Nguyn Thanh Dng – THPT Ngô Gia T Web:
1

CHUYÊN  1: GII HN – LIÊN TC – O HÀM

Vn  1: GII HN CA HÀM S

CN NH:  tính gii hn ca hàm s ta cn nh mt s công thc sau
1
lim 0( 0)
n
x
n
x
→±∞
= >

0 0
sin
lim lim 1
sin
x x
x x
x x
→ →
= =


( ) 0 ( ) 0
sin ( ) ( )
lim lim 1

( ) sin ( )
u x u x
u x u x
u x u x
→ →
= =

1
1
( )
0 ( ) 0
lim(1 ) lim (1 ( ))
u x
x
x u x
x e u x e
→ →
+ =  + =

1
( )
( )
1 1
lim 1 lim 1
( )
x
u x
x u x
e e
x u x

→∞ →∞
 
 
+ =  + =
 
 
 
 

0 0
1
lim lim 1
1
x
x
x x
e x
x e
→ →
−
= =
−



( )
( )
( ) 0 ( ) 0
1 ( )
lim lim 1

( ) 1
u x
u x
u x u x
e u x
u x e
→ →
−
= =
−

0 0
ln(1 )
lim lim 1
ln(1 )
x x
x x
x x
→ →
+
= =
+



( ) 0 ( ) 0
ln(1 ( )) ( )
lim lim 1
( ) ln(1 ( ))
u x u x

u x u x
u x u x
→ →
+
= =
+

Các hng ng thc áng nh

BÀI TP
Bài 1: Tính các gii hn sau
a)
2
2
3
5 6
lim
8 15
x
x x
x x
→
− +
− +
b)
100
50
1
2 1
lim

2 1
x
x x
x x
→
− +
− +
c)
1
1
lim
1
m
n
x
x
x
→
−
−

Bài 2: Tính các gii hn sau
a)
2
0
1 1
lim
x
x
x

→
+ −
b)
3
3
1
2
lim
1
x
x x
x
→
− −
−
c)
3
2
3
2
1
2 1
lim
1
x
x x x
x
→
− + − +
−


Nguyn Thanh Dng – THPT Ngô Gia T Web:
2
Bài 3: Tính các gii hn sau
a)
3
2
1
7 3
lim
3 2
x
x x
x x
→
+ − +
− +
b)
3
0
2 1 8
lim
x
x x
x
→
+ − −
c)
5
4

1
2 1 2
lim
1
x
x x
x
→
− + −
−

d)
33 2 2
3
0
3 4 6 13 8
lim
x
x x x x x
x
→
+ + + − + +

Bài 4: Tính các gii hn sau
a)
3 2
4 3 2
2 3 4 1
lim
5 7 9

x
x x x
x x x x
→∞
− + −
− + + −
b)
5 3
5 3 2
4 4 1
lim
5 6 9
x
x x x
x x x x
→∞
− + −
+ + + −
c)
7 3
3 3 2
4 1
lim
5 4 9
x
x x x
x x x x
→∞
− − + −
+ + + −


d)
3
4
lim
2 1
x
x x x
x
→+∞
+ +
+
e)
2
3 5 3
1
lim
8 1
x
x x
x x
→∞
+ +
+ +

Bài 5: Tính các gii hn sau
a)
(
)
lim

x
x x x
→+∞
+ − b)
(
)
2
lim
x
x x x
→∞
+ −
c)
(
)
3
2 3
lim 3
x
x x x
→∞
+ −
d)
3
1 3
lim
1 1
x
x x
→∞

 
−
 
− −
 

Bài 6: Tính các gii hn sau
a)
2
0
1 cos
lim
x
ax
x
→
−
b)
0
1 cos sin
lim
1 cos sin
x
ax ax
bx bx
→
− +
− +
c)
(

)
(
)
0
sin sin sin
lim
x
x
x
→

d)
( )
0
cos cos
2
lim
sin tan
x
x
x
π
→
 
 
 
e)
3
0
tan sin

lim
x
x x
x
→
−
f)
0
1 cos
lim
1 cos
x
x
x
→
−
−

Bài 7: Tính các gii hn sau
a)
4 3
1
lim
2
x
x
x
x
−
→+∞

+
 
 
+
 
b)
( )
2
cot
2
0
lim 1
an x
x
x
→
+ c)
1
sin
0
1 tan
lim
1 sin
x
x
x
x
→
+
 

 
+
 

d)
2
2
2
3
lim
2
x
x
x
x
→∞
 
+
 
−
 

Bài 8: Tính các gii hn sau
a)
2
0
lim
x bx
x
e e

x
→
−
b)
sin2 sin
0
lim
sin
x x
x
e e
x
→
−
c)
2
3 2
2
0
cos 1
lim
x
x
e x
x
→
−

Nguyn Thanh Dng – THPT Ngô Gia T Web:
3

Bài 9: Tính các gii hn sau
a)
(
)
( )
0
ln cos3
lim
ln cos 4
x
x
x
→
b)
0
ln tan
4
lim
sìn
x
x
x
π
→
 
 
+
 
 
 

 
c)
( )
2
3
2 2
2
0
1
lim
ln 1
x
x
e x
x
−
→
− +
+

Bài 10: Tính
lim ( )
o
x x
f x
→
bit
a)
2
2

3 2
, 1
1
( ) , 1
, 1
2
o
x x
x
x
f x x
x
x

− +
>


−
= =


− <


b)
3
3
, 0
2

( ) , 0
1 1
, 0
1 1
o
x
f x x
x
x
x

≤


= =

+ −

>

+ −


Bài 11: Tìm a 
1
lim ( )
x
f x
→
tn ti, vi

3
1
, 1
( )
1
2, 1
x
x
f x
x
ax x

−
<

=
−


+ >




Vn  2: TÍNH LIÊN TC CA HÀM S

CN NH: Trong phn này ta phi nh các kin thc c bn sau
(i) Cho hàm
( )
y f x

=
xác nh trên tp D,
o
x D
∈
. Khi ó.
f liên tc ti
o
x
lim ( )
lim ( ) ( )
o
o
x x
o
x x
f x
f x f x
→
→
∃


⇔

=



f liên tc trên D

⇔
f liên tc ti mi
x D
∈

(ii) Các hàm s cp c bn liên tc trên tp xác nh ca nó.
(iii) Tng, hiu, tích, thng các hàm liên tc là liên tc trên tp xác nh




Nguyn Thanh Dng – THPT Ngô Gia T Web:
4
BÀI TP

Bài 1: Xét tính liên tc ca hàm s sau ti im ã cho
a)
1 2 3
, 2
( ) , 2
2
1, 2
o
x
x
f x x
x
x

