PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.
Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục toạ độ vuông góc Oxyz trong
không gian z



k
r


i
r
O
j
r
y
x

• O ( 0;0;0) gọi là góc toạ độ .
• Các trục tọa độ:
• Ox : trục hoành.
• Oy : trục tung.
• Oz : trục cao.
• Các mặt phẳng toạ độ:
• (Oxy), (Oyz), (Oxz) đôi một vuông góc
với nhau.
•
, ,i j k
r r r
là các véctơ đơn vị lần lượt

nằm trên các trục Ox, Oy, Oz.
•
i
r
= (1;0;0),
j
r
= (0;1;0),
k
r
= (0;0;1).
•
1i j k= = =
r r r
và
2 2 2
1i j k= = =
r r r
.
•
i j⊥
r r
,
j k⊥
r r
,
k i⊥
r r
.
•

. 0i j =
rr
,
. 0j k
=
r r
,
. 0k i =
rr
.
•
,i j k
 
=
 
r r r
,
,j k i
 
=
 
r r r
,
,k i j
 
=
 
r r r
CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT CẦN NHỚ
• M

∈
Ox
⇔
M(x;0;0)
• M
∈
Oy
⇔
M(0;y;0)
• M
∈
Oz
⇔
M(0;0;z)
• M
∈
(Oxy)
⇔
M(x;y;0)
• M
∈
(Oyz)
⇔
M(0;y;z)
• M
∈
(Oxz)
⇔
M(x;0;z)
• Tọa độ của điểm:

. . . ( ; ; )O M x i y j z k M x y z= + + ⇔
uuuuur r r r
• Tọa độ của vectơ:
1 2 3 1 2 3
. . . ( ; ; )a a i a j a k a a a a= + + ⇔ =
r r r r r
LƯU Ý:
• Hình chiếu vuông góc của điểm M(x
0
;y
0
;z
0
) trên trục Ox là: M
1
(x
0
;0;0),trên trục Oy là:
M
2
(0;y
0
;0), trên trục Oz là: M(0;0;z
0
)
• Hình chiếu vuông góc của điểm M(x
0
;y
0
;z

0
) trên (Oxy) là: M(x
0
;y
0
;0), trên (Oyz) là:
M(0;y
0
;z
0
), trên (Oxz) là: M(x
0
;0;z
0
)
CÁC TÍNH CHẤT CỦA VÉC-TƠ
Cho
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
; ; , ; ;a x y z b x y z= =
r r
và số k tuỳ ý, ta có:
•
( )
1 2 1 2 1 2
; ;a b x x y y z z
+ = + + +
r r
•
( )

1 2 1 2 1 2
; ;a b x x y y z z
− = − − −
r r
•
( ) ( )
1 1 1 1 1 1
. . ; ; ; ;k a k x y z kx ky kz
= =
r
•
2 2 2
1 1 1
a x y z= + +
r
.
•
( )
0 0;0;0=
r
.
•
1 2
1 2
1 2
x x
a b y y
z z
=



= ⇔ =


=

r r
•
1 2 1 2 1 2
. . . .a b x x y y z z= + +
r r
. 0a b a b⊥ ⇔ =
r r r r
•
( )
.
os a,
.
a b
c b
a b
=
r r
r r
r r
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
. . .
.

x x y y z z
x y z x y z
+ +
=
+ + + +
CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN
Trong hệ trục toạ độ Oxyz: Cho A( x
A
; y
A
; z
A
) , B( x
B
, y
B
, z
B
). Khi đó:
1) Tọa độ vectơ
AB
uuur
là:
( )
; ;
B A B A B A
AB x x y y z z= − − −
uuur
.
2) Độ dài đoạn thẳng AB bằng đồ dài

AB
uuur
:
( ) ( ) ( )
2 2 2
B A B A B A
AB AB x x y y z z= = − + − + −
uuur
.
Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB hay còn gọi là khoảng cách giữa hai điểm A và B.
3) Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:
2
2
2
A B
I
A B
I
A B
I
x x
x
y y
y
z z
z
+

=



+

=


+

=



4) Tọa độ trọng tâm của tam giác:
Cho
∆
ABC với A(x
A
; y
A
; z
A
), B( x
B
; y
B
; z
B
), C( x
C
; y

C
; z
C
).
Khi đó toạ độ trọng tâm G của
∆
ABC là:
( )
( ) / 3
( ) / 3 ; ;
( ) / 3
G A B C
G A B C G G G
G A B C
x x x x
y y y y G x y z
z z z z
= + +


= + + ⇒


= + +

5) Tích có hướng và tính chất của tích có hướng:
Cho
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
; ; , ; ;a x y z b x y z= =

r r
. Khi đó:
•
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
, ; ;
y z z x x y
a b
y z z x x y
 
 
=
 ÷
 
 
r r

• Hai vectơ
a
r
,
b
r
cùng phương
, 0a b
 
⇔ =
 
r r r
.

