B. CƠ SỞ LÍ THUYẾT
CHƯƠNG I: KHẢO SÁT PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER
1.1 Phương trình Schrodinger
Chúng ta đã biết hàm sóng phẳng của De Broglie mô tả chuyển động của hạt tự
do. Để mô tả chuyển động của hạt trong các trường lực, cần phải tìm hàm sóng mô
tả chuyển động của hạt trong một trường đã cho. Hàm sóng phải xác định được
hoàn toàn trạng thái của hệ Vật lí. Điều đó có nghĩa là, việc cho hàm sóng tại một
thời điểm nào đó không những mô tả được những tính chất của hệ, mà còn xác
định được động thái của hệ ở những thời điểm sau. Yêu cầu này biểu diễn những
nguyên lí nhân quả trong cơ học lượng tử. Trong trường hợp đặc biệt khi không có
trường, nghiệm của phương trình là hàm sóng phải mô tả chuyển động của hạt tự
do. Do đó phương trình vi phân cần tìm phải thỏa mãn sóng phẳng De Broglie
cũng như chồng chất tùy ý các sóng phẳng đó. Về mặt toán học những sự kiện nêu
trên đòi hỏi giá trị của đạo hàm
t



của hàm sóng theo thời gian tại thời điểm đã
cho phải được xác định bằng giá trị của chính hàm sóng

tại cùng thời điểm.
Thêm vào đó theo nguyên lí chồng chất, phương trình vi phân mà hàm sóng thỏa
mãn phải là tuyến tính. Ta viết được:



   
,
ˆ

, ,
x t
L x t x t
t





, (1.1)
trong đó
ˆ
L
là một toán tử tuyến tính. Để tìm dạng của L, ta xét trường hợp của hạt
chuyển động tự do. Khi đó

chính là hàm sóng phẳng De Broglie.

 
 
, , , exp ,
x y z
i
x y z t N Et p x p y p z


 
   
 
 



trong đó
2 2 2
,
2
x y z
p p p
E
m
 
 N là một hằng số chuẩn hóa.
Phép tính trực tiếp cho ta:

2
.
2
i
t m



 




Phương trình này có thể được viết lại dưới dạng:

1

ˆ
,
H
t i







trong đó
ˆ
H
là hamiltonien cho chuyển động tự do của hạt:

2 2
2
ˆ ˆ
.
2 2
H T
m m
      
 

Từ đó suy ra rằng, đối với chuyển động tự do của hạt:

1
ˆ ˆ

.
L H
i



Trong cơ học lượng tử, người ta tổng quát hóa kết quả riêng biệt này sang các
trường hợp khác, coi như một tiên đề, nghĩa là toán tử
ˆ
L
luôn luôn bằng:

1
ˆ ˆ
,
L H
i


(1.2)
trong đó
ˆ
H
là hamiltonien, phương trình (1) cho ta hàm sóng

bây giờ được viết
dưới dạng:

ˆ
.

i H
t





 (1.3)
Đó là phương trình Schrodinger dưới dạng tổng quát nhất. Nó là một trong
những tiên đề của cơ học lượng tử. Sự đúng đắn của nó đã được thưc nghiệm xác
nhận.
Đặc điểm quan trọng nhất của phương trình Schrodinger thể hiện ở chỗ, nó là
phương trình cấp 1 của thời gian và có chứa đơn vị ảo
i
ở trước đạo hàm
t



. Do
đó hàm sóng phải là phức và phương trình có nghiệm tuần hoàn.
Tất nhiên có thể chọn hàm sóng biểu diễn bởi hàm thực làm hàm sóng cho một
hạt tự do, chẳng hạn dưới dạng một sóng chạy
 
1
cos .
A pr Et

 


Tuy nhiên
khi đó, ta không thể xây dựng được phương trình bậc nhất theo thời gian, mà

nghiệm của nó là một chồng chất tùy ý của các trạng thái như vậy. Sự kiện phương
trình Schrodinger chỉ chứa đạo hàm bậc nhất theo thời gian
t




có liên quan mật
thiết đến nguyên lí nhân quả trong cơ học lượng tử. Thực vây nếu phương trình
Schrodinger chứa
2
2
t



, thì để xác định

tại thời điểm t nào đó, nếu chỉ biết hàm

tại thời điểm ban đầu sẽ là chưa đủ, mà cần phải biết hàm

và cả
t




tại thời
điểm ban đầu nữa.
Biểu thức của
ˆ
H
khi xét chuyển động của một hạt chuyển động tự do có dạng:

 
2
2 2 2
1
ˆ
ˆ ˆ ˆ
.
2 2
x y z
H p p p
m m
     

(1.4)
Đối với hệ hạt không tương tác,
ˆ
H
của hệ bằng tổng các hamiltonien của các
hạt thành phần.

