ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

PHẠM TUẤN NGHỊ

SỐ HYPERFIBONACCI
VÀ SỐ HYPERLUCAS

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

PHẠM TUẤN NGHỊ

SỐ HYPERFIBONACCI
VÀ SỐ HYPERLUCAS
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Ngô Văn Định

THÁI NGUYÊN - 2019

i

Mửc lửc
M Ưu
1 KhĂi niằm v mởt số tẵnh chĐt

1
4

1.1

Số Fibonacci v  sè Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Ma trªn vỉ hÔn EulerSeidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3

Sè hyperfibonacci v  sè hyperlucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4

Mët sè ¯ng thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Tờng nghch Êo v tẵnh lỗi lổgarit

4


21

2.1

Tờng cừa nghch Êo c¡c sè hyperfibonacci v  hyperlucas . . . . . 21

2.2

Tẵnh lỗi lổgarit cừa cĂc dÂy số hyperfibonacci v hyperlucas . . . 27

2.3

Sè hyperfibonacci suy rëng v  sè hyperlucas suy rëng . . . . . . . 30

K¸t luªn
T i li»u tham kh£o

35
36


1

M Ưu
DÂy số Fibonacci {Fn } v dÂy số Lucas {Ln } l hai dÂy số rĐt nời tiáng, ữủc
nhiÃu nh toĂn hồc quan tƠm nghiản cựu v  tẳm ra nhiÃu tẵnh chĐt thú v
cừa chúng. Hai dÂy số ny lƯn lữủt ữủc nh nghắa bi
F0 = 0, F1 = 1, Fn = Fn−1 + Fn−2 ,


(n ≥ 2),

L0 = 2, L1 = 1, Ln = Ln−1 + Ln−2 ,

(n 2).

v
Nôm 2008, Dil v Mezo [4]  sỷ dửng cĂc thuêt toĂn và ma trên vổ hÔn Euler
Seidel v ma trên vổ hÔn ối xựng  nghiản cựu v· c¡c d¢y sè n y. Trong â,
hai t¡c gi£ n y  nh nghắa cĂc dÂy số hyperfibonacci {Fn(r) } v c¡c d¢y sè
hyperlucas {Ln(r) }. Cư thº, hai d¢y sè ny lƯn lữủt ữủc nh nghắa bi
(r)
Fn

=

(r)

Ln =

n
X
k=0
n
X

(r1)

Fk


(r1)

Lk

(0)

(r)

, vợi Fn = Fn , F0
(0)

(r)

= 0, v  F1

(r)

= 1,

(r)

, vỵi Ln = Ln , L0 = 0, v L1 = 1.

k=0

ỗng thới, hai tĂc giÊ ny cụng  chựng minh ữủc mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn vÃ
hai loÔi dÂy số mợi ny dỹa vo cĂc thuêt toĂn liản quan án ma trên vổ hÔn
EulerSeidel.
Sau õ, cĂc loÔi dÂy số ny  thu hút sỹ quan tƠm nghiản cựu cừa mởt số
nh toĂn hồc. Nôm 2010, Cao v Zhao [2]  cổng bố mởt số kát quÊ và tẵnh

chĐt cừa dÂy sè hyperfibonacci v  d¢y sè hyperlucas. Cư thº, hå ¢ nghiản cựu
v thu ữủc mởt số ng thực và cĂc têng

X
j1 +j2 +···+jk =n

(r)

(r)

(r)

Fj1 Fj2 · · · Fjk v 

X
j1 +j2 +···+jk =n

(r) (r)

(r)

Lj1 Lj2 · · · Ljk .


2

Nôm 2012, Liu v Zhao [7] Â cổng bố mởt số kát quÊ liản quan án tờng vổ
hÔn cừa nghch £o cõa c¡c sè hyperfibonacci v  nghàch £o c¡c sè hyperlucas.
Bản cÔnh õ, hồ cụng cổng bố cĂc kát quÊ tữỡng tỹ ối vợi mởt m rởng cừa
cĂc dÂy số n y. °c bi»t, c¡c t¡c gi£ n y ¢ chùng minh ữủc rơng



!1
!1




X 1


X 1
= Fn − 1 v  
 = Ln − 1,

(1)
(1)
k=n

Fk

k=n

Lk

trong õ bÃc l kỵ hiằu hm sn (xem nh lỵ 2.1.2).
Nôm 2014, Zheng, Liu v Zhao [9]  cổng bố mởt số kát quÊ và tẵnh chĐt
lỗi, lóm lổgarit cừa c¡c d¢y sè hyperfibonacci, c¡c d¢y sè hyperlucas v  c¡c d¢y
sè suy rëng cõa chóng. °c bi»t, hå chùng minh ữủc rơng, vợi r 1, cĂc dÂy
(r)


(1)

(r)

{Fn }n1 , {Ln }n≥3 v  {Ln }n≥0 (r ≥ 2) l  lãm gổgarit (xem nh lỵ 2.2.4).

Mửc ẵch cừa luên vôn l trẳnh by lÔi mởt cĂch hằ thống cĂc kát quÊ nõi
trản. Nởi dung chẵnh cừa luên vôn ữủc chia thnh hai chữỡng. Trong chữỡng
1, chúng tổi trẳnh by lÔi mởt cĂch sỡ lữủc và dÂy số Fibonacci v dÂy số Lucas,
trẳnh by và ma trên vổ hÔn ối xựng, ma trên vổ hÔn EulerSeidel, sỷ dửng cĂc
ma trên ny  chựng minh mởt số ng thực liản quan án cĂc sè Fibonacci v 
c¡c sè Lucas. Sau â chóng tỉi tr¼nh b y kh¡i ni»m v· c¡c sè hyperfibonacci v 
c¡c sè hyperlucas, cĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa chúng v mởt số kát quÊ cừa Cao v
Zhao. Trong phƯn Ưu cừa chữỡng 2, chúng tổi trẳnh by cĂc kát quÊ cừa Liu v
Zhao và tờng vổ hÔn cĂc nghch Êo cừa cĂc số hyperfibonacci, cĂc số hyperlucas,
và mởt số tờng vổ hÔn cõ liản quan án cĂc nghch Êo ny. Trong phƯn tiáp
theo cừa chữỡng 2, chúng tổi trẳnh by mởt số kát quÊ cừa Zheng, Liu v Zhao
và tẵnh lỗi, lóm lỉgarit cõa c¡c d¢y sè hyperfibonacci v  d¢y sè hyperlucas. PhƯn
cuối cũng cừa chữỡng 2 ữủc dnh  trẳnh by v· d¢y hyperfibonacci suy rëng
v  d¢y hyperlucas suy rëng cịng mởt số kát quÊ và tờng vổ hÔn nghch Êo cừa
cĂc số hyperfibonacci v và tẵnh lỗi, lóm lổgarit cừa cĂc dÂy số m rởng ny.
Luên vôn ữủc hon thnh tÔi trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi
Nguyản dữợi sỹ hữợng dăn cừa TS. Ngổ Vôn nh. Tổi xin by tọ lỏng biát ỡn
sƠu sưc nhĐt tợi TS. Ngổ Vôn nh, ngữới  nh hữợng chồn à ti v tên tẳnh
hữợng dăn  tổi hon thnh luên vôn ny.
Tổi xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh tợi Phỏng o tÔo, cĂc thƯy cổ giĂo
dÔy cao hồc chuyản ngnh Phữỡng phĂp toĂn sỡ cĐp, trữớng Ôi hồc Khoa håc



