ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------

PHẠM TUẤN NGHỊ

SỐ HYPERFIBONACCI
VÀ SỐ HYPERLUCAS
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


Công trình được hoàn thành tại:
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

Người hướng dẫn khoa học: TS. Ngô Văn Định

Phản biện 1: TS. Ngô Thị Ngoan
Phản biện 2: TS. Trần Nguyên An

Luận văn được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn
Họp tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

Ngày 14 tháng 12 năm 2019

Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên

- Thư viện Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên


i

Mục lục
Mở đầu

1

1 Khái niệm và một số tính chất

4

1.1

Số Fibonacci và số Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Ma trận vô hạn Euler–Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Số hyperfibonacci và số hyperlucas . . . . . . . . . . . . . . . . . .


9

1.4

Một số đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Tổng nghịch đảo và tính lồi lôgarit

14

2.1

Tổng của nghịch đảo các số hyperfibonacci và hyperlucas . . . . . 14

2.2

Tính lồi lôgarit của các dãy số hyperfibonacci và hyperlucas . . . 16

2.3

Số hyperfibonacci suy rộng và số hyperlucas suy rộng . . . . . . . 17

Kết luận

19

Tài liệu tham khảo

20



1

Mở đầu
Dãy số Fibonacci {Fn } và dãy số Lucas {Ln } là hai dãy số rất nổi tiếng, được
nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và đã tìm ra nhiều tính chất thú vị
của chúng. Hai dãy số này lần lượt được định nghĩa bởi
F0 = 0, F1 = 1, Fn = Fn−1 + Fn−2 ,

(n ≥ 2),

L0 = 2, L1 = 1, Ln = Ln−1 + Ln−2 ,

(n ≥ 2).

và

Năm 2008, Dil và Mez¨o [4] đã sử dụng các thuật toán về ma trận vô hạn Euler–
Seidel và ma trận vô hạn đối xứng để nghiên cứu về các dãy số này. Trong đó,
hai tác giả này đã định nghĩa các dãy số hyperfibonacci {Fn(r) } và các dãy số
hyperlucas {Ln(r) }. Cụ thể, hai dãy số này lần lượt được định nghĩa bởi
n
(r)
Fn

(r−1)

=

Fk


(0)

(r)

, với Fn = Fn , F0

(r)

= 0, và F1

= 1,

k=0
n
(r)

(r−1)

Ln =

Lk

(0)

(r)

(r)

, với Ln = Ln , L0 = 0, và L1 = 1.


k=0

Đồng thời, hai tác giả này cũng đã chứng minh được một số tính chất cơ bản về
hai loại dãy số mới này dựa vào các thuật toán liên quan đến ma trận vô hạn
Euler–Seidel.
Sau đó, các loại dãy số này đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của một số
nhà toán học. Năm 2010, Cao và Zhao [2] đã công bố một số kết quả về tính
chất của dãy số hyperfibonacci và dãy số hyperlucas. Cụ thể, họ đã nghiên cứu
và thu được một số đẳng thức về các tổng
(r)

(r)

(r) (r)

(r)

Fj1 Fj2 · · · Fjk và
j1 +j2 +···+jk =n

(r)

Lj1 Lj2 · · · Ljk .
j1 +j2 +···+jk =n


2

Năm 2012, Liu và Zhao [7] đã công bố một số kết quả liên quan đến tổng vô

hạn của nghịch đảo của các số hyperfibonacci và nghịch đảo các số hyperlucas.
Bên cạnh đó, họ cũng công bố các kết quả tương tự đối với một mở rộng của
các dãy số này. Đặc biệt, các tác giả này


−1 
 ∞


1
 = Fn − 1 và

(1)

k=n

Fk

đã chứng minh được rằng


−1 
 ∞


1

 = Ln − 1,
(1)


k=n

Lk

trong đó · là ký hiệu hàm sàn (xem Định lý 2.1.2).
Năm 2014, Zheng, Liu và Zhao [9] đã công bố một số kết quả về tính chất
lồi, lõm lôgarit của các dãy số hyperfibonacci, các dãy số hyperlucas và các dãy
số suy rộng của chúng. Đặc biệt, họ chứng minh được rằng, với r ≥ 1, các dãy
(r)

(1)

(r)

{Fn }n≥1 , {Ln }n≥3 và {Ln }n≥0 (r ≥ 2) là lõm gôgarit (xem Định lý 2.2.4).