2
ˆ
2

a
a
a
H
m




, (1.5)
ở đây chỉ số a đánh số các hạt,
a

là toán tử Laplace, trong đó việc lấy vi phân
được thực hiện cho hạt thứ a.
Đối với hệ hạt có tương tác với nhau:

 
2
1 2
ˆ
, , ,
2
a
a
a
H U r r
m

 



(1.6)
số hạng thứ nhất là toán tử động năng, còn số hạng thứ hai là toán tử thế năng. Đặc
biệt đối với hạt nằm trong trường ngoài:

   
2 2
ˆ
ˆ
, , , , ,
2 2
p
H U x y z U x y z
m
     

(1.7)
Thay các biểu thức vừa nêu của
ˆ
H
vào (3) ta thu được phương trình sóng cho
các hệ tương ứng. Cụ thể xét trường hợp hạt nằm trong trường ngoài không đổi ,
phương trình sóng của nó có dạng:


 
2
, , .
2

i U x y z
t m

 

   



(1.8)
1.2 Mật độ dòng xác suất – Sự bảo toàn số hạt
Hàm sóng mô tả sự chuyển đông của các hạt nói chung thay đổi trong không
gian và thời gian. Tuy nhiên sự biến đổi đó không phải là tùy ý. Dùng phương trình
Schrodinger, ta có thể tìm thấy một số định luật bảo toàn. Muốn vậy, xét tích phân
2
dV


. Đó là biểu thức cho ta xác suất để tìm thấy hạt trong thể tích V. Lấy đạo
hàm tích phân trên theo thời gian, ta có:

 
*
* * 2 * * 2
,
2
dV dV dV
t t t mi
 
      

 
  
     
 
  
 
  

(1.9)
trong đó
t



và
*
t



được lấy từ phương trình Schrodinger (1.3) và phương trình
liên hợp của nó. Cuối cùng ta viết được:

 
* * *
,
2
dV div dV
t mi
    


   

 

(1.10)
Dùng định lí Oxtrogradxki – Gau, ta có:

 
2
* *
,
2
V S
dV dS
t mi
    

   

 


(1.11)
trong đó mặt S bao thể tích V. Chúng ta đưa vào vectơ j xác định bởi hệ thức:

 
* *
.
2

j
mi
   
   

(1.12)
Khi đó (1.11) được viết thành:

2
.
V S
dV jdS
t




 

(1.13)
Vì V là bất kì, nên công thức (1.13) có thể được viết lại dưới dạng vi phân và ta
thu được phương trình liên tục:


2
0,
div j
t



 

(1.14)
trong đó
2

là mật độ xác suất, còn j được hiểu là vectơ mật độ dòng xác suất. Nó
có ý nghĩa Vật lí là thông lượng trung bình của các hạt đi qua một đơn vị diện tích
sau mỗi giây. Tích phân ở vế phải ở (1.13) là độ giảm xác suất tìm thấy hạt trong
thể tích V bao bởi S sau một đơn vị thời gian. Vậy (1.13) có thể được coi như biểu
thức của định luật bảo toàn số hạt. Nếu mở rộng tích phân ra toàn không gian


V
 
và chú ý rằng khi đó cả hàm sóng và mật độ dòng j đều tiến tới không
gian trên một mặt ở xa vô cực, chúng ta thu được:

*
0,
d
dV
dt




(1.15)
và đi tới kết luận: xác suất toàn phần để tìm thấy một hạt tại nơi nào đó trong
không gian không phụ thuộc thời gian. Từ đó suy ra rằng số hạt là không đổi.

Phương trình (1.15) cũng khẳng định rằng sự chuẩn hóa các hàm sóng không thay
đổi theo thời gian. Điều xác nhận này có thể thấy từ:

2
2
C



Nhân j và
2

với khối lượng m của hạt, ta có:

 
2
* *
, ,
2
m m
i
m j
     
    

(1.16)
m

được hiểu là mật độ khối lượng trung bình,
m

j
là mật độ dòng khối lượng trung
bình. Tương tự nhân j và
2

với điện tích e của hạt ta sẽ thu được mật độ điện tích
trung bình
2
e
e
 
 và mật độ dòng điện trung bình
e
j
.
Các phương trình:

0
0
m
m
e
e
div j
t
div j
t




 


 

(1.17)
biểu diễn định luật bảo toàn khối lượng và định luật bảo toàn điện tích trong cơ
học lượng tử.

1.3 Trạng thái dừng
Đối với một hệ kín hay khi không có những trường ngoài biến thiên,
hamiltonien
ˆ
H
sẽ không phụ thuộc thời gian và trùng với toán tử năng lượng


ˆ
H x
. Khi đó phương trình Schrodinger (1.3) có dạng:



   
,
ˆ
, .
x t
i H x x t
t







(1.18)
Nghiệm của phương trình trên có thể thu được bằng cách phân ly biến x và biến
t:







, .
x t x t
  
 (1.19)
Thay (1.19) vào (1.18) ta thu được:

 


     
ˆ
,
t
i x H x x t

t

  





hay:



 
   
 
ˆ
const.
t
i
H x x
t
E
t x


 


  


(1.20)
Từ (1.20) ta viết được:



 
t
i E t
t






(1.21)







ˆ
H x x E x
 
 . (1.22)
Nghiệm của (1.21) có dạng:

 

constexp .
E
t i t

 
 
 
 

(1.23)
Từ (1.22) ta nhận thấy phương trình này trùng với phương trình của các hàm
riêng của toán tử năng lượng


ˆ
H x
.

