Bài giảng bổ sung môn Giải tích A3: Tích phân Bội,
Tích phân Đường, Tích phân Mặt
Huỳnh Quang Vũ
Current address: Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc
gia Thành phố Hồ Chí Minh, 227 Nguyễn Văn Cừ, Quận 5, Thành phố Hồ Chí
Minh. Email:
v
u
x
z
y
s
t
ψ
r

r
S
V
U
TÓM TẮT NỘI DUNG. Đây là tập bài giảng bổ sung cho môn Giải tích A3 (TTH024).
Đây là môn bắt buộc cho tất cả các sinh viên Khoa Toán-Tin vào học kì thứ 3.
Tập bài giảng này không thay thế giáo trình. Giáo trình chính tương đương
với quyển sách của Stewart [Ste08]. Mục đích của tập bài giảng này là cung cấp tài
liệu đọc thêm, sâu hơn, nhưng vẫn sát với nội dung môn học.
Những phần có đánh dấu * là tương đối khó hơn.
Đây là một bản thảo, sẽ được tiếp tục sửa chữa. Bản mới nhất có trên trang
web />Ngày 7 tháng 9 năm 2011
Mục lục
Chương 1. Tích phân bội 1
1.1. Tích phân trên hình hộp 1

1.2. Sự khả tích 5
1.3. Định lí Fubini 12
1.4. Tích phân trên tập tổng quát 15
1.5. Công thức đổi biến 23
Chương 2. Tích phân đường 33
2.1. Tích phân đường 33
2.2. Định lí cơ bản của tích phân đường 42
2.3. Định lí Green 45
Chương 3. Tích phân mặt 49
3.1. Tích phân mặt 49
3.2. Định lí Stokes 56
3.3. Định lí Gauss-Ostrogradsky 59
3.4. * Định lí Stokes tổng quát 63
3.5. Ứng dụng của Định lí Stokes 69
Tài liệu tham khảo 73
Chỉ mục 75
iii
iv Mục lục
Điều duy nhất tôi có thể nói là bạn phải làm việc gắng sức và đó là điều chúng ta thực
hiện. Bạn làm việc và làm việc, suy nghĩ và suy nghĩ. Không có công thức nào khác.
Mikhail Gromov, 2009.
Chương 1
Tích phân bội
Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu tích phân Riemann trong không
gian nhiều chiều.
Trong môn học này, khi ta nói đến không gian R
n
thì ta dùng chuẩn và khoảng
cách Euclid, cụthể nếu x = (x
1

, x
2
, . . . , x
n
) ∈ R
n
thì ||x|| = (x
2
1
+ x
2
2
+ ···+ x
2
n
)
1/2
.
1.1. Tích phân trên hình hộp
Tích phân trên không gian nhiều chiều là sự phát triển tương tự của tích phân
một chiều. Do đó các ý chính đã quen thuộc và không khó. Người đọc có thể xem
lại phần tích phân một chiều để dễ theo dõi hơn.
1.1.1. Chia nhỏ hình hộp. Một khoảng (interval) là một tập con của R có dạng
[a, b] với a < b.
Một hình hộp n-chiều (rectangle) là một tập con của R
n
có dạng [a
1
, b
1

] ×
[a
2
, b
2
] ×···×[a
n
, b
n
].
1.1.1. Định nghĩa. Thể tích (volume) của hình hộp I = [a
1
, b
1
] × [a
2
, b
2
] × ··· ×
[a
n
, b
n
] được định nghĩa là số thực |I| = (b
1
− a
1
)(b
2
− a

2
) ···(b
n
− a
n
).
Khi số chiều n = 1 ta thường thay từ thể tích bằng chiều dài (length). Khi
n = 2 ta thường dùng từ diện tích (area).
Một phép chia (hay phân hoạch) (partition) của một khoảng [a, b] là một tập
con hữu hạn của khoảng [a, b] mà chứa cả a và b.
Ta thường đặt tên các phần tử của một phép chia là x
0
, x
1
, . . . , x
n
với
a = x
0
< x
1
< x
2
< ··· < x
n
= b.
Mỗi khoảng [x
i−1
, x
i

] là một khoảng con (subinterval) của khoảng [a, b] tương ứng
với phép chia.
Một phép chia của hình hộp I =
∏
n
i=1
[a
i
, b
i
] là một tích của các phép chia của
khoảng các khoảng [a
i
, b
i
]. Cụ thể nếu mỗi P
i
là một phép chia của khoảng [a
i
, b
i
]
thì P =
∏
n
i=1
P
i
là một phép chia của hình hộp I.
Một hình hộp con (subrectangle) là một tích các khoảng con của các cạnh của

hình hộp ban đầu. Cụ thể một hình hộp con của hình hộp I có dạng
∏
n
i=1
T
i
trong
đó T
i
là một khoảng con của khoảng [a
i
, b
i
] ứng với phép chia P
i
.
1.1.2. Ví dụ. Tập P = {0,
1
2
, 1} là một phép chia của khoảng [0, 1]. Đối với hình
hộp [ 0, 1]
2
thì Q = P × P = {(0, 0), (0,
1
2
), (0, 1), (
1
2
, 0), (
1

2
,
1
2
), (
1
2
, 1)} là một phép
chia. Hình hộp [0,
1
2
] ×[
1
2
, 1] là một hình hộp con ứng với phép chia Q.
1
2 1. Tích phân bội
Cho P và P

là hai phép chia của hình hộp I. Nếu P ⊂ P

thì ta nói P

là mịn
hơn (finer) P.
1.1.3. Ví dụ. P = {0,
1
2
, 1} là một phép chia của khoảng [0, 1], và {0,
1

3
,
1
2
, 1} là một
phép chia mịn hơn P.
1.1.2. Ý của tích phân trên hình hộp. Ý của tích phân Riemann đã quen thuộc,
ta chỉ nhắc lại dưới đây.
Cho I là một hình hộp, và f : I → R. Ta muốn tính tổng giá trị của hàm f trên
hình hộp I. Ta sẽ chia nhỏ hình hộp I bằng những hình hộp con. Trên mỗi hình
hộp con đó ta xấp xỉ giá trị của hàm f bằng một hàm hằng. Nếu như hàm f liên
tục thì lượng biến thiên của giá trị của f sẽ nếu như kích thước của hình hộp con
là “nhỏ”, do đó sự xấp xỉ bằng hàm hằng sẽ là “tốt”. Nếu ta cho số hình hộp con
tăng lên vô hạn thì ta sẽ được giá trị đúng của tổng.
Sau đây là một cách giải thích hình học. Giả sử thêm hàm f là không âm, ta
muốn tìm "thể tích" của khối bên dưới đồ thị của hàm f bên trên hình hộp I . Ta sẽ
xấp xỉ khối đó bằng những hình hộp với đáy là một hình hộp con của I và chiều
cao là một giá trị của f trong hình hộp con đó. Khi ta cho số hình hộp tăng lên vô
hạn thì sẽ được giá trị đúng của thể tích.
Cụ thể hơn, với một phép chia P của I, thành lập tổng Riemann
∑
R
f (x
R
)|R|
ở đây tổng được lấy trên tất cả các hình hộp con R của P, và x
R
là một điểm bất kì
trong R .
“Giới hạn” của tổng Riemann khi phép chia “mịn hơn và mịn hơn” sẽ là tích

phân của hàm f trên I, kí hiệu là

I
f .
Vậy

I
f là tổng giá trị của hàm f trên miền I.
1
1.1.3. Định nghĩa tích phân trên hình hộp. Để làm chính xác ý tưởng trên ta
cần làm rõ quá trình giới hạn. Có thể làm được việc này, nhưng chúng ta sẽ không
đi vào chi tiết hơn. Thay vào đó chúng ta sẽ dùng một cách trình bày khác của Jean
Gaston Darboux. Ý tưởng của cách trình bày này có lẽ không dễ hiểu bằng cách
của Riemann những nó có phần đơn giản hơn về kỹ thuật.
Cho hình hộp I trong R
n
. Cho hàm f : I → R bị chặn.
1
Kí hiệu