Mục đích của luận văn là trình bày lại một cách hệ thống các kết quả nói
trên. Nội dung chính của luận văn được chia thành hai chương. Trong chương
1, chúng tôi trình bày lại một cách sơ lược về dãy số Fibonacci và dãy số Lucas,
trình bày về ma trận vô hạn đối xứng, ma trận vô hạn Euler–Seidel, sử dụng các
ma trận này để chứng minh một số đẳng thức liên quan đến các số Fibonacci và
các số Lucas. Sau đó chúng tôi trình bày khái niệm về các số hyperfibonacci và
các số hyperlucas, các tính chất cơ bản của chúng và một số kết quả của Cao và
Zhao. Trong phần đầu của chương 2, chúng tôi trình bày các kết quả của Liu và
Zhao về tổng vô hạn các nghịch đảo của các số hyperfibonacci, các số hyperlucas,
về một số tổng vô hạn có liên quan đến các nghịch đảo này. Trong phần tiếp
theo của chương 2, chúng tôi trình bày một số kết quả của Zheng, Liu và Zhao
về tính lồi, lõm lôgarit của các dãy số hyperfibonacci và dãy số hyperlucas. Phần
cuối cùng của chương 2 được dành để trình bày về dãy hyperfibonacci suy rộng
và dãy hyperlucas suy rộng cùng một số kết quả về tổng vô hạn nghịch đảo của

các số hyperfibonacci và về tính lồi, lõm lôgarit của các dãy số mở rộng này.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái
Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS. Ngô Văn Định. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc nhất tới TS. Ngô Văn Định, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình
hướng dẫn để tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Đào tạo, các thầy cô giáo
dạy cao học chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, trường Đại học Khoa học


3

- Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn
thành luận văn tốt nghiệp.
Xin cảm ơn những người thân trong gia đình và tất cả những người bạn thân
yêu đã hết sức thông cảm, chia sẻ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi để tôi có thể
học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn của mình.
Xin chân thành cảm ơn.
Thái Nguyên, tháng 11 năm 2019
Người viết luận văn

Phạm Tuấn Nghị


4

Chương 1
Khái niệm và một số tính chất
Mục đích của chương này là trình bày lại khái niệm và một số tính chất của
các dãy số hyperfibonacci và các dãy số hyperlucas. Trước khi trình bày các
nội dung này, chúng tôi trình bày lại khái niệm và một số tính chất của dãy số

Fibonacci và dãy số Lucas dựa vào thuật toán liên quan đến ma trận vô hạn
đối xứng. Các nội dung trình bày trong chương này được tham khảo từ bài báo
xuất bản năm 2008 của Dil và Mez¨o [4] và bài báo xuất bản năm 2010 của Cao
và Zhao [2]. Ngoài ra, chúng tôi trình bày một số vấn đề về ma trận vô hạn
Euler–Seidel dựa theo tài liệu [5]. Các nội dung về ma trận vô hạn Euler–Seidel
được sử dụng để nghiên cứu các tính chất của các số hyperfibonacci và các số
hyperlucas.

1.1

Số Fibonacci và số Lucas

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại khái niệm về số Fibonacci và số Lucas.
Đồng thời chúng tôi trình bày thuật toán về ma trận vô hạn đối xứng để sử
dụng nghiên cứu một số tính chất của các số Fibonacci và các số Lucas. Trước
tiên, ta nhắc lại một cách sơ lược về hai dãy số này. Đây là hai dãy số rất nổi
tiếng và có nhiều tính chất thú vị. Có nhiều tài liệu viết về hai dãy số này. Ở
đây chúng tôi tham khảo từ cuốn sách [6] của Koshy.
Các số Fibonacci Fn được định nghĩa bởi công thức truy hồi
Fn = Fn−1 + Fn−2 ,

(n ≥ 2),

với điều kiện ban đầu F0 = 0, F1 = 1. Các số Lucas Ln có cùng công thức truy


5

hồi như các số Fibonacci, nhưng với điều kiện ban đầu L0 = 2; L1 = 1. Các số Ln
và Fn được kết nối với nhau bởi công thức

Ln = Fn−1 + Fn+1 ,

(n ≥ 1).

(1.1)

√
1+ 5
. Khi đó, các số Fibonacci và các số Lucas lần lượt có
Ký hiệu α =
2

công thức tổng quát là
Fn =

αn − (−1)n α−n
√
và
5

Ln = αn + (−1)n α−n .

(1.2)

Dãy số Fibonacci có hàm sinh là
∞

Fkn+r tn =
n=0


Fr + (−1)r Fk−r t
.
1 − Lk t + (−1)k t2

(1.3)

Từ hàm sinh của dãy số Fibonacci và mối liên hệ (1.1), ta dễ dàng tìm được
hàm sinh của dãy số Lucas như sau:
∞

Lkn+r tn =
n=0

Lr + (−1)r−1 Lk−r t
.
1 − Lk t + (−1)k t2

(1.4)

Tiếp theo, chúng tôi trình bày thuật toán về ma trận đối vô hạn đối xứng và
áp dụng vào dãy sô Fibonacci và dãy số Lucas. Nội dung này được tham khảo
từ bài báo [4] của Dil và Mez¨o.
Cho trước hai dãy số thực lần lượt được ký hiệu bởi (an ) và (an ). Từ hai dãy
số ban đầu này, chúng ta định nghĩa một ma trận vô hạn với phần tử an k thuộc
dòng thứ k + 1, cột thứ n + 1 được xác định bởi công thức truy hồi:
a0n = an , an0 = an , (n ≥ 0),
akn = akn−1 + ank−1 , (n ≥ 1, k ≥ 1).