3

- Ôi hồc ThĂi Nguyản  giúp ù tổi trong suốt quĂ trẳnh hồc têp v hon
thnh luên vôn tốt nghiằp.
Xin cÊm ỡn nhỳng ngữới thƠn trong gia ẳnh v tĐt cÊ nhỳng ngữới bÔn thƠn
yảu  hát sực thổng cÊm, chia s v tÔo iÃu kiằn tốt nhĐt cho tổi  tổi cõ th
hồc têp, nghiản cựu v thỹc hiằn luên vôn cừa mẳnh.
Xin chƠn thnh cÊm ỡn.
ThĂi Nguyản, thĂng 11 nôm 2019
Ngữới viát luên vôn

PhÔm TuĐn Ngh


4

Chữỡng 1
KhĂi niằm v mởt số tẵnh chĐt
Mửc ẵch cừa chữỡng ny l trẳnh by lÔi khĂi niằm v mởt số tẵnh chĐt cừa
cĂc dÂy số hyperfibonacci v cĂc dÂy số hyperlucas. Trữợc khi trẳnh by cĂc
nởi dung ny, chúng tổi trẳnh by lÔi khĂi niằm v mởt số tẵnh chĐt cừa dÂy số
Fibonacci v dÂy số Lucas dỹa vo thuêt toĂn liản quan án ma trên vổ hÔn
ối xựng. CĂc nởi dung trẳnh by trong chữỡng ny ữủc tham khÊo tứ bi bĂo
xuĐt bÊn nôm 2008 cừa Dil v Mezo [4] v bi bĂo xuĐt bÊn nôm 2010 cừa Cao
v  Zhao [2]. Ngo i ra, chóng tỉi tr¼nh b y mët số vĐn à và ma trên vổ hÔn
EulerSeidel dỹa theo t i li»u [5]. C¡c nëi dung v· ma trªn vỉ hÔn EulerSeidel
ữủc sỷ dửng  nghiản cựu cĂc tẵnh chĐt cõa c¡c sè hyperfibonacci v  c¡c sè
hyperlucas.

1.1 Sè Fibonacci v  số Lucas

Trong mửc ny, chúng tổi nhưc lÔi khĂi niằm và số Fibonacci v số Lucas.
ỗng thới chúng tổi trẳnh by thuêt toĂn và ma trên vổ hÔn ối xựng  sỷ
dửng nghiản cựu mởt số tẵnh chĐt cừa cĂc số Fibonacci v cĂc số Lucas. Trữợc
tiản, ta nhưc lÔi mởt cĂch sỡ lữủc và hai dÂy số ny. Ơy l hai dÂy số rĐt nời
tiáng v cõ nhiÃu tẵnh chĐt thú v. Cõ nhiÃu ti liằu viát và hai dÂy số ny. é
Ơy chúng tổi tham khÊo tứ cuốn sĂch [6] cừa Koshy.
CĂc số Fibonacci Fn ữủc nh nghắa bi cổng thực truy hỗi
Fn = Fn1 + Fn2 ,

(n 2),

vợi iÃu kiằn ban Ưu F0 = 0, F1 = 1. C¡c sè Lucas Ln câ cịng cỉng thùc truy


5

hỗi nhữ cĂc số Fibonacci, những vợi iÃu kiằn ban ¦u L0 = 2; L1 = 1. C¡c sè Ln
v  Fn ữủc kát nối vợi nhau bi cổng thực
Ln = Fn−1 + Fn+1 ,

(n ≥ 1).

(1.1)

√
1+ 5
. Khi â, c¡c số Fibonacci v cĂc số Lucas lƯn lữủt cõ
Kỵ hiằu α =
2


cæng thùc têng qu¡t l 
Fn =

αn − (−1)n α−n
√
v 
5

Ln = αn + (−1)n α−n .

(1.2)

D¢y sè Fibonacci câ h m sinh l 
∞
X

Fkn+r tn =

n=0

Fr + (−1)r Fk−r t
.
1 − Lk t + (−1)k t2

(1.3)

Tø h m sinh cõa d¢y sè Fibonacci v mối liản hằ (1.1), ta dạ dng tẳm ữủc
hm sinh cừa dÂy số Lucas nhữ sau:

X


Lkn+r tn =

n=0

Lr + (−1)r−1 Lk−r t
.
1 − Lk t + (−1)k t2

(1.4)

Ti¸p theo, chúng tổi trẳnh by thuêt toĂn và ma trên ối vổ hÔn ối xựng v
Ăp dửng vo dÂy sổ Fibonacci v dÂy số Lucas. Nởi dung ny ữủc tham khÊo
tứ bi bĂo [4] cừa Dil v Mezo.
Cho trữợc hai dÂy số thỹc lƯn lữủt ữủc kỵ hiằu bi (an ) v (an ). Tứ hai dÂy
số ban Ưu ny, chúng ta nh nghắa mởt ma trên vổ hÔn vợi phƯn tû an k thuëc
dáng thù k + 1, cët thù n + 1 ÷đc x¡c ành bði cỉng thùc truy hỗi:
a0n = an , an0 = an , (n 0),
akn = akn−1 + ank−1 , (n ≥ 1, k 1).