• Hai vectơ
a
r
,
b
r
không cùng phương
, 0a b
 
⇔ ≠
 
r r r
• Ba vectơ
, ,ca b
r r r
đồng phẳng
, .c 0a b
 
⇔ =
 
r r r
.
• Ba vectơ
, ,ca b
r r r
không đồng phẳng
, .c 0a b
 
⇔ ≠
 

r r r
.
6) Chứng minh hai vectơ cùng phương.
Cách 1
a
r
và
b
r
cùng phương
.a k b⇔ =
r r
.
Cách 2
a
r
và
b
r
cùng phương
1 1 1
2 2 2
x y z
x y z
⇔ = =
, với
( )
2 2 3
, , 0x y z ≠
a

r
và
b
r
cùng phương
2 2 2
1 1 1
x y z
x y z
⇔ = =
, với
( )
1 1 1
, , 0x y z ≠
Cách 3
a
r
và
b
r
cùng phương
, 0a b
 
⇔ =
 
r r r
.
CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Dạng 1: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng:
C

B
A
Ba điểm A, B, C thẳng hàng
⇔
hai vectơ
,AB AC
uuur uuur
cùng phương
, 0AB AC
 
⇔ =
 
uuur uuur r
.
Dạng 2: Chứng minh ba điểm A, B, C KHÔNG thẳng hàng:
Ba điểm A, B, C không thẳng hàng
⇔

,AB AC
uuur uuur
không cùng phương
, 0AB AC
 
⇔ ≠
 
uuur uuur r
Dạng 3: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D KHÔNG đồng phẳng.
Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng
⇔


, ,AB AC AD
uuur uuur uuur
đồng phẳng
⇔
, . 0AB AC AD
 
=
 
uuur uuur uuur
.
Chú ý:
• A, B, C, D không đồng phẳng khi đó A, B, C, D là bốn đỉnh của 1 tứ diện ABCD.
• Vậy để chứng minh bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện ta đi chứng minh bốn
điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
Dạng 4: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.
Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng
⇔

, ,AB AC AD
uuur uuur uuur
đồng phẳng
⇔
, . 0AB AC AD
 
=
 
uuur uuur uuur
Dạng 5: Diện tích tam giác. Diện tích tam giác ABC:

∆

 
 
uuur uuur
ABC
1
S = AB , AC
2
Dạng 6: Thể tích khối tứ diện. Thể tích của khối tứ diện ABCD
 
 
uuur uuur uuur
1
V = AB,AC .AD
6
1)Định nghĩa
• Vectơ pháp tuyến của mp α :
n
r
≠
0
r
là véctơ pháp tuyến của α
⇔

n
r
⊥ α
//
• Cặp véctơ chỉ phương của mp α :
a

r

b
r
là cặp vtcp của α
⇔
a
r
,
b
r
nằm trong
hoặc cùng // α,.
Lưu ý: Có thể chọn
n
r
= [
a
r
,
b
r
]
2)Phương trình mặt phẳng
a)Phương trình tởng quát.
(α) : Ax + By + Cz + D = 0 (A
2
+B
2
+C

2
>0), có VTPT
n
r
= (A; B; C)
Lưu ý: Phương trình các mặt phẳng tọa độ
(Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
b) Mặt phẳng đi qua mợt điểm và có VTPT cho trước.
Ta có (
α
) qua M(x
o
; y
o
; z
o
) có vtpt
n
r
= (A;B;C)
A(x – x
o
) + B(y – y
o
) + C(z – z
o
) = 0
Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: 1
điểm và 1 véctơ pháp tuyến
c) Phương trình đoạn chắn

M T PH NGẶ Ẳ
Phương trình mặt phẳng đi qua A(a;0;0), B(0;b;0) , C(0;0;c) :

1
x y z
a b c
+ + =
d) Chùm mặt phẳng : Giả sử α
1
∩ α
2
= d trong đó
(α
1
): A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
(α
2
): A
2
x + B
2
y + C

2
z + D
2
= 0
PT mp chứa (d) có dạng sau với m
2
+ n
2
≠ 0 :
m(A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
) + n(A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
) = 0
MỢT SỚ DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và song song với mp(Q).
Phương pháp:
a

r
b
r
,n a b
 
=
 
r r r
• Mặt phẳng (P) qua điểm
( )
0 0 0
; ;M x y z
.
• Do mp(P) song song mp(Q) nên mặt phẳng (P)
có VTPT
P Q
n n=
uur uur
.
• (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z− + − + − =
M
•
d
u
uur
d
P)

•
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d.
Phương pháp:
• Mặt phẳng (P) đi qua M.
• Mặt phẳng (P) có VTPT:
( )
1 2 3
; ;
P d
n u a a a
= =
uur uur
.
• (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z− + − + − =
Ví dụ 1: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đường thẳng (d):
{ 1 2 , 3 , 2}x t y t z
= + = − =
.
HD: Ta có
( )
2; 3;0
P d
n a= = −
uur uur
. (P):
2 4 3 6 0 2 3 2 0x y x y
− − + = ⇔ − + =

Cần nhớ:(P) vuông góc đường thẳng d nhận vectơ
d
a
uur
làm vectơ pháp tuyến.
Ví dụ 2: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đường thẳng
d:
1 2
1 2 2
x y z
− +
= =
−
. Đáp số:
2 2 8 0x y z
+ − − =
Ví dụ 3: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B
vuông góc với AC. Đáp số:
x+z=0−2 ⇔ −x + 2z = 0

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C.
Phương pháp:
• Mặt phẳng (P) đi qua A.
• Mặt phẳng (P) có VTPT:
,n AB AC
 
=
 
r uuur uuur
.