(1.5)


Ma trận vô hạn xác định như trên được gọi là ma trận vô hạn đối xứng xác định
bởi hai dãy số ban đầu (an ) và (an ). Theo công thức truy hồi trên, ta có thể mô


6

tả cách xác định ma trận này như sau:

···

·

·


·
·
· · ·

· · ·
·
·

· · ·
·
ak−1

n

↓



· · · akn−1 → akn

· · ·
·
·


·
·
· · ·
···

·

·

···



· · ·



· · ·

· · ·



.

· · ·

· · ·


· · ·
···

Mệnh đề sau đây cho ta thuật toán đối xứng xác định phần tử akn từ các phần
tử thuộc dòng đầu tiên và các phần tử thuộc cột đầu tiên.
Mệnh đề 1.1.1. Với n ≥ 1 và k ≥ 1, phần tử akn của ma trận vô hạn đối xứng
trên đều được xác định bởi công thức sau:
k

akn

=
i=1

n+k−i−1 i
a0 +
n−1

n

j=1


n+k−j−1 0
aj .
k−1

(1.6)

Nhận xét rằng, mỗi dòng, mỗi cột của ma trận vô hạn đối xứng (akn ) như
định nghĩa ở trên là một dãy số. Định lý sau đây cho ta công thức xác định hàm
sinh của các dãy số này thông qua hàm sinh của hai dãy số ban đầu. Ta ký hiệu
k a(t)

và n a(t) lần lượt là hàm sinh của dãy số tương ứng với dòng thứ k và hàm

sinh của dãy số tương ứng của cột thứ n.
Định lý 1.1.2. Cho (a0n ) và (an0 ) là hai dãy số ban đầu. Khi đó, hàm sinh của
hàng thứ k và của cột thứ n của ma trận vô hạn đối xứng lần lượt là
∞
k

akn tn

a(t) =
n=1

và

∞
n

akn tk


a(t) =
k=1

1
=
(1 − t)k

0

1
=
(1 − t)n

0

t
a(t) +
1−t

t
a(t) +
1−t

k

ar0 (1 − t)r

(1.7)


r=1

n

a0j (1 − t)j

.

(1.8)

j=1

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng thuật toán về ma trận vô hạn đối xứng như
trình bày ở trên để nghiên cứu một số tính chất của dãy số Fibonacci và dãy số
Lucas. Bằng cách bắt đầu với hai dãy số khác nhau từ các số Fibonacci và các


7

số Lucas, sử dụng thuật toán của ma trận vô hạn đối xứng ta có thể thu được
các đẳng thức mới liên quan đến hai dãy số này.
Xét hai dãy số ban đầu a0n = Fn−1 và an0 = F2n−1 , n ≥ 1. Trong trường hợp
này ta thu được ma trận vô hạn sau:


F0 F1 F2 · · ·

0




··· 

··· 
.


 F1 F2 F3 F4

 F3 F4 F5 F6

F F F F
 5 6 7 8
.. .. .. ..
. . . .



(1.9)

··· 

...

Ta cũng xét ma trận vô hạn tương tự cho các số Lucas chỉ bằng cách thay thế
Fn bởi Ln . Chúng ta sẽ chứng minh một số đẳng thức bằng phương pháp đã nêu

ở trên.
Mệnh đề 1.1.3. Các đẳng thức sau là đúng:
n


n

F2n =

Fi = Fn+2 − 1

F2i−1 ,
i=1

và

i=1

n

L2n − 2 =

(1.10)

n

Li = Ln+2 − 1.

L2i−1 ,
i=1

(1.11)

i=0


Từ (1.3) ta đã có hàm sinh của dòng thứ nhất và cột thứ nhất của ma trận
(1.9). Mệnh đề sau đây cho ta hàm sinh của dòng và cột bất kỳ của ma trận
này. Để đơn giản hóa, chúng ta sẽ ký hiệu
k−1

i=0

n+k−i−2
n−1

n−1

F2i+1

và
i=0

n+k−i−2
k−1

Fi

(1.12)

lần lượt bởi An,k và Bn,k .
Mệnh đề 1.1.4. Với hai dãy số ban đầu a0n = Fn−1 và an0 = F2n−1 , (n ≥ 1), ta có
∞
k


a(t) =

An,k + Bn,k tn =

t {F2k + tF2k−1 }
1 − t − t2

(1.13)