(1.5)

Ma trên vổ hÔn xĂc nh nhữ trản ữủc gồi l ma trên vổ hÔn ối xựng xĂc nh
bi hai dÂy số ban Ưu (an ) v (an ). Theo cổng thực truy hỗi trản, ta cõ th mổ


6

tÊ cĂch xĂc nh ma trên ny nhữ sau:


ÃÃÃ

Ã

Ã


Ã
Ã
à à ·

· · ·
·
·

· · ·
k−1
·
an


↓


k
· · · an−1 → akn

· · ·
·
·



·
·
· · ·
···

·

·

···



· · ·



· · ·

· · ·


.

· · ·

· · ·



· · ·
···

M»nh · sau ¥y cho ta thuêt toĂn ối xựng xĂc nh phƯn tỷ akn tứ cĂc phƯn
tỷ thuởc dỏng Ưu tiản v cĂc phƯn tỷ thuởc cởt Ưu tiản.

Mằnh à 1.1.1. Vợi n 1 v  k ≥ 1, ph¦n tû akn cõa ma trên vổ hÔn ối xựng
trản Ãu ữủc xĂc nh bi cæng thùc sau:
akn

=


k 
X
n+k−i−1
i=1

n−1

ai0

+


n 
X
n+k−j−1
j=1


k−1

a0j .

(1.6)

Chùng minh. Ta chùng minh mằnh à ny bơng phữỡng phĂp quy nÔp theo
n + k . Thêt vêy, ró rng ng thực úng vợi a11 , tùc l  vỵi n + k = 2. Gi£ sû, ¯ng

thùc óng vỵi n + k = r ≥ 2, ta s³ chùng minh ¯ng thùc óng vỵi n + k = r + 1.
Tø ành ngh¾a, ta câ
akn = akn−1 + ak−1
n .

V¼ k + (n − 1) = (k − 1) + n = r n¶n, theo giÊ thiát quy nÔp, ta lÔi cõ
akn1

=


k 
X
n+ki2
i=1

v
ak1
=
n


n2

ai0

+

j=1


k1 
X
n+ki2
i=1

n1


n1 
X
n+k−j−2

ai0 +

k−1


n 
X
n+k−j−2

j=1

k−2

a0j

a0j .

Suy ra
akn

=


k−1 
X
n+k−i−2
i=1

n−1


+



n+k−i−2
n−2

ai0 + ak0



7

+


n−1 
X
n+k−j−2
k−2

j=1

=


k 
X
n+k−i−1
n−1

i=1


+

ai0 +




n+k−j−2
k−1

a0j + a0n


n 
X
n+k−j−1
k−1

j=1

a0j .

Vªy ¯ng thùc óng vỵi n + k = r + 1. M»nh à hon ton ữủc chựng minh.
Nhên xt rơng, mội dỏng, mội cởt cừa ma trên vổ hÔn ối xựng (akn ) nhữ
nh nghắa trản l mởt dÂy số. nh lỵ sau Ơy cho ta cổng thực xĂc nh hm
sinh cõa c¡c d¢y sè n y thỉng qua h m sinh cõa hai dÂy số ban Ưu. Ta kỵ hiằu
k a(t)

v n a(t) lƯn lữủt l hm sinh cừa dÂy số tữỡng ựng vợi dỏng thự k v hm

sinh cừa dÂy số tữỡng ựng cừa cởt thự n.

nh lỵ 1.1.2. Cho (a0n) v (an0 ) l hai dÂy số ban Ưu. Khi â, h m sinh cõa
h ng thù k v  cõa cët thù n cừa ma trên vổ hÔn ối xựng lƯn lữủt l 
(
)

∞
k
X
X
t
1
k n
0
k
r
r
an t =

a(t) =

n=1

v 
n

a(t) =

∞
X
k=1

a(t) +

(1 − t)k


1
akn tk =
(1 − t)n

1−t

(

(1.7)

a0 (1 − t)

r=1
n

t X 0
0
a(t) +
aj (1 − t)j
1−t

)
(1.8)

.

j=1

Chùng minh. Chóng ta s³ chùng minh ¯ng thùc thự nhĐt, ng thực thự hai
ữủc chựng minh tữỡng tỹ. Sû döng ¯ng thùc (1.6), ta câ

( k+1
!
!
∞
∞
n+1
X
X n+k+1−r
X
X
k+n+1−j
k+1 n
r
an+1 t =

n=0

n=0

= a10

r=1

∞
X

n+k

+


=

a0n+1 tn

n=0
∞
X
n=0

tn +

k+n

ar+1
0

!

k

∞
X

n+k−r

tn

!
tn


n

n=0

a0j

!

k

n=0

n+k

k
X
r=1

∞
X

k

j=1

!

k

n=0

∞
X

a0 +

n

)

(
tn

a10 +

∞
X

)
a0n+1 tn

+

n=0

k
X

ar+1
0


r=1

∞
X
n=0

n+k−r

!
tn .

n

Suy ra
∞
X
n=1

n
ak+1
n t =

∞
X
n=0

n+k
k

!


n

t

a10 t +0 a(t) +



k
X
r=1

ar+1
0 t

∞
X
n=0

n+k−r
k−r

!
tn .


8

Theo nh lỵ nh thực cừa Newton, ta lÔi cõ


X
1
=
(1 x)n



n+i1 i
x.
n1

i=0

p dửng nh lỵ nh thực cừa Newton, chóng ta ÷đc
(
∞
k
X
X
1
n
ak+1
n t =

n=1

0

(1 − t)k+1


r
ar+1
0 t(1 − t)

a(t) +

)
.

r=0

Vêy ng thực (1.7) ữủc chựng minh.
BƠy giớ, chúng ta s³ ¡p dưng thuªt to¡n v· ma trªn vỉ hÔn ối xựng nhữ
trẳnh by trản  nghiản cựu mởt số tẵnh chĐt cừa dÂy số Fibonacci v dÂy số
Lucas. Bơng cĂch bưt Ưu vợi hai dÂy số khĂc nhau tø c¡c sè Fibonacci v  c¡c
sè Lucas, sû döng thuêt toĂn cừa ma trên vổ hÔn ối xựng ta cõ th thu ữủc
cĂc ng thực mợi liản quan án hai dÂy số ny.
Xt hai dÂy số ban Ưu a0n = Fn−1 v  an0 = F2n−1 , n ≥ 1. Trong trữớng hủp
ny ta thu ữủc ma trên vổ hÔn sau:


F0 F1 F2 · · ·

0


 F1 F2 F3 F4

 F3 F4 F5 F6


F F F F
 5 6 7 8
..
..
..
..
.
.
.
.



