngoÔi trứ

khổng mĐt tẵnh tờng qu¡t, gi£ sû

Khi â

t0
t

Nh÷ng


u1 = t.

n
n
X
t0 X u0i
u0i
ci = c1 Ã +
ci .
ui
t
ui
i=1
i=2

= b0 F .

Vẳ vêy

n
X
u0
(V (t)) = c1 b
ci i F.
ui
i=2
0

Nhưc lÔi rơng,
do â,


(atn )0 = htn

vỵi

V (t) = at0 = a ∈ F .

0

h F .

Những

(V (t))0

khổng cõ số hÔng

t

(thuởc

F),

Do õ,

n

n

X u0

t0 X u0i
α = c1 · +
ci + v 0 = (c1 b + v)0 +
ci i ,
t
u
ui
i
i=2
i=2
¥y l  i·u ph£i chùng minh.

H» qu£ 1.2.5

([5])

. Cho f (x), g(x) ∈ C(x) kh¡c 0 v  gi£ sû r¬ng g(x) khỉng l  hơng

số. Khi õ

Z

f (x)eg(x) dx

sỡ cĐp náu v ch náu

f (x) = a0 (x) + a(x)g 0 (x)
vỵi a(x) ∈ C(x).
Chùng minh.
Cho

ra, v¼

g

F = C(x)

v 

v 

f = f (x), g = g(x), . . . .
t = eg

sao cho

khỉng l  h¬ng số nản

GiÊ sỷ

F(t)

Ta viát

R

f eg dx =

R

f tdx


c1 , c2 , . . . , cn ∈ C

F(t)

t0
t

= g0

(ngh¾a l 

F(t)

l  mët mð rëng mơ). Ngo i

l  mët mð rëng si¶u vi»t cừa

F.

l sỡ cĐp, theo nh lỵ Lioville, tỗn tÔi

sao cho

f t = v0 +

n
X
u0
ci i .

ui
i=1

v, u1 , u2 , . . . , un ∈


16
Nhữ trong phƯn chựng minh nh lỵ Liouville, chúng ta cõ th tĂch mội
thnh tẵch lụy thứa cừa cĂc phƯn tỷ bĐt khÊ quy cừa
ta suy ra rơng mội

ui
/F

BƠy giớ, biu diạn

v

F[t]

ui
/ F

v sỷ dửng vi phƠn logarit

l cĂc ỡn thực bĐt khÊ quy rới nhau.

a
(vợi
bk


dữợi dÔng

deg(a) < deg(b)

v 

k ∈ Z, k > 0).

Khi â

a0 bk − akbk−1 b0
a0
abk
=

k
.
b2k
bk
bk+1
Chú ỵ rơng,

v0 = f t

P

u0

ci uii ,


deg(ui ) > 0

vợi

l ỡn thực bĐt khÊ quy rới nhau v ch

xuĐt hiằn trong cĂc mău cĂc lụy thứa Ưu tiản. iÃu ny cõ nghắa l

a0 bk akbk1 b0 = 0

a
( )0 = 0) ho°c k = 1 (ngh¾a l  ch lụy thứa Ưu tiản cừa b xuĐt hiằn trong phƠn
b

(tực l
thực).

BƠy giớ, náu

k = 1,

ta cõ

a0
b

ab0
v do õ số hÔng thự hai khổng th rút gồn (sau
b2




khi rút gồn ta cõ lụy thứa Ưu tiản cừa

F[t]).
b

M

b

bĐt khÊ quy cho nản

phÊi chia hát

b0 .

v=

pi t j

vợi

b

b = t.

pj F


deg(b) = deg(b0 ),

do õ

Những

hay

(trong

deg(a) < deg(b),

b0 = cb

vợi

c F.

vẳ vêy

Cho nản

b

b = t.

a0 b = kab0 .

Nhữ vêy,


v

b

chia hát

mău

kab0

theo lêp

bk = tk .

Do õ,

(tờng ny lĐy trản têp hỳu hÔn cĂc số nguyản).

u0i s.