− −

≠

= =

−

=

b)
sin
, 1
( ) , 1
1
, 1
o
x
x
f x x
x
x
π
π

≠

= =
−


− =



c)
sin
, 0
( ) , 0
1, 0
o
x
x
x
f x x
x

≠

= =


=

d)
3
2 1
, 1
( ) , 1
1
4 9, 1
o
x x

x
f x x
x
x x

− +
< −

= = −
+


+ ≥ −


Bài 2: Xét tính liên tc ca hàm s sau
a)
1
sin , 0
( )
1, 0
x x
f x
x
x

≠

=



=

b)
2
4
, 2
( )
2 2
2 20, 2
x
x
f x
x
x x

−
>

=
+ −


− ≤


Bài 3: Tìm a  hàm sau liên tc trên tp xác nh
a)
3
2

2 9 2 9
, 3
( )
2 6
, 3
x x
x
f x
x
a x

+ + −

≠
=

−

=

b)
3
3 2 2
, 2
2
( )
1
, 2
4
x

x
x
f x
ax x

+ −
>


−
=


+ ≤



Bài 4: Cho hàm
1
( ) cos
f x x
x
= . Tìm
(0)
f
 hàm s liên tc vi mi x
Bài 5: Tìm các im gián on ca các hàm sau
a) ( )
sin
x

f x
x
= b)
2
2 2
, 1
( )
3 2
2, 1
x
x
f x
x x
x
−

≠

=
− +


− =

c)
3
1, 1
( )
1
, 1

3
x x
f x
x
x x
+ ≤


=

>

−


CHÚ Ý: Hàm f(x) liên tc trên on [a;b] và f(a)f(b) < 0 thì phng trình f(x) = 0 luôn có nghim
thuc khong (a;b).
Bài 5: Chng minh các phng trình sau luôn có nghim
a)
cos cos2 0
x m x
+ =
b)
( )( ) ( )( ) ( )( ) 0
a x b x c b x a x c c x a x b
− − + − − + − − =

Bài 6: Chng minh phng trình
3
3 1 0

x x
− + =
luôn có ba nghim phân bit
Bài 7: Cho f là hàm liên tc trên on [a;b] và có min giá tr cng là [a;b]. Chng minh phng
trình f(x)= x có nghim trong on [a;b]
Nguyn Thanh Dng – THPT Ngô Gia T Web:
5
Bài 8: Chng minh phng trình
4
3 0
x x
− − =
có nghim
(1;2)
o
x
∈
và
7
12
o
x >

Bài 9: Cho f là hàm liên tc trên on [a;b] và
,
α β
là hai s dng bt k. Chng minh rng
phng trình
( ) ( )
( )

f a f b
f x
α β
α β
+
=
+
luôn có nghim trong on [a;b].
CHÚ Ý: Hàm f(x) liên tc trên on [a;b] và f(x) không trit tiêu trên [a;b] thì f(x) có mt du nht
nh trên (a;b).
Bài 10: Xét du các biu thc sau
a)
3 2
( ) 2 2
f x x x x
= + − −
b)
2
( ) 1 2 5
f x x x x
= − + − +

c)
( ) (2sin 1)( 2 2cos )
f x x x
= − + d)
2
( ) 4 2
f x x x
= − −




Vn  3: O HÀM CA HÀM S

CN NH:  phn này phi Thuc lòng các qui tc tính o hàm, o hàm ca hàm hp và bng
o hàm các hàm s cp c bn.

BÀI TP
Bài 1: Tính o hàm các hàm sau
a) y = 3x
4
– 2x
2
+ x – 1 b)
3 2
2
3 3
3
y x x x
= + − +
c)
2 3
1 1
y
x x
= −

d)
2

3
y x x
= e)
2
5
y x
x
= +
Bài 2: Tính o hàm các hàm sau
a) y = (x
3
+ 2)(x + 1) b)
2
1
2 3
x x
y
x
+ +
=
−
c)
4
3 5
x
y
x
−
=
+

d)
3
1
x
y
x
=
−

Bài 3: Tính o hàm các hàm sau
a)
2 6
( 1)
y x
= −
b) y = x(x + 2)
4
c)
2
1
1
y
x
=
+
d)
3
1
x
y

x
=
+

Nguyn Thanh Dng – THPT Ngô Gia T Web:
6
Bài 4: Tính o hàm các hàm sau
a)
1
x
y
x
=
+
b)
2
6 7
y x x
= + +
c) 2 4
y x x
= + + −

d)
2
( 1) 1
y x x x
= + + +
e)
2

3
2 1
x x
y
x
+ +
=
+
f)
3 3
3 2
y x x
= − +

g) 6
y x x
= −
h)
2 2 2
( 1) 4
y x x
= − + +
i)
2
x x
y
x
− +
=
Bài 5: Tính o hàm các hàm sau

a) y = sinx – cosx b) y = xsinx c) y = sin
3
x d) y =
1 cos
x
x
−
e) y = 3sin
2
x – sinx f)
5
cos
y x
= g)
3
cos cos
y x x
= −
h)
2 3
3sin sin
y x x
= − i)
cos sin
y x x x
= −
k)
2
cos sin
y x x

=
Bài 6: Tính o hàm các hàm sau
a)
4
1
tan
4
y x
=
b)
1 sin
1 sin
x
y
x
+
=
−
c)
sin cos
sin cos
x x
y
x x
−
=
+
d)
3
1

tan tan
3
y x x x
= − +

Bài 7: Tính o hàm các hàm sau
a)
sin(2 )
4
y x
π
= + b) y = sin3x +cos2x c) y =sin
3
3x d) y = cos
5
(2x
2
+x+1)
e)
3
sin 4
y x
= f)
4
cos 2
3
y x
π
 
= −

 
 
g)
t an5
y x
=
h)
2
1 cos
2
x
y = + i)
2
2
2
1 tan
2
x
tan
y
x
 
 
=
 
 
−
 

CHÚ Ý:

( )
x x
e e
′
=
. Tng quát
( )
ln
x x
a a a
′
=
Bài 8: Tính o hàm các hàm sau
a)
2
x
y x e
= b)
x
e
y
x
=
c)
(sin cos )
x
y e x x
= − d)
sin
x

y e
= e)
x
y e
=
f)
x x
x x
e e
y
e e
−
−
−
=
+
g)
2 3
x x
y
= +
h)
2
sin sin
2 3
x
x e x
y
−
= −