Gọi
,
n n
E

là các hàm riêng và trị riêng (ta xét phổ gián đoạn), ta viết được
nghiệm cuối cùng có dạng:

   
, exp .
n
n n

E
x t x i t
 
 
 
 
 

(1.24)
Từ đó suy ra rằng, các trạng thái đặc trưng bởi một năng lượng xác định
n
E

thay đổi theo thời gian theo quy luật điều hòa với tần số bằng:

.
n
n
E



(1.25)
Kết quả trên đã mở rộng hệ thức De Broglie
n
E



, thoạt đầu áp dụng cho

một chuyển động tự do, sang các hệ thức tùy ý. Các trạng thái như trên được gọi là
các trạng thái dừng và phương trình (1.22) được gọi là phương trình Schrodinger
cho các trạng thái dừng. Do phương trình (1.18) là tuyến tính, nghiệm tổng quát


,
n
x t

có thể được biểu diễn dưới dạng chồng chất các trạng thái dừng có biên
độ tùy ý nhưng không đổi:

   
, .exp .
n
n n n
iE
x t C x t
 
 
 
 
 


(1.26)
Vì hệ là hàm trực giao, nên dễ dàng tính được:






*
,0 .
n n
C x x dx
 


(1.27)
Thay nghiệm
   
, exp
iE
x t x t
 
 
 
 
 

vào (1.18) và chú ý đến (1.8) và
(1.22), ta thu được:

   
 
 
2
2
0.

m
x E U x x
 
   

(1.28)
Đó là phương trình Schrodinger xác định trạng thái dừng được mở rộng sang
cho trường hợp hạt chuyển động trong một trường thế ngoài không phụ thuộc vào
t. Phương trình (1.22) xác định trị riêng năng lượng của hệ ở trạng thái dừng.

Trạng thái dừng với năng lượng nhỏ nhất trong tất cả những giá trị năng lượng
được gọi là trạng thái cơ bản.
Bây giờ chúng ta tính xác suất tìm thấy hạt


,
n
x t

và mật độ dòng xác suất


,
n
j x t
cho trạng thái dừng thứ n ta có:

       
2
*

, , , . ,
n n n n
x t x t x t x t
   
 


         
 
* *
, , , , ,
2
n n n n n
i
j x t x t x t x t x t
m
   
   

.
Thay vào hai đẳng thức trên biểu thức (1.24) của


,
n
x t

, ta được:






, ,0
n n
x t x
 
 (1.29)





, ,0
n n
j x t j x
 (1.30)
Điều đó chứng tỏ, trong các trạng thái dừng, xác suất tìm thấy hạt cũng như mật
độ dòng xác suất không phụ thuộc vào thời gian. Cũng từ những nhận định trên,
trong các trạng thái dừng mật độ điện tích trung bình
c

, mật độ dòng điện trung
bình không phuộc vào thời gian. Ta cũng có thể chứng minh dễ dàng rằng trong
các trạng thái dừng xác suất


F

để tìm thấy giá trị F nào đó của mọi đại lượng

cơ học (không phụ thuộc rõ vào t) đều độc lập với thời gian. Thêm vào đó cả giá trị
trung bình
F
cũng không đổi. Thật vậy, ta có:

   
2
F C F



trong đó


C F
là biên độ khai triển của


,
x t

theo các hàm riêng của


F
x


của toán tử
ˆ

F
biểu diễn đại lượng F. Đối với trạng thái dừng


,
n
x t

ta có thể
viết được:

         
* *
. , exp ,
n
F n n
iE t
C F x x t dx x x dx

   
 
  
 
 



do đó:



       
2
2
*
const.
n
F C F x x dx

  
  

(1.31)
Để kết thúc, ta xem mối quan hệ giữa phổ trị riêng của năng lượng trong trạng
thái dừng với đặc tính chuyển động của hệ. Phổ trị riêng của năng lượng có thể
gián đoạn hoặc liên tục. Trạng thái dừng của phổ gián đoạn bao giờ cũng tương
ứng với chuyển động hữu hạn của hệ, nghĩa là chuyển động trong đó hệ hay một
phần nào đó của hệ không đi ra xa vô cực. Thực vậy, đối với các hàm riêng của
phổ gián đoạn, tích phân
2
dV


lấy trong toàn không gian là hữu hạn. Trong mọi
trường hợp, điều đó có nghĩa bình phương
2

giảm đủ nhanh và bằng không tại
vô cực. Nói một cách khác, xác suất của các giá trị tọa độ vô cùng đều bằng không,
nghĩa là hệ thực hiện một chuyển động hữu hạn, hay như thường nói, hệ ở trong
trạng thái liên kết.

Đối với hàm sóng có phổ liên tục, tích phân
2
dV


phân kì. Bình phương
modun hàm sóng
2

ở đây không xác định trực tiếp xác suất của các giá trị tọa độ
khác nhau và chỉ được coi như một đại lượng tỉ lệ với xác suất đó. Tích phân
2
dV


bao giờ cũng phân kì, đó là do
2

tại vô cực không bằng không (hay
bằng không không đủ nhanh). Do đó có thể khẳng định rằng, tích phân
2
dV



lấy theo miền không gian ở bên ngoài với một mặt kín hữu hạn, nhưng lớn tùy ý,
sẽ vẫn phân kì. Điều đó có nghĩa là, trong trạng thái đang xét (hay một phần nào đó
của hệ) nằm tại vô cực.
1.4 Một số tính chất tổng quát của phương trình Schrodinger
Các điều kiện mà các nghiệm của phương trình Schrodinger phải thỏa mãn, có

một đặc tính hết sức tổng quát. Trước hết hàm sóng

phải đơn trị và liên tục
trong toàn không gian. Ngay cả khi bản thân trường


, ,
U x y z
có mặt gián đoạn,
hàm

vẫn phải liên tục. Trên mặt gián đoạn, không những hàm

, mà cả các đạo
hàm của

cũng phải liên tục. Tuy nhiên , nếu sau mặt nào đó thế năng U bằng vô
cùng, thì tính liên tục của các đại lượng này không xảy ra. Hạt không thể thâm
nhập vào một miền không gian, tại đó
U
 