• (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z− + − + − =
Ví dụ 1: Viết phương trình mp(P) qua ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1).
HD:
( ) ( )
1;1;0 , 1;0;1AB AC= − = −
uuur uuur
( )
, 1;1;1
P
n AB AC
 
⇒ = =
 
uur uuur uuur
(P):
1 0 1 0x y z x y z
− + + = ⇔ + + − =
Ví dụ 2: Cho hai điểm M(1;1;1), N(1;-1;1). Viết phương trình mp(OMN).
HD: Ta có:
( ) ( )
1;1;1 , 1; 1;1OM ON= = −
uuuur uuur
( )
, 2;0; 2
P
n OM ON
 

⇒ = = −
 
uur uuuur uuur
, (P):
2 0x z2 − =
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B và vuông góc với mp(Q).
B
Q
n
uur
P
Q
A
Phương pháp:
• Mặt phẳng (P) qua điểm A.
• Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên (P) là:


Q
AB n= =
uuur uur
.
• Nên mp(P) có VTPT:
,
Q
n AB n
 
=
 
r uuur uur

.
• (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z− + − + − =
Ví dụ1: Viết pt mp(P) qua 2 điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp
(Q): 2x-y+3z-1=0.
HD:
- Ta có
( ) ( )
1; 2;5 , 2; 1;3
Q
AB n
= − − = −
uuur uur
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
( )
: , 1;13;5
P Q
n AB n
 
= = −
 
uur uuur uur
- (P):
( ) ( ) ( )
3 13 1 5 1 0 x-13y-5z+5=0x y z
−1 − + − + + = ⇔
Ví dụ 2: Viết pt mp(P) qua 2 điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp(Oxy)
HD:

( ) ( )
1; 2;5 , 0;0;1AB k= − − =
uuur r
,
,
P
n AB k
 
=
 
uur uuur r
=(-2;1;0). (P):
x+y+5=0−2
.
Dạng 5:
 Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d và d’.
 Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d song song với đường thẳng d’.
Phương pháp:
• Mặt phẳng (P) qua điểm
M d
∈
.
• Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là:
'

d d
a a= =
uur uur
.
• (P) có VTPT:

'
,
d d
n a a
 
=
 
r uur uur
• (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z− + − + − =
Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d.
Phương pháp:
• Chọn điểm M thuộc đt d.
• Mặt phẳng (P) qua điểm A.
• Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là:

d
AM a= =
uuuur uur
.
• (P) có VTPT:
,
d
n AM a
 
=
 
r uuuur uur

.
• (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z− + − + − =
Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB.
P)
•
A
•
I
•
B
Phương pháp:
• Gọi I là trung điểm AB
⇒
( )
I
=
• Mặt phẳng (P) qua điểm I.
• Mặt phẳng (P) có VTPT
n AB=
r uuur
.
• (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z− + − + − =
.
Ví dụ: Cho hai điểm A(1;1;1), B(3;3;3). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

AB.
HD:
- Gọi I là trung điểm của AB
( )
2;2;2I⇒
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
( )
2;2;2
P
n AB= =
uur uuur
.
- (P):
y+4+2z=0 y+2z+4=0
−2 ⇔ −2
.
Cần nhớ: Mp trung trực của đoạn thẳng AB là mp vuông góc với đoạn thẳng AB tại trung điểm
I của đoạn thẳng AB.
Dạng 8: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và vuông góc với hai mp (Q) và (R).
Phương pháp:
• Mặt phẳng (P) qua điểm M.
• Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là:
,
Q R
n n
= =
uur uur
.
• Nên mp(P) có VTPT:
,

Q R
n n n
 
=
 
r uur uur
.
• (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z− + − + − =
Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(2;1;1) và vuông góc với 2
mặt phẳng (Q): 2x-y-1=0 và (R): 2x-3y-2z-1=0.
Ví dụ 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm M(1;0;1) và vuông góc với 2
mặt phẳng (Q): 2x- y + z -1= 0, (R): x-y-z = 0
NG TH NG TRONG KHÔNG GIANĐƯỜ Ẳ
1) Phương trình đường thẳng
a) Phương trình tham số của đường thẳng (d) : Qua M(x
o
;y
o
;z
o
) có vtcp
a
r
= (a
1
;a
2

;a
3
)
:
= +


= + ∈


= +

o 1
o 2
o 3
x x a t
(d) y y a t ; t R
z z a t

b) Phương trình chính tắc của (d)

0
:
− −
= =
2 3
o o
1
z - z
x x y y

(d)
a a a
c) Khi của (d) là giao tuyến của 2 mp α
1
và α
2


1
2
( ) : y C
y C
α
α
+ + + =
+ + + =
1 1 1 1
2 2 2 2
A x B z D 0
( ) : A x B z D 0

Véctơ chỉ phương
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
, ,
B C C A A B
a
B C C A A B
 
=

 ÷
 
r
, Cần xác đònh một điểm bằng cách
cho x (hoặc y, z) giá trò cụ thể, thay vào hệ tìm hai yếu tố còn lại.
2) Mợt sớ dạng bài tập
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A,B.
Phương pháp:
• Đường thẳng d đi qua điểm A.
• Đường thẳng d có VTCP:
a AB=
r uuur
.
• (d) có PT tham số:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +

.
Ví dụ1: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(1;2;3), B(2;1;4).

HD
( )
( )
1;2;3 .
1; 1;1 .
(AB) qua

HD
AB
VTPT a A
A
B


→

==

−

uuur uuur
. PT tham số của AB là:
1
2
3
x t
y t
z t
= +



= −


= +

.
(Quy c: Mâu = 0 thi T =́ ̃ ̀ươ ử
Ví dụ 2: Cho ba điểm A(1;1;1), B(2;2;2), C(3;6;9). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Viết
phương trình đường thẳng OG.
- Ta có G(2;3;4),
OG
a OG=
uuur uuur
=(2;3;4). PT tham số của OG là:
{ 2 , 4 , 4 }x t y t z t
= = =
.
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng d’.
Phương pháp:
• Đường thẳng d đi qua điểm M.
• Đường thẳng d có VTCP:
'd d
a a=
uur uur
.
• Pt tham số:
0
0
0

x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +

.
Chú ý: Hai đường thẳng song song cùng vectơ chỉ phương
Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và song song với đường thẳng d’:
1
2 3
3 4
x t
y t
z t
= +


