SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC
-----------------------o0o--------------------

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

- Tên sáng kiến:

“ Mét sè Kü THT gióp häc sinh häc tèt
ph¬ng trình Lợng giác
- Tỏc gi: NGUYN TH HNG
- Mó sáng kiến: 52.05

Tháng 1 năm 2020

1


BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1.Lời giới thiệu
Phương trình lượng giác là một dạng tốn quen thuộc trong chương trình Tốn phổ thơng,
cơng thức lượng giác tương đối nhiều và khó nhớ, nếu chỉ học thuộc lịng cơng thức thì học
sinh rất dễ nhầm lẫn.Mặt khác trong tất cả các đề thi Đại học, cao đẳng đều có ít nhất một
câu giải phương trình lượng giác và câu này học
Vì vậy để giúp các em học sinh đạt điểm tối đa phần lượng giác trong
các kỳ thi tôi mạnh dạn viết đề tài : « MỘT SỐ KỸ THUẬT GIÚP HỌC
SINH HỌC TỐT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC »
Tơi rất mong nhận được ý kiến đóng góp chân thành của q
thầy cô cùng

đồng nghiệp để bài viết được tổng quát hơn.
2. Tên sáng kiến:
« MỘT SỐ KỸ THUẬT GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC »
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Nguyễn Thị Hương
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học
- Số điện thoại: 0914262614 E_mail:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến :
- Họ và tên: Nguyễn Thị Hương
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
- Toán: lớp 11
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 10 /9/2019
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
- Về nội dung của sáng kiến:
1/ Giúp học sinh hiểu, thuộc và chứng minh được các công thức lượng giác.
2/ Giúp học sinh một số nhận xét cơ bản để chứng minh một đẳng thức lượng giác hay rút
gọn một biểu thức lượng giác.
3/ Giúp học sinh một số nhận xét cơ bản khi nhìn phương trình đã cho biết sử dụng cơng
thức nào để đưa phương trình đó về dạng phương trình đã biết cách giải.
2


4/ Giúp học sinh nhận và loại nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện.
7.1. Hiện trạng :
- Cơng thức lượng giác tương đối nhiều và khó nhớ, nếu chỉ học thuộc lịng cơng thức thì
học sinh rất dễ nhầm lẫn
- Đứng trước việc giải một phương trình lượng giác nhiều khi học sinh vẫn chưa định hình
được việc áp dụng công thức lượng giác nào để hiệu quả nhất.

- Trong các bài tốn giải phương trình lượng giác chứa điều kiện, học sinh chưa biết loại
nghiệm ngoại lai.
7.2. Một số giải pháp
- Đưa ra một số kỹ thuật để giúp học sinh học thuộc công thức lượng giác và giải phương
trình lượng giác.
7.3. Nội dung
I/ CÁCH HỌC VÀ GHI NHỚ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1/HỆ THỨC CƠ BẢN
1/ sin2x + cos2x = 1

2/ tanx =

3/ cotx =

4/ tanx . cotx

5/ 1 + tan2x =

6/ 1 + cot 2x =

=1

CAÙCH NHỚ : - Cơng thức (2) và (3), (4): tanx và cotx là nghịch đảo của nhau
- Công thức (5) và (6): chú ý mẫu của tanx là cosx, mẫu của cotx là sinx

2 /CUNG LIÊN KẾT 
CÁCH NHỚ :
Đóng khung những trường hợp đặc biệt và ghi nhớ trường hợp đặc biệt đó , trường
hợp nào khơng được nhắc đến thì thêm dấu trừ vào
cos đối , sin bù , phụ chéo