do Gottfried Leibniz đặt ra. Nó đại diện cho chữ cái "s" trong chữ Latin "summa" (tổng).
1.1. Tích phân trên hình hộp 3
Cho phép chia P của hình hộp I. Gọi
L( f, P) =
∑
R
(inf
R
f )|R|,
trong đó tổng được lấy trên tất cả các hình hộp con ứng với phép chia P, là tổng

dưới (lower sum), hay xấp xỉ dưới.
Tương tự,
U( f , P) =
∑
R
(sup
R
f )|R|,
được gọi là tổng trên (upper sum), hay xấp xỉ trên.
1.1.4. Bổ đề. Nếu phép chia P

là mịn hơn phép chia P thì
L( f, P

) ≥ L( f , P),
và
U( f , P

) ≤ U( f , P).
CHỨNG MINH. Mỗi hình hộp con R

của P

nằm trong một hình hộp con R của
P. Ta có inf
R

f ≥ inf
R
f . Vì thế

∑
R

⊂R
(inf
R

f )|R

| ≥
∑
R

⊂R
(inf
R
f )|R

| = inf
R
f
∑
R

⊂R
|R

| = (inf
R
f )|R|.

Lấy tổng hai vế của bất đẳng thức trên t heo tất cả hình hộp con R của P ta được
L( f, P

) ≥ L( f , P). 
Nếu P =
∏
n
i=1
P
i
và P

=
∏
n
i=1
P

i
là hai phépchia của hình hộp I =
∏
n
i=1
[a
i
, b
i
]
thì
∏

n
i=1
(P
i
∪ P

i
) cũng là một phép chia của I, mịn hơn cả P và P

, được gọi là mịn
hóa chung (common refinement) của P và P

.
1.1.5. Bổ đề (Xấp xỉ dưới ≤ xấp xỉ trên). Nếu P và P

là hai phép chia bất kì của
cùng một hình hộp thì L( f , P) ≤ U( f , P

).
CHỨNG MINH. Lấy phép chia mịn hóa chung P

của P và P

. Khi đó L( f , P) ≤
L( f, P

) ≤ U( f , P

) ≤ U( f , P


). 
Một hệ quả củakết quả trên làchặn trênnhỏ nhấtcủa cácxấp xỉ dưới sup
P
L( f, P)
và chặn dưới lớn nhất của các xấp xỉ trên inf
P
U( f , P) tồn tại, và sup
P
L( f, P) ≤
inf
P
U( f , P).
1.1.6. Định nghĩa (Tích phân Riemann). Cho hình hộp I. Một hàm f : I → R là
khả tích (integrable) nếu f bị chặn và sup
P
L( f, P) = inf
P
U( f , P).
Nếu f khả tích thì tích phân (integral) của f được định nghĩa là số t hực
sup
P
L( f, P) = inf
P
U( f , P), và được kí hiệu là

I
f .
1.1.7. Ví dụ. Nếu c là hằng số thì

I

c = c|I|.
Khi số chiều n = 1 ta có tích phân của hàm một biến quen thuộc từ tr ung học,
thường được viết là

b
a
f (x) dx. Khi n = 2 ta có tích phân bội hai (double integral)
4 1. Tích phân bội
thường được viếtlà

I
f (x, y) dA. Khi n = 3 ta cótích phân bội ba (triple integral),
thường được viết là

I
f (x, y, z) dV. Hiện giờ dx, dA và dV chỉ là kí hiệu để chỉ
loại tích phân.
1.1.4. Tính chất của tích phân. Những tính chất quen thuộc sau có thể được
chứng minh dễ dàng từ 1.2.1, giống như trường hợp hàm một biến.
1.1.8. Mệnh đề. Giả sử f và g khả tích trên hình hộp I, và c là một số thực, khi đó:
(1) f + g khả tích và

I
( f + g) =

I
f +

I
g.

(2) cf khả tích và

I
c f = c

I
f .
(3) Nếu f ≤ g thì

I
f ≤

I
g.
Bài tập.
1.1.9. Giả sử f liên tục trên hình hộp I và f (x) ≥ 0 trên I. Chứng minh rằng nếu

I
f = 0
thì f = 0 trên I.
1.1.10. Điều sau đây là đúng hay sai, giải thích:

[0,1]×[1,4]
(x
2
+
√
y) sin(xy
2
) dA = 10.

1.2. Sự khả tích 5
1.2. Sự khả tích
1.2.1. Mệnh đề. Cho f bị chặntrên hình hộp I. Khi đó f là khả tích trên I nếu và chỉ
nếu với mọi  > 0 có phép chia P của I sao cho U( f , P) − L( f , P) =
∑
R
(sup
R
f −
inf
R
f )|R| < .
CHỨNG MINH. (⇒) Cho f khả tích. Cho  > 0, có phép chia P và P

sao cho
L( f, P) > − +

I
f
và
U( f , P

) <  +

I
f
Lấy P

là mịn hóa chung của P và P


. Khi đó
U( f , P

) − L( f , P

) ≤ U( f , P

) − L( f , P) < 2
(⇐) Giả sử với  > 0 cho trước bất kì có phép chia P sao cho U( f , P) −
L( f, P) < . Bất đẳng thức này dẫn tới 0 ≤ inf
P
U( f , P) − sup L( f , P) <  với
mọi >0. Do đó inf
P
U( f , P) = sup
P
L( f, P). 
Sau đây là một điều kiện đủ đơn giản quen thuộc cho sự khả tích, rất thường
được dùng:
1.2.2. Định lí (liên tục thì khả tích). Một hàm liên tục trên một hình hộp thì khả
tích trên đó.
CHỨNG MINH. Ta sẽ dùng các kết quả sau trong Giải tích 2 (bạn đọc nên xem
lại):
(1) Một tập con của R
n
là compắc khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn.
(2) Một hàm thực (tức một hàm vào R) liên tục trên một tập con compắc của
R
n
thì bị chặn trên đó.

(3) Một hàm thực liên tục trên một tập con compắc của R
n
thì liên tục đều
trên đó.
Bây giờ cho f là một hàm liên tục trên hình chữ hộp I. Khi đó f liên tục đều trên
I, do đó cho trước  > 0, có δ > 0 sao cho ||x −y|| < δ ⇒ f (x) − f (y) < .
Lấy một phép chia P của I sao cho khoảng cách giữa hai điểm bất kì trong một
hình hộp con của P là nhỏ hơn δ. Điều này không khó: nếu chiều dài cạnh lớn nhất
trong tất cả các hình hộp con của P không quá δ thì chiều dài của một đường chéo
của một hình hộp con không quá
√
nδ.
Với phép chia P, cho hai điểm x, y bất kỳ thuộc về một hình hộp con R thì
f (x) − f (y) < . Suy ra sup
R
f −inf
R
f ≤ . Vì thế
U( f , P) − L( f , P) =
∑
R
(sup
R
f −inf
R
f )|R| ≤ 
∑
R
|R | = |I|
Theo tiêu chuẩn 1.2.1 ta có kết quả. 