Chú ỵ rơng,

hoc ỡn thực bĐt khÊ quy. Do õ

hủp ny

b0 .

hoc


Do õ biu diạn phƠn thực cừa

BƠy giớ, ta lêp luên cho

uj
/ F

a

bĐt khÊ quy nản

a0 bk akbk1 b0 = 0

luên trản ta suy ra

P

chia h¸t

i·u n y suy ra

ph£i l  mët ìn thùc. M 
M°t kh¡c,

b

b xu§t hi»n). Do â b ph£i chia h¸t −ab0

Pn


0
0
i=1 ci ui /ui = f t − v = f t −

ui ∈
/ F

ch¿ câ thº l 

ui = t.

P

pi t j

v 

Trong tr֒ng

u0i /ui = t0 /t ∈ F.

Do â

n
X

ci u0i /ui ∈ F.

i=1
Ta câ


f t = v0 +
vỵi

q=

Pn

i=1

u0i /ui ∈ F.
t0 /t = g 0 ∈ F

n¶n

ft =

f 0 = p01 + 1p1 g 0 .

Cho

a = p1 F,

Nhưc lÔi rơng
cừa

t1

n
X

X
X
u0
ci i =
p0j tj +
pj jtj1 t0 + q
u
i
i=1

ta ữủc

Ngữủc lÔi, giÊ sỷ

f = a0 + ag 0

vỵi

P

a ∈ F.

p0j tj +

P

jpj g 0 tj + q .

f = a0 + ag 0 .
R g R 0

f e = (a + ag 0 )eg = aeg .

khi õ

Khi õ

ỗng nhĐt cĂc hằ số


17

1.2.3 Mët sè v½ dư ¡p dưng
V½ dư 1.2.6.

Chùng minh tẵch phƠn

Z

ln x
dx
xa

l sỡ cĐp náu v ch náu

a = 0.

Chựng minh.

khi õ tẵch phƠn tr thnh


Náu

a=0

Z

ln2 x
ln x
dx =
+C
x
2

nản tẵch phƠn  cho sỡ cĐp.
Náu
tÔi

a 6= 0

v giÊ sỷ tẵch phƠn  cho l sỡ cĐp. Khi õ theo Hằ quÊ 1.2.5 thẳ tỗn

g(x) C(x)

sao cho

1
1
= + g 0 (x).
x−1
x

Do â

g(x) = ln(x − a) − C ln x + c. Những iÃu ny l vổ lỵ vợi tẵnh chĐt g(x) C(x).

Vêy tẵch phƠn  cho khổng sỡ cĐp.

Vẵ dử 1.2.7

([5])

.

Chựng minh tẵch phƠn

Z

2

ex dx

khổng sỡ cĐp.

Lới giÊi.

p dửng Hằ quÊ 1.2.5, ta cõ

cĐp thẳ tỗn tÔi

a(x) ∈ C(x)


f (x) = 1

v 

g(x) = x2 .

Khi â n¸u

R

2

ex dx

sì

sao cho

1 = a0 (x) + 2xa(x).
Gi£ sû
sû

p(x)

a(x) =
v 

q(x)

p(x)

q(x)

vỵi

p(x), q(x) C[x]

v

q(x) 6= 0.

Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, giÊ

nguyản tố còng nhau. Khi â,

1=

p0 (x)q(x) − p(x)q 0 (x)
p(x)
+ 2x
.
2
(q(x))
q(x)

Suy ra

q(x)2 = p0 (x)q(x) − p(x)q 0 (x) + 2xp(x)q(x).


18

Mët c¡ch t÷ìng ÷ìng, ta câ

q(x)(q(x) − 2xp(x) − p0 (x)) = −p(x)q 0 (x).
Gi£ sû

q(x)

Nh÷ng

q(x)(q(x) − 2xp(x) − p0 (x)) = −p(x)q 0 (x).

(x − τ )k

câ mët nghi»m l

q 0 (x)

thẳ

,

thẳ

a(x) =

(vẳ

p(x)

v


q(x)

nguyản tố cũng nhau).