Nguyn Thanh Dng – THPT Ngô Gia T Web:
7
CHÚ Ý:
( )
( )
1
ln ln
x x
x
′
′
= =
. Tng quát
( )
( )
1
log log
ln
a a
x x
x a
′
′
= =

Bài 9: Tính o hàm các hàm sau
a)
ln
y x x
=

b)
ln
x
y
x
= c)
2
ln( 1)
y x
= +
d)
ln sin
y x
=
e)
3
ln 2 1
y x
= +
f)
(
)
2
ln 1
y x x
= + +
g)
1
ln
1

x
y
x
−
 
=
 
+
 

h)
2
log (2 1)
y x
= +
i)
2
2
2
3
log (3 1)
log ( 1)
x
y x
x
−
= + +
Bài 10: Tính o hàm các hàm sau
a)
sin

2
ln
cos
2
x a
y
x a
−
=
+
b)
sin
2
ln
cos
2
x a
y
x a
+
=
−
c)
2
2
2 1
ln
2 1
x x
y

x x
 
− +
=
 
 
+ +
 

Bài 11: Cho hàm
ax b
y
cx d
+
=
+
chng minh rng
2
'
( )
ad bc
y
cx d
−
=
+
. Áp dng tính o hàm ca:
a)
3
5 4

x
y
x
+
=
+
b)
3 1
1
x
y
x
+
=
−

Bài 12: Cho hàm
2
ax bx c
y
mx n
+ +
=
+
chng minh rng
2
2
2 ( )
'
( )

amx anx bn mc
y
mx n
+ + −
=
+
. Áp dng tính
o hàm ca:
a)
2
3 3
1
x x
y
x
− +
=
−
b)
2
1
x
y
x
=
+
c)
2
2 2
1

x x
y
x
+ +
=
−

CHÚ Ý: (i)
[ ] [ ] [ ]
( )
( ) ln ( )ln ( ) ln ( )ln ( )
v x
y u x y v x u x y v x u x
′ ′
=  =  =
[ ]
( )ln ( )
y y v x u x
′
′
⇔ =

(ii)
( )
ln ( ) ln ( )
log ( )
ln ( ) ln ( )
u x
v x v x
y v x y y

u x u x
′
 
′
=  =  =
 
 

Bài 13: Tính các o hàm ca hàm s sau
a)
( )
2
2
x
e
y x= + b)
( )
cos
sin
x
y x= c)
(
)
2
2
1
x
y x= +
d)
4 7 9

5 11
( 5) ( 9) ( 11)
( 6) ( 8)
x x x
y
x x
+ + +
=
− −
e)
2
1
2 3
log
1
x
x
y
x
+
−
=
−
f)
2
cos
log (sin cos )
x
y x x
= +


Nguyn Thanh Dng – THPT Ngô Gia T Web:
8
CHÚ Ý: (i)
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) lim lim lim
o
o o o
o
x x x x
o
f x x f x f x f x
y
f x
x x x x
∆ → ∆ → →
+ ∆ − −
∆
′
= = =
∆ ∆ −


0 0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) lim lim lim
o
o o o
o

x x x x
o
f x x f x f x f x
y
f x
x x x x
+ + +
+
∆ → ∆ → →
+ ∆ − −
∆
′
= = =
∆ ∆ −


0 0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) lim lim lim
o
o o o
o
x x x x
o
f x x f x f x f x
y
f x
x x x x
− − −
−

∆ → ∆ → →
+ ∆ − −
∆
′
= = =
∆ ∆ −


( ), ( )
( )
( ) ( )
o o
o
o o
f x f x
f x
f x f x
+ −
+ −
′ ′
∃ ∃

′
∃ ⇔

′ ′
=


(ii) Kh vi


Liên tc; Liên tc

Kh vi
Bài 14: Xét tính liên tc và s tn ti o hàm ca hàm f(x) ti
o
x
bit:
a)
( ) , 0
o
f x x x
= =
b)
2
( ) , 0
1
o
x
f x x
x
= =
+

c)
2
ln( 1)
, 0
( ) , 0
0, 0

o
x
x
f x x
x
x

+
≠

= =


=

d)
ln 2 , 0
( ) , 0
0, 0
o
x x x x
f x x
x
 − ≠

= =

=




Bài 15: Cho hàm
1
*
, 0
( )
, 0
nx
xe x n
f x
x x
−


> ∧ ∈
=


=


.
a) Chng minh f liên tc trên
[0; )
+∞

b) Xét tính kh vi ca hàm f ti
0
o
x

=

Bài 16: Tìm a  tn ti
( )
o
f x
′
bit:
a)
2
1, 1
( ) , 1
2, 1
o
x x
f x x
ax a x

+ ≤
= =

− + >

b)
2
( 1) , 0
( ) , 0
1, 0
x
o

x e x
f x x
x ax x
−

+ >

= =

− − + ≤



Bài 17: Cho hàm
2
1
sin , 0
( )
0, 0
x x
f x
x
x

≠

=


=



a) Tính
( )
f x
′

b) Chng minh
( )
f x
′
không liên tc ti x = 0
Nguyn Thanh Dng – THPT Ngô Gia T Web:
9
CHÚ Ý:
( )
( ) ( 1) *
,
n n
f f n
−
′
= ∈


Bài 18: Cho hàm
3
4
x
y

x
−
=
+
, chng minh rng 2(y’)
2
= (y – 1)y’’
Bài 19: Cho hàm
2
2
y x x
= −
, chng minh rng y
3
.y’’ + 1 = 0
Bài 20: Tìm o hàm cp n(
2
n
≥
) ca hàm sau:
a)
1
y x
−
= b)
ax
y e
=
c)
sin

y x
=
d)
cos
y ax
=

Bài 21: Tìm o hàm cp n ca hàm
1 1
( ) ; ( )
1 1
f x g x
x x
= =
+ −
. T ó suy ra o hàm cp n ca
hàm
2
2
( )
1
x
h x
x
=
−

Bài 22: Tìm o hàm cp n(
2
n

≥
) ca hàm
2
1
x
y
x
=
−
.
CHÚ Ý: Nu ( ) 0,
f x x D
′
= ∀ ∈
thì f là hàm hng trên D
Bài 23: Chng minh rng
2 2 2
2 2 2
cos cos cos ,
3 3 3
x x x x
π π
   
+ + + − = ∀ ∈
   
   