ÃÃÃ

ÃÃÃ
.



(1.9)

ÃÃÃ

...

Ta cụng xt ma trên vổ hÔn tữỡng tỹ cho cĂc số Lucas ch bơng cĂch thay th¸
Fn bði Ln . Chóng ta s³ chùng minh mët số ng thực bơng phữỡng phĂp  nảu


trản.

Mằnh à 1.1.3. C¡c ¯ng thùc sau l  óng:
F2n =

n
X

F2i−1 ,

i=1

v 
L2n − 2 =

n
X

n
X

Fi = Fn+2 − 1

(1.10)

i=1

L2i−1 ,

i=1


n
X

Li = Ln+2 − 1.

(1.11)

i=0

Chùng minh. Chóng ta s³ chùng minh c¡c ¯ng thùc (1.10). C¡c ¯ng thùc
(1.11) ÷đc chùng minh t÷ìng tü.


9

Vỵi a0n = Fn−1 v  an0 = F2n−1 , n ≥ 1 chóng ta câ a11 = F2 , a21 = F4 v bơng
phữỡng phĂp quy nÔp ta dạ dng chựng minh ữủc an1 = F2n , vợi mồi n ≥ 1. p
döng ¯ng thùc (1.6), ta câ
an1 =


n 
X
n−i
0

i=1

Suy ra

F2n = F0 +

n
X

ai0 + a01 .

F2i−1 =

n
X

F2i−1 .

i=1

i=1

Vªy ¯ng thực thự nhĐt trong (1.10) ữủc chựng minh.
Tữỡng tỹ, ta lÔi cõ a10 = F1 , a11 = F2 , a12 = F3 v bơng phữỡng phĂp quy nÔp
ta dạ dng chựng minh ữủc a1n = Fn+1 , vợi mồi n ≥ 0. Ap döng (1.6), ta câ
a1n+1

=

a10

+

n+1

X

a0i .

i=1

Suy ra
Fn+2 = F1 +

n+1
X

Fi1 .

i=1

Tứ Ơy ta thu ữủc ng thực thù hai cõa (1.10).
Tø (1.3) ta ¢ câ h m sinh cõa dáng thù nh§t v  cët thù nh§t cõa ma trên
(1.9). Mằnh à sau Ơy cho ta hm sinh cừa dỏng v cởt bĐt ký cừa ma trên
ny.  ỡn giÊn hõa, chúng ta s kỵ hiằu
!
k1
n1
X
X
n+ki2
F2i+1 v
i=0

n1


i=0

n+ki2

!

k1

Fi

(1.12)

lƯn lữủt bi An,k v Bn,k .

Mằnh à 1.1.4. Vợi hai dÂy số ban ¦u a0n = Fn−1 v  an0 = F2n−1, (n ≥ 1), ta câ
k

a(t) =

∞
X

An,k + Bn,k tn =

t {F2k + tF2k−1 }
1 − t − t2

(1.13)


An,k + Bn,k tk =

t (Fn+1 − tFn−1 )
.
t2 − 3t + 1

(1.14)




n=1

v 
n

a(t) =

∞
X
k=1





10

Chùng minh. Tø ¯ng thùc (1.7), ta câ
(
1
k

a(t) =
(1 − t)k

k

t X
0
a(t) +
F2r−1 (1 − t)r
1−t

)
.

r=1

Tø cæng thùc h m sinh (1.3), ta câ
0

a(t) =

∞
X

Fn−1 tn =

n=1

t
1 − t − t2


v 
k
X

r

F2r−1 (1 − t) =

r=1

∞
X

r

F2r−1 (1 − t) −

∞
X

F2r−1 (1 − t)r

r=1

=

r=k+1
k+1
(1 − t)t − (1 − t)

{F2k+1
2
t +t−1

− (1 − t)F1−2k }

Theo ành ngh¾a, ta câ F−n = (−1)n+1 Fn n¶n


k
X
(1 − t) t − (1 − t)k (F2k + tF2k−1 )
F2r−1 (1 − t)r =

t2 + t − 1

r=1

.

.

Suy ra
k

1
a(t) =
(1 − t)k




t(1 − t)k {F2k + tF2k−1 }
1 − t − t2


=

t {F2k + tF2k−1 }
.
1 − t − t2

Vªy ¯ng thùc (1.13) l  óng. ¯ng thùc (1.14) ữủc chựng minh tữỡng tỹ.
Bơng phữỡng phĂp tữỡng tỹ ta cõ th xt vợi hai dÂy số ban Ưu l dÂy số
Fibonacci vợi ch số chđn v dÂy số Fibonacci vỵi ch¿ sè l´. Khi â, ta câ m»nh
· sau Ơy tữỡng tỹ nhữ Mằnh à 1.1.4.

Mằnh à 1.1.5. Vợi cĂc dÂy số ban Ưu a0n = F2n1 v an0 = F2n, n ≥ 1, chóng
ta câ
∞
X

Cn,k + Ak,n




n=1

−t
tn = 2
t +t−1


(

t t2 − t + 1

)




(1 − t)k (t2 − 3t + 1)

+ F2k+1 + tF2k

v 
∞
X
k=1

Cn,k + Ak,n tk =




t2

t
+t−1

(





2t t2 − t + 1
− F2n − tF2n−1
(1 − t)n (t2 − 3t + 1)

trong â
Cn,k :=

k−1
X
i=0

n+k−i−2
n−1

!
F2i .

)
,


11

Lữu ỵ rơng ta cụng cõ cĂc mằnh à tữỡng tỹ nhữ cĂc mằnh à 1.1.4 v 1.1.5
ối vợi dÂy số Lucas bơng cĂch thay thá Fn bi Ln .

1.2 Ma trên vổ hÔn EulerSeidel
Trong mửc ny, chúng tổi trẳnh by và ma trên EulerSeidel  sỷ dửng cho
viằc nghiản cựu tẵnh chĐt cừa cĂc số hyperfibonacci v cĂc số hyperlucas. C¡c

nëi dung n y ÷đc tham kh£o tø t i li»u [5].

nh nghắa 1.2.1. Cho trữợc dÂy số a0, a1, a2, . . .. Ta gồi ma trên EulerSeidel
liản kát vợi dÂy (an ) l ma trên vổ hÔn vợi phƯn tû thuëc dáng k + 1 (k ≥ 0), cët
[k]

n + 1 (n 0), kỵ hiằu an ữủc xĂc ành bði
[0]

(n ≥ 0),

an = an
[k]

[k−1]

an = an

[k−1]

(n ≥ 0,

+ an+1

k ≥ 1).
[k]

M»nh · sau ¥y cho ta cỉng thùc xĂc nh phƯn tỷ an cừa ma trên Euler
Seidel tứ dÂy số ban Ưu, tực l tứ cĂc phƯn tỷ thuởc dỏng Ưu tiản.