, nghĩa là trong miền này hàm sóng ở

khắp nơi phải bằng không. Để cho hàm

liên tục, thì trên biên của miền này
0


, trong trường hợp này các đạo hàm của


nói chung có bước nhảy.
Nếu trường


, ,
U x y z
không bằng vô cùng, thì hàm sóng cũng phải hữu hạn
trong toàn miền không gian.
Giả sử
min
U là giá trị cực tiểu của hàm


, ,
U x y z
. Vì hamiltonien của hạt là
tổng của toán tử động năng
ˆ
T
và thế năng U, nên giá trị trung bình của năng lượng
trong một trạng thái tùy ý bằng
E T U
 
. Nhưng tất cả các trị riêng của toán tử
năng lượng
ˆ
T
(trùng với hamiltonien của hạt tự do) đều dương; do đó tất cả trị
trung bình

0
T

. Hiển nhiên ta có
min
U U do đó cả
min
E U . Vì bất đẳng thức
này đúng với mọi trạng thái bất kỳ, nên rõ ràng nó đúng với mọi trị riêng của năng
lượng.

min
n
E U

(1.32)
Bây giờ chúng ta xét một hạt chuyển động trong một trường có


, ,
U x y z
bằng
không tại vô cực. Dễ dàng nhận thấy, phổ các trị riêng âm của các năng lượng khi
đó sẽ gián đoạn, nghĩa là tất cả trạng thái với
0
E

đều là các trạng thái liên kết ở
trong một trường bằng không tại vô cực. Thực vậy trong các trạng thái dừng có
phổ liên tục, tương ứng với chuyển động vô hạn, hạt nằm tại vô cực. Nhưng tại

những khoảng cách đủ lớn để có thể bỏ qua được sự cố có mặt của trường, thì
chuyển động của hạt có thể coi như tự do, mà trong chuyển động tự do thì năng
lượng của hạt chỉ có thể dương. Ngược lại các trị riêng dương lập thành một phổ
liên tục và tương ứng với chuyển động vô hạn, với
0
E

phương trình
Schrodinger (trong trường lực đang xét) nói chung không có nghiệm để cho tích
phân
2
dV


hội tụ.
Cần chú ý rằng, trong cơ học lượng tử, khi chuyển động là hữu hạn, hạt có thể ở
cả trong những miền không gian, tại đó
E U

, xác suất
2

tìm thấy hạt mặc dù
tiến nhanh đến không khi đi sâu vào một miền như thế, nhưng tại tất cả những
khoảng cách hữu hạn xác suất đó vẫn cứ khác không. Về mặt này có một sự khác
biệt căn bản so với cơ học cổ điển, tại đây hạt không thể nào thâm nhập vào một
miền
E U

. Lí do là vì,

E U

động năng của hạt sẽ âm, vận tốc của hạt sẽ là ảo.

Trong cơ học lượng tử các trị riêng của động năng cũng dương, tuy nhiên ở đây
chúng ta không gặp mâu thuẫn, vì nếu quá trình đo hạt định xứ tại một điểm xác
định nào đó của không gian, thì do kết quả của quá trình đo này trạng thái của hạt
sẽ bị phá hủy sao cho hạt không còn đông năng xác định nào nữa.
Nếu trong toàn không gian


, , 0
U x y z

(và tại vô cực
0
U

), thì do bất đẳng
thức (1.32), ta có
0
n
E

. Mặt khác vì
0
n
E

phổ năng lượng phải liên tục, nên có

thể kết luận rằng trong trường hợp đang xét hoàn toàn không có phổ gián đoạn,
nghĩa là hạt chỉ có thể chuyển đông vô hạn.
Tiếp thêm chúng ta có nhận xét sau. Nếu hệ không nằm trong từ trường, thì
phương trình Schrodinger cho các hàm sóng

của các trạng thái dừng, cũng như
các điều kiện đặt cho các nghiệm của nó, đều là thực. Do đó bao giờ cũng có thể
cho các nghiệm đó là thực. Đối với các hàm riêng của các giá trị năng lượng không
suy biến, thì chúng tự động là thực với độ chính xác đến một nhân số pha không
quan trọng. Thực vậy
*

thỏa mãn cùng phương trình như

, do đó nó cũng là
hàm riêng với cùng giá trị năng lượng, vì thế giá trị này là không suy biến, thì


và
*

về thực chất phải như nhau, nghĩa là có thể chỉ khác nhau ở thừa số nhân
không đổi (có modun bằng dơn vị). Các hàm sóng tương ứng với cùng một mức
năng lượng không suy biến không nhất thiết phải là thực, nhưng bằng các chọn
thích hợp các tổ hợp tuyến tính của chúng, bao giờ cũng có thể thu được một bộ
các hàm thực.
Còn hàm sóng toàn phần


,

x t

được xác định bởi phương trình, có đơn vị ảo
i
trong hệ số. Tuy nhiên phương trình này vẫn giữ nguyên dạng của nó, nếu trong
đó đồng thời với việc đổi t thành
t

ta thay hàm


,
x t

bằng liên hợp của nó


*
,
x t


, chỉ khác dấu đứng trước t.
Như đã biết các phương trình của cơ học cổ điển không thay đổi khi đảo chiều
thời gian, nghĩa là chỉ đổi dấu của t. Trong cơ học lượng tử, sự đối xứng đối với
hai chiều thời gian thể hiện ở chỗ phương trình sóng không thay đổi khi
t t
 
,
đồng thời thay hàm sóng



,
x t

bằng liên hợp của nó.
Tuy nhiên cần nhớ rằng, tính đối xứng ở đây chỉ được xét cho phương trình
thôi, mà không được xét cho bản thân khái niệm phép đo.