An,k + Bn,k tk =

t (Fn+1 − tFn−1 )
.
t2 − 3t + 1

(1.14)

n=1

và

∞
n

a(t) =
k=1


8


Bằng phương pháp tương tự ta có thể xét với hai dãy số ban đầu là dãy số
Fibonacci với chỉ số chẵn và dãy số Fibonacci với chỉ số lẻ. Khi đó, ta có mệnh
đề sau đây tương tự như Mệnh đề 1.1.4.
Mệnh đề 1.1.5. Với các dãy số ban đầu a0n = F2n−1 và an0 = F2n , n ≥ 1, chúng
ta có
∞

Cn,k + Ak,n tn =
n=1

−t
2
t +t−1

t t2 − t + 1
(1 − t)k (t2 − 3t + 1)

+ F2k+1 + tF2k

và
∞

Cn,k + Ak,n tk =
k=1

t
2
t +t−1

2t t2 − t + 1

− F2n − tF2n−1
(1 − t)n (t2 − 3t + 1)

,

trong đó
k−1

Cn,k :=

n+k−i−2

F2i .

n−1

i=0

Lưu ý rằng ta cũng có các mệnh đề tương tự như các mệnh đề 1.1.4 và 1.1.5
đối với dãy số Lucas bằng cách thay thế Fn bởi Ln .

1.2

Ma trận vô hạn Euler–Seidel

Trong mục này, chúng tôi trình bày về ma trận Euler–Seidel để sử dụng cho
việc nghiên cứu tính chất của các số hyperfibonacci và các số hyperlucas. Các
nội dung này được tham khảo từ tài liệu [5].
Định nghĩa 1.2.1. Cho trước dãy số a0 , a1 , a2 , . . .. Ta gọi ma trận Euler–Seidel
liên kết với dãy (an ) là ma trận vô hạn với phần tử thuộc dòng k + 1 (k ≥ 0), cột

[k]

n + 1 (n ≥ 0), ký hiệu an được xác định bởi
[0]

an = an
[k]

[k−1]

an = an

[k−1]

+ an+1

(n ≥ 0),
(n ≥ 0,

k ≥ 1).

Mệnh đề sau đây cho ta công thức xác định phần tử a[k]
n của ma trận Euler–
Seidel từ dãy số ban đầu, tức là từ các phần tử thuộc dòng đầu tiên.


9

Mệnh đề 1.2.2. Với mọi n và k , ta có
k

[k]
an

=
i=0

k [0]
a .
i n+i

Trường hợp đặc biệt, với n = 0, ta có các phần tử thuộc cột thứ nhất được
xác định qua các phần thuộc dòng đầu tiên bởi
k
[k]
a0

=
i=0

k [0]
a .
i i

(1.15)

Mệnh đề sau đây cho ta công thức xác định các phần tử a[k]
n của ma trận
Euler–Seidel qua các phần tử thuộc cột thứ nhất.
Mệnh đề 1.2.3. Với mọi n và k , ta có
n

[k]
an

(−1)n−i

=
i=0

n [k+i]
.
a
i 0

Trường hợp đặc biệt, với k = 0, ta có công thức xác định các phần tử thuộc
dòng thứ nhất qua các phần tử thuộc cột thứ nhất như sau:
n
[0]
an

(−1)n−i

=
i=0

n [i]
a .
i 0

(1.16)


[n]
Gọi a(t) và a¯(t) lần lượt là hàm sinh của dãy số {a[0]
n } và dãy số {a0 }, tức là
∞

∞
[0]
an tn ,

a(t) =

[n]

a0 tn .

a(t) =

n=0

n=0

Mệnh đề dưới đây cho ta mối liên hệ giữa hai hàm sinh này.
Mệnh đề 1.2.4. Với ký hiệu như trên, ta có
a(t) =

1.3

t
1
a

1−t
1−t

và a(t) =

t
1
a
.
t+1
t+1

(1.17)

Số hyperfibonacci và số hyperlucas

Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm về các số hyperfibonacci và
các số hyperlucas. Đồng thời, chúng tôi sẽ trình bày về hàm sinh của các dãy số
này.


10

Định nghĩa 1.3.1. Các số hyperfibonacci, ký hiệu Fn(r) và các số hyperlucas,
ký hiệu L(r)
n , lần lượt được định nghĩa bởi
n
(r−1)

(r)


Fk

Fn =

(0)

(r)

, với Fn = Fn , F0

(r)

= 0, và F1

= 1,

(1.18)

k=0
n
(r)

(r−1)

Ln =

Lk

(0)


(r)

(r)

, với Ln = Ln , L0 = 0, và L1 = 1.

(1.19)

k=0

Một số giá trị đầu tiên của Fn(r) và L(r)
n là:
(1)

Fn : 0, 1, 2, 4, 7, 12, 20, 33, 54, 88, 143, 232, 376, 609, 986, 159, 2583, . . .
(2)

Fn : 0, 1, 3, 7, 14, 26, 46, 79, 133, 221, 364, 596, 972, 1581, 2567, 4163, 6746, . . .
(1)

Ln : 2, 3, 6, 10, 17, 28, 46, 75, 122, 198, 321, 520, 842, 1363, 2206, 3570, 5577, . . .
(2)

Ln : 2, 5, 11, 21, 38, 66, 112, 187, 309, 507, 828, 1348, 2190, 3553, 5759, 9329, . . .