Bài 24: Chng minh rng nu sin cos 1,
n n

x x x
+ = ∀ ∈

thì
2
n
=

CHÚ Ý: (i) Cho ng thng (d). Gi
ϕ
là góc hp bi chiu dng ca trc Ox vi (d). Khi ó,
ta nh ngha h s góc ca (d) là
tan
k
ϕ
=

(ii) Nu hàm
( ) :( )
y f x C
=
có o hàm ti im
o
x
thì h s góc ca tip tuyn vi (C) ti
tip im
( ; )
o o o
M x y
là

( )
o
f x
′
. Do ó, phng trình tip tuyn vi (C) ti tip im
( ; )
o o o
M x y
là
( )( )
o o o
y y f x x x
′
− = −

Bài 25: Cho hàm s
3
( ) 3 1( )
y f x x x C
= = − + . Lp phng trình tip tuyn vi (C) bit
a) Hoành  tip im
3
o
x
=

b) Tip tuyn song song vi ng thng
( ) : 9 2010
d y x
= +


c) Tip tuyn vuông góc vi ng thng
( ): 9 2010 0
d x y
′
+ + =

d) Tip tuyn i qua im
2
( ; 1)
3
A
−

Nguyn Thanh Dng – THPT Ngô Gia T Web:
10
Bài 26: Cho
2
( ) : 2 3
C y x x
= − +
. Lp phng trình tip tuyn vi (C)
a) Ti im có tung 
1
o
y
=

b) Song song vi ng thng
( ) : 4 2 5 0

d x y
− + =

c) Vuông góc vi phân giác góc phn t th nht ca góc hp bi các trc ta 
Bài 27: Lp phng trình tip tuyn vi
4 3
( ) :
1
x
H y
x
−
=
−
bit tip tuyn hp vi trc hoành mt
góc
45
o
.
Bài 28: Cho
( ) : ln
C y x x
= −
. Tìm trên (C) nhng im mà ti ó tip tuyn vi (C) cùng phng
vi trc hoành.
Bài 29: Cho
3
2
( ) : 2 3 2
3

x
C y x x
= − + +
. Tìm m  (C) có tip tuyn vi h s góc m.
Bài 30: Chng minh rng trên
2
2
( ) :
1
x x
H y
x
+ −
=
+
không có im nào mà ti ó tip tuyn song
song vi ng thng
( ): 3 5
d y x
= − +

Bài 31: Tìm m   th
3 2
( ) : 2
C y x x
= + −
có ít ra mt tip tuyn vuông góc vi ng thng
( ) : 2010 0( 0)
d x my m
+ + = ≠

.












Nguyn Thanh Dng – THPT Ngô Gia T Web:
11

CHUYÊN  2: KHO SÁT S BIN THIÊN VÀ V  TH CA
HÀM S

Vn  1: S bin thiên - cc tr - giá tr ln nht, nh nht ca hàm s

CN NH:  xét s bin thiên ca hàm s
( )
y f x
=
ta thc hin các bc sau:
Bc 1: Tìm tp xác nh D ca hàm s
Bc 2: Tìm im ti hn ca hàm s
(+) Gii phng trình
0 ( )

y x D
′
= ∈

(+) Tìm nh ng im thuc D mà ti ó
y
′
không xác nh
Bc 3: Lp bng xét du
y
′
t! ó a ra kt lun
Chú ý: (i)
0
y
′
≥
thì hàm "ng bin;
0
y
′
≤
thì hàm nghch bin
(ii) Du ca tam thc: “trong trái ngoài cùng”; Du ca nh thc: “phi cùng trái khác”

BÀI TP

Bài 1: Tìm các khong n iu ca các hàm s sau:
1)
2

2 1
y x x
= − + +
2)
3 2
3 3 5
y x x x
= − + +
3)
3 2
6 1
y x x
= − + +

4)
4 3 2
1 1
3
4 2
y x x x x
= + − −
5)
3
4
y x
=
6)
4 3 2
3
3 1

4
y x x x
= + − +
7)
3 2
1
x
y
x
−
=
−

8)
1
1
x
y
x
+
=
−
9)
2
2
1
1
x x
y
x x

− +
=
+ +
10)
2
3 3
1
x x
y
x
+ +
=
+
11)
2
( 2)
1
x
y
x
−
=
−

12)
3
2
4
x
y

x
=
−
13)
4 2
2
2 3
x x
y
x
+ −
= 14)
2
1
1
y x
x
= − +
+

15)
2
sin cos
, [ ; ]
cos
x x
y x
x
π π
−

= ∈ −
Nguyn Thanh Dng – THPT Ngô Gia T Web:
12
CN NH:  tìm cc tr ca hàm s
( )
y f x
=
ta làm nh sau:
Bc 1: Tìm tp xác nh D
Bc 2: Lp bng xét du
y
′
t! ó ó a ra kt lun
Bài 2: Tìm cc tr ca các hàm sau:
1)
3 2
2 3 12 5
y x x x
= + − −
2)
2 4
2
y x x
= −
3)
2
2 2
1
x x
y

x
− +
=
−

4)
2
16
y x
x
= −
5)
2
3
1
x
y
x
=
+
6)
3
2
1
x
y
x
=
−
7)

2
3 6
y x x
= + +

8)
3 3
3 2
y x x
= − −
9)
2
2 1
y x x
= + +
10)
2
8
y x x
= + −
11) 4
y x x
= −

12)
ln
x
y
x
= 13)

x
y xe
= 14)
x
y x e
= −
15)
ln
y x x
= −
16)
ln
x
y
x
=
17)
2
4 3
y x x
= − +

CN NH: Cách khác tìm cc tr tr ca hàm s
( )
y f x
=

Bc 1: Tìm tp xác nh D
Bc 2: Gii phng trình
0 ( )

y x D
′
= ∈
. Gi s#
o
x
là nghim
Bc 3: Tính
( )
o
y x
′′
, nu: (+)
( ) 0
o
y x
′′
>
thì
o
x
là im cc tiu
(+)
( ) 0
o
y x
′′
<
thì
o

x
là im cc i
Bài 3: Cho hàm
sin
x
y e x
=
a) Tìm cc tr ca hàm s trên on
[0;2 ]
π

b) Tìm cc tr ca hàm s trên tp xác nh
Bài 4: Tìm cc tr ca hàm sau
a)
2
sin 3cos , [0; ]
y x x x
π
= − ∈ b)
2sin cos2 , [0; ]
y x x x
π
= + ∈

CN NH:  tìm GTLN, GTNN ca hàm f(x) trên tp D, ta làm nh sau:
Bc 1: Lp bng bin thiên ca hàm f trên D
Bc 2: T! bng xét du kt lun