Sau cùng, xuất phát từ phương trình Schrodinger, chúng ta có thể suy ra được
tính trực giao của các hàm sóng trạng thái với năng lượng khác nhau. Thực vậy,
giả sử
m

và
n

là hai hàm như thế. Chúng thỏa mãn các phương trình:

2
2
* *
2
.
2
m m m m
n n n n
U E
m
U E

m
  
  
   
   



Nhân phương trình thứ nhất với
*
n

, phương trình thứ hai với
m

rồi trừ vế với
vế, ta được:

 
   
2 2
* * * * *
.
2 2
m n m n m n n m m n n m
E E div
m m
         
        
 


Nếu lấy tích phân hai vế của phương trình này theo toàn không gian rồi dùng
định lí Gauss, vế phải sẽ bằng không. Cuối cùng ta thu được:



*
0.
m n m n
E E dV
 
 


Theo giả thiết
m n
E E

, ta tìm lại được hệ thức trực giao cho các hàm
m

và
n

:

*
0
m n
dV

 


.








CHƯƠNG II: ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER ĐỂ GIẢI
MỘT SỐ BÀI TOÁN
2.1 Chuyển động một chiều
2.1.1 Các tính chất của chuyển động một chiều
Phương trình Schrodinger trong trường hợp chuyển động một chiều theo trục x
có dạng:





ˆ
,
H x E x
 
 với
 
2

2
ˆ
.
2
d
H U x
m dx
  

(2.1)
Viết dưới dạng phương trình vi phân, ta được:



   
2
2 2
2
0
d x
m
E U x x
dx


  
 
 

, (2.2)

trong đó


U x
là thế năng không phụ thuộc vào thời gian. Trạng thái và năng
lượng của hạt tìm được bằng các giải phương trình (2.2) có dạng phụ thuộc vào
dạng thế năng


U x
.
Ta khảo sát trường hợp khi thế năng có dạng tổng quát như ở Hình 1.
(1) Trạng thái liên kết: Khi hạt bị giam giữ trong một miền nào đó thì chuyển
động của hạt giới hạn về cả hai phía, ví dụ như hình trên chuyển động của hạt có
năng lượng
1
E U

bị giới hạn trong miền
1 2
x x x
 
. Sử dụng điều kiện liên tục
của hàm sóng (và đạo hàm theo tọa độ của nó) tại các điểm biên trong lúc giải
phương trình Schrodinger, ta nhận được phổ trị riêng của năng lượng là gián đoạn.
(2) Trạng thái không liên kết: Khi chuyển động của các hạt bị giới hạn, ta nói
trạng thái của hạt không liên kết (chuyển động tự do). Trên sơ đồ thế năng Hình 1
có hai miền ứng với chuyển động tự do của hạt.
a) Trường hợp hạt có năng lượng ở trong khoảng
1 2

U E U
 
. Chuyển động
của hạt là vô hạn về phía
x
 
. Điều đó có nghĩa là hạt có thể chuyển động giữa
3
x x

và
x
 
. Phổ năng lượng trong chuyển động này là liên tục và không suy
biến ứng với hàm sóng mô tả chuyển động tự do theo chiều âm của trục
x
.

Hình 1: Dạng thế năng


U x
trong trường hợp tổng quát


b) Trường hợp
2
E U

: Hạt chuyển động ra xa vô hạn về cả hai phía



x
 
.
Phổ năng lượng của hạt là liên tục và suy biến bậc 2. Điều này ứng với một giá trị
năng lượng của phương trình (2.2) có hai hàm riêng, một ứng với chuyển động tự
do của hạt theo chiều dương, một theo chiều âm.
(3) Trường hợp thế năng đối xứng: Trong trường hợp thế năng là một hàm chẵn
với tọa độ thì Hamiltonian cũng là hàm chẵn, lúc đó hạt ở trạng thái liên kết và
nghiệm của phương trình Schrodinger (2.2) được phân thành hai lớp: lớp nghiệm
chẵn






x x
 
 
và lớp nghiệm lẻ






x x
 

  
.
2.1.2 Chuyển động của hạt tự do
Ta xét một hạt chuyển động tự do theo trục x. Vì thế năng


0
U x

nên
phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng của hạt có dạng:



 
2
2
2
0.
d x
mE
x
dx


 

(2.3)
Nếu đặt
2 2

2 /
k mE


thì nghiệm của phương trình (2.3) là:



.
ikx ikx
k
x Ae Be


  (2.4)
Số hạng thứ nhất trong (2.4) mô tả chuyển động theo trục x (sóng tới), số hạng
thứ hai mô tả chuyển động theo chiều âm (sóng phản xạ). Biểu thức (2.4) có thể

viết gọn lại như sau:



ikx
k
x Ae

 (2.5)
trong đó
0
x


ứng với chuyển động theo chiều dương,
0
x

ứng với chuyển
động theo chiều âm.
Do hạt chuyển động tự do nên nghiệm (2.5) thỏa mãn các điều kiện liên tục và
hữu hạn trong toàn bộ không gian với năng lượng E có giá trị bất kì. Biểu thức của
năng lượng là:

2 2
.
2
k
k
E
m


(2.6)
Nếu để ý rằng
k
p k


thì biểu thức của năng lượng có thể viết lại dưới dạng:

2
2

p
p
E
m

(2.7)
Phổ trị riêng là năng lượng liên tục, có giá trị nhất định tronh khoảng từ 0 đến