Vẳ vêy, náu

q(x)

cõ mởt nhƠn tỷ

phÊi cõ cũng mởt nhƠn tỷ nhữ vêy. iÃu ny vổ lỵ (q

mởt nhƠn tỷ bêc nhọ hỡn). Do õ,
khĂc,

p( ) = 0

p(x)
nản
c

a(x)

q(x)

vổ nghiằm (nghắa l

q(x) = c


0

(x)

phÊi cõ

l hơng số). Mt

phÊi l mởt a thực. Những

0 = deg(1) = deg(a0 (x) + 2xa(x)) = deg(u(x)) + 1
(mƠu thuăn). Do õ, khổng tỗn tÔi

R

Nhữ vêy,

2

ex dx

a(x)

nhữ vêy.

khổng sỡ cĐp. iÃu ny cõ nghắa l

2




Z

x

2

et dt

0

khổng sỡ cĐp.

Vẵ dử 1.2.8

([5])

.

Chựng minh tẵch phƠn

Z

ex
dx
x

khổng sỡ cĐp.

Chựng minh.


p dửng Hằ quÊ 1.2.5, ta cõ

sỡ cĐp, ta cõ mởt nghiằm

x(a0 (x) + a(x)).

Náu

a(x) ∈ C(x)

a(x) =

f (x) =

sao cho

1
x

1
v 
x

g(x) = x.

R

ex
dx

x

M°t kh¡c,

1 =

V¼ vêy, náu

= a0 (x) + 1a(x).

p(x)
thẳ
q(x)

a0 (x) =

(p0 (x)q(x) p(x)q 0 (x))
q(x)2

hay

q 2 (x) = x[p0 (x)q(x) − p(x)q 0 (x) + p(x)q(x)].
Gi£ sû r¬ng

q(x)

p(x) − q(x)].

câ mët nghi»m


τ 6= 0

vợi bêc

k.

Khi õ,

xp(x)q 0 (x) = q(x).[xp0 (x) +

iÃu ny dăn án mƠu thuăn nhữ Vẵ dử 1.2.7. Do â nghi»m duy nh§t


19
cu£
â,

q(x)

câ thº câ l 

q(x) = cxk

0.

k > 1.

vỵi

q(x)2 = x[p0 (x)q(x) p(x)q 0 (x)]


Vẳ

nản

0

l mởt nghiằm. Do

Khi õ,

xk (ckp(x)) = xp(x)kcxk−1
= xp(x)q 0 (x)
= q(x)[xp0 (x) + p(x) − q(x)]
= cxk [xp0 (x) + p(x) − cxk ].
Do â

kp(x) = xp0 (x) + p(x) cxk

nghiằm bơng

0.

Những khi õ

Do dõ, tẵch phƠn

R

ex

x

dx

p(x)

v

(k 1)p(x) = xp0 (x) cxk .Vẳ

v

q(x)

vêy,

p(x)

cõ mởt

khổng nguyản tố cũng nhau (mƠu thuăn).

khổng sỡ cĐp.

iÃu ny nghắa l phƯn thỹc v phƯn Êo cừa tẵch phƠn ny khổng sỡ cĐp. Do õ,
tẵch phƠn

Z
Si(x) =
0


t

sin t
dt
t

khổng sỡ cĐp.

Vẵ dử 1.2.9

([5])

.

Chựng minh tẵch phƠn

Z

1
dx
ln x

khổng sỡ cĐp.

Chựng minh.

Do â, n¸u

R


°t

du = x1 dx. Do â
Z
Z u
1
x
e
dx =
dx =
du.
ln(x)
x ln(x)
u

u = ln x.
Z

Khi õ,

1
dx sỡ cĐp thẳ
ln x

Z

ex
dx
x


sỡ cĐp. iÃu ny l vổ lỵ.

Vẵ dử 1.2.10.

Chựng minh tẵch phƠn


Z 
1 (x+ 1 )
1+x
e x dx
x
l sỡ cĐp.


20

Líi gi£i.
Chån

Ta x²t

a(x) = x

f (x) = 1 + x −

1
,
x


g(x) = x +

1
th¼
x

g 0 (x) = 1 −

1
.
x2

th¼ ta kiºm tra ÷đc

f (x) = a0 (x) + a(x)g 0 (x).
Nản theo Hằ quÊ 1.2.5 thẳ tẵch phƠn l sỡ cĐp.
Ta cõ th tẵnh trỹc tiáp tẵch phƠn 1.2.10 nhữ sau

Z

T½nh

Z
Z
1
1
1 (x+ 1 )
(x+ x1 )
x

dx =
e
dx + (x − )e(x+ x ) dx
(1 + x − )e
x
x
= I1 + I2 .