Nguyn Thanh Dng – THPT Ngô Gia T Web:
13

Bài 5: Tìm GTLN, GTNN ca các hàm sau:
a)
2
( ) 1 4
f x x x
= + −
b)
4
3
3
( ) 1
4
x
f x x= + −
c)
4
2
2
( )f x x
x
= +

d)
2
4 4
( ) ( 0)
x x
f x x
x
+ +

= >
e)
2
2
3( 1)
( )
2 2
x
f x
x x
+
=
+ +
f)
2
8 3
( )
1
x
f x
x x
−
=
− +

g)
2
4 2
1
( )

1
x
f x
x x
−
=
− +
h)
2
1
( )
x x
f x
x
+ +
=
i)
3 2
1
( ) 2 4 10
3
f x x x x
= − + −

Chú ý: Nu tìm GTLN, GTNN ca hàm f(x) trên on [a;b] thì ta làm n gin hn:
Bc 1: Tính
( )
f x
′
và gii phng trình

( ) 0 ( [ ; ])
f x x a b
′
= ∈
. Gi s#
o
x
là nghim
Bc 2: Tính
( ), ( ), ( )
o
f a f b f x
r"i so sánh các giá tr này. T! ó kt lun
Bài 6: Tìm GTLN, GTNN ca các hàm sau:
a)
3 2
( ) 6 9 , [0;4]
f x x x x x= − + ∈ b)
4 2
( ) 2 5, [ 2;3]
f x x x x= − + ∈ −
c)
5 4 3
( ) 5 5 1, [ 1;2]
f x x x x x= − + + ∈ − d)
2
( ) 3 10
f x x x
= + −


e)
2
( ) 2 5
f x x x
= + −
f)
( ) 2 4
f x x x
= − + +
g)
2
( ) ( 2) 4
f x x x
= + −

Bài 7: Tìm GTLN, GTNN ca các hàm sau:
a)
3
4
( ) 2sin sin , [0; ]
3
f x x x x
π
= − ∈ b)
2
( ) cos , 0;
2 2
f x x x x
π
 

= + ∈
 
 

Bài 8: Tìm kích thc ca hình ch nht có chu vi ln nht ni tip trong n a ng tròn bán kính
R cho trc.
Bài 9: Tìm hình thang cân có din tích nh! nht ngoi tip ng tròn bán kính R cho trc
Bái 10: Cho hình thang cân ABCD có áy nh! AB và
1
AD BC cm
= =
. Tính góc

x DAB
= sao cho
hình thang có din tích ln nht và tính din tích ó.





Nguyn Thanh Dng – THPT Ngô Gia T Web:
14
Vn  2: im un và tim cn ca  th hàm s
CN NH:  tìm im un ca " th
( ) : ( )
C y f x
=
ta làm nh sau:
Bc 1: Tìm tp xác nh D

Bc 2: Gii phng trình
0
y
′′
=

Bc 3: Lp bng xét du
y
′′
t! ó suy ra kt lun
Chú ý:
y
′′
>
thì " th lõm
0
y
′′
<
thì " th l"i
y
′′
i du khi x qua
o
x
thì
( ; ( ))
o o
x f x
là im un ca " th

BÀI TP
Bài 1: Xác nh khong li, lõm và im un (nu có) ca  th các hàm sau
1)
3 2
3 2 1
y x x x
= − + −
2)
3 2
3 2
y x x x
= − + +
3)
3 2
6 12
y x x x
= + + −

4)
3 2
3 4
y x x
= − +
5)
3 2
3 4 2
y x x x
= + + −
6)
2

7
2 3
8
y x x
= + −

7)
2 4
2
y x x
= −
8)
3 2
1
x
y
x
−
=
−
9)
2
3 3
1
x x
y
x
+ +
=
+


10)
4 3 2
12 48 50
y x x x
= − + −
11)
sin
y x x
= +
12)
3
2
1
x
y
x
=
+

13)
2
1
y x
= +
14)
4
(12ln 7)
y x x
= −

15)
2
ln( 1)
y x
= −

CN NH: Cách chng minh ba im un ca
( ) : ( )
C y f x
=
thng hàng
Bc 1: Chng minh (C) có ba im un
Bc 2: Ta  im un th$a mãn h
( ) 0
( )
f x
y ax b
y f x
′′
=

→ = +

=


Bc 3: Vy ba im un cùng nm trên ng thng
y ax b
= +
nên chúng thng hàng

Bài 2: Chng minh  th ca các hàm sau có ba im un và ba im un thng hàng
a)
2
1
1
x
y
x
+
=
+
b)
2
2 1
1
x
y
x
+
=
+
c)
2
2
2 3
3 3
x x
y
x x
−

=
− +
d)
3
2
4 5
x
y
x x
=
− +

Nguyn Thanh Dng – THPT Ngô Gia T Web:
15
CN NH:  tìm tim cn ca " th
( ) : ( )
C y f x
=
ta làm nh sau:
Bc 1: Tìm tp xác nh D
Bc 2: Tính
lim ( )
f x
khi x tin n biên ca tp xác nh t! ó kt lun
Chú ý: lim ( )
o
x x
f x
→
= ∞

thì
o
x x
=
là tim cn ng
lim ( )
x
f x b
→∞
=
thì
y b
=
là tim cn ngang
( )
lim
lim( ( ) )
x
x
f x
a
x
f x ax b
→∞
→∞

=




− =

thì
y ax b
= +
là tim cn xiên
Bài 3: Tìm tim cn ngang và ng (nu có) ca các  th hàm sau:
a)
1
2
x
y
x
−
=
−
b)
1 2
3 1
x
y
x
−
=
+
c)
2
2
2 3
3 2

x x
y
x x
+ +
=
+ −
d)
6
6
x
y
x x
=
−

Chú ý: Cho hàm s
( )
y f x
=
nu
(
)
lim ( ) ( ) 0
x
f x ax b
→∞
− + =
thì
y ax b
= +

là tim cn xiên. Do ó,
 tìm tim cn xiên ca hàm dng
2
( )
ax bx c
f x
mx n
+ +
=
+
ta bin i
( )
C
f x Ax B
mx n
= + +
+
. Khi ó,
ng
y Ax B
= +
là tim cn xiên.
Bài 4: Tìm tim cn (nu có) ca các hàm sau
a)
2
1
1
x x
y
x