Mằnh à 1.2.2. Vợi mồi n v k, ta câ
[k]
an

=

k  
X
k

i

i=0

[0]

an+i .

Chùng minh. Ta s³ chùng minh mằnh à ny bơng phữỡng phĂp quy nÔp theo
k . Thêt vêy, dạ thĐy mằnh à úng vợi k = 0. Gi£ sû m»nh · óng vỵi k − 1, ta

chùng minh m»nh · óng vỵi k .
Tø ành nghắa cừa ma trên EulerSeidel v giÊ thiát quy nÔp ta câ
[k]

[k−1]

an = an
=


[k−1]

+ an+1


k−1 
X
k−1
i

i=0

=

[0]
an

+

[0]
an+i

=

i=0

i=0


k−1 

X
k−1
i=1

k 
X

+


k−1 
X
k−1



k [0]
a .
i n+i

Suy ra i·u c¦n chùng minh.

i


+

i




k−1
i−1

[0]

an+1+i
[0]

[0]

an+i + an+1


12

Trữớng hủp c biằt, vợi n = 0, ta cõ cĂc phƯn tỷ thuởc cởt thự nhĐt ữủc
xĂc nh qua cĂc phƯn thuởc dỏng Ưu tiản bi
k  
X

k [0]
a .
i i

[k]

a0 =

i=0


(1.15)

M»nh · sau ¥y cho ta cỉng thùc xĂc nh cĂc phƯn tỷ a[k]
n cừa ma trên
EulerSeidel qua cĂc phƯn tỷ thuởc cởt thự nhĐt.

Mằnh à 1.2.3. Vợi måi n v  k, ta câ
[k]
an

=

n
X

n−i

 

n [k+i]
a
.
i 0

(−1)

i=0

Chùng minh. Ta s chựng minh mằnh à bơng phữỡng phĂp quy nÔp theo n.

Thêt vêy, dạ thĐy mằnh à úng vợi n = 0, 1. Gi£ sû m»nh · óng vỵi n, ta
chùng minh m»nh · óng vỵi n + 1.
Tø nh nghắa cừa ma trên EulerSeidel v giÊ thiát quy nÔp ta cõ
[k+1]

[k]

an+1 = an
=

n
X

[k]

an

(1)

ni

[k]
(1)n+1 a0

+

n
X

(1)


n+1i



i=1

=

n+1
X

n+1i

(1)

i=0

 

n [k+i]
n [k+1+i] X
a
a0
−
(−1)n−i
i 0
i
i=0


i=0

=

n

 





n
i−1

 
+

n
i

[k+i]

a0

[k+1+n]

+ a0




n + 1 [k+i]
a0 .
i

Suy ra iÃu cƯn chựng minh.
Trữớng hủp c biằt, vợi k = 0, ta câ cỉng thùc x¡c ành c¡c ph¦n tû thuởc
dỏng thự nhĐt qua cĂc phƯn tỷ thuởc cởt thự nhĐt nhữ sau:
 
n
X
[0]

(1)ni

an =

i=0

n [i]
a .
i 0

(1.16)

[n]
Gồi a(t) v a(t) lƯn lữủt l hm sinh cừa dÂy số {a[0]
n } v  d¢y sè {a0 }, tùc l 

a(t) =


∞
X
n=0

[0]
an tn ,

a(t) =


X

[n]

a0 tn .

n=0

Mằnh à dữợi Ơy cho ta mối li¶n h» giúa hai h m sinh n y.


13

Mằnh à 1.2.4. Vợi kỵ hiằu nhữ trản, ta cõ
1
t
a(t) =
a
1t

1t





1
t
v a(t) =
a
.
t+1
t+1





(1.17)

Chựng minh. Dạ thĐy rơng, ng thực thự hai ữủc suy trỹc tiáp tứ ng thực
thự nhĐt. Vẳ vêy, ta ch cƯn chựng minh ng thực thự nhĐt.
Ta  biát





X n+k
1

=
tk .
(1 t)n+1
n
k0

Suy ra
1
t
a
1t
1t





=

X

[0]

an

n0

=

tn

(1 t)n+1

X n + k 
n

n,k≥0

=

X

=

X

X m

tm

m≥0

[0]

an tn+k

n+k=m

n

!

[0]

an

[m]

a0 tm

m≥0

=a
¯(t).

Suy ra i·u c¦n chùng minh.

1.3 Sè hyperfibonacci v  sè hyperlucas
Trong mưc n y, chóng tỉi tr¼nh b y kh¡i ni»m v· c¡c sè hyperfibonacci v 
c¡c sè hyperlucas. ỗng thới, chúng tổi s trẳnh by và hm sinh cừa cĂc dÂy số
ny.

nh nghắa 1.3.1. CĂc số hyperfibonacci, kỵ hiằu Fn(r) v cĂc số hyperlucas,

kỵ hiằu L(r)
n , lƯn lữủt ữủc nh nghắa bi
(r)
Fn

(r)

=


Ln =

n
X
k=0
n
X
k=0

(r1)

Fk

(r1)

Lk

(0)

(r)

, vợi Fn = Fn , F0
(0)

(r)

(r)

= 0, v  F1


(r)

= 1,

, vỵi Ln = Ln , L0 = 0, v  L1 = 1.

(1.18)
(1.19)


14
(r)

(r)

Mởt số giĂ tr Ưu tiản cừa Fn v Ln l :
(1)

Fn : 0, 1, 2, 4, 7, 12, 20, 33, 54, 88, 143, 232, 376, 609, 986, 159, 2583, . . .
(2)

Fn : 0, 1, 3, 7, 14, 26, 46, 79, 133, 221, 364, 596, 972, 1581, 2567, 4163, 6746, . . .
(1)

Ln : 2, 3, 6, 10, 17, 28, 46, 75, 122, 198, 321, 520, 842, 1363, 2206, 3570, 5577, . . .
(2)

Ln : 2, 5, 11, 21, 38, 66, 112, 187, 309, 507, 828, 1348, 2190, 3553, 5759, 9329, . . .