6 1. Tích phân bội
1.2.3. Ví dụ. Cho f : [0, 1] → R,
f (x) =



0, x =
1
2
1, x =
1
2
Nếu ta lấy phép phân chia P của [0, 1] sao cho chiều dài của các khoảng con
nhỏ hơn  thì sai khác giữa U( f , P) và L( f , P) nhỏ hơn . Vì thế hàm f khả tích.
Chú ý rằng f không liên tục tại
1
2
.
1.2.4. Ví dụ. Cho f : [0, 1] → R,
f (x) =



1, x ∈ Q
0, x /∈ Q
Với bất kì phép chia P nào của khoảng [0, 1] ta có L( f , P) = 0 and U( f , P) = 1. Do
đó f không khả tích. Chú ý rằng f không liên tục tại bất kì điểm nào.
1.2.1. Tập có thể tích không.
1.2.5. Định nghĩa. Một tập con C của R
n

được gọi là có thể tích không (of content
zero) (còn gọi là không đáng kể - negligible) nếu với mọi số  > 0 có một họ các
hình hộp {U
1
, U
2
, . . . , U
m
} sao cho

m
i=1
U
i
⊃ C và
∑
m
i=1
|U
i
| < .
Nói cách khác, một tập con của R
n
là có thể tích không nếu ta có thể phủ
(cover) tập đó bằng hữu hạn hình hộp có tổng thể tích nhỏ hơn số dương cho
trước bất kì.
1.2.6. Ví dụ. Dễ thấy tập hợp gồm một điểm trong R
n
có thể tích không. Mở rộng
hơn một chút, một tập con hữu hạn của R

n
có thể tích không.
Một tập vô hạn cũng có thể có thể tích không, ví dụ như cạnh của một hình
chữ nhật trong R
2
. Về sau ta sẽ thấy nhiều tập khác có thể tích không. Vì vậy điều
kiện đủ sau là một kết quả mạnh:
1.2.7. Định lí (liên tục trừ ra tập t hể tích không thì khả tích). Một hàm thực bị
chặn trên một hình hộp và liên tục trên đó trừ ra một tập có thể tích không thì khả
tích trên đó.
CHỨNG MINH. Gọi f là một hàm thực bị chặn trên hình hộp I, do đó có số thực
M sao cho |f (x)| ≤ M với mọi x ∈ I. Cho C là tập hợp các điểm thuộc I mà tại đó
hàm f không liên tục. Giả thiết rằng C có thể tích không. Cho  > 0, có một họ các
hình hộp U phủ C và có tổng thể tích nhỏ hơn . Mở rộng mỗi hình hộp thuộc U
thành một hình hộp mới có kích thước lớn hơn, để được một họ mới các hình hộp
U

phủ C với tổng thể tích nhỏ hơn 2. Có thể giả sử mỗi hình hộp U

i
thuộc U

là
một tập con của I, bằng cách thay U

i
bằng U

i
∩ I nếu cần.

Gọi P là phép chia của I nhận được bằng cách lấy tọa độ đỉnh của các hình
hộp thuộc U

làm các điểm chia trên các cạnh của I.
Chú ý rằng một hình hộp con của P mà không phải là tập con của một hình
hộp thuộc U

thì sẽ rời khỏi C. Gọi T là hội của các hình hộp con như vậy. Khi đó
f liên tục trên T.
1.2. Sự khả tích 7
Bây giờ ta làm tương tự như ở 1.2.2. Vì T là compắc nên f liên tục đều trên
T, do đó ta có thể lấy được một phép chia P

mịn hơn P với kích thước các hình
hộp con đủ nhỏ sao cho với bất kì hình hộp con R của P

mà là tập con của T ta có
sup
R
f −inf
R
f < . Khi đó với P

ta có
∑
R⊂T
(sup
R
f −inf
R

f )|R| < 
∑
R⊂T
|R | ≤ |I|
Nếu hình hộp con R của P

không phải là tập con của T thì R là tập con của
một hình hộp thuộc họ U

, do đó
∑
RT
(sup
R
f −inf
R
f )|R| ≤
∑
RT
2M|R| = 2M
∑
RT
|R | < 2M2.
Kết hợp hai đánh giá trên ta có U( f , P

) − L( f , P

) < (|I| + 4M). Từ đó ta kết
luận hàm f khả tích. 
1.2.2. Điều kiện cần và đủ cho sự khả tích. Trong phần này chúng ta sẽ trả lời

hoàn chỉnh vấn đề khả tích. Phần này khó hơn những phần trước, nếu người đọc
thấy quá khó hoặc không có đủ thời gian thì chỉ cần nắm được phát biểu kết quả.
Kết quả chính của phần này nằm trong 1.2.8 và 1.2.10.
1.2.8. Định nghĩa (độ đo không). Một tập con C của R
n
là có độ đo không (of
measure zero) nếu với mọi số  > 0 có một họ các hình hộp {U
1
, U
2
, . . . , U
n
, . . . }
sao cho

∞
i=1
U
i
⊃ C và
∑
∞
n=1
|U
n
| < .
2
Nói cách khác, một tập con của R
n
là có độ đo không nếu ta có thể phủ tập đó

bằng một họ đếm được hình hộp có tổng thể tích nhỏ hơn số dương cho trước bất
kì.
1.2.9. Ví dụ. Một tập có thể tích không thì có độ đo không.
Một mệnh đề P(x) thường được gọi là đúng hầu khắp (almost everywhere)
nếu nó đúng với mọi x trừ ra một tập có độ đo không.
1.2.10. Định lí (khả tích=bị chặn+liên tục hầu khắp). Một hàm thực bị chặn trên
một hình hộp là khả tích trên hình hộp đó khi và chỉ khi tập hợp những điểm tại
đó hàm không liên tục có độ đo không.
Nói cách khác, một hàm bị chặn là khả tích trên một hình hộp khi và chỉ khi
nó liên tục hầu khắp trên đó.
1.2.11. Ví dụ. Sau đây là một ví dụ kinh điển của một hàm khả tích có tập hợp các
điểm không liên tục có độ đo không nhưng không có thể tích không.
Cho f : [0, 1] → R,
f (x) =



1
q
, x =
p
q
, p, q ∈ Z, q > 0, gcd(p, q) = 1
0, x /∈ Q
2
Chữ "độ đo" ở đây chỉ độ đo Lebesgue. Lí thuyết tích phân Lebesgue được phát triển sau lí thuyết tích
phân Riemann.
8 1. Tích phân bội
Rõ ràng f không liên tục tại các số hữu tỉ. Mặt khác có thể chứng minh là f liên
tục tại các số vô tỉ (Bài tập 1.2.20). Tập hợp các số hữu tỉ trong khoảng [0, 1] có độ

đo không nhưng không có thể tích không (Bài tập 1.2.21).
Hóa ra hàm f khả tích. Thực vậy, cho  > 0, gọi C

là tập hợp các số hữu tỉ x
trong [0, 1] sao cho nếu x =
p
q
ở dạng tối giản thì
1
q
≥ . Vì 0 ≤ p ≤ q ≤
1

, nên tập
C

là hữu hạn.Ta phủ C

bằng một họ U gồm hữu hạn các khoảng con rời nhau của
khoảng [0, 1] có tổng chiều dài nhỏ hơn . Các điểm đầu mút của các khoảng này
sinh ra một phép chia P của khoảng [0, 1]. Ta có
∑
R∈U
(sup
R
f )|R| ≤
∑
R∈U
|R | < .
Trong khi đó nếu số x =

p
q
ở dạng tối giản không thuộc C

thì
1
q
< , do đó
∑
R/∈U
(sup
R
f )|R| < 
∑
R/∈U
|R | ≤ . Vậy U( f , P) < 2. Từ đây ta kết luận f khả
tích, hơn nữa

[0,1]
f = 0.
Định lí sau nói rằng giá trị của một hàm bị chặn trên một tập có thể tích không
không ảnh hưởng đến tích phân.
1.2.12. Định lí. Giả sử f và g là hàm bị chặn trên một hình hộp I và f (x) = g(x)
trên I trừ ra một tập con có thể tích không. Nếu f khả tích trên I thì g cũng khả
tích trên I, và