+ −
=
−
b)
2
2 8
1
x x
y
x
− −
=
−
c)
4 2
3
2 2 1
1
x x x
y
x
+ − +
=
−

Bài 5: Tìm tim cn ca  th các hàm sau:
a)
2
2 3
y x x

= + +
b)
2
6 6
y x x x
= + − +
c)
3 3
3
y x x
= −








Nguyn Thanh Dng – THPT Ngô Gia T Web:
16

Vn  3: Kho sát s bin thiên và v  th ca hàm s

 !NG LI T"NG QUÁT # KHO SÁT S BIN THIÊN VÀ V  TH CA
HÀM S

Bc 1: Tìm tp xác nh D ca hàm s
Bc 2: S bin thiên
(i) Gii hn – tim cn

(+) Tính
lim ( )
f x
khi x tin n biên ca tp xác nh
(+)T! ó tìm tim cn nu có
(ii) S bin thiên
(+) Tính
y
′
và gii phng trình
0
y
′
=

(+) Lp bng bin thiên, t! ó suy ra khong t%ng, gim, cc tr (nu có)
Bc 3: V& " th
(i) Tìm im 'c bit
(ii) V& " th theo s ": h ta 
→
tim cn (nu có)
→
im 'c bit
→
" th
Bc 4: Nhn xét tính cht 'c bit ca " th

HÀM BC BA
3 2
( 0)

y ax bx cx d a
= + + + ≠

CN NH: (i) " th không có tim cn
(ii) Có mt im un và là tâm i xng ca " th
(iii) Cho im 'c bit bng cách cho
ct
y y
=



Nguyn Thanh Dng – THPT Ngô Gia T Web:
17
BÀI TP

Kho sát s bin thiên và v"  th ca các hàm sau:
1)
3 2
3 2
y x x
= + −
2)
3 2
3 2
y x x
= − − +
3)
3 2
3 1

y x x
= − + −

4)
3 2
3 1
y x x
= − +
5)
3 2
3 1
y x x
= + +
6)
3 2
( 3 1)
y x x
= − + +

7)
3 2
2 6 6 1
y x x x
= + + −
8)
3 2
2 6 6 1
y x x x
= − − − +
9)

3 2
3 3 1
y x x x
= − + +

10)
3 2
3 3 1
y x x x
= − + − −
11)
3 2
3 4
y x x
= − +
12)
2
(1 )( 2)
y x x= − +
13)
3 2
2 3 1
y x x
= − +
14)
3 2
3 5 2
y x x x
= − + − +
15)

3
3 2
y x x
= − +

16)
3 2
3 9 27
y x x x
= − − +
17)
3 2
16 16
y x x x
= + − +
18)
3 2
3 4
y x x x
= − +

19)
3 2
3
y x x
= − 20)
3 2
1
2 3
3

y x x x
= + + −
21)
3
1 2
3 3
y x x
= − +


HÀM BC BN TRÙNG PH $NG
4 2
( 0)
y ax bx c a
= + + ≠


CN NH: (i) " th không có tim cn
(ii) " th i xng qua Oy
(iii) Cho im 'c bit i xng nhau qua Oy

BÀI TP
Kho sát s bin thiên và v"  th ca các hàm sau:
1)
4 2
2 1
y x x
= − −
2)
4 2

2 1
y x x
= − + +
3)
4 2
1 3
3
2 2
y x x
= − +

4)
4 2
1 3
3
2 2
y x x
= − + −
5)
4
2
3
2 2
x
y x
= + −
6)
4
2
3

2 2
x
y x
= − − +

7)
4 2
2 1
y x x
= + +
8)
4 2
2 1
y x x
= − − −
9)
4 2
4 3
y x x
= − +

10)
4 2
1
y x x
= − +
11)
4 2
4 20
y x x

= − +
12)
4 2
2 3
y x x
= + −

Nguyn Thanh Dng – THPT Ngô Gia T Web:
18

HÀM H%U T& BC NH'T TRÊN BC NH'T
( 0, 0)
ax b
y c ad bc
cx d
+
= ≠ − ≠
+


CN NH: (i)
2 2
( ) ( )
a b
c d
ad bc
y
cx d cx d
−
′

= =
+ +

(ii) " th có hai tim cn: ng và ngang
(iii) " th i xng qua giao hai tim cn
(iv) im 'c bit: giao vi các trc ta 

BÀI TP
Kho sát s bin thiên và v"  th ca các hàm sau:
1)
1
1
x
y
x
+
=
−
2)
2 1
3
x
y
x
−
=
+
3)
2
1

x
y
x
+
=
−
4)
1
2 1
x
y
x
−
=
+



HÀM H%U T& BC HAI TRÊN BC M(T
2
( 0)
ax bx c
y am
mx n
+ +
= ≠
+


CN NH: (i) Chia t# cho m(u trc khi kho sát, ta c

C
y Ax B
mx n
= + +
+

(ii)
2
2
2 ( )
'
( )
amx anx bn mc
y
mx n
+ + −
=
+

(iii) " th có hai tim cn: ng và xiên; "ng thi i xng qua giao im hai tim cn

Nguyn Thanh Dng – THPT Ngô Gia T Web:
19
BÀI TP

Kho sát s bin thiên và v"  th ca các hàm sau:
1)
2
3 3
1

x x
y
x
− +
=
−
2)
2
3 3
1
x x
y
x
− +
=
−
3)
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
+
4)
2
1
1

x x
y
x
− +
=
+

5)
2
3
1
x x
y
x
−
=
−
6)
2
2 3
2
x x
y
x
− −
=
−
7)
2
2 2

1
x x
y
x
+ +
=
+
8)
2
2
x
y
x
−
=
9)
2
5
2
x x
y
x
+ −
=
−
10)
2
1
x
y

x
=
−
11)
2
2 1
1
x x
y
x
+ −
=
−
12)
2
2 3
2
x x
y
x
+ +
=
−

13)
2
4 3
2
x x
y

x
+ +
=
+
14)
2
1
2
x
y
x
+
=
+
15)
2
3
1
x
y
x
+
=
+
16)
2
3 4
2
x x
y

x
+ +
=
+


M(T VÀI HÀM KHÁC

CN NH: (i) Cách xét du ca hàm liên tc
(ii) Nhìn vào bng bin thiên  v& " th

BÀI TP
Kho sát s bin thiên và v"  th ca các hàm sau:
1)
4 3 2
4
2 4 1
3
y x x x x
= + − − +
2)
4 3 2
1 2 5
6 2
4 3 2
y x x x x
= − − + +