Mệnh đề sau đây cho ta hàm sinh của dãy số hyperfibonacci và hàm sinh của
dãy số hyperlucas.
Mệnh đề 1.3.2. Hàm sinh của dãy số hyperfibonacci và hàm sinh của dãy số
hyperlucas lần lượt được xác định bởi

∞
(r)

t
(1 − t − t2 ) (1 − t)r

(r)

2−t
.
(1 − t − t2 ) (1 − t)r

Fn tn =
n=0

và

∞

Ln tn =
n=0

1.4

Một số đẳng thức

Trong mục này, chúng tôi trình bày về một số tính chất của các số hyperfibonacci và các số hyperlucas dựa theo bài báo [2] của Cao và Zhao.
Trước tiên, từ Mệnh đề 1.1.3, ta có
(1)


Fn = Fn+2 − 1,
(2)

Fn = Fn+4 − n − 3
n

(n − k)Fk ,

=
k=0


11
(1)

Ln = Ln+2 − 1,
(2)

Ln = Fn + Fn+2 − 1,
(2)

Ln = 4 (Fn+1 − 1) + 3Fn − n
= Ln+3 − (n + 4).

Đối với các số Fibonacci và các số Lucas, các tổng có dạng dưới đây đã được
nghiên cứu và tìm được một số tính chất của chúng
Fj1 Fj2 · · · Fjk ,
j1 +j2 +···+jk =n

Lj1 Lj2 · · · Ljk .

j1 +j2 +···+jk =n

Ví dụ như, ta có
(n − 1)Ln + 2Fn−1
5

F j1 F j2 =
j1 +j2 =n

và
Lj1 Lj2 = (n + 1)Ln + 2Fn+1 .
j1 +j2 =n

Bây giờ, chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả về các tổng tương ứng của các
số hyperfibonacci và các số hyperlucas. Ta ký hiệu
(r)

(r)

(r)

F j1 F j2 · · · F jk ,

An,k,r =

(r) (r)

j1 +j2 +···+jk =n

(r)


Lj1 Lj2 · · · Ljk .

Bn,k,r =
j1 +j2 +···+jk =n

Từ đây cho đến hết chương, chúng ta ký hiệu [z n ] f (z) biểu thị hệ số của z n
trong f (z), trong đó, f (z) là chuỗi lũy thừa
∞

fn z n .

f (z) =
n=0

Nếu f (t) và g(t) là hai chuỗi lũy thừa thì ta có
[tn ] (af (t) + bg(t)) = a [tn ] f (t) + b [tn ] g(t),

(1.20)

[tn ] tf (t) = tn−1 f (t),

(1.21)

n

[tn ] f (t)g(t) =

y k f (y) tn−k g(t).


(1.22)

k=0

Định lý 1.4.1. Cho k, n ≥ 1 và r ≥ 1 là các số nguyên dương. Với An,k,r và
Bn,k,r , ta có
An,2,1 = n + 5 − 2Fn+4 +

(n + 1)Ln+4 − 2Fn+1
,
5

(1.23)


12
Bn,2,1 = n + 9 − 10Fn+4 − 2Fn+1 +

(5n + 9)Ln+4 + 4Ln+6
,
5

(1.24)

n
(r)

(1.25)

(r)


(1.26)

An,k,r Fj ,

An,k+1,r =
j=0
n

Bn,k,r Lj .

Bn,k+1,r =
j=0

Nhận xét rằng, từ các đẳng thức (1.23) và (1.24), ta có các đồng dư thức sau:
An,2,1 ≡

n − 2Fn+4 +

(n + 1)Ln+4 − 2Fn+1
5

(mod5)

và
Bn,2,1 ≡

n − 10Fn+4 − 2Fn+1 +

(5n + 9)Ln+4 + 4Ln+6

5

(mod9).

Khi k hoặc r trở nên lớn, rất khó để ta có thể tính toán được An,k,r và Bn,k,r .
Tuy nhiên, chúng ta có thể đưa ra các giá trị tiệm cận của chúng. Trước tiên
chúng tôi nhắc lại một bổ đề về hàm biến phức sẽ được sử dụng trong các chứng
minh tiếp theo.
n
n≥0 an t

Bổ đề 1.4.2 ([8]). Giả sử f (t) =

là một hàm giải tích với |t| < r và

với một số hữu hạn điểm kỳ dị đại số trên đường tròn |t| = r. Gọi α1 , α2 , · · · , αl
là các điểm kỳ dị cấp ω , trong đó ω là cấp cao nhất của các điểm kỳ dị. Khi đó,
ta có

l

an = n

ω−1

gk (αk ) αk−n + o r−n

/ω! ×

(1.27)


,

k=1

trong đó
gk (αk ) = lim (1 − (t/αk ))ω f (t).
t→αk

Định lý 1.4.3. Giả sử k và r là hai số nguyên dương cố định. Với An,kp ,r và
Bn,kp ,r , khi n → ∞, ta có
An,k,r =

Bn,k,r

nk−1
(k − 1)!

nk−1
=
(k − 1)!