I
f =

I

g.
Để chứng minh định lí này chúng ta cần bổ đề sau đây:
1.2.13. Bổ đề. (1) Nếu một tập con của R
n
có thể tích không thì bao đóng của
nó cũng có thể tích không.
(2) Hội của một tập con của R
n
có độ đo không và một tập con của R
n
có thể
tích không là một tập có độ đo không.
Có thể chứng minh bổ đề này một cách dễ dàng từ các định nghĩa.
CHỨNG MINH 1.2.12. Gọi C là tập hợp các điểm tại đó f không liên tục. Theo
giải thiết C có độ đo không. Gọi D là tập các điểm tại đó g(x) = f (x), thì D có thể
tích không, do đó theo 1.2.13 bao đóng D của D cũng có thể tích không.
Nếu một điểm x
0
không thuộc D thì có một lân cận của x
0
mà trên đó f (x) =
g(x). Vì lí do này g liên tục tại x
0
khi và chỉ khi f liên tục tại x
0
. Vậy tập hợp các
điểm tại đó hàm g không liên tục là một tập con của tập C ∪
D. Theo 1.2.13 tập
C ∪ D có độ đo không. Vậy g khả tích.
Giờ ta chứng minh


I
f =

I
g. Đặt h = g − f thì h khả tích, và h(x) = 0 trừ ra
trên D. Ta chỉ cần chứng minh

I
h = 0.
Lấy một phép chia P của I bất kì và xét một hình hộp con R của P bất kì. Vì D
có thể tích không trong khi R có thể tích khác không nên D không thể chứa R. Do
đó có điểm x trong R không thuộc D, và h(x) = 0.
Từ quan sát trên ta suy ra L(h, P) ≤ 0 và U(h, P) ≥ 0. Vì h khả tích nên ta phải
có

I
h = 0. 
1.2.3. * Chứng minh Định lí 1.2.10.
1.2. Sự khả tích 9
1.2.14. Bổ đề. Trong Định nghĩa 1.2.5 và 1.2.8, hình hộp đóng có thể được thay
bằng hình hộp mở, chính xác hơn, giả thiết phủ bằng một họ các hình hộp có thể
được thay bởi giả thiết phủ bằng một họ phần trong của các hình hộp.
CHỨNG MINH. Cho  > 0. Ta cần chứng minh rằng nếu có một phủ của A
bằng các hình hộp đóng U
1
, U
2
, . . . sao cho
∑

∞
i=1
|U
i
| <  thì có phủ của A bằng
phần trong của các hình hộp V
1
, V
2
, . . . sao cho
∑
∞
i=1
|V
i
| < .
Giả sử
∑
∞
i=1
|U
i
| = δ < . Lấy δ

sao cho 0 < δ

<  − δ. Với mỗi hình hộp
U
i
lấy hình hộp V

i
có cùng tâm với U
i
nhưng lớn hơn một chút, cụ t hể là sao cho
|U
i
| < |V
i
| < |U
i
|+
δ

2
i
.
Khi đó họ các phần trong của các hình hộp V
1
, V
2
, . . . phủ A và
∞
∑
i=1
|V
i
| <

∞
∑

i=1
|U
i
|

+

∞
∑
i=1
δ

2
i

= δ + δ

< .

1.2.15. Bổ đề. Một tập compắc có độ đo không thì có thể tích không.
CHỨNG MINH. Giả sử A là compắc và có độ đo không. Cho  > 0. Theo 1.2.14
có một phủ của A bởi một họ đếm được các phần trong của các hình hộp sao cho
tổng thể tích của các hình hộp đó nhỏ hơn  . Vì A compắc nên từ phủ mở trên có
một phủ con hữu hạn. Suy ra A có thể tích không. 
Cho f là một hàm bị chặn trên miền xác định là một tập con D của R
n
, và cho
x ∈ D. Định nghĩa dao động (oscillation) của f tại x là số thực
o( f , x) = inf
δ>0

( sup
B(x,δ)∩D
f − inf
B(x,δ)∩
f ) = lim
δ→0
( sup
B(x,δ)∩D
f − inf
B(x,δ)∩D
f )
1.2.16. Bổ đề. Hàm f liên tục tại x khi và chỉ khi o( f , x) = 0.
CHỨNG MINH. (⇒) Giả sử o( f , x) = 0. Cho trước  > 0, có δ > 0 sao cho
sup
B(x,δ)
f − inf
B(x,δ)
f < . Suy ra f (y) − f (x) <  và f (x) − f (y) < , vì thế
|f (y) − f (x)| <  với mọi y ∈ B(x, δ) ∩ D. Vậy f liên tục tại x.
(⇐) Giả sử f liên tục tại x. Cho số dương , có δ > 0 sao cho |f (y) − f (x)| < 
với mọi y ∈ B(x, δ). Vì vậy với y, z ∈ B(x, δ) ta có |f (y) − f (z)| < 2. Suy ra
sup
B(x,δ)
f −inf
B(x,δ)
f ≤ 2. Vậy o( f , x) = 0. 
1.2.17. Bổ đề. Với mọi  > 0, tập {x ∈ D | o( f , x) ≥ } là tập đóng trong D.
CHỨNG MINH. Ta sẽ chứng minh rằng A = {x ∈ D | o( f , x) < } là tập
mở trong D. Giả sử x ∈ A. Có δ > 0 sao cho sup
B(x,δ)

f −inf
B(x,δ)
f < . Lấy y ∈
B(x, δ) ∩D. Lấy δ

> 0 sao cho B(y , δ

) ⊂ B(x, δ). Khi đó sup
B(y,δ

)
f −inf
B(y,δ

)
f <
sup
B(x,δ)
f −inf
B(x,δ)
f < . Điều này dẫn tới y ∈ A. 
CHỨNG MINH PHẦN ĐIỀU KIỆN ĐỦ CỦA 1.2.10. Phầnnày đượcphát triển từ chứng
minh của 1.2.7, dùng kĩ thuật trong 1.2.11.
10 1. Tích phân bội
Giả sử |f (x)| ≤ M với mọi x trong hình hộp I. Gọi C là tập các điểm trong I
tại đó f không liên tục. Giả sử C có độ đo không, ta sẽ chứng minh rằng f khả tích
trên I bằng cách dùng 1.2.1.
Cho trước  > 0. Đặt C

= {x ∈ I | o( f , x) ≥ }. Khi đó C


là một tập
compắc trong R
n
và là tập con của C. Do 1.2.15 và 1.2.14có một họ U các hình hộp
U
1
, U
2
, . . . , U
m
(có thể giả sử mỗi hình hộp này là tập con của I) sao cho C

được
phủ bởi họ các phần trong của các U
i
, nghĩa là C ⊂

m
i=1
◦
U
i
, và
∑
m
i=1
|U
i
| < .

Đặt T = I \

m
i=1
◦
U
i
. Khi đó T rời khỏi C

. Với mỗi x ∈ T ta có o( f , x) <
. Có hình hộp R
x
là lân cận của x trong I sao cho sup
R
x
f − inf
R
x
f < . Họ
{
◦
R
x
| x ∈ T} là một phủ mở của tập compắc T, do đó có một phủ con hữu hạn
{R
i
| i = 1, 2, . . . , k}.
Các hình hộp R
i
và U

j
, 1 ≤ i ≤ k và 1 ≤ j ≤ m sinh ra một phép chia nhỏ P
của I (tạo ra từ các tọa độ đỉnh của các hình hộp).
Với mỗi hình hộp con R của P nằm trong T ta có R ⊂ R
i
với i nào đó, và vì thế
sup
R
f −inf
R
f < . Do đó
∑
R⊂T
(sup
R
f −inf
R
f )|R| < 
∑
R⊂T
|R | < |I|
Nếu hình hộp con R của P không chứa trong T thì R ⊂ U
i
với i nào đó. Khi đó
∑
RT
(sup
R
f −inf
R

f )|R| <
∑
RT
2M|R| = 2M
∑
RT
|R | = 2M
n
∑
i=1
|U
i
| < 2M
Từ hai đánh giá trên ta có U( f , P) − L( f , P) < (|I| + 2M). Ta kết luận hàm f khả
tích. 
1.2.18. Bổ đề. Hội của một họ đếm được các tập có thể tích không là một tập có độ
đo không.
Tổng quát hơn, hội của một họ đếm được các tập có độ đo không là một tập
có độ đo không. Có thể chứng minh điều này bằng cách hoàn toàn tương tự như
trong chứng minh dưới đây.
CHỨNG MINH. Giả sử A
i
, i ∈ Z
+
là một tập có thể tích không. Đặt A =