Hơn kém
ta có tang và cotang
Hơn kém

, chéo , sin một mình

3


(cos đối)
Hai cung đối nhau là x và – x
nhau là x và
-x

(sin bù)
Hai cung bù

cos( - x) =
cosxcosx
sin (
sinx

sin ( - x) = - sinx
tan(- x) = - tanx

cos (

- x) = -

tan (


- x) = -

cot (

- x) = -

- x) =

tanx
cot (- x) = - cotx
cotx
(phụ chéo)
Hai cung phụ nhau là x và
kém nhau
cos(

là x và

–x

Hai cung hôn

+x

- x) = sinx

cos (

+ x) = -


sin (

- x) = cosx

sin (

+ x) = -

tan(

- x) = co tx

cot (

- x) = tanx

cosx
sinx

Hai cung hơn kém nhau
cos(
sin (

tan (
tanx
cot (

+ x) =
+ x) =


laø x vaø

+x

+ x) = - sinx
+ x) =

tan(

+ x) = - co tx

cot(

+ x) = - tanx

3/CÔNG THỨC CỘNG
cos(a – b ) = cosa.cosb + sina.sinb
CÁCH NHỚ :
cos(a + b ) = cosa.cosb - sina.sinb
Cos thì cos cos , sin sin
Sin thì sin cos , cos
sin ( a + b) = sina.cosb +sinb .cosa
sin
sin ( a – b) = sina.cosb – sinb .cosa
4

Cos trái dấu , sin



tan ( a – b) =
tan ( a + b) =
cot ( a + b) =
cot ( a – b) =
4/CÔNG THỨC NHÂN
cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a
– 3cosa
sin 2a = 2 sina.cosa
– 4sin3a
tan 2a =

cos3a = 4 cos3a
sin 3a = 3sina
tan3a =

5/COÂNG THỨC HẠ BẬC
cos2 a =

sin2a =

tan2a =

6/CÔNG THỨC TÍNH biến đổi sina , cosa , tana về ( t = tan
)
sina =

,

cosa =


,

tan a =

7/CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
cosa + cosb = 2
cosa - cosb = - 2
sina + sinb = 2
sina - sinb = 2
tan a + tanb =
tan a - tanb =

CÁCH NHƠ : Ù
Cos cộng cos bằng hai
cos cos
Cos trừ cos bằng
trừ hai sin sin
Sin cộng sin bằng
hai sin cos
CÁCH NHỚ : tang mình cộng với
tang ta
Bằng sin hai đứa chia cos
5


8/CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG :
CÁCH NHƠ : Ù

cosa.cosb =


cos nhân cos bằng

sina.sinb =

của cos cộng

cos
Sin nhân sin bằng trừ

sina.cosb =

của cos

trừ cos
Sin nhân cos bằng

của sin cộng

II/ BIỂU DIỄN GĨC CUNG TRÊN ĐƯỜNG TRỊN LƯỢNG GIÁC
B1:

Đưa về dạng

x =

(k

Z, n

)


B2: Cho k nhận các giá trị từ 0 đến (n-1)
, khi đó x được biểu diễn bởi điểm M1
, khi đó x được biểu diễn bởi điểm M2
, khi đó x được biểu diễn bởi điểm M3
....
, khi đó x được biểu diễn bởi
điểm Mn

Ví dụ :Tìm điểm biểu diễn của cung x :
1/ x =

2/ x =

3/ x =

Giải:
1/
Khi k = 0 thì x =

y
M(
M()

x được biểu diễn bởi điểm M ( )

)

O
x


6
N


2/
Khi k = 0 thì x =

x được biểu diễn bởi điểm M ( )

Khi k = 1 thì x =

x được biểu diễn bởi điểm N

(N là điểm đối xứng của M qua O)

3/
Khi k = 0 thì x =

x được biểu diễn bởi điểm M ( )

Khi k = 1 thì x =

x được biểu diễn bởi điểm P

Khi k = 2 thì x =

x được biểu diễn bởi điểm N

M()


O

x

N

(N là điểm đối xứng của M qua O)
Khi k = 3 thì x =

P

x được biểu diễn bởi điểm Q

Q

(Q là điểm đối xứng của N qua O)
Kết luận : x =

, x được biểu diễn bởi điểm có 4 điểm là đỉnh hình vng

MNPQ nội tiếp trong đường trịn lượng giác.
Tổng qt:
Nếu x =

(k

Z) thì x được biểu diễn bởi n điểm là đỉnh đa giác đều n cạnh

nội tiếp trong đường tròn lượng giác.