α
2
α +1
2α2 − α
α2 + 1

k


(1 + α)kr αn + o (αn )

(1.28)

,

k

(1 + α)kr αn + o (αn )

.

(1.29)

Định lý sau đây cho ta mở rộng tiệm cận của một số tổng khác của Fn(r) và
(r)

Ln .


13

Định lý 1.4.4. Cho n là số nguyên dương. Khi n → ∞, ta có
n

n
k

k=0


(r)

Fk

n
(r)
(nk)Lk
k=0
n

n

(r)

(−1)k Fk

k

k=0
n

n

α(1 + α)r
+ o (2 − α)−n ,
(α2 + 1) (2 − α)n

(1 + α)r
=
+ o (2 − α)−n ,

n
(2 − α)
=

−αn+1 (2 − α)r
+ o ((−α)n ) ,
α2 + 1

(r)

(−1)k Lk = (2 − α)r αn + o ((−α)n ) .

k

k=0

=

(1.30)
(1.31)
(1.32)
(1.33)

Định lý 1.4.5. Giả sử m và r là các số nguyên dương cố định. Khi n → ∞, ta
có

n
(r)

Fn−j

j=0
n
(r)

Ln−j
j=0

j+m−1
j
j+m−1
j

=

αn+1 (1 + α)r+m
+ o (αn ) ,
2
α +1

= (1 + α)r+m αn + o (αn ) .

(1.34)

(1.35)


14

Chương 2
Tổng nghịch đảo và tính lồi lôgarit

Trong chương trước, chúng ta đã biết khái niệm về các số hyperfibonacci và
các số hyperlucas, đồng thời ta cũng đã có được một số tính chất liên quan đến
các số này. Trong chương này, chúng tôi tiếp tục trình bày một số kết quả liên
quan đến hai loại số này. Cụ thể, chúng tôi trình bày lại một số kết quả của Liu
và Zhao [7] về tổng nghịch đảo của các số hyperfibonacci và các số hyperlucas,
sau đó chúng tôi trình bày về tính lồi, lõm lôgarit của các dãy số này dựa theo
bài báo của Zheng, Liu và Zhao [9]. Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày một số mở
rộng cho các vấn đề này đối với các dãy số hyperfibonacci suy rộng và hyperlucas
suy rộng ở mục cuối cùng.

2.1

Tổng của nghịch đảo các số hyperfibonacci và
hyperlucas

Tổng vô hạn của nghịch đảo các số Fibonacci và các số Lucas đã được nghiên
cứu bởi Ohtsuka và Nakamura (xem [1]). Họ đã chứng minh rằng


−1 
 ∞


nếu n chẵn và n ≥ 2,
1

 = Fn−2 ,
Fk
Fn−2 − 1, nếu n chẵn và ≥ 1,
k=n

trong đó, · ký hiệu hàm sàn, tức là r , với r ∈ R, là số nguyên lớn nhất mà
nhỏ hơn r. Ở đây, chúng ta sẽ nghiên cứu về tổng vô hạn của nghịch đảo các số
hyperfibonacci và của nghịch đảo các số hyperlucas, tức là, chúng ta nghiên cứu


15

các tổng của các dạng sau

 ∞





,

−1 

1

(1)
k=n Fk






∞


1
(1)

k=n



.

−1 

Lk

Trước tiên, sử dụng công thức tổng quát (1.2) của các số Fibonacci và các số
Lucas, ta chứng minh được bổ đề sau đây.
Bổ đề 2.1.1. Các đẳng thức sau là đúng:
Fn+1 Fn+3 − Fn Fn+4 = 2(−1)n ,

(2.1)

Ln+1 Ln+3 − Ln Ln+4 = 10(−1)n+1 ,

(2.2)

2
Fn+2
− Fn+1 Fn+3 = (−1)n+1 ,

(2.3)


L2n+2 − Ln+1 Ln+3 = 5(−1)n .

(2.4)

Định lý sau đây cho ta tổng vô hạn của nghịch đảo các số hyperfibonacci
(1)

Fn

và các số hyperlucas L(1)
n .

Định lý 2.1.2. Với n ≥ 4, ta có

 ∞


k=n






∞

1
(1)


Fk

1
(1)

k=n

Lk



 = Fn − 1,

(2.5)



 = Ln − 1.