= −


= +

. HD
( )

( )
'
1;2;3( .)
1; 3;4
qua
.
HD
d d
d
VTPT a a
M
= −


→

=


uur uur
PT tham số của d là:
{ 1 , 2 3 , 3 4 }x t y t z t= + = − = +
.
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P).
Phương pháp:
• Đường thẳng d đi qua điểm M.
• Đường thẳng d có VTCP:
d P
a n=
uur uur

.
• PT tham số:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +

.
Chú ý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nhận VTPT của mặt phẳng làm VTCP.
Ví dụ 1: Viết pt đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và vuông góc với mp(P): x-2y-z-1=0.
Bài giải
( )
( )
1;2;3 .
1; 2; 1 .
(d)qua

HD
d P
VTPT a
M

n


→

= = −

−

uur uur
. PT tham số của d là:
1
2 2
3
x t
y t
z t
= +


= −


= −

.
Cần nhớ: Đường thẳng vuông góc mp nhận VTPT của mp là VTCP.
1) Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (P):
1 1 1 1

0A x B y C z D+ + + =
có VTPT
1
n
ur
và (Q):
2 2 2 2
0A x B y C z D+ + + =
có VTPT
2
n
uur
. Khi đó ta có các trường hợp xảy ra
• Nếu
1 2
/ /n n
ur uur
và
1 1 1 1
2 2 2 2
( ) ( )
A B C D
M P M Q
A B C D
∈ ⇒ ∈ ⇔ = = =
thì
( ) ( )P Q≡
• Nếu
1 2
/ /n n

ur uur
và
1 1 1 1
2 2 2 2
( ), ( )
A B C D
M P M Q
A B C D
∈ ∉ ⇔ = = ≠
thì
( ) / /( )P Q
• Nếu
1
n
ur
và
2
n
uur
không cùng phương
1 1 1
2 2 2
A B C
A B C
⇔ ≠ ≠
thì
( ) (Q) (d)P ∩ =
là một đường
thẳng
2) Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Phương pháp:
Bước 1:
• Xác định điểm M thuộc d và VTCP
a
r
của d.
• Xác định điểm M’ thuộc d’ và VTCP
'a
ur
của d’.
Bước 2:
• Xét sự cùng phương của hai vectơ chỉ phương bằng cách tính
, 'a a
 
 
r ur
• Nếu
, ' 0a a
 
=
 
r ur r
thì
, 'a a
r ur
cùng phương khi đó d song song với d hoặc d trùng với d’.
o Nếu M thuộc d mà không thuộc d’ thì d song song d’.
o Nếu M thuộc d và cũng thuộc d’ thì d trùng với d’.
• Nếu
, ' 0a a

 
≠
 
r ur r
thì
, 'a a
r ur
không cùng phương khi đó d cắt d’ hoặc d và d’ chéo nhau.
o Nếu
, ' . ' 0a a MM
 
=
 
r ur uuuuur
thì d và d’ cắt nhau.
V TRÍ T NG IỊ ƯƠ ĐỐ
o Nếu
, ' . ' 0a a MM
 
≠
 
r ur uuuuur
thì d và d’ chéo nhau.
Ví dụ 1: Chứng minh hai đường thẳng d:
2 3
1 2
x t
y t
z t
=



= −


= +

và d’:
2
2 2
1 2
x t
y t
z t
=


= +


= +

vuông góc với nhau.
Ví dụ 2: Chứng minh hai đường thẳng d:
2
1
x t
y t
z t
=



= +


= +

và d’:
2
2 2
3 2
x t
y t
z t
=


= − +


= − +

song song với nhau.
Ví dụ 3: Chứng minh hai đường thẳng d:
2
3
4
x t
y t
z

= −


= +


=

và d’:
7
8
9
x t
y
z t
= −


=


= +

chéo nhau.
HD: Tính
, ' . 1.5 1.5 1.5 15 0a a AB
 
= + + = ≠
 
r ur uuur

.
Ví dụ 4: Tìm giao điểm của hai đường thẳng d:
1 x=2-2t'
2 3 , d': y=-2+t'
3 z=1+3t'
x t
y t
z t
= +
 
 
= +
 
 
= −
 
HD: Xét hệ, kết quả không cắt
Câu 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng:
1
2 1
:
1 1 2
x y z
d
− −
= =
−
và
2
:{ 2 2 , 3, }d x t y z t

′ ′
= − = =
a) Chứng minh rằng d
1
và d
2
chéo nhau và viết phương trình đường vuông góc chung của d
1
và
d
2
.
b) Viết phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của d
1
và d
2
.
Giải
a) d
1
có VTCP
1
(1; 1;2)u = −
r
và đi qua điểm M( 2; 1; 0), d
2
có VTCP
2
( 2;0;1)u = −
r

và đi qua
điểm N( 2; 3; 0) .
Ta có:
[ ]
1 2
, . 10 0u u MN
= − ≠
uuuur
r r
⇒ d
1
, d
2
chéo nhau.
Gọi
1
(2 ;1– ;2 )A t t t d+ ∈
,
2
(2 – 2 ; 3; )B t t d
′ ′
∈
.
AB là đoạn vuông góc chung của d
1
và d
2
⇔
1
2

. 0
. 0
AB u
AB u

=


=


uuur
r
uuur
r

⇒

1
3
' 0
t
t

= −



=



⇒
A
5 4 2
; ;
3 3 3
 
−
 ÷
 
; B (2; 3; 0)
Đường thẳng ∆ qua hai điểm A, B là đường vuông góc chung của d
1
và d
2