, trong đó
x
p p k
 

là xung lượng của hạt tự do,
x
k k

là thành phần vectơ
sóng trên trục x.
Hàm sóng phụ thuộc thời gian ứng với hạt tự do ở trạng thái dừng có dạng:

 
2
2
, ,
k
i kx t
m
k
x t Ae


 

 
 


(2.8)
trong đó ta đã thay giá trị của E theo (2.6).
Hàm sóng ứng với hạt tự do là nghiệm của phương trình Schrodinger tổng quát
và có dạng:

   
 
, , ,
i kx t
k k k
x t c x t dk A c e dk

 
 

 
 
 
(2.9)
với
1/ 2
A


 do điều kiện trực chuẩn của hàm riêng thuộc phổ liên tục dạng
(2.5) diễn tả dạng bó sóng, đó là tổ hợp tuyến tính của sóng phẳng dạng (2.8) với
các giá trị k khác nhau. Hệ số
k
c
chính là biên độ của bó sóng và được xác định từ
điều kiện ban đầu.

 
,0 ,
ikx
k
x A c e dk





(2.10)
từ đó:


 
1
,0 ,
2
ikx
k
c x e dx








(2.11)

2.1.3 Giếng thế vuông góc sâu vô hạn
Xét trường hợp của hạt chuyển động tự do trong giếng thế một chiều có bề rộng
L lúc đó hạt hoàn toàn bị nhốt trong giếng. Về mặt hình thức có thểcoi tương
đương với một viên bi trượt không ma sát dọc theo một sợi dây, được căng giữa
hai bức tường rắn sao cho va chạm của viên bi với chúng là tuyệt đối đàn hồi. Thế
năng đang xét có dạng như Hình 2.

Dạng giải tích của thế năng là:

 
0, khi 0 ,

, khi 0 v .
x L
U x
x à x L
 



  


(2.12)
Ta thấy rằng ngoài giếng thế



U x
 
hàm sóng


0
x


hạt không tồn tại ở ngoài giếng thế. Như thế, ta
chỉ xét hạt ở trong giếng thế


0
x L
 
.
Phương trình Schrodinger có dạng:



 
2
2 2
2

0.
d x
mE
x
dx


 

(2.13)
Đặt:
2
2
2
mE
k 

, phương trình (2.13) trở thành:



 
2
2
2
0.
d x
k x
dx



 
(2.14)
Ta chọn nghiện của phương trình dưới dạng:



sin cos .
x A kx B kx

  (2.15)
Hình 2: Sơ đồ thế năng
của giếng thế một chiều
vuông sâu vô hạn.

Do điều kiện liên tục của hàm sóng tại các điểm biên nên ta có:


0
x


và


0
L


. Ta suy ra

0
B

và
sin 0
kL

. Vì vậy
kL n


. Vì
2
2
2
mE
k 

nên ta thu
được biểu thức năng lượng của hạt trong giếng thế.

2 2
2 2
2
,
2
n o
E n n E
mL


 

(2.16)
trong đó
2 2
2
2
o
E
mL



là năng lượng của hạt ứng với
1
n

và được gọi là năng lượng
ở trạng thái cơ bản.
Như vậy hạt ở trong giếng thế có thể được tìm thấy với một trong các giá trị
năng lượng
o
E
,
4
o
E
,
9
o

E
,
16
o
E
, … Vì năng lượng của hạt chỉ là động năng nên
vận tốc của hạt chỉ có những giá trị nhất định. Đây là điều khác hẳn trong trường
hợp cổ điển: khi viên bi trượt không ma sát trên thanh với một vận tốc đầu nào đó
thì vận tốc của nó luôn luôn không đổi và bằng chính vận tốc ban đầu.
Hàm riêng (2.15) bây giờ được viết lại dưới dạng:

 
sin sin .
n
x A kx A x
L


 
(2.17)
Hệ số A được xác định từ điều kiện chuẩn hóa




n n
x x
 
 
, hay:


2 2
0
sin 1,
L
n
A xdx
L




Tính tích phân này ta xác định được
2 /
A L
 .
Vậy hàm sóng ở trạng thái dừng ứng với hạt có năng lượng
n
E
là:

 
2
sin , 1, 2, 3,
n
n
x x n
L L



  (2.18)
Ta có thể đưa ra một số kết luận về bài toán giếng thế một chiều vuông góc sâu
vô hạn như sau:

Hình 4: Sơ đồ thế năng của
giếng đối xứng một chiều.
(a) Năng lượng
n
E
của hạt trong giếng bị lượng tử hóa. Điều này xảy ra là do
chuyển động của hạt mặc đầu tự do nhưng bị giới hạn
(b) Hàm sóng
n

có
1
n

nút (điểm mà tại đó hàm sóng bằng không).
(c) Mật độ xác suất tìm hạt


n
x

có n cực đại ở đó mật độ xác suất tìm hạt có giá
trị lớn nhất. Hình 3 chỉ đồ thị các hàm sóng

, mật độ xác suất tìm hạt và các mức
năng lượng tương ứng với các trạng thái khác nhau.