M»nh · sau ¥y cho ta h m sinh cõa d¢y sè hyperfibonacci v  h m sinh cõa
d¢y sè hyperlucas.

M»nh · 1.3.2. H m sinh cõa d¢y sè hyperfibonacci v  hm sinh cừa dÂy số
hyperlucas lƯn lữủt ữủc xĂc nh bði
∞
X
(r)
Fn tn =

n=0

v 

∞
X

(r)

Ln tn =

n=0

t
(1 − t − t2 ) (1 − t)r

2−t
.
(1 − t − t2 ) (1 − t)r


Chựng minh. Ta chựng minh ng thực thự nhĐt bơng phữỡng phĂp quy nÔp
theo r. Thêt vêy, sỷ dửng cổng thực (1.3) ta thĐy rơng ng thực úng vợi r = 0.
Gi£ sû ¯ng thùc óng vỵi r − 1 ta s³ chùng minh ¯ng thùc óng vỵi r.
p dưng t½ch Cauchy cõa hai chuéi ta câ
∞
X

(r)

Fn tn =

n=0

=

∞
n
X
X
n=0
k=0
∞
n
XX

!
(r−1)

Fk


tn

(r−1) k

(Fk

t )tnk

n=0 k=0

=


X

(r1) n
Fn
t

n=0

Tứ giÊ thiát quy nÔp ta cõ

X
(r1)
Fn

tn =

n=0


Mt khĂc, ta lÔi cõ


X
i=0


X

ti .

i=0

t
.
(1 t t2 ) (1 − t)r−1

ti =

1
.
1−t

Suy ra ¯ng thùc thù nh§t óng vợi r. ng thực thự hai ữủc chựng minh
tữỡng tỹ.


15


1.4 Mët sè ¯ng thùc
Trong mưc n y, chóng tỉi tr¼nh by và mởt số tẵnh chĐt cừa cĂc số hyperfibonacci v  c¡c sè hyperlucas düa theo b i b¡o [2] cõa Cao v Zhao.
Trữợc tiản, tứ Mằnh à 1.1.3, ta cõ
(1)

Fn = Fn+2 − 1,
(2)

Fn = Fn+4 − n − 3
=

n
X

(n − k)Fk ,

k=0
(1)
Ln

= Ln+2 − 1,

(2)

Ln = Fn + Fn+2 − 1,
(2)

Ln = 4 (Fn+1 − 1) + 3Fn − n
= Ln+3 − (n + 4).


èi vỵi c¡c sè Fibonacci v cĂc số Lucas, cĂc tờng cõ dÔng dữợi Ơy  ữủc
nghiản cựu v tẳm ữủc mởt số tẵnh chĐt cõa chóng
X
X
Fj1 Fj2 · · · Fjk ,

j1 +j2 +···+jk =n

j1 +j2 +ÃÃÃ+jk =n

Vẵ dử nhữ, ta cõ

X

Lj1 Lj2 Ã · · Ljk .

F j1 F j2 =

j1 +j2 =n

(n − 1)Ln + 2Fn−1
5

v 

X

Lj1 Lj2 = (n + 1)Ln + 2Fn+1 .

j1 +j2 =n


BƠy giớ, chúng tổi s trẳnh by mởt số kát quÊ và cĂc tờng tữỡng ựng cừa cĂc
số hyperfibonacci v cĂc số hyperlucas. Ta kỵ hiằu
X
(r) (r)
(r)
F j1 F j2 · · · F jk ,

An,k,r =

Bn,k,r =

j1 +j2 +···+jk =n

X

(r) (r)

(r)

Lj1 Lj2 · · · Ljk .

j1 +j2 +ÃÃÃ+jk =n

Tứ Ơy cho án hát chữỡng, chúng ta kỵ hiằu [z n ] f (z) biu th h» sè cõa z n
trong f (z), trong â, f (z) l  chuéi lôy thøa
f (z) =

∞
X

n=0

fn z n .


16

N¸u f (t) v  g(t) l  hai chi lơy thøa th¼ ta câ
[tn ] (af (t) + bg(t)) = a [tn ] f (t) + b [tn ] g(t),
[tn ] tf (t) = t




n−1

n

[t ] f (t)g(t) =

(1.21)

f (t),

n
X
 k

y


(1.20)

(1.22)

f (y) tnk g(t).





k=0

nh lỵ 1.4.1. Cho k, n 1 v r 1 l cĂc số nguyản dữỡng. Vợi An,k,r v 
Bn,k,r , ta câ
(n + 1)Ln+4 − 2Fn+1
,
5
(5n + 9)Ln+4 + 4Ln+6
= n + 9 − 10Fn+4 − 2Fn+1 +
,
5

An,2,1 = n + 5 − 2Fn+4 +

(1.23)

Bn,2,1

(1.24)


An,k+1,r =

Bn,k+1,r =

n
X
j=0
n
X

(r)

(1.25)

(r)

(1.26)

An,k,r Fj ,
Bn,k,r Lj .

j=0

Chùng minh. °t
Fr (t) =

t
,
(1 − t − t2 ) (1 − t)r


Lr (t) =

2−t
.
(1 − t − t2 ) (1 − t)r

Rã r ng, ta câ


F1 (t) =
=
An,2,1 =

α2 − α−2
α
α−1
−
−
t−1
t − α−1 t + α
∞
X

Fn+2 tn −

n=0
n
[t ] F12 (t),

∞

X



1
√
5

!
tn

t,

n=0

Bn,2,1 = [tn ] L21 (t)
= [tn ] F12 (t) − 4 tn+1 F12 (t) + 4 tn+2 F12 (t)





= An,2,1 − 4An+1,2,1 + 4An+2,1 .