3)
2

2
5 1
1
x x
y
x x
− +
=
− +
4)
2
2
2 3
2 3
x x
y
x x
− +
=
+ −

5)
2
2 2
y x x
= − +
6)
1
1
x

y
x
−
=
+
7)
3 3
3
y x x
= −


8)
3
2
3 2
y x x
= + −
9)
4 2
2 1
y x x
= − + +
10)
2
3 3
1
x x
y
x

− +
=
−

Nguyn Thanh Dng – THPT Ngô Gia T Web:
20

CHUYÊN  3: M(T S BÀI TOÁN LIÊN QUAN N KHO
SÁT HÀM S

Vn  1: TÍNH $N I)U CA HÀM S VÀ *NG DNG

CN NH: 1) Cho hàm f xác nh trên tp D. Khi ó,
(i) Hàm f(x) "ng bin trên D ( ) 0,
f x x D
′
⇔ ≥ ∀ ∈

(ii) Hàm f(x) nghch bin trên D ( ) 0,
f x x D
′
⇔ ≤ ∀ ∈

(Du ‘=’ ch) c phép xy ra ti h u hn im. Tuy nhiên, i vi các hàm mà chúng ta xét trong
tài liu này thì iu kin này không cn thit)
2) Cho tam thc
2
( )
f x ax bx c
= + +

. Khi ó,
(i)
0
( ) 0( ( ) 0),
0( 0)
a
f x f x x
>

> ≥ ∀ ∈ ⇔

∆ < ∆ ≤


0
( ) 0( ( ) 0),
0( 0)
a
f x f x x
<

< ≤ ∀ ∈ ⇔

∆ < ∆ ≤




(ii)
1 2

0 0 0
x x P ac
< < ⇔ < ⇔ <

1 2
0
0 0
0
x x S
P
∆ ≥


< ≤ ⇔ >


>


1 2
0
0 0
0
x x S
P
∆ ≥


≤ < ⇔ <



>


(iii)
1 2
( ) 0
x x af
α α
< < ⇔ <

1 2
0
( ) 0
2
x x af
S
α α
α

∆ ≥


< ≤ ⇔ >


>




1 2
0
( ) 0
2
x x af
S
α α
α

∆ ≥


≤ < ⇔ >


<





Nguyn Thanh Dng – THPT Ngô Gia T Web:
21
BÀI TP

Bài 1: Tìm m  các hàm s sau ng bin (nghch bin) trên tp xác nh
a)
3 2
1
2 2

3
y x x mx
= − + −
b)
x m
y
x m
+
=
−
c)
2
2 1
1
mx x
y
x
+ +
=
+

Bài 2: Tùy theo m, kho sát s bin thiên ca hàm
3 2
4 ( 3)
y x m x mx
= + + +
Bài 3: Cho hàm
3 2
1
1

3
y x mx mx
= + − +
. #nh m  hàm s:
a) #ng bin trên tp xác nh
b) #ng bin trên khong
( ;0)
−∞

c) Nghch bin trong khong
( ;0)
−∞

Bài 4: Cho hàm
2
5
3
x mx
y
x
+ −
=
−
. #nh m  hàm s:
a) Nghch bin trong tng khong xác nh
b) Gim trong khong
( 1;0)
−

c) T$ng trong khong

( 2;2)
−

Bài 5: Cho hàm
3 2
1
( 1) ( 3) 4
3
y x m x m x
= − + − + + −
. #nh m  hàm s:
a) Gim trên tp xác nh
b) Gim trong khong
(0; )
+∞

c) T$ng trong khong
(0;3)

CN NH:  chng minh bt ng thc ( ) ( ),
A x B x x D
> ∀ ∈
ta thng làm nh sau:
Bc 1: Bin i
( ) ( ) ( ) ( ) 0
A x B x A x B x
> ⇔ − >
và 't
( ) ( ) ( )
f x A x B x

= −

Bc 2: Xét s bin thiên ca hàm f. T! ó chng t$
( ) 0,
f x x D
> ∀ ∈

Chú ý: (i) f t%ng thì
( ) ( )
a b f a f b
<  <

(ii) f gim thì
( ) ( )
a b f a f b
<  >

Nguyn Thanh Dng – THPT Ngô Gia T Web:
22
Bài 5: Chng minh các bt ng thc sau
a)
2sin tan 3 , 0;
2
x x x x
π
 
+ > ∀ ∈
 
 
b)

tan , 0;
2
x x x
π
 
> ∀ ∈
 
 

c)
3
tan , 0;
3 2
x
x x x
π
 
> + ∀ ∈
 
 
d)
2
sin , 0;
2
x
x x
π
π
 
> ∈

 
 

Bài 6: Chng minh:
a) Nu 0
2
a b
π
< < <
thì
tan tan
b a a b
<

b) Nu tam giác ABC có ba góc nhn thì
sin sin sin tan tan tan 2
A B C A B C
π
+ + + + + >

Bài 7: Chng minh vi
0
x
>
ta luôn có
3 3 5
sin
3! 3! 5!
x x x
x x

− < < − +


Vn  2: CC TR CÓ IU KI)N

CN NH: Tìm iu kin  hàm f t cc tr ti
o
x
, ta làm nh sau:
Bc 1: f t cc tr ti
o
x

( ) 0
o
f x
′
 =
→
giá tr tham s
Bc 2: Th# li r"i kt lun
BÀI TP
Bài 1: Tìm m  hàm s
2
1
( )
x mx
f x
xm
+ +

=
t cc tr ti
2
o
x
=

Bài 2: Tìm m  hàm s
1
( ) sin sin3
3
f x m x x
= + t cc tr ti
3
o
x
π
=

Bài 3: Tìm m  hàm
3 2 2 2
( ) 3 3( 1) 1
f x x mx m x m
= − + − − +
t cc i (cc tiu) ti
1
o
x
=


CN NH: Hàm f có cc tr (n cc tr) khi và ch) khi
0
f
′
=
có nghim (n nghim) và
f
′
i du
khi x qua các nghim ó.
Chú ý: i vi hàm bc ba
2 2
y ax bx cx d
= + + +
và hàm h u t* bc hai trên mt
2
ax bx c
y
mx n
+ +
=
+

thì: có cc tr
⇔
có hai cc tr
⇔
có cc i và cc tiu
⇔


0
y
′
=
có hai nghim phân bit.
Nguyn Thanh Dng – THPT Ngô Gia T Web:
23
Bài 4: Tìm m  hàm sau có cc tr
a)
3 2
1
( 6) 1
3
y x mx m x
= + + + −
b)
3 2
2 1
y x x mx
= − + −

c)
2
2
4
x x m
y
x
− +
=

−
d)
2
2
1
x mx
y
x
− +
=
+
e)
2
2
1
x mx
y
mx
+ −
=
−

Bài 5: Tìm
α
 hàm
2
2 cos 1
2sin
x x
y

x
α
α
+ +
=
+
có cc i và cc tiu
Bài 6: Cho hàm
4 3 2
4 3( 1) 1
y x mx m x
= + + + +
. Tìm m  hàm s:
a) Ch% có mt cc tiu
b) Ch% có mt cc i
Chú ý: (i) Xét hàm bc ba
2 2
y ax bx cx d
= + + +
Ta có các nhn xét sau:
 Vì
y
′
là tam thc bc hai nên ta có th s# dng nh lý Viet và nh lý v du ca
tam thc cc hai.
 Nu
1 2
,
x x
là các im cc tr thì