2.1.4 Ghi chú về trường hợp giếng thế đối xứng
Trong trường hợp này thế năng có dạng:
   
0 khi / 2 / 2
. 2.19
khi / 2
L x L
U x
x L
  



 


Sơ đồ thế năng có dạng như Hình 4. Vì thế năng
là hàm chẵn của tọa độ nên nghiệm của phương trình
(2.14) được phân thành hai lớp nghiệm lẻ và nghiệm
chẵn:
Hình 3: Đồ thị hàm sóng


n
x


, mật độ xác suất
   
2
n n
x x
 
 và năng
lượng
n
E
trong giếng thế vuông góc sâu vô hạn

Hình 5: Sơ đồ thế năng của
giếng thế một chiều vuông góc
sâu h
ữ
u h
ạ
n

+ Đối với lớp nghiệm chẵn:




,
x x
 
 
thay vào (2.15), ta được



cos .
n
x B kx


Áp dụng điều kiện biên


/ 2 0
n
L


, ta được
cos 0
2
kL

, suy ra
n
k
L


, trong
đó
1
n


, 3, 5, …
Tương tự đối với nghiệm lẻ:




,
x x
 
  
thay vào hàm sóng (2.15), ta được:



sin ,
n
x A kx


với
n
k
L


, trong đó
2
n


, 4, 6, …
Dùng điều kiện chuẩn hóa ta tính được các hệ số A và B có giá trị là
2 /
L
.
Như vậy trong cả hai lớp nghiệm ta đều có:
n
k
L


và do đó năng lượng của hạt
được tính theo hệ thức:

2 2
2
2
.
2
E n
mL



(2.20)
2.1.5 Giếng thế hình chữ nhật có chiều sâu hữu hạn
Bây giờ ta xét trường hợp giếng thế hình chữ
nhật có chiều sâu hữu hạn với thế năng có dạng:
   
0 khi / 2 / 2

. 2.21
khi / 2
o
L x L
U x
U x L
  






Sơ đồ thế năng được cho ở Hình 5. Có thể
thấy rằng khi năng lượng
o
E U

thì hạt tự do
không bị liên kết, năng lượng E là liên tục.
Ngược lại
o
E U

hạt bị nhốt trong giếng, năng
lượng của hạt bị lượng tử hóa ứng với các trạng
thái liên kết. Ta sẽ giải phương trình

Schrodinger cho tùng miền thế năng để tìm năng lượng và hàm sóng ứng với các
trạng thái khác nhau của hạt trong trường hợp

o
E U

.
Đặt:

   
2
,
2 2
,
o o
mE
k
m E U m U E
k i


  

  

 
(2.22)
trong đó


2
o
m U E





là các đại lượng thực.
Sử dụng kí hiệu


2
2
d x
dx




ta được phương trình Schrodinger và nghiệm
tương ứng của từng miền như sau:
Miền I








2
1 1
: 0,

o
U x U x x
  

  

Miền II








2
2 2
0 : 0,
U x x k x
 

  

Miền III









2
3 3
: 0.
o
U x U x x
  

  






Nghiệm của các phương trình trên có dạng:



1
,
x
x Ae



Hình 6: Sơ đồ ba mức năng lượng và hàm sóng trong giếng thế một chiều. Đường
liền nét ứng với thế hữu hạn, đường đứt nét ứng với thế vô hạn.





2
cos sin ,
x B kx C kx

 



3
.
x
x De




Vì giếng thế là đối xứng nên nghiệm ở miền II thuộc về hai lớp nghiệm chẵn:

2
cos ,
c
B kx
 
 

hoặc nghiệm lẻ:


2
sin ,
l
C kx
 
 

Sử dụng điều kiện liên tục của hàm sóng và đạo hàm của nó tại các điểm biên


/ 2
x L  , ta thu được:
tan
2
kL
k


đối với lớp nghiệm chẵn, (2.23)
cot
2
kL
k

 
đối với lớp nghiệm lẻ. (2.24)
Thay k và

vào hai phương trình trên và đặt
2

2
2
2
n
mL E



,
2
2
2
2
o
o
mLU



, ta
được:

2 2
tan
o
   
 
đối với lớp nghiệm chẵn, (2.25)

2 2

cot
o
   
  
đối với lớp nghiệm lẽ. (2.26)
Hai phương trình siêu việt trên đây xác định các giá trị năng lượng cho phép
của hạt trong giếng thế hữu hạn. Giá trị năng lượng chứa trong số hạng
2
/ 2 / 2
ka mE L

 

. Các phương trình này không thể giải bằng phương pháp
giải tích mà giải bằng phương pháp tích số hoặc đồ thị. Ở đây ta sẽ giải bằng
phương pháp đồ thị.
Hình 7a. biểu diễn đồ thị của
tan

và
2
/
o
  
 theo

. Hình 7b. biểu diễn
đồ thị của
cot



và
2
/
o
  
 theo

với các giá trị
o

khác nhau. Giao điểm
các đường cong này xác định các giá trị cho phép ứng với các giá trị nhất định của
o

. Đối với các trường hợp trạng thái chẵn, khi
o

bé chỉ cho một giao điểm, nghĩa
là một giá trị năng lượng cho phép. Khi
o

tăng số giá trị năng lượng cho phép tăng
lên. Trong trường hợp trạng thái lẻ, vì
cot 0

 
nên khi
/ 2
o

 

sẽ không có
giao điểm nào xuất hiện, nghĩa là không có giá trị năng lượng cho phép.





Một các tổng quát giá trị của bề rộng giếng mà tại đó có n trạng thái liên kết,
nghĩa là có n giá trị năng lượng cho bởi:

2
o
n



hoặc
2
2
2
2
2
.
2
o
U n
mL


 

 
 

(2.27)
Như vậy, phổ năng lượng bao gồm các trạng thái chẵn và lẻ xen kẻ nhau, trong
đó trạng thái cơ bản là trạng thái chẵn.
Trường hợp giới hạn khi
o
U


thì
o



thì hàm
2
/
o
  
 sẽ cắt
tan


và
cot



tại các điểm tiệm cận
2
n



, vì khi
o
U


cả
tan

và
cot

tiến tới
vô cùng.