∞
i=1
A
i

.
Cho  > 0. Với mỗi i có một họ hữu hạn các hình hộp {U
i,j
| 1 ≤ j ≤ n
i
} phủ
A
i
và
∑
n
i
j=1
|U
i,j
| <

2
i
.
Bây giờ ta liệt kê các tập U
i,j
theo thứ tự
U
1,1
, U
1,2
, . . . , U
1,n
1

, U
2,1
, U
2,2
, . . . , U
2,n
2
, U
3,1
, . . .
Đây là một phủ đếm được của A có tổng diện tích nhỏ hơn
∑
∞
i=1

2
i
= . Vậy A có
độ đo không. 
1.2.19. Bổ đề. Biên của một hình hộp có thể tích không.
CHỨNG MINH. Do 1.2.18 ta chỉ cần chứng minh mỗi mặt của một hình hộp
n-chiều có thể tích không trong R
n
. Mỗi mặt của hình hộp là một tập hợp D các
1.2. Sự khả tích 11
điểm có dạng (x
1
, x
2
, . . . , x

i
, . . . , x
n
) với a
j
≤ x
j
≤ b
j
cho j = i và x
i
= c. Cho trước
 > 0. Lấy hình hộp R phủ D có cạnh ở chiều thứ i đủ bé, cụ thể R gồm các điểm
có dạng (x
1
, x
2
, . . . , x
i
, . . . , x
n
) với a
j
≤ x
j
≤ b
j
cho j = i và c − δ ≤ x
i
≤ c + δ. Khi

đó |R| = δ
∏
j=i
(b
j
− a
j
) <  nếu δ đủ nhỏ. 
CHỨNG MINH PHẦN ĐIỀU KIỆN CẦN CỦA 1.2.10. Giả sử |f (x)| ≤ M với mọi x
trong hình hộp I và f khả tích trên I. Gọi C là tập các điểm trong I tại đó f liên tục.
Đặt C
1/m
= {x ∈ I | o( f , x) ≥ 1/m}. Khi đó C =

∞
m=1
C
1/m
. Ta sẽ chứng minh
mỗi tập C
1/m
có thể tích không, và do đó theo 1.2.18 tập C có độ đo không.
Cho  > 0. Vì f khả tích nên có phép chia P của I sao cho U( f , P) − L( f , P) <
.
Gọi S là tập các hình hộp con của P mà phần trong có phần giao khác rỗng với
C
1/m
.
Nếu R ∈ S thì có x ∈ C
1/m

nằm trong một quả cầu chứa trong R. Do đó
sup
R
f −inf
R
f ≥ o( f , x) ≥ 1/m. Vậy
 >
∑
R∈S
(sup
R
f −inf
R
f )|R| ≥
∑
R∈S
1
m
|R |.
Vậy ta được
∑
R∈S
|R | < m.
Gọi T là hội của biên của các hình hộp con của P. Ta có C
1/m
⊂ T ∪(

R∈S
R).
Theo 1.2.19 tập T có thể tích không. Có một phủ Q của T bằng hữu hạn các hình

hộp sao cho tổng thể tích của các hình hộp này nhỏ hơn . Do đó C
1/m
được phủ
bởi họ S ∪ Q với tổng thể tích nhỏ hơn (m + 1). Ta kết luận C
1/m
có thể tích
không. 
Bài tập.
1.2.20. Hàm được định nghĩa trong Ví dụ 1.2.11 liên tục tại các số vô tỉ.
Hướng dẫn: Giả sử x ∈ [0, 1] là một số vô tỉ và {
p
n
q
n
}
n∈Z
+
là một dãy các số hữu tỉ hội tụ về x. Nếu
dãy {q
n
}
n∈Z
+
không tiến ra vô cùng thì sẽ có một số thực M sao cho với mọi k ∈ Z
+
có n
k
> k sao cho
q
n

k
< M. Dãy {q
n
k
}
k∈Z
+
bị chặn, nên có dãy con {q
n
k
l
}
l∈Z
+
hội tụ về một số nguyên c.
1.2.21. Tập hợp các số hữu tỉ trong khoảng [0, 1] có độ đo không nhưng không có thể tích
không.
Hướng dẫn: Tập hợp các số hữu tỉ là đếm được. Dùng 1.2.13.
1.2.22. Nếu f khả tích thì |f | khả tích và




I
f



≤


I
|f |.
12 1. Tích phân bội
1.3. Định lí Fubini
Định lí Fubini Theorem là công cụ chính để tính tích phân bội.
Sau đây là một dạng thường dùng của định lí Fubini trong không gian hai
chiều.
1.3.1. Định lí (Định lí Fubini trong không gian hai chiều). Cho f liên tục trên
hình chữ nhật [a, b] ×[c, d]. Khi đó

[a,b]×[c,d]
f (x, y) dA =

[a,b]


[c,d]
f (x, y) dy

dx =

[c,d]


[a,b]
f (x, y) dx

dy
Các tích phân bên vế phải của đẳng thức trên được gọi là các tích phân lặp.
Ta có cách giải thích hình học như sau. Giả sử f > 0. Khi đó


[a,b]×[c,d]
f là
"thể tích" của khối bên dưới mặt z = f (x, y) bên trên hình chữ nhật [a, b] × [c, d].
Đặt I(x) =

[c,d]
f (x, y) dy. Khi đó I(x
0
) là diện tích của mặt cắt (cross-section) của
khối bởi mặt phẳng x = x
0
. Vậy định lí Fubini nói rằng thể tích của khối bằng tổng
diện tích các mặt cắt song song.
Có thể giải tích điều này bằng cách xấp xỉ thể tích của khối như sau. Chia
khoảng [a, b] thành những khoảng con. Ứng với những khoảng con này, khối được
cắt thành những mảnh bởi những mặt cắt song song. Vì chiều dài mỗi khoảng con
là nhỏ, ta có thể xấp xỉ thể tích của mỗi mảnh bởi diện tích một mặt cắt nhân với
chiều dài của khoảng con.
Có thể giải thích công thức Fubini theo cách định lượng như sau: tổng giá trị
của hàm trên hình hộp bằng tổng giá trị trên các mặt cắt.
Cũng có thể giải thích bằng xấp xỉ theo tổng Riemann như sau. Giả sử a =
x
0
< x
1
< ··· < x
m
= b là một phân hoạch của khoảng [a, b] và c = y
0

< y
1
<
··· < y
n
= d là một phân hoạch của khoảng [c, d]. Khi đó ta có thể xấp xỉ như sau,
ở đây x
∗
i
là điểm đại diện bất kì thuộc khoảng con ∆x
i
và y
∗
i
là điểm bất kì thuộc
∆y
i
:

[a,b]


[c,d]
f (x, y) dy

dx ≈
m
∑
i=1



[c,d]
f (x, y) dy

|∆x
i
|
=
m
∑
i=1

n
∑
j=1
f (x
∗
i
, y
∗
j
)|∆y
j
|

|∆x
i
|
=
∑

i,j
f (x
∗
i
, y
∗
j
)|∆x
i
||∆y
j
|
≈

[a,b]×[c,d]
f (x, y) dA
Sau đây là một dạng tổng quát của định lí Fubini.
1.3.2. Định lí (Định lí Fubini). Cho A là một hình hộp trong R
m
và B là một hình
hộp trong R
n
. Cho f khả tích trên hình hộp A × B trong R
m+n
. Giả sử với mỗi
1.3. Định lí Fubini 13
x ∈ A tích phân

B
f (x, y) dy tồn tại. Khi đó


A×B
f =

A


B
f (x, y) dy

dx
Các giả thiết về hàm f sẽ được thỏa mãn nếu f liên tục, do đó ta có dạng
thường dùng sau:
1.3.3. Hệ quả. Cho A là một hình hộp trong R
m
và B là một hình hộp trong R
n
.
Cho f liên tục trên hình hộp A × B trong R
m+n
. Khi đó