(2.6)

−1 

−1 

Định lý tiếp theo cho ta tổng vô hạn bình phương của nghịch đảo của các số
hyperfibonacci Fn(1) và các số hyperlucas L(1)
n .
Định lý 2.1.3. Ta có





 ∞

1


=

2 
k=n







∞

k=n

(1)
Fk

(1)

(1)


(1)

Fn−1 Fn + Fn−1 − 1 nếu n là số chẵn n ≥ 2,
(1)

(1)

(1)

|Fn−1 Fn + Fn−1 nếu n là số lẻ n ≥ 1,




1

(1)
(1)
(1)
= Ln−1 Ln + Ln−1 − 1,
2 

(1)
Lk

nếu n là số lẻ và n > 1.

(2.7)

(2.8)



16

Định lý tiếp theo cho ta một số đẳng thức có liên quan đến nghịch đảo các
số hyperfibonacci và nghịch đảo các số hyperlucas.
Định lý 2.1.4. Cho m là số nguyên dương. Khi đó, các đẳng thức sau là đúng
∞

Ln+2m+2

1
=
F2m

4m

1

,

(1) (1)
(1)
n=1 Fn Fn+4m
k=1 Fk
∞
4m
Fn+2m+2
1
1

=
,
(1) (1)
(1)
5F2m
L
L
L
n
n=1
n=1 k
n+4m
∞
4m+2
Fn+2m+3
1
1
=
,
(1) (1)
(1)
L2m+1
F
n=1 Fn Fn+4m+2
k=1
k
∞
4m+2
Ln+2m+3
1

1
=
.
(1) (1)
(1)
L2m+1
L
n=1 Ln Ln+4m+2
k=1
k

2.2

(2.9)

(2.10)
(2.11)

(2.12)

Tính lồi lôgarit của các dãy số hyperfibonacci
và hyperlucas

Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả của Zheng, Liu và Zhao
[9] về tính lồi, lõm lôgarit của các dãy số hyperfibonacci và hyperlucas. Trước
tiên, ta nhắc lại khái niệm về tính lồi, lõm lôgarit của một dãy số.
Định nghĩa 2.2.1. Cho {an }n≥0 là một dãy số thực dương. Nếu với mọi j ≥
1, a2j ≥ aj−1 aj+1 (tương ứng aj−1 aj+1 ≥ a2j ) thì dãy số {an }n≥0 được gọi là lõm

lôgarit (tương ứng lồi lôgarit), viết tắt là log -lõm (tương ứng log -lồi).

Định nghĩa 2.2.2. Cho {an }n≥0 là một dãy số thực dương. Chúng ta nói rằng
{an }n≥0 là cân bằng lôgarit hay viết tắt là log -cân bằng nếu {an }n≥0 là log-lồi và
an
{ }n≥0 là log-lõm.
n!

Nhận xét rằng dãy số {an }n≥0 là log-lồi (tương ứng log-lõm) khi và chỉ khi dãy
thương {an+1 /an }n≥0 là không giảm (tương ứng không tăng). Đương nhiên, chuỗi
thương số của chuỗi cân bằng log không tăng quá nhanh. Do đó, dãy thương
của một dãy log-cân bằng không tăng quá nhanh. Đối với dãy Fibonacci {Fn }
và dãy Lucas {Ln }, tính log-lõm (log-lồi) của chúng có liên quan đến tính chẵn
lẻ của n. Cụ thể, các dãy con {F2n+1 } và {L2n } là log-lồi và các dãy con {F2n }


17

và {L2n+1 } là log-lõm. Ta sẽ nghiên cứu tính log-lồi và tính log-lõm của các dãy
số hyperfibonacci và hyperlucas.
Trước tiên, ta có bổ đề sau đây về tính log-lõm của tích chập của hai dãy
log-lõm. Ta sẽ sử dụng bổ đề này trong chứng minh của định lý sau đó.
Bổ đề 2.2.3 ([3]). Nếu hai dãy {xn } và {yn } đều là log -lõm thì tích chập của
n

xk yn−k , n = 0, 1, 2, . . . cũng là log-lõm.

chúng zn =
k=0

(r)
Định lý 2.2.4. Với r ≥ 1, các dãy {Fn(r) }n≥1 , {L(1)

n }n≥3 và {Ln }n≥0 (r ≥ 2) là

log -lõm.

Định lý 2.2.5. Các dãy số {n!Fn(1) }n≥1 và {n!L(1)
n }n≥3 là log -cân bằng.