III/ MỘT VÀI KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
III.1. Kỹ thuật 1: Biến đổi phương trình đã cho về dạng tích số :
1/ Khi hai vế phương trình có những thừa số giống nhau
và có chứa x thì ta phải chuyển về một vế và đưa về
phương trình tích .
Ví dụ 1: Giải phương trình : sinx ( 2 cosx +1 ) =
cos2x.sinx

Giải : sinx ( 2 cosx -1 ) = cos2x.sinx

sinx ( cos2x – 2cosx – 1 ) = 0
7


Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :

(k

)

2/ Nếu các góc trong phương trình có dạng nhân đôi thì ta
thường dùng công thức nhân đôi hoặc công thức hạ
bậc nâng cung để đưa về phương trình chỉ theo một góc
Ví dụ 2 : Giải phương trình : sin 2x = 2
cos2x

Giải : sin 2x = 2 cos2x
cosx ) = 0

2 sinx cosx - 2 cos2x = 0


Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :
hoặc sin 2x = 2 cos2x

( k,h

sin2x = 1 + cos2x

2cosx ( sinx –

)

sin2x – cos2x = 1

3/ Nếu trong phương trình có chứa cos2x , sin2 x thì ta dùng
công thức hạ bậc nâng cung
Ví dụ 3: Giải phương trình : sin2 x + sin2 2x = sin2 3x
+ sin24x

Giải : sin2 x + sin2 2x = sin2 3x + sin24x
cos2x + cos4x = cos6x + cos8x
cosx ( cos7x – cos3x) = 0

2 cos3x cosx = 2 cos7x cosx

8


Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :


( k,h

)

4/ Nếu trong phương trình có dạng tổng thì ta biến thành
tích hoặc ngược lại
Ví dụ 4: Giải phương trình : sinx + sin 2x + sin 3x
=0

Giải : sinx + sin 2x + sin 3x = 0

( sin3x + sinx) + sin2x = 0
2sin2x cosx + sin2x = 0
sin2x ( 2 cosx + 1) = 0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :

( k,h

)

Ví dụ 5: Giải phương trình : cosx cos7x = cos 3x
cos 5x

Giải : Cosx cos7x = cos 3x cos 5x
cos6x = cos2x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :

(k


)

Bài tập :Giải các phương trình sau :
1)
2)
3)
5)
7)

6)
8/ sin3 x + cos3 x = sinx – cos x
9


9/ 9 – 13 cosx = -

10/ 3( sinx – cos x) + sin 2x = 3

11/ sin2 x – 6 sinx cosx + cos2 x = - 2
13/

12 / cos 3x – cos 2x = sin 3x
14/ sin 5x – sinx =
16/ cos 4 x – cos 2x + 2 sin6

15/ ( cosx + sinx )(1 – sinx ) = cos 2x
x=0
17/ cosx - cos 2x = sin 3x


18/ cos 2 2x + 2cos2 x = 1

III.2. Kỹ thuật 2: Đặt ẩn phụ để đưa phương trình đã cho về dạng phương trình đại số
1/ Đặt ẩn phụ theo tan
ï t = tan

( hoặc t = tanx
)
Ví dụ 1: Giải phương trình : 6tan2 x – 2cos2 x = cos
2x

Giải: Điều kiện : x

(k

)

6tan2 x – 2cos2 x = cos 2x

6tan2 x = 2cos2x + 1

nên ta đặt aån phụ t = tan x
Khi đó phương trình (1) trở thành : 6t2 = 2 (

) +1

6t4 + 7t2 – 3 = 0

tan2x =


(h

)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =

(h

)

2/ Biến đổi phương trình đã cho về dạng có những biêu thức đồng dạng để từ đó ta đặt
được ẩn phụ
Ví dụ 2: Giải phương trình: tanx + tan2x + tan3x + cot2x +
cot3x = 6 (1)

Giải: Điều kiện : x

(k

)
10


( tanx + cotx ) + ( tan2x+ cot2x ) +( tan3x+ cot3x ) = 6

(1)