A×B
f =

A


B
f (x, y) dy


dx =

B


A
f (x, y) dx

dy
Hệ quả trong trường hợp 3 chiều là:
1.3.4. Hệ quả. Cho f liên tục trên hình hộp [a, b] ×[c, d] ×[e, f ]. Khi đó

[a,b]×[c,d]×[e, f ]
f (x, y, z) dV =

[a,b]


[c,d]


[e,f ]
f (x, y, z) dz

dy

dx
Và tương tự cho năm trường hợp còn lại.
CHỨNG MINH 1.3.2. Chứng minh này đơn giản là một cách viết chính xác cách

giải thích bằng xấp xỉ với tổng Riemann ở trên.
Gọi P là một phép chia bất kì của hình hộp A × B. Khi đó P là tích của một
phép chia P
A
của A và một phép chia P
B
của B .
Đối với tổng dưới, ta có:
L(

B
f (x, y) dy, P
A
) =
∑
R
A
[ inf
x∈R
A

B
f (x, y) dy]|R
A
|
≥
∑
R
A
( inf

x∈R
A
∑
R
B
[ inf
y∈R
B
f (x, y)]|R
B
|)|R
A
|
≥
∑
R
A
( inf
x∈R
A
∑
R
B
[ inf
R
A
×R
B
f (x, y)]|R
B

|)|R
A
|
=
∑
R
A
(
∑
R
B
[ inf
R
A
×R
B
f (x, y)]|R
B
|)|R
A
|
=
∑
R
A
×R
B
inf
R
A

×R
B
f (x, y)|R
A
||R
B
|
=
∑
R
A
×R
B
inf
R
A
×R
B
f (x, y)|R
A
× R
B
| = L( f , P)
Tương tự, thay inf bởi sup ta được U(

B
f (x, y) dy, P
A
) ≤ U( f , P). Từ đây ta
có ngay định lí. 

Bài tập.
1.3.5. Cho f : R
2
→ R. Giả sử
∂
2
f
∂x∂y
(x, y) và
∂
2
f
∂y∂x
(x, y) liên tục.
(a) Trên hình chữ nhật [a, b] ×[c, d], dùng định lí Fubini, hãy chứng tỏ

[a,b]×[ c,d]
∂
2
f
∂x∂y
dA =

[a,b]×[ c,d]
∂
2
f
∂y∂x
dA.
(b) Dùng phần (a), chứng tỏ

∂
2
f
∂x∂y
=
∂
2
f
∂y∂x
.
14 1. Tích phân bội
Đây là một chứng minh dùng tích phân bội của một định lí quen thuộc trong Giải tích
2, đôi khi được gọi là Định lí Clairaut.
1.4. Tích phân trên tập tổng quát 15
1.4. Tích phân trên tập tổng quát
Bây giờ ta phát triển lí thuyết tích phân trên tập tổng quát hơn hình hộp.
Chúng ta chỉ xét các tập con của R
n
. Để ngắn gọn hơn ta sẽ dùng từ miền
(region) để chỉ một tập con của R
n
. Hơn nữa chúng ta chỉ xét những miền bị chặn.
Nhớ lại rằng trong Giải tích 1 để xét tích phân trên khoảng không bị chặn (hoặc
tích phân của những hàm không bị chặn) ta đã phải dùng đến giới hạn và do đó
có khái niệm tích phân suy rộng.
Giả sử rằng D là một miền bị chặn, và f : D → R. Vì D bị chặn nên có hình
hộp I chứa D.
Mở rộng hàm f lên hình hộp I thành hàm F : I → R xác định bởi
F(x) =




f (x), x ∈ D
0, x /∈ D
Ta định nghĩa một cách tự nhiên:
1.4.1. Định nghĩa. Tích phân của f trên D được định nghĩa là tích phân của F trên
I.
Ta nhận thấy ngay định nghĩa này không mâu thuẫn với định nghĩa đã có khi
D là một hình hộp. Một điều kiện cần để tích phân của f trên D được định nghĩa
là f phải bị chặn trên D.
Định nghĩa tích phân của f trên D cần phải không phụ t huộc vào cách chọn
hình hộp I.
1.4.2. Bổ đề. Tích phân

D
f không phụ thuộc vào cách chọn hình hộp I.
CHỨNG MINH. Giả sử F
1
là mở rộng của f lên I
1
⊃ D, bằng không ngoài D và
F
2
là mở rộng của f lên I
2
⊃ D, bằng không ngoài D. Ta cần chứng minh điều sau:
nếu F
1
khả tích trên I
1

thì F
2
khả tích trên I
2
, và khi đó

I
1
F
1
=

I
2
F
2
.
Đặt I
3
= I
1
∩ I
2
, ta chứng minh điều sau là đủ: F
1
khả tích trên I
1
khi và chỉ
khi F
3

khả tích trên I
3
, và khi đó

I
1
F
1
=

I
3
F
3
.
Đặt F

1
xác định trên I
1
sao cho F

1
trùng với F
1
trừ ra trên biên của I
3
, nơi mà
F


1
được định nghĩa là bằng không. Vì F

1
chỉ khác F
1
trên một tập có thể tích không
nên theo 1.2.12 F

1
khả tích khi và chỉ khi F
1
khả tích, và khi đó

I
1
F

1
=

I
1
F
1
.
Một phép chia bất kì P của I
3
sinh ra một phép chia P


của I
1
bằng cách thêm
vào tọa độ các đỉnh của I
1
. Bất kì một hình hộp con nào của P cũng là một hình
hộp con của P

, từ đó U(F
3
, P) = U(F

1
, P

) và L(F
3
, P) = L(F

1
, P

) (ở chỗ này có
dùng giả thiết F

1
bằng không trên biên của I
3
). Do tiêu chuẩn 1.2.1 ta kết luận nếu
F

3
khả tích thì F

1
khả tích, và khi đó

I
1
F

1
=

I
3
F
3
.
Mặt khác, một phép chia bất kì cho trước P

của I
1
sinh ra một phép chia P

của I
1
mịn hơn P

bằng cách t hêm vào tọa độ các đỉnh của I
3

. Hạn chế P

lên I
3
ta
được một phép chia P của I
3
. Giống như đoạn vừa rồi ta có U(F
3
, P) = U(F

1
, P

)
và L(F
3
, P) = L(F

1
, P

). Do đó nếu F

1
khả tích thì F
3
khả tích và khi đó tích phân
của chúng bằng nhau. 
16 1. Tích phân bội

1.4.1. Thể tích của miền tổng quát. Ta định nghĩa thể tích thông qua tích phân.
1.4.3. Định nghĩa. Cho D là một tập con bị chặn của R
n
. Thể tích (n chiều) của D
được định nghĩa là giá trị của tích phân

D
1.
Ta thường thay từ thể tích (volume) bằng từ diện tích (area) khi số chiều n = 2
và bằng từ chiều dài (length) khi n = 1. Ta thường kí hiệu thể tích của D bằng
|
D
|
.
Từ ý của tích phân, ta có t hể thấy ý của thể tích, đó là xấp xỉ trong và xấp xỉ
ngoài miền đã cho bằng hội của những hình hộp thích hợp.
HÌNH 1.4.1. Xấp xỉ ngoài và xấp xỉ trong diện tích của một hình tròn.
1.4.4. Định lí. Một tập con bị chặn của R
n
có thể tích khi và chỉ khi biên của nó có
thể tích không.
Để chứng minh định lí này ta cần bổ đề sau:
1.4.5. Bổ đề. Biên của một tập con bị chặn của R
n
có độ đo không khi và chỉ khi
nó có thể tích không.
CHỨNG MINH. Biên của một tập con của R
n
luôn là một tập đóng. Vì tập đã
cho là bị chặn nên biên của nó cũng bị chặn, và do đó biên là compắc. Theo 1.2.15

ta có kết quả. 
Giờ ta có thể chứng minh định lí.
CHỨNG MINH 1.4.4. Cho D là miền bị chặn trong R
n
, lấy một hình hộp I chứa
D và lấy hàm F bằng 1 trên D và bằng 0 ngoài D. Tập hợp các điểm không liên tục
của F là chính tập biên của D. Vậy F khả tích khi và chỉ khi biên của D có độ đo
không, và điều này xảy ra khi và chỉ khi nó có thể tích không. 
1.4.2. Sự khả tích. Tích phân