∆:
{ 2 , 3 5 , 2 }x t y t z t
= + = + =
b) PT mặt cầu nhận đoạn AB là đường kính:
2 2 2
11 13 1 5
6 6 3 6
x y z
     
− + − + + =
 ÷  ÷  ÷
     
3) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp: Cho (d):

0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +

và mp(P): Ax+By+Cz+D=0.
• Xét pt:
( ) ( ) ( )
0 0 0
A +B +C +D=0x at y bt z ct
+ + +
(*). Giải PT tìm t.
• Biện luận
o Pt(*) có một nghiệm t
⇔
d cắt mp(P) tại một điểm.
o Pt (*) vô nghiệm
⇔
d song song với (P).
o Pt(*) có vô số nghiệm t
⇔

d nằm trong (P).
Ví dụ: Cho hai điểm A(0;2;1), B(1;-1;3) và mp(P): 2x+y+3z=0. Tìm giao điểm của đường thẳng
AB và mp(P) (nếu có)
HD: Pt tham số của AB là:
0
2 3
1 2
x t
y t
z t
= +


= −


= +

.
( 1;5; 1)H − −
KHOANG CACH VA GOĆ ̀ ́̉
1. Khoảng cách
a) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M(x
0
;y
0
;z
0
) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là


0 0 0
2 2 2
A
( ,( ))
x By Cz D
d M P
A B C
+ + +
=
+ +

Bài toán: Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm trên một mặt phẳng
Phương pháp:
Cách 1:
• Gọi hình chiếu vuông góc của M trên (P) là H thì
/ / ( 0)
P P
MH n MH kn k⇔ = ≠
uuuur uur uuuur uur
ta
suy ra tọa độ H theo k.
• Vì H thuộc (P) nên thay tọa độ H vào PT (P) suy ra k, dễ có H
Cách 2:
• Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M
và vuông góc với mp(P).
• Tìm giao điểm H của d và (P).
• Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên (P).
Ví dụ 1: Cho điểm A(-2;1;0) và mặt phẳng (P): x+2y-2z-9=0.
1. Xác định hình chiếu vuông góc của A lên (P).

2. Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (P).
Bài giải
1. Xác định hình chiếu vuông góc của A lên (P).
- Gọi d là đường thẳng qua A(-2;1;0) và vuông góc với (P).
- Pt tham số của d là:
2
1 2
2
x t
y t
z t
= − +


= +


= −

. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (P) thì H là
giao điểm của d và (P)
1t⇔ =
( 1;3; 2)H⇒ − −
2. Gọi A’ đối xứng với A qua (P) thì H là trung điểm của AA’ :
( )
A'= 0;5;-4
Ví dụ 2: Cho (d):
2 1
4 6 8
x y z− +

= =
− −
, A(1;-1;2) ,B(3 ;- 4;-2). Tìm điểm I trên đường
thẳng d sao cho IA +IB đạt giá trị nhỏ nhất
b) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) {đi qua N và có VTCP
d
a
uur
}
[ ;MN]
(M,d)
d
d
a
d
a
=
uur uuuur
uur
Bài toán: Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm trên một đường thẳng
Ví dụ: Cho điểm A(1;1;8) và đường thẳng d:
1 2
1
x t
y t
z t
= +



= − +


= −

.
1. Xác định hình chiếu vuông góc của A lên d.
2. Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d.
Bài giải
1. Xác định hình chiếu vuông góc của A lên d.
- Gọi (P) là đường thẳng qua A(-2;1;0) và vuông góc với d.
- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
( )
2;1; 1
P d
n a= = −
uur uur
.
(P):
( ) ( ) ( )
1 1 1 1 8 0 x+y-z+5=0x y z
2 − + − − − = ⇔ 2
Gọi H là giao điểm của d và (P), H chính là hình chiếu vuông góc của A lên d.
- Xét pt: 2(1+2t)+-1+t+t+5=0=0

t+2t+4=0 t=-1 ( 1; 2;1)H⇔ 2 + 4 ⇔ ⇒ − −
Vậy hình chiếu vuông góc của A lên d là H(-1;-2;1).
2. Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d.
- Do A và A’ đối xứng nhau qua d nên H là trung điểm của AA’.
Vậy điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (P) là A’(-3;-5;-6).

Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) và đường
thẳng d có phương trình
2 3
2 (t R)
4 2
x t
y t
z t
= +


= − ∈


= +

. Tìm trên (d) điểm M sao cho MA + MB nhỏ nhất
GIẢI
A
B
M
A’
d
H
Nhận xét :
Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương
( ) ( ) ( )
3; 2;2 / / 6; 4;4 1; 2;5u AB AN= − = − ≠ = −
r uuur uuur
. Cho

nên đường thẳng d song song với (AB). Do đó (AB) và d cùng thuộc một mặt phẳng . Từ đó ,
theo kết quả của hình học phẳng , ta làm như sau :
- Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d .
- Lập đường thẳng d’ qua A’ và B
- Tìm tọa độ M là giao của (A’B) với d .
Theo cách làm trên , rõ ràng dường thẳng d là trung trực của AA’ cho nên MA=MA’ , cho nên :
MA+MB=MA’+MB=A’B . Nếu có M’ thuộc d thì M’A+M’B>A’B . Vậy M là điểm duy nhất .
- Cũng theo nhận xét trên thì MH là đường trung bình của tam giác A’BA cho nên AB=2MH.
Hay MA’=MB=MA (*) . Do đó :
Nếu M nằm trên d thì điểm I có tọa độ là M=(2+3t;-2t;4+2t) . Từ đó ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
3 1; 2 2 ;2 5 3 1 2 2 2 5AM t t t AM t t t⇔ = + − − + ⇒ = + + + + +
uuuur
Tương tự :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
3 5;2 2 ;2 1 3 5 2 2 2 1BM t t t BM t t t⇔ = − − + ⇒ = − + − + +
uuuur
Từ (*) : MA=MB =
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 1 2 2 2 5t t t+ + + + +
=
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 5 2 2 2 1t t t− + − + +
Hay :
2 2
17 34 30 17 36 30 34 36 0 11 70 0 0t t t t t t t t⇔ + + = − + ⇔ + = − ⇔ = → =