Suy ra

X

(1)


(1)

Fj1 Fj2 = [tn ] F12 (t)

j1 +j2 =n






17

1
= [tn ]
5
−

2α−1

"

α2 − α−2
(t − 1)2

α2

− α−2

1

= [tn ]
5

2α α2 − α−2
α−2
+
+
−
2
(t + α)2 (t − 1) (t − α−1 )
(t − α−1 )

#

2

+

α2 − α−2




α2




(t − 1)(t + α)

(



2

(t − α−1 ) (t + α)


2

α4
α−4
+
(t − αt)2 (1 + α−1 t)2

+

2

(t − α−1 )

h
i 1


2 α2 − α−2 α3 + α−3
α
4
2
−2
+
−2 α α −α
+
1−t
α + α−1 1 − αt






α−1
1
+2 α−4 α2 − α−2 −
−1
α+α
1 + α−1 t






1
= [t ]
5

(

n

2

α −α

∞

X
−2 2


n

(n + 1)t +

n=0

+ 2 α2 − α−2




α3 + α−3

∞
X


αn+4 + (−1)n α−n−4 (n + 1)tn



n=0
∞
X




tn

n=0


h

−2 α

4

2

α −α



−2

+ 2 α−4 α2 − α
n

= [t ]




∞
iX
α
+
αn tn
−1
α+α

α−1

−
α + α−1



−2

(∞
X

n

(n + 1)t +

n=0

−

n=0

2 2
α − α−2
5

2
−
5 (α + α−1 )
n

= [t ]


∞
X

∞
X

− [tn ] 2

)

(−1)n α−n tn

n=0
∞

X
αn+4 + (−1)n α−n−4
(n + 1)tn + 2F3
tn
5
n=0

∞

X


αn+4 − (−1)n α−n−4 tn




n=0
∞
X



)

αn+1 + (−1)n α


−n−1

tn

n=0
n

n

(n + 1)t + [t ]

n=0
∞
X

n=0
X
∞


Fn+4 tn − [tn ]

n=0

∞
X
(n + 1)Ln+4
n=0
∞
X

2
5

5

n

n

t + [t ] 4

∞
X

tn

n=0

Fn+1 tn .


n=0

B¬ng c¡ch ¡p dưng (1.21) v  c¡c ành ngh¾a cõa Fn v  Ln , chóng ta câ (1.23).
Mët c¡ch tü nhi¶n, ta suy ra
Bn,2,1 = n + 9 − 10Fn+4 +

4(n + 3)Ln+6 − 4(n + 2)Ln+5 + (n + 1)Ln+4
− 2Fn+1 .
5

Bơng cĂch sỷ dửng cổng thực truy hỗi trong nh ngh¾a cõa Fn v  Ln , chóng ta


18

chùng minh ÷đc (1.24) l  óng. Düa v o (1.22), chóng ta cõ th ch ra rơng
(1.25) v (1.26) l úng.
Nhên x²t r¬ng, tø c¡c ¯ng thùc (1.23) v  (1.24), ta cõ cĂc ỗng dữ thực sau:


An,2,1

v


Bn,2,1

n 2Fn+4 +


(n + 1)Ln+4 − 2Fn+1
5

(mod5)

(5n + 9)Ln+4 + 4Ln+6
n − 10Fn+4 2Fn+1 +
5


(mod9).

Khi k hoc r tr nản lợn, rĐt khõ  ta cõ th tẵnh toĂn ữủc An,k,r v Bn,k,r .
Tuy nhiản, chúng ta cõ th ữa ra cĂc giĂ tr tiằm cên cừa chúng. Trữợc tiản
chúng tổi nhưc lÔi mởt bờ à và hm bián phực s ữủc sỷ dửng trong cĂc chựng
minh tiáp theo.

Bờ Ã 1.4.2 ([8]). Gi£ sû f (t) = Pn≥0 antn l  mët hm giÊi tẵch vợi |t| < r v
vợi mởt số hỳu hÔn im ký d Ôi số trản ữớng trỏn |t| = r. Gåi α1 , α2 , · · · , αl
l  c¡c iºm ký dà c§p ω , trong â ω l  c§p cao nh§t cõa c¡c iºm ký dà. Khi â,
ta câ
an = nω−1 /ω! ×




l
X

!
gk (αk ) αk−n + o r




−n

(1.27)

,

k=1

trong â
gk (αk ) = lim (1 (t/k )) f (t).
tk

nh lỵ 1.4.3. GiÊ sỷ k v r l hai số nguyản dữỡng cố nh. Vỵi An,k ,r v 
p

Bn,kp ,r , khi n → ∞, ta câ
An,k,r

Bn,k,r

nk−1
=
(k − 1)!

nk−1
=
(k − 1)!




"

α
2
α +1

k

2α2 − α
α2 + 1

Chùng minh. °t
fk,r (t) =

kr n

n



(1 + α) α + o (α )

k

(1.28)

,


!#
(1 + α)kr αn + o (αn )

tk
k

(1 − t − t2 ) (1 − t)kr

.

(1.29)

.

Chóng ta bi¸t rơng fk,r (t) l giÊi tẵch vợi |t| < 1/ v cõ mởt im ký d Ôi số
trản ữớng trỏn |t| = 1/α. C§p cõa 1/α l  k. Ta câ
 α k
lim (1 − αt)k fk,r (t) =

t→1/α

α2 + 1

(1 + α)kr .


19

B¬ng c¡ch sû dưng Bê · 1.4.2, chóng ta câ thº chùng minh (1.28) l  óng.
¯ng thùc (1.29) ÷đc chùng minh tữỡng tỹ.

(r)

nh lỵ sau Ơy cho ta m rởng ti»m cªn cõa mët sè têng kh¡c cõa Fn v 
(r)

Ln .

nh lỵ 1.4.4. Cho n l số nguyản dữỡng. Khi n → ∞, ta câ
n
X

!

n

(r)

Fk

k

k=0

n
X

=

(r)


(nk)Lk =

n
X
k=0
n
X
k=0

n

k=0
!
(r)

(−1)k Fk

k
n

=



α(1 + α)r
+ o (2 − α)−n ,
2
n
(α + 1) (2 − α)

(1.30)




(1 + α)r
−n
,
+
o
(2
−
α)
(2 − α)n

(1.31)

−αn+1 (2 − α)r
+ o ((−α)n ) ,
2
α +1

(1.32)

!
(r)

(−1)k Lk = (2 − α)r αn + o ((−α)n ) .

k

(1.33)


Chùng minh. Chóng ta ch¿ chùng minh (1.30) v  (1.32). CĂc ng thực (1.31)
v (1.33) lƯn lữủt ữủc chựng minh tữỡng tỹ.
( )

GiÊ sỷ A l ma trên vổ hÔn EulerSeidel vợi Fk
trên
lữủt

l hng Ưu tiản, B l ma

vổ hÔn EulerSeidel vợi Fk( ) l cởt Ưu tiản. CĂc phƯn tỷ cừa A v
[k]
ữủc kỵ hiằu bi a[k]
n v bn . Sỷ dửng (1.15) v (1.16), ta nhên ữủc
[n]
a0

=

[0]

bn =

n
X

n,

!
(r)


Fk

k

k=0
n
X

n
k

k=0

!
(r)

(−1)n−k Fk .