D
f tồn tại nếu và chỉ nếu tích phân

I
F tồn tại.
Theo 1.2.10 ta biết tích phân

I
F tồn tại khi và chỉ khi F liên tục hầu khắp trên I.
Tập điểm tại đó F không liên tục gồm những điểm trên D mà f không liên tục
và có thể một số điểm khác trên biên của D.
1.4. Tích phân trên tập tổng quát 17
1.4.6. Định lí. Cho D là tập con bị chặn của R
n
với biên ∂D có thể tích không. Khi
đó f khả tích trên D khi và chỉ khi f bị chặn và liên tục hầu khắp trên D .
CHỨNG MINH. Cho C là tập những điểm tại đó f không liên tục. Cho I là một
hình hộp chứa D và cho F là mở rộng của f lên I, bằng không ngoài D. Gọi E là
tập điểm tại đó F không liên tục.
Như đã nói ở trên, ta có C ⊂ E ⊂ (C ∪∂D).

Nếu C có độ đo không thì C ∪ ∂D có độ đo không, vì theo giả thiết ∂D có thể
tích không. Điều này dẫn đến E có độ đo không, do đó F khả tích.
Ngược lại, nếu F khả tích thì E có độ đo không, do đó C có độ đo không. 
Từ kết quả về điều kiện khả tích ta có nhu cầu biết thêm ví dụ tập có thể tích
không. Dưới đây là một kết quả đơn giản nhưng được dùng rất thường xuyên
trong môn này.
1.4.7. Mệnh đề. Đồ thị của một hàm liên tục trên một miền đóng bị chặn trên R
n
có thể tích không trên R
n+1
.
CHỨNG MINH. Cho f liên tục trên miền đóng, bị chặn D ⊂ R
n
. Đặt D vào bên
trong một hình hộp I rồi phân hoạch I. Gọi S là họ các hình hộp con của I mà
có phần giao khác rỗng với D. Vì D compắc nên f liên tục đều trên D, do đó cho
trước  > 0 ta có thể phân hoạch sao cho trên mỗi hình hộp con R thuộc họ S thì
sup
R
f −inf
R
f < .
b
a
HÌNH 1.4.2. Đồ thị của hàm liên tục có thể tích không: Minh họa
cho trường hợp hàm xác định trên khoảng đóng.
Khi đó đồ thị {(x, f (x)) | x ∈ D} ⊂ R
n+1
được phủ bằng họ các hình hộp có
dạng R × [inf

R
f , sup
R
f ] với R ∈ S. Tổng thể tích của các hình hộp này nhỏ hơn
|I|. 
1.4.8. Ví dụ. Do kết quả này và 1.2.18, trên mặt phẳng một đoạn thẳng có diện tích
không, một đường tròn có diện tích không (và do đó hình tròn có diện tích), biên
của một hình bình hành có diện tích không . . . Trong không gian ba chiều thì mặt
cầu có thể tích không (và do đó quả cầu có thể tích).
18 1. Tích phân bội
1.4.3. Tính chất của tích phân. Một số kết quả trong phần này đòi hỏi những
điều kiện về sự khả tích. Người đọc có thể giả sử mọi thứ trong các công thức đều
được xác định để có phát biểu đơn giản hơn.
Tương tự như kết quả cho hình hộp 1.2.12, ta có:
1.4.9. Định lí. Cho D là tập bị chặn trong R
n
. Giả sử f và g bị chặn trên D, và
f (x) = g(x) trừ ra một tập có thể tích không. Nếu f khả tích thì g cũng khả tích và
khi đó

D
f =

D
g.
CHỨNG MINH. Lấy một hình hộp I chứa D. Gọi F và G là các mở rộng của f
và g lên I, bằng không ngoài D. Khi đó F(x) = G(x) trên I trừ ra một tập có thể
tích không. Nếu f khả tích trên D thì theo định nghĩa F khả tích trên I. Theo 1.2.12
ta có kết quả. 
1.4.10. Định lí. Cho D

1
và D
2
là hai tập con bị chặn của R
n
. Giả sử D
1
∩ D
2
có thể
tích không. Nếu f khả tích trên D
1
và trên D
2
thì f khả tích trên D
1
∪ D
2
, và khi
đó

D
1
∪D
2
f =

D
1
f +


D
2
f
Định lí này cho phép ta tính tích phân trên một miền bằng cách chia miền đó
thành những miền đơn giản hơn.
1.4.11. Ví dụ. Trong định lí trên lấy f = 1, ta có kết quả: Nếu biên của D
1
và biên
của D
2
có thể tíchkhông, và D
1
∩D
2
có thể tíchkhông, thì
|
D
1
∪ D
2
|
=
|
D
1
|
+
|
D

2
|
.
Chẳng hạn khi tính diện tích một hình ta vẫn thường chia hình đó t hành
những hình đơn giản hơn bằng những đoạn thẳng hay đoạn cong, rồi cộng các
diện tích lại.
CHỨNG MINH. Đặt f
1
xác định trên D = D
1
∪ D
2
sao cho f
1
= f trên D
1
và
f
1
= 0 trên D \ D
1
. Tương tự, đặt f
2
xác định trên D sao cho f
2
= f trên D
2
và f
2
= 0 trên D \ D

2
. Có thể kiểm dễ dàng là f
1
và f
2
khả tích trên D. Ta có
f
1
+ f
2
= f trên D \ (D
1
∩ D
2
). Do 1.4.9 ta có f khả tích trên D và

D
f =

D
( f
1
+ f
2
) =

D
f
1
+


D
f
2
=

D
1
f +

D
2
f .

1.4.4. Định lí Fubini cho miền phẳng đơn giản. Phương pháp cơ bản để tính
tích phân trên miền tổng quát cũng là dùng định lí Fubini. Việc áp dụng định lí
Fubini sẽ dễ dàng hơn đối với những miền "đơn giản".
Một tập con của R
2
được gọi là một miền đơn theo chiều đứng (vertically
simple region) nếu nó có dạng {( x, y) ∈ R
2
| a ≤ x ≤ b, f (x) ≤ y ≤ g(x)}. Đây
là miền bao bởi hai đường thẳng đứng và hai đồ thị, một trong hai luôn nằm trên
cái còn lại. Một đường thẳng đứng nếu cắt miền thì phần giao là một đoạn thẳng.
Một tập con của R
2
được gọi là một miền đơn theo chiều ngang (vertically
simple region) nếu nó có dạng {(x, y) ∈ R
2

| a ≤ y ≤ b, f (y) ≤ x ≤ g(y)}.
1.4. Tích phân trên tập tổng quát 19
1.4.12. Định lí (Định lí Fubini cho miền phẳng đơn giản). Cho miền đơn giản
theo chiều đứng D = {(x, y) ∈ R
2
| a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ h(x)}. Giả sử g và h
bị chặn trên [a, b]. Giả sử f khả tích trên D, và giả sử với mỗi x ∈ [a, b] tích phân

h(x)
g(x)
f (x, y) dy tồn tại. Khi đó

D
f (x, y) dA =

b
a


h(x)
g(x)
f (x, y) dy

dx
Lưu ý rằng tất cả những giả thiết của định lí về sự khả tích sẽ được thỏa mãn
nếu f , g và h liên tục.
CHỨNG MINH. Lấy một hình chữ nhật I = [a, b] × [c, d] chứa D. Gọi F là mở
rộng của f bằng không ngoài D. Theo định nghĩa f khả tích trên D nếu và chỉ nếu
F khả tích trên I, và khi đó