Tọa độ I thỏa mãn yêu cầu là : M=(2;0;4 ).
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Cho đường thẳng
1
∆
qua M
1
và có VTCP
1
a
ur
đường thẳng
2
∆
qua M
2
và có VTCP
2
a
uur

⇒
d
( )
1 2
;∆ ∆
=
1 2 1 2
1 2

[ ; ].
[ ; ]
a a M M
a a
ur uur uuuuuur
ur uur

⇒
1
∆
chéo
2
∆

1 2 1 2
[ ; ]. 0a a M M⇔ ≠
ur uur uuuuuur

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên
đường thẳng này đến đường thẳng kia.
Ví dụ 1: Cho
( )
: 2 5 0P x y z+ − + =
,
3
( ) : 1 3
2
x
d y z
+

= + = −
. A( -2; 3; 4). Gọi
∆
là đường
thẳng nằm trên (P) đi qua giao điểm của ( d) và (P) đồng thời vuông góc với d. Tìm trên
∆
điểm
M sao cho AM ngắn nhất.
GIẢI
Gọi B(x;y;z) là giao của d với (P) thì tọa độ của B thỏa:
d
B
A
P
M
…
( )
1 1;0;4t B⇔ = ⇒ = −
Do
∆
nằm trên (P) suy ra
P
n∆ ⊥
uur
,
( )
( )
2 1 1 1 1 2
/ / , ; ; 3; 3; 3
1 1 1 2 2 1

/ / 1; 1; 1
P d
d n u
u
∆
− − 
 
∆ ⊥ ⇒ ∆ = = − −
 ÷
 
 
= − −
uur uur
uur
.
- Vậy
∆
qua B(-1;0;4) và có véc tơ chỉ phương
( )
1; 1; 1u
∆
= − −
uur
.
1
:
4
x t
y t
z t

= − +


⇒ ∆ = −


= −

.
- Nếu M thuộc
∆
thì M=(-1+t;-t;4-t)
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2
1 26 26
2 2 1 3 2 9 3
3 3 3
AM t t t t t t
 
= − + + + − = − + = − + ≥
 ÷
 
. Do vậy AM
đạt GTNN=
26
3
khi
1 2 1 11

; ;
3 3 3 3
t M
 
= ⇒ = − −
 ÷
 
.
Ví dụ 2: Cho
: 2
1
x t
y t
z
=


∆ =


=

, A
(1,0, 1)−
. Tìm tọa độ các điểm E và F thuộc đường thẳng
∆
để
tam giác AEF là tam giác đều .
GIẢI
- Nếu E,F đều thuộc

( ) ( ) ( )
1 1 2 2 2 1 2 1
;2 ;1 , ;2 ;1 EF ;2 2 ;0E t t F t t t t t t
∆ ⇒ = = ⇔ = − −
uur
(1)
- Ta lại có :
( ) ( )
2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
E 1;2 ;2 E 1 4 4 5 2 5A t t A t t t t= − ⇔ = − + + = − +
uuur
Tương tự :
( ) ( )
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
E 1;2 ;2 E 1 4 4 5 2 5A t t A t t t t= − ⇔ = − + + = − +
uuur
- Nếu tam giác AEF là tam giác đều thì ta có hệ :
2 2
2 2
E EF
E AF
A
A

=


⇔

=


1 2
1 2
1 2 2 2
2
2 2
1 1
2 1 76 1 76
5 15 15
15 2 5 0
5 76 5 76
15 15
t t
t t
t t t t
t t
t t


≠
≠



− +
 

⇔ = − ⇔ = ∨ =
 
 
 
− − =
+ −

= ∨ =


Thay hai cặp t tìm được vào tọa độ của M , ta tìm được hai cặp E,F trên
∆
.
1 1
5 76 10 2 76 1 76 2 2 76
; ;1 , ; ;1
15 15 15 15
E F
   
+ + − −
= =
 ÷  ÷
   
2 2
5 76 10 2 76 1 76 2 2 76
; ;1 , ; ;1
15 15 15 15
E F
   
− − + +

= =
 ÷  ÷
   
Bài tập áp dụng
Bài 1: cho M(2; 1; 2) và đường thẳng (d):
2 1
1 1 1
x y z+ −
= =
. Tìm trên (d) hai điểm A, B sao
cho tam giác MAB đều.
GiẢI
2 2
2 2
MA MB
MA AB

=


=


2 2
1 2
2
2 2
1 1
6 2 6 2
4

3 3
9 36 34 0
6 2 6 2
3 3
t t
t t
t t
t t
 
− +
= =
 
= −

 
⇔ ⇔ ∨
  
− + =
+ −

 
= =
 
 
Vậy thay hai cặp t tìm được ở trên vào tọa độ của A,B ta có kết quả .
6 2 2 9 2 6 2 2 9 2
; ; ; ; ;
3 3 3 3 3 3
A B
   

+ + − −
⇔ = = −
 ÷  ÷
   
Bài 2: Cho
( )
: 2 2 1 0P x y z− + − =
,
1
1 3
: ,
2 3 2
x y z
d
− −
= =
−
2
5 5
: .
6 4 5
x y z
d
− +
= =
−
Tìm điểm
M thuộc d
1
, N thuộc d