Đặt t = tanx + cotx =

, vì


nên

tan2x+ cot2x = t2 – 2 , tan3x+ cot3x = t3 – 3t
Khi đó phương trình (1) trở thành: t3 +t2 – 2t – 8 = 0
=2
h

sn2x = 1

x=

) ( thỏa đk)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x =

(h

)

3/ Phương trình có chứa đồng thời

thì ta đặt t = sinx

cosx

Ví dụ3 :Giải phương trình: sin3x + cos3x = 2 ( sinx +
cosx) – 1 (1)

Giải:
Đặt t = sinx + cosx =


sin (

) . Điều kiện : t

sin3x + cos3x = ( sinx + cosx)3 – 3sinxcosx( sinx + cosx) = t3 – 3t (
)
Khi đó phương trình (1) trở thành: t3 – 3t (

2t3 – 3t( t2 – 1) = 4t –

) = 2t – 1

2
t3 + t – 2 = 0
sin (

)=

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :

(k

)

4/ Phương trình có dạng : a (tan2x + cot2x ) + b( tanx – cotx) + c = 0
Ta đặt t = tanx – cotx
tan2x + cot2x = t2 + 2
Ví dụ 4:Giải phương trình:
= 0 (1)


(tan2x + cot2x ) + 2 (

Giải:
11

- 1) ( tanx – cotx) – 4 - 2

(


Điều kiện : x

(k

)

Đặt t = tanx – cotx
tan2x + cot2x = t2 + 2
Khi đó phương trình (1) trở thành:
( t2 + 2) + 2 (

- 1)t – 4 - 2

t2 + 2 (

* t = -2

tanx – cotx = -2


- 1)t – 4 = 0

tan2x + 2tanx – 1 = 0
( k, h

*t=

=0

)( thỏa đk)

=

tanx – cotx =
cot2x = 2x = -

=
= cot ( -

+l

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :

)

x=và x = -

(l

)( thỏa đk)


( k, h, l

)

Bài tập: A/ Giải các phương trình sau:
1/

2/

3/
5/ cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0

4/

7/

6/

8/

9/ 2 + cosx = 2tan
11/ 1 + tanx = 2
13/ sin(

10/ cotx = tanx + 2 tan2x
sinx

12/ sin( 2x -


)=

14/ 2cos( x +

B/ Tìm m để phương trình :

) = 5 sin( x -

) + cos 3x

) = sin3x – cos3x

có đúng ba nghiệm thuộc ( 12

)


C/ Tìm m để phương trình : cos2 x + 2 ( 1 – m)cosx + 2m – 1 = 0 có 4 nghiệm thuộc [0; 2 ]
D/ Tìm m để phương trình : tan4x + ( 2m – 1)tan3x + ( m2 – 2m) tan2x – ( m2 – m + 1) tanx –
m+1=0
có 4 nghiệm thuộc khoảng ( E/ Cho phương trình : 2(

)
+ cos2x ) + m (

- cosx) = 1 (1)

a/ Giải phương trình khi m = 9
b/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng ( 0; )
F/ Cho phương trình : 4tan2x +


+ 5 = 0 (1)

a/ Giải phương trình khi m = - 1
b/Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng ( -

)

G/ Cho phương trình : sin3x – cos3x = m (1)
a/ Giải phương trình khi m = 1
b/ Tìm m để phương trình (1) có đúng 3 nghiệm thuộc đoạn [ 0 :
H/ Cho phương trình : 4 ( cosx – sinx ) + sin2x = m (1)
a/ Giải phương trình khi m = - 1
b/Tìm m để phương trình (1) vơ nghiệm

]

III.3. Kỹ thuật 3: Phương trình lượng giác có điều kiện
1/ Phương trình lượng giác chứa tang, cotang hoặc có chứa ẩn số ở mẫu:
Phân tích: Ngun tắc giải phương trình loại này là:
 Đặt điều kiện cho bài tốn có nghĩa.
 Sau đó, giải phương trình và kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa điều kiện đặt ra hay
khơng?
 Kết luận nghiệm.
Ví dụ 1: Giải phương trình:

(1)

Giải:Điều kiện:


13


Với điều kiện (1)

(2)

Nhận xét:
1 + tan2x.tan3x

0 vì nếu: 1 + tan2x.tan3x = 0

tan2x = tan3x (VT=0

VP=0)

vô lý
Vậy (2)

Ta kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa các điều kiện hay không?
a/ Điều kiện (a) bị vi phạm nếu :
Vậy x =

(vơ lý vì

)

thỏa điều kiện (a)

b/ Điều kiện (b) bị vi phạm nếu


:

= ( 2m + 1)

k = 2m + 1 là số nguyên lẻ

Vậy điều kiện (b) thỏa nếu k = 2n , khi đó nghiệm pt là x =
c/ Điều kiện (c) bị vi phạm nếu

:

= ( 2h + 1)

10n = 6h + 3 ( vơ lý vì n, h

Z)
Vậy x =

thỏa điều kiện (c) .Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là : x =

Ví dụ 2: Giải phương trình:

Giải:
Điều kiện :
Với điều kiện trên thì

tan5x=tan3x

Điều kiện (a) bị vi phạm nếu

Vì k,l là số nguyên nên

5x = 3x + l
sao cho

= m là số nguyên

k = 2l +

l = 2m + 1

Suy ra điều kiện (a) không bị vi phạm nếu l = 2n
Điều kiện (b) bị vi phạm nếu

x=

nghiệm x = n

sao cho n
14

=

6n = 2h + 1 ( vô lý)


Vậy nghiệm x thỏa điều kiện (a) và (b) là x = n
Ví dụ 3: Giải phương trình:

(1)


Giải:
Điều kiện :
Với điều kiện trên thì (1)

sin4x = cosx = sin (

a/ Nghiệm

vi phạm điều kiện nếu

Do k,l Z nên
Vậy

=m

k=l+

l = 4m + 1

là nghiệm Thay l vào k ta có k = 5m + 1

của (1) với k
b/ Nghiệm

5m + 1
vi phạm điều kiện nếu :

Do k,l Z nên
Vậy


)

=n

1 + 4k = 3l

l=k+

k = 3n – 1

là nghiệm của (1) với k

3n – 1

Kết luận: Nghiệm của (1) là

( k,m,n Z )

2/ Việc chọn nghiệm được nảy sinh do biến đổi phương trình ban đầu về phương trình hệ
quả
Ví dụ 4: Giải phương trình: cosx.cos2x.cos4x.cos8x =
15

(1)


Phân tích : vế trái của (1) là biểu thức có dạng tích các cos mà góc sau gâp đơi góc trước
nên ta thường nhân hai vế của (1) cho sin góc nhỏ nhất.
Giải:

a/ Xét sinx = 0 x =
khơng thỏa phương trình (1)
b/ Xét sinx 0 x
.Nhân hai vế của (1) cho sinx :
(1)

sinx cosx.cos2x.cos4x.cos8x =
sin2x.cos2x.cos4x.cos8x =
sin4xcos4x.cos8x =
sin8xcos8x =

sinx

Do k,l Z nên
Vậy x =

=

sin16x = sinx

=l

Do k,l Z nên

=n Z

Vậy x =

=7


+

= 2m , suy ra k = 15m

là nghiệm của phương trình (1) với k

b/ Nghiệm x =

(2)

vì (2) là phương trình hệ quả của (1)

k=

=m Z

sinx

sinx

Ta phải loại bỏ các nghiệm x =
a/ Nghiệm x =

sinx

15m

k = 8l +
l = 2n + 1 , suy ra k = 17n + 8


là nghiệm của phương trình (1) với k

17n + 8

Kết luận : Nghiệm của phương trình (1) là :

Ví dụ 5: Giải phương trình: cos2x + cos4x + cos6x + cos8x + cos10x = -

16

(1)