I1 .

°t



u

(x+ x1 )

= e


dv =

dx



du = (1 −
⇒


v =

1
1
)e(x+ x ) dx
x2

x

Suy ra

(x+ x1 )

I1 = xe

Vªy

Z
−

1
1
1
(x − )e(x+ x ) dx = e(x+ x ) − I2 .
x

1

I = xe(x+ x ) + c.


V½ dư 1.2.11

([5])

.

Chùng minh tẵch phƠn

Z

vợi

n

l số nguyản, l khổng sỡ cĐp vợi mồi

Lới gi£i.

2

x2n eax dx
a 6= 0.

x2n = R0 (x) + 2axR(x) khæng câ nghi»m húu t R(x) .
p(x)
, trong â p(x), q(x) l  c¡c a
= R0 (x) + 2axR(x), vỵi R(x) =
q(x)

Ta chùng minh


Gi£ sû

x2n

thùc

nguy¶n tè cịng nhau. Do â

R0 (x) =

p0 (x)q(x) − p(x)q 0 (x)
.
q 2 (x)

Ta câ

x2n q 2 (x) = p0 (x)q(x) − p(x)q 0 (x) + 2axp(x)q(x).

(1.2.1)


21
Suy ra

[x2n q(x) − p0 (x) − 2axp(x)]q(x) = −p(x)q 0 (x).
Náu

x0


k

l nghiằm bởi

hỡn hoc bơng
Những

cừa

g(x)

thẳ

x0

(1.2.2)

l nghiằm cừa vá trĂi trong (1.2.2) vợi bêc lợn

k.

p(x), q(x)

nguyản tố cũng nhau nản

x0

l nghiằm bởi

k1


vá phÊi. iÃu

ny vổ lỵ.
khổng cõ nghiằm nản

q(x) C.

Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, lĐy

q(x) 1.

Vêy

q(x)

Khi õ, (1.2.1) trð th nh

x2n = p0 (x) + 2axp(x).

(1.2.3)

Ta chùng minh (1.2.3) vổ nghiằm bơng cĂch ỗng nhĐt hằ số. Vẳ
bián

x,

nản vợi

n1


thẳ

deg p(x) = 2n 1.

t

p(x) =

P2n1
j=0

p l mởt a thùc theo
cj x j .

Thay v o (1.2.3)

ta ÷đc

x

2n

=

2n−1
X

jcj x


j−1

j=0

=

2n−2
X

+

2n−1
X

2acj xj+1

j=0

(j + 1)cj+1 xj +

j=0

= c1 +

2n
X

2acj−1 xj

j=1

2n−2
X

[(j + 1)cj+1 + 2acj−1 ]xj + 2ac2n−2 x2n−1 + 2ac2n−1 x2n .

j=1
Suy ra

c1 = 0, c2n−2 = 0, 2ac2n−1 = 1 v  (j +1)cj+1 +2acj−1 = 0 vỵi j = 1, 2, . . . , 2n−2.

c1 = 0 n¶n c3 = 0, c5 = 0, . . . , c2n−1 = 0. Những theo phữỡng trẳnh thự ba
1
c2n1 = . Do õ khổng tỗn tÔi a thực p(x) thọa mÂn (1.2.3) vợi n 1.
2a
Náu n 0 dạ thĐy (1.2.3) khổng nhên a thực no lm nghiằm. Do õ, khổng tỗn

Vẳ

tÔi hm hỳu t

R(x)

thọa mÂn phữỡng trẳnh vi phƠn  cho.

Vêy theo Hằ quÊ 1.2.5 tẵch phƠn

R

2


x2n eax dx

khổng sỡ cĐp.

Sỷ dửng Vẵ dử 1.2.11 cũng cĂc php ời bián v tẵch phƠn tứng phƯn ta cõ cĂc
khng nh sau.

Vẵ dử 1.2.12.

Chựng minh tẵch phƠn

Z
ln xdx