2
sao cho MN song song với (P) và đườn thẳng MN cách (P) một khoảng
bằng 2.
HD
( ) ( )
( ) ( )
1
2 1 2 3 3 2 2 1
2 1;3 3 ;2 , 2
1 4 4
13 /12
12 7 6
1/12
t t t
M d M t t t h M P
t
t
t
+ − − + −
∈ ⇒ = + − ⇔ = =
+ +
=

⇔ − = ⇔

=

( ) ( )
( ) ( )
2

6 5 2 4 2 5 5
6 5;4 ; 5 5 , 2
1 4 4
11/12
12 5 6
1/12
t t t
N d N t t t h N P
t
t
t
+ − + − −
∈ ⇒ = + − − ⇔ = =
+ +
=

⇔ − − = ⇔

= −

Như vậy ta tìm được hai cặp M, N :
1 2 1 2
19 1 13 7 11 1 17 1 1 5 13 1
; ; , ; ; , ; ; , ; ;
6 4 6 6 4 6 6 4 6 6 4 6
M M N N
       
= − = = = −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       

Bài 3. Cho
1
( ) :
1 1 2
x y z
d = =
,
2
1 1
( ) :
2 1 1
x y z
d
+ −
= =
−
. Tìm tọa độ các điểm M thuộc
1
( )d
và N
thuộc
2
( )d
sao cho đường thẳng MN song song với
( )
: – 2010 0P x y z+ + =
và MN =
2
.
GIẢI

- M thuộc
1
d
( ) ( ) ( )
2
; ;2 , 1 2 '; ';1 ' 2 ' 1; ' ; ' 2 1M t t t N d N t t t MN t t t t t t
⇒ ∈ ⇒ = − − + ⇔ = − − − − − +
uuuur
.
- Theo giả thiết ta có hệ :
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 2
2
2 2
2
'
42
2 ' 1 ' ' 2 1 2
3 1 4 1 2
. 0 2 ' 1 ' ' 2 1 0
t t
MN
t t t t t t
t t t
MN n t t t t t t

= −



=
− − + − + − + =
  
⇔ ⇔
  
+ + + − =
= − − − − + − + =






uuuur r

( )
2
0
'
3 2 5
0;0;0 , ; ;
2
7 7 7
'
14 4 0
7
t
t t
M N

t
t t
=

= −


 
⇔ ⇔ ⇔ = = − −
 
 ÷
= −
+ =
 



Bài 4. Cho d:
3 2 1
2 1 1
x y z− + +
= =
−
và mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0. Gọi M là giao điểm của
d và (P). Viết phương trình đường thẳng
∆
nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với d và khoảng
cách từ M tới
∆
bằng

42
.
GIẢI
- Tìm tọa độ điểm M là giao của d với (P) , thì tọa độ M là nghiệm của hệ :
( )
3 2
2
2 2 0 1; 1; 3;0
1
2 0
x t
y t
t t M
z t
x y z
= +


= − +

⇔ ⇔ + = ⇒ = − ⇔ = −

= − −


+ + + =

∆
P
d

M
H
- Đường thẳng
( )
; ,
P d P d
P u n d u u u n u
∆ ∆ ∆
 
∆∈ ⇒ ⊥ ∆ ⊥ ⇒ ⊥ ⇔ =
 
uur uur uur uur uur uur uur
.
Do đó :
( )
1 1 1 2 2 1
, ; ; 2; 3;1
1 1 1 1 1 1
P d
u n u
∆
− − 
 
= = = −
 ÷
 
 
uur uur uur
.
-Gọi H (x;y;z) là hình chiếu vuông góc của M trên

∆
thì ta có :
H thuộc (P) : x+y+z+2=0 (1).
( ) ( ) ( )
2 1 3 3 0 2x 3 11 0 2u MH x y z y z
∆
⊥ ⇔ − − + + = ⇔ − + − =
uur uuuur
Mặt khác theo giả thiết :
( ) ( )
( )
( )
2
2 2
2 2
1 3 42 42 3MH x y z= − + + + = =
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2
13 4 13 4 13 4
3 15 3 15 3 15
6 8 0
1 3 42 12 4 3 3 15 42
x y x y x y
z y z y z y
y y
x y z y y y
 


= − = − = −
 
  
⇒ = − ⇔ = − ⇔ = −
  
  
+ + =
− + + + = − + + + − =

 
 
Vậy : H=(29;-4;-27) hoặc H=(21;-2;-21) . Do đó có hai đường thẳng
∆
có cùng véc tơ chỉ
phương
( )
2; 3;1u
∆
= −
uur
qua hai điểm H tìm được :
1 2
29 2 21 2
: 4 3 ; : 2 3
27 21
x t x t
y t y t
z t z t
= + = +
 

 
∆ = − − ∆ = − −
 
 
= − + = − +
 
Bài 5. (KB-08 ). Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
và tìm điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC.
GIẢI
- Lập mặt phẳng (ABC) qua A(0;1;2) có véc tơ pháp tuyến
,n AB AC
 
=
 
r uuur uuur
.
Với :
( ) ( ) ( )
3 1 1 2 2 3
2; 3; 1 , 2; 1; 1 , ; ; 2;4; 8
1 1 1 2 2 1
AB AC AB AC
− − − − 
 