2.3

Số hyperfibonacci suy rộng và số hyperlucas
suy rộng

Trong mục cuối cùng này, chúng tôi trình bày về một mở rộng của các dãy
hyperfibonacci và hyperlucas từ việc mở rộng của các dãy Fibonacci và Lucas.
Trong đó, chúng tôi trình bày lại một kết quả của Liu và Zhao [7] về tổng vô
hạn của nghịch đảo các số hyperfibonacci suy rộng, đồng thời, chúng tôi cũng
trình bày lại kết quả của Zheng, Liu và Zhao [9] về tính lồi lôgarit của dãy suy
rộng này.
Gọi {Un }n≥0 và {Vn }n≥0 lần lượt là dãy Fibonacci suy rộng và Lucas suy rộng
với công thức tổng quát của Un và Vn lần lượt là
Un =

trong đó

τ n − (−1)n τ −n
√
, Vn = τ n + (−1)n τ −n ,

= p2 + 4, τ = (p +


√

(2.13)

)/2, và p ≥ 1. Rõ ràng rằng {Un }n≥0 và {Vn }n≥0

thỏa mãn công thức truy hồi
Wn+1 = pWn + Wn−1 (n ≥ 1), với U0 = 0, U1 = 1, V0 = 2, V1 = p.

(2.14)

Với các số nguyên dương r, các số hyperfibonacci suy rộng Un(r) và các số
hyperlucas suy rộng Vn(r) được định nghĩa bởi
n
(r)
Un

n
(r−1)
Uk
,

=
k=0

(r)
Vn

(r−1)


=

Vk
k=0

,


18

trong đó Un(0) = Un và Vn(0) = Vn .
Bằng tính toán, ta có thể kiểm tra được
(1)

Un =

Un + Un+1 − 1
.
p

(2.15)

Sử dụng công thức tổng quát của Un , ta có ngay bổ đề sau đây:
Bổ đề 2.3.1. Với {Un }, đẳng thức sau đây là đúng:
2
Un+1
− Un Un+2 = (−1)n .

Định lý 2.3.2. Khi n ≥ 2, ta có


 ∞


k=n

1
(1)

Uk



 = Un − 1.

(2.16)

−1 

(2.17)

Bây giờ chúng ta sẽ xét tính lồi, lõm lôgarit của các dãy {Un(r) } và {Vn(r) }.
Định lý 2.3.3. Với r ≥ 1 và p ≥ 1, các dãy {Un[r] }n≥1 và {Vn[1] }n≥3 là log - lõm.
Định lý 2.3.4. Với p ≥ 1, các dãy {n!Un(1) }n≥5 và {n!Vn(1) }n≥5 là log -cân bằng.


19

Kết luận
Dựa theo các tài liệu tham khảo, luận văn đã trình bày được một số vấn đề
sau:

1. Giới thiệu về ma trận vô hạn đối xứng, ma trận vô hạn Euler–Seidel và
công thức hàm sinh cho các ma trận này. Sử dụng các tính chất của ma
trận vô hạn đối xứng, ma trận Euler–Seidel để nghiên cứu một số tính chất
của các số Fibonacci và các số Lucas.
2. Trình bày khái niệm về các số hyperfibonacci, các số hyperlucas và một số
đẳng thức liên quan đến các số này.
3. Trình bày một số tính chất về tổng vô hạn các nghịch đảo của các số
hyperfibonacci, các số hyperlucas và một số đẳng thức có liên quan đến
nghịch đảo các số này.
4. Trình bày một số kết quả về tính lồi, lõm lôgarit của dãy số hyperfibonacci
và dãy hyperlucas.
5. Giới thiệu khái niệm về dãy số hyperfibonacci suy rộng và dãy số hyperlucas
suy rộng. Đồng thời trình bày một số tính chất của các dãy suy rộng này,
đặc biệt là tính lồi, lõm lôgarit.


20

Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] , Nguyễn Thị Thúy Hằng (2018), Về tổng của nghịch đảo các số Fibonacci,
Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.

Tiếng nước ngoài
[2] N.N. Cao and F.Z. Zhao (2010), “Some properties of hyperfibonacci and
hyperlucas numbers”, Journal of Integer Sequences, Vol. 13 Article 10.8.8.
[3] H. Davenport and G. Pólya (1949), “On the product of two power series”,
Canad. J. Math. 1, p.1–5.
[4] A. Dil and I. Mez¨o (2008), “A symmetric algorithm for hyperharmonic and
Fibonacci numbers”, Appl. Math. Comput. 206, p. 942–951.

[5] D. Dumont (1981), “Matrices d’Euler–Seidel”, Seminaire Lotharingien de
Combinatorie, B05s.
[6] T. Koshy (2001), Fibonacci and Lucas numbers with application, John Wiley
and Sons.
[7] R. Liu and F.Z. Zhao (2012), “On the sums of reciprocal hyperfibonacci
numbers and hyperlucas numbers”, Journal of Integer Sequences, Vol. 15
Article 12.4.5.
[8] G. Szeg¨o (1959), Orthogonal polynomials, 2nd Edition, American Mathematical Society, New York.


21

[9] L.N. Zheng, R. Liu and F.Z. Zhao (2014), “On the log-concavity of the
hyperfibonacci numbers and the hyperlucas numbers ”, Journal of Integer
Sequences, Vol. 17, Article 14.1.4.