D
f =

I
F.
Theo giả thiết,

h(x)
g(x)
f (x, y) dy =

{x}×[c,d]
F(x, y) dy tồn tại. Áp dụng Định lí
Fubini 1.3.2 cho F, ta có

I
F =

b
a


d
c
F(x, y) dy

dx =

b
a



h(x)
g(x)
f (x, y) dy

dx

1.4.5. Định lí Fubini cho miền đơn giản ba chiều. Hoàn toàn tương tự trường
hợp hai chiều ta có thể nói về miền đơn giản ba chiều.
Để đơn giản dưới đây ta chỉ phát biểu kết quả cho trường hợp miền bên dưới
một đồ thị (tức một khối đơn giản theo chiều trục z).
1.4.13. Định lí. Cho z = g(x, y) là một hàm bị chặn, không âm, xác định trên miền
phẳng bị chặn D. Gọi E là miền dưới đồ thị của g bên trên mặt phẳng Oxy, tức
E = {(x, y, z) ∈ R
3
| (x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ g(x, y)}.
Giả sử f khả tích trên E. Giả sử với mỗi (x , y) ∈ D tích phân

g(x,y)
0
f (x, y, z) dz
tồn tại. Khi đó

E
f (x, y, z) dV =

D



g(x,y)
0
f (x, y, z) dz

dA
CHỨNG MINH. Đặt D trong một hình chữ nhật I. Vì g bị chặn trên D nên có
một khoảng [0, a] sao cho hình hộp I ×[0, a] chứa E.
Bây giờ ta làm giống như trong trường hợp miền đơn giản phẳng. Lấy mở
rộng F của f lên I × [0, a] sao cho F bằng không ngoài E . Nếu điểm (x, y) /∈ D
thì hàm F có giá trị 0 trên khoảng {(x, y)} × [0, a]. Ngược lại nếu (x, y) ∈ D thì

{(x,y) }×I
F(x, y, z) dz =

g(x,y)
0
f (x, y, z) dz.
Áp dụng định lí Fubini cho F ta có

I×[0,a]
F(x, y, z) dV =

I


[0,a]
F(x, y, z) dz

dA
=


D


[0,a]
F(x, y, z) dz

dA
=

D


g(x,y)
0
f (x, y, z) dz

dA
20 1. Tích phân bội

1.4.14. Mệnh đề. Các giả thiết của Định lí 1.4.13 được thỏa nếu f và g liên tục,
miền D đóng với biên có diện tích không.
CHỨNG MINH. Ta chỉ cần kiểm là biên của E có thể tích không trong R
3
. Biên
của E là hội của đồ thị của hàm g, miền D, và mặt bên hông của E. Mặt bên hông
của E là một tập con của tập ∂D ×[0, a], trong đó ∂D là biên của D, và [0, a] là một
khoảng sao cho hình hộp D × [0, a] chứa E, như trong chứng minh của 1.4.13. Vì
∂D có diện tích không trong R
2

ta có thể phủ nó bằng hữu hạn hình chữ nhật với
tổng diện tích nhỏ hơn  > 0. Lấy tích của mỗi hình chữ nhật đó với khoảng [0, a]
ta được một phủ của ∂D × [0, a] bởi các hình hộp có tổng thể tích nhỏ hơn a. Vậy
mặt bên hông của E có thể tích không trong R
3
.
Theo 1.4.7 đồ thị của g có thể tích không trong R
3
. Miền phẳng bị chặn D có
thể tích không trong R
3
. 
Hệ quả sau đây là một kết quả mà ta đã chờ đợi, thường được dùng trong tính
toán cụ thể:
1.4.15. Hệ quả. Cho z = g(x, y) là một hàm bị chặn, không âm, xác định trên miền
phẳng bị chặn D. Gọi E là miền dưới đồ thị của g bên trên mặt phẳng Oxy. Nếu g
khả tích trên D và miền E có thể tích thì thể tích đó bằng tích phân của g trên D:
|E| =

E
1 dV =

D
g(x, y) dA
Công thức trên sẽ đúng nếu g liên tục và D là miền đóng với biên có diện tích
không. Đây là trường hợp thường gặp.
Bài tập.
1.4.16. Tính diện tích miền bao bởi các đường cong x = y
2
, y − x = 3, y = −3, y = 2.

1.4.17. Tính tích phân

R
(
√
x −y
2
) dA
trong đó R là miền bao bởi các đường cong y = x
2
, x = y
4
.
1.4.18. Tính thể tích của khối bao bởi mặt z = 4 − x
2
−y
2
và mặt phẳng xOy.
1.4.19. Tính tích phân

R

x
2
+ y
2
trong đó R là miền bao bởi hai đường cong x
2
+ y
2

= 4 and x
2
+ y
2
= 9.
1.4.20. Cho tích phân lặp

1
0


1
x
e
x/y
dy

dx.
(a) Viết lại tích phân trên dưới dạng một tích phân bội.
(b) Tính tích phân trên bằng cách đổi thứ tự tích phân lặp.
1.4.21. Tính tích phân

D
y dA trong đó D là miền trong góc phần tư thứ nhất, nằm bên
trên đường hyperbola xy = 1, bên trên đường thẳng y = x, bên dưới đường thẳng y = 2.
1.4. Tích phân trên tập tổng quát 21
1.4.22. Gọi E là khối được bao bởi các mặt phẳng x = 0, y = 0, z = 0, 2x + 2y + z = 4. Hãy
tích tính phân

E

y dV.
1.4.23. Tính tích phân

E
y dV
trong đó E là khối tứ diện với 4 đỉnh (0, 0, 0), (1, 0, 0), (2, 1, 0) và (0, 0, 1).
1.4.24. Gọi E là khối được bao phía trên bởi mặt cầu x
2
+ y
2
+ z
2
= 2 và được bao phía
dưới bởi mặt paraboloid z = x
2
+ y
2
.
(a) Chứng tỏ phần giao của hai mặt trên là một đường tròn.
(b) Tính thể tích của khối E.
1.4.25. Tìm thể tích của khối bị chặn trên bởi mặt cầu x
2
+ y
2
+ z
2
= 4 và bị chặn dưới bởi
mặt nón z
2
= 3x

2
+ 3y
2
.
1.4.26. Một tập con bị chặn của R
n
có thể tích không (of content zero) khi và chỉ khi nó có
thể tích và thể tích đó bằng không. Như vậy thể tích không chính là có thể tích bằng không!
1.4.27. Kết quả 1.4.7 có còn đúng không nếu bỏ đi yêu cầu miền xác định của hàm là tập
đóng?
1.4.28. Nếu f : [a, b] → R khả tích thì đồ thị của f có diện tích không.
Điều ngược lại có đúng không?
1.4.29. Tích phân của một hàm bị chặn trên một tập có thể tích không thì bằng không.
Hướng dẫn: Dùng 1.2.12.
1.4.30. Cho D và E là hai tập con của R
n
, trong đó E có thể tích không. Giả sử f bị chặn
trên D và E, và f khả tích trên D. Khi đó f khả tích trên D ∪E và

D∪E
f =

D
f
Kết quả này nói rằng thêm một tập có thể tích không thì tích phân không thay đổi.
Hướng dẫn: Dùng 1.4.10 và 1.4.29.
1.4.31. (a) Chứng tỏ rằng thể tích của khối bao bởi mặt x
2
+ (y − z − 3)
2

= 1, 0 ≤ z ≤ 1
bằng với thể tích của khối bao bởi mặt x
2
+ y
2
= 1, 0 ≤ z ≤ 1.
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
0
1
2
3
4
5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
HÌNH 1.4.3. Mặt x
2
+ y
2

= 1 (trái) và mặt x
2
+ (y −z −3)
2
= 1 (phải).