= − − = − − − ⇒ = = −
 ÷
 
− − − − − −
 
uuur uuur uuur uuur


Do đó (ABC) có phương trình là : x+2(y-1)-4(z-2)=0 , Hay (ABC): x+2y-4z+6=0 .
- Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) : 2x+2y+z-3=0 .
Nếu M=(x;y;z) thuộc (P) : 2x+2y+z-3=0 (1) . Ta có :
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2
; 1; 2 1 2 2 4z 5MA x y z MA x y z x y z y⇔ = − − ⇔ = + − + − = + + − − +
uuur
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 2 2
2; 2; 1 2 2 1
4x+4 2z 9
MB x y z MB x y z
x y z y
⇔ = − + − ⇔ = − + + + −
= + + − − +
uuur
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2
2; ; 1 2 1 4x 2 5MC x y z MC x y z x y z z⇔ = + − ⇔ = + + + − = + + + − +
uuuur
- Theo giả thiết , MA=MB=MC thì ta có hệ :
( )
2 2
2 2
2 4z 4x 4 2z 4 2x-3 z 2

2 4z 4x 2z 2x z 0
2x 2 3 0 2x 2 3 0 2x 2 3
2;3; 7
MA MB
y y y
MA MC y y
y z y z y z
M

=
− − = − + − + − =
 

 
= ⇔ − − = − ⇔ + + =
  
  
+ + − = + + − = + + =
 

⇔ −
Bài 6. Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho hai ®iÓm A(1;4;2),B(-1;2;4) vµ ®êng th¼ng
∆
:
1 2
1 1 2
x y z
− +
= =
−

.T×m to¹ ®é ®iÓm M trªn
∆
sao cho:
2 2
28MA MB+ =
.
GIẢI
Nếu M thuộc
∆
thì M=(1-t;t-2;2t ). Khi đó ta có :
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
; 6;2 2 6 2 6 20 40MA t t t MA t t t t t⇔ = − − − ⇔ = + − + − = − +
uuur
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
2 ; 4;2 4 2 4 2 4 6 28 36MB t t t MB t t t t t⇔ = − − − ⇔ = − + − + − = − +
uuur
Theo giả thiết cho :
2 2
28MA MB+ =
( ) ( )
2
2
12 48 76 28, 2 0 2 1;0;4t t t t M⇔ − + = ⇔ − = ⇒ = ⇔ = −
2. Góc giữa hai đường thẳng là góc giữa hai vectơ chỉ phương.
( )
a. '

os = cos a, '
a . '
a
c a
a
α =
r ur
r ur
r ur
,
0 0
0 90≤ α ≤
3. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến.

( )
n. '
os = cos n, '
n . '
n
c n
n
α =
r ur
r ur
r ur
,
0 0
0 90
≤ α ≤
.

4. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp
tuyến.

( )
a.
= cos a,
a .
n
n
n
α =
r r
r r
r r
sin
,
0 0
0 90≤ α ≤
.
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(−1; 2; −3), B(2; −1; −6) và
mp(P): x + 2y + z −3= 0 . Viết phương trình mp(Q) chứa AB và tạo với mp(P) một góc α thỏa
mãn:
3
cos
6
α
=
.
GIẢI
Gọi (Q) có dạng : ax+by+cz+d=0 .

(Q) qua A(-1;2;-3) ta có : -a+2b-3c+d=0 (1) và (Q) qua B(2;-1;-6) : 2a-b-6c+d=0 .(2)
- Mặt phẳng (P) có
( )
1;2;1n
=
r
. Suy ra
( )
( )
2
2 2 2
2 2 2
.
2
3
os 6 2 3
6
.
1 4 1
Q
Q
P
P
n n
a b c
c a b c a b c
n n
a b c
α
+ +

= = = ⇔ + + = + +
+ + + +
uur r
uur r
(3)
- Từ (1) và (2) ta có :
2 3 0
2a 6 0 4a
a b c d c a b
b c d d b
− + − + = = +
 
⇔
 
− − + = = +
 
.
- Thay vào (3) :
4 3 , 15
0, 3
a b c b d b
a b c d b
= − → = − = −

⇒

= − → = = −

- Vậy có hai mặt phẳng : (Q): -4x+y-3z-15=0 và (Q’): -x+y-3=0 .
Ví dụ 2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2; −1; 1), B(0; 1: −2) và đường thẳng

(d):
3 1
1 1 2
x y z− +
= =
−
. Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua giao điểm của đường thẳng
(d) với mặt phẳng (OAB), nằm trong mặt phẳng (OAB) và hợp với đường thẳng (d) một góc α
sao cho
5
cos
6
α
=
.
GIẢI
- Ta có :
( ) ( ) ( )
1 1 1 2 2 1
2; 1;1 , 0;1; 2 , ; ; 1;4;2
1 2 2 0 0 1
OA OB OA OB n
− − 
 
= − = − ⇒ = = =
 ÷
 
− −
 
uuur uuur uuur uuur r

- Do đó : mp(OAB): x+4y+2z=0 (1) . Gọi M là giao của d với (OAB) thì tọa độ của M là nghiệm
của hệ :
( )
4 2z
4(3 ) 2(2 1) 0 10 10;13; 21
3
1 2
x y
x t
t t t t M
y t
z t
+ +


=

⇔ + − + − = ↔ = − ⇔ = − −

= −


= − +

- Vì
( ) ( ) ( ) ( )
( )
, , . 0 4 2 0 2 ; ;
P
OAB d n u a b c u a b c

α
∆
∆∈ ⇒ = ∆ = ⇔ + + = =
uuruur r

- Do đó :
( )
( )
2 2 2 2 2 2
.
2 2
5
os , 4
6
1 1 4 6
d P
d P
d P
u n
a b c a b c
c u n
u n
a b c a b c
− + − +
= = = =
+ + + + + +
uur uur
uur uur
uur uur