Theo (1.17), ta câ
n
X
k=0

n
k

!
(r)


Fk

[n]

= a0

= [tn ]
π
X
k=0

n
k

t(1 − t)r
,
(t2 − 3t + 1) (1 − 2t)r

!
(r)

(−1)n−k Fk

[0]

= bn

= [tn ]

−t(1 + t)r

.
t2 − t − 1

B l¦n


20

t(1 t)r
l giÊi tẵch vợi |t| < 2 α
(t2 − 3t + 1) (1 − 2t)r
v  câ mët im ký d Ôi số 1 = 2 trản ữớng trỏn |t| = 2 ; hm
t(1 + t)r
giÊi tẵch vợi |t| < 1 v cõ mởt im ký d Ôi số 1 = 1
a(t) = 2
t t1
trản ữớng trỏn |t| = 1 . CĐp cừa 1 v 1 l 1. Tẵnh toĂn ta ữủc

Chúng ta biát rơng h m a(t) =

t
α(1 + α)r
a(t) =
,
t→2−α
2−α
α2 + 1


t

α(2 − α)r
lim
1 + −1 a(t) = − 2
.
α
α +1
t→−α−1



lim



1−

Sû döng Bê · 1.4.2, ta suy ra c¡c ¯ng thùc (1.30) v  (1.32) l úng.

nh lỵ 1.4.5. GiÊ sỷ m v r l cĂc số nguyản dữỡng cố nh. Khi n , ta
cõ

n
X

(r)

Fnj

j+m1


(r)

Lnj

=

j

j=0
n
X

!

j+m1
j

j=0

Chựng minh. Bơng tẵnh toĂn ta cõ
!
n
n
X
X

j+m1
(r)
Fnj


j=0

n
X
j=0

(r)

Lnj

=

j

j+m1
j

j=0

n+1 (1 + )r+m
+ o (αn ) ,
α2 + 1

!
= (1 + α)r+m αn + o (αn ) .

tn−j




(1.35)

 j
t
1
t
2
r
(1 − t − t ) (1 − t)
(1 − t)m

= [tn ]

t
,
(1 − t − t2 ) (1 − t)m+r

= [tn ]

2−t
.
(1 − t − t2 ) (1 − t)m+r

!

(1.34)

Sû döng Bê · 1.4.2, ta suy ra ÷đc c¡c ¯ng thùc (1.34) v  (1.35) l  óng.



21

Chữỡng 2
Tờng nghch Êo v tẵnh lỗi lổgarit
Trong chữỡng trữợc, chúng ta  biát khĂi niằm và cĂc số hyperfibonacci v
cĂc số hyperlucas, ỗng thới ta cụng  cõ ữủc mởt số tẵnh chĐt liản quan án
cĂc số ny. Trong chữỡng ny, chúng tổi tiáp tửc trẳnh by mởt số kát quÊ liản
quan án hai loÔi số ny. Cử th, chúng tổi trẳnh by lÔi mởt số kát quÊ cừa Liu
v  Zhao [7] v· têng nghàch £o cõa c¡c sè hyperfibonacci v  c¡c sè hyperlucas,
sau â chóng tỉi tr¼nh b y và tẵnh lỗi, lóm lổgarit cừa cĂc dÂy số ny düa theo
b i b¡o cõa Zheng, Liu v  Zhao [9]. Ngo i ra, chóng tỉi cán tr¼nh b y mët sè mð
rëng cho cĂc vĐn à ny ối vợi cĂc dÂy số hyperfibonacci suy rëng v  hyperlucas
suy rëng ð mưc ci cịng.

2.1 Têng cừa nghch Êo cĂc số hyperfibonacci v
hyperlucas
Tờng vổ hÔn cừa nghàch £o c¡c sè Fibonacci v  c¡c sè Lucas ¢ ữủc nghiản
cựu bi Ohtsuka v Nakamura (xem [1]). Hồ Â chựng minh rơng

!1

(
X


náu n chđn v n 2,
1

= Fn2 ,
Fk

Fn2 1, náu n chđn v 1,
k=n
trong õ, bÃc kỵ hiằu hm sn, tực l brc, vợi r R, l số nguyản lợn nhĐt m
nhọ hỡn r. é Ơy, chúng ta s nghiản cựu và tờng vổ hÔn cừa nghch Êo cĂc số
hyperfibonacci v  cõa nghàch £o c¡c sè hyperlucas, tùc l , chóng ta nghi¶n cùu


22

cĂc tờng cừa cĂc dÔng sau

!1



X 1
,

(1)
k=n

Fk


!1


X 1



.
(1)
k=n

Lk

Trữợc tiản, sỷ dửng cổng thực tờng qu¡t (1.2) cõa c¡c sè Fibonacci v  c¡c sè
Lucas, ta chựng minh ữủc bờ Ã sau Ơy.

Bờ Ã 2.1.1. CĂc ¯ng thùc sau l  óng:
Fn+1 Fn+3 − Fn Fn+4 = 2(−1)n ,

(2.1)

Ln+1 Ln+3 − Ln Ln+4 = 10(−1)n+1 ,

(2.2)

2
− Fn+1 Fn+3 = (−1)n+1 ,
Fn+2

(2.3)

L2n+2 − Ln+1 Ln+3 = 5(−1)n .

(2.4)

ành lỵ sau Ơy cho ta tờng vổ hÔn cừa nghch Êo cĂc số hyperfibonacci
(1)


Fn

v cĂc số hyperlucas L(1)
n .

nh lỵ 2.1.2. Vỵi n ≥ 4, ta câ

!−1 
 ∞

 X 1


 = Fn − 1,
(1)
k=n

Fk


!−1 
 ∞

X


1
 = Ln − 1.


(1)
k=n

Lk

Chựng minh. Nhưc lÔi rơng, vợi cĂc số Fibonacci, ta câ
Fn = Fn−1 + Fn−2 , n ≥ 2.

Ngo i ra, chữỡng trữợc ta  cõ
(1)

Fn = Fn+2 1.

Sỷ dưng (2.1), vỵi n ≥ 2, ta câ
1
(1)
Fn

(1)
− Fn−1

−

1
(1)
Fn

−

1

(1)
Fn+1

−

1
(1)
Fn+2

(1)

− Fn+1
1
1
1
1
=
− (1) − (1) −
Fn Fn
Fn+1 Fn+2

(2.5)

(2.6)