1 2
,
x x
là nghim ca
0
y
′
=
. Do ó,  tính
1 2
,
y y
ta làm nh sau: (+) Chia y cho
y
′
ta c . ( )
y y P x Ax B
′
= + +

(+) Khi ó,
1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( )
y y x y x P x Ax B Ax B
′
= = + + = +
;
2 2 2
( )
y y x Ax B

= = +

 Ta thy hai im cc tr
1 1 1 2 2 2
( ; ), ( ; )
M x y M x y
th$a mãn phng trình
y Ax B
= +

nên phng trình ng thng qua hai im cc tr là
y Ax B
= +
.
(ii) Xét hàm h u t* bc hai trên mt
2
ax bx c
y
mx n
+ +
=
+
. Ta có vài nhn xét sau:
 Vì
2
2
2 ( )
'
( )
amx anx bn mc

y
mx n
+ + −
=
+
nên du ca
y
′
là du ca tam thc bc hai
2
( ) 2 ( )
g x amx anx bn mc
= + + − .
Do ó, ta v(n có th s# dng nh lý Viet và nh lý v du ca tam thc cc hai.
 Nu
1 2
,
x x
là các im cc tr thì
1 2
,
x x
thì
1 2
1 2
2 2
,
ax b ax b
y y
m m

+ +
= = . Do ó,
phng trình ng thng qua các im cc tr là
2
ax b
y
m
+
= .

Nguyn Thanh Dng – THPT Ngô Gia T Web:
24
Bài 7: Cho hàm
3 2
1 1
( 1) 3( 2)
3 3
y mx m x m x
= − − + − +
. Tìm m  hàm s
a) #t cc i và cc tiu
b) Có hai cc tr trái du
c) #t cc tr ti
1 2
,
x x
th!a
1 2
2 1
x x

+ =

Bài 8: Tìm m   th (C):
3 2 2
2 3(3 1) 12( ) 1
y x m x m m x
= − + + + +
có cc i và cc tiu. Vit
phng trình ng thng qua hai im cc tr ó.
Bài 9: #nh m  hàm
3 2
( 3) (4 1)
y x m x m x m
= − − + − −
t cc tr ti
1 2
,
x x
th!a
1 2
2
x x
< − <

Bài 10: Cho hàm
2 2
2 1
x mx m
y
x m

− − −
=
−
. #nh m  hàm s có:
a) Mt cc i và mt cc tiu
b) Hai cc tr và hai giá tr cùng du
c) Cc tiu có hoành  nh! hn 1
Bài 11: #nh m  hàm
2
1
1
mx
y
x
+
=
−
có hai cc tr. Trong trng hp ó, chng minh hai cc tr ca
 th hàm s  v cùng mt phía so vi trc hoành.
Bài 12: Cho hàm
2
2
2
mx x m
y
x x
− +
=
−
. #nh m  hàm s;

a) T$ng trên tng khong xác nh
b) Ch% có mt cc tr
c) #t cc i và cc tiu ti im có hoành  dng
Bài 13: Cho hàm
3 2
1 1 3
(sin cos ) (sin2 ) 1
3 2 4
y x x x
α α α
= − + + +
.
a) #nh
α
 hàm có cc tr
b) Gi
1 2
,
x x
là các im cc tr , tìm
α

2 2
1 2 1 2
x x x x
+ = +

Bài 14: Cho hàm
3 2 2
3( 10 (2 3 2) ( 1)

y x m x m m x m m
= − − + − + − −
. Vit phng trình ng thng
qua các im cc tr ca  th hàm s trong trng hp hàm có hai cc tr
Nguyn Thanh Dng – THPT Ngô Gia T Web:
25
Bài 15: Tìm m   th (H):
2
( 1) 1
x m x m
y
x m
+ + − +
=
−
có cc i và cc tiu. Vit phng trình
ng thng qua hai im cc tr ó.
Bài 16: #nh p  hàm s
2
3
4
x x p
y
x
− + +
=
−
có giá tr cc i M, giá tr cc tiu m th!a
4
M m

− =

Bài 17: #nh m  hàm s
2
2 3
x x m
y
x m
− +
=
−
có cc i, cc tiu th!a
8
cd ct
y y
− >

Bài 18: Tìm m   th hàm s
3 2
1 1
( 1) 3( 2)
3 3
y mx m x m x
= − − + − +
có cc i, cc tiu ng thi
ng thng qua các im cc tr
a) Song song vi ng thng
( ) : 2 2010 0
d x y
− + =


b) Vuông góc vi ng thng
( ) 2 2010 0
x y
∆ − − =

Bài 19: Chng minh hàm ( )( )( ),
y x a x b x c a b c
= − − − < <
luôn t cc tr ti hai im
1 2
,
x x
th!a
1 2
a x b x c
< < < <

Bài 20: Xác nh m  hàm
4 3
8 3(2 1) 4
y x mx m x
= − − − + −
ch% có cc i mà không có cc tiu.

Vn  3: TÍNH I X*NG CA  TH

CN NH: Tìm iu kin 
( ; )
I a b

là im un ca " th
( ) : ( )
C y f x
=
, ta làm nh sau:
Bc 1:
( ; )
I a b
là im un ca " th
( ) : ( )
C y f x
=
( ) 0
( )
f a
f a b
′′
=



=


→
tham s
Bc 2: Th# li
→
kt lun


BÀI TP
Bài 1: Tìm iu kin ca tham s  (C) nhn I làm im un, bit:
a)
3
2
( ) : ( ) 3 2, (1;0)
x
C y f x m I
m
−
= = + −
b)
3 2
( ) : ( ) 4, (2; 6)
C y f x ax bx x I
= = + + − −

c)
4 3 2
1 2
( ) : ( ) , (1;1), (3; 7)
C y f x x ax bx cx d I I
= = + + + + −