Phân tích : vế trái của (1) là biểu thức có dạng tổng các cos mà các góc tạo thành một câp
số cộng với
công sai d = 2x.Thường để rút gọn ta nhân hai vế cho sin
Giải:
a/ Xét sinx = 0
b/ Xét sinx 0
(1)

x = n khơng thỏa phương trình (1)
x n .Nhân hai vế của (1) cho sinx , ta có :

sinxcos2x + sinxcos4x + sinxcos6x + sinxcos8x + sinxcos10x = - sinx
[(sin3x – sinx)+( sin5x – sin3x)+(sin7x – sin5x)+( sin9x – sin7x)+( sin11x – sin9x)] =

- sinx
sin11x – sinx = -sinx
Nghiệm x =


sin11x = 0

vi phạm điều kiện nếu k,l Z sao cho :

Vậy nghiệm của phương trình (1) là : x =
Bài tập:

x=

với k

11.n

k = 11.n

( k, n Z)

Giải các phương trình :

1/ cos2x + cos x = 2

ĐS : x = 8n

2/ sin3x( cosx – 2sin3x) + cos3x(1 + sinx – 2cos3x) = 0
3/ sinx( cos

=n

- 2sinx) + cosx( 1 + sin


4/ sinx.sin2x.cos(3x +

- 2cosx) = 0

)=1

ĐS : ptvn
ĐS : x = 2

+ 8n

ĐS : ptvn

5/ sinx.cos4x.cos8x = 1

ĐS : x =

6/ cos2x + cos4x + cos6x = cosx.cos2x.cos3x + 2
7/

ĐS : x = k
ĐS :

8/ tan2x.tan7x = 1

ĐS : x =

IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
17


+ k2


1. Phương trình
a.

có các họ nghiệm là:
b.

2. Phương trình
a.

b.

b.

b.

11. Phương trình

c.

d.

c.

d. Vơ nghiệm.

có các nghiệm là:

b.

c.

d.

có nghiệm là:
b.

c.

d. Vơ nghiệm

có nghiệm là:
b.

10. Phương trình
a.

d.

có nghiệm là:

9. Phương trình
a.

c.

b.


8. Phương trình f
a.

d.

có các nghiệm là:

7. Phương trình
a.

c.

b.

6. Phương trình
a.

d.

có các nghiệm là;

5. Phương trình:
a.

c.
có các nghiệm là:

4. Phương trình
a.


d.

có nghiệm là:

3. Phương trình
a.

c.

c.

d.

có nghiệm là:
b.

c.
có nghiệm là:
18

d.


a.

b.

c.

d.


12. Cho phương trình
phương trình là:
a.

. Các nghiệm thuộc khoảng
b.

c.

13. Phương trình:
a.

d.
có nghiệm là:

b.

c.

14. Phương trình:
a.

d.
có nghiệm là:

b.

15. Phương trình:
a.


của

c.

d.

có các nghiệm là:
b.

c.

d.

8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): Khơng
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
- Học sinh nhớ giá trị lượng giác của một cung.
- Học sinh có năng lực học tốn ở mức trung bình trở lên
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý
kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần
đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau:
10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý
kiến của tác giả:
- Thêm nhiều kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy về phương trình lượng giác
10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý
kiến của tổ chức, cá nhân:
- Học sinh biết cách học và ghi nhớ công thức lượng giác.
- Biết tìm điểm biểu diễn của một cung trên đường tròn lượng giác
- Nắm được một số kỹ thuật biến đổi phương trình lượng giác.
- Biết cách loại nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện.

19


11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến
lần đầu (nếu có):
Số
Tên tổ
TT chức/cá nhân
1

Nguyễn Thị
Hương

Địa chỉ

Phạm vi/Lĩnh vực
áp dụng sáng kiến

Trường THPT Nguyễn
Thái Học

............., ngày.....tháng......năm......
Thủ trưởng đơn vị

Đại số & Giải tích 11

Vĩnh Yên, ngày 15 tháng 2 năm 2020
Tác giả sáng kiến

Nguyễn Thị Hương


20


21