2 1
tan
2
n
  

  
,
0, 1 , 2, 3,

n



cot
n
  
 
 
,
1, 2, 3,
n


Kết hợp cả hai điều kiện này ta được:
Hình 7: Nghiệm đồ thị cho giếng thế sâu hữu hạn. Các giá trị năng lượng được cho bởi
giao điểm của
2
/
o
  
 , với
tan

và
cot


, trong đó



2 2 2
2 / 2
n
mL E



và


2 2 2
/ 2
o o
mL V



. Hình a ứng với các trạng thái chẵn, hình b ứng với các trạng thái lẽ.


2
n



,
1, 2, 3,
n


(2.28)
Vì


2 2 2
2 / 2
n
mL E



nên ta nhận được biểu thức của năng lượng cho trường
hợp thế vô hạn.

2 2
2
2
.
2
2
n
n
E n
mL
 

  

(2.29)



Hình 8 biểu diễn ba mức năng lượng đầu tiên và các hàm sóng tương ứng.
Trạng thái cơ bản (n=1) và trạng thái kích thích thứ hai (n=3) là trạng thái chẵn,
trạng thái kích thích thứ nhất (n=2) là trạng thái lẻ. Đồ thị cho thấy rằng, các hàm
sóng lan tỏa qua miền
o
E U

. Điều này có nghĩa là xác suất tìm hạt
 


2
x

ở
miền I và miền II khác không, nghĩa là hạt có thể ở mặt ngoài giếng. Mức độ
“thấm qua” của hạt phụ thuộc vào độ lớn của

, nghĩa là độ sâu
o
U
của giếng, hạt
thấm qua được một đoạn


1/ / 2
o
m U E


  kể từ biên của giếng.
Chú ý rằng khi
o
U


thì
1/ 0


, nghĩa là hạt không thể ra khỏi giếng.
Đây là trường hợp giếng thế vô hạn như đã khảo sát ở trên.

Hình 8: Sơ đồ ba mức năng lượng và hàm sóng trong giếng thế một chiều. Đường
liền nét ứng với thế hữu hạn, đường đứt nét ứng với thế vô hạn.

Hình 9: Sơ đồ thế năng biểu diễn thế
b
ậ
c thang
.

2.1.6 Chuyển động qua thế bậc thang
Bây giờ ta xét chuyển động của hạt trong trường thế có dạng (Hình 9):

 
0 khi 0,
khi 0.
o
x

U x
U x







Theo cơ học cổ điển hạt có năng lượng
E từ miền I đi qua miền II sẽ có động năng
o
T E U
 
. Trong trường hợp khi
o
E U


thì hạt có thể đi qua được miền II mà
không bị cản trở. Trong lúc đó
o
E U

thì
ở miền II động năng của hạt sẽ có giá trị
âm. Đây là điều không thể chấp nhận
trong cơ học cổ điển, miền II được gọi là
miền cấm cổ điển và hạt không thể đi vào
miền này.

Bây giờ ta sẽ khảo sát chuyển động
của hạt theo quan điểm của cơ học lượng
tử và tìm ra một số tính chất đặc thù của hạt vi mô. Ta viết phương trình
Schrodinger cho từng miền:
Miền I:
2
1
1
2 2
2
0,
d mE
dx


 

(2.30)
Miền II:
 
2
2
2
2 2
2
0.
o
d mE
E U
dx



  

(2.31)
Nếu đặt:

2
2
2
o
mE
k 

và


2
2
2
,
o
m E U
k



(2.32)
thì hai phương trình trên được viết lại như sau:


Miền I:
2
2
1
1
2
0,
o
d
k
dx


 
(2.33)
Miền II:
2
2
2
2
2
0.
d
k
dx


 
(2.34)


Nghiệm của hai phương trình này là:

1 1 1
,
o o
ik x ik x
i r
Ae Be
  

    (2.35)

2 2 2
.
ikx ikx
t r
Ce De
  

    (2.36)
Chú ý rằng ở miền II không có sóng phản xạ nên hệ số
0
D

. Lúc đó hàm sóng
1

và
2


trở thành:

1
o o
ik x ik x
Ae Be


  , (2.37)

2
.
ikx
Ce

 (2.38)
Ta định nghĩa hệ số phản R và hệ số truyền qua T như sau:

1
1
,
r
i
x
j
R
j
 (2.39)

2

2
.
t
i
x
j
T
j
 (2.40)
Ta đã biết
x
j
là thành phần trên trục x của vecto mật độ dòng xác suất. Từ biểu
thức của
x
j
ta có:

 


 


*
*
.
2
x
d x d x

i
j x x
m dx dx
 
 
 
 
 
 


Từ đó, ta tính được:

 
 
 
2
1
2
1
2
2
. ,
. ,
. .
o
i
o
r
o

t
k
j A
m
k
j B
m
k
j C
m







Tùy theo các giá trị năng lượng E đối với thế năng
o
U
mà ta xét hai trường hợp:
a) Trường hợp
o
E U

:
Khi đó các hệ số
o
k
và k có giá trị thực, dương. Dùng điều kiện biên tại

0
x

:




1 2
0 0
 
 ;




1 2
0 0
 
 
 , ta tính được các hệ số B và C:

,
o
o
k k
B A
k k





2
.
o
o
k
C A
k